八年级数学下学期期末押题卷（江苏专用）-【尖子生培优】2023-2024学年八年级数学下学期重难点压轴题突破专练（苏科版）

八年级数学下学期期末押题卷（江苏专用）（原卷版） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．在下列四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．为了解某校初二年级名学生的身高情况，从中抽取了名学生的身高进行统计分析，以下说法正确的是（    ） A．名学生是总体的一个样本 B．每位初二年级学生的身高是个体 C．名学生是总体 D．样本容量是名学生 3．下列事件属于随机事件的是（    ） A．常压下，温度降到以下，自来水会结冰 B．随意打开一本书，书的页码是奇数 C．任意一个五边形的外角和等于 D．如果，那么 4．已知点，，均在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 5．如果把分式中的和都扩大为原来的倍，那么分式的值（   ） A．不变 B．缩小为原来的倍 C．扩大为原来的倍 D．扩大为原来的倍 6．已知、满足，则（    ） A．4 B．8 C．2024 D．4048 7．如果关于x的分式方程无解，那么m的值为（    ） A． B．或 C．或 D．或或 8．如图，将一边长为15的正方形纸片的顶点A折叠至边上的点，使，折痕为，则的长为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 二、填空题（每小题3分，共30分） 9．若实数a在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果是 ． 10．已知，则的值为 ． 11．近年来，某市旅游事业蓬勃发展，吸引了大批海内外游客前来观光旅游、购物度假．下面两图分别反映了该市年游客总人数和旅游业总收入情况．年的游客中，国内游客为万人次，其余为海外游客，国内游客的人均消费约为元，则海外游客的人均消费约为 元．（注：旅游收入=游客人数×游客的人均消费） 12．如图，点，，若反比例函数的图像与线段有交点，则的取值范围是 ． 13．若关于的一元一次不等式组至少有2个整数解，且关于的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数的值的和是 ． 14．如图，在平行四边形中，的平分线交于点E，则的长为 ． 15．“头盔是生命之盔”质检部门对某工厂生产的头盔质量进行抽查，抽查结果如表： 抽查的头盔数n 100 200 300 500 800 1000 3000 合格的头盔数m 95 194 289 479 769 960 2880 合格头盔的频率 0.950 0.945 0.962 0.958 0.961 0.960 0960 如果从该工厂生产出来的头盔中任取一个，则该头盔是合格的概率为 ．（精确到0.01） 16．如图，点在反比例函数上，垂直轴于，是轴负半轴上一个动点，是斜边上一点，，若的面积为9，则 ． 17．设a、b、c是互不相等的实数，且，则 ． 18．如图，在中，，，M是中点，，分别交、于点O、I，若的面积为48，则下面结论①；②的面积为12；③；④；正确的有 ． 三、解答题（共46分） 19．计算 (1) (2) 20．解方程 (1)； (2)． 21．从标有数字，，，的张卡片中，任意抽取张设“取到的倍数”，“取到的倍数”． (1)事件A和哪个发生的可能性大？ (2)事件A和的概率各是多大？ 22．镇江——有山有水有底蕴，无数文人墨客歌咏过的山水在这里汇合，它是一座美的让人吃醋的城市．2024年的清明小长假，镇江各景区迎来了一波客流小高峰．某校八年级数学兴趣小组就“最想去的镇江旅游景点”，随机调查了本校部分学生，提供六个具体选择：A：金山；B：焦山；C：圈山；D：西津渡；E：北固山；F：其他．要求每位同学选择且只能选择一个最想去的景点，下面是根据调查结果进行数据整理后绘制出的不完整的统计图． (1)本次调查的样本容量为 ，并请你将条形统计图补充完整． (2)扇形统计图中，景点 D所对应的圆心角的度数为 ． (3)若八年级数学兴趣小组所在学校共有1200名学生，请你根据调查结果估计该校最喜爱“西津渡”与“金山”的学生总人数． 23．如图1，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，点的坐标为，点B的坐标为． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)连结，，求的面积； (3)如图2，点是x轴上的一个动点，过点T作轴的垂线，与一次函数和反比例函数的图象分别交于，两点，当在的上方时，请直接写出的取值范围． 24．如图，在中，，平分，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)若是边长为4的等边三角形，相交于点O，在上截取，连接，求线段的长及四边形的面积． 25．