江苏期末真题精选（压轴题3大题型，解答40题）-【尖子生培优】2023-2024学年八年级数学下学期重难点压轴题突破专练（苏科版）

江苏期末真题精选（压轴题3大题型，解答40题）（原卷版） 目录 一、压轴题一：平行四边形，20题，难度五星 1 二、压轴题二：分式方程综合，5题，难度四星 11 三、压轴题三：反比例函数的数形结合及几何综合，15题，难度五星 12 一、压轴题一：平行四边形，20题，难度五星 1．（22-23八年级下·江苏连云港·期末）【问题情境】期中调研试题中的第26题对苏科版八年级下册数学教材第94页第19题第（1）题进行了探究．小明在期末复习时，对该题进行了新的探究． 【探究活动1】（1）如图，在正方形中，点、、分别在边、和上，且，垂足为．那么与相等吗？证明你的结论； 【探究活动2】（2）如图，在（1）的条件下，当M在正方形的对角线上时，连接，将沿着翻折，点落在点处． ①四边形是正方形吗？请说明理由； ②若，如图，点在上，且，直接写出的最小值为 　 ．    2．（22-23八年级下·江苏扬州·期末）如图，平面直角坐标系中，矩形的对角线，边．    (1)求C点的坐标； (2)把矩形沿直线对折使点落在点处，直线与、、的交点分别为D、F、E，求折痕的长； (3)在（2）的条件下，若点M在x轴上，平面内是否存在点N，使四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（22-23八年级下·江苏无锡·期末）在正方形中，对角线，点、在上．    (1)如图，若，求证：； (2)如图，若，，求的长； (3)如图，若，是的中点，点在边上从点开始向点运动，在此过程中设，则实数的取值范围是______ ，使为整数时点的个数为______ ． 4．（22-23八年级下·江苏盐城·期末）如图，在正方形中，点E在边上，点F在边的延长线上，且，连接交边于点N，过点D作，垂足为H，交于点M．    (1)求的度数； (2)当，时，求的长； (3)若点M是的中点，求证：． 5．（22-23八年级下·江苏泰州·期末）【模型建立】 如图1，正方形中，点E，F分别在边，上，，与相交于点P．，有什么数量关系?请说明理由．    【迁移应用】 如图2，请仅用无刻度的直尺画图（保留作图痕迹，不用证明） （1）以为边画正方形； （2）取中点E，连接： （3）在上找点G，连接，使．    【拓展提升】 如图3，正方形中，点E，F分别在边，上，将正方形沿折叠，点A，D的对应点分别为，，使得点始终落在边上，与相交于点G． （1）若，，求的长度； （2）点E，F在边，上运动时，连接，则的大小是否发生改变，若不变，求出大小，若改变，请说明理由．    6．（22-23八年级下·江苏淮安·期末）实践与探究 操作一：如图①，将矩形纸片对折并展开，折痕与对角线交于点E，连接，则与的数量关系为________． 操作二：如图②，摆放矩形纸片与矩形纸片，使B、C、G三点在一条直线上，在边上，连接，M为的中点，连接、．求证：． 拓展延伸：如图③，摆放正方形纸片与正方形纸片，使点F在边上，连接，M为的中点，连接．已知正方形纸片的边长为5，正方形纸片的边长为，求的面积．    7．（22-23八年级下·江苏淮安·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴相交于A、B两点，点C在线段上，将线段绕着点C顺时针旋转得到，此时点D恰好落在直线上，过点D作轴于点E，    (1)如图1，求证：． (2)求点D的坐标． (3)若点P在y轴上，点Q在直线上，是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 8．（22-23八年级下·江苏·期末）如图1，已知正方形，E是边上的一个动点（不与点B，C重合），连接，点B关于直线的对称点为F，连接并延长交于点G，连接． (1)求的度数； (2)如图2，连接，若，求线段的长； (3)如图3，在点E运动过程中，作的平分线交AG延长线于H，若，请直接写出线段的长． 9．（22-23八年级下·江苏宿迁·期末）问题情境：如图1，在正方形中，，点是边上一点（点不与重合），将沿直线翻折，点落在点处． (1)如图2，当点落在对角线上时，求的长． (2)如图3，连接分别交于点，点，连接并延长交于点，当为中点时，试判断与的位置关系，并说明理由．    (3)如图4，在线段上取一点，且使，连接，则在点从点运动到点的过程中，的值是否存在最小值？如果存在，请求出其值；若果不存在，请说明理由． 10．（22-23八年级下·江苏扬州·期末）如图，正方形中，，点在边上，且．将沿对折至，延长交边于点，连接、．    (1)求证：； (2)求的长； (3)求的面积； (4)在的条件下，直接写出周长的最小值． 11．（22-23八年级下·江苏镇江·期末）【问题情境】 在数学活动课上，同学们以小组为单位开展“矩形纸片的剪拼”活动，如图（1），将矩形纸片沿对角线剪开，得到和．同学们测量得，．      【操作发现】 （1）①快乐小组将这两张三角形纸片按图（2）摆放，连接，发现与的关系为______； ②快乐小组将图（2）中纸片沿射线的方向平移，连接，，在平移的过程中，如图（3），当与平行时，发现四边形的形状是______； （2）超越小组将图（1）中的以点为旋转中心，按顺时针方向旋转， ①当，得到如图（4）所示的，过点作的平行线，与的延长线交于点，直接写出四边形的形状是______； ②当点在同一条直线上时，得到如图（5）所示的，连接，取的中点，连接并延长至点，使，连接、，得到四边形，请判断四边形的形状，并证明你的结论； 【实践探究】 （3）如图（6），创新小组在图（5）的基础上，进行如下操作：将沿着射线的方向向左平移，使点与点重合，与相交于点，直接写出______． 12．（22-23八年级下·江苏扬州·期末）如图1所示，有公共顶点的两个正方形和正方形，，，将正方形绕点在平面内任意旋转．    (1)发现： ①线段之间的数量关系是______； ②直线之间的位置关系是______； (2)①如图2，连接、、，分别取三条线段的中点、、，判断的形状并说明理由； ②当时，求出面积的取值范围； (3)设点、到点的距离分别为、，直接写出的最小值．    13．（22-23八年级下·江苏泰州·期末）数学研究课上，老师带领大家探究《折纸中的数学问题》时，出示如图所示的长方形纸条，其中，．然后在纸条上任意画一条线段，将纸片沿折叠，与交于点，得到．如图所示：   【基础回顾】 (1)在图中，若，；（直接写出答案） 【操作探究】 (2)改变折痕位置，始终是______三角形，请说明理由； (3)爱动脑筋的小明在研究的面积时，发现边上的高始终是个不变的值．根据这一发现，他很快研究出的面积最小值为，此时的大小可以为______； 【拓展延伸】 (4)小明继续动手操作进行折纸，发现了面积存在最大值，请你求出这个最大值． 14．（22-23八年级下·江苏南京·期末）数学课上老师让学生们折矩形纸片．由于折痕所在的直线不同，折出的图形也不同，所以各个图形中所隐含的“基本图形”也不同．我们可以通过发现基本图形，来研究这些图形中的几何问题．    问题解决： （1）如图1，将矩形纸片沿直线折叠，使得点与点重合，点落在点的位置，连接，线段交于点，则： ①与的关系为 ，线段与线段的关系为 ，小强量得，则 ． ②小丽说：“图1中的四边形是菱形”，请你帮她证明． 拓展延伸： （2）如图2，矩形纸片中，，小明将矩形纸片沿直线折叠，点落在点的位置，交于点，请你直接写出线段的长： ． 综合探究： （3）如图3，是一张矩形纸片，，在矩形的边上取一点（不与和点重合），在边上取一点（不与和点重合），将纸片沿折叠，使线段与线段交于点，得到，请你确定面积的取值范围 ． 15．（22-23八年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，，，．动点P在射线上，将线段绕点C逆时针旋转得到线段，连接．    (1)面积的最小值为________； (2)当点P在的延长线上时，在图②中画出相应的图形，并证明：； (3)当为等腰三角形时，求的长． 16．（22-23八年级下·江苏扬州·期末）在正方形中，，E、F分别是、边上的动点，以、为边作平行四边形．    (1)如图1，连接，交于点O，若． ①试说明与的关系； ②线段最小值是__________； (2)如图2，若四边形为菱形，判断线段与之间的数量关系，并说明理由． 17．（22-23八年级下·江苏淮安·期末）思考与探究 【性质探究】 (1)如图 1，将绕点A逆时针旋转得到， ①则与的位置关系为___________； ②如图2，连接，若点为的中点，连接，请探究线段与的关系，并说明理由；    【拓展应用】 (2)如图 3，已知点是正方形的边上任意一点，以为边作正方形，连接，点为的中点，连接．若，则的长为________．    18．（22-23八年级下·江苏徐州·期末）如图，已知四边形为正方形，，点E为平面内一动点（不与点D重合），连接，以为边作正方形，连接．    (1)如图1，当点E在对角线上移动时： ①求证：； ②探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由； ③求证：点F在直线上． (2)如图2，连接，则的最小值等于_______． 19．（22-23八年级下·江苏泰州·期末）如图，已知菱形的边长为，，点、分别是边、上的两个动点，，连接．      (1)是等边三角形吗？如是，请证明；如不是，请说明理由． (2)在、运动的过程中，的面积存在最大值吗？如存在，请求出该最大值；如不存在，请说明理由． 20．（22-23八年级下·江苏无锡·期末）在平面直角坐标系中，已知矩形，点，现将矩形绕点O逆时针旋转（）得到矩形，点B、C、D的对应点分别为点E、F、G．      (1)如图1，当点E落在边上时，求直线的函数表达式； (2)如图2，当C、E、F三点在一直线上时，所在直线与分别交于点H、M，求线段的长度； (3)如图3，设点P为边的中点，连接，在矩形旋转过程中，点B到直线的距离是否存在最大值？若存在，请直接写出这个最大值；若不存在，请说明理由． 二、压轴题二：分式方程综合，5题，难度四星 21．（21-22八年级上·福建福州·期末）我们知道，整式，分式，二次根式等都是代数式，代数式是用基本运算符号连接起来的式子，而当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似这样的形式，我们称形如这种形式的式子称为根分式，例如，都是根分式． (1)请根据以上信息，写出根分式中的取值范围：______； (2)已知两个根分式与． ①是否存在的值使得，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由； ②当是一个整数时，求无理数的值． 22．（22-23八年级上·广东惠州·期末）阅读材料：对于非零实数a，b，若关于x的分式的值为零，则解得．又因为，所以关于x的方程的解为． (1)理解应用：方程的解为：　　，　　； (2)知识迁移：若关于x的方程的解为，求的值； (3)拓展提升：若关于x的方程的解为，求的值． 23．（22-23八年级上·辽宁大连·期末） 两港之间的距离为千米． (1)若从港口到 港口为顺流航行，且轮船在静水中的速度比水流速度快千米时， 顺流所用时间比逆流少用小时，求水流的速度； (2)若轮船在静水中的速度为千米时，水流速度为千米时，该船从 港顺流航行到 港，再从 港逆流航行返回到 港所用的时间为；若轮船从港航行到 港再返回到 港 均为静水航行，且所用时间为，请比较与的大小，并说明理由． 24．（22-23八年级下·河北保定·期末）本学期初二年级举办了篮球比赛，为了让参赛的运动员更好地训练，体育组计划购买甲，乙两种品牌的篮球，已知甲品牌篮球的单价比乙品牌篮球的单价低40元，且用4800元购买甲品牌篮球的数量是用4000元购买乙品牌篮球数量的倍． (1)求甲、乙两种品牌篮球的单价． (2)若学校计划购买甲、乙两种品牌的篮球共90个，且乙品牌篮球的数量不小于甲品牌篮球数量的2倍，购买两种品牌篮球的总费用不超过17200元．