江苏期末真题精选（压轴题四大题型，30题）-【尖子生培优】2023-2024学年七年级数学下学期重难点压轴题突破专练（苏科版）

江苏期末真题精选（压轴题四大题型，30题）（原卷版） 目录 一、题型一：平面图形的认识，10题，难度四星 1 二、题型二：整式乘法与因式分解，5题，难度四星 6 三、题型三：二元一次方程组，5题，难度四星 8 四、题型四：一元一次不等式，10题，难度四星 10 一、题型一：平面图形的认识，10题，难度四星 1．（22-23七年级下·江苏淮安·期末）如图，直线，一副三角板（，，，）按如图①放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分．    (1)求的度数； (2)如图②，若将绕B点以每秒的速度按逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G）．设旋转时间为t秒； ①在旋转过程中，若边，求t的值； ②若在绕B点旋转的同时，绕E点以每秒的速度按顺时针方向旋转（C、D的对应点分别为K、T），请直接写出与平行时t的值． 2．（22-23七年级下·江苏镇江·期末）（1）如图1，在四边形中，延长、交于点E，延长、交于点F．当时，我们就称四边形是“完美四边形”．已知在完美四边形中，． ①若，则______°； ②若，则的取值范围是______． （2）在五边形中，延长任意不相邻的两边（如图2），在相交得到的角中，如果有四个角相等，我们就称这个五边形是“完美五边形”． 如图3，在五边形中，，，该五边形是否为“完美五边形”？请说明你的理由．    3．（22-23七年级下·江苏扬州·期末）已知：如图，是的角平分线，点E、F分别在、上，，平分．    (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，，且的面积为27，求的面积． 4．（22-23七年级下·江苏扬州·期末）（1）如图1，把三角形纸片折叠，使个顶点重合于点．这时，__________；      （2）如果三角形纸片折叠后，个顶点并不重合于同一点，如图，那么(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由； （3）折叠后如图所示，直接写出、、、、、之间的数量关系_______； （4）折叠后如图，直接写出、、、、、之间的数量关系：_______； 5．（22-23七年级下·江苏泰州·期末）已知，李想同学将放置在这两条平行线上展开探究，其中三边与两条平行线分别交于点、、、．    (1)【特例探究】 如图1，． ①______度； ②若与的角平分线相交于点，则______度； (2)【一般探索】 如图2，，． ①若，，求与的关系； ②若，（且为整数），直接写出与的关系； (3)【拓展应用】 如图3，与的角平分线相交于点，与的角平分线相交于点，与的角平分线相交于点；……，以此类推，则的值是多少？（直接写出结果） 6．（22-23七年级下·江苏泰州·期末）小明在学习过程中，对一个问题做如下探究． 如图，在中，射线交于点D，点E是线段上的任意一点，过点E作交直线于点F，直线与射线交于点G．    (1)如图1，若，，，，则______°； (2)如图2，若，，，则______°； (3)如图3，若，，则探索与之间的数量关系，并说明理由． (4)如图4，在（3）的条件下，若点E在线段上运动（此时G在外部），或在线段的延长线运动（此时G在内部），请在备用图中选择其中的一种情况画出示意图，探索与之间的数量关系，并说明理由． 7．（22-23七年级下·江苏淮安·期末）【定义】在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的3倍，我们称这两个角互为“和谐角”，这个三角形叫做“和谐三角形”．例如：在中，，，则与互为“和谐角”，为“和谐三角形”．    【理解】 (1)若为和谐三角形，，则这个三角形中最小的内角为______°； (2)若为和谐三角形，，则这个三角形中最小的内角为______°； (3)已知是和谐中最小的内角，并且是其中的一个和谐角，试确定的取值范围，并说明理由； (4)【应用】 如图，中，，，交于点F，点D是延长线上一点，，若是和谐中的一个和谐角，设，则______． 8．（22-23七年级下·江苏徐州·期末）已知：在中，．过边上的点作，垂足为点．为的一条角平分线，为的平分线．    (1)如图1，若，点在边上且不与点重合． ①判断与的数量关系，并说明理由； ②判断与的位置关系，并说明理由； (2)如图2，若，点在边，与的延长线交于点，用含的代数式表示，并说明理由； (3)如图3，若，点在边上，与交于点，用含的代数式表示，则　 　． 9．（22-23七年级下·江苏盐城·期末）【问题情境】 苏科版数学课本七年级下册上有这样一道题：如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？ 小旭同学在图1中作边上的高，根据中线的定义可知．又因为高相同，所以，于是．据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积．    【深入探究】 （1）如图2，点在的边上，点在上． ①若是的中线，求证：； ②若，则______． 【拓展延伸】 （2）如图3，分别延长四边形的各边，使得点、、、分别为、、、的中点，依次连结、、、得四边形． ①求证：； ②若，则______． 10．（22-23七年级下·江苏南通·期末）如图，锐角，点，分别在，上． (1)如图，若，连接，，，的平分线与的平分线交于点，则 ______ ， ______ ； (2)若点在内部点不在线段上，连接，，，，，分别平分和，且与交于点，求的度数； (3)如图，点是线段延长线上一点，过点作于点，与的平分线交于点，请直接写出与的数量关系． 二、题型二：整式乘法与因式分解，5题，难度四星 11．（21-22七年级下·江苏扬州·期末）在数学中，为了书写简便，世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”，如，；已知，则的值是 ． 12．（22-23七年级下·江苏扬州·期末）阅读理解并解答：在学完乘法公式后，王老师向同学们提出了这样一个问题：你能求代数式的最大值吗？ 【初步思考】 同学们经过交流、讨论，总结出如下方法： 解： 因为， 所以． 所以当时，的值最大，最大值是0. 所以当时，的值最大，最大值是4. 所以的最大值是4 【尝试应用】 (1)求代数式的最大值，并写出相应的的值． (2)已知，，请比较与的大小，并说明理由． 【拓展提高】 (3)将一根长的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和有无最小（或最大）值？若有，求此时这根铁丝剪成两段后的长度；若没有，请说明理由． 13．（21-22七年级下·江苏南京·期末）将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法．这种方法常常被用到式子的恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一． 例如，求代数式的最小值． 解：原式． ∵， ∴． ∴当x＝－1时，的最小值是2 (1)请仿照上面的方法求代数式的最小值． (2)已知△ABC的三边a，b，c满足，，．求△ABC的周长． 14．（23-24七年级下·江苏南京·期中）数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释．如图1，有足够多的边长为的小正方形，长为、宽为的长方形以及边长为的大正方形． 利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式，例如图2可以解释整式乘法：，也可以解释因式分解：． (1)若用4个类材料围成图3的形状，设外围大正方形的边长为，内部小正方形的边长为，观察图案，指出下列关系式中正确的是（写出所有正确结论的序号）______． ①；②；③；④；⑤． (2)若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为，在虚框中画出图形，并根据所画图形，将多项式分解因式为______． (3)若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为则的值为______．