期末真题精选（五大题型，压轴题50题）-【尖子生培优】2023-2024学年七年级数学下学期重难点压轴题突破专练（人教版）

期末真题精选（五大题型，压轴题50题）（原卷版） 目录 一、压轴题一：平行线综合，10题，难度四星 1 二、压轴题二：实数综合，10题，难度四星 5 三、压轴题三：平面直角坐标系综合，10题，难度四星 8 四、压轴题四：二元一次方程组综合，10题，难度四星 13 五、压轴题五：不等式综合，10题，难度四星 17 一、压轴题一：平行线综合，10题，难度四星 1．如图1，已知，，分别是直线，上的一点，点在直线，之间，，．    (1)直接写出的度数为___________（用含、的式子表示）； (2)如图2，若平分，平分，直线与直线相交于点，当时，求的度数； (3)如图3，若，将绕点以秒的速度逆时针旋转，绕点以秒的速度逆时针旋转，当旋转了时，两者同时停止，则在整个转动过程中，___________秒时，． 2．已知：，点E、F分别在直线、上，点O在直线、之间，且．      (1)如图1，若，求的度数． (2)如图2，射线平分，连接，若，与相等吗？若相等，请证明你的结论；若不相等，请说明理由． (3)如图3，在内，，在内，，点M、N分别为射线、上的动点，且点M、N在直线、之间，其中，，若，求n的取值范围． 3．如图1，直线、相交于点，，将一直角三角板中角的顶点放在点处，一直角边在射线上，另一直角边在直线的下方．    (1)在图1中，求的度数； (2)将图1中的三角板绕点逆时针旋转角，恰好使得，求此时旋转角的大小； (3)将图1中的三角板绕点逆时针旋转角，当时，求与的数量关系． 4．已知：直线，点A和点B是直线a上的点，点C和点D是直线b上的点，连接，，设直线和交于点E．    (1)在如图1所示的情形下，若，求的度数； (2)在如图2所示的情形下，若平分，平分，且与交于点F，当，时，求的度数； (3)如图3，当点B在点A的右侧时，若平分，平分，且，交于点F，设，，用含有α，β的代数式表示 的补角． 5．如图，已知直线，直线和直线，分别交于点，，直线上有一动点．    (1)如图1，点在，之间运动时，，，之间有什么关系，并说明理由； (2)若点在，两点外侧运动时，如图2和图3（点与，不重合），试直接写出，，之间有什么关系，不必写理由． 6．如图1，直线与直线分别交于点E、F，平分交于点M，且． (1)求证：； (2)如图2，点G是射线上一动点（不与点M、F重合），平分交于点H，于点N，设． ①当点G在点F的右侧时，若，求的大小； ②点G在整个运动过程中，直接写出和之间的数量关系． 7．对于湘教版数学七年级下册第110页第15题：“如图1，OB、OD分别平分∠ABD和∠BDC，∠1＋∠2＝90°，那么AB与CD有什么关系？试说明理由．” 小亮同学在做完了该题后，与学习小组的同学在“课后服务”进一步开展了探究活动： 如图，AB∥CD，OB、OD分别平分∠ABD和∠BDC． (1)如图1，那么OB与OD有什么关系？试说明理由． (2)延长BO与CD相交于点E，过点E作EF⊥BE，EF与BD的延长线相交于点F，     ①如图2，∠DFE＝28°，小亮发现可以求出∠DEF的大小，请你帮助小亮同学写出求∠DEF的大小的过程． ②如图3，连接OF，点M是EF上一点，∠MOF＝∠MFO，ON平分∠BOM交BD于点N，学习小组的小明同学发现∠FON的大小不变，请你直接写出∠FON的大小是 ． 8．直线，BE—EC是一条折线段，BP平分． (1)如图1，若，求证：； (2)CQ平分，直线BP，CQ交于点F． ①如图2，写出和的数量关系，并证明； ②当点E在直线AB，CD之间时，若，直接写出的大小． 9．如图1，AB∥CD，∠PAB＝125°，∠PCD＝115°，求∠APC的度数． 小明的思路是：过P作PM∥AB，通过平行线性质来求∠APC． (1)按小明的思路，易求得∠APC的度数为　 　度； (2)如图2，AB∥CD，点P在直线a上运动，记∠PAB＝α，∠PCD＝β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由； (3)在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点B、D两点不重合），请直接写出∠APC与α、β之间的数量关系 10．如图，直线，一副三角尺（，，，）按如图①放置，其中点在直线上，点，均在直线上，且平分． (1)求的度数． (2)如图②，若将三角形绕点以每秒2度的速度按逆时针方向旋转（，的对应点分别为，），设旋转时间为． ①在旋转过程中，当时，求的值． ②若在三角形绕点旋转的同时，三角形绕点以每秒1度的速度按顺时针方向旋转（，的对应点为，），请直接写出当时的值． 二、压轴题二：实数综合，10题，难度四星 11．若，其中a，b均为整数，则 ． 12．我们经过探索知道，，，，若已知，则 （用含的代数式表示，其中为正整数）． 13．对于有理数、，定义了一种新运算“※”为： 如：，． （1）计算：①______；②______； （2）若是关于的一元一次方程，且方程的解为，求的值； （3）若，，且，求的值． 14．阅读材料：求的值． 解：设①，将等式①的两边同乘以2， 得②， 用②－①得， 即． 即． 请仿照此法计算： （1）请直接填写的值为______； （2）求值； （3）请直接写出的值． 15．下面是小李探索的近似值的过程：我们知道面积是2的正方形的边长是，易知>1，因此可设，可画出如下示意图． 由图中面积计算， S正方形=，另一方面由题意知S正方形=，所以略去，得方程，解得，即，仿照上述方法，探究的近似值（画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 16．规律探究，观察下列等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： 请回答下列问题： （1）按以上规律写出第5个等式：= ___________  =  ___________ （2）用含n的式子表示第n个等式：= ___________ =  ___________(n为正整数） （3）求 17．我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：（p，q是正整数，且），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的完美分解．并规定：． 例如18可以分解成1×18，2×9或3×6，因为18－1＞9－2＞6－3，所以3×6是18的完美分解，所以F（18）＝． （1）F（13）＝ ，F（24）＝ ； （2）如果一个两位正整数t，其个位数字是a，十位数字为，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数为“和谐数”，求所有“和谐数”； （3）在（2）所得“和谐数”中，求F（t）的最大值． 18．阅读下面的文字，解答问题． 对于实数a，我们规定：用符号[a]表示不大于a的最大整数；用{a}表示a减去[a]所得的差． 例如：[]＝1，[2.2]＝2，{}＝﹣1，{2.2}＝2.2﹣2＝0.2． （1）仿照以上方法计算：[]＝　 　{5﹣}＝　 　； （2）若[]＝1，写出所有满足题意的整数x的值：　 　． （3）已知y0是一个不大于280的非负数，且满足{}＝0．我们规定：y1＝[]，y2＝[]，y3＝[]，…，以此类推，直到yn第一次等于1时停止计算．当y0是符合条件的所有数中的最大数时，此时y0＝　 　，n＝　 　． 19．三个自然数x、y、z组成一个有序数组，如果满足，那么我们称数组为“蹦蹦数组”．