则该校共有几种购买方案？ (3)在（2）条件下，专卖店准备对乙种品牌的篮球进行优惠，每个乙种篮球优惠元，甲种篮球价格不变，那么学校采用哪一种购买方案可使总费用最低？ 25．（22-23八年级下·上海长宁·阶段练习）某厂家接到定制5400套防护服任务，可以选择甲、乙两条流水线中的一条承担此任务，已知乙流水线每天比甲流水线多加工90套防护服，甲流水线加工这批防护服所花的时间比乙流水线多10天，且甲、乙两条流水线每天的生产成本分别为0.6万元与0.8万元，问厂家选择哪条流水线可使生产成本较小？为什么？ 三、压轴题三：反比例函数的数形结合及几何综合，15题，难度五星 26．（22-23八年级下·江苏·期末）如图，已知线段，，，现将线段沿y轴方向向下平移得到线段．直线过M、N两点，且M、N两点恰好也落在双曲线的一条分支上， (1)求反比例函数和一次函数的解析式． (2)①直接写出不等式的解集． ②若点P是y轴上一点，且的面积为，请直接写出点P的坐标． (3)若点，在双曲线上，试比较和的大小． 27．（22-23八年级下·江苏常州·期末）在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意点，我们把点称为点A的“倒数点”． (1)写出平面直角坐标系中第一象限内“倒数点”是本身的点的坐标________________________； (2)点P是反比例函数（x＞0）图象上的一点，求出点P的“倒数点”Q满足的函数表达式； (3)如图，矩形的顶点C为，顶点E在y轴上，函数的图象与交于点A．若点B是点A的“倒数点”，且点B在矩形的一边上，求的面积．      28．（22-23八年级下·江苏泰州·期末）如图，点为反比例函数的图像上一点，且点的横坐标为，过点作轴、轴的平行线，分别交反比例函数的图像于、，过点作轴的平行线，交反比例函数的图像于，连接．    (1)当时，求线段的长； (2)若； ①若，求的值； ②求的值； (3)当的值一定时，四边形的面积是否随的变化而变化？若不变，请用含的代数式表示四边形的面积；若变化，请说明理由． 29．（22-23八年级下·江苏南京·期末）如何通过代数推理证明反比例函数图像的性质？ 代数推理指从一定条件出发，依据代数的定义、公式、运算法则、等式的性质、不等式的性质等证明已知结果或结论．我们不妨来试试． (1)性质：反比例函数的图像是中心对称图形，对称中心是原点． 证明：在函数上任取一点， 则点A关于原点对称的点B为（_____，______）， ∵______________________， ∴点B也在反比例函数的图像上 ∵点A是反比例函数上的任意一点，它关于原点对称的点都在反比例函数的图像上 ∴反比例函数的图像是中心对称图形，对称中心是原点 (2)性质：反比例函数的图像关于直线对称，关于直线对称． 运用代数推理进行证明 (3)证明：对于反比例函数，当时，y随x的增大而减小． 30．（22-23八年级下·江苏无锡·期末）解决数学问题是一个不断思考，不断发现，不断归纳的过程．如图，在平面直角坐标系中，点A、C在反比例函数的图像上，连接，满足，过点A分别作x轴、y轴的平行线，过点C分别作x轴、y轴的平行线，交点组成四边形，直线交x轴于点F，作射线OD，交于点E．    (1)①四边形的形状是 ； ②点B是否在射线上？试说明理由； (2)求证：； (3)若，过点E作y轴的平行线l，在l上存在点Q，使原点O关于直线的对称点O′ 恰好在四边形的对角线所在直线上，请直接写出满足条件的点Q的坐标． 31．（22-23八年级下·江苏无锡·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A，与x轴交于点B，与y轴交于点C，轴于点D，，，点C关于直线的对称点为点E．    (1)点E是否在这个反比例函数的图象上？请说明理由； (2)连接、，若四边形为正方形． ①求k、b的值； ②若点P在y轴上，当最大时，求点P的坐标． 32．（22-23八年级下·江苏镇江·期末）定义：如图1，在平面直角坐标系中，点是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点分别作轴、轴的垂线，若由点、原点、两个垂足为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点是平面直角坐标系中的“美好点”．      【尝试初探】 （1）点______“美好点”（填“是”或“不是”）；若点是第一象限内的一个“美好点”，则______； 【深入探究】 （2）①若“美好点”在双曲线（，且为常数）上，则______； ②在①的条件下，在双曲线上，求的值； 【拓展延伸】 （3）我们可以从函数的角度研究“美好点”，已知点是第一象限内的“美好点”． ①求关于的函数表达式； ②在图2的平面直角坐标系中画出函数图像的草图，观察图像可知该图像可由函数______（）的图像平移得到； ③结合图像研究性质，下列结论正确的选项是______；（多项选择，全部选对的得2分，部分选对的得1分，有选错的不得分） A．图象与经过点且平行于坐标轴的直线没有交点； B．随着的增大而减小； C．随着的增大而增大； D．图像经过点； ④对于图像上任意一点，代数式是否为定值？如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由． 33．（22-23八年级下·江苏淮安·期末）如图，一次函数的图像与反比例函数在第一象限的图像交于和两点，与x轴交于点C，    (1)求反比例函数的关系式； (2)根据图像，当时x的取值范围为：______； (3)若点P在x轴上，且，求点P的坐标； (4)若点P在y轴上，Q在双曲线上，当以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出Q点的坐标：______． 34．（22-23八年级下·江苏淮安·期末）如图1，在平面直角坐标系中，反比例函数（k为常数，且，）的图像经过点两点． (1)m与n的数量关系是(   ) A．    B．    C．    D． (2)如图2，若点A绕x轴上的点P顺时针旋转，恰好与点B重合． ①求点P的坐标及反比例函数的表达式； ②连接、，则的面积为_____； (3)若点M在反比例函数的图像上，点N在y轴上，在（2）的条件下，是否存在以A、B、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 35．（22-23八年级下·江苏扬州·期末）如图，点P是y轴正半轴上的一个动点，过点P作y轴的垂线，与反比例函数的图象交于点A．把直线l上方的反比例函数图象沿着直线l翻折，其它部分保持不变，所形成的新图象称为“的l镜像”．    (1)当时； ①点________“的l镜像”；（填“在”或“不在”） ②“的l镜像”与x轴交点坐标是_________； (2)过y轴上的点作y轴垂线，与“的l镜像”交于点B、C，若，求的长． 36．（22-23八年级下·江苏淮安·期末）定义：有一组对边平行，有一个内角是它对角的两倍的凸四边形叫做倍角梯形． 如图1，直线，点、在直线上，点、在直线上，若， 则四边形是倍角梯形．    (1)如图2，点是的边上一点，，，．若四边形是倍角梯形，则的长是___________； (2)如图3，以的顶点为坐标原点，边所在直线为轴，对角线所在直线为轴，建立平面直角坐标系．点是边上一点，满足．求证：四边形是倍角梯形； (3)在（2）的条件下，当，时，将四边形向左平移个单位后，恰有两个顶点落在反比例函数的图像上，直接写出的值． 37．（22-23八年级下·江苏无锡·期末）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于，两点．    (1)求反比例函数和一次函数的关系式； (2)设直线交轴于点，点，分别在反比例函数和一次函数图象上，若四边形是平行四边形，求点的坐标． 38．（22-23八年级下·江苏扬州·期末）如图所示，直线的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数交于的C，且B为线段的中点，向上平移直线与反比例函数的图像相交于点D，点E为x轴负半轴上一点，四边形为平行四边形．    (1)若，则点C的坐标为_______，反比例函数的表达式为_______； (2)在（1）的条件下，求平移后的直线的函数表达式； (3)当平行四边形的面积等于30时，求的值． 39．（22-23八年级下·江苏苏州·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于B，与x轴交于A，与y轴交于C．    (1)若点． ①求一次函数和反比例函数的解析式； ②在y轴上取一点P，当的面积为5时，求点P的坐标； (2)过点B作轴于点D，点E为中点，线段交y轴于点F，连接．若的面积为11，求k的值． 40．（22-23八年级下·江苏泰州·期末）如图，反比例函数图像与一次函数图像相交于A，B两点，A点坐标为，点C是反比例函数图像上一点（不与点B重合，且点C在点B的左侧），点C的横坐标为m．    (1)______，______，点B的坐标为（______，______）； (2)若，连接AC，BC，求的面积； (3)连接，与x轴相交于点E，连接．求证：． (4)在（3）的条件下，点D是反比例函数图像上另外一点（不与点B重合，且点D在点B的右侧），连接，若，求的度数．（直接写出答案） 8 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 江苏期末真题精选（压轴题3大题型，解答40题）（解析版） 目录 一、压轴题一：平行四边形，20题，难度五星 1 二、压轴题二：分式方程综合，5题，难度四星 56 三、压轴题三：反比例函数的数形结合及几何综合，15题，难度五星 62 一、压轴题一：平行四边形，20题，难度五星 1．（22-23八年级下·江苏连云港·期末）【问题情境】期中调研试题中的第26题对苏科版八年级下册数学教材第94页第19题第（1）题进行了探究．小明在期末复习时，对该题进行了新的探究． 【探究活动1】（1）如图，在正方形中，点、、分别在边、和上，且，垂足为．那么与相等吗？证明你的结论； 【探究活动2】（2）如图，在（1）的条件下，当M在正方形的对角线上时，连接，将沿着翻折，点落在点处． ①四边形是正方形吗？请说明理由； ②若，如图，点在上，且，直接写出的最小值为 　 ．    【答案】（1）相等，理由见解析（2）①是，理由见解析；② 【分析】（1）过点作，交于点，交于点，证明，由此可得； （2）①连接，证明，所以，，由折叠可知：，，由四边形内角和和平角的定义可得，，所以，则，所以四边形为菱形，再由“有一个角是直角的菱形是正方形”可得结论； ②作交的延长线于点，作交于点，可证，由此可得，易证为等腰直角三角形，所以，则，可得，；作点关于的对称点，则，可得，求出的值即可得出结论． 【详解】解：（1）相等，理由如下： 如图，过点作，交于点，交于点，    ， ， 四边形是正方形， ，， ，， 四边形为平行四边形， ， ， ， ． 在和中， ， ， ， 又， ． （2）①是，理由如下： 连接．    由（1）的结论可知：． 四边形是正方形， ， 在和中， ， ， ，， 由折叠可知：，． ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形为菱形， 又， 四边形为正方形． ②作交的延长线于点，作交于点．    ， ， ，， ， ，． ，， 为等腰直角三角形， ， ． ， ，， 作点关于的对称点，则，， ． 作交的延长线于点，易证， ， 的最小值，即的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理的应用等，熟练掌握正方形的性质和等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 2．（22-23八年级下·江苏扬州·期末）如图，平面直角坐标系中，矩形的对角线，边．    (1)求C点的坐标； (2)把矩形沿直线对折使点落在点处，直线与、、的交点分别为D、F、E，求折痕的长； (3)在（2）的条件下，若点M在x轴上，平面内是否存在点N，使四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】（1）由四边形为矩形，得到为直角，在直角三角形中，利用勾股定理求出的长，即可确定出的坐标； （2）连接，如图1所示，由折叠的性质设，由表示出，在直角三角形中，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解得到的值，确定出的长，由中心对称性质得到为中点，在直角三角形中，利用勾股定理求出的长，即可求出的长； （3）在（2）的条件下，若点在轴上，平面内存在点，使四边形是菱形，如图2所示，分两种情况考虑：当与在直线右边时；当与在直线左边时，分别利用菱形的四条边相等求出的坐标即可． 【详解】（1）解：四边形为矩形， ， 在中，，， 根据勾股定理得：， 则； （2）解：连接，如图1所示，    由折叠的性质设，则， 在中，，，， 根据勾股定理得：，即， 解得：， ，， 由中心对称性质得到关于对称，即， 在中，由勾股定理得：， 则； （3）解：在（2）的条件下，若点在轴上，平面内存在点，使四边形是菱形， 如图2所示，分两种情况考虑： 当为菱形的一边时， ①当与在直线右边时， 四边形是菱形，， ， ，即，； ②当与在直线左边时， 同理得到， ，此时； 综上，使四边形是菱形时的坐标为或．    【点睛】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：折叠的性质，坐标与图形性质，勾股定理，矩形的性质，菱形的性质，利用了分类讨论的思想，熟练掌握性质是解本题的关键． 3．（22-23八年级下·江苏无锡·期末）在正方形中，对角线，点、在上．    (1)如图，若，求证：； (2)如图，若，，求的长； (3)如图，若，是的中点，点在边上从点开始向点运动，在此过程中设，则实数的取值范围是______ ，使为整数时点的个数为______ ． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，8个 【分析】（1）由“”可证，可得； （2）由“”可证，可得，，由“”可证，可得，由勾股定理可求解； （3）当点，点，点共线时，有最小值，当点与点重合时，有最大值，由勾股定理可求解． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ； （2）解：如图，过点作，且，连接，， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ， ， ， ； （3）解：延长至，使，连接，取的中点，连接，，，交于点， ， 在和中， ， ， ，， ， 是的中点，点是的中点， ， 是的垂直平分线， ， ， 此时：有最小值为的长， ， 当点与点重合时，有最大值， ，点是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为整数， 为8，9，10，11，12， 点从点到点时，的值逐渐变小，点从点到点逐渐变大， 使为整数时点的个数8个， 故答案为：，8个． 【点睛】本题考查了四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 4．（22-23八年级下·江苏盐城·期末）如图，在正方形中，点E在边上，点F在边的延长线上，且，连接交边于点N，过点D作，垂足为H，交于点M．    (1)求的度数； (2)当，时，求的长； (3)若点M是的中点，求证：． 【答案】(1) (2)3 (3)见解析 【分析】（1）证明，得出，，求出，根据等腰三角形的性质得出； （2）证明，得出，根据，，由求出结果即可； （3）设，，则，，，得出，求出，得出，，根据勾股定理得出，求出，得出，即可证明结论． 【详解】（1）解：如图，连接， 在正方形中，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵为等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 在和中． ， ∴， ∴， ∵，， ∴； （3）证明：∵M是的中点， ∴， 设，，则，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图，连接， ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴．    【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，垂直平分线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定，证明，． 5．（22-23八年级下·江苏泰州·期末）【模型建立】 如图1，正方形中，点E，F分别在边，上，，与相交于点P．，有什么数量关系?请说明理由．    【迁移应用】 如图2，请仅用无刻度的直尺画图（保留作图痕迹，不用证明） （1）以为边画正方形； （2）取中点E，连接： （3）在上找点G，连接，使．    【拓展提升】 如图3，正方形中，点E，F分别在边，上，将正方形沿折叠，点A，D的对应点分别为，，使得点始终落在边上，与相交于点G． （1）若，，求的长度； （2）点E，F在边，上运动时，连接，则的大小是否发生改变，若不变，求出大小，若改变，请说明理由．    【答案】模型建立：；理由见解析； 【分析】模型建立：根据正方形的性质，证明，得出即可； 迁移应用：（1）根据网格特点画正方形即可； （2）连接交于点E，连接即可； （3）取的中点G，连接即可； 拓展提升：（1）过点F作于点H，证明，得出，设，则，根据勾股定理得：，求出，即，得出，即可得出； （2）证明，得出，，证明，得出，证明，得出，，证明，得出， 证明，根据，即可求出结果． 【详解】解：模型建立：；理由如下： ∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴；    迁移应用： （1）如图：四边形即为所求作的正方形； （2）如图：即为所求； （3）如图：即为所求；    ∵四边形为正方形， ∴，， ∵点E、分别为，的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴； 拓展提升： （1）过点F作于点H，如图所示：    根据折叠可知，与A关于对称， ∴，， 根据“模型建立”可知，， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，则， 根据勾股定理得：， 解得：， ∴， ∴， ∴； （2）的大小不变；； 延长，并截取，过点A作于点M，如图所示：    ∵四边形为正方形， ∴， ∴， 根据折叠可知，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，熟练掌握三角形全等的判定方法． 6．（22-23八年级下·江苏淮安·期末）实践与探究 操作一：如图①，将矩形纸片对折并展开，折痕与对角线交于点E，连接，则与的数量关系为________． 操作二：如图②，摆放矩形纸片与矩形纸片，使B、C、G三点在一条直线上，在边上，连接，M为的中点，连接、．求证：． 拓展延伸：如图③，摆放正方形纸片与正方形纸片，使点F在边上，连接，M为的中点，连接．已知正方形纸片的边长为5，正方形纸片的边长为，求的面积．    【答案】；见解析； 【分析】操作一：由折叠可知，，则可得，即可得出结论； 操作二：延长与交于点N，通过证明，推导出； 拓展延伸：连接，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半推导出是等腰直角三角形，求出即可求出面积． 【详解】操作一：解：由折叠可知，， 是中点，， 是的中点， ， ， ， 故答案为：； 操作二：证明：延长与交于点N，    四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ，， 是中点， ， ， ， ， ， ； 拓展延伸：解：连接，    ， ， 点在上， ， 在中，M是的中点， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 在中，， ， 的面积为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的综合应用，熟练掌握正方形性质、三角形全等的判定与性质，直角三角形性质是解题关键． 7．（22-23八年级下·江苏淮安·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴相交于A、B两点，点C在线段上，将线段绕着点C顺时针旋转得到，此时点D恰好落在直线上，过点D作轴于点E，    (1)如图1，求证：． (2)求点D的坐标． (3)若点P在y轴上，点Q在直线上，是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)点Q的坐标为或或 【分析】（1）根据可证明； （2）先求出，根据可得，设，则点D的坐标为，再由点D在直线上，可得，即可求解； （3）分两种情况讨论：当为平行四边形的边时，当为平行四边形的对角线时，分别求解即可． 【详解】（1）证明：∵将线段绕着点C顺时针旋转得到，轴， ， ，， ， 在与中， ， ； （2）解：令，；令，， 此时， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则点D的坐标为， ∵点D在直线上， ∴， ∴， ∴点D的坐标为； （3）解：存在，设点Q的坐标为． 由（2）知， ∵点C在线段上， ∴点C的坐标为， 分两种情况考虑，如图所示：      ①当为边时， ∵点C的坐标为，点D的坐标为，点P的横坐标为0， ∴或， ∴或， ∴点Q的坐标为，点的坐标为； ②当为对角线时， ∵点C的坐标为，点D的坐标为，点P的横坐标为0， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 综上所述：存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标为或或． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，一次函数图象上点的坐标的特征、三角形全等的判定与性质，平行四边形的性质等知识，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 8．（22-23八年级下·江苏·期末）如图1，已知正方形，E是边上的一个动点（不与点B，C重合），连接，点B关于直线的对称点为F，连接并延长交于点G，连接． (1)求的度数； (2)如图2，连接，若，求线段的长； (3)如图3，在点E运动过程中，作的平分线交AG延长线于H，若，请直接写出线段的长． 【答案】(1)45° (2)1 (3) 【分析】（1）根据正方形的性质和对称可以得到，从而得到结论； （2）由平行可得，即，设，利用勾股定理可以列出方程，解题即可； （3）过点H作于点M，根据面积可以得到，然后推导，得到解题即可． 【详解】（1）解∵四边形是正方形，点B关于对称， ∴，， ∵. ∴, ∴, ∴ （2）解：如图2中， ∵， ∴， ∵, ∴. ∴. ∴.. 设则， ∵， 即， 解得：； ∴；， （3）解：过点H作于点M， 则， ∴， 由对称性质可知：， 又∵平分， ∴， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵ ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质、对称性质、正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 9．