观音桥的某水果店花费6000元购进淡雪草莓，另花费1000元购进牛奶草莓，淡雪草莓的进价是牛奶草莓的进价的2倍，淡雪草莓的数量比牛奶草莓的数量多100千克． (1)求牛奶草莓每千克的进价； (2)该水果店第一周以40元/千克的价格售出牛奶草莓3m千克，第二周每千克售价降低了0.5m元，售出20千克，第三周售价在第一周的基础上打七折，购进的牛奶草莓剩余部分全部售罄、若购进的牛奶草莓总利润不低于796元，求m的最小值． 26．平面直角坐标系中点的坐标为，连接，过点做轴于点． (1)如图，点是上一点，（不与点、重合）作轴于点，轴于点．则； (2)如图，将图中的绕着点旋转，使的一条边经过点，另一条边交轴于点．则和的数量关系是______；______度．（直接写出答案） (3)如图，在图的条件下以，为邻边作矩形，连接，则 ①矩形一定是正方形，理由：______．（用文字叙述） ②在①的条件下当时，求的长度． 6 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级数学下学期期末押题卷（江苏专用）（解析版） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．在下列四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解题的关键． 【详解】、是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 2．为了解某校初二年级名学生的身高情况，从中抽取了名学生的身高进行统计分析，以下说法正确的是（    ） A．名学生是总体的一个样本 B．每位初二年级学生的身高是个体 C．名学生是总体 D．样本容量是名学生 【答案】B 【分析】本题考查了抽样调查，涉及总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象，总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小，样本容量是样本中包含的个体的数目．总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目，据此逐项判断即可得出结论． 【详解】A、名学生的身高是总体的一个样本，故此选项错误，不符合题意； B、每位初二年级学生的身高是个体，故此选项正确，符合题意； C、名学生的身高是总体，故此选项错误，不符合题意； D、样本容量是，故此选项错误，不符合题意； 故选：B． 3．下列事件属于随机事件的是（    ） A．常压下，温度降到以下，自来水会结冰 B．随意打开一本书，书的页码是奇数 C．任意一个五边形的外角和等于 D．如果，那么 【答案】B 【分析】本题考查了随机事件以及必然事件、不可能事件的定义，根据必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，对每一项进行分析即可，正确把握相关定义是解题的关键． 【详解】解：、通常温度降到以下，自来水会结冰，是必然事件，故不符合题意； 、随意翻到一本书，书的页码是奇数，是随机事件，故符合题意； 、任意一个五边形的外角和等于，是必然事件，故不符合题意； 、如果，那么，是必然事件，故不符合题意； 故选：． 4．已知点，，均在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了比较反比例函数的函数值的大小，掌握反比例函数的增减性成为解题的关键． 根据，得到双曲线过二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴双曲线过二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大， ∵点，，， ∴在第二象限，C在第四象限， ∴． 故选：C． 5．如果把分式中的和都扩大为原来的倍，那么分式的值（   ） A．不变 B．缩小为原来的倍 C．扩大为原来的倍 D．扩大为原来的倍 【答案】A 【分析】此题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质即可求出答案，正确掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：把分式中的和都扩大为原来的倍， ∴， ∴分式的值不变， 故选：． 6．已知、满足，则（    ） A．4 B．8 C．2024 D．4048 【答案】A 【分析】此题考查的是二次根式有意义的条件，非负数的性质，几个非负数的和为0，根据二次根式有意义的条件以及非负数的性质可得、、的值，然后代入可得答案． 【详解】解：、满足， ， ， ， ，， ，， 则， 故选：A． 7．如果关于x的分式方程无解，那么m的值为（    ） A． B．或 C．或 D．或或 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式方程无解求参数的值，熟知分式方程无解的两种情况是解决本题的关键．考虑两种情况：第一种情况是化为整式方程时，整式方程无解，则原分式方程也无解；第二种是分式方程化为整式方程时，整式方程有解，但是整式方程的解会使最简公分母为0，产生了增根．综合两种情况求解即可． 