江苏期末真题精选（常考题易错题100题）-【尖子生培优】2023-2024学年八年级数学下学期重难点压轴题突破专练（苏科版）

江苏期末真题精选（常考题易错题100题）（原卷版） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（22-23八年级下·江苏宿迁·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·江苏连云港·期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级下·江苏扬州·期末）在下列二次根式中，能与合并的是（   ） A． B． C． D． 4．（22-23八年级下·江苏连云港·期末）已知点在反比例函数（为常数，）的图象上，下列各点中，一定在该函数图像上的是（    ） A． B． C． D． 5．（22-23八年级下·江苏连云港·期末）已知，，都在反比例函数图像上，则、、之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 6．（22-23八年级下·江苏苏州·期末）如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是和，设点P在上，轴于点A，交于点B，已知的面积为4，则k的值为（    ） A．16 B．14 C．12 D．10 7．（22-23八年级下·江苏徐州·期末）下列事件中，是必然事件的是（    ） A．抛掷2枚骰子，都是6点朝上 B．任意画一个三角形，其内角和是 C．人中至少有2人的生日在同一个月 D．两直线被第三条直线所截，内错角相等 8．（22-23八年级下·江苏连云港·期末）数轴上表示数a的点在原点左侧，表示数b的点在原点右侧，下列事件是随机事件的是（　　） A． B． C． D． 9．（22-23八年级下·江苏泰州·期末）将分式中的、都扩大到3倍，则分式的值（    ） A．不变 B．扩大3倍 C．扩大9倍 D．扩大6倍 10．（22-23八年级下·江苏泰州·期末）如果把分式中的x，y同时扩大为原来的4倍，那么该分式的值（    ） A．缩小为原来的 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的2倍 D．不变 11．（22-23八年级下·江苏无锡·期末）小明和小亮相约到森林公园健身步道上参加健步走活动，他们同时同地出发，线路长度为公里．已知小明的速度是小亮的倍，小明比小亮提前分钟走完全程，设小亮的速度为，则下列方程中正确的是（ ） A． B． C． D． 12．（22-23八年级下·江苏连云港·期末）把分式中的x和y都扩大3倍，分式的值（    ） A．扩大3倍 B．不变 C．缩小3倍 D．扩大9倍 13．（22-23八年级下·江苏泰州·期末）若把x、y的值同时扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（     ） A． B． C． D． 14．（22-23八年级下·江苏宿迁·期末）已知关于的方程的解是正数，那么的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 15．（2023·江苏常州·二模）如图，某种预防病虫害的农药即将于三月上旬喷洒，需要连续三天完成，又知当最低温度不低于0摄氏度，且昼夜温差不大于10摄氏度时药物效果最佳，为此农广站工作人员查看了三月上旬天气预报，请你结合气温图，下列说法正确的是（） A．只能3号开始 B．从4号开始可以 C．从8号开始可以 D．从3号或12号开始都可以 16．（22-23八年级下·江苏苏州·期末）如图，将平行四边形折叠，使顶点恰落在边上的点处，折痕为，那么下列说法不正确的是（    ）    A． B． C． D． 17．（22-23八年级下·江苏宿迁·期末）为了了解我市去年8685名学生参加初中毕业考试数学成绩情况，从中抽取了500名考生的成绩进行统计，下列说法：①这8685名学生的成绩的全体是总体；②每个考生是个体；③500名考生是总体的一个样本；④样本容量是500．其中说法正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 18．（2022·山西·模拟预测）中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图标是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 19．（22-23八年级下·江苏宿迁·期末）为了解我区参加中考的1000名学生的身高情况，抽查了其中200名学生的身高进行统计分析，下列叙述正确的是（    ） A．1000名学生是总体 B．从中抽取的200名学生的身高是总体的一个样本 C．每名学生是总体的一个个体 D．以上调查是全面调查 20．（22-23八年级下·江苏无锡·期末）如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为矩形的对角线的中点，点是轴上一点，连接、，若平分，点是的中点，反比例函数的图象经过点、，已知的面积为，则的值为（    ）    A． B． C． D． 21．（22-23八年级下·江苏无锡·期末）下列关于反比例函数的描述，正确的是（    ） A．它的图像经过点 B．图像的两支分别在第一、三象限 C．当时， D．时，y随x的增大而减小 22．（22-23八年级下·江苏宿迁·期末）如图，直线交轴于点，交反比例函数的图象于．将直线向下平移个单位得直线，直线交反比例函数的图象于点，连接，，，若的面积为，则的值为（    ）      A． B． C． D． 23．（22-23八年级下·江苏无锡·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴上，顶点在轴上，矩形的边在上，．反比例函数的图像经过点，若阴影部分面积为，则的值为（ ）    A． B． C． D． 24．（22-23八年级下·江苏淮安·期末）如图，在中，，点E、F、G分别在边上，，则四边形的周长是（    ）    A．20 B．24 C．30 D．10 25．（22-23八年级下·江苏苏州·期末）如图，四边形是菱形，按以下步骤作图：①以顶点B为圆心，长为半径作弧，交于点E；②分别以D、E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点F，作射线交于点G，连接，若，，则菱形的面积为（    ）    A．16 B． C． D．12 26．（22-23八年级下·江苏苏州·期末）如图（1），在平面直角坐标系中，矩形在第一象限，且轴，直线沿x轴正方向平移，在平移过程中，直线被矩形截得的线段长为a，直线在x轴上平移的距离为b，a、b间的函数关系图象如图（2）所示，那么矩形的面积为（    ） A．20 B． C．40 D．32 27．（22-23八年级下·江苏无锡·期末）如图，在正方形中，为对角线上一点，连接，过点作，交延长线于点，以，为邻边作矩形，连接．在下列结论中：①；②；③；④． 其中正确的结论序号是（ ）    A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 28．（22-23八年级下·江苏扬州·期末）如图，中，，，点O是的中点，将直角三角板的直角顶点绕点O旋转，三角板的两条直角边分别与、分别交于点M、N（不与端点重合），连接，设三角板与重叠部分的四边形的面积为S，则下列说法正确的是（   ）    A．S变化，有最大值 B．S变化，有最小值 C．S不变，有最大值 D．S不变，有最小值 29．（22-23八年级下·江苏无锡·期末）如图，在一张菱形纸片中，，，点在边上不与，重合，将沿直线折叠得到，连接，，，有以下四个结论：；；当时，；当平分时，则．以上结论中，其中正确的结论个数是（    ）      A． B． C． D． 30．（22-23八年级下·江苏连云港·期末）如图，在中，点、、分别在边、、上，且，．下列四个判断中，不正确的是（    ）    A．四边形是平行四边形 B．如果，那么四边形是矩形 C．如果平分，那么四边形是矩形 D．如果且，那么四边形是菱形 31．（22-23八年级下·江苏泰州·期末）如图，四边形为正方形，为等边三角形，将绕点A旋转，若，则的度数为（    ）    A． B． C．或 D．或 32．（22-23八年级下·江苏宿迁·期末）如图，在正方形ABCD中，，连接AC，的平分线交AD于点E，在AB上截取．连接DF，分别交CE、CA于点G、H，P是线段GC上的动点，于Q，连接PH，则下列四个结论：①；②；③；④的最小值是；其中所有正确的结论有（    ）个    A．1 B．2 C．3 D．4 33．（21-22八年级下·江苏镇江·期末）如图1，点从菱形的顶点出发，沿以的速度匀速运动到点，点运动时的面积随时间变化的关系如图2，则的值为（    ） A． B． C． D．9 二、填空题 34．（22-23八年级下·江苏淮安·期末）如图，正方形的边长为5，点A的坐标为，点B在y轴上．若反比例函数的图像经过点C，则k的值为 ．    35．（22-23八年级下·江苏连云港·期末）若反比例函数的图像在第一、三象限，则m的取值范围是 ． 36．（22-23八年级下·江苏常州·期末）已知点，在反比例函数的图像上，且，，则m n（填“”或“”）． 37．（22-23八年级下·江苏扬州·期末）关于x的分式方程有增根，则m的值是 ． 38．（22-23八年级下·江苏苏州·期末）若，则 ． 39．（22-23八年级下·江苏泰州·期末）为了改善生态环境，防止水土流失，某地决定在荒坡上种树960棵．由于青年志愿者支援，实际每天种树的棵数是原计划的倍，结果提前4天完成任务．设原计划每天种树x棵，则可列方程为 ． 40．（22-23八年级下·江苏扬州·期末）已知关于x的方程的解是负数，则n的取值范围为 ． 41．（22-23八年级下·江苏泰州·期末）袋中装有8个小球，颜色为红、白、黑，每个球除颜色外其它都相同，将球摇匀，从中任意摸出一个球，若要求摸出的球是黑球和不是黑球的可能性一样，则红球和白球共有 个． 42．（22-23八年级下·江苏连云港·期末）分式和的最简公分母是 ． 43．（22-23八年级下·江苏无锡·期末）对于任意两个非零实数、，定义新运算“”如下：，例如：．若，则的值为 ． 44．（22-23八年级下·江苏宿迁·期末）若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围为 ． 45．（21-22八年级下·江苏盐城·期末）若，则分式的值为 ． 46．（22-23八年级下·江苏淮安·期末）如图，在中，，将绕点A顺时针旋转到的位置，旋转角为．、相交于点P，且，则的度数为 ．    47．（22-23八年级下·江苏苏州·期末）如图，的对角线相交于点O，，，，则的周长为 cm．    48．（22-23八年级下·江苏无锡·期末）菱形的周长为，两条对角线之比为，则菱形的面积为 ． 49．（22-23八年级下·江苏宿迁·阶段练习）在中，，则的度数为 ． 50．（22-23八年级下·江苏宿迁·期末）如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则菱形的周长为 ． 51．（22-23八年级下·江苏泰州·期末）直线与双曲线交于A、B两点，C为第二象限内一点，若A点横坐标为，且，，那么点C的坐标为 ．    52．（22-23八年级下·江苏苏州·期末）已知一次函数与反比例函数相交于点，，不等式的解集是 ． 53．（22-23八年级下·江苏宿迁·期末）如图，在平面直角坐标系中，点是第一象限内的点，连接，将绕点逆时针旋转得到线段，若反比例函数的图像恰好同时经过点，则的值为 ．    54．（22-23八年级下·江苏南京·期末）如图，反比例函数的图象经过菱形的顶点，点在轴上，过点作轴的垂线与反比例函数的图象相交于点．若，则点的坐标是 ． 55．（22-23八年级下·江苏泰州·期末）若分式的值为零，那么x的值为 ． 56．（22-23八年级下·江苏无锡·期末）操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A落在正方形内部点M处，把纸片展平，连接，延长交于点Q，连接．①根据以上操作，如图，当点M落在上时，则 ；②改变P在上的位置（点P不与点A、D重合），已知正方形纸片的边长为，当时，则的长为 ．    57．（22-23八年级下·江苏宿迁·期末）如图，在中，点D在上，，于点E，F是边的中点，连接，若，，则 ．      58．（22-23八年级下·江苏宿迁·期末）如图，矩形中，，，点P为对角线上一动点，于点E，于点F，则线段长的最小值为 ．    59．（22-23八年级下·江苏徐州·期末）如图，将正方形纸片沿折叠，使点B落在边上的中点处．若边，则的长等于 ．    60．（22-23八年级下·江苏宿迁·期末）如图，在矩形中，点为的中点，将绕点旋转得到，连接，为的中点，连接，若，，当时，的长为 ．    61．（22-23八年级下·江苏南京·期末）如图，将绕着点A顺时针旋转到的位置，使点E首次落在上．已知，，则 ．    62．（23-24八年级上·江苏南京·期末）如图，在菱形中，对角线，交于点O，点E为的中点，点F在上，，连接交于点G，若，连接，，则线段的长为 ． 63．（22-23八年级下·江苏宿迁·期末）如图， 菱形的边在x轴上，顶点C坐标为，顶点D坐标为，点E在y轴上，线段轴，且点F 坐标为，若菱形沿x轴左右运动，连接、，则运动过程中，四边形周长的最小值是 ． 64．（22-23八年级下·江苏宿迁·期末）已知a是的小数部分，则式子的值为 ． 三、解答题 65．（22-23八年级下·江苏无锡·期末）（1）计算：     （2）计算 66．（22-23八年级下·江苏盐城·期末）计算：． 