（22-23八年级下·江苏宿迁·期末）问题情境：如图1，在正方形中，，点是边上一点（点不与重合），将沿直线翻折，点落在点处． (1)如图2，当点落在对角线上时，求的长． (2)如图3，连接分别交于点，点，连接并延长交于点，当为中点时，试判断与的位置关系，并说明理由．    (3)如图4，在线段上取一点，且使，连接，则在点从点运动到点的过程中，的值是否存在最小值？如果存在，请求出其值；若果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析． (3) 【分析】（1）可证得为等腰直角三角形，，结合，可得． （2）连接，交于点，可知，根据三角形的中位线定理，即可求得与的位置关系． （3）在线段上取一点，使，连接，，可证得，则，观察图形可知，当点，，在同一条直线上时，最小，最小值为． 【详解】（1）根据折叠的性质可知，， ∴． ∵， ∴为等腰直角三角形． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． （2），理由如下： 如图所示，连接，交于点．    根据题意可知为线段的垂直平分线， ∴． ∵为中点， ∴，即． （3）如图所示，在线段上取一点，使，连接，．    在和中， ∴． ∴． ∴． 观察图形可知，当点，，在同一条直线上时，最小，最小值为． ∴． 【点睛】本题主要考查图形折叠的性质、全等三角形的判定及性质、勾股定理、等腰三角形的判定及性质、三角形的中位线定理，能根据题意作出辅助线是解题的关键． 10．（22-23八年级下·江苏扬州·期末）如图，正方形中，，点在边上，且．将沿对折至，延长交边于点，连接、．    (1)求证：； (2)求的长； (3)求的面积； (4)在的条件下，直接写出周长的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)3 (3) (4) 【分析】（1）由正方形的性质可得，，根据对折的性质可得，从而证明，根据“”即可证明； （2）先求出，进而得到，设，则，根据得到，根据勾股定理求出，从而得到，即可求解； （3）由（2）得，从而得到，最后求出的面积，根据，进行计算即可得到答案； （4）根据可得周长，再根据当点三点共线时，最小，根据勾股定理求出，再由，即可得到答案． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，， 沿对折至， ， ， ， ， ； （2）解：， ，， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， 解得：， ， 的长为3； （3）解：由（2）可得：， ， ， ，即， ； （4）解：沿对折至， ， ， 的周长， 当最小时，的周长最小， 如图，当点三点共线时，最小，         ， 根据勾股定理得：， ， 的周长最小值为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质，熟练掌握正方形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，是解题的关键． 11．（22-23八年级下·江苏镇江·期末）【问题情境】 在数学活动课上，同学们以小组为单位开展“矩形纸片的剪拼”活动，如图（1），将矩形纸片沿对角线剪开，得到和．同学们测量得，．      【操作发现】 （1）①快乐小组将这两张三角形纸片按图（2）摆放，连接，发现与的关系为______； ②快乐小组将图（2）中纸片沿射线的方向平移，连接，，在平移的过程中，如图（3），当与平行时，发现四边形的形状是______； （2）超越小组将图（1）中的以点为旋转中心，按顺时针方向旋转， ①当，得到如图（4）所示的，过点作的平行线，与的延长线交于点，直接写出四边形的形状是______； ②当点在同一条直线上时，得到如图（5）所示的，连接，取的中点，连接并延长至点，使，连接、，得到四边形，请判断四边形的形状，并证明你的结论； 【实践探究】 （3）如图（6），创新小组在图（5）的基础上，进行如下操作：将沿着射线的方向向左平移，使点与点重合，与相交于点，直接写出______． 【答案】（1）①垂直，②矩形；（2）①菱形，②正方形，理由见解析；（3） 【分析】（1）①根据题意可得，从而得到将沿折叠，与完全重合，即可得到与的关系；②根据矩形的判定进行证明即可得到答案； （2）①根据菱形的判定进行证明即可得到答案；②根据正方形的判定进行证明即可得到答案； （3）由勾股定理得出的长，由求出的长，再由勾股定理求出的长，最后由面积公式进行计算即可． 【详解】解：（1）①根据题意可得：， 将沿折叠，与完全重合， ， 与的关系为：垂直， 故答案为：垂直； ②由题意得：，，， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， 故答案为：矩形； （2）①由题意得：， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， 故答案为：菱形； ②四边形是正方形， 理由如下： 根据题意得：，，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， 四边形是正方形； （3）由（2）可得：， 根据题意得：， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定、勾股定理、三角形的等面积法等知识，熟练掌握平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定，是解题的关键． 12．（22-23八年级下·江苏扬州·期末）如图1所示，有公共顶点的两个正方形和正方形，，，将正方形绕点在平面内任意旋转．    (1)发现： ①线段之间的数量关系是______； ②直线之间的位置关系是______； (2)①如图2，连接、、，分别取三条线段的中点、、，判断的形状并说明理由； ②当时，求出面积的取值范围； (3)设点、到点的距离分别为、，直接写出的最小值．    【答案】(1)①相等；②垂直 (2)①是等腰直角三角形，理由见解析；② (3) 【分析】（1）①根据正方形的性质，得出，，再根据角之间的数量关系，得出，再根据“边角边”，得出，再根据全等三角形的性质，即可得出答案；②设和交于点，和交于点，根据①得出，再根据全等三角形的性质，得出，再根据对顶角相等，得出，再根据三角形的内角和定理，得出，再根据垂线的定义，即可得出答案； （2）①连接，根据题意，得出是的中位线，是的中位线，再根据中位线的性质，得出，再根据（1）得出，然后根据等量代换，得出，进而即可得出答案；②根据三角形的三边关系，得出，即，再根据不等式的性质，得出，再根据等量代换，得出，再根据不等式的性质，得出，再根据三角形的面积，即可得出答案； （3）根据题意，得出相当于是固定的等腰直角三角形，点在以点为圆心，以为半径的圆上运动，延长至，使，连接，作等腰直角三角形，使，，再根据“边角边”，得出，再根据全等三角形的性质，得出，再根据三角形的三边关系，即可得出答案． 【详解】（1）解：①∵四边形和四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：相等 ②如图，    设和交于点，和交于点， 由①可知：， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：垂直 （2）解：①是等腰直角三角形，理由如下： 如图，连接，    ∵的中点分别为， ∴是的中位线，是的中位线， ∴， 由（1）可知：， ∴， ∴是等腰直角三角形； ②在中， ∵，，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 由①可知：， ∴， ∴， 由①可知：是等腰直角三角形， ∴， ∴； （3）解：如图，      由题意得：相当于是固定的等腰直角三角形，点在以点为圆心，以为半径的圆上运动， 延长至，使，连接，作等腰直角三角形，使，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、中位线的判定与性质、三角形的三边关系，解本题的关键在正确作出辅助线，构造全等三角形． 13．（22-23八年级下·江苏泰州·期末）数学研究课上，老师带领大家探究《折纸中的数学问题》时，出示如图所示的长方形纸条，其中，．然后在纸条上任意画一条线段，将纸片沿折叠，与交于点，得到．如图所示：   【基础回顾】 (1)在图中，若，；（直接写出答案） 【操作探究】 (2)改变折痕位置，始终是______三角形，请说明理由； (3)爱动脑筋的小明在研究的面积时，发现边上的高始终是个不变的值．根据这一发现，他很快研究出的面积最小值为，此时的大小可以为______； 【拓展延伸】 (4)小明继续动手操作进行折纸，发现了面积存在最大值，请你求出这个最大值． 【答案】(1)； (2)等腰  ，理由见解析； (3)或； (4)． 【分析】（1）根据矩形的性质和折叠的性质求出的度数，再根据平角求出的度数，最后根据平行线的性质即可求解； （2）利用翻折变换的性质以及两直线平行内错角相等得出； （3）利用当的面积最小值为时，，则可证明，，从而即可求出； （4）分情况一：将矩形纸片对折，使点与重合，此时点也与重合； 情况二：将矩形纸片沿对角线对折，此时折痕即为两种情况讨论求解． 【详解】（1）如图，        由折叠性质可知，， ∴， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， 故答案为：； （2）等 腰，理由： ∵四边形是矩形， ∴， ∴． ∵将纸片沿折叠， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （3）如图2，当的面积最小值为 时，，      ∴， ∵，， ∴ 同理： 故答案为：或； （4）分两种情况：情况一：如图，将矩形纸片对折，使点与重合，此时点也与重合，设，则，      由勾股定理得， 解得． ∴， ∴． 情况二：如图4，将矩形纸片沿对角线对折，此时折痕即为，设，则，        同理可得：， ∵， ∴． 综上：的面积最大值为． 【点睛】此题考查了翻折变换(折叠问题)，矩形的性质，勾股定理，三角形的面积计算，解题的关键是注意分类思想的运用． 14．（22-23八年级下·江苏南京·期末）数学课上老师让学生们折矩形纸片．由于折痕所在的直线不同，折出的图形也不同，所以各个图形中所隐含的“基本图形”也不同．我们可以通过发现基本图形，来研究这些图形中的几何问题．    问题解决： （1）如图1，将矩形纸片沿直线折叠，使得点与点重合，点落在点的位置，连接，线段交于点，则： ①与的关系为 ，线段与线段的关系为 ，小强量得，则 ． ②小丽说：“图1中的四边形是菱形”，请你帮她证明． 拓展延伸： （2）如图2，矩形纸片中，，小明将矩形纸片沿直线折叠，点落在点的位置，交于点，请你直接写出线段的长： ． 综合探究： （3）如图3，是一张矩形纸片，，在矩形的边上取一点（不与和点重合），在边上取一点（不与和点重合），将纸片沿折叠，使线段与线段交于点，得到，请你确定面积的取值范围 ． 【答案】（1），线段与线段互相垂直平分，；证明见解析；（2）；（3） 【分析】（1）利用翻折变换的性质以及全等三角形的性质解决问题即可； （2）由矩形和折叠的性质证明，设，在中，利用勾股定理构建方程求解即可； （3）分别求出的面积的最大值与最小值即可解决问题． 【详解】解：（1）①∵矩形纸片沿直线折叠，使得点与点重合，点落在点的位置， ， ， 垂直平分线段， ， ， ， ， ， ， 线段与线段互相垂直平分， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， 故答案为：，线段与线段互相垂直平分，； ②证明过程如下： ∵矩形纸片沿直线折叠，使得点与点重合，点落在点的位置， ， ， 垂直平分线段， ， ， ， ， ， ， 线段与线段互相垂直平分， ， ， 四边形是菱形； （2）四边形是矩形， ，， 由折叠的性质可得：， ， ， ， ， 设， 在中，， ， 解得：， ， ， 故答案为：； （3）如图，当点与点重合时，的面积最大，于，则，   ， 由题意得：， 设，则， 由勾股定理得：， 解得：， 由（1）知，， ， 的最大值为1.3， 假设点与重合时，此时最小，为， 的面积的最小值为， 在边上取一点不与和点重合， 故答案为：． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定与性质，是解题的关键． 15．（22-23八年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，，，．动点P在射线上，将线段绕点C逆时针旋转得到线段，连接．    (1)面积的最小值为________； (2)当点P在的延长线上时，在图②中画出相应的图形，并证明：； (3)当为等腰三角形时，求的长． 【答案】(1)2 (2)见解析 (3)4或8 【分析】（1）根据将线段绕点逆时针旋转得到线段，可得，，知，故当最小时，最小，此时，即可得到答案； （2）点在的延长线上时，根据题意画出图形，连接，证明，可得，，即可得，，故； （3）以为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，连接，设，则，，由，，知，有，，，分三种情况：①若，则，②若，则，③若，则，分别解方程即可． 【详解】（1）解：如图：    将线段绕点逆时针旋转得到线段， ，， ， 当最小时，最小，此时， ，，， ， ， 故答案为：2； （2）点在的延长线上时，画出图形如下：    连接， 将线段绕点逆时针旋转得到线段， ，， ， ，即， ， ， ，， ，， ， ， ， ； （3）以为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，连接，如图：    设，则，， 由（2）知，， ， ， ，，， ①若，则， 解得， ； ②若，则， 方程无解，这种情况不存在； ③若，则， 解得（此时，重合，舍去）或； ； 综合所述，的长是4或8． 【点睛】本题考查几何变换综合应用，涉及三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形性质及应用等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题． 16．（22-23八年级下·江苏扬州·期末）在正方形中，，E、F分别是、边上的动点，以、为边作平行四边形．    (1)如图1，连接，交于点O，若． ①试说明与的关系； ②线段最小值是__________； (2)如图2，若四边形为菱形，判断线段与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①且，理由见解析；② (2) 【分析】（1）①根据正方形的性质，得出，再判断和全等，再根据平行四边形的性质即可解答； ②由平行四边形的性质可得，设，则，由勾股定理可得，可得的最小值，然后求得的最小值即可解答； （2）设，再根据点E为中点菱形的性质，再通过勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：①：且，理由如下： ∵四边形为正方形， ∴， 在和中，， ， ∴， ∵， ∴，即， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴且． ②解：∵平行四边形， ∴， 设， ∵， ，则， ∴，即， ∴的最小值为18，的最小值为， ∴的最小值为． 故答案为：． （2）解：设，， ∵， ，则， ∵四边形为菱形， ∴， 由勾股定理可得：，即，解得 ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质、菱形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握全等三角形的判定、平行四边形是解题关键． 17．（22-23八年级下·江苏淮安·期末）思考与探究 【性质探究】 (1)如图 1，将绕点A逆时针旋转得到， ①则与的位置关系为___________； ②如图2，连接，若点为的中点，连接，请探究线段与的关系，并说明理由；    【拓展应用】 (2)如图 3，已知点是正方形的边上任意一点，以为边作正方形，连接，点为的中点，连接．若，则的长为________．    【答案】(1)①；②，，理由见解析 (2) 【分析】（1）①由旋转的性质即可解答；②延长至点，使，连接，证明，由全等三角形的判定与性质得出，由三角形的中位线定理得出即可解答； （2）连接，，证明，由可以由绕点A逆时针旋转得到，然后由勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：①将绕点逆时针旋转得到， ．故答案为：． ②，，理由如下： 如图2：延长至点，使，连接，    将绕点A逆时针旋转得到， ，，， ， ， ， ， 可以由绕点逆时针旋转得到， 由（1）可知， ，F为的中点， ，， ，． （2）解：如图，连接，，    四边形，为正方形， ，，， ， ， 可以由绕点A逆时针旋转得到， ， ，， 由（1）中②可知， ， 故答案为． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定定理和性质等知识点，正确添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题是解题的关键． 18．（22-23八年级下·江苏徐州·期末）如图，已知四边形为正方形，，点E为平面内一动点（不与点D重合），连接，以为边作正方形，连接．    (1)如图1，当点E在对角线上移动时： ①求证：； ②探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由； ③求证：点F在直线上． (2)如图2，连接，则的最小值等于_______． 【答案】(1)①证明见解析；②的值为定值，；③证明见解析 (2) 【分析】（1）①根据正方形的性质，利用证明；②根据可得，进而可得；③过点E分别做，，垂足分别为点P、点Q，通过证明，推出，结合，可证点F在直线． （2）连接，，同（1）①可证，推出，进而可得． 【详解】（1）①证明：∵四边形、四边形均为正方形， ∴，，． ∴， 即， ∴； ②的值为定值． ∵， ∴． ∴． ∵正方形中，， ∴， ∴； ③如图，过点E分别做，，垂足分别为点P、点Q．    ，，平分， ∴，， 又， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， 即． 在和中， ， ∴， ∴． ∴， 又∵， ∴点F在直线． （2）解：如图，连接，，    ∵四边形、四边形均为正方形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴当E，F在线段时，取最小值，最小值为的长，即最小值为． 【点睛】本题考查正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，线段的最值问题等，解题的关键是正确作出辅助线，熟练运用等量代换思想． 19．（22-23八年级下·江苏泰州·期末）如图，已知菱形的边长为，，点、分别是边、上的两个动点，，连接．      (1)是等边三角形吗？如是，请证明；如不是，请说明理由． (2)在、运动的过程中，的面积存在最大值吗？如存在，请求出该最大值；如不存在，请说明理由． 【答案】(1)是，见解析； (2)存在，最大值为． 【分析】（1）连接，证明，推出 可得结论； （2）利用全等三角形的性质得到四边形的面积，推出的面积最小时，的面积最大，由是等边三角形，根据垂线段最短可知，时，的值最小，的面积最小． 【详解】（1）是，理由如下： 如图，连接，      ∵四边形是菱形， ∴，， ∴，都是等边三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）的面积存在最大值，理由如下： 由（1）得：， ∴， ∴， ∴ ， ∴不发生变化，      则的面积最小时，的面积最大， ∵是等边三角形，根据垂线段最短可知，时，的值最小，的面积最小, ∴， 由（1）得：是等边三角形，则有：， 在中，由勾股定理得：， ∴， 同理：， 在中，由勾股定理得： ∴，即：的面积最小值为， ∴的面积的最大值， 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 20．（22-23八年级下·江苏无锡·期末）在平面直角坐标系中，已知矩形，点，现将矩形绕点O逆时针旋转（）得到矩形，点B、C、D的对应点分别为点E、F、G．      (1)如图1，当点E落在边上时，求直线的函数表达式； (2)如图2，当C、E、F三点在一直线上时，所在直线与分别交于点H、M，求线段的长度； (3)如图3，设点P为边的中点，连接，在矩形旋转过程中，点B到直线的距离是否存在最大值？若存在，请直接写出这个最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）由矩形，点，得，，，可得，即知，，设的函数表达式为，求出，代入可得，故的函数表达式为； （2）过点作于，连接、，证明，可得，又，有，可得，设，由勾股定理有；解得，即，从而可得； （3）当在的左侧且时，到直线的距离最大，设于的交点为，求出，由面积法得，故点到直线的距离最大值是． 【详解】（1）解：矩形，点， ，，， 矩形是由矩形旋转得到， ，， 在中，， ， ，， 直线表达式为， 设的函数表达式为， 由，得， ， 解得， 的函数表达式为； （2）解：如图，过点作于，连接、，   矩形是由矩形旋转得到， ，， ， ， 四边形是矩形， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， 设， 在中，， ； 解得， ， ， ， ； （3）解：在矩形旋转过程中，点到直线的距离存在最大值，这个最大值是，理由如下： 当在的左侧且时，到直线的距离最大，设于的交点为，如图：   为的中点， ， ， ， ， ， ， ， 点到直线的距离最大值是． 【点睛】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，全等三角形的判定与性质，旋转问题等，解题的关键是掌握旋转的性质． 二、压轴题二：分式方程综合，5题，难度四星 21．（21-22八年级上·福建福州·期末）我们知道，整式，分式，二次根式等都是代数式，代数式是用基本运算符号连接起来的式子，而当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似这样的形式，我们称形如这种形式的式子称为根分式，例如，都是根分式． (1)请根据以上信息，写出根分式中的取值范围：______； (2)已知两个根分式与． ①是否存在的值使得，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由； ②当是一个整数时，求无理数的值． 【答案】(1)且 (2)①不存在，理由见解析；② 【分析】（1）根据平方根的被开方数不能为负数、分母不能为，代数式才有意义即可得答案； （2）①根据已知列出方程，解方程即得答案； 计算，变形为，是一个整数，则的值为或，解出方程取无理数且即可． 【详解】（1）由且可得：且， 故答案为：且； （2）不存在，理由如下： 由得， 解得， 经检验，是原方程的增根， 原方程无解， 不存在； ， 是一个整数， 是整数， 或， 解得或x=1或或， 为无理数，且， ． 【点睛】本题考查根分式有意义的条件，无理方程及根分式的值，解题的关键是掌握无理方程需检验，是整数，则或． 22．（22-23八年级上·广东惠州·期末）阅读材料：对于非零实数a，b，若关于x的分式的值为零，则解得．又因为，所以关于x的方程的解为． (1)理解应用：方程的解为：　　，　　； (2)知识迁移：若关于x的方程的解为，求的值； (3)拓展提升：若关于x的方程的解为，求的值． 