例如：数组中，故是“蹦蹦数组”；数组中，故不是“蹦蹦数组”． （1）分别判断数组和是否为“蹦蹦数组”； （2）s和t均是三位数的自然数，其中s的十位数字是3，个位数字是2，t的百位数字是2，十位数字是5，且．是否存在一个整数b，使得数组为“蹦蹦数组”．若存在，求出b的值；若不存在，请说明理由； （3）有一个三位数的自然数，百位数字是1，十位数字是p，个位数字是q，若数组为“蹦蹦数组”，且该三位数是7的倍数，求这个三位数． 20．先阅读材料，再解答问题． 我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出，给出了答案．众人十分惊讶，忙问计算的奥妙，你知道华罗庚怎样迅速而准确地计算出结果吗？请你按下面的步骤也试一试： （1），则59319的立方根是_________位数． （2）59319的个位数字是9，则59319的立方根的个位数字是______． （3）如果划去59319后面的三位“319”得到数59，而，由此可确定59319的立方根的十位数字是_____，因此59319的立方根是______． （4）现在换一个数103823，你能按这种方法得出它的立方根吗？ 三、压轴题三：平面直角坐标系综合，10题，难度四星 21．对于给定的两点，若存在点，使得三角形的面积等于1，则称点为线段的“单位面积点”，已知在平面直角坐标系中，为坐标原点．点，，．若将线段沿轴正方向平移个单位长度，使得线段上存在线段的“单位面积点”，则的值可以是（    ） A．0.5 B．1.5 C．2.5 D．3.5 22．对于平面直角坐标中的任意两点P，Q，若点P到两坐标轴的距离之和等于点Q到两坐标轴的距离之和，则称P，Q两点为“和合点”，如图1中的P，Q两点即为“和合点”．      (1)已知点，，，． ①在上面四点中，与点为“和合点”的是___________； ②若点，过点F作直线轴，点G直线l上，A、G两点为“和合点”，则点G的坐标为___________； ③若点在第二象限，点在第四象限，且A、M两点为“和合点”，D、N两点为“和合点”，求a，b的值． (2)如图2，已知点，，点是线段上的一动点，且满足，过点作直线轴，若在直线m上存在点S，使得R，S两点为“和合点”，直接写出n的取值范围． 23．热爱数学的小厦同学在平面直角坐标系中选取了直线l上的两点和，然后如图11所示摆放一个直尺，使直尺边缘恰好经过这两个点，他惊奇地发现直线l上的任意一点沿直线l移动时，其坐标变化是有规律的． (1)【描述规律】我们发现：①将点A沿此直线移动到点B时，横坐标增加了4个单位长度，纵坐标增加了______个单位长度；将点B沿此直线移动到点时，横坐标增加了2个单位长度，其纵坐标增加了______个单位长度； ②现将直线l上任意一点沿直线l平移至点Q，若点Q的横坐标为，则点Q的纵坐标为______（用含n、t的式子表示）； (2)【应用规律】如图11，继续在直尺边缘放置一个三角形纸板，点，点，将三角形纸板紧靠直尺边缘向上推动至的位置，其中点A的对应点是点，点D的对应点是点，点C的对应点是点G，求点G的坐标；（可直接使用（1）中的规律） (3)在（2）的条件下，如图所示，点在x轴上，其中．点K在直线上，，在内部有一点N，使，．若四边形为凸四边形，则请在图12中画出示意图，并求与的数量关系．          24．在平面直角坐标系中，已知点，，给出如下定义：． (1)已知点． ①若点Q与点P重合，则______； ②若点，则______； (2)正方形四个顶点的坐标分别是，，，，其中，在正方形内部有一点，动点Q在正方形的边上及其内部运动．若，求所有满足条件的点Q组成的图形的面积（用含a，b，t的式子表示）； (3)若点，，，且为奇数，直接写出k的取值范围． 25．在平面直角坐标系中，对于不重合的两点和点，如果当时，有；当时，有，则称点与点互为“进取点”．特别地，当时，点与点也互为“进取点”．已知点，点．    (1)如图1，下列各点：，，，，其中所有与点互为“进取点”的是________； (2)如果一个点的横、纵坐标都是整数，则称这个点为整点．在满足，的所有整点中（如图2）： ①已知点为第一象限中的整点，且与点，点均互为“进取点”，求所有符合题意的点的坐标； ②在所有的整点中取个点，若这个点中任意两个点都互为“进取点”，直接写出的最大值． 26．在平面直角坐标系中，对于给定的两点，，若存在点，使得的面积等于1，即，则称点为线段的“单位面积点”，解答下列问题：如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为．        (1)在点，，，中，线段的“单位面积点”是___________； (2)已知点，，将线段沿轴向上平移个单位长度，使得线段上存在线段的“单位面积点”，直接写出的取值范围___________； (3)已知点，，点，是线段的两个“单位面积点”，点在的延长线上，若，求出点纵坐标的取值范围． 27．对于实数，表示不小于的最小整数，例如：，，．点是轴右侧的点，已知点，，我们把（三角形）叫做点的取整三角形． (1)已知点，直接写出点的坐标________； (2)已知点，且点的取整三角形面积为5，直接写出的取值范围：________________； (3)若点的取整三角形面积为2，请在下面的坐标系中画出所有满足条件的点的区域（用阴影表示，能取到的边界用实线表示，不能取到的边界用虚线表示）． 28．在平面直角坐标系中，对于任意一点，点A的p值的定义如下：；比如点，；点，． (1)已知，，则_____，_____． (2)已知，，点Q在线段上运动，若，求Q的纵坐标q满足的条件； (3)如图，已知，，将线段向上平移个单位得到线段．若线段上恰有2个点的p值为20，直接写出m的取值范围． 29．在平面直角坐标系中，已知不同的两点，，若，则称点P与点Q互为k倍点； (1)已知点，点C在一条平行于y轴且经过点的直线上，它与点A互为倍点，求点C； (2)已知点，对于任意实数k，是否存在x轴上的点D，使得它与点B互为k倍点，若存在，请求出点D的个数，若不存在，请说明理由； (3)已知两点，，若点M与点N互为k倍点，且都在x轴下方，将线段向右平移k个单位长度，点M的对应点为点G，点N的对应点为点H，平移后点H到x轴的距离为2，四边形的面积为，求点M与点N． 30．在平面直角坐标系中．点A，B，P不在同一条直线上．对于点P和线段给出如下定义：过点P向线段所在直线作垂线，若垂足Q落在线段上，则称点P为线段的内垂点．若垂足Q满足最小，则称点P为线段的最佳内垂点．已知点，，． AI    (1)在点、、，中，线段的内垂点为 　 　； (2)点M是线段的最佳内垂点且到线段的距离是2，则点M的坐标为 　 　； (3)点N在y轴上且为线段的内垂点，则点N的纵坐标n的取值范围是 　 　； (4)已知点，，．若线段上存在线段的最佳内垂点，求m的取值范围． 四、压轴题四：二元一次方程组综合，10题，难度四星 31．七年级数学兴趣小组准备了一个无盖的圆柱体容器和若干个、两种型号的钢球．先往容器里加入一定量的水，如图，水高度为，水足以淹没所有的钢球，下面探究过程中水的损耗忽略不计．    探究一： 小组做了两次实验，先放入3个型号钢球，水面的高度上涨了；把3个型号钢球捞出，再放入4个型号钢球，水面的高度恰好也上涨了，由此可得一个型号钢球可以使水位上升________，一个型号钢球可以使水位上升________； 探究二： 小组把之前的钢球全部捞出，然后再放入型号与型号钢球共10个后，水面高度涨到，问放入水中的型号与型号钢球各几个？ 