67．（22-23八年级下·江苏宿迁·期末）计算： (1)； (2)． 68．（22-23八年级下·江苏宿迁·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，．    (1)求这两个函数的表达式； (2)请结合图象直接写出不等式的解集． 69．（22-23八年级下·江苏宿迁·期末）《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一搬，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题，新结论的重要方法．在数学学习和研究中，我们经常会用到类比、转化、从特殊到一般等思想方法，请利用上述有关思想，解答下列问题：    如图1，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴负半轴，顶点在轴正半轴，，分别在的中点，反比例函数的图象经过，两点，连接，，四边形的面积为． (1)__________________．直线的表达式为__________________ (2)如图2，为该反比例函数图象上任意一点，过点作轴交直线于点，请猜想与的数量关系，并说明理由； (3)在（2）的条件下，延长交反比例函数的图象于点，过点作直线于，过点作直线于，试判断的值是否为定值，若是，请直接写出定值；若不是．请说明理由． 70．（22-23八年级下·江苏淮安·期末）先化简，再求值：当时，求代数式的值． 71．（22-23八年级下·江苏泰州·期末）先化简，再求值：，其中． 72．（22-23八年级下·江苏泰州·期末）先化简，再求值：，再从1，2，3中选择一个适当的数值作为a的值代入． 73．（22-23八年级下·江苏淮安·期末）解方程：． 74．（22-23八年级下·江苏无锡·期末）（1）计算：．     （2）解方程：． 75．（22-23八年级下·江苏徐州·期末）某中学为了解学生每天参加户外活动的情况，对部分学生每天参加户外活动的时进行了抽样调查，并将调查结果绘制作成如下两幅不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题：    (1)本次调查一共抽取了_______名学生，并补全频数分布直方图； (2)______； (3)若该中学共有名学生，请估计该校每天参加户外活动的时间为2小时的学生人数． 76．（22-23八年级下·江苏宿迁·期末）化简求值：，其中 77．（22-23八年级下·江苏宿迁·期末）（1）化简：； （2）解方程：． 78．（22-23八年级下·江苏淮安·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于A、B两点，点，点B的纵坐标为．    (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)若点在该反比例函数的图像上，且它到y轴的距离小于2，则n的取值范围是______；（直接写出答案） (3)求的面积． 79．（22-23八年级下·江苏宿迁·期末）如图，菱形的对角线、相交于点O，，，与交于点F． (1)求证：四边形的为矩形； (2)若，，求菱形的面积． 80．（22-23八年级下·江苏连云港·期末）已知与成反比例函数关系，且当时，． (1)求与之间的函数表达式； (2)当时，求的值． 81．（22-23八年级下·江苏宿迁·期末）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散，学生注意力指标y随时间x分钟）变化的函数图像如图所示，当和时，图像是线段；当时，图像是反比例函数图像的一部分．    (1)求图中点A的坐标； (2)王老师在一节数学课上讲解一道数学综合题需要16分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由． 82．（22-23八年级下·江苏无锡·期末）如图1，已知点，，且、满足，平行四边形的边与轴交于点，且为中点，双曲线经过、两点．      (1)________，________； (2)求反比例函数表达式； (3)点在双曲线上，点在轴上，若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点的坐标． 83．（22-23八年级下·江苏淮安·期末）已知y是x的函数，当时，函数值；当时，函数值，若 (i为正整数)，则称为该函数的i倍区间．如函数中，当时，，当时，，，所以是函数的3倍区间． (1)若是函数的倍区间，则 ； (2)已知是函数(k≠0)的i倍区间(i为正整数)，点、是函数图象上的两点． ①试说明：； ②当，时，求的面积； (3)已知 是函数的倍区间，在此区间内，该函数的最大值与最小值的差为，求、的值． 84．（22-23八年级下·江苏无锡·期末）某中学在商店购进了A、两种品牌的篮球购买品牌篮球花费了元，购买品牌篮球花费了元，且购买A品牌篮球数量是购买品牌篮球数量的倍，已知购买一个品牌篮球比购买一个品牌篮球多花元． (1)求购买一个A品牌、一个品牌的篮球各需多少元？ (2)购买后仍供不应求，学校决定再次购进A、两种篮球共个，恰逢该商店对这两种品牌售价进行调整，A品牌售价比第一次购买时提高了元，品牌按第一次购买时售价的折出售如果学校要求此次购买的总费用不超过元，那么该中学此次至少可购买多少个A品牌篮球？ 85．（22-23八年级下·江苏淮安·期末）化简并求值：，其中． 86．（22-23八年级下·江苏连云港·期末）解方程： (1)； (2)． 87．（22-23八年级下·江苏连云港·期末）先将代数式化简，再从的范围内选取一个合适的整数x代入求值． 88．（22-23八年级下·江苏连云港·期末）已知关于x的分式方程． (1)若分式方程有增根，求a的值； (2)若分式方程无解，求a的值． 89．（22-23八年级下·江苏宿迁·期末）某商家预测一种运动衫能畅销市场，就用12000元购进了一批这种运动衫，上市后果然供不应求，商家又用了26400元购进了第二批这种运动衫，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每件进价贵了10元． (1)求该商家购进的第二批运动衫是多少件？ (2)若两批运动衫都按每件150元的价格销售，则这两批运动衫全部售完后的利润是多少元？ 90．（22-23八年级下·江苏镇江·期末）某快递公司为了提高分拣效率，引进智能分拣机，每台机器每小时分拣的快件量是人工每人每小时分拣快件数量的20倍，经过测试，由5台机器分拣6000件快件的时间，比20个人工分拣同样数量的快件节省4小时． (1)求人工每人每小时分拣多少件？ (2)若快递公司每天需要分拣10万件快件，机器每天工作时间为16小时，则至少需要多少台这样的分拣机． 91．（22-23八年级下·江苏淮安·期末）题目： 如图，在平行四边形中．求作菱形，使点在边上，点在边上．（保留作图痕迹，不写作法） 小华的作法：如图1， a．以点C为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点N； b．分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交点F，射线交于点H； c．再以点C为圆心，为半径画弧交于点，连接，则四边形为所求作的菱形． (1)证明小华所作的四边形是菱形； (2)借助已有的经验，请仅用无刻度直尺完成下列作图问题，保留痕迹，不写作法． 如图2，在中，平分，点在边上，．请过点作的垂线，垂足为． 92．（22-23八年级下·江苏宿迁·期末）如图，E、F是正方形的对角线上的两点，且．    (1)判断四边形的形状并证明； (2)若，，求四边形的面积． 93．（22-23八年级下·江苏苏州·期末）如图，在正方形中，点E是边的中点，将沿翻折得到．延长交于点H，连接．    (1)求证：； (2)若，求的长． 94．（22-23八年级下·江苏无锡·期末）已知：如图，在四边形中，，的垂直平分线交于点，交于点，且．    (1)求证：四边形是菱形； (2)当的大小为多少度时，四边形是正方形？ 95．（22-23八年级下·江苏无锡·期末）某校学生会倡导的“牵手特殊教育”自愿捐款活动，对学校部分捐款人数进行调查和分组统计后，将数据整理成如图所示的统计图（图中信息不完整）．已知、两组捐款人数的比为． 组别 捐款额x/元 人数 A a B 100 C D E    请结合以上信息解答下列问题： (1)a= ，本次调查样本的容量是 ； (2)求C组的人数； (3)扇形统计图中B类部分所对应扇形的圆心角的度数为 °； (4)根据统计情况，估计该校参加捐款的4500名学生有多少人的捐款额在C组或D组． 96．（22-23八年级下·江苏宿迁·期末）如图所示，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交于点，连接    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 97．（22-23八年级下·江苏泰州·期末）如图，矩形纸片，，，点P为边上一动点，将矩形纸片沿折叠，折叠后与相交于点E． (1)为何值时，点E与点A重合； (2)当长为何值时，的面积最大？并求出面积的最大值． 98．（22-23八年级下·江苏镇江·期末）如图，平行四边形的对角线交于点O，E为的中点．连接并延长至点F，使得，连接．    (1)求证：四边形为平行四边形； (2)当满足什么条件时，四边形为矩形，证明你的结论． 99．（22-23八年级下·江苏泰州·期末）如图，已知平行四边形中，对角线交点O，E是延长线上的点，且是等边三角形． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求四边形的面积． 100．（22-23八年级下·江苏宿迁·期末）矩形纸片中，，，点P在边上，点Q在边上，将纸片沿折叠，使顶点B落在点E处．    (1)如图1，若点E恰好落在边上．请在图中用无刻度的直尺和圆规作出折痕（不写作法，保留作图痕迹）； (2)如图2，折痕的端点P与点A重合． ①当时，_______； ②若点E恰好在线段上，求的长． (3)如图3，若，连接，若是以为腰的等腰三角形，求的长． 8 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 江苏期末真题精选（常考题易错题100题）（解析版） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（22-23八年级下·江苏宿迁·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简二次根式的概念判断即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式． B、，不是最简二次根式． C、，是最简二次根式． D、，不是最简二次根式． 故选：C 【点睛】本题考查了最简二次根式的概念，掌握被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式是解题的关键． 2．（22-23八年级下·江苏连云港·期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简二次根式定义进行判定即可得到答案． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，故A不符合题意； B、，不是最简二次根式，故B选项不符合题意； C、是最简二次根式，故C选项符合题意； D、，不是最简二次根式，故D选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了最简二次根式，解题的关键在于能够熟练掌握最简二次根式的定义． 3．（22-23八年级下·江苏扬州·期末）在下列二次根式中，能与合并的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 先根据二次根式的性质进行化简，再看看是否符合同类二次根式的定义即可． 【详解】 解：．，不能与合并，故本选项不符合题意， B.，能与合并，故本选项符合题意， C.，不能与合并，故本选项不符合题意， D.不能与合并，故本选项不符合题意， 故选：B 【点睛】 本题考查了同类二次根式和二次根式的性质与化简，能熟记二次根式的性质是解此题的关键，注意：． 4．（22-23八年级下·江苏连云港·期末）已知点在反比例函数（为常数，）的图象上，下列各点中，一定在该函数图像上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先把点代入反比例函数，求出的值，再根据为定值对各选项进行逐一检验即可． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴． A、∵，∴此点在函数图象上； B、∵，∴此点不在函数图象上； C、∵，此点不在函数图象上； D、∵，此点不在函数图象上． 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，掌握反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键． 5．（22-23八年级下·江苏连云港·期末）已知，，都在反比例函数图像上，则、、之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】反比例函数图像在第二象限，第四象限，根据函数图像及增减性即可求解． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴反比例函数图像在第二、四象限，随的增大而增大， 图像在第二象限中，，；图像在第四象限中，，； ∴，；，， ∴，即 故选：． 