【详解】解： 分式方程两边同乘以得： 整理得：， 要使原分式方程无解，则有以下两种情况： ①当时，即，整式方程无解，原分式方程无解． ②当时，则解得， 要使原分式方程无解，则是原分式方程增根， 由得， 故，或 解得，或方程无解； 经检验，是原方程的解， 综上所述可得：或时，原分式方程无解． 故选：B． 8．如图，将一边长为15的正方形纸片的顶点A折叠至边上的点，使，折痕为，则的长为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】C 【分析】先过点作于点，利用三角形全等的判定得到，从而求出． 【详解】解：过点作于点， 由折叠得到， ， 又， ， ， ， 则，， ． 故选：C． 【点睛】本题考查正方形的折叠问题，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，平行线的性质等知识，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等． 二、填空题（每小题3分，共30分） 9．若实数a在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果是 ． 【答案】1 【分析】根据数轴得，化简计算即可，本题考查了数轴上数的大小小，二次根式的化简，熟练掌握化简的基本原则是解题的关键． 【详解】根据题意，得， ∴ ． 故答案为：． 10．已知，则的值为 ． 【答案】12 【分析】本题考查二次根式化简求值，结合完全平方公式整体代入求值即可． 【详解】∵， ∴， ∴， 故答案为：． 11．近年来，某市旅游事业蓬勃发展，吸引了大批海内外游客前来观光旅游、购物度假．下面两图分别反映了该市年游客总人数和旅游业总收入情况．年的游客中，国内游客为万人次，其余为海外游客，国内游客的人均消费约为元，则海外游客的人均消费约为 元．（注：旅游收入=游客人数×游客的人均消费） 【答案】 【分析】本题考查了条形统计图和折线统计图的综合运用，有理数的运算，从统计图中得到必要的信息，列出算式，进行计算即可求解，根据题意，列出算式是解题的关键． 【详解】解：由题意得，海外游客的人均消费约为： （元）， 故答案为：． 12．如图，点，，若反比例函数的图像与线段有交点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点的问题以及解一元一次不等式组，列出关于k的一元一次不等式组是解题的关键． 先根据图像及已知条件列出不等式组，然后求解即可． 【详解】解：由已知可得：，解得：． 故答案为：． 13．若关于的一元一次不等式组至少有2个整数解，且关于的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数的值的和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解题关键．先解不等式组，确定a的取值范围，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得，由分式方程有非负整数解，确定出a的值，相加即可得到答案． 【详解】解：解不等式组得， ∵至少有2个整数解，即和， ∴， 解得， 解分式方程得， 又∵为非负整数解且， ∴，，解得且， ∴满足条件的整数的值为：， ∴整数的值的和是， 故答案为：． 14．如图，在平行四边形中，的平分线交于点E，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，由平行四边形的性质可得，，由平行线的性质和角平分线的性质可求，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． 15．“头盔是生命之盔”质检部门对某工厂生产的头盔质量进行抽查，抽查结果如表： 抽查的头盔数n 100 200 300 500 800 1000 3000 合格的头盔数m 95 194 289 479 769 960 2880 合格头盔的频率 0.950 0.945 0.962 0.958 0.961 0.960 0960 如果从该工厂生产出来的头盔中任取一个，则该头盔是合格的概率为 ．（精确到0.01） 【答案】0.96 【分析】运用频率估计概率即可． 【详解】观察上表，可以发现，当抽取的瓷砖数n≥1000时，合格头盔的频率稳定在0.960附近，所以可取p=0.96作为该型号的合格率． 故答案为：0.96 【点睛】本题考查了利用频率估计概率，熟练掌握利用频率估计概率的相关知识是解题的关键． 16．如图，点在反比例函数上，垂直轴于，是轴负半轴上一个动点，是斜边上一点，，若的面积为9，则 ． 【答案】 【分析】此题重点考查反比例函数中比例系数的几何意义，解题的关键是正确地作出辅助线． 过点作轴的垂线，得到矩形，连接，则矩形的面积是面积的2倍，所以只要根据的面积求出的面积即可． 【详解】解：如图，连接，作轴于点， ∵垂直轴，， ∴四边形为矩形， ， ， ， ，， ， ， ∵， ∴． 故答案为：． 17．设a、b、c是互不相等的实数，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的化简求值，由可得，同理可得，，由此三式相乘即可解答． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴． 故答案为：． 