（直接写出结果） 15．（22-23七年级下·江苏苏州·期中）我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”． [解决问题] (1)已知29是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式______； (2)若可配方成（m、n为常数），则______； [探究问题] (3)已知，则______； (4)已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． [拓展结论] (5)已知实数x、y满足，求的最值． 三、题型三：二元一次方程组，5题，难度四星 16．（22-23七年级下·江苏淮安·期末）如图1，，点在直线上，点在直线上，射线绕点顺时针从射线旋转至射线后便立即回转；射线绕点顺时针从射线旋转至射线后便立即回转：射线、射线不停地来回旋转．若射线转动的速度是度秒，射线转动的速度是度秒，且、是方程的正整数解．    (1)______，______； (2)如图2，若，两条射线同时转动，在射线到达之前，若两条射线交于点，过作交于 ，若，求的度数； (3)若射线先转动秒，射线才开始转动，在射线到达之前，射线转动几秒，射线与射线互相平行？ 17．（22-23八年级下·全国·期末）一方有难八方支援，某市政府筹集了防疫必需物资138吨打算运往重疫区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨/辆） 6 9 10 汽车运费（元/辆） 500 600 600 (1)若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费10000元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？ (2)为了节约运费，该市政府可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送，已知它们的总辆数为16辆，要求三种车同时参与运货，你能求出几种车型的辆数吗？ (3)求出哪种方案的运费最省？最省是多少元． 18．（21-22七年级下·江苏扬州·期末）阅读感悟：有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的一个代数式的值．如以下问题：已知实数x、y满足，，求和的值．本题常规思路是将①，②联立组成方程组，解得、的值再代入欲求值的代数式得到答案．常规思路计算量比较大，其实本题还可以仔细观察两个方程未知数系数之间的关系，通过适当变形整体求得代数式的值，如由①－②可得，由①＋②×2可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 解决问题： (1)已知二元一次方程组，则______，______； (2)试说明在关于x、y的方程组中，不论a取什么实数，的值始终不变； (3)某班级组织活动购买小奖品，买3支铅笔、5块橡皮、1本笔记本共需21元，买4支铅笔、7块橡皮、1本笔记本共需28元，则购买10支铅笔、10块橡皮、10本笔记本共需多少元？ 19．（21-22七年级下·江苏连云港·期末）如图1，直线与直线相交于点，、两点同时从点出发，点以每秒个单位长度沿直线向左运动，点以每秒个单位长度沿直线向上运动． (1)若运动时，点比点多运动1个单位；运动时，点与点运动的路程和为6个单位，则_________，_________． (2)如图2，当直线与直线垂直时，设和的角平分线相交于点．在点、在运动的过程中，的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出其值（写出主要过程）；若发生变化，请说明理由． (3)如图3，将（2）中的直线不动，直线绕点按顺时针方向旋转，其他条件不变． （i）用含有的式子表示的度数_________． （ii）如果再分别作的两个外角，的角平分线相交于点，并延长、交于点．则下列结论正确的是_________（填序号）． ①与互补；②为定值；③为定值；④与互余． 20．（21-22七年级下·江苏泰州·期中）已知二元一次方程（a，b均为常数，且a≠0）． (1)当a＝3，b＝﹣4时，用x的代数式表示y； (2)若是该二元一次方程的一个解， ①探索a与b关系，并说明理由； ②无论a、b取何值，该方程有一组固定解，请求出这组解． 四、题型四：一元一次不等式，10题，难度四星 21．（22-23七年级下·江苏南通·期末）已知关于x，y的方程组的解为非负数，,，且，则z的取值范围是 ． 22．（21-22七年级下·江苏连云港·期末）对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，即：当n为非负整数时，如n﹣≤x＜n+，则＜x＞＝n．如：＜0.48＞＝0，＜3.5＞＝4．如果＜x＞＝x，则x＝ ． 23．（21-22七年级下·江苏泰州·期末）若，且，，设，则t的取值范围为 ． 24．（22-23七年级下·江苏连云港·期末）【提出定义】在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这个三角形为“二倍角三角形”，例如：在中，，，则为“二倍角三角形”． (1)下列三角形一定是二倍角三角形的是（填序号）______； ①等腰三角形  ②直角三角形  ③等边三角形  ④等腰直角三角形 (2)若为二倍角三角形，，则这个三角形中最小的角为______°； (3)已知是二倍角三角形，其中是最小的角，求的最大值； (4)如图，平分的内角，交于点E，平分的外角，延长和交于点G，且，当______°时，是二倍角三角形．    25．（22-23七年级下·江苏苏州·期末）定义：关于，的二元一次方程（其中）中的常数项与未知数系数，之一互换，得到的方程叫“交换系数方程”，例如：的交换系数方程为或． (1)方程与它的“交换系数方程”组成的方程组的解为 ； (2)已知关于，的二元一次方程的系数满足，且与它的“交换系数方程”组成的方程组的解恰好是关于，的二元一次方程的一个解，求代数式的值； (3)已知整数，，满足条件，并且是关于，的二元一次方程的“交换系数方程”求的值． 26．（22-23七年级下·江苏淮安·期末）阅读材料： 如果x是一个有理数，我们把不超过x的最大整数记作 例如，，，． 那么，，其中． 例如，，，． 请你解决下列问题： (1)______，______； (2)如果，那么x的取值范围是______； (3)如果，求x的值； (4)如果，其中，且，直接写出x的值． 27．（22-23七年级下·江苏盐城·期末）一个两位数，十位上的数字为，个位上的数字为1．将十位上的数字与个位上的数字交换，得到一个新两位数．若原两位数与新两位数的差恰好为小旭年龄的4倍，已知小旭年龄超过12岁，求小旭的年龄． 28．（22-23七年级下·江苏南京·期末）如图，是某道路停车泊位收费公示牌．现从该收费公示牌中摘录其收费标准，并注解如下．    一 级 支 路 计 时 时段 车型 白天时段 夜间时段 连续停放6小时封顶 连续停放6小时封顶 首小时内 （分钟） 首小时后 （60分钟后） 系次日 小型车 2元/15分钟 2.5 元/15分钟 1元/小时 大型车 2.5元/15分钟 3元/15分钟 1.5元/小时 注解 1．白天时段，车辆进入停车泊位15分钟以内免费，第15分钟开始收费，以小型车为例，记小型车连续停放时间为a分钟，当时不收费，当时收费2元，当时收费4元，当时收费6元，当时收费8元，当时收费10.5元，以此类推． 2．夜间时段，不足1小时按1小时收费． 3．“连续停放6小时封顶”是指当年辆连续停放的时间超过6小时时，只收6小时的停车费． (1)夜间时段，一辆小型车在该道路停车泊位连续停放8小时，需缴费______元． (2)白天时段，一辆大型车在该道路停车泊位连续停放1小时36分钟，需缴费______元． 【综合应用】 (3)白天时段，一辆小型车在该道路停车泊位连续停放一段时间后缴费25.5元，则该车最多停放了多长时间？（用一元一次不等式解决问题） 【深入探索】 (4)已知一辆小型车与一辆大型车在该道路停车泊位都连续停放5小时，小型车在白天时段停放分钟，大型车在白天时段停放分钟，且．当小型车的停车费高于大型车的停车费时，随的变化而变化，请直接写出的范围及其相应的的范围． 