【答案】(1)5， (2) (3) 【分析】（1）根据题意可得或； （2）由题意可得，再由完全平方公式可得； （3）方程变形为，则方程的解为或，则有，整理得，再将所求代数式化为，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵的解为， ∴的解为或， 故答案为：5，； （2）∵方程， ∴， ∴； （3）方程可化为， 设，方程变形为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∴， ∴， ． 【点睛】本题考查了分式方程的解，理解题意，灵活求分式方程的解，并结合完全平方公式对代数式求值是解题的关键． 23．（22-23八年级上·辽宁大连·期末） 两港之间的距离为千米． (1)若从港口到 港口为顺流航行，且轮船在静水中的速度比水流速度快千米时， 顺流所用时间比逆流少用小时，求水流的速度； (2)若轮船在静水中的速度为千米时，水流速度为千米时，该船从 港顺流航行到 港，再从 港逆流航行返回到 港所用的时间为；若轮船从港航行到 港再返回到 港 均为静水航行，且所用时间为，请比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)水流的速度为千米/时 (2)，理由见解析 【分析】（1）设水流的速度为千米/时，则轮船在静水中的速度为千米时，利用时间差列出分式方程，解方程即可求解． （2）根据题意，分别表示出与，根据分式的减法计算，即可求解． 【详解】（1）解：设水流的速度为千米/时，则轮船在静水中的速度为千米时，根据题意得， ， 解得：， 经检验，是原方程的解， 答：水流的速度为千米/时； （2）解：依题意， ∵，， ∴ 即． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，分式减法的应用，根据题意列出方程与代数式是解题的关键． 24．（22-23八年级下·河北保定·期末）本学期初二年级举办了篮球比赛，为了让参赛的运动员更好地训练，体育组计划购买甲，乙两种品牌的篮球，已知甲品牌篮球的单价比乙品牌篮球的单价低40元，且用4800元购买甲品牌篮球的数量是用4000元购买乙品牌篮球数量的倍． (1)求甲、乙两种品牌篮球的单价． (2)若学校计划购买甲、乙两种品牌的篮球共90个，且乙品牌篮球的数量不小于甲品牌篮球数量的2倍，购买两种品牌篮球的总费用不超过17200元．则该校共有几种购买方案？ (3)在（2）条件下，专卖店准备对乙种品牌的篮球进行优惠，每个乙种篮球优惠元，甲种篮球价格不变，那么学校采用哪一种购买方案可使总费用最低？ 【答案】(1)甲、乙两种品牌篮球的单价分别为：160元，200元； (2)该校共有11种购买方案； (3)见解析 【分析】（1）设甲品牌篮球的单价为x元，则乙品牌篮球的单价为元，根据用4800元购买甲品牌篮球的数量是用4000元购买乙品牌篮球的数量的倍列方程即可得到答案； （2）根据总费用不超过17200元及乙品牌篮球的数量不小于甲品牌篮球数量的2倍列不等式组求解即可得到答案； （3）设总利润为W，根据总利润等于两种篮球的利润之和列式整理，然后根据一次函数的增减性分情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：设甲品牌篮球的单价为x元，则乙品牌篮球的单价为元，由题意可得， ， 解得：， 经检验是原方程的解， 则， 答：甲、乙两种品牌篮球的单价分别为：160元，200元； （2）解：设购买甲品牌篮球m个，则购买乙品牌篮球个， 由题意可得，且m为整数， 解得：，且m为整数， ∴该校共有11种购买方案； （3）解：设总利润为W， 则， ①当时，，W随m的增大而增大， 所以，当时，W有最小值，， 即此时应购进甲品牌篮球20个，购进乙品牌篮球70个； ②当时，，，（2）中所有方案获利都一样；； ③当时，，W随m的增大而减小， 所以，当时，W有最小值，； 即此时应购进甲品牌篮球30个，购进乙品牌篮球60个． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系，（3）要根据一次项系数的情况分情况讨论． 25．（22-23八年级下·上海长宁·阶段练习）某厂家接到定制5400套防护服任务，可以选择甲、乙两条流水线中的一条承担此任务，已知乙流水线每天比甲流水线多加工90套防护服，甲流水线加工这批防护服所花的时间比乙流水线多10天，且甲、乙两条流水线每天的生产成本分别为0.6万元与0.8万元，问厂家选择哪条流水线可使生产成本较小？为什么？ 【答案】乙流水线成本较小，因为甲流水线成本18万元，乙流水线成本16万元 【分析】设甲流水线每天加工x套防护服，则乙流水线每天加工套防护服，再根据“甲流水线加工这批防护服所花的时间比乙流水线多10天”求得甲、乙每天的生产量，再分别求出甲、乙的生产成本，最后比较即可解答． 【详解】解：设甲流水线每天加工x套防护服，则乙流水线每天加工套防护服， 则，解得：或 经检验：是分式方程的根，且符合题意；不符合题意舍去， 则乙流水线每天加工270套防护服 所以甲需要天，乙需要天， 所以甲、乙两条流水线每天的生产成本分别为18万元和16万元． 所以乙流水线成本较小． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，审清题意、找准等量关系、列出分式方程是解答本题的关键． 三、压轴题三：反比例函数的数形结合及几何综合，15题，难度五星 26．（22-23八年级下·江苏·期末）如图，已知线段，，，现将线段沿y轴方向向下平移得到线段．直线过M、N两点，且M、N两点恰好也落在双曲线的一条分支上， (1)求反比例函数和一次函数的解析式． (2)①直接写出不等式的解集． ②若点P是y轴上一点，且的面积为，请直接写出点P的坐标． (3)若点，在双曲线上，试比较和的大小． 【答案】(1)y，y； (2)①或；②或； (3)当或时，；当时，． 【分析】（1）设线段沿y轴方向向下平移t个单位得到线段，则点M、N的坐标分别为、，将点M、N的坐标代入，得：，解得，再将点M、N的坐标代入一次函数表达式，利用待定系数法即可求解； （2）①观察函数图象，结合点M、N的坐标，即可求解； ②设直线MN与y轴的交点为C，先求出，再根据，求出的长，即可得到点P的坐标； （3）将点C、D的坐标分别代入反比例函数表达式得：，，则，根据a的取值分情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：设线段沿y轴方向向下平移t个单位得到线段， 点M、N的坐标分别为、， 将点M、N的坐标代入得：， 解得：， 点M、N的坐标分别为、， ， 反比例函数表达式为：y， 将点M、N的坐标代入一次函数表达式，得， 解得：， 一次函数表达式为：y； （2）解：①观察函数图象可知，一次函数图象在反比例函数图象上方或相交的部分即为不等式解集， 不等式的解集为或； ②设直线与y轴的交点为C， 令，则， 如图，当点P在点C上方时，, 的面积为8.5， 解得， ； 如图，当点在点C下方时，同理可得，， ， 综上可知，点P的坐标为或；    （3）解：将点，分别代入反比例函数， 得：，， 则， 当时，即或时，； 当时，即时，． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的图象上点的坐标特征，反比例函数与一次函数的性质等知识点，体现了方程思想，综合性较强，利用数形结合思想解决问题是解题关键． 27．（22-23八年级下·江苏常州·期末）在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意点，我们把点称为点A的“倒数点”． (1)写出平面直角坐标系中第一象限内“倒数点”是本身的点的坐标________________________； (2)点P是反比例函数（x＞0）图象上的一点，求出点P的“倒数点”Q满足的函数表达式； (3)如图，矩形的顶点C为，顶点E在y轴上，函数的图象与交于点A．若点B是点A的“倒数点”，且点B在矩形的一边上，求的面积．      【答案】(1) (2) (3)2或 【分析】（1）利用“倒数点”的概念，可得，，即可解答； （2）设点，故可求得点的坐标，即可得到点Q满足的函数表达式； （3）分类讨论，即：①点在上时；②点在上时，利用矩形的性质，分别求出点的坐标，再分别求出的面积即可． 【详解】（1）解：由题意可得，， 解得， 在第一象限， ， 同理可得， 故平面直角坐标系中第一象限内“倒数点”是本身的点的坐标为， 故答案为：； （2）解：设点， 根据题意可得点， 观察可得， 故点在反比例函数上，且， 点P的“倒数点”Q满足的函数表达式为； （3）解：设且， 根据题意可得， 观察可得， 结合（2）可得点在反比例函数上， 故点不能在和上， ①当点在上时， 四边形是矩形， ， 点B与点A的纵坐标相同，可得， 解得， 经检验，是原方程的解， 此时， ； ②当点在上时， 四边形是矩形， ， 可得的横坐标为4，可得， 解得， 经检验，是原方程的解， 此时， ， 综上所述，的面积为2或． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上的坐标特征，新定义的阅读能力，三角形面积的求法，坐标与图形、矩形的性质，分式方程的应用，理解题意是解题的关键． 28．（22-23八年级下·江苏泰州·期末）如图，点为反比例函数的图像上一点，且点的横坐标为，过点作轴、轴的平行线，分别交反比例函数的图像于、，过点作轴的平行线，交反比例函数的图像于，连接．    (1)当时，求线段的长； (2)若； ①若，求的值； ②求的值； (3)当的值一定时，四边形的面积是否随的变化而变化？若不变，请用含的代数式表示四边形的面积；若变化，请说明理由． 【答案】(1) (2)①，② (3)不变， 【分析】（1）先求出点坐标，根据题意，求出点的坐标，即可得解； （2）①设则：，得到，根据，进行求解即可；②分别表示出点的坐标，求出的长，即可得出的值； （3）利用四边形的面积等于，进行求解判断即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵轴，轴，点在的图象上，点在的图象上， ∴， ∴； （2）①设 ∵， ∴， ∵点在的图象上，点在的图象上， ∴， ∵， ∴， ∴； ②∵在的图象上， ∴ 由题意得：，，，， ∴，， ∴； （3）不变； 由（2）②知：，，， ∴，， ∴四边形的面积等于 ． 【点睛】本题考查反比例函数的综合应用．熟练掌握反比例函数上的点的特征，以及平行于坐标轴的直线上的点的特征，是解题的关键． 29．（22-23八年级下·江苏南京·期末）如何通过代数推理证明反比例函数图像的性质？ 代数推理指从一定条件出发，依据代数的定义、公式、运算法则、等式的性质、不等式的性质等证明已知结果或结论．我们不妨来试试． (1)性质：反比例函数的图像是中心对称图形，对称中心是原点． 证明：在函数上任取一点， 则点A关于原点对称的点B为（_____，______）， ∵______________________， ∴点B也在反比例函数的图像上 ∵点A是反比例函数上的任意一点，它关于原点对称的点都在反比例函数的图像上 ∴反比例函数的图像是中心对称图形，对称中心是原点 (2)性质：反比例函数的图像关于直线对称，关于直线对称． 运用代数推理进行证明 (3)证明：对于反比例函数，当时，y随x的增大而减小． 【答案】(1)，（言之有理即可） (2)见解析 (3)见解析 【分析】 （1）依据证明过程补全条件即可； （2）根据坐标中点的对称性及反比例函数的对称性及性质进行证明即可； （2）根据反比例函数性质进行证明即可； 【详解】（1）性质：反比例函数的图像是中心对称图形，对称中心是原点． 证明：在函数上任取一点， 则点A关于原点对称的点B为， ∵ ∴点B也在反比例函数的图像上 ∵点A是反比例函数上的任意一点，它关于原点对称的点都在反比例函数的图像上 ∴反比例函数的图像是中心对称图形，对称中心是原点， 故答案为：，； （2）证明：在任取一点， 则点A关于直线对称的点B为， ∵， ∴点B也在反比例函数的图像上， ∵点A是反比例函数上的任意一点，它关于直线对称的点都在反比例函数的图像上， ∴反比例函数的图像关于直线对称； 在上任取一点， 则点A关于直线对称的点C为， ∵， ∴点C也在反比例函数的图像上， ∵点A是反比例函数上的任意一点，它关于直线对称的点都在反比例函数的图像上， ∴反比例函数的图像关于直线对称． （3）在上任取两点 当时，随的增大而减小 【点睛】本题考查反比例函数的性质，以及如何求其对称轴和对称中心，并类比反比例函数探究其函数增减变化的性质．