【点睛】本题主要考查反比例函数图像的性质，掌握反比例函数图像所在象限，函数的增减性是解题的关键． 6．（22-23八年级下·江苏苏州·期末）如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是和，设点P在上，轴于点A，交于点B，已知的面积为4，则k的值为（    ） A．16 B．14 C．12 D．10 【答案】A 【分析】根据反比例函数值的几何意义，得到的面积等于，进行求解即可． 【详解】解：∵两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是和，点P在上，轴于点A，交于点B， ∴，， ∴的面积， ∴； 故选A． 【点睛】本题考查利用图形的面积求值，熟练掌握值的几何意义，是解题的关键． 7．（22-23八年级下·江苏徐州·期末）下列事件中，是必然事件的是（    ） A．抛掷2枚骰子，都是6点朝上 B．任意画一个三角形，其内角和是 C．人中至少有2人的生日在同一个月 D．两直线被第三条直线所截，内错角相等 【答案】C 【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型，即可解答． 【详解】解：A．抛掷2枚骰子，都是6点朝上是随机事件，故错误； B．任意画一个三角形，其内角和是是不可能事件，故错误； C．人中至少有2人的生日在同一个月是必然事件，故正确； D．两直线被第三条直线所截，内错角相等是随机事件，故错误； 故选：C． 【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下可能发生也可能不发生的事件． 8．（22-23八年级下·江苏连云港·期末）数轴上表示数a的点在原点左侧，表示数b的点在原点右侧，下列事件是随机事件的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得，，然后根据有理数的加法，减法，乘法，除法法则进行计算，逐一判断即可． 【详解】解：∵数轴上表示数a的点在原点左侧，表示数b的点在原点右侧， ，， ∴，无法确定和的正负，，， A、是不可能事件，故A不符合题意； B、是随机事件，故B符合题意； C、是必然事件，故C不符合题意； D、是不可能事件，故D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了随机事件，数轴，有理数的加法，减法，乘法，除法，准确熟练地进行计算是解题的关键． 9．（22-23八年级下·江苏泰州·期末）将分式中的、都扩大到3倍，则分式的值（    ） A．不变 B．扩大3倍 C．扩大9倍 D．扩大6倍 【答案】B 【分析】把分式中的分子，分母中的，都同时变成原来的3倍，就是用，分别代替式子中的，，看得到的式子与原式子的关系． 【详解】解：如果把分式中的和都扩大3倍，则原式， 所以分式的值扩大3倍， 故选：B． 【点睛】本题考查了分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，解决这类题目的关键是正确的代入，并根据分式的性质进行分式的化简． 10．（22-23八年级下·江苏泰州·期末）如果把分式中的x，y同时扩大为原来的4倍，那么该分式的值（    ） A．缩小为原来的 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的2倍 D．不变 【答案】A 【分析】依题意分别用和去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可． 【详解】解：， ∴缩小为原来的， 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论． 11．（22-23八年级下·江苏无锡·期末）小明和小亮相约到森林公园健身步道上参加健步走活动，他们同时同地出发，线路长度为公里．已知小明的速度是小亮的倍，小明比小亮提前分钟走完全程，设小亮的速度为，则下列方程中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设小亮的速度为，则小明的速度为，根据时间路程速度结合小明比小亮提前分钟走完全程，即可得出关于的分式方程，此题得解． 【详解】解：分钟小时， 设小亮的速度为，则小明的速度为， 根据题意，得， 故选：C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 12．（22-23八年级下·江苏连云港·期末）把分式中的x和y都扩大3倍，分式的值（    ） A．扩大3倍 B．不变 C．缩小3倍 D．扩大9倍 【答案】B 【分析】根据分式的分子分母都乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变，可得答案． 【详解】解：都扩大3倍为3x，3y， 代入得． 故选择：B． 【点睛】本题考查了分式的性质，分式的分子分母都乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变． 13．（22-23八年级下·江苏泰州·期末）若把x、y的值同时扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的基本性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质． 14．（22-23八年级下·江苏宿迁·期末）已知关于的方程的解是正数，那么的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 【答案】A 【分析】先求解分式方程，根据“方程无增根”和“解是正数”即可求出的取值范围． 【详解】解：去分母： 解得： ∵ ∴ ∵方程的解是正数 ∴ ∴ 综上：且 故选：A 【点睛】本题考查根据分式方程的解求解参数．正确解出分式方程是求解此题的前提． 15．（2023·江苏常州·二模）如图，某种预防病虫害的农药即将于三月上旬喷洒，需要连续三天完成，又知当最低温度不低于0摄氏度，且昼夜温差不大于10摄氏度时药物效果最佳，为此农广站工作人员查看了三月上旬天气预报，请你结合气温图，下列说法正确的是（） A．只能3号开始 B．从4号开始可以 C．从8号开始可以 D．从3号或12号开始都可以 【答案】D 【分析】解答时，把握三个要素：最低温度要满足，温差条件要满足，时间条件要满足连续三天，读图判断即可． 【详解】解：根据题意，得到3号，4号，5号满足条件；得到4号，5号，6号中，6号最低温度不满足条件；得到8号，9号，10号中，9号温差不满足条件；得到12号，13号，14号满足条件；故D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了温差，最小数，熟练掌握温差计算是解题的关键． 16．（22-23八年级下·江苏苏州·期末）如图，将平行四边形折叠，使顶点恰落在边上的点处，折痕为，那么下列说法不正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依据平行四边形的性质以及折叠的性质，即可得出正确的结论，进而得到说法不正确的选项． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， 由折叠可得， ， ，故A选项正确，不合题意； ， ， 由折叠可得， ， ，故B选项正确，不合题意； 与不一定相等， 不一定成立，故C选项错误，符合题意； ，， 四边形是平行四边形， ，故D选项正确，不合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质以及折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 17．（22-23八年级下·江苏宿迁·期末）为了了解我市去年8685名学生参加初中毕业考试数学成绩情况，从中抽取了500名考生的成绩进行统计，下列说法：①这8685名学生的成绩的全体是总体；②每个考生是个体；③500名考生是总体的一个样本；④样本容量是500．其中说法正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量． 【详解】解：①这8685名学生的成绩的全体是总体，故①说法正确； ②每个考生的初中毕业考试数学成绩是个体，故②说法错误； ③500名考生的初中毕业考试数学成绩是总体的一个样本，故③说法错误； ④样本容量是500，故④说法正确． ∴说法正确的有①④，共2个． 故选：C． 【点睛】本题考查了总体、个体、样本、样本容量的定义，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位． 18．（2022·山西·模拟预测）中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图标是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 19．（22-23八年级下·江苏宿迁·期末）为了解我区参加中考的1000名学生的身高情况，抽查了其中200名学生的身高进行统计分析，下列叙述正确的是（    ） A．1000名学生是总体 B．从中抽取的200名学生的身高是总体的一个样本 C．每名学生是总体的一个个体 D．以上调查是全面调查 【答案】B 【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量． 【详解】解：A．1000名学生的身高情况是总体，故本选项不合题意； B．从中抽取的200名学生的身高是总体的一个样本，故本选项符合题意； C．每名学生的身高情况是总体的一个个体，故本选项不合题意； D．该调查是抽样调查，故本选项不合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，抽样调查与普查，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位． 20．（22-23八年级下·江苏无锡·期末）如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为矩形的对角线的中点，点是轴上一点，连接、，若平分，点是的中点，反比例函数的图象经过点、，已知的面积为，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，先由平分得，由矩形的性质得到，从而得到，故而，再由平行线的性质得到和的面积相等，然后设点的坐标，结合点是的中点得到点和点的坐标，最后结合的面积求出的取值． 【详解】解：连接，则，    ， 平分， ， ， ， ， 设， 点是的中点， ，， ， ， 故选B． 【点睛】本题考查了矩形的性质、平行线的性质和判定、反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是通过平行线的判定和性质得到和的面积相等． 21．（22-23八年级下·江苏无锡·期末）下列关于反比例函数的描述，正确的是（    ） A．它的图像经过点 B．图像的两支分别在第一、三象限 C．当时， D．时，y随x的增大而减小 【答案】C 【分析】A选项点坐标代入即可确定；B选项由反比例函数的k值可判断图象所在的象限；C选项根据图象可确定时的y取值范围；D选项可通过图象来判断． 【详解】A：当时，，故不符合题意； B：反比例函数位于二、四象限，故不符合题意； C：反比例函数的图象在各个象限内，随的增大而增大，且当时，，所以当时，，故符合题意； D：反比例函数的图象在各个象限内，随的增大而增大，所以当时，随的增大而增大． 故选C． 【点睛】本题考查反比例函数的图象与性质．熟练掌握反比例函数的图象与性质是解决本题的关键． 22．（22-23八年级下·江苏宿迁·期末）如图，直线交轴于点，交反比例函数的图象于．将直线向下平移个单位得直线，直线交反比例函数的图象于点，连接，，，若的面积为，则的值为（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设直线交轴于点，连接，设点的坐标为，根据，可求得点的坐标，进而可求得答案． 【详解】解：如图所示，设直线交轴于点，连接，设点的坐标为．      根据平移的性质可知，， ∴． ∴． ∴． ∴点的坐标为． 因为直线的图象过点， 所以， 解得． 故选：D． 【点睛】本题主要考查图形平移的性质、一次函数和反比例函数的图象和性质，牢记图形平移的性质（一个图形和它经过平移所得到的图形中，两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等）是解题的关键． 23．（22-23八年级下·江苏无锡·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴上，顶点在轴上，矩形的边在上，．反比例函数的图像经过点，若阴影部分面积为，则的值为（ ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图所示，设与交于点，设，根据矩形的性质证明，可得，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，设与交于点，设，则，    ∴， 在矩形和矩形中，，， ∵， ∴， ∴， ∵阴影部分面积为， ∴， ∴，则， ∵点在反比例函数图像上， ∴， ∴， 故选：． 【点睛】本题主要考查反比例函数与几何图形的综合，掌握矩形的性质，全等三角形的判定和性质，不规则图形的面积的计算，求反比例函数的系数的方法是解题的关键． 24．（22-23八年级下·江苏淮安·期末）如图，在中，，点E、F、G分别在边上，，则四边形的周长是（    ）    A．20 B．24 C．30 D．