29．（22-23七年级下·江苏宿迁·期末）定义：一个各数位数字均不为零的三位自然数，它的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，将它的百位数字a与个位数字c组成一个新的两位数，如果这个新两位数N能被十位数字b整除，则把N与b的商记为，若为不超过15的整数，则称这个数M为“映文数”． 例如：，∵，∴，∴不是“映文数”． 又如：，∵，∴，∴是“映文数”． (1)填空： ①计算：______； ②下列三位数：中，“映文数”是______． (2)如果一个“映文数”M的十位数字是6，个位数字比百位数字大2，且，请求出符合题意的“映文数”M． (3)若将一个“映文数”M的个位数字与百位数字对调后得到一个新的三位数，且仍为不超过15的整数，则称这个数M为“重映文数”．如果一个“映文数”M的百位数字与个位数字之和为12，记，若为7的整数倍，请直接写出符合题意的“重映文数”M． 30．（21-22七年级下·江苏南通·期末）在平面直角坐标系xOy中，，． (1)若，，则AB＝______； (2)若，小智同学认为AB的长度是定值，你同意他的观点吗？若同意，求出AB的长；若不同意，请说明理由； (3)在（2）的条件下，点，，线段MN上存在点P，使得的面积等于4，直接写出b的取值范围． 8 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 江苏期末真题精选（压轴题四大题型，30题）（解析版） 目录 一、压轴题型一：平面图形的认识，10题，难度四星 1 二、题型二：整式乘法与因式分解，5题，难度四星 23 三、题型三：二元一次方程组，5题，难度四星 31 四、题型四：一元一次不等式，10题，难度四星 39 一、压轴题型一：平面图形的认识，10题，难度四星 1．（22-23七年级下·江苏淮安·期末）如图，直线，一副三角板（，，，）按如图①放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分．    (1)求的度数； (2)如图②，若将绕B点以每秒的速度按逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G）．设旋转时间为t秒； ①在旋转过程中，若边，求t的值； ②若在绕B点旋转的同时，绕E点以每秒的速度按顺时针方向旋转（C、D的对应点分别为K、T），请直接写出与平行时t的值． 【答案】(1) (2)①3或21；②5或17或29 【分析】（1）首先求出，根据角平分线的定义求出，再根据平行线的性质求出，继而可得结果； （2）①分两种情况，画出图形，根据旋转速度以及平行线的性质列出关于t的方程，解之即可；②表示出，，分三种情况，画出图形，根据平行线的性质列出方程，再求解即可． 【详解】（1）解：， ， 平分， ， ， ， ， ． （2）①如图，， ， ， ， ， ．    如图，， ， ∵， ∴， 此时旋转了， ∴， ．   在旋转过程中，若边，的值为3或21． ②如图，延长，与交于H， ，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：；    如图，过点C作， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 解得：；    如图，延长，与交于H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：；    综上：t的值为5或17或29． 【点睛】本题考查几何变换综合题，考查了平行线的性质，旋转变换，角平分线的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题． 2．（22-23七年级下·江苏镇江·期末）（1）如图1，在四边形中，延长、交于点E，延长、交于点F．当时，我们就称四边形是“完美四边形”．已知在完美四边形中，． ①若，则______°； ②若，则的取值范围是______． （2）在五边形中，延长任意不相邻的两边（如图2），在相交得到的角中，如果有四个角相等，我们就称这个五边形是“完美五边形”． 如图3，在五边形中，，，该五边形是否为“完美五边形”？请说明你的理由．    【答案】（1）①140；②；（2）五边形不是“完美五边形”；理由见解析 【分析】（1）①根据三角形内角和定理求出，，根据四边形内角和定理求出结果即可； ②根据三角形和四边形内角和定理求出，然后根据求出结果即可； （2）延长、交于点F，延长、交于点G，延长、交于点H，延长、交于点K，根据，得出延长五边形任意不相邻的两边，只能得出4个角，假设五边形为“完美五边形”，得出，根据平行线的性质和三角形内角和定理得出，，求出，得出、、、不可能相等，假设不成立，即可证明结论． 【详解】解：（1）①∵，， ∴， ， ∴； 故答案为：； ②∵，， ∴， ， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． （2）五边形不是“完美五边形”；理由如下： 延长、交于点F，延长、交于点G，延长、交于点H，延长、交于点K，如图所示：    ∵， ∴延长五边形任意不相邻的两边，只能得出4个角， ∴假设五边形为“完美五边形”， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴在中， 在中， ∴，这与矛盾， ∴、、、不可能相等，假设不成立， ∴五边形不是“完美五边形”． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理的应用，四边形内角和，平行线的性质，解题的关键是数形结合，作出辅助线，熟练掌握三角形内角和为． 3．（22-23七年级下·江苏扬州·期末）已知：如图，是的角平分线，点E、F分别在、上，，平分．    (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，，且的面积为27，求的面积． 【答案】(1)平行，详见解析 (2)4 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，根据平行线的性质可得，因此，由此可得． （2）由，中上的高与中上高相同，可得，因此，由此可求出．同理可求出，，即可求出的面积． 【详解】（1）理由如下： 平分，平分， ． ， ， ， ． （2），中上的高与中上高相同， ， ． ，中上的高与中上的高相同， ， ． ，中上的高与中上的高相同， ， ． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、平行线的判定和性质、以及高相同的两个三角形的面积之比等于底边长之比，熟练掌握以上知识是解题的关键． 4．（22-23七年级下·江苏扬州·期末）（1）如图1，把三角形纸片折叠，使个顶点重合于点．这时，__________；      （2）如果三角形纸片折叠后，个顶点并不重合于同一点，如图，那么(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由； （3）折叠后如图所示，直接写出、、、、、之间的数量关系_______； （4）折叠后如图，直接写出、、、、、之间的数量关系：_______； 【答案】（1）；（2）成立，详见解析；（3）；（4）． 【分析】（1）根据折叠性质和三角形内角和即可； （2）根据折叠性质和三角形内角和即可； （3）根据折叠性质和三角形内角和外角性质计算即可； （4）根据折叠性质和三角形内角和外角性质计算即可． 【详解】（1）由折叠性质可知：，，， ∴，，， ∵ ∴， ∴， 故答案为：， （2）由由折叠性质可知：，，， ∴，，， ∵，，，， ∴， 同理：，， ∴， （3）根据(2)可知：，， 如图3，∵，， ∴， ∴， 故答案为：， （4）根据（2）（3）可知：，，， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】此题考查了翻折、角的计算，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 5．（22-23七年级下·江苏泰州·期末）已知，李想同学将放置在这两条平行线上展开探究，其中三边与两条平行线分别交于点、、、．    (1)【特例探究】 如图1，． ①______度； ②若与的角平分线相交于点，则______度； (2)【一般探索】 如图2，，． ①若，，求与的关系； ②若，（且为整数），直接写出与的关系； (3)【拓展应用】 如图3，与的角平分线相交于点，与的角平分线相交于点，与的角平分线相交于点；……，以此类推，则的值是多少？（直接写出结果） 【答案】(1)①，② (2)①；② (3) 【分析】（1）①利用平行线的性质证明即可； ②证明即可； （2）①利用平行线的性质证明和即可； ②利用平行线的性质证明和即可； （3）利用（2）中的结论计算即可． 【详解】（1）①过点作平行于，过点作平行于    ∵， ∴，， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ②∵与的角平分线相交于点，则______度； ∴，， ∴ 故答案为：①，②； （2）① 过点作平行于，过点作平行于    ∵， ∴，， ∴，，，， ∴，， 即，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即； ② 同①可得， ∵，， ∴， ∴，即； （3）∵与的角平分线相交于点，与的角平分线相交于点，与的角平分线相交于点；……，以此类推， ∴， ∴由（2）得 ∴． 【点睛】本题考查平行线的性质，根据平行线的性质、角平分线的定义，利用平行线的性质证明和是解决本题的关键． 6．（22-23七年级下·江苏泰州·期末）小明在学习过程中，对一个问题做如下探究． 如图，在中，射线交于点D，点E是线段上的任意一点，过点E作交直线于点F，直线与射线交于点G．    (1)如图1，若，，，，则______°； (2)如图2，若，，，则______°； (3)如图3，若，，则探索与之间的数量关系，并说明理由． (4)如图4，在（3）的条件下，若点E在线段上运动（此时G在外部），或在线段的延长线运动（此时G在内部），请在备用图中选择其中的一种情况画出示意图，探索与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) (4)(点E在线段上运动)；(点E在线段的延长线上运动)（选一种作答即可） 【分析】（1）根据平行线的性质以及三角形的外角的定义与性质即可作答； （2）根据平行线的性质以及三角形内角和，三角形的外角的定义即可作答； （3）由，，可得，，根据平行线的性质以及三角形内角和，三角形的外角的定义即可作答； （4）分别将点E在线段上运动（此时G在外部）的图形画出，再根据根据平行线的性质以及三角形内角和，三角形的外角的定义即可作答． 【详解】（1）∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：； （3）∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：； （4）点E在线段上运动（此时G在外部），如图，    ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 点E在线段的延长线运动（此时G在内部），如图，    ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和，三角形的外角的定义与性质等知识，由，，得到，，是解答本题的关键． 7．（22-23七年级下·江苏淮安·期末）【定义】在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的3倍，我们称这两个角互为“和谐角”，这个三角形叫做“和谐三角形”．例如：在中，，，则与互为“和谐角”，为“和谐三角形”．    【理解】 (1)若为和谐三角形，，则这个三角形中最小的内角为______°； (2)若为和谐三角形，，则这个三角形中最小的内角为______°； (3)已知是和谐中最小的内角，并且是其中的一个和谐角，试确定的取值范围，并说明理由； (4)【应用】 如图，中，，，交于点F，点D是延长线上一点，，若是和谐中的一个和谐角，设，则______． 【答案】(1)10 (2)30或22.5 (3)，理由见解析 (4)或或 或 【分析】（1）根据和谐三角形的定义结合三角形的内角和定理即可得到答案； （2）根据和谐三角形的概念分两种情况求解即可； （3）由题意得出另外两个角分别为和，列出不等式求解即可； （4）分两种情况：①当与互为和谐角时，或；②当与互为和谐角时，或，列出方程求出答案即可． 【详解】（1）设最小角为α， ∵为和谐三角形，， ∴， ∴， ∴这个三角形中最小的内角为． 故答案为：10； （2）∵， 当与互为“和谐角”时，则最小角为； 当与互为“和谐角”时，设最小角为α， ∴， ∴， 综上：为和谐三角形，，则这个三角形中最小的内角为或； 故答案为：30或22.5； （3）∵是和谐中最小的内角，并且是其中的一个和谐角， ∴另外两个角分别为和， ∴， ∴； （4）∵是的外角，是的外角， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴； ①当与互为和谐角时，或， ∴或， 解得或 ； ②当与互为和谐角时，或， ∴或， 解得 或 ， 综上所述：的值为或或 或． 故答案为：或或 或． 【点睛】本题查了三角形内角和定理，三角形外角的性质以及和谐角和和谐三角形的概念，一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，涉及到了分类讨论的思想方法，其中熟练掌握相关概念和性质是解答本题的关键． 8．（22-23七年级下·江苏徐州·期末）已知：在中，．过边上的点作，垂足为点．为的一条角平分线，为的平分线．    (1)如图1，若，点在边上且不与点重合． ①判断与的数量关系，并说明理由； ②判断与的位置关系，并说明理由； (2)如图2，若，点在边，与的延长线交于点，用含的代数式表示，并说明理由； (3)如图3，若，点在边上，与交于点，用含的代数式表示，则　 　． 【答案】(1)①，见解析；②，见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）①利用角平分线的性质及三角形内角和定理即可解答，②利用角的关系可证明与的位置关系； （2）利用角平分线的性质及三角形内角和定理找到各角之间的等量关系求解即可； （3）利用角平分线的性质及三角形内角和定理找到各角之间的等量关系求解即可． 【详解】（1）解：①， ， 又， ，即， ； ② ， ； （2）解：， 证明：， ， ， ， 又， 整理得， ，将之代入， 得； （3）解：， ， 又， ， ， 将之代入， 得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的性质、平行线的判定，解答本题的关键是找到各相关角之间的等量关系，然后利用三角形内角和定理列出等式即可． 9．（22-23七年级下·江苏盐城·期末）【问题情境】 苏科版数学课本七年级下册上有这样一道题：如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？ 小旭同学在图1中作边上的高，根据中线的定义可知．又因为高相同，所以，于是．据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积．    【深入探究】 （1）如图2，点在的边上，点在上． ①若是的中线，求证：； ②若，则______． 【拓展延伸】 （2）如图3，分别延长四边形的各边，使得点、、、分别为、、、的中点，依次连结、、、得四边形． ①求证：； ②若，则______． 【答案】（1）①证明见解析；②；（2）①证明见解析；② 【分析】（1）①根据中线的性质可得，点为的中点，推得是的中线，，即可证明； ②设边上的高为，根据三角形的面积公式可得，，即可推得，同理推得，即可求得，即可证明； （2）①连接，，，根据中线的判定和性质可得，，，，推得，，即可求得，即可证明， ②由①可得，同理可证得，根据，即可推得，即可求解． 【详解】（1）①证明：∵是的中线， ∴，点为的中点， ∴是的中线， ∴， ∴， 即； ②， 解：设边上的高为， 则，， ∵， ∴， 同理， 则， 即， ∴． （2）①证明：连接，，，如图：    ∵点、、、分别为、、、的中点， ∴，，，分别为，，，的中位线， ∴，，，， ∴， ∵， 即； ②15， 解：由①可得，同理可证得， ， 即， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了中位线的判定和性质，三角形的面积公式，掌握三角形的一条中线把原三角形分成两个等底同高的三角形是题的关键 ． 