难度较大． 30．（22-23八年级下·江苏无锡·期末）解决数学问题是一个不断思考，不断发现，不断归纳的过程．如图，在平面直角坐标系中，点A、C在反比例函数的图像上，连接，满足，过点A分别作x轴、y轴的平行线，过点C分别作x轴、y轴的平行线，交点组成四边形，直线交x轴于点F，作射线OD，交于点E．    (1)①四边形的形状是 ； ②点B是否在射线上？试说明理由； (2)求证：； (3)若，过点E作y轴的平行线l，在l上存在点Q，使原点O关于直线的对称点O′ 恰好在四边形的对角线所在直线上，请直接写出满足条件的点Q的坐标． 【答案】(1)①矩形；②点B在射线上，理由见解析 (2)见解析 (3)点Q的坐标为：或 【分析】（1）①先证四边形 是平行四边形，可得轴可求 ，可得结论； ②先求解析式，再将点坐标代入，即可求解； （2）由矩形的性质可证 ，由等腰三角形的性质可得，即可求解； （3）先求出点 的坐标，分两种情况讨论，求出的解析式，将点的横坐标代入可求解． 【详解】（1）①如图，延长至， ∵过点分别作轴、轴的平行线，过点分别作轴、轴的平行线， ∴四边形是平行四边形， ∴ 轴， ∴， ∴四边形是矩形， 故答案为：矩形；    ②点在射线上，理由如下： 设点，点 ， ∴点 ，点， ∴直线的表达式为：， 当 时， ， ∴点在射线上； （2）证明：∵四边形是矩形， 即 ； （3）如图，过点 作 于 ，延长 交 于 ，设直线l交 交于点 ， E是中点 ∵原点关于直线的对称点恰好在四边形的对角线所在直线上，， ∴点与点重合或点在线段的延长线上 当点与点重合时 ∵点与点关于直线对称 ∴垂直平分 设 与 交于点 ∴点 ∴直线 的解析式为 当时， 当点 在 的延长线上时 ∵ 点 与点 关于直线 对称 同理可求：直线 的解析式为 当 时， ∴点 综上所述：点 的坐标为 或 ．    【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法，矩形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 31．（22-23八年级下·江苏无锡·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A，与x轴交于点B，与y轴交于点C，轴于点D，，，点C关于直线的对称点为点E．    (1)点E是否在这个反比例函数的图象上？请说明理由； (2)连接、，若四边形为正方形． ①求k、b的值； ②若点P在y轴上，当最大时，求点P的坐标． 【答案】(1)在，理由见解析 (2)①；② 【分析】（1）设点A的坐标为，根据轴对称的性质得到，平分，如图，连接交于H，得到，求得，于是得到点E在这个反比例函数的图象上； （2）①根据正方形的性质得到，垂直平分，求得，设点A的坐标为，得到（负值舍去），求得，，把，代入得，解方程组即可得到结论； ②延长交y轴于P，根据已知条件得到点B与点D关于y轴对称，求得，则点P即为符合条件的点，求得直线DE的解析式为，于是得到结论． 【详解】（1）解：（1）点E在这个反比例函数的图象上， 理由：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A， ∴设点A的坐标为， ∵点C关于直线的对称点为点E， ∴，平分， 如图．连接交于H， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵轴于D， ∴轴， ∴， ∵， ∴点E在这个反比例函数的图象上；      （2）（2）①∵四边形ACDE为正方形， ∴，垂直平分， ∴， 设点A的坐标为， ∴，， ∴， ∴（负值舍去）， ∴，， 把，代入得， ∴； ②延长交y轴于P， ∵，， ∴点B与点D关于y轴对称， ∴， 则点P即为符合条件的点， 由①知，，， ∴，， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴． 故当最大时，点P的坐标为．    【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，正方形的性质，轴对称的性质，待定系数法求一次函数的解析式，正确地作出辅助线是解题的关键． 32．（22-23八年级下·江苏镇江·期末）定义：如图1，在平面直角坐标系中，点是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点分别作轴、轴的垂线，若由点、原点、两个垂足为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点是平面直角坐标系中的“美好点”．      【尝试初探】 （1）点______“美好点”（填“是”或“不是”）；若点是第一象限内的一个“美好点”，则______； 【深入探究】 （2）①若“美好点”在双曲线（，且为常数）上，则______； ②在①的条件下，在双曲线上，求的值； 【拓展延伸】 （3）我们可以从函数的角度研究“美好点”，已知点是第一象限内的“美好点”． ①求关于的函数表达式； ②在图2的平面直角坐标系中画出函数图像的草图，观察图像可知该图像可由函数______（）的图像平移得到； ③结合图像研究性质，下列结论正确的选项是______；（多项选择，全部选对的得2分，部分选对的得1分，有选错的不得分） A．图象与经过点且平行于坐标轴的直线没有交点； B．随着的增大而减小； C．随着的增大而增大； D．图像经过点； ④对于图像上任意一点，代数式是否为定值？如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由． 【答案】（1）不是，4；（2）①18；②；（3）①（）；②图见解析，；③AB；④是为定值，定值为 【分析】（1）直接根据“美好点”的定义可以判断点是不是“美好点”，根据“美好点”的定义得到，进行计算即可得到的值； （2）①根据“美好点”的定义求出的值，得到的坐标，将点代入反比例函数解析式，进行计算即可得到答案；②先由①得出点的坐标，再用待定系数法求出直线的解析式，令直线与轴交于点，当时，求出点的坐标，最后根据进行计算即可； （3）①根据“美好点”的定义可得，化简整理即可得到答案；②描点连线即可得到图象，由图象观察可知，该图像可由平移得到；③先画出草图，再根据图象逐一判断即可得到答案；④将代入进行计算即可得到答案． 【详解】解：（1）， 点不是“美好点”， 点是第一象限内的一个“美好点”， ， 解得：， 故答案为：不是，4； （2）①是“美好点”， ， 解得：， ， 将代入双曲线， 得， 故答案为：18； ②在双曲线上， ， ， 设直线的解析式为：， ， 解得， 直线的解析式为：， 令直线与轴交于点， 当时，， 解得：， ， 画出图如图所示：    ； （3）①点是第一象限内的“美好点”， ， 化简得：， 第一象限内的点的横坐标为正， ， 解得：， 关于的函数表达式为：（）； ②画出草图如图所示：    该图像可由向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到， 故答案为：； ③由图象可得： A.图象与经过点且平行于坐标轴的直线没有交点，故A正确，符合题意； B.由图象可知随着的增大而减小，故B正确，符合题意； C.随着的增大而增大，该选项说法错误，不符合题意； D.当时，，所以图像经过点，故该选项说法错误，不符合题意 故选：AB； ④， ， 对于图像上任意一点，代数式是为定值，定值为． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、反比例函数的图象与性质，熟练掌握矩形的性质、反比例函数的图象与性质，理解“美好点”的定义，是解题的关键． 33．（22-23八年级下·江苏淮安·期末）如图，一次函数的图像与反比例函数在第一象限的图像交于和两点，与x轴交于点C，    (1)求反比例函数的关系式； (2)根据图像，当时x的取值范围为：______； (3)若点P在x轴上，且，求点P的坐标； (4)若点P在y轴上，Q在双曲线上，当以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出Q点的坐标：______． 【答案】(1) (2)或 (3)或 (4)或 【分析】（1）先把点代入中求出a得到，然后把A点坐标代入中求出k，即可得到反比例函数的表达式； （2）根据图象得出取值范围即可； （3）连接，，设直线与x轴交于点C，由，又，得，设，则，所以，求解即可． （4）分三种情况：当时，当时，当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：把点代入，得， ∴， 把代入反比例函数， ∴； ∴反比例函数的表达式为； （2）解：把代入，得， ∴ 由（1）知，， 根据图象可知，当时，或， ∴当时，x的取值范围为或； （3）解：连接，，设直线与x轴交于点C，如图，    ∵， 又∵， ∴ 设，则， ∴ 解得：或， ∴或． （4）解：设， 当时，如图，    ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去） ∴，此时与点A重合，不是平行四边形，故舍去； 当时，连接交于D，如图，    ∵ ∴点D是与的中点， ∴ 解得：， ∴， 当时，过Q作于N，过点B作于D，过点A作于S，如图，    ∵ ∴， ∴ ∵ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∵ ∴ 解得：，（不符合题意，舍去） ∴ 综上，当以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时， Q点的坐标为或． 【点睛】本题考查用待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象性质，一次函数与反比例函数交点问题，直线与坐标围成的三角形面积问题，平行四边形的性质，此题属反比例一次函数、几何图形综合题目，综合性较强，熟练掌握反比例函数图象性质、一次函数图象性质，平行四边形性质是解题的关键． 34．（22-23八年级下·江苏淮安·期末）如图1，在平面直角坐标系中，反比例函数（k为常数，且，）的图像经过点两点． (1)m与n的数量关系是(   ) A．    B．    C．    D． (2)如图2，若点A绕x轴上的点P顺时针旋转，恰好与点B重合． ①求点P的坐标及反比例函数的表达式； ②连接、，则的面积为_____； (3)若点M在反比例函数的图像上，点N在y轴上，在（2）的条件下，是否存在以A、B、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)B (2)①，反比例函数的表达式为，②8 (3)存在，或 【分析】（1）把分别代入得：，即可解答； （2）①过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，证明，得出，，，，根据， ， 即可求出m和n的值，进而得到点P坐标，用待定系数法可求出反比例函数的表达式； ②设所在直线函数表达式为，直线交x轴于点C， 求出所在直线函数表达式为，再求出，则，最后根据即可求解； （3）根据M在反比例函数的图像上，点N在y轴上，设，根据平行四边形的性质和中点坐标公式，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：把分别代入得：， ∴，整理得：， 故选：B． （2）解：①过点A作轴于点C，过点B作轴于点D， ∴， ∴， ∵点A绕x轴上的点P顺时针旋转90°，恰好与点B重合 ∴，， ∴， ∴， ∵在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴，，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵反比例函数的表达式为过， ∴， ∴反比例函数的表达式为； ②设所在直线函数表达式为，直线交x轴于点C， 将代入得： ，解得：， ∴所在直线函数表达式为， 把代入得， 解得：， ∴，则， ∴， 故答案为：8． （3）解：∵M在反比例函数的图象上，点N在y轴上， ∴设， ∵以A、B、M、N为顶点的四边形为平行四边形， ∴以A、B、M、N为顶点的四边形对角线互相平分， ①当为对角线时， ，解得：， ∴； ②当为对角线时， ，解得：， ∴； ∵， ∴不符合题意，舍去 ③当为对角线时， ，解得：， ∴ 综上：存在，或． 