10 【答案】A 【分析】由，可得四边形是平行四边形，由，可得，由，可知，即，根据四边形的周长为，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形的周长为， 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线的性质，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 25．（22-23八年级下·江苏苏州·期末）如图，四边形是菱形，按以下步骤作图：①以顶点B为圆心，长为半径作弧，交于点E；②分别以D、E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点F，作射线交于点G，连接，若，，则菱形的面积为（    ）    A．16 B． C． D．12 【答案】B 【分析】由作图可知：，再根据菱形的性质可得，从而可得，然后设，利用勾股定理可得，最后在中，利用勾股定理求出的长，再利用菱形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：由作图可知：， 四边形是菱形， ， ， 设， 在中，， ， ， 在中，，即， 解得（负值已舍去），即：， ∴， ∴， ∴菱形的面积为； 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质、基本作图—作垂线、含30度角的直角三角形，勾股定理，通过作图方法，得到，熟练掌握菱形的性质是解题关键． 26．（22-23八年级下·江苏苏州·期末）如图（1），在平面直角坐标系中，矩形在第一象限，且轴，直线沿x轴正方向平移，在平移过程中，直线被矩形截得的线段长为a，直线在x轴上平移的距离为b，a、b间的函数关系图象如图（2）所示，那么矩形的面积为（    ） A．20 B． C．40 D．32 【答案】C 【分析】根据函数图象中的数据可以分别求得矩形的边长，的长，从而可以求得矩形的面积． 【详解】解：如图所示，过点、分别作的平行线，交、于点、． 由图象和题意可得：，，，， 则，， 矩形的面积为． 故选：C． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 27．（22-23八年级下·江苏无锡·期末）如图，在正方形中，为对角线上一点，连接，过点作，交延长线于点，以，为邻边作矩形，连接．在下列结论中：①；②；③；④． 其中正确的结论序号是（ ）    A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】如图所述，过点作于点，作于点，设交于点，可证四边形是正方形，可得即可判断结论①；根据结论①可证矩形是正方形，根据全等三角形的判定方法可判断结论②；根据正方形的性质可得，由结论②可得，由此可判断结论③；根据点在上，当时，可判断结论④；由此即可求解． 【详解】解：结论①， 如图所述，过点作于点，作于点，设交于点，    ∵四边形是正方形，是对角线，，， ∴，， ∴四边形是矩形，且，， ∴都是等腰直角三角形，即， ∴矩形是正方形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，则， ∵， ∴，则， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴，故结论①正确； 结论②， 由结论①正确可知，，且四边形是矩形， ∴矩形是正方形， ∴，即，且， ∵四边形是正方形， ∴，即，且， ∴， 在中， ， ∴，故结论②正确； 结论③， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴， 由结论②正确可知，， ∴， ∴，故结论③正确； 结论④， ∵四边形是正方形，是对角线，点是上的点， ∴当时，点于点重合， ∴与不一定相等，故结论④错误； 综上所述，正确的有①②③， 故选：． 【点睛】本题主要考查正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，几何图形的变换，掌握以上知识的综合运用是解题的关键． 28．（22-23八年级下·江苏扬州·期末）如图，中，，，点O是的中点，将直角三角板的直角顶点绕点O旋转，三角板的两条直角边分别与、分别交于点M、N（不与端点重合），连接，设三角板与重叠部分的四边形的面积为S，则下列说法正确的是（   ）    A．S变化，有最大值 B．S变化，有最小值 C．S不变，有最大值 D．S不变，有最小值 【答案】D 【分析】连接，由于，设，根据等腰直角三角形的性质得，再根据为的中点得到，，根据旋转的性质得，于是可根据判断，所以，，则可计算出四边形的面积；设，则，利用勾股定理得到，从而确定出有最小值． 【详解】解：如图，连接，    设， ， ， 点为的中点， ，， 设将直角三角板的直角顶点绕点旋转，三角板的两条直角边分别与、分别交于点、（不与端点重合）， ， 在和中， ， ， ，， 四边形的面积； 故不变； 设，则， 在中， ， 、（不与端点重合）， ，故没有最大值； 当时，有最小值， 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形，作出辅助线构建全等三角形是解答本题的关键． 29．（22-23八年级下·江苏无锡·期末）如图，在一张菱形纸片中，，，点在边上不与，重合，将沿直线折叠得到，连接，，，有以下四个结论：；；当时，；当平分时，则．以上结论中，其中正确的结论个数是（    ）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据折叠的性质即可判断结论； 由折叠和菱形性质得：，再由三角形内角和定理和等腰三角形性质可得：，，得出； 根据折叠性质和菱形性质可证得，即可判断结论； 由折叠和已知可得，根据三角形的角平分线交于一点，结合已知可得平分，从而可证是等边三角形，再证是等腰直角三角形，即可判断结论． 【详解】解：将沿直线折叠得到， ， 只有时，才成立， 故结论不正确； 由折叠得：， 四边形是菱形， ，， ∴， ， ，， ， 故结论正确； 如图，，将沿直线折叠得到，    ，，， 四边形是菱形， ，，， ，，， ， 在和中， ， ， ， 故结论正确； 如图，由折叠得：，，    平分， ， 、分别平分、， ∵三角形三条内角平分线交于一点， 平分， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 故结论不正确， 综上所述，正确的结论是：②③； 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形性质，等边三角形的判定和性质，折叠变换的性质，勾股定理，全等三角形判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形角平分线等，综合性较强，是中考数学常考题型． 30．（22-23八年级下·江苏连云港·期末）如图，在中，点、、分别在边、、上，且，．下列四个判断中，不正确的是（    ）    A．四边形是平行四边形 B．如果，那么四边形是矩形 C．如果平分，那么四边形是矩形 D．如果且，那么四边形是菱形 【答案】C 【分析】根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定选项A；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可判定选项B；根据平分可证明，再根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形判断选项C；由且，根据三线合一可得平分，从而可得四边形是菱形． 【详解】解：，， 四边形是平行四边形，故选项A正确，不符合题意； ， 是矩形，故选项B正确，不符合题意； 平分， ， ， ， ， 是菱形，故选项C错误，符合题意； 且， 平分， 是菱形，故选项D正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的判定，掌握特殊四边形的判定方法是解题关键． 31．（22-23八年级下·江苏泰州·期末）如图，四边形为正方形，为等边三角形，将绕点A旋转，若，则的度数为（    ）    A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】分两种情况：绕点A旋转到正方形的内部时；绕点A旋转到正方形的外部时；然后分别求解即可． 【详解】解：当绕点A旋转到正方形的内部时，如图，    ∵四边形是正方形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∴； 当绕点A旋转到正方形的外部时，如图，    ∵四边形是正方形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ， 综上，的度数为或， 故选：D． 【点睛】本题考查正方形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转性质，熟练掌握相关知识的联系与运用，分类讨论求解是解答的关键． 32．（22-23八年级下·江苏宿迁·期末）如图，在正方形ABCD中，，连接AC，的平分线交AD于点E，在AB上截取．连接DF，分别交CE、CA于点G、H，P是线段GC上的动点，于Q，连接PH，则下列四个结论：①；②；③；④的最小值是；其中所有正确的结论有（    ）个    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】先根据定理证出，从而可得，再根据角的和差即可判断结论①；根据等腰三角形的性质可得，然后根据线段的和差、等量代换即可判断结论②；在中，由勾股定理，结合，由此即可判断结论③；过点作于点，连接，先根据角平分线的性质可得，再根据两点之间线段最短、垂线段最短可得当时，取得最小值，然后解直角三角形即可得判断结论④． 【详解】解：四边形是正方形，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，即，结论①正确； 平分，， ， ， ， ， ， ， ，结论②正确； 在中，, , 又， 故结论③正确； 如图，过点作于点，连接，    平分，，， ， ， 由两点之间线段最短得：当点共线时，取得最小值， 由垂线段最短得：当时，取得最小值， 此时在中，， 即的最小值是，结论④正确； 综上，所有正确结论的序号是①②③④， 故选择：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、解直角三角形等知识点，较难的是④，利用两点之间线段最短、垂线段最短得出当时，取最小值是解题关键． 33．（21-22八年级下·江苏镇江·期末）如图1，点从菱形的顶点出发，沿以的速度匀速运动到点，点运动时的面积随时间变化的关系如图2，则的值为（    ） A． B． C． D．9 【答案】B 【分析】作过点作，再根据图像的三角形的面积可得，再利用菱形的性质和勾股定理列方程可求即可． 【详解】解：作过点作 ∵菱形中，， ∴当点在边上运动时，的值不变， ，即菱形的边长是， ，即． 当点在上运动时，逐渐增大， ， ． 在中，， ，解得． 故选：B． 【点睛】本题主要考查菱形的性质、勾股定理等知识点，利用菱形的性质和勾股定理列出方程是解答本题的关键． 二、填空题 34．（22-23八年级下·江苏淮安·期末）如图，正方形的边长为5，点A的坐标为，点B在y轴上．若反比例函数的图像经过点C，则k的值为 ．    【答案】3 【分析】过点作轴于，根据正方形的性质可得，，再根据同角的余角相等求出，然后利用“角角边”证明全等，根据全等三角形对应边相等可得，，再求出，然后写出点的坐标，再把点的坐标代入反比例函数解析式计算即可求出的值． 【详解】解：如图，过点作轴于，在正方形中，，， ， ， ， 点的坐标为， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 点的坐标为， 反比例函数的图象过点， ， 故答案为：3．    【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，涉及到正方形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数图象上的点的坐标特征，作辅助线构造出全等三角形并求出点的坐标是解题的关键． 35．（22-23八年级下·江苏连云港·期末）若反比例函数的图像在第一、三象限，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据反比例函数的图象位于一、三象限，，解不等式即可得结果． 【详解】解：由于反比例函数的图象位于第一、三象限， 则， 解得：． 故答案为． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，时，函数图象位于一、三象限；时，函数位于二、四象限． 36．（22-23八年级下·江苏常州·期末）已知点，在反比例函数的图像上，且，，则m n（填“”或“”）． 【答案】 【分析】由反比例函数知，其图象在第一、三象限，由，知，，从而确定答案． 【详解】解：∵反比例函数解析式为， ∴它的图象在第一、三象限， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质确定a与b的符号是解题的关键． 37．（22-23八年级下·江苏扬州·期末）关于x的分式方程有增根，则m的值是 ． 【答案】2 【分析】先求方程的增根，再将分式方程化为整式方程，将方程的增根代入整式方程计算可求解． 【详解】解：∵关于的分式方程有增根， ∴， 解得， 由去分母得， 把代入得， ∴． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查分式方程的增根，将分式方程的增根代入整式方程计算是解题的关键． 38．（22-23八年级下·江苏苏州·期末）若，则 ． 【答案】 【分析】由已知得到，再代入计算即可求解． 【详解】解：∵，∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了求分式的值，将代入求解是解题的关键. 39．（22-23八年级下·江苏泰州·期末）为了改善生态环境，防止水土流失，某地决定在荒坡上种树960棵．由于青年志愿者支援，实际每天种树的棵数是原计划的倍，结果提前4天完成任务．设原计划每天种树x棵，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】审题，明确等量关系：计划天数实际天数，列方程． 【详解】解：根据题意，实际天数为天，于是 故答案为：． 【点睛】本题考查分式方程的应用，审题明确等量关系是解题的关键． 40．（22-23八年级下·江苏扬州·期末）已知关于x的方程的解是负数，则n的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】求出分式方程的解，得出，求出的范围，根据分式方程得出，求出，即可得出答案． 【详解】解：， 解方程得：， 关于的方程的解是负数， ， 解得：， 又原方程有意义的条件为：， ， 解得：， 故答案为：且． 【点睛】本题考查了分式方程的解和解一元一次不等式，关键是得出和，注意题目中的隐含条件，不要忽略． 41．（22-23八年级下·江苏泰州·期末）袋中装有8个小球，颜色为红、白、黑，每个球除颜色外其它都相同，将球摇匀，从中任意摸出一个球，若要求摸出的球是黑球和不是黑球的可能性一样，则红球和白球共有 个． 【答案】4 【分析】根据红球和白球所占总体的一半求解即可． 【详解】解：若要求摸出的球是黑球和不是黑球的可能性一样，则黑球占； 红球和白球共占． 故红球和白球共有个． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了可能性的大小．解决本题的关键是得到红球和红球占球的数目占球的总数的一半． 42．（22-23八年级下·江苏连云港·期末）分式和的最简公分母是 ． 【答案】 【分析】根据最简公分母的定义即各分母所有因式的最高次幂的积计算． 【详解】∵， ∴最简公分母是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了最简公分母，熟练掌握定义并灵活计算是解题的关键． 43．（22-23八年级下·江苏无锡·期末）对于任意两个非零实数、，定义新运算“”如下：，例如：．若，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：由题意得： ，即， ∴， ∴， 则， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的求值，理解新运算法则，得到，是解题的关键． 44．（22-23八年级下·江苏宿迁·期末）若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围为 ． 【答案】且． 【分析】本题考查了分式方程的解，先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是正数”建立不等式求m的取值范围． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并合并同类项：， ∵分式方程的解为正数， ∴，且， ∴且， 故答案为：且． 45．（21-22八年级下·江苏盐城·期末）若，则分式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的求值，根据条件设，是解题的关键． 根据，设，，代入分式中化简即可得出答案． 【详解】 设， 故答案为：． 46．（22-23八年级下·江苏淮安·期末）如图，在中，，将绕点A顺时针旋转到的位置，旋转角为．、相交于点P，且，则的度数为 ．    【答案】20 【分析】根据平行四边形的性质：邻角互补可求出的度数，进而得到的度数，再根据四边形的内角和为，可求出的度数，所以可求，即为旋转角的度数． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：20． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、旋转的性质、四边形的内角和定理，题目的综合性较强，难度中等． 47．（22-23八年级下·江苏苏州·期末）如图，的对角线相交于点O，，，，则的周长为 cm．    【答案】15 【分析】根据平行四边形的对边相等，对角线互相平分进行求解即可． 【详解】解：∵的对角线相交于点O，，，， ∴，，， ∴的周长为：； 故答案为： 【点睛】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的对边相等，对角线互相平分是解题的关键． 48．（22-23八年级下·江苏无锡·期末）菱形的周长为，两条对角线之比为，则菱形的面积为 ． 【答案】 【分析】根据菱形的性质，周长可求出菱形的边长，根据对角线的比值，设，，在中，根据勾股定理即可求出的长，根据菱形的面积的计算方法即可求解． 【详解】解：如图所示，四边形是菱形，周长为， ∴， ∵两条对角线之比为，即， 设，， ∴，， 在中，， ∴，解得，， ∴，， ∴ ∴菱形的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查菱形的性质，掌握菱形的性质，勾股定理，菱形的面积计算方法是解题的关键． 49．（22-23八年级下·江苏宿迁·阶段练习）在中，，则的度数为 ． 【答案】/125度 【分析】根据平行四边形的性质即可求解． 【详解】解：如图， ∵四边形为平行四边形， ∴，． ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的性质．掌握平行四边形的对角相等，邻角互补是解题关键． 50．（22-23八年级下·江苏宿迁·期末）如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则菱形的周长为 ． 【答案】 【分析】根据菱形的性质可得，，，再由直角三角形的性质可得，再利用勾股定理求得，再利用菱形的周长公式计算即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的周长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质、直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握菱形的性质和直角三角形的性质得出是解题的关键． 51．（22-23八年级下·江苏泰州·期末）直线与双曲线交于A、B两点，C为第二象限内一点，若A点横坐标为，且，，那么点C的坐标为 ．    【答案】 【分析】连接，作轴于点D，作轴于点E，把代入得：，得出，，证明≌，得出，，即可得出答案． 【详解】解：连接，作轴于点D，作轴于点E，如图所示：    把代入得：， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ∴≌， ∴，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，反比例函数的几何综合，解题的关键是数形结合，作出辅助线，构造全等三角形，证明≌． 52．（22-23八年级下·江苏苏州·期末）已知一次函数与反比例函数相交于点，，不等式的解集是 ． 【答案】或 【分析】图象法解不等式即可． 【详解】解：∵一次函数与反比例函数相交于点，， ∴， ∴，； 作出一次函数和反比例函数的图象如图所示：      由图可知：的解集为：或； 故答案为：或 【点睛】本题考查图象法解不等式，解题的关键是正确的画出一次函数和反比例函数的就图象． 53．（22-23八年级下·江苏宿迁·期末）如图，在平面直角坐标系中，点是第一象限内的点，连接，将绕点逆时针旋转得到线段，若反比例函数的图像恰好同时经过点，则的值为 ．    【答案】/ 【分析】先作辅助线构造全等三角形，利用旋转的性质证明，利用全等三角形性质表示出B点坐标，将点A、B代入反比例函数得出方程就可解出m． 【详解】解：过点A作轴， 过点B作，如图    由旋转的性质得， ， 在和中， ， ， 则 点A，B都在反比例函数图像上， 解得或（舍去） 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的性质和判定和待定系数法求反比例函数解析式，牢固掌握以上知识点并学会作辅助线是做出本题的关键． 54．（22-23八年级下·江苏南京·期末）如图，反比例函数的图象经过菱形的顶点，点在轴上，过点作轴的垂线与反比例函数的图象相交于点．若，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】 根据题意得出是等边三角形，从而表示点的坐标为，根据菱形的对称性表示出点的坐标，再根据反比例函数图象上点的坐标特征代入函数解析式进行计算即可求得菱形边长，把代入解析式即可求得点的横坐标． 【详解】 解：设菱形的边长为， ， 是等边三角形， 点的坐标为， ， 反比例函数的图象经过菱形的顶点， ， （负数舍去）， 菱形的边长为2， 点的纵坐标为2， 把代入得，， 解得， 点的坐标是． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了菱形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，熟记菱形的性质，正确表示出点A的坐标是解题的关键． 55．（22-23八年级下·江苏泰州·期末）若分式的值为零，那么x的值为 ． 【答案】 【分析】根据分式为零的条件“分子等于0，且分母不等于0”列式求解即可． 【详解】解：由，得； 又，则 所以若分式的值为0，则的值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：①分子的值为0，②分母的值不为0，这两个条件缺一不可． 56．（22-23八年级下·江苏无锡·期末）操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A落在正方形内部点M处，把纸片展平，连接，延长交于点Q，连接．①根据以上操作，如图，当点M落在上时，则 ；②改变P在上的位置（点P不与点A、D重合），已知正方形纸片的边长为，当时，则的长为 ．    【答案】 15 或 【分析】①如图，连接，根据折叠的性质可证得是等边三角形，从而得到，再证明，即可求解； ②设，则，分两种情况讨论：当点Q在上时，当点Q在上时，结合勾股定理，即可求解． 【详解】解：①如图，连接，    根据题意得：，，， ∵沿折叠，使点A落在正方形内部点M处， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：15 ②根据题意得：，， 由①得：， ∴， 设，则， 当点Q在上时， ∵， ∴，， 在中，， ∴， 解得：， 即； 当点Q在上时， ∵， ∴，， 在中，， ∴， 解得：， 即； 综上所述，的长为或． 故答案为：或 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 57．（22-23八年级下·江苏宿迁·期末）如图，在中，点D在上，，于点E，F是边的中点，连接，若，，则 ．      【答案】1 【分析】根据，得到，利用三角形中位线定理计算即可． 【详解】∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一性质，三角形中位线定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 58．（22-23八年级下·江苏宿迁·期末）如图，矩形中，，，点P为对角线上一动点，于点E，于点F，则线段长的最小值为 ．    【答案】 【分析】连接，由矩形的性质和勾股定理得，再证四边形为矩形，得，当时，取得最小值，然后由面积法求出的长，即可得出结论． 【详解】解：连接，如图所示：   四边形是矩形， ， ， 于点，于点， ， 四边形为矩形， ， 当时，取得最小值， 此时，， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、最小值问题以及面积法等知识，熟练掌握矩形的判定与性质和垂线段最短是解题的关键． 59．（22-23八年级下·江苏徐州·期末）如图，将正方形纸片沿折叠，使点B落在边上的中点处．若边，则的长等于 ．    【答案】3 【分析】根据正方形的性质和折叠的性质得出，，，根据中点得出，设，则，在中，，即，解得：，即可得出答案． 【详解】解：∵正方形纸片沿折叠， ∴，，， ∵是边上的中点， ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得：， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质是解题的关键． 60．（22-23八年级下·江苏宿迁·期末）如图，在矩形中，点为的中点，将绕点旋转得到，连接，为的中点，连接，若，，当时，的长为 ．    【答案】或 【分析】当时，需分两种情况进行讨论：①当点F位于矩形内部时，如图①，延长与交于点，证明点与点E重合，由为的中位线，由勾股定理求解，由旋转性质得可得，从而可得答案；②当点F位于矩形外部时，如图②，同理可得，，从而可得答案． 