探究三： 小组把之前的钢球全部捞出，然后再放入型号和型号钠球共个，此时水面高度刚好涨到（水未溢出），当最大时，放入水中的型号与型号钢球各几个？请说明理由． 32．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，且满足关系式，点在第一象限．    (1)求的值． (2)如图1，当时，三角形的面积为7，求的值． (3)如图2，连接，当时，求满足上述条件的整点（都是整数）的坐标． 33．如图，点为数轴原点，点和点是数轴上的两个动点，且点所表示的数比点所表示的数大6．    (1)当点所表示的数是时，点所表示的数是________；线段的长是________． (2)点是线段上一点（不与点、点重合），且满足， ①当点在线段上时，如果，求此时点所表示的数； ②当时，直接写出所有满足条件的点所表示的数． 34．如图，在平面直角坐标系中，A(a，3)，B(－4，b)，C(c，0)，其中a、b、c满足： ． (1)填空：a＝______，b＝_______，c＝________； (2)设AC交y轴于Q，求的值； (3)设P为坐标轴上一点，使得△ABP的面积等于40，请直接写出P点坐标． 35．点A对应数a，点B对应数b，点C对应数c，xc﹣5y与﹣2xb＋15y的和是﹣6x5y． (1)那么a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　； (2)点P为数轴上一点，且满足PA＝3PB＋1，请求出点P所表示的数； (3)点M为数轴上点A右侧一点，甲、乙两点分别从A、M出发，相向而行，2分钟后在途中相遇，相遇后，两点的速度都提高了1单位长度/分，当甲到达M点后立刻按原路向A返行，当乙到达A点后也立刻按原路向M点返行．甲、乙两点在第一次相遇后3分36秒又再次相遇，则A、M两点的距离是　 　单位长度； (4)当甲以4单位长度/分的速度从A出发，向右运动，乙同时从点C出发，以6单位长度/分的速度向左运动，当甲到A、B、C的距离之和为40个单位长度时，假如甲立即掉头返行，请问甲、乙还能碰面吗？若能，求出碰面的地点对应的数；若不能，请说明理由． 36．如图1，已知数轴上的点A、B对应的数分别是﹣5和1． （1）若P到点A、B的距离相等，求点P对应的数； （2）动点P从点A出发，以2个单位/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒，问：是否存在某个时刻t，恰好使得P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由； （3）如图2在数轴上的点M和点N处各竖立一个挡板（点M在原点左侧，点N在原点右侧且OM＞ON），数轴上甲、乙两个弹珠同时从原点出发，甲弹珠以2个单位/秒的速度沿数轴向右运动，乙弹珠以5个单位/秒的速度沿数轴向左运动．当弹珠遇到挡板后立即以原速度向反方向运动，若甲、乙两个弹珠相遇的位置恰好到点M和点N的距离相等，试探究点M对应的数m与点N对应的数n是否满足某种数量关系，请写出它们的关系式，并说明理由． 37．对a，b定义一种新运算T，规定：T（a，b）＝（a+2b）（ax+by）（其中x，y均为非零实数）．例如：T（1，1）＝3x+3y． （1）已知T（1，﹣1）＝0，T（0，2）＝8，求x，y的值； （2）已知关于x，y的方程组，若a≥﹣2，求x+y的取值范围； （3）在（2）的条件下，已知平面直角坐标系上的点A（x，y）落在坐标轴上，将线段OA沿x轴向右平移2个单位，得线段O′A′，坐标轴上有一点B满足三角形BOA′的面积为9，请直接写出点B的坐标． 38．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，其中是二元一次方程组的解，过点作轴的平行线交轴于点． （1）求点的坐标； （2）动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿射线的方向运动，连接，设点的运动时间为秒，三角形的面积为，请用含的式子表示（不用写出相应的的取值范围）； （3）在（2）的条件下，在动点从点出发的同时，动点从点出发以每秒个单位长度的速度沿线段的方向运动．过点作直线的垂线，点为垂足；过点作直线的垂线，点为垂足．当时，求的值． 39．某化工厂与A，B两地有公路和铁路相连，这家工厂从A地购买一批每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B地． (1)如图为该化工厂与A、B两地的距离，已知公路运价为1.5元/（吨•千米），铁路运价为1.2元/（吨•千米），这两次运输共支出公路运输费15000元，铁路运输费97200元．请计算这批产品的销售款比原料费和运输费的和多多少元？ ①根据题意，甲、乙同学分别列出尚不完整的方程组如下： 甲：乙： 根据甲，乙两名同学所列方程组，请你分别指出未知数x，y，，表示的意义，然后在等式右边补全甲乙两名同学所列方程组 甲：x表示　　，y表示　　；乙：表示　　，表示　　； ②甲同学根据他所列方程组解得x＝300，请你帮他解出y的值，并解决该实际问题． (2)工厂原计划从A地购买的原料和送往B地的产品一共20吨，若要增加c吨的产品，就要再购买c吨原料，此时产品的销售款与原料的进货款之差等于66000元，同时满足原料总重量的2倍，求需要再购买多少吨的原料？ 40．如图1，已知，，点E在CD上，点G，F在AB上，点H在AB，CD之间，连接FE，EH，HG，． (1)求证：； (2)如图2，FK平分∠AFE交CD于点K，，GM平分∠HGB，若，求∠GHE的度数； (3)如图3，FK平分∠AFE交CD于点K，，GM平分∠HGB，EM平分∠HED，GM，EM交于点M，若，，求的值．（请直接写出答案） 五、压轴题五：不等式综合，10题，难度四星 41．在平面直角坐标系中，对于任意两点，、，，定义：为点、的折距离．若点满足，，，则称点C为点A、B的m生成点；若图形W的所有点都是点A、B的m生成点，则称图形W为点A、B的m生成图形． (1)已知， ①点E、F的折距离是 ； ②若点是点E、F的m生成点，求m的值； (2)已知、，，，，，连接点 、、、得到正方形，把正方形记作图形．若图形是点、的8生成图形，直接写出n的最大值和最小值． 42．对于任意有理数x，规定：当时，； 当时，． (1)填空：______，______，______； (2)若， 求m 的值； (3)若两个有理数，， 且a， b异号， 满足，请直接写出a，b之间可能存在的数量关系： 43．如图，数轴上两点A、B对应的数分别是，1，点P是线段上一动点，给出如下定义：如果在数轴上存在动点Q，满足，那么我们把这样的点Q表示的数称为连动数，特别地，当点Q表示的数是整数时我们称为连动整数．    (1)在，0，2，3.5四个数中，连动数有______； (2)若k使得方程组中的x，y均为连动数，求k所有可能的取值； (3)若关于x的不等式组的解集中恰好有3个连动整数，求这3个连动整数的值及a的取值范围． 44．若点的坐标满足． (1)若点的坐标为，求，的值； (2)若点在第二象限，且符合要求的整数只有五个，求的取值范围； (3)若点为不在轴上的点，且关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集． 45．对于二元一次方程的任意一个解给出如下定义：若，则称为方程的“关联值”；若，则称为方程的“关联值”． (1)写出方程的一个解，并指明此时方程的“关联值”； (2)若“关联值”为4，写出所有满足条件的方程的解； (3)直接写出方程的最小“关联值”为______；当关联值为时，直接写出x的取值范围是______． 