10．（22-23七年级下·江苏南通·期末）如图，锐角，点，分别在，上． (1)如图，若，连接，，，的平分线与的平分线交于点，则 ______ ， ______ ； (2)若点在内部点不在线段上，连接，，，，，分别平分和，且与交于点，求的度数； (3)如图，点是线段延长线上一点，过点作于点，与的平分线交于点，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)； (2)或 (3) 【分析】（1）根据三角形内角和定义即可求的度数，根据邻补角定义以及角平分线性质求的度数，再求度数即可． （2）分两种情况，两种情况均根据角平分线性质以及邻补角定义求的度数，根据三角形内角和定义即可求解． （3）由三角形外角性质可知，再由角平分线性质可得，由三角形内角和定义以及对顶角相等可得，，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ，分别平分，， ，， ， ， ． （2）点在上方时，如图， ， ， ，分别平分，， ， ，， ； 点在下方时，如图， ， ， ， ， 综上所述，的度数为或． （3），理由如下： ，分别是和的平分线， ，， ， ， 即， ， ，， ， ． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，邻补角的性质，角平分线性质，三角形外角性质，解题的关键是掌握三角形的内角和定理，角平分线性质，三角形外角性质. 二、题型二：整式乘法与因式分解，5题，难度四星 11．（21-22七年级下·江苏扬州·期末）在数学中，为了书写简便，世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”，如，；已知，则的值是 ． 【答案】-99 【分析】观察已知可得，列出算术可得的值，即可得到答案． 【详解】解：由知， ， ， 即， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查整式的运算，解题的关键是理解求和符号“”的意义，求出，的值． 12．（22-23七年级下·江苏扬州·期末）阅读理解并解答：在学完乘法公式后，王老师向同学们提出了这样一个问题：你能求代数式的最大值吗？ 【初步思考】 同学们经过交流、讨论，总结出如下方法： 解： 因为， 所以． 所以当时，的值最大，最大值是0. 所以当时，的值最大，最大值是4. 所以的最大值是4 【尝试应用】 (1)求代数式的最大值，并写出相应的的值． (2)已知，，请比较与的大小，并说明理由． 【拓展提高】 (3)将一根长的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和有无最小（或最大）值？若有，求此时这根铁丝剪成两段后的长度；若没有，请说明理由． 【答案】(1)的最大值为14，此时的值为2． (2)，理由见解析 (3)这两个正方形面积之和有最小值，此时两段铁丝的长度均为，面积之和为 【分析】（1）仿照题中例子配出完全平方公式进行求解； （2）计算，仿照题中例子配出完全平方公式进行求解，即可得到结论； （3）设一段铁丝的长度为，则另一段铁丝的长度为，可分别求出两个正方形的边长为和，根据正方形的面积公式，列出代数式，仿照题中例子配出完全平方公式进行求解． 【详解】（1）解： ， ， ， 当时，有最大值，最大值为， 解得：， 的最大值为14，此时的值为2． （2）解：，理由如下： ，， ， 当时，有最小值2， （3）解：设一段铁丝的长度为，则另一段铁丝的长度为， 根据题意得： ， ， 时，有最小值， 解得：，则， 这两个正方形面积之和有最小值，此时两段铁丝的长度均为，面积之和为． 【点睛】本题考查了完全平方公式，利用完全平方不为负数的性质求函数值的最值是常用方法，应熟练掌握． 13．（21-22七年级下·江苏南京·期末）将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法．这种方法常常被用到式子的恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一． 例如，求代数式的最小值． 解：原式． ∵， ∴． ∴当x＝－1时，的最小值是2 (1)请仿照上面的方法求代数式的最小值． (2)已知△ABC的三边a，b，c满足，，．求△ABC的周长． 【答案】(1)-10 (2)9 【分析】（1）根据题干解题过程进行求解即可； （2）由，，可得，，再化简即可得a，b，c，进而得周长； 【详解】（1）解：原式． ∵， ∴． ∴当x=-3时，的最小值是-10； （2）解：由，，可得， ∴ ∴△ABC的周长为：． 【点睛】本题主要考查完全平方公式的应用，正确理解题意是解题的关键． 14．（23-24七年级下·江苏南京·期中）数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释．如图1，有足够多的边长为的小正方形，长为、宽为的长方形以及边长为的大正方形． 利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式，例如图2可以解释整式乘法：，也可以解释因式分解：． (1)若用4个类材料围成图3的形状，设外围大正方形的边长为，内部小正方形的边长为，观察图案，指出下列关系式中正确的是（写出所有正确结论的序号）______． ①；②；③；④；⑤． (2)若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为，在虚框中画出图形，并根据所画图形，将多项式分解因式为______． (3)若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为则的值为______．（直接写出结果） 【答案】(1)①③④⑤ (2)画图见解析， (3)9或21或12 【分析】本题考查整式乘法与图形面积的关系，掌握数形结合思想成为解题关键． （1）根据图形表示出两个正方形边长与a、b的关系、，结合面积加减计算逐个判断即可； （2）根据整式得到两个大正方形、两个小正方形、五个长方形，然后画出图形即可解答； （3）根据因式分解平方项凑长宽展开求解即可解答． 【详解】（1）解：由图形可得，、，故①正确， ∴，即②错误； 由图形可得，，即，即③正确； ∵、， ∴，即，即④正确； ∵，，即故⑤正确． 故答案为：①③④⑤． （2）解：由题意可得，图形如图所示， ∴． 故答案为：． （3）解：由题意可得， ①当，， ②当，， ③当，． 故答案为：9或21或12． 15．（22-23七年级下·江苏苏州·期中）我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”． [解决问题] (1)已知29是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式______； (2)若可配方成（m、n为常数），则______； [探究问题] (3)已知，则______； (4)已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． [拓展结论] (5)已知实数x、y满足，求的最值． 【答案】(1)； (2) (3) (4) (5)最大值为：； 【分析】（1）根据“完美数”可得答案； （2）利用完全平方公式可得，从而可得答案； （3）利用完全平方公式把左边分组分解因式，再利用非负数的性质可得答案； （4）利用完全平方公式可得，再利用新定义可得答案； （5）由条件可得，代入计算可得： ，再结合非负数的性质可得最大值． 【详解】（1）解：； （2）； ∴，， ∴； （3）∵， ∴ ∴， ∴，， 解得：，， ∴； （4） ， 当为完美数时， ∴， 解得：． （5）∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴； ∴的最大值为：． 【点睛】本题考查的是新定义运算的理解，完全平方公式的应用，利用完全平方公式分解因式，熟练的掌握完全平方公式的特点与性质是解本题的关键． 三、题型三：二元一次方程组，5题，难度四星 16．