【详解】解：当时，①当点F位于矩形内部时，如图①，    延长与交于点， ∵， ∴， ∵点G为的中点， ∴， ∴点为的中点，则点与点E重合， 而为的中位线， ∵， ∴， ∵， 由勾股定理得 由旋转性质得， ∴ ∴； ②当点F位于矩形外部时， 如图②，    同理可得，， ∴． 故答案为：或． 【点睛】本题考查的是矩形的性质，勾股定理的应用，三角形的中位线的性质，旋转的性质，清晰的分类讨论是解本题的关键． 61．（22-23八年级下·江苏南京·期末）如图，将绕着点A顺时针旋转到的位置，使点E首次落在上．已知，，则 ．    【答案】50 【分析】此题主要考查了图形的旋转变换及性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握图形旋转变换的性质，理解等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线重合（三线合一）． 过点A作于F，先根据旋转的性质得，由三角形的外角定理得，进而可求出，然后根据等腰三角形的性质得，据此可求出旋转角的度数． 【详解】解：过点A作于F， 根据旋转的性质得：旋转角为， ， ， ， ， ， ， ． ．    故答案为：50． 62．（23-24八年级上·江苏南京·期末）如图，在菱形中，对角线，交于点O，点E为的中点，点F在上，，连接交于点G，若，连接，，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】取中点M，连接，可证明是的中位线，得到，，因此，推出，得到，从而求出的长，得到的长，求出的长，由三角形面积公式求出长，得到的长，由勾股定理即可求出的长． 【详解】解：取中点M，连接， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵点E为的中点，M为中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，灵活运用相关知识解决问题是解题关键． 63．（22-23八年级下·江苏宿迁·期末）如图， 菱形的边在x轴上，顶点C坐标为，顶点D坐标为，点E在y轴上，线段轴，且点F 坐标为，若菱形沿x轴左右运动，连接、，则运动过程中，四边形周长的最小值是 ． 【答案】18 【分析】在上截取，使得 ，作点T关于直线的对称点，连接交直线AD于，即为 ，连接，此时四边形的周长最小，利用勾股定理求出，然后求出，，得到，进而求解即可． 【详解】在上截取，使得 ，作点T关于直线的对称点，连接交直线于，在上找一点，使得 ，连接，此时四边形的周长最小． ∵， ∴， ∵四边形是菱形 ∴， ∵轴， ∴ ∵ ∴， ∴四边形的周长的最小值 ． 故答案为：18． 【点睛】本题考查菱形的性质，勾股定理，平移的性质，轴对称性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握菱形的性质，勾股定理解直角三角形，平移图形全等性，轴对称性质． 64．（22-23八年级下·江苏宿迁·期末）已知a是的小数部分，则式子的值为 ． 【答案】2 【分析】先用夹逼法估算，得出a的值，根据完全平方公式得出，再把a的值代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分为1，则， ∴， ∵， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，分母有理数，解题的关键是正确得出a的值，掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则． 三、解答题 65．（22-23八年级下·江苏无锡·期末）（1）计算：     （2）计算 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据二次根式的性质化简，再根二次根式的加减混合运算即可求解； （2）运用平方差公式，二次根式的混合运算即可求解． 【详解】解：（1） ； （2） ． 【点睛】本题主要考查实数的混合运算，掌握二次根式的性质，二次根式的混合运算是解题的关键． 66．（22-23八年级下·江苏盐城·期末）计算：． 【答案】 【分析】根据零次幂，二次根式的化简，二次根式的加减运算即可求解． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查零次幂，二次根式的化简，二次根式的加减混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． 67．（22-23八年级下·江苏宿迁·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数的混合运算． （1）先计算乘法，然后再进行加减法． （2）先化简二次根式，绝对值，然后再算加减法． 【详解】（1）解： （2） 68．（22-23八年级下·江苏宿迁·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，．    (1)求这两个函数的表达式； (2)请结合图象直接写出不等式的解集． 【答案】(1)一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为． (2)或 【分析】（1）因为反比例函数的图象经过点，，可得，求解可得反比例函数的表达式和点的坐标；因为一次函数的图象经过点，，采用待定系数法即可求得一次函数的表达式． （2）不等式的解集为一次函数图象在反比例函数图象下方的部分的自变量的取值范围和两个函数图象交点处的自变量的值． 【详解】（1）因为反比例函数的图象经过，，可得 ， 解得：， 所以，点的坐标为，反比例函数的表达式为． 因为一次函数的图象经过点，，可得 ， 解得：， 所以，一次函数的表达式为． （2）观察图象可知，不等式的解集为一次函数图象在反比例函数图象下方的部分的自变量的取值范围和两个函数图象交点处的自变量的值，所以该不等式的解集为或． 【点睛】本题主要考查一次函数和反比例函数，牢记一次函数和反比例函数的图象和性质、采用待定系数法求函数表达式的步骤是解题的关键． 69．（22-23八年级下·江苏宿迁·期末）《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一搬，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题，新结论的重要方法．在数学学习和研究中，我们经常会用到类比、转化、从特殊到一般等思想方法，请利用上述有关思想，解答下列问题：    如图1，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴负半轴，顶点在轴正半轴，，分别在的中点，反比例函数的图象经过，两点，连接，，四边形的面积为． (1)__________________．直线的表达式为__________________ (2)如图2，为该反比例函数图象上任意一点，过点作轴交直线于点，请猜想与的数量关系，并说明理由； (3)在（2）的条件下，延长交反比例函数的图象于点，过点作直线于，过点作直线于，试判断的值是否为定值，若是，请直接写出定值；若不是．请说明理由． 【答案】(1)     (2)，理由见解析． (3) 【分析】（1）设正方形的边长为，根据可求得的数值，采用待定系数法，即可求得答案． （2）过点作，交（或的延长线）于点，可先用含，的代数式表示出，然后根据勾股定理计算出，即可求得与的数量关系． （3）过点作轴交直线于点，则，可证得为等腰直角三角形，求得，同理可求得． 【详解】（1）设正方形的边长为．根据题意，得： ． 解得：，(舍去)． 所以，点的坐标为． 因为反比例函数的图象经过点， 所以． 解得：． 根据题意可知，点的坐标为，点的坐标为． 设直线的表达式为． 因为的图象过点，，所以 解得 所以，直线的表达式为． 故答案为： ，； （2），理由如下： 如图所示，过点作，交（或的延长线）于点．    因为反比例函数的图象经过点， 所以． ∴． 根据题意可知，点的纵坐标为． 将代入直线的表达式，得 ． 解得． 所以，点的坐标为． 所以，． 所以，． 根据题意可知，． 所以，． 所以，． 所以，． （3），理由如下： 如图所示，过点作轴交直线于点．    根据（2）的证明过程可知． ∵轴， ∴． ∴为等腰直角三角形． ∴． ∴． ∴． 同理可得． ∴． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、反比例函数、一次函数、勾股定理、平面直角坐标系等，能根据题意构建辅助线是解题的关键． 70．（22-23八年级下·江苏淮安·期末）先化简，再求值：当时，求代数式的值． 【答案】； 【分析】运用乘法公式，分式的性质，分式的混合运算进行化简，再代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 【点睛】本题主要考查分式的化简求值，掌握乘法公式，分式的性质，分式的混合运算法则，代入求值等知识是解题的关键． 71．（22-23八年级下·江苏泰州·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】先通分，计算括号内的减法，再将除法转化为乘法，约分得到最简结果，将a值代入计算即可． 【详解】解： ． 当时，原式． 【点睛】本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型． 72．（22-23八年级下·江苏泰州·期末）先化简，再求值：，再从1，2，3中选择一个适当的数值作为a的值代入． 【答案】；把代入得：原式 【分析】先根据分式混合运算法则进行化简，然后再代入数据进行计算即可． 【详解】解： ， ∵，， ∴，2， 把代入得：原式． 【点睛】本题主要考查了分式化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算． 73．（22-23八年级下·江苏淮安·期末）解方程：． 【答案】 【分析】两边都乘以，化为整式方程求解，求出x的值后再检验即可. 【详解】解：， 两边都乘以，得： 解得， 检验：当时，最简公分母， ∴是原分式方程的解． 【点睛】本题考查了分式方程的解法，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式方程求解，解题的关键是求出x的值后不要忘记检验． 74．（22-23八年级下·江苏无锡·期末）（1）计算：．     （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据异分母分式加减运算法则进行计算即可； （2）先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可． 【详解】解：（1） ； （2）， 解：去分母得：， 解得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的根． 【点睛】本题主要考查了异分母分式加减运算，解分式方程，解题的关键是熟练掌握分式加减运算法则和解分式方程的一般方法，准确计算． 75．（22-23八年级下·江苏徐州·期末）某中学为了解学生每天参加户外活动的情况，对部分学生每天参加户外活动的时进行了抽样调查，并将调查结果绘制作成如下两幅不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题：    (1)本次调查一共抽取了_______名学生，并补全频数分布直方图； (2)______； (3)若该中学共有名学生，请估计该校每天参加户外活动的时间为2小时的学生人数． 【答案】(1)，补图见详解 (2) (3)估计该校每天参加户外活动的时间为2小时的学生人数为人 【分析】（1）根据小时的人数和所占的百分比可以求得本次调查的人数，求得小时的人数，从而可以将直方图补充完整； （2）根据（1）中的结果和直方图中的数据，求出1小时的人数所占比例，进而求出所对的圆心角度数； （3）根据统计图中的数据可以估计出该校每天参加户外活动的时间为2小时的学生人数． 【详解】（1）解：， ， 频数分布直方图： ； （2）∵， ∴； （3）（人）， 答：估计该校每天参加户外活动的时间为2小时的学生人数为人． 【点睛】本题考查频数分布直方图、用样本估计总体、扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 76．（22-23八年级下·江苏宿迁·期末）化简求值：，其中 【答案】 【分析】根据分式加减和乘除的运算性质求解即可． 【详解】原式 ． 将代入，得 原式． 【点睛】本题主要考查分式的混合运算，牢记分式加减和乘除的运算性质是解题的关键． 77．（22-23八年级下·江苏宿迁·期末）（1）化简：； （2）解方程：． 【答案】（1）（2）原方程无解 【分析】本题考查分式的混合运算及解分式方程． （1）先通分，计算减法，再将除法转化为乘法，约分计算即可； （2）根据解分式方程的步骤解方程后进行检验即可． 【详解】解：（1） （2） 去分母得：， 去括号得：， 移项并合并同类项得：， 化系数为1：， 经检验：是增根． ∴原方程无解． 78．（22-23八年级下·江苏淮安·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于A、B两点，点，点B的纵坐标为．    (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)若点在该反比例函数的图像上，且它到y轴的距离小于2，则n的取值范围是______；（直接写出答案） (3)求的面积． 【答案】(1)， (2)或 (3)5 【分析】（1）利用待定系数法即可求得； （2）通过观察图象，结合到轴的距离小于2，从而，进而可以得解； （3）依据题意，把的面积看成是和的面积之和进行计算． 【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上， ． 