46．定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”，例如：方程的解为．不等式组的解集为．因为．所以称方程为不等式组，的“相伴方程”． (1)下列方程是不等式组的“相伴方程”的是_______；（填序号） ①；②；③ (2)若关于x的方程是不等式组的“相伴方程”，求k的取值范围； (3)若方程，都是关于x的不等式组的“相伴方程”，其中，则m的取值范围是________（直接写答案）． 47．阅读下列材料：解答“已知x－y＝2，且x>1，y<0，试确定x＋y的取值范围”有如下解法： 解：∵x－y＝2，∴x＝y＋2  又∵x>1，∴y＋2>1，∴y>－1． 又∵y<0，∴－1<y<0…①． 同理可得1<x<2…②． 由①＋②得：－1＋1<x＋y<0＋2． ∴x＋y的取值范围是0<x＋y<2． 按照上述方法，完成下列问题： (1)已知x－y＝3，且x>2，y<1，则x＋y的取值范围是______； (2)已知关于x，y的方程组的解都是正数，求a的取值范围； (3)在（2）的条件下，若a－b＝4，b<2，求2a＋3b的取值范围． 48．对a，b定义一种新运算“T”，规定：T(a，b)=(2a+b)(ax+by)(其中x，y均为非零实数)，这里等式右边是通常的四则运算，例如：T(1，1)=3x+3y． (1)已知T(-1，1)=0，T(2，0)=8，求x，y的值； (2)已知关于x，y的方程组，若a≥-2，求x + y 的取值范围； (3)在(2)的条件下，已知平面直角坐标系xOy中，点A(x，y)在坐标轴上，将点A向上平移2个单位得点A′，坐标轴上有一点B满足三角形BOA′的面积为9，求点B的坐标． 49．列方程（组）或不等式解应用题： （1）某水果店5月份购进甲、乙两种水果共花费1700元，其中甲种水果8元/千克，乙种水果18元/千克．6月份，这两种水果的进价上调为：甲种水果10元/千克，乙种水果20元/千克．若该店6月份购进这两种水果的数量与5月份都相同，将多支付货款300元，求该店5月份购进甲、乙两种水果分别是多少千克？ （2）在“科学与艺术”知识竞赛的预选赛中，共有20道题.对于每一道题，答对得10分，不答或答错都扣5分，总分不少于90分者能通过预选赛． ①如果小明得了110分，那么小明答对几道题？ ②小明最少应答对几道题才能通过预选赛？ 50．2019年5月以来昆明高温天气创历史新高，市民戏称昆明“春城”变“夏城”，百姓对电风扇的需求量比往年明显增加．某超市销售每台进价分别为元、元的两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 种型号 种型号 第一周 台 台 元 第二周 台 台 元 （进价、售价均保持不变，利润=销售收入-进货成本） （1）求两种型号的电风扇每台售价各是多少元？ （2）若超市准备用不多于元的金额再采购这两种型号的电风扇共台，求种型号的电风扇最多能采购多少台？ （3）在（2）的条件下，超市销售完这台电风扇能否实现利润超过元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末真题精选（五大题型，压轴题50题）（解析版） 目录 一、压轴题一：平行线综合，10题，难度四星 1 二、压轴题二：实数综合，10题，难度四星 24 三、压轴题三：平面直角坐标系综合，10题，难度四星 34 四、压轴题四：二元一次方程组综合，10题，难度四星 58 五、压轴题五：不等式综合，10题，难度四星 78 一、压轴题一：平行线综合，10题，难度四星 1．如图1，已知，，分别是直线，上的一点，点在直线，之间，，．    (1)直接写出的度数为___________（用含、的式子表示）； (2)如图2，若平分，平分，直线与直线相交于点，当时，求的度数； (3)如图3，若，将绕点以秒的速度逆时针旋转，绕点以秒的速度逆时针旋转，当旋转了时，两者同时停止，则在整个转动过程中，___________秒时，． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）过点E作，则，由平行线的性质可得，，即可证明； （2）由角平分线的定义可得，，由平行线的性质可得，再由三角形外角的性质即可求解； （3）根据旋转的速度，用t表示出角的度数，再根据平行线的性质列出方程即可． 【详解】（1）解：如图所示，过点E作，则，    ∵，， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）解：∵平分，平分，，， ∴， ， ∵，    ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ； （3）解：如图，旋转到如图所示的位置，有，设与的交点为点P， 根据题意，，   ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ 解得，， 如图，旋转到如图所示的位置，有，设与的交点为点P， 根据题意，，   ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ 解得，， 综上，或． 【点睛】本题考查了平行线的性质和角平分线的性质，解题关键是准确识图，恰当作辅助线，利用平行线的性质与判定进行求解． 2．已知：，点E、F分别在直线、上，点O在直线、之间，且．      (1)如图1，若，求的度数． (2)如图2，射线平分，连接，若，与相等吗？若相等，请证明你的结论；若不相等，请说明理由． (3)如图3，在内，，在内，，点M、N分别为射线、上的动点，且点M、N在直线、之间，其中，，若，求n的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）过点O作，易得,利用平行线的性质可求解； （2）延长交于,由于平分，所以，根据此条件表示与，可求出两角的关系； （3）过点作，设，，借助，求出，之间的关系，利用已知条件，求出的范围． 【详解】（1）解：证明：过点O作，    ∵， ∴, ∴,, 又∵，, ∴,, ∴． （2）解：与相等，理由如下： 延长交于，如下图所示：    ∵，∴， ∵，且， ∴， 又∵， ∴在四边形中，， ∵平分，∴, ∴． （3）解：设，由于，则， ∴， 设，由于，则， 过点作，如下图所示：    ∵， ∴， ∴，， ∴，即， ∴， 又∵，， ∴，， ∴，即， 又∵，则，解得， ∵， ∴， 综上，． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，理清各个角之间的关系是解体的关键． 3．如图1，直线、相交于点，，将一直角三角板中角的顶点放在点处，一直角边在射线上，另一直角边在直线的下方．    (1)在图1中，求的度数； (2)将图1中的三角板绕点逆时针旋转角，恰好使得，求此时旋转角的大小； (3)将图1中的三角板绕点逆时针旋转角，当时，求与的数量关系． 【答案】(1)； (2)①或； (3)或． 【分析】（1）由及互补，即可求得，再由对顶角相等及角的和差关系即可求解； （2）的情况有两种，根据两种情况及平行线的性质即可求解； （3）分两种情况考虑：；，用含的代数式表示，，即可得到这两个角间的数量关系． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，      ∴； （2）解：①如图1，当时，    ∵，     ∴， ∴， ②如图2，当时，    ∵，     ∴， ∴， ∴； （3）①如图3，当时，    ∵，， ∴， ②如图4，当时，    ∵，， ∴． 