高中数学：透彻理解与应用均值与方差

高中数学：透彻理解与应用均值与方差 均值即平均数是反映数据集中趋势的一项指标，通常分为简单算术平均数和加权算术平均数。 方差是描述数据离散程度的一个数据，它反映了各个数据值与其算术平均值之间的差异程度。在实际应用中，方差可以用来衡量数据的离散程度，方差越大表示数据的离散程度越大；方差还可以反映数据的稳定性，方差越小表示数据越稳定。 1、变量概率相等数据的方差 即对于一组数据中的n个变量，每个变量的概率均为 假设一组数据是，为这组数据的平均数，则 均值：E(X)= 方差： 不过在方差的计算中，常利用推导公式可使计算简化： 即 2、变量概率不相等数据的方差 即假设一组数据是，每个数据的概率为，且。 随机变量X的均值： 随机变量X的方差： 不过在方差的计算中，常利用推导公式可使计算简化： 即 实际上⑴变量概率相等数据的方差是⑵变量概率不相等数据的方差的特殊形式。 3、离散型随机变量的方差运算法则 离散型随机变量X加上一个常数b，仅仅使X的值产生一个平移，不改变X与其均值的离散程度，方差保持不变，即D(X+b)=D(X)； 如果离散型随机变量X乘以一个常数a，其方差变为原方差的a2倍，即D(aX) = a2D(X) 所以，一般地有D(aX+b) = a2D(X) 4、高中数学几种常用概率分布的均值与方差 (1)两点分布或0—1分布： E(X)=p，D(X) =p(1-p)； (2)二项分布：若X~ B(n，p)，则 E(X)=np，D(X) =np(1-p)； (3)正态分布：若X~ N(μ，σ2)，则 E(X)=μ，D(X) =σ2； (4)超几何分布：(X为从包含M件次品的N件产品中，不放回地抽取n件产品的次品数) ①超几何分布的均值：当N→∞时， ，∴ (二项分布中的均值) ②超几何分布的方差：当N→∞时， (二项分布中的方差) 即当N→∞时，超几何分布近似于二项分布 例题解析 例1、【概率相等问题求方差，利用基本公式】在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标来显示疫情已受控制，以便向该地区居民显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各选项中，一定符合上述指标的是（ ） A．平均数 B．平均数且标准差 C．平均数且极差小于或等于2 D．众数等于1且极差小于或等于4 【答案】CD 【解析】A错，举反例：0，0，0，0，1，6，7，其平均数，不符合每天感染人数不超过5人指标. B错，标准差s≤2，则方差D(X)≤4，举反例：0，3，3，3，3，3，6，其平均数，D(X)=≤4，不符合指标 C正确，若极差等于0或1，在的条件下，显然符合指标；若极差等于2且，则每天新增感染人数的最小值与最大值有下列可能：（1）0，2，（2）1，3，（3）2，4，符合指标 D正确，若众数等于1且极差小于或等于4，则最大值不超过5，符合指标.故选：. 例2、【概率相等问题求方差，利用推导公式】一个项目由15个专家评委投票表决，剔除一个最高分96，一个最低分58后所得到的平均分为92，方差为16，那么原始得分的方差为______________． 【答案】 【解析】剔除最高分和最低分后的 而原始平均分   原始的 则原始方差 例3、【概率不相等问题求方差，利用基本定义】随机变量X的取值范围为0，1，2，若，则D（X）＝（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，， 那么，且， 解之得，， ， 故选：C． 例4、【概率不相等问题求方差，利用推导公式 2018浙江高考真题第题】设0<p<1，随机变量ε的分布列是 ε 0 1 2 p 则当p在(0，1)内增大时( ) A、D(ε)减小 B、D(ε)增大 C、D(ε)先减小后增大 D、D(ε)先增大后减小 【答案】D 【解析】由题意可得 ∴D(ε)在(0，1)内先增大后减小，故选D 例5、【概率不相等问题求方差，利用基本定义或推导公式】设，则随机变量的分布列是： 则当在(0，1)内增大时（ ） A．增大 B．减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 【答案】D 【解析】 【法一 利用方差的基本定义】由分布列易知，那么 ， ∴当在内增大时，先减小后增大. 【法二 利用方差的推导公式】 故选D. 例6、【离散型随机变量的方差运算法则】若随机变量X服从两点分布，其中，E（X）、D（X）分别为随机变量X均值与方差，则下列结论正确的是（ ） A．P（X＝1）＝E（X） B．E（3X+2）＝4 C．D（3X+2）＝4 D． 【答案】AB 【解析】∵随机变量X服从两点分布，其中， ∴易得P（X＝1）， E（X）， D（X）＝（0）2（1）2， (注意也可直接代入两点分布的均值与方差公式) 在A中，P（X＝1）＝E（X），A正确； 在B中，E（3X+2）＝3E（X）+2＝34，B正确； 在C中，D（3X+2）＝9D（X）＝92，C错误； 在D中，D（X），故D错误. 故选：AB. 例7、【2020全国卷III第3题 概率不相等问题求方差，利用推导公式】在一组样本数据中，1、2、3、4出现的概率分别为，且，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是( ) A、 p1=p4=0.1,p2=p3=0.4 B、p1=p4=0.4,p2=p3=0.1 C、p1=p4=0.2,p2=p3=0.3 D、p1=p4=0.3,p2=p3=0.2 【答案】B 【解析】选项A，E(X)=1×0.1+2×0.4+3×0.4＋4×0.1=2.5 ∴D(X)=12×0.1+22×0.4+32×0.4＋42×0.1-2.52=0.65 同理对于选项B：D(X)=1.85；选项C：D(X)=1.05；选项D：D(X)=1.45 因为方差大的对应标准差也大，故选B 例8、【2021浙江高考数学第15题】袋中有4个红球，m个黄球，n个绿球。现从中任取两个球，记取出的红球数为ε,若取出的两个球都是红球的概率为，一红一黄的概率为，则m-n=_________,E(ε)=____________. 【答案】1， 【解析】由已知，化简得： ，解得m+n=5；一红一黄的概率为，解得m=3,n=2，∴m-n=1； ε的取值有0，1，2三种情况，，， ∴ 学科网（北京）股份有限公司 $$