反比例函数的表达式为：． 在反比例函数图象上，且点的纵坐标为， ． 点和在一次函数的图象上， ． 解得． 一次函数表达式为：． （2）由题意，点到轴的距离小于2， ． 在该反比例函数的图象上， 当时，；当时，． 结合图1，    或； （3）由一次函数，可得，    又和， ． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点，解题时需要熟练掌握并理解． 79．（22-23八年级下·江苏宿迁·期末）如图，菱形的对角线、相交于点O，，，与交于点F． (1)求证：四边形的为矩形； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)见详解 (2)96 【分析】本题主要考查的是菱形的性质、矩形的性质和判定，以及勾股定理解三角形． （1）由菱形的性质可证明，然后再证明四边形为平行四边形，从而可证明四边形是矩形； （2）根据菱形的性质和勾股定理求出，再利用菱形的性质求面积即可． 【详解】（1）证明：， 四边形是平行四边形． 又菱形对角线交于点 ，即． 四边形是矩形． （2）菱形， ， ， ， ， ， 菱形的面积为：． 80．（22-23八年级下·江苏连云港·期末）已知与成反比例函数关系，且当时，． (1)求与之间的函数表达式； (2)当时，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）设该函数的解析式为，再把当时，代入可得的值，进而可得函数的解析式； （2）把代入（）中的函数解析式可得答案． 【详解】（1）解：∵与成反比例函数关系， ∴设该函数的解析式为， ∵当时， ∴，， ∴与之间的函数表达式为：； （2）解：当时，． 【点睛】考查了待定系数法求反比例函数解析式，用待定系数法求反比例函数的解析式要注意：（）设出含有待定系数的反比例函数解析式（为常数，）；（）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程；（）解方程，求出待定系数；（）写出解析式． 81．（22-23八年级下·江苏宿迁·期末）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散，学生注意力指标y随时间x分钟）变化的函数图像如图所示，当和时，图像是线段；当时，图像是反比例函数图像的一部分．    (1)求图中点A的坐标； (2)王老师在一节数学课上讲解一道数学综合题需要16分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由． 【答案】(1)20 (2)能，理由见解析 【分析】（1）设反比例函数的解析式为，由求出，可得坐标，从而求出的指标值； （2）求出解析式，得到时，，由反比例函数可得时，，根据，即可得到答案． 【详解】（1）解：设当时，反比例函数的解析式为，将代入得： ，解得， 反比例函数的解析式为， 当时，， ， ，即对应的指标值为20； （2）解：设当时，的解析式为，将、代入得： ，解得， 的解析式为， 当时，，解得， 由（1）得反比例函数的解析式为， 当时，，解得， 时，注意力指标都不低于36， 而， 张老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36． 【点睛】本题考查函数图象的应用，涉及一次函数、反比例函数及不等式等知识，解题的关键是求出和时的解析式． 82．（22-23八年级下·江苏无锡·期末）如图1，已知点，，且、满足，平行四边形的边与轴交于点，且为中点，双曲线经过、两点．      (1)________，________； (2)求反比例函数表达式； (3)点在双曲线上，点在轴上，若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)；； 【分析】（1）根据二次根式的非负性，平方数的非负性即可求解； （2）为中点，且点的横坐标为，设点的横坐标为，设，根据中点坐标公式可用含的式子表示出点的坐标，根据平行四边形的性质可表示出点的坐标，将点代入反比例函数即可求解； （3）根据平行四边形的性质，图形结合，分类讨论，①当为边时：第一种情况：如图所示，若为平行四边形，过点作轴于点；第二种情况：如图2所示，若为平行四边形；②当为对角线时：如图3所示；根据平行四边形的性质，全等三角形的性质等知识即可求解． 【详解】（1）解：在中， ∵， ∴，解得，， ∴，． （2）解：由（1）可知，，， ∴，， ∵为中点，且点的横坐标为，设点的横坐标为， ∴， ∴，设， 又∵四边形是平行四边形，且， 如图所示，过点作轴于点，过点作于点，    ∴轴， ∴， ∴，且，， ∴， ∴，， ∴， ∵点，都在双曲线的图像上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在双曲线上， ∴， ∴反比例函数的解析式为． （3）解：∵点在双曲线上，点在轴上，，， ∴设，， ①当为边时： 第一种情况：如图所示，若为平行四边形，过点作轴于点，    ∴，，， ∴， ∴，即点的横坐标为， ∴，， ∴， ∴； 第二种情况：如图所示，若为平行四边形，    ∵点在轴上，且， ∴轴， ∴点的横坐标相同，即，此时， ∴，且， ∴； ②当为对角线时：如图所示，    ∵，且， ∴点的横坐标相同，即， ∴， ∴，且， ∴； 综上所述；；． 【点睛】本题主要考查反比例函数与几何图形变换的综合，掌握待定系数法求反比例函数解析式，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质等知识是解题的关键． 83．（22-23八年级下·江苏淮安·期末）已知y是x的函数，当时，函数值；当时，函数值，若 (i为正整数)，则称为该函数的i倍区间．如函数中，当时，，当时，，，所以是函数的3倍区间． (1)若是函数的倍区间，则 ； (2)已知是函数(k≠0)的i倍区间(i为正整数)，点、是函数图象上的两点． ①试说明：； ②当，时，求的面积； (3)已知 是函数的倍区间，在此区间内，该函数的最大值与最小值的差为，求、的值． 【答案】(1)2 (2)①见解析；②3 (3)， 【分析】（1）根据题目中的定义，进行计算，便可求出； （2）①根据题意，表示出，对等式进行变形分析，可得出结论； ②将，代入，确定函数表达式后，结合图象可求出面积； （3）先根据定义可求出的值，再对的正负分类，结合反比例函数的性质，列出方程可求出． 【详解】（1）由题知， 当时，；当时，． 又， 所以． 故答案为：． （2）①根据题意得，，， 则， 又，所以，即． 又为正整数，所以． 假设，则， 这与题中，矛盾， 所以． ②当，时，，反比例函数表达式为：， 则，， 又，则，两点都在第三象限这一支上． 如图所示：    分别过，两点作轴垂线，垂足分别为，， 则， 又， 所以， 又， 且，则， 所以． （3）因为是函数的倍区间， 由（2）知  ， 解得． 当时，反比例函数位于一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小． 所以，解得． 当时，反比例函数位于二、四象限，且在每个象限内随的增大而增大． 所以，解得． 综上所述，． 【点睛】本题是一道代数综合题，考查了反比例函数的性质及分类讨论的数学思想，熟练掌握每个知识点是解决本题的关键． 84．（22-23八年级下·江苏无锡·期末）某中学在商店购进了A、两种品牌的篮球购买品牌篮球花费了元，购买品牌篮球花费了元，且购买A品牌篮球数量是购买品牌篮球数量的倍，已知购买一个品牌篮球比购买一个品牌篮球多花元． (1)求购买一个A品牌、一个品牌的篮球各需多少元？ (2)购买后仍供不应求，学校决定再次购进A、两种篮球共个，恰逢该商店对这两种品牌售价进行调整，A品牌售价比第一次购买时提高了元，品牌按第一次购买时售价的折出售如果学校要求此次购买的总费用不超过元，那么该中学此次至少可购买多少个A品牌篮球？ 【答案】(1)购买一个A品牌的篮球需元，购买一个品牌的篮球需元 (2)该中学此次至少可购买个A品牌篮球 【分析】（1）设购买一个A品牌的篮球需元，则购买一个品牌的篮球需元，根据购买A品牌篮球花费了元，购买品牌篮球花费了元，且购买A品牌篮球数量是购买品牌篮球数量的倍，列出分式方程，解方程即可． （2）设中学此次可购买个A品牌篮球，则购买个品牌篮球，根据学校要求此次购买的总费用不超过元，列出一元一次不等式，解不等式，即可解决问题． 【详解】（1）解：设购买一个A品牌的篮球需元，则购买一个品牌的篮球需元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：购买一个A品牌的篮球需元，购买一个品牌的篮球需元． （2）设中学此次可购买个A品牌篮球，则购买个品牌篮球， 由题意得：， 解得：， 是整数， 的最小值是， 答：该中学此次至少可购买个A品牌篮球． 【点睛】此题考查分式方程的应用与一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． 85．（22-23八年级下·江苏淮安·期末）化简并求值：，其中． 【答案】， 【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，再将代入计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 【点睛】本题考查分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 86．（22-23八年级下·江苏连云港·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)x=5； (2)无解． 【分析】（1）先去分母变为整式方程，然后再解整式方程，得出x的值，最后进行检验； （2）先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，将未知数系数化为1，最后进行检验即可． 【详解】（1）解：， ， ， 检验：把代入得：， ∴是原方程的解． （2）解：， ， ， ， ， 检验：把代入得：， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． 【点睛】本题主要考查了解分式方程，注意解分式方程最后要进行检验． 87．（22-23八年级下·江苏连云港·期末）先将代数式化简，再从的范围内选取一个合适的整数x代入求值． 【答案】，当时，原式，当时，原式． 【分析】先将分式进行化简，然后根据分式有意义的条件确定代入的值计算即可． 【详解】解：原式 ， ∵，且，，，x为整数 ∴当，2， 当时，原式， 当时，原式． 【点睛】题目主要考查分式的化简求值及分式有意义的条件，熟练掌握分式的化简方法是解题关键． 88．（22-23八年级下·江苏连云港·期末）已知关于x的分式方程． (1)若分式方程有增根，求a的值； (2)若分式方程无解，求a的值． 【答案】(1)； (2)a的值为或2． 【分析】（1）先将分式方程化为整式方程，根据方程有增根，可得到，然后代入整式方程，即可求解； （2）根据方程无解，可分两种情况：原分式方程有增根和整式方程无解，即可求解． 【详解】（1）解： 方程两边同乘得 整理可得： ∵原方程有增根 ∴，即或， 当时，，故应舍去， 当时，，解得， ∴时，方程有增根； （2）解：由（1）知：时，原方程无解 当，方程无解 ∴时，原方程无解 综上所述，a的值为或2． 【点睛】此题考查了分式方程的增根，理解增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值是解题的关键． 89．（22-23八年级下·江苏宿迁·期末）某商家预测一种运动衫能畅销市场，就用12000元购进了一批这种运动衫，上市后果然供不应求，商家又用了26400元购进了第二批这种运动衫，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每件进价贵了10元． (1)求该商家购进的第二批运动衫是多少件？ (2)若两批运动衫都按每件150元的价格销售，则这两批运动衫全部售完后的利润是多少元？ 【答案】(1)该商家购进的第二批运动衫是件 (2)两批运动衫全部售完后的利润是元 【分析】（1）设该商家购进的第一批运动衫件，则第二批运动衫为件，分别用总价除以数量得出两次进货的单价，再根据第二次单价比第一单价贵10元，列出分式方程求解即可； （2）先求得每一批运动衫的进价，然后再求得两批运动衫的每一件运动衫的利润，最后根据利润等于每件的利润乘以件数求解即可． 【详解】（1）解：设该商家购进的第一批运动衫件，则第二批运动衫为件， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解， ∴（件）， ∴该商家购进的第二批运动衫是件； （2）解：第一批运动衫的进价为：（元）， 第二批运动衫的进价为：（元）， 两批运动衫全部售完后的利润元， ∴两批运动衫全部售完后的利润是元． 【点睛】本题考查了用分式方程解决实际问题、有理数的混合运算的实际应用，解本题的关键在于理解题意，找到数量关系列出方程． 90．（22-23八年级下·江苏镇江·期末）某快递公司为了提高分拣效率，引进智能分拣机，每台机器每小时分拣的快件量是人工每人每小时分拣快件数量的20倍，经过测试，由5台机器分拣6000件快件的时间，比20个人工分拣同样数量的快件节省4小时． (1)求人工每人每小时分拣多少件？ (2)若快递公司每天需要分拣10万件快件，机器每天工作时间为16小时，则至少需要多少台这样的分拣机． 