综上，或． 【点睛】本题考查了平行线的性质，角的和差关系，旋转的性质，有一定的难度，注意分类讨论． 4．已知：直线，点A和点B是直线a上的点，点C和点D是直线b上的点，连接，，设直线和交于点E．    (1)在如图1所示的情形下，若，求的度数； (2)在如图2所示的情形下，若平分，平分，且与交于点F，当，时，求的度数； (3)如图3，当点B在点A的右侧时，若平分，平分，且，交于点F，设，，用含有α，β的代数式表示 的补角． 【答案】(1) (2) (3)的补角为 【分析】（1）过点E作，证明，可得，，，可得； （2）过点F作，证明，可得，，，求解，，从而可得答案； （3）如图，过点F作，证明，可得，，可得，证明，，从而可得答案． 【详解】（1）解：过点E作，    ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）如图，过点F作，    ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵平分，平分，，， ∴，， ∴； （3）如图，过点F作，    ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵平分，平分，，， ∴，， ∴， ∴的补角． 【点睛】本题考查的是平行线的性质，平行公理的应用，角平分线的定义，熟练的利用平行线的性质求角的度数是解本题的关键． 5．如图，已知直线，直线和直线，分别交于点，，直线上有一动点．    (1)如图1，点在，之间运动时，，，之间有什么关系，并说明理由； (2)若点在，两点外侧运动时，如图2和图3（点与，不重合），试直接写出，，之间有什么关系，不必写理由． 【答案】(1)； (2)或； 【分析】（1）作，如图1，先判断，再利用平行线的性质得到，，两式相加得到； （2）作，同样得到，，两式相减，在图2中得到；在图3中得到． 【详解】（1）解：． 理由如下： 作，如图1，    ∵， ∴， ∴，， ∴， 即； （2）如图，作，    ∵， ∴， ∴，， 即，， 在图2中，， 即； 在图3中，， 即， 综上所述，或. 【点睛】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等． 6．如图1，直线与直线分别交于点E、F，平分交于点M，且． (1)求证：； (2)如图2，点G是射线上一动点（不与点M、F重合），平分交于点H，于点N，设． ①当点G在点F的右侧时，若，求的大小； ②点G在整个运动过程中，直接写出和之间的数量关系． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②当点G在点F的右侧时，；当点G在点F的左侧时， 【分析】（1）由角平分线的定义即得出，结合题意可证明，即得出； （2）①由平行线的性质可得出，从而可求出．再根据角平分线的定义可得出，从而可求出．过点N作，即得出．由，可得出．最后由，即可求出的大小；②分类讨论：当点G在点F的右侧时和当点G在点F的左侧时，根据平行线的性质，角平分线的定义结合图形即可解答． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴． 又∵， ∴， ∴； （2）①∵， ∴， ∴． 又∵平分平分， ∴， ∴． 又∵， ∴． 如图，过点N作， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴； ②分两种情况讨论：如图，当点G在点F的右侧时， ∵， ∴． 又∵平分，平分， ∴， ∴． ∵， ∴，即； 如图，当点G在点F的左侧时， ∵， ∴． 又∵平分，平分， ∴， ∴． ∵， ∴，即． 【点睛】本题考查角平分线的定义，平行线的判定和性质．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键． 7．对于湘教版数学七年级下册第110页第15题：“如图1，OB、OD分别平分∠ABD和∠BDC，∠1＋∠2＝90°，那么AB与CD有什么关系？试说明理由．” 小亮同学在做完了该题后，与学习小组的同学在“课后服务”进一步开展了探究活动： 如图，AB∥CD，OB、OD分别平分∠ABD和∠BDC． (1)如图1，那么OB与OD有什么关系？试说明理由． (2)延长BO与CD相交于点E，过点E作EF⊥BE，EF与BD的延长线相交于点F，     ①如图2，∠DFE＝28°，小亮发现可以求出∠DEF的大小，请你帮助小亮同学写出求∠DEF的大小的过程． ②如图3，连接OF，点M是EF上一点，∠MOF＝∠MFO，ON平分∠BOM交BD于点N，学习小组的小明同学发现∠FON的大小不变，请你直接写出∠FON的大小是 ． 【答案】(1)OB⊥OD，见解析； (2)①∠DEF＝28°，过程见解析；②45°． 【分析】（1）根据平行线的性质以及角平分线的性质即可证明OB⊥OD； （2）①根据平行线的判定定理证明EF∥OD．得到：∠DEF＝∠EDO，∠DFE＝∠BDO．再利用角平分线的性质得到∠DEF＝∠DFE．即可求出∠DEF＝28°； ②解法一：由①知EF∥OD，证明∠MOF＝∠FOD．利用角之间的关系可得：∠FON＝90°－（∠DON＋∠FOD）＝90°－∠FON，即可求出∠FON＝45°．解法二：作∠EOM的角平分线交EM于点K，证明∠KON＝90°．利用∠MOF＝∠FOD，∠EOD＝90°．得到∠KOF＝（∠EOM＋∠MOD）＝∠EOD＝45°，进一步可得：∠FON＝∠KON－∠KOF＝90°－45°＝45°． 【详解】（1）解：OB⊥OD． ∵AB∥CD， ∴∠ABD＋∠CDB＝180°． ∵OB、OD分别平分∠ABD和∠BDC， ∴∠ABD＝2∠OBD，∠CDB＝2∠ODB． ∴2∠OBD＋2∠ODB＝180°， 即∠OBD＋∠ODB＝90°． ∴∠BOD＝90°，即OB⊥OD． （2）解：①由（1）可知OB⊥OD， 即BE⊥OD． 又EF⊥BE， ∴EF∥OD． ∴∠DEF＝∠EDO，∠DFE＝∠BDO． 又∠EDO＝∠BDO， ∴∠DEF＝∠DFE． 又∵∠DFE＝28°， ∴∠DEF＝∠DFE＝28°． ②∠FON＝45°． 解法1：由①知EF∥OD， ∴∠MFO＝∠FOD． 又∵∠MOF＝∠MFO， ∴∠MOF＝∠FOD．   又∵ON平分∠BOM，即∠MON＝∠BON， ∴∠FON＝∠MON－∠MOF＝∠BON－∠FOD． 又∠BON＝90°－∠DON ∴∠FON＝90°－（∠DON＋∠FOD） ＝90°－∠FON， ∴∠FON＝45°． 解法2：作∠EOM的角平分线交EM于点K， ∵ON平分∠BOM， 可得∠KON＝90°． 由解法1知∠MOF＝∠FOD， 由（1）知OB⊥OE，即∠EOD＝90°． ∴∠KOF＝（∠EOM＋∠MOD）＝∠EOD＝45° ∴∠FON＝∠KON－∠KOF＝90°－45°＝45°． 【点睛】本题考查平行线的判定及性质，角平分线的性质，解题的关键是掌握平行线的判定及性质，角平分线的性质，理解题意，结合图形求解． 8．直线，BE—EC是一条折线段，BP平分． (1)如图1，若，求证：； (2)CQ平分，直线BP，CQ交于点F． ①如图2，写出和的数量关系，并证明； ②当点E在直线AB，CD之间时，若，直接写出的大小． 【答案】(1)见解析 (2)①∠E+2∠F=180°，证明见解析；②70° 【分析】（1）延长DC交BE于K，交BP于T，由AB∥CD，BP平分∠ABE，可得∠BTK=∠TBK，又BP∥CE，故∠KCE=∠KEC，即可得∠BEC+∠DCE=180°； （2）①延长AB交FQ于M，延长DC交BE于N，设∠ABP=∠EBP=α，∠DCQ=∠ECQ=β，可得∠F=180°-∠FBM-∠FMB=180°-（α+β），∠E=180°-∠NCE-∠CNE=180°-（180°-2β）-（180°-2α）=2（α+β）-180°，故∠E+2∠F=180°；②由∠E+2∠F=180°，即可得∠F=70°． 