【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，割补法求面积，平行四边形的存在性问题，解决本题的关键在于各知识的综合应用，熟练掌握反比例函数的图象和性质，平行四边形的性质． 35．（22-23八年级下·江苏扬州·期末）如图，点P是y轴正半轴上的一个动点，过点P作y轴的垂线，与反比例函数的图象交于点A．把直线l上方的反比例函数图象沿着直线l翻折，其它部分保持不变，所形成的新图象称为“的l镜像”．    (1)当时； ①点________“的l镜像”；（填“在”或“不在”） ②“的l镜像”与x轴交点坐标是_________； (2)过y轴上的点作y轴垂线，与“的l镜像”交于点B、C，若，求的长． 【答案】(1)①在；② (2)的长为或 【分析】（1）①根据函数“的镜像”定义知：反比函数图象沿着直线翻折前后部分关于直线对称，当时，反比例函数值，则点关于直线对称点为，得出点在“的镜像”；②“ 的镜像”与轴交点纵坐标是0，根据直线对称点在反比例函数图象上纵坐标应为时，“的镜像”与轴交点坐标是． （2）由过轴上的点作轴垂线，与“的镜像”交于点、知：点，纵坐标，点，，故，点坐标为，点关于直线对称点坐标为，．当点，位置交换时，． 【详解】（1）解：①由反比例函数知：当时，． 且过点作轴的垂线． 关于直线对称点坐标为． 由“的镜像”定义得：点在“的镜像”上． 故答案为：在． ② “的镜像”与轴相交点纵坐标为0． 关于直线对称点在反比例函数上点纵坐标为6． 时，． “的镜像”与轴交点坐标是． 故答案为：． （2）解：如图，①过轴上的点作轴垂线，与“的镜像”交于点、．    点，纵坐标为． 点在反比例函数图象上． 点坐标． ． ． ． 点坐标为． 当时，反比例函数的值． 点与点关于直线对称． 由“的镜像”定义得：． 的长为． ②当点，位置交换时，同理得的长为． 的长为或． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，轴对称的性质，分类讨论、数形结合是解题的关键． 36．（22-23八年级下·江苏淮安·期末）定义：有一组对边平行，有一个内角是它对角的两倍的凸四边形叫做倍角梯形． 如图1，直线，点、在直线上，点、在直线上，若， 则四边形是倍角梯形．    (1)如图2，点是的边上一点，，，．若四边形是倍角梯形，则的长是___________； (2)如图3，以的顶点为坐标原点，边所在直线为轴，对角线所在直线为轴，建立平面直角坐标系．点是边上一点，满足．求证：四边形是倍角梯形； (3)在（2）的条件下，当，时，将四边形向左平移个单位后，恰有两个顶点落在反比例函数的图像上，直接写出的值． 【答案】(1)5 (2)见解析 (3)或 【分析】（1）根据倍角梯形的定义可得出，进而可得出，由等角对等边可得出，结合即可求出的长，； （2）由平行四边形的性质可得出，，进而可得出，根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得出，再结合倍角梯形的定义即可证出四边形是倍角梯形； （3）由平行四边形的性质结合，可得出点，，的坐标；四边形向左平移个单位后，用含的代数式表示出平移后点，，的坐标，分点，落在反比例函数图象上及点，落在反比例函数图象上两种情况考虑，根据反比例函数图象上点的坐标特征：横坐标纵坐标，可得出关于的一元一次方程，求出的值，再利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出的值即可． 【详解】（1）解：点是的边上一点，，，，四边形是倍角梯形， ， ， ， ， ， 故答案为：5； （2）证明：四边形为平行四边形， ，， ， ， 又， 四边形是倍角梯形； （3）解：在（2）的条件下，，， ，点的横坐标，点的横坐标， 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为；四边形向左平移个单位后，点的坐标变为，点的坐标变为，点的坐标变为， 情况一：当四边形向左平移个单位后，点，落在反比例函数的图象上时，， 解得：， ； 情况二：当四边形向左平移个单位后，点，落在反比例函数的图象上时，， 解得：， ， 综上所述：的值为为或． 【点睛】本题考查了直角三角形、等腰三角形的性质、三角形外角的性质、平行四边形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征以及解一元一次方程，熟练运用知识点、数形结合是解题的关键． 37．（22-23八年级下·江苏无锡·期末）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于，两点．    (1)求反比例函数和一次函数的关系式； (2)设直线交轴于点，点，分别在反比例函数和一次函数图象上，若四边形是平行四边形，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）把代入可得，即得反比例函数关系式为，从而，将，代入即可得一次函数的关系式为； （2）在中得，设,，而，由、中点重合列方程组可以得解． 【详解】（1）解：把代入得：， ． 反比例函数关系式为． 把代入得：， ， ， 解得， 一次函数的关系式为． 反比例函数关系式为，一次函数的关系式为； （2）解：在中，令得． ． 设,,而，四边形是平行四边形， 、的中点重合． ，解得或， 或． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及待定系数法求函数解析式、平行四边形的性质、坐标与图形、解方程等知识，解题时需要熟练掌握并灵活运用． 38．（22-23八年级下·江苏扬州·期末）如图所示，直线的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数交于的C，且B为线段的中点，向上平移直线与反比例函数的图像相交于点D，点E为x轴负半轴上一点，四边形为平行四边形．    (1)若，则点C的坐标为_______，反比例函数的表达式为_______； (2)在（1）的条件下，求平移后的直线的函数表达式； (3)当平行四边形的面积等于30时，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）首先根据直线的解析式求出和的坐标，再利用中点坐标公式可得点的坐标，从而求出反比例函数解析式； （2）过点作轴于点，过点作轴于点，利用可得点的坐标，再利用平移知，相同，从而解决问题； （3）根据的面积等于30，得的面积为30，由题意可得，，，再由（2）同理可得点的坐标，从而表示出，进而解决问题． 【详解】（1）解：当，时，， 当时，，当时，， ，， 为线段的中点， ， 反比例函数过点， ， ， 故答案为：，； （2）过点作轴于点，过点作轴于点， 则轴，    ∴， 在平行四边形中， ，， ∴， ∴，又，， ∴， ，， 由（1）知，，， ， ， ， ，把代入中，得， ， 设直线为， 直线由直线平移得到， ， 将代入中，得， ， 直线的解析式为为； （3）的面积等于30， 的面积为15， 点是的中点， 的面积为30， 由可得：，， ∵B为线段的中点， ∴， 将代入中，得：， 同（2）可得， ， 把代入中，得：， ， ， ， 的面积为30， ， 即， ． 【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，平移的性质等知识，利用由特殊到一般类比的数学思想是解决问题（3）的关键． 39．（22-23八年级下·江苏苏州·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于B，与x轴交于A，与y轴交于C．    (1)若点． ①求一次函数和反比例函数的解析式； ②在y轴上取一点P，当的面积为5时，求点P的坐标； (2)过点B作轴于点D，点E为中点，线段交y轴于点F，连接．若的面积为11，求k的值． 【答案】(1)①②或 (2) 【分析】（1）①根据点，待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式即可；②设，根据求解即可； （2）设，进而表示出 点的坐标，设直线的解析式为，待定系数法求得的解析式，进而令求得的坐标，根据，即可求得的值． 【详解】（1）解：①一次函数的图象与反比例函数的图象交于， 将分别代入，， 解得 ②设，则：， ，令，则，即 即 解得或 点P的坐标为或 （2）设， 轴，则， 点在一次函数上，则， ， 是的中点，则， 设直线的解析式为， 将点，代入得： ， 解得， 直线的解析式为， 点在轴上， 令，则， ， ， 即 解得． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合问题，待定系数法求反比例函数和一次函数解析式，掌握以上知识是解题的关键． 40．（22-23八年级下·江苏泰州·期末）如图，反比例函数图像与一次函数图像相交于A，B两点，A点坐标为，点C是反比例函数图像上一点（不与点B重合，且点C在点B的左侧），点C的横坐标为m．    (1)______，______，点B的坐标为（______，______）； (2)若，连接AC，BC，求的面积； (3)连接，与x轴相交于点E，连接．求证：． (4)在（3）的条件下，点D是反比例函数图像上另外一点（不与点B重合，且点D在点B的右侧），连接，若，求的度数．（直接写出答案） 【答案】(1)3， 9， (2) (3)见解析 (4) 【分析】（1）把A坐标代入即可求出a，然后把A坐标代入反比例函数解析式即可求出k，联立两个函数求出交点坐标，即可得出点B坐标； （2）先求解析式，再求出与x轴交点坐标，利用，即可求出面积； （3）分别求出和的解析式，再求出两个解析式与x轴的交点，得出为垂直平分线，进而求出，再根据三角形外角知识即可得出结论； （4）画出图形，求的度数，再根据三角形内角和定理求出． 【详解】（1）解：∵一次函数图像经过， ∴，则， ∵经过， ∴， ∵反比例函数图象与一次函数图象相交于A，B两点， ∴， 解得：， ∴， 故答案为∶ ， 9，； （2）如图，    ∵点C的横坐标为m，且点C是反比例函数图象上一点， 当时，则， ∵， 设直线的解析式为∶ ， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为∶ ， 令，则， 设交y轴于E点， ∴， ∴， ∵ ，， ∴轴，且， ∵，， ∴， ∴ （3）如图，连接，与x轴相交于点E，    ∵，， ∴直线的解析式为， ∴设， ∵，， ∴直线解析式为∶ ， 设交x轴于F， ∴， 作垂直于x轴交x轴于点H，则， ∴， ∴垂直平分 ∴， ∴， ∵ ∴， ∴； （4），理由如下： 如图，连接，交x轴于M，交y轴于N，    由(3)可得∶ 设点D坐标为根据 （3）中的理由可得：， ∵，， ∴， ∵， ∴， 设交x轴于M，交y轴于N， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的知识、一次函数的知识、垂直平分线的知识、三角形内角和的知识，熟练掌握这些知识是解题的关键． 8 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$