【答案】(1)人工每人每小时分拣60件 (2)至少需要6台这样的分拣机 【分析】（1）设人工每人每小时分拣x件，则每台机器每小时分拣件，根据“5台机器分拣6000件快件的时间，比20个人工分拣同样数量的快件节省4小时”，列出方程求解即可； （2）设需要y台这样的分拣机，根据“每天需要分拣10万件快件，机器每天工作时间为16小时”，列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设人工每人每小时分拣x件，则每台机器每小时分拣件， ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 答：人工每人每小时分拣60件； （2）解：设需要y台这样的分拣机， ， 解得：， ∵y为整数， ∴y最小值为6， 答：至少需要6台这样的分拣机． 【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，解题的关键是掌握正确理解题意，根据题意找出数量关系，列出方程和不等式求解． 91．（22-23八年级下·江苏淮安·期末）题目： 如图，在平行四边形中．求作菱形，使点在边上，点在边上．（保留作图痕迹，不写作法） 小华的作法：如图1， a．以点C为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点N； b．分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交点F，射线交于点H； c．再以点C为圆心，为半径画弧交于点，连接，则四边形为所求作的菱形． (1)证明小华所作的四边形是菱形； (2)借助已有的经验，请仅用无刻度直尺完成下列作图问题，保留痕迹，不写作法． 如图2，在中，平分，点在边上，．请过点作的垂线，垂足为． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质和角平分线逐步推出，，进一步得到，根据等角对等边证明，根据一组邻边相等的四边形是菱形证明即可； （2）连接，，交于点O，连接并延长，与交于点G即可．． 【详解】（1）解：证明：如图1中，四边形是平行四边形， ， ， 由作图可知：平分， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）如图，即为所求． 同（1）可知：， 在中，，， ∴，又， ∴， ∴，又， ∴四边形是平行四边形， ∴，又， ∴． 【点睛】本题考查作图复杂作图，角平分线的定义，平行四边形的性质，菱形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 92．（22-23八年级下·江苏宿迁·期末）如图，E、F是正方形的对角线上的两点，且．    (1)判断四边形的形状并证明； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)菱形 (2)6 【分析】（1）连接，交于点O，根据正方形的性质得出，根据，推出，则四边形是平行四边形，，得出四边形是菱形； （2）根据勾股定理可得，进而得出，根据菱形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：连接，交于点O， ∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴，即， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形；      （2）解：∵四边形为正方形， ∴， 根据勾股定理可得：， ∵，， ∴， ∴四边形的面积． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，菱形的判定和性质，解题的关键是掌握正方形对角线互相垂直平分且相等，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，菱形的面积等于对角线乘积的一半． 93．（22-23八年级下·江苏苏州·期末）如图，在正方形中，点E是边的中点，将沿翻折得到．延长交于点H，连接．    (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据翻折的性质，得到，进而得到，再根据，利用即可证明； （2）根据翻折得到，，全等得到，进而推出，利用勾股定理求出的长，设，利用勾股定理建立方程求出的值，再利用进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵正方形中，点E是边的中点， ∴， ∵将沿翻折得到， ∴， ∴， 又， ∴； （2）解：∵将沿翻折得到， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，即：， ∵， ∴，， 在中，， 设，则：， 在和中：， 即：， 解得：； ∴． 【点睛】本题考查正方形与折叠，全等三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握正方形的性质，折叠的性质，是解题的关键． 94．（22-23八年级下·江苏无锡·期末）已知：如图，在四边形中，，的垂直平分线交于点，交于点，且．    (1)求证：四边形是菱形； (2)当的大小为多少度时，四边形是正方形？ 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】（1）根据垂直平分线的性质得出，，，，根据平行线的性质得出，，进而可得，根据等角对等边得出，进而可得，根据四边相等的四边形是菱形，即可得证； （2）根据菱形的性质，即可证明四边形是正方形，即可求解． 【详解】（1）解：∵垂直平分， ∴，，， ∴， ∴ ∵， ∴， 又∵， ∴，， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴四边形是菱形． （2）当时，四边形是正方形． 证明：∵，， ∴， ∴， ∴菱形是正方形． 【点睛】本题考查了菱形的判定，正方形的判定，熟练掌握以上判定定理是解题的关键． 95．（22-23八年级下·江苏无锡·期末）某校学生会倡导的“牵手特殊教育”自愿捐款活动，对学校部分捐款人数进行调查和分组统计后，将数据整理成如图所示的统计图（图中信息不完整）．已知、两组捐款人数的比为． 组别 捐款额x/元 人数 A a B 100 C D E    请结合以上信息解答下列问题： (1)a= ，本次调查样本的容量是 ； (2)求C组的人数； (3)扇形统计图中B类部分所对应扇形的圆心角的度数为 °； (4)根据统计情况，估计该校参加捐款的4500名学生有多少人的捐款额在C组或D组． 【答案】(1)20；500 (2)200 (3) (4) 【分析】（1）根据题意：本次调查样本的容量是： （2）根据样本容量及扇形统计图即可求出组人数； （3）利用乘以部分所占百分比即可得解； （3）用乘以、两组的和所占的百分比即可得解． 【详解】（1）解：， 本次调查样本的容量是：， 故答案为：，； （2）解：， 组的人数为； （3）解：， 故答案为； （4）解：（人）， 答：该校名学生中大约有人捐款的捐款额在组或组． 【点睛】本题考查了用样本估计总体，条形统计图与扇形统计图的综合应用，求条形统计图的相关量，从统计图表获取信息是关键． 96．（22-23八年级下·江苏宿迁·期末）如图所示，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交于点，连接    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据证明：；根据全等得出，推出四边形是平行四边形，再根据即可推出四边形是菱形； （2）在中，勾股定理求得，进而在中，勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：是的垂直平分线， ，． 四边形是矩形， ， ， 在和中， ， ， . 又， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形是菱形； （2）∵四边形是菱形， ∴． ∵， 在中，， ∴， 在中，． 【点睛】本题考查了勾股定理，矩形性质，平行四边形的判定，菱形的判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质等知识点的综合运用，解题关键是熟练运用相关知识进行推理证明． 97．（22-23八年级下·江苏泰州·期末）如图，矩形纸片，，，点P为边上一动点，将矩形纸片沿折叠，折叠后与相交于点E． (1)为何值时，点E与点A重合； (2)当长为何值时，的面积最大？并求出面积的最大值． 【答案】(1)为时，点E与点A重合 (2)当时，的面积最大值为10 【分析】（1）由折叠可知，当点E与点A重合时，即可求解； （2）由折叠可知，由平行线的性质可得，于是可得，，由，可知当最大时，的面积最大，而在中，只要当最大时，就最大，于是可得当最大时，最大，设，则，在中，利用勾股定理建立方程解得，再求出此时，的面积即可． 【详解】（1）解：当点E与点A重合时，如图， ∵四边形为矩形， ∴， 由折叠可知，， ∵， ∴， ∴为时，点E与点A重合； （2）解：如图， 由折叠知，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵，而的长度不变， ∴当最大时，的面积最大， 又∵， ∴最大时，的面积最大， 而在中，只要当最大时，就最大， ∴当最大时，最大， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴当时，的面积最大值为10． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题关键． 98．（22-23八年级下·江苏镇江·期末）如图，平行四边形的对角线交于点O，E为的中点．连接并延长至点F，使得，连接．    (1)求证：四边形为平行四边形； (2)当满足什么条件时，四边形为矩形，证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2)当时，四边形AFBO是矩形，证明见解析 【分析】（1）证明为的中位线，则，又，则，即可得证； （2）根据平行四边形的性质得出，则由三线合一定理得到，结合（1）的结论，即可得证． 【详解】（1）证明：∵平行四边形的对角线交于点O， ∴， 又∵E为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形； （2）解；当时，四边形是矩形，证明如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，即点O为的中点， ∵， ∴, ∴平行四边形是矩形． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定，三角形中位线定理，三线合一定理，熟练掌握特殊四边形的判定定理是解题的关键． 99．（22-23八年级下·江苏泰州·期末）如图，已知平行四边形中，对角线交点O，E是延长线上的点，且是等边三角形． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)80 【分析】（1）根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”证明即可； （2）根据条件证明菱形是正方形，即可求出． 本题考查了菱形的判定与性质、正方形的判定与性质、等边三角形的性质等知识，熟练掌握等边三角形的性质、证明四边形是菱形与正方形是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，即， ∴四边形是菱形． （2）解：∵是等边三角形， ∴， 由（1）知，，， ∴，是直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴ ∴菱形是正方形， ∴四边形的面积． 100．（22-23八年级下·江苏宿迁·期末）矩形纸片中，，，点P在边上，点Q在边上，将纸片沿折叠，使顶点B落在点E处．    (1)如图1，若点E恰好落在边上．请在图中用无刻度的直尺和圆规作出折痕（不写作法，保留作图痕迹）； (2)如图2，折痕的端点P与点A重合． ①当时，_______； ②若点E恰好在线段上，求的长． (3)如图3，若，连接，若是以为腰的等腰三角形，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①；②2 (3)或． 【分析】（1）连接，作的垂直平分线交于点P，交于点Q，则即为所求； （2）①根据折叠的性质直接计算即可；②根据折叠可知，，，，根据勾股定理求出，根据勾股定理得出，求出结果即可； （3）分两种情况：当时，当时，过点D作于点F，根据勾股定理和三角形全等的判定和性质，分别求出结果即可． 【详解】（1）解：连接，作的垂直平分线交于点P，交于点Q，则即为所求；如图所示：    （2）解：①根据折叠可知，， ∵， ∴； 故答案为：； ②根据折叠可知，，，， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴； 故答案为：2；    （3）解：由折叠可知，，设，则，， 当时，在中，， 解得：， ∴此时； 当时，过点D作于点F，如图所示：    ∴， 由折叠可知，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴此时； 综上分析可知，的长为或． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，折叠性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，余角的性质，垂直平分线的性质，尺规作线段的垂直平分线，解题的关键是熟练掌握相关性质，作出图形，数形结合，并注意分类讨论． 8 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$