【详解】（1）解：证明：延长DC交BE于K，交BP于T，如图： ∵AB∥CD， ∴∠ABT=∠BTK， ∵BP平分∠ABE， ∴∠ABT=∠TBK， ∴∠BTK=∠TBK， ∵BP∥CE， ∴∠BTK=∠KCE，∠TBK=∠KEC， ∴∠KCE=∠KEC， ∵∠KCE+∠DCE=180°， ∴∠KEC+∠DCE=180°，即∠BEC+∠DCE=180°； （2）①∠E+2∠F=180°，证明如下： 延长AB交FQ于M，延长DC交BE于N，如图： ∵射线BP、CQ分别平分∠ABE，∠DCE， ∴∠ABP=∠EBP，∠DCQ=∠ECQ， 设∠ABP=∠EBP=α，∠DCQ=∠ECQ=β， ∴∠FBM=∠ABP=α，∠MBE=180°-2α， ∠NCE=180°-2β，∠FCN=∠DCQ=β， ∵AB∥DC， ∴∠CNE=∠MBE=180°-2α， ∴∠F=180°-∠FBM-∠FMB=180°-（α+β）， ∠E=180°-∠NCE-∠CNE=180°-（180°-2β）-（180°-2α）=2（α+β）-180°， ∴∠E+180°=2（180°-∠F）， ∴∠E+2∠F=180°； ②由①知∠E+2∠F=180°， ∵∠BEC=40°， ∴∠F=70°． 【点睛】本题考查平行线的性质及应用，涉及角平分线定义，三角形内角和等，解题的关键是用含α，β的式子表示∠E，∠F，从而得到∠E，∠F之间的数量关系． 9．如图1，AB∥CD，∠PAB＝125°，∠PCD＝115°，求∠APC的度数． 小明的思路是：过P作PM∥AB，通过平行线性质来求∠APC． (1)按小明的思路，易求得∠APC的度数为　 　度； (2)如图2，AB∥CD，点P在直线a上运动，记∠PAB＝α，∠PCD＝β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由； (3)在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点B、D两点不重合），请直接写出∠APC与α、β之间的数量关系 【答案】(1)120 (2)∠APC=∠α+∠β (3)当P在BD延长线时，∠APC=∠α-∠β；当P在DB延长线时，∠APC=∠β-∠α 【分析】（1）过P作PM∥AB，构造同旁内角，通过平行线性质，可得∠APC的度数； （2）过P作PE∥AE交AC于E，推出AB∥PE∥CD，根据平行线的性质得出∠α=∠APE，∠β=∠CPE，即可得出答案； （3）画出图形，分两种情况：①点P在BD的延长线上，②点P在DB的延长线上，根据平行线的性质得出∠α=∠APE，∠β=∠CPE，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图1，过P作PM∥AB， ∴∠APM+∠PAB=180°， ∴∠APM=180°-125°=55°， ∵AB∥CD， ∴PM∥CD， ∴∠CPM+∠PCD=180°， ∴∠CPM=180°-115°=65°， ∴∠APC=55°+65°=120°； 故答案为：120； （2）如图2，∠APC=∠α+∠β，理由如下： 过P作PE∥AB交AC于E， ∵AB∥CD， ∴AB∥PE∥CD， ∴∠α=∠APE，∠β=∠CPE， ∴∠APC=∠APE+∠CPE=∠α+∠β； （3）如图3，当P在BD延长线时，∠APC=∠α-∠β；理由： 过P作PE∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥PE∥CD， ∴∠α=∠APE，∠β=∠CPE， ∴∠APC=∠APE-∠CPE=∠α-∠β； 如图4，当P在DB延长线时，∠APC=∠β-∠α；理由： 过P作PE∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥PE∥CD， ∴∠α=∠APE，∠β=∠CPE， ∴∠APC=∠CPE-∠APE=∠β-∠α． 【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，主要考查学生的推理能力，解决问题的关键是作辅助线构造内错角以及同旁内角． 10．如图，直线，一副三角尺（，，，）按如图①放置，其中点在直线上，点，均在直线上，且平分． (1)求的度数． (2)如图②，若将三角形绕点以每秒2度的速度按逆时针方向旋转（，的对应点分别为，），设旋转时间为． ①在旋转过程中，当时，求的值． ②若在三角形绕点旋转的同时，三角形绕点以每秒1度的速度按顺时针方向旋转（，的对应点为，），请直接写出当时的值． 【答案】(1)60° (2)①15s；②7．5s或70s 【分析】（1）利用平行线和角平分线的性质即可解决问题； （2）①首先证明∠GBC=∠DCN＝30°，由此构建方程求解即可；②分两种情形，如图③，当BGHK时，延长KH交MN于R，∠GBN＝∠KRN，构建方程即可求解；如图③﹣1中，当BGHK时，延长HK交MN于R，∠GBN+∠KRM＝180°，构建方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：如图①中， ∵∠ACB＝30°， ∴∠ACN＝180°﹣∠ACB＝150°， ∵CE平分∠ACN， ∴∠ECN＝∠ACN＝75°， ∵PQMN， ∴∠QEC+∠ECN＝180°， ∴∠QEC＝180°﹣75°＝105°， ∴∠DEQ＝∠QEC﹣∠CED＝105°﹣45°＝60°． （2）解：①如图②中， ∵BGCD， ∴∠GBC＝∠DCN， ∵∠DCN＝∠ECN﹣∠ECD＝75°﹣45°＝30°， ∴∠GBC＝30°， ∴2t＝30， ∴t＝15s． ∴在旋转过程中，若边BGCD，t的值为15s． ②如图③中，当BGHK时，延长KH交MN于R． ∵BGKR， ∴∠GBN＝∠KRN， 过点K作KTPQ，则PQKTMN， ∴∠QEK=∠EKT，∠KRN=∠HKT， ∴∠QEK＝60°+t，∠K＝∠QEK+∠KRN， ∴∠KRN＝90°﹣（60°+t）＝30°﹣t， ∴2t＝30°﹣2t， ∴t＝7.5s． 如图③﹣1中，当BGHK时，延长HK交MN于R． ∵BGKR， ∴∠GBN+∠KRM＝180°， 同理可得∠QEK＝60°+t，∠EKR＝∠PEK+∠KRM， ∴∠KRM＝90°﹣（180°﹣60°﹣t）＝t﹣30°， ∴2t+t﹣30°＝180°， ∴t＝70s． 综上所述，满足条件的t的值为7.5s或70s． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，旋转变换，角平分线的定义，解题的关键在于能够准确理解题意利用分类讨论的思想求解． 二、压轴题二：实数综合，10题，难度四星 11．若，其中a，b均为整数，则 ． 【答案】0，2，4 【分析】先根据绝对值和算术平方根的非负性分三种情况进行讨论得出a，b的值，再代入进行计算即可求解 【详解】解：∵，其中a，b均为整数， 又∵， ①当，时， ∴， ∴ ②当，时， ∴或， ∴或 ③当，时， ∴或， ∴或 故答案为：4或2或0 【点睛】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性，得出a、b可能的取值是解决此题的关键，注意分类讨论的数学思想． 12．我们经过探索知道，，，，若已知，则 （用含的代数式表示，其中为正整数）． 