（22-23七年级下·江苏淮安·期末）如图1，，点在直线上，点在直线上，射线绕点顺时针从射线旋转至射线后便立即回转；射线绕点顺时针从射线旋转至射线后便立即回转：射线、射线不停地来回旋转．若射线转动的速度是度秒，射线转动的速度是度秒，且、是方程的正整数解．    (1)______，______； (2)如图2，若，两条射线同时转动，在射线到达之前，若两条射线交于点，过作交于 ，若，求的度数； (3)若射线先转动秒，射线才开始转动，在射线到达之前，射线转动几秒，射线与射线互相平行？ 【答案】(1)， (2) (3)当秒或秒时，两灯的光束互相平行 【分析】（1）根据二元一次方程的解，为正整数，即可求解； （2）设运动时间为，依题意，，则，，过点作，则，根据平行线的性质得出，根据已知条件得出，建立方程求得，进而得出，根据，进而即可求解； （3）依题意，线先转动秒，射线才开始转动，当到达之前，当从返回且到达前，根据平行线的性质，列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵，为正整数， ∴， ∴，； （2）解：设运动时间为， 依题意，，则，， 过点作，则，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴； （3）解：依题意，线先转动秒，射线才开始转动， 当到达之前，当时，则 ∴ 解得：； 当从返回且到达前，当时，则 ∴ 解得： 【点睛】本题考查了二元一次方程的解，平行线的性质与判定，一元一次方程的应用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 17．（22-23八年级下·全国·期末）一方有难八方支援，某市政府筹集了防疫必需物资138吨打算运往重疫区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨/辆） 6 9 10 汽车运费（元/辆） 500 600 600 (1)若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费10000元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？ (2)为了节约运费，该市政府可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送，已知它们的总辆数为16辆，要求三种车同时参与运货，你能求出几种车型的辆数吗？ (3)求出哪种方案的运费最省？最省是多少元． 【答案】(1)需要甲车8辆，乙车10辆 (2)共有三种方案：①甲车3辆，乙车10辆，丙车3辆；②甲车4辆，乙车6辆，丙车6辆；③甲车5辆，乙车2辆，丙车9辆 (3)甲车5辆、乙车2辆、丙车9辆时运费最省，最省是9100元 【分析】（1）找准等量关系：甲运物资乙运物资，甲运费乙运费，列二元一次方程组求解即可． （2）找准等量关系：甲运物资乙运物资丙运物资，甲车数量乙车数量丙车数量辆，列三元一次方程组然后消元变成二元一次方程组，注意结合实际情况，甲乙丙车辆数均为非负整数，列出可行的方案． （3）分别计算各个方案需要的运费，对比得出最省运费． 【详解】（1）解：设需要甲车x辆，需要乙车y辆． 根据题意可得：， 解得：． 答：需要甲车8辆，乙车10辆． （2）设三种车同时参与时，需要甲车x辆，乙车y辆，丙车z辆． 根据题意得：， 消去z可得：，即：． 由于x、y、z均是非负整数，且三种车共16辆要求同时参与所以x与y都不能大于14，得： 3，4，5． 解得：，，． 所以共有三种方案：①甲车3辆，乙车10辆，丙车3辆；②甲车4辆，乙车6辆，丙车6辆；③甲车5辆，乙车2辆，丙车9辆． （3）三种方案的运费分别是： ①（元）；②（元）；③（元）． 对比可知第三种方案，甲车5辆、乙车2辆、丙车9辆时运费最省，最省是9100元． 【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用．找准等量关系，正确的列出方程组，是解题的关键． 18．（21-22七年级下·江苏扬州·期末）阅读感悟：有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的一个代数式的值．如以下问题：已知实数x、y满足，，求和的值．本题常规思路是将①，②联立组成方程组，解得、的值再代入欲求值的代数式得到答案．常规思路计算量比较大，其实本题还可以仔细观察两个方程未知数系数之间的关系，通过适当变形整体求得代数式的值，如由①－②可得，由①＋②×2可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 解决问题： (1)已知二元一次方程组，则______，______； (2)试说明在关于x、y的方程组中，不论a取什么实数，的值始终不变； (3)某班级组织活动购买小奖品，买3支铅笔、5块橡皮、1本笔记本共需21元，买4支铅笔、7块橡皮、1本笔记本共需28元，则购买10支铅笔、10块橡皮、10本笔记本共需多少元？ 【答案】(1)－1；3 (2)见解析 (3)购买10支铅笔、10块橡皮、10本笔记本共需70元 【分析】（1）①－②可求出，可求出； （2）证明为定值即可； （3）设铅笔、橡皮、笔记本的单价分别为x，y，z元，根据题意列方程组，利用整体思想求出即可． 【详解】（1）解： ①－②得：， 得：， 等式两边同时除以3得：， 故答案为：－1；3． （2）证明： 得：， 等式两边同时除以2得：， 得：， 等式两边同时除以2得：， 因此不论a取什么实数，的值始终不变． （3）解：设铅笔、橡皮、笔记本的单价分别为x，y，z元， 由题意得， 得：， 等式两边同时乘以2得：， 得：， 故， 即购买10支铅笔、10块橡皮、10本笔记本共需70元． 【点睛】本题考查利用整体思想解方程组，读懂题意，熟练掌握并灵活运用整体思想是解题的关键． 19．（21-22七年级下·江苏连云港·期末）如图1，直线与直线相交于点，、两点同时从点出发，点以每秒个单位长度沿直线向左运动，点以每秒个单位长度沿直线向上运动． (1)若运动时，点比点多运动1个单位；运动时，点与点运动的路程和为6个单位，则_________，_________． (2)如图2，当直线与直线垂直时，设和的角平分线相交于点．在点、在运动的过程中，的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出其值（写出主要过程）；若发生变化，请说明理由． (3)如图3，将（2）中的直线不动，直线绕点按顺时针方向旋转，其他条件不变． （i）用含有的式子表示的度数_________． （ii）如果再分别作的两个外角，的角平分线相交于点，并延长、交于点．则下列结论正确的是_________（填序号）． ①与互补；②为定值；③为定值；④与互余． 【答案】(1)1，2 (2)不变，135° (3)（i）；（ii）①③④ 【分析】（1）构建方程组即可解决问题；（2）根据角平分线的定义，三角形的内角和定理求出∠APB即可；（3）（ⅰ）根据角平分线的定义，三角形内角和定理即可解决问题；（ⅱ）结论：①③④正确．根据角平分线的定义，三角形内角和定理一一证明即可； 【详解】（1）由题意：，解得，故答案为1，2． （2）解：不变化．．理由：如图2， ∵直线直线， ∴， 即， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 在中，， ∴度数不变化，总是等于． （3） （i）由题意得∠AOB＝90°＋α，∠OAB＋∠OBA＝90°−α，∵AP平分∠BAO，BP平分∠ABO，∴∠PAB＋∠PBA＝＝45°−α，∴∠APB＝180°−（45°−α）＝135°＋α故答案为：． （ii）①∠APB与∠Q互补；正确．理由：∵AQ平分∠CAB，BQ平分∠ABD，∴∠Q＝180°−(∠QAB＋∠QBA)＝180°−[(180°−∠OAB)＋(180°−∠OBA)]＝(∠OAB＋∠OBA)＝[180°−(90°＋α)]＝45°−α，∴∠APB＋∠Q＝135°＋α＋45°−α＝180° ②∠M−∠Q为定值．错误．理由：∵∠Q＝45°−α，∴∠M＝90°−∠Q＝45°＋α，∴∠M−∠Q＝α，不是定值． ③∠APB−∠M为定值；正确．理由：同法可证：∠PAM＝90°，∴∠APB＝∠PAM＋∠M，∴∠APB−∠M＝90°为定值．④∠Q与∠M互余；正确．理由：∵BQ平分∠ABD，BM平分∠ABO，∴∠MBQ＝(∠ABD＋∠ABO)＝90°，∴∠Q＋∠M＝90°．