18．如图，在中，，，M是中点，，分别交、于点O、I，若的面积为48，则下面结论①；②的面积为12；③；④；正确的有 ． 【答案】①②③ 【分析】①证明与都是的余角，便可判断①的正误；②过点M作，与交于点E，证明，，再证明，得，进而得，再由等高的三角形的面积比等于底边之比求得的面积，便可判断②的正误；③由②的，得与的关系，便可判断③的正误； ④过点C作，与的延长线交于点F，证明，得，当H不是的中点时，，此时，便可判断④的正误． 【详解】解：①∵， ∴， ∴，故①正确； ②过点M作，与交于点E， ∵M是中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴, 故②正确； ③∵， ∴，故③正确； ④过点C作，与的延长线交于点F， ∴， ∵M是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 当H不是的中点时，， ∴， 故④不正确； 故答案为：①②③． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形的中位线定理，三角形的面积，关键在于构造全等三角形． 三、解答题（共46分） 19．计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）先计算二次根式的乘法以及二次根式的化简，再合并同类二次根式即可； （2）利用乘法公式计算，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．解方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查了分式方程的解法，通过去分母将分式方程转化为整式方程后求解，再将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母不为零，则整式方程的解是原分式方程的解，否则不是原分式方程的解，掌握分式方程的解法是解题的关键． （1）方程两边同乘化为整式方程后求解，检验整式方程的根是否使得为零，即可得解； （2）方程两边同乘化为整式方程后求解，检验整式方程的根是否使得为零，即可得解； 【详解】（1）解： 两边同乘得：， 解这个方程，得， 检验：当，， 所以，是原方程的根． （2）解： 两边同乘得：， 解得， 检验：当，， 所以，不是原方程的解，原方程无解． 21．从标有数字，，，的张卡片中，任意抽取张设“取到的倍数”，“取到的倍数”． (1)事件A和哪个发生的可能性大？ (2)事件A和的概率各是多大？ 【答案】(1)事件A发生的可能性大 (2)， 【分析】（1）数字，，，中，的倍数有4个，3的倍数由2两个，即可判断出事件A的发生的可能性大； （2）根据简单事件可能性大小的计算方法进行计算即可． 【详解】（1）解：数字，，，中， 的倍数有，4，6，8， 的倍数有，6， ∴事件A发生的可能性大； （2）解：事件A发生的概率为：， 事件B发生的概率为：． 【点睛】本题考查简单事件的可能性，解题的关键是熟练掌握相关知识． 22．镇江——有山有水有底蕴，无数文人墨客歌咏过的山水在这里汇合，它是一座美的让人吃醋的城市．2024年的清明小长假，镇江各景区迎来了一波客流小高峰．某校八年级数学兴趣小组就“最想去的镇江旅游景点”，随机调查了本校部分学生，提供六个具体选择：A：金山；B：焦山；C：圈山；D：西津渡；E：北固山；F：其他．要求每位同学选择且只能选择一个最想去的景点，下面是根据调查结果进行数据整理后绘制出的不完整的统计图． (1)本次调查的样本容量为 ，并请你将条形统计图补充完整． (2)扇形统计图中，景点 D所对应的圆心角的度数为 ． (3)若八年级数学兴趣小组所在学校共有1200名学生，请你根据调查结果估计该校最喜爱“西津渡”与“金山”的学生总人数． 【答案】(1)60，补全条形统计图见详解 (2) (3)600 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够读懂统计图，掌握列表用样本估计总体是解答本题的关键． （1）用条形统计图中的人数除以扇形统计图中的百分比可得这次调查一共抽取的学生人数，求出选择的学生人数，补全条形统计图即可； （2）用乘以本次调查中选择的学生所占的百分比，即可得旅游地点所对应的扇形圆心角的度数； （3）根据用样本估计总体，用1200乘以样本中最喜爱“西津渡”与“金山”学生人数所占的百分比的和，即可得出答案． 【详解】（1）解：这次调查一共抽取了（名）同学， 选择的人数为（人． 补全条形统计图如图所示． 故答案为：60． （2）解：扇形统计图中，旅游地点所对应的扇形圆心角的度数为， 故答案为：． （3）解：（名）， 估计该校“西津渡”与“金山”的学生总人数约为600名． 23．如图1，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，点的坐标为，点B的坐标为． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)连结，，求的面积； (3)如图2，点是x轴上的一个动点，过点T作轴的垂线，与一次函数和反比例函数的图象分别交于，两点，当在的上方时，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合，待定系数法，图象法解不等式； （1）把分别代入一次函数与反比例函数，即可求解； （2）求出、点的坐标，分别过点A、B作轴于点D，轴于点E，由即可求解； （3）画出满足条件的图象，根据图象，即可求解； 掌握待定系数法，割补法，图象法是解题的关键． 【详解】（1）解：把代入一次函数得， ， 解得：， 一次函数的解析式为：， 把代入反比例函数得， ， 解得：， 反比例函数的解析式为：； （2）解：如图，分别过点A、B作轴于点D，轴于点E，    把代入得 ； ，， 设直线与轴交于点， 当时，， 解得：， ，， ∴ ； （3）解：如图，   ， 由图象可得：当在的上方时，的取值范围为：或． 24．如图，在中，，平分，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)若是边长为4的等边三角形，相交于点O，在上截取，连接，求线段的长及四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)2， 【分析】本题考查了矩形的性质和判定，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形性质，勾股定理等知识点的应用，题目是一道综合性比较强的题目，难度适中． （1）根据平行四边形判定得出平行四边形，再根据矩形判定推出即可； （2）分别求出、、、的长，再求出三角形和三角形的面积，即可求出答案． 【详解】（1）证明：且， 四边形是平行四边形， 在中，，平分， ， ， 四边形是矩形； （2）解：是等边三角形，边长为4， ，， ，，， 四边形为矩形， ， ， ， 过作于， ， ． 25．观音桥的某水果店花费6000元购进淡雪草莓，另花费1000元购进牛奶草莓，淡雪草莓的进价是牛奶草莓的进价的2倍，淡雪草莓的数量比牛奶草莓的数量多100千克． (1)求牛奶草莓每千克的进价； (2)该水果店第一周以40元/千克的价格售出牛奶草莓3m千克，第二周每千克售价降低了0.5m元，售出20千克，第三周售价在第一周的基础上打七折，购进的牛奶草莓剩余部分全部售罄、若购进的牛奶草莓总利润不低于796元，求m的最小值． 【答案】(1)牛奶草莓每千克的进价为20元 (2)m的最小值为6 【分析】本题主要考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用等知识点，理解题意并根据题意建立等量关系和不等关系是解题的关键． （1）设牛奶草莓每千克的进价为x元，则淡雪草莓的进价为元，再根据淡雪草莓的数量比牛奶草莓的数量多100千克列分式方程求解即可； （2）根据购进的牛奶草莓总利润不低于796元列一元一次不等式求解即可． 【详解】（1）解：设牛奶草莓每千克的进价为x元，则淡雪草莓的进价为元， 根据题意，得，解得：， 经检验，是原分式方程的根，且符合题意． 答：牛奶草莓每千克的进价为20元． （2）解：购进牛奶草莓的质量为：(千克)， 根据题意，得， 解得， 答：m的最小值为6． 26．平面直角坐标系中点的坐标为，连接，过点做轴于点． (1)如图，点是上一点，（不与点、重合）作轴于点，轴于点．则； (2)如图，将图中的绕着点旋转，使的一条边经过点，另一条边交轴于点．则和的数量关系是______；______度．（直接写出答案） (3)如图，在图的条件下以，为邻边作矩形，连接，则 ①矩形一定是正方形，理由：______．（用文字叙述） ②在①的条件下当时，求的长度． 【答案】(1)见解析； (2)，； (3)①有一组邻边相等的矩形是正方形；②． 【分析】（1）过点作轴于点，证平分，利用角平分线的性质即可得解； （）过点作轴，轴于、，由（）得平分，进而证，再证，即可得解； （）①根据有一组邻边相等的矩形是正方形即可得解；②过点作，先证明和是等腰直角三角形，利用勾股定理及正方形的性质即可求解． 【详解】（1）解：过点作轴于点， ∵轴，的坐标为 ∴， ∴平分， ∵轴，轴， ∴， （2）解：过点作轴，轴于、， 由（）得平分， ∵轴，轴， ∴，， ∵轴，轴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵将图中的绕着点旋转，使的一条边经过点，另一条边交轴于点． ∴，即， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，； （3）解：①由（）得， ∵四边形是矩形， ∴矩形是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）， 故答案为：有一组邻边相等的矩形是正方形； ②过点作， ∵平分，， ∴， ∴和是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴； 【点睛】本题主要考查了矩形的判定及性质，正方形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理以及角平分线的判定及性质，熟练掌握平分线的判定及性质以及矩形的判定及性质是解题的关键． 8 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$