【答案】 【分析】先求出，，，，的值，代入原式利用算术平方根和公式进行化简与计算，即可求解． 【详解】解：∵， ， ， ， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查数式规律问题、算术平方根、有理数的加减混合运算等知识点，用裂项法将分数进行化简与计算是解题关键． 13．对于有理数、，定义了一种新运算“※”为： 如：，． （1）计算：①______；②______； （2）若是关于的一元一次方程，且方程的解为，求的值； （3）若，，且，求的值． 【答案】（1）①5；②；（2）1；（3）16． 【分析】(1)根据题中定义代入即可得出； (2)根据，讨论3和 的两种大小关系，进行计算； (3)先判定A、B的大小关系，再进行求解． 【详解】（1）根据题意：∵， ∴， ∵， ∴． （2）∵， ∴， ① 若， 则，解得， ②若， 则，解得(不符合题意)， ∴． （3）∵， ∴， ∴， 得， ∴． 【点睛】本题考查了一种新运算，读懂题意掌握新运算并能正确化简是解题的关键． 14．阅读材料：求的值． 解：设①，将等式①的两边同乘以2， 得②， 用②－①得， 即． 即． 请仿照此法计算： （1）请直接填写的值为______； （2）求值； （3）请直接写出的值． 【答案】（1）15；（2）；（3）． 【分析】（1）先计算乘方，即可求出答案； （2）根据题目中的运算法则进行计算，即可求出答案； （3）根据题目中的运算法则进行计算，即可求出答案； 【详解】解：（1）； 故答案为：15； （2）设①，把等式①两边同时乘以5，得 ②， 由②①，得：， ∴， ∴； （3）设①， 把等式①乘以10，得： ②， 把①+②，得：， ∴， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查了数字的变化规律，熟练掌握运算法则，熟练运用有理数乘法，以及运用消项的思想是解题的关键． 15．下面是小李探索的近似值的过程：我们知道面积是2的正方形的边长是，易知>1，因此可设，可画出如下示意图． 由图中面积计算， S正方形=，另一方面由题意知S正方形=，所以略去，得方程，解得，即，仿照上述方法，探究的近似值（画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 【答案】2.236 【分析】仿照示例画出图形，列出方程，解方程即可得到结论． 【详解】解：由面积公式，可得x2+2×2.2x+2.22=5． 略去x2，得方程2×2.2x+2.22=5． 解得x=0.0.036．即≈2.236． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小，正确的解方程是解题的关键． 16．规律探究，观察下列等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： 请回答下列问题： （1）按以上规律写出第5个等式：= ___________  =  ___________ （2）用含n的式子表示第n个等式：= ___________ =  ___________(n为正整数） （3）求 【答案】（1）；；（2）；；（3）. 【分析】（1）观察前4个等式的分母先得出第5个式子的分母，再依照前4个等式即可得出答案； （2）根据前4个等式归纳类推出一般规律即可； （3）利用题（2）的结论，先写出中各数的值，然后通过提取公因式、有理数加减法、乘法运算计算即可. 【详解】（1）观察前4个等式的分母可知，第5个式子的分母为 则第5个式子为： 故应填：；； （2）第1个等式的分母为： 第2个等式的分母为： 第3个等式的分母为： 第4个等式的分母为： 归纳类推得，第n个等式的分母为： 则第n个等式为：（n为正整数） 故应填：；； （3）由（2）的结论得： 则 . 【点睛】本题考查了有理数运算的规律类问题，依据已知等式归纳总结出等式的一般规律是解题关键. 17．我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：（p，q是正整数，且），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的完美分解．并规定：． 例如18可以分解成1×18，2×9或3×6，因为18－1＞9－2＞6－3，所以3×6是18的完美分解，所以F（18）＝． （1）F（13）＝ ，F（24）＝ ； （2）如果一个两位正整数t，其个位数字是a，十位数字为，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数为“和谐数”，求所有“和谐数”； （3）在（2）所得“和谐数”中，求F（t）的最大值． 【答案】（1），（2）所以和谐数为15，26，37，48，59；（3）F（t）的最大值是． 【分析】(1)根据题意,按照新定义的法则计算即可. (2)根据新定义的”和谐数”定义,将数用a,b表示列出式子解出即可. (3)根据(2)中计算的结果求出最大即可. 【详解】解：（1）F（13）＝，F（24）＝; （2）原两位数可表示为      新两位数可表示为 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ （且b为正整数 ） ∴b=2,a=5;        b=3,a=6,         b=4,a=7, b=5,a=8         b=6,a=9 所以和谐数为15，26，37，48，59 (3)所有“和谐数”中，F（t）的最大值是． 【点睛】本题为新定义的题型,关键在于读懂题意,按照规定解题. 18．阅读下面的文字，解答问题． 对于实数a，我们规定：用符号[a]表示不大于a的最大整数；用{a}表示a减去[a]所得的差． 例如：[]＝1，[2.2]＝2，{}＝﹣1，{2.2}＝2.2﹣2＝0.2． （1）仿照以上方法计算：[]＝　 　{5﹣}＝　 　； （2）若[]＝1，写出所有满足题意的整数x的值：　 　． （3）已知y0是一个不大于280的非负数，且满足{}＝0．我们规定：y1＝[]，y2＝[]，y3＝[]，…，以此类推，直到yn第一次等于1时停止计算．当y0是符合条件的所有数中的最大数时，此时y0＝　 　，n＝　 　． 【答案】（1）2；3﹣；（2）1、2、3；（3）256，4 【分析】（1）依照定义进行计算即可； （2）由题可知，，则可得满足题意的整数的的值为1、2、3； （3）由，可知，是某个整数的平方，又是符合条件的所有数中最大的数，则，再依次进行计算． 【详解】解：（1）由定义可得，，， ． 故答案为：2；． （2）， ，即， 整数的值为1、2、3． 故答案为：1、2、3． （3），即， 可设，且是自然数， 是符合条件的所有数中的最大数， ， ， ， ， ， 即． 故答案为：256，4． 【点睛】本题属于新定义类问题，主要考查估算无理数大小，无理数的整数部分和小数部分，理解定义内容是解题关键． 19．三个自然数x、y、z组成一个有序数组，如果满足，那么我们称数组为“蹦蹦数组”．例如：数组中，故是“蹦蹦数组”；数组中，故不是“蹦蹦数组”． （1）分别判断数组和是否为“蹦蹦数组”； （2）s和t均是三位数的自然数，其中s的十位数字是3，个位数字是2，t的百位数字是2，十位数字是5，且．是否存在一个整数b，使得数组为“蹦蹦数组”．若存在，求出b的值；若不存在，请说明理由； （3）有一个三位数的自然数，百位数字是1，十位数字是p，个位数字是q，若数组为“蹦蹦数组”，且该三位数是7的倍数，求这个三位数． 