故答案为①③④ 【点睛】本题考查三角形综合题、角平分线的定义、三角形内角和定理、二元一次方程组等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题． 20．（21-22七年级下·江苏泰州·期中）已知二元一次方程（a，b均为常数，且a≠0）． (1)当a＝3，b＝﹣4时，用x的代数式表示y； (2)若是该二元一次方程的一个解， ①探索a与b关系，并说明理由； ②无论a、b取何值，该方程有一组固定解，请求出这组解． 【答案】(1) (2)①a=b；② 【分析】（1）直接将，代入二元一次方程中解关于y的方程即可； （2）①将方程的解x，y代入原方程中整理可得； ②把代入，由取值无关可得a的系数为0，由此即可解题． 【详解】（1）解：当，时，原方程为：， ∴； （2）①关系是a =b，理由： 把代入二元一次方程得 ， ， ， ， ∴； ②由①知道， ∴原方程可化为：， ∴ ∵该方程组的解与与的取值无关，. ∴． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程的解的定义、完全平方公式的应用，“有解必代”是解题的关键． 四、题型四：一元一次不等式，10题，难度四星 21．（22-23七年级下·江苏南通·期末）已知关于x，y的方程组的解为非负数，,，且，则z的取值范围是 ． 【答案】 【分析】解方程组求出，根据解的情况得到；再根据和得到，再由变形得，得到，解题即可． 【详解】解：解关于x，y的方程组，得， 由题意，得， 则； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查二元一次方程组的解法，不等式的解法，综合性较强，能用m表示其他未知量并解关于m的不等式组是解题的关键． 22．（21-22七年级下·江苏连云港·期末）对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，即：当n为非负整数时，如n﹣≤x＜n+，则＜x＞＝n．如：＜0.48＞＝0，＜3.5＞＝4．如果＜x＞＝x，则x＝ ． 【答案】0或或． 【分析】根据的定义可得一个关于的一元一次不等式组，解不等式组、结合x为非负整数即可得． 【详解】解：由题意得：， 即， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 则不等式组的解集为， 为非负整数，即x非负数 ， ， 为非负整数， 或或， 解得或或， 故答案为：0或或． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，理解的定义是解答本题的关键． 23．（21-22七年级下·江苏泰州·期末）若，且，，设，则t的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由条件可得先求解b的取值范围，再把化为，再结合不等式的基本性质可得答案． 【详解】解： ，， ∴ 解得： 而， ∵， ∴ ∴t的取值范围是： 故答案为： 【点睛】本题考查的是不等式的性质，方程思想的应用，求解及是解本题的关键． 24．（22-23七年级下·江苏连云港·期末）【提出定义】在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这个三角形为“二倍角三角形”，例如：在中，，，则为“二倍角三角形”． (1)下列三角形一定是二倍角三角形的是（填序号）______； ①等腰三角形  ②直角三角形  ③等边三角形  ④等腰直角三角形 (2)若为二倍角三角形，，则这个三角形中最小的角为______°； (3)已知是二倍角三角形，其中是最小的角，求的最大值； (4)如图，平分的内角，交于点E，平分的外角，延长和交于点G，且，当______°时，是二倍角三角形．    【答案】(1)② (2)或40 (3)的最大值为 (4)或或或或． 【分析】（1）根据“二倍角三角形”的定义进行判断即可； （2）分两种情况求出最小的角即可； （3）设，则另外两个角为，，根据为最小的角得出，求出，即可得出答案； （4），用表示出，，分情况讨论：当时，当时，当时，当时，当时，当时，分别求出结果即可． 【详解】（1）解：等腰三角形、直角三角形中不一定有一个角是另外一个角的2倍，等边三角形的三个内角都相等，一定不存在一个角是另外一个角的2倍，因此等腰三角形、直角三角形不一定是“二倍角三角形”，等边三角形一定不是“二倍角三角形”； ∵等腰直角三角形的三个内角度数分别为，，， ∴等腰直角三角形中一定存在一个角是另外一个角的2倍，一定是“二倍角三角形”． 故答案为：②． （2）解：当为二倍角中较大的那个角，则较小的那个角为，第三个角为， ∴此时最小的角为； 当和为二倍关系的两个角时，较小的那个角为，较大的角为， ∴此时最小的角为； 综上分析可知，这个三角形中最小的角为或． 故答案为：或40． （3）解：设，则另外两个角为，，根据题意得： ， 解得：， ∴的最大值为． （4）解：设， ∵平分， ∴，， ∵平分， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，，，， ∵为二倍角三角形， ∴有以下6种情况： ①当时，则： ，解得：， ∴； ②当时，则： ，解得：， ∴； ③当时，则： ，解得：， ∴； ④当时，则： ，此方程无解； ⑤当时，则： ，解得：， ∴ ⑥当时，则： ，解得：， ∴； 综上分析可知：或或或或时，为二倍角三角形． 故答案为：或或或或． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理的应用，角平分线的有关计算，不等式的应用，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理，注意分类讨论． 25．（22-23七年级下·江苏苏州·期末）定义：关于，的二元一次方程（其中）中的常数项与未知数系数，之一互换，得到的方程叫“交换系数方程”，例如：的交换系数方程为或． (1)方程与它的“交换系数方程”组成的方程组的解为 ； (2)已知关于，的二元一次方程的系数满足，且与它的“交换系数方程”组成的方程组的解恰好是关于，的二元一次方程的一个解，求代数式的值； (3)已知整数，，满足条件，并且是关于，的二元一次方程的“交换系数方程”求的值． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）先根据定义写出方程的“交换系数方程”，联立组成方程组，解方程组即可； （2）先求出与它的“交换系数方程”组成的方程组的解，代入，得到p，m，n的关系，再代入即可求解； （3）先写出的“交换系数方程”，令的各未知数的系数与2个“交换系数方程”的对应系数相等，得到2个方程组，最后求出符合条件的m的值即可． 【详解】（1）解：由题意知，方程的“交换系数方程”为或， 方程与它的“交换系数方程”组成的方程组为： ①或②， 解方程组①，得， 解方程组②，得， 故答案为：或； （2）解：与它的“交换系数方程”组成的方程组为： ①或②， 解方程组①，得， 由，得， 因此方程组①的解为， 解方程组②，得， 由，得， 方程组②的解为， 与它的“交换系数方程”组成的方程组为， 将代入，得， ． （3）解：关于，的二元一次方程的“交换系数方程”为，或， 当与的各系数相等时， 可得方程组， 解方程组可得，与m为整数不符，不合题意； 当与的各系数相等时， 可得方程组， 解得， ∵， ∴，即 解得， ∵m为整数， ∴． 【点睛】本题考查新定义运算，二元一次方程组的解，解二元一次方程组等，计算量很大，有一定难度，正确理解“交换系数方程”的定义是解题的关键． 26．（22-23七年级下·江苏淮安·期末）阅读材料： 如果x是一个有理数，我们把不超过x的最大整数记作 例如，，，． 那么，，其中． 例如，，，． 请你解决下列问题： (1)______，______； (2)如果，那么x的取值范围是______； (3)如果，求x的值； (4)如果，其中，且，直接写出x的值． 【答案】(1)4，； (2)； (3)2； (4)或． 【分析】（1）根据表示不超过x的最大整数的定义及例子直接求解即可； （2）根据表示不超过x的最大整数的定义及例子直接求解即可； （3）由材料中“，其中”得出，解不等式，再根据为整数，即可计算出具体的值； （4）由材料中的条件可得，由，可求得的范围，根据为整数，分情况讨论即可求得x的值． 【详解】（1），． 故答案为：4，． （2）∵， ∴x的取值范围是．   故答案为：． （3）∵， ∴． 解得： ∵是整数．   ∴．   故答案为：2． （4）∵，其中， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，2． 当时，，； 当时，，； ∴或． 【点睛】本题考查了新定义下的不等式的应用，关键是理解题中的意义，列出不等式求解；最后一问要注意不要漏了情况． 27．（22-23七年级下·江苏盐城·期末）一个两位数，十位上的数字为，个位上的数字为1．将十位上的数字与个位上的数字交换，得到一个新两位数．若原两位数与新两位数的差恰好为小旭年龄的4倍，已知小旭年龄超过12岁，求小旭的年龄． 【答案】18 【分析】根据题意可以写出原两位数与新两位数，根据原两位数与新两位数的差恰好为小旭年龄的4倍，分析求得，根据小旭年龄超过12岁，判断符合题意，从而可以计算求解． 【详解】解：根据题意可得原两位数为， 将十位上的数字与个位上的数字交换，得到一个新两位数为， 故小旭年龄为， ∵年龄为整数， 故为4的倍数， 即或或或， 即或或或， 又∵十位上的数字为， ∴， ∴， ∵小旭年龄超过12岁， 即， 解得：， 与不矛盾， 当时，小旭年龄为（岁）， 故小旭年龄为岁． 【点睛】本题考查了列代数式，解一元一次不等式等，解答此类问题的关键是明确题意，列出相应的代数式． 28．（22-23七年级下·江苏南京·期末）如图，是某道路停车泊位收费公示牌．现从该收费公示牌中摘录其收费标准，并注解如下．    一 级 支 路 计 时 时段 车型 白天时段 夜间时段 连续停放6小时封顶 连续停放6小时封顶 首小时内 （分钟） 首小时后 （60分钟后） 系次日 小型车 2元/15分钟 2.5 元/15分钟 1元/小时 大型车 2.5元/15分钟 3元/15分钟 1.5元/小时 注解 1．白天时段，车辆进入停车泊位15分钟以内免费，第15分钟开始收费，以小型车为例，记小型车连续停放时间为a分钟，当时不收费，当时收费2元，当时收费4元，当时收费6元，当时收费8元，当时收费10.5元，以此类推． 2．夜间时段，不足1小时按1小时收费． 3．“连续停放6小时封顶”是指当年辆连续停放的时间超过6小时时，只收6小时的停车费． (1)夜间时段，一辆小型车在该道路停车泊位连续停放8小时，需缴费______元． (2)白天时段，一辆大型车在该道路停车泊位连续停放1小时36分钟，需缴费______元． 【综合应用】 (3)白天时段，一辆小型车在该道路停车泊位连续停放一段时间后缴费25.5元，则该车最多停放了多长时间？（用一元一次不等式解决问题） 【深入探索】 (4)已知一辆小型车与一辆大型车在该道路停车泊位都连续停放5小时，小型车在白天时段停放分钟，大型车在白天时段停放分钟，且．当小型车的停车费高于大型车的停车费时，随的变化而变化，请直接写出的范围及其相应的的范围． 【答案】(1)6 (2)19 (3)该车最多停放了165分钟 (4)①当时，；②当时，；③当时，；④当时，；⑤当时， 【分析】（1）根据表格中的信息进行解答即可； （2）根据题意列式计算即可； （3）根据题意列出不等式，解不等式即可得出答案； （4）分5种情况：①当时；②当时；③当时；④当时；⑤当时，分别求出m的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵连续停放6小时封顶， ∴夜间时段，一辆小型车在该道路停车泊位连续停放8小时，需缴费：（元）； 故答案为：6． （2）解：， 白天时段，一辆大型车在该道路停车泊位连续停放1小时36分钟，需缴费： ． 故答案为：19． （3）解：小型车连续停放分钟需要缴费（元）， ， 设小型车连续停放时间为a分钟，根据题意得： ， 解得：， 答：该车最多停放了165分钟． （4）解：∵， ∴大型车在夜间停车超过小时， ∴大型车夜间收费为（元）， ①当时，大型车停车费用为元， ∵小型车的停车费用大于大型车的停车费用， ∴此时小型在白天停车费用大于元即可， ∴； ②当时，大型车停车费用为（元）， ∵小型车的停车费用大于大型车的停车费用， ∴此时小型在白天停车费用大于元即可， ∴； ③当时，大型车停车费用为（元）， ∵小型车的停车费用大于大型车的停车费用， ∴此时小型在白天停车费用大于元即可， ∴； ④当时，大型车停车费用为（元）， ∵小型车的停车费用大于大型车的停车费用， ∴此时小型在白天停车费用大于元即可， ∴； ⑤当时，大型车停车费用为（元）， ∵小型车的停车费用大于大型车的停车费用， ∴此时小型在白天停车费用大于元即可， ∴． 综上分析可知，①当时，；②当时，；③当时，；④当时，；⑤当时， ． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意，注意进行分类讨论． 29．（22-23七年级下·江苏宿迁·期末）定义：一个各数位数字均不为零的三位自然数，它的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，将它的百位数字a与个位数字c组成一个新的两位数，如果这个新两位数N能被十位数字b整除，则把N与b的商记为，若为不超过15的整数，则称这个数M为“映文数”． 例如：，∵，∴，∴不是“映文数”． 又如：，∵，∴，∴是“映文数”． (1)填空： ①计算：______； ②下列三位数：中，“映文数”是______． (2)如果一个“映文数”M的十位数字是6，个位数字比百位数字大2，且，请求出符合题意的“映文数”M． (3)若将一个“映文数”M的个位数字与百位数字对调后得到一个新的三位数，且仍为不超过15的整数，则称这个数M为“重映文数”．如果一个“映文数”M的百位数字与个位数字之和为12，记，若为7的整数倍，请直接写出符合题意的“重映文数”M． 【答案】(1)①17；② (2) (3) 【分析】（1）①根据新定义求解即可；②依据新定义的方法判断即可； （2）设百位数字为m，则个位数字为，根据题意列出不等式求解即可； （3）设M的百位数字为n，则个位数字为，，十位数字为b，根据新定义列式计算即可． 【详解】（1）解：①， 故答案为：17； ②， ∵， ∴， ∴不是“映文数”． ， ∵， ∴， ∴不是“映文数”． ， ∵， ∴， ∴是“映文数”． 故答案为：； （2）设百位数字为m，则个位数字为， ∴数M为：， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴或， 当时，，，不符合题意； 当时，，，符合题意； ∴； （3）设M的百位数字为n，则个位数字为，，十位数字为b， ∵“映文数”M， ∴， ∴ ∵M的个位数字与百位数字对调后得到一个新的三位数，且仍为不超过15的整数， ∴， ∴， ∴， ∴，解得； ∴， ∵为7的整数倍， ∴当时，无满足题意的n的值； 当时，n取4，， ∴； 当时，无满足题意的n的值； 当时，无满足题意的n的值； 当时，无满足题意的n的值； ∴． 【点睛】题目主要考查新定义的数字规律问题及整式的加减运算，理解题意是解题关键． 30．（21-22七年级下·江苏南通·期末）在平面直角坐标系xOy中，，． (1)若，，则AB＝______； (2)若，小智同学认为AB的长度是定值，你同意他的观点吗？若同意，求出AB的长；若不同意，请说明理由； (3)在（2）的条件下，点，，线段MN上存在点P，使得的面积等于4，直接写出b的取值范围． 【答案】(1)4 (2)同意，AB=4 (3)或 【分析】（1）求出A，B两点坐标，可得结论； （2）用a表示出点B的坐标，可得结论； （3）构建不等式求解即可． 【详解】（1）解：当a=1，b=1时，A（1，2），B（1，-2）， ∴AB=2-（-2）=4， 故答案为：4； （2）小智同学的观点正确． 理由：∵a+2b=3， ∴2b=3-a， ∴B（a，2a-4）， ∵A（a，2a）， ∴AB=2a-（2a-4）=4， ∴AB的长是定值； （3）如图， 观察图象可知，0≤a≤2或-4≤a≤-2 ∵a=3-2b， ∴0≤3-2b≤2或-4≤3-2b≤-2. 解得或． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了三角形的面积，两点之间的距离等知识，解题的关键是理解题意，学会构建不等式解决问题． 8 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$