【答案】（1）(437，307，177)是“蹦蹦数组”， (601，473，346)不是“蹦蹦数组”；（2）存在，数组为(532，395，258)；（3）这个三位数是147． 【分析】（1）由“蹦蹦数组”的定义进行验证即可； （2）设s为，t为，则，先后求得n、s的值，根据“蹦蹦数组”的定义即可求解； （3）设这个数为，则，由和都是0到9的正整数，列举法即可得出这个三位数． 【详解】解：（1）数组(437，307，177)中，437-307=130，307-177=130， ∴437-307=307-177，故(437，307，177)是“蹦蹦数组”； 数组(601，473，346)中，601-473=128，473-346=127， ∴601-473473-346，故(601，473，346)不是“蹦蹦数组”； （2）设s为，t为，则， ∵m、n为整数， ∴，则t为258， ∴s为532， 而，则b为532-137=395， 验算：532-395=395-258=137， 故数组为(532，395，258)； （3）根据题意，设这个数为，则， ∴， 而和都是0到9的正整数， 讨论： p 1 2 3 4 5 q 1 3 5 7 9 111 123 135 147 159 而是7的倍数的三位数只有147， 且1-4=4-7=-3，数组(1，4，7)为“蹦蹦数组”， 故这个三位数是147． 【点睛】本题是一道新定义题目，解决的关键是能够根据定义，通过列举法找到合适的数，进而求解． 20．先阅读材料，再解答问题． 我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出，给出了答案．众人十分惊讶，忙问计算的奥妙，你知道华罗庚怎样迅速而准确地计算出结果吗？请你按下面的步骤也试一试： （1），则59319的立方根是_________位数． （2）59319的个位数字是9，则59319的立方根的个位数字是______． （3）如果划去59319后面的三位“319”得到数59，而，由此可确定59319的立方根的十位数字是_____，因此59319的立方根是______． （4）现在换一个数103823，你能按这种方法得出它的立方根吗？ 【答案】（1）两；（2）9；（3）3；39；（4）47 【分析】（1）依据夹逼法和立方根的定义进行解答即可； （2）先分别求得1至9的立方，然后依据末位数字是几进行判断即可； （3）先利用（2）中的方法判断出个数数字，然后再利用夹逼法判断出十位数字即可； （4）利用（3）中的方法确定出个位数字和十位数字即可． 【详解】解：（1）∵1000＜59319＜1000000， ∴10＜＜100， ∴59319的立方根是两位数． 故答案为：两． （2）∵13=1，23=8，33=27，43=64，53=125，63=216，73=343，83=512，93=729，且59319的个位数字是9， ∴59319的立方根的个位数字是9． 故答案为：9． （3）∵27＜59＜64， ∴59319的立方根的十位数字是3． 因此59319的立方根是39． 故答案为：3；39． （4）103823的末位数字是3， ∴103823的立方根的个位数字是7． ∵43=64，53=125，且64＜103＜125， ∴103823的立方根的十位数字是4． ∴103823的立方根是47． 【点睛】本题主要考查的是立方根的概念，依据尾数特征进行解答是解题的关键． 三、压轴题三：平面直角坐标系综合，10题，难度四星 21．对于给定的两点，若存在点，使得三角形的面积等于1，则称点为线段的“单位面积点”，已知在平面直角坐标系中，为坐标原点．点，，．若将线段沿轴正方向平移个单位长度，使得线段上存在线段的“单位面积点”，则的值可以是（    ） A．0.5 B．1.5 C．2.5 D．3.5 【答案】A 【分析】设线段上存在线段的“单位面积点”是，分两种情况进行讨论：线段在线段的下方；线段在线段的上方，分别求解即可． 【详解】解：设线段上存在线段的“单位面积点”是， 如图，   ， 当线段在线段的下方时，此时， 点，，， ，，， ， 点到的距离为， 可将线段沿轴正方向平移个单位长度， 沿轴正方向平移， ， ， 当线段在线段的上方时，此时， 同理可得：点到的距离为， 可将线段沿轴正方向平移，即， 综上所述，的取值范围为：或， 的值可以是0.5， 故选：A． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化—平移，三角形的面积，采用分类讨论与数形结合的思想解题是解此题的关键． 22．对于平面直角坐标中的任意两点P，Q，若点P到两坐标轴的距离之和等于点Q到两坐标轴的距离之和，则称P，Q两点为“和合点”，如图1中的P，Q两点即为“和合点”．      (1)已知点，，，． ①在上面四点中，与点为“和合点”的是___________； ②若点，过点F作直线轴，点G直线l上，A、G两点为“和合点”，则点G的坐标为___________； ③若点在第二象限，点在第四象限，且A、M两点为“和合点”，D、N两点为“和合点”，求a，b的值． (2)如图2，已知点，，点是线段上的一动点，且满足，过点作直线轴，若在直线m上存在点S，使得R，S两点为“和合点”，直接写出n的取值范围． 【答案】(1)①A，C；②或；③ (2) 【分析】（1）①分别期初四点到两坐标轴的距离之和，然后根据“和合点”的概念求解即可； ②，然后根据A、G两点为“和合点”列方程求解即可； ③根据A、M两点为“和合点”，D、N两点为“和合点”列方程求解即可； （2）首先求出点R到两坐标轴的距离之和，然后根据R，S两点为“和合点”求解即可． 【详解】（1）①∵，，， ∴点A到两坐标轴的距离之和为， 点B到两坐标轴的距离之和为， 点C到两坐标轴的距离之和为， 点D到两坐标轴的距离之和为， ∵点到两坐标轴的距离之和为， ∴在上面四点中，与点为“和合点”的是A，C． 故答案为：A，C； ②∵点，过点F作直线轴，点G直线l上， ∴设 ∴点G到两坐标轴的距离之和为 ∵A、G两点为“和合点” ∴，解得 ∴点G的坐标为或； ③∵点在第二象限，点在第四象限， ∴，，，， ∵A、M两点为“和合点”，D、N两点为“和合点”， ∴，即 解得； （2）∵点是线段上的一动点，且满足， ∴ ∴点R到两坐标轴的距离之和为 ∵R，S两点为“和合点”， ∴． 【点睛】此题考查了点到坐标轴的距离问题，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 23．热爱数学的小厦同学在平面直角坐标系中选取了直线l上的两点和，然后如图11所示摆放一个直尺，使直尺边缘恰好经过这两个点，他惊奇地发现直线l上的任意一点沿直线l移动时，其坐标变化是有规律的． (1)【描述规律】我们发现：①将点A沿此直线移动到点B时，横坐标增加了4个单位长度，纵坐标增加了______个单位长度；将点B沿此直线移动到点时，横坐标增加了2个单位长度，其纵坐标增加了______个单位长度； ②现将直线l上任意一点沿直线l平移至点Q，若点Q的横坐标为，则点Q的纵坐标为______（用含n、t的式子表示）； (2)【应用规律】如图11，继续在直尺边缘放置一个三角形纸板，点，点，将三角形纸板紧靠直尺边缘向上推动至的位置，其中点A的对应点是点，点D的对应点是点，点C的对应点是点G，求点G的坐标；（可直接使用（1）中的规律） (3)在（2）的条件下，如图所示，点在x轴上，其中．点K在直线上，，在内部有一点N，使，．若四边形为凸四边形，则请在图12中画出示意图，并求与的数量关系．          【答案】(1)①2，1；② (2) (3)画图见解析， 【分析】（1）①根据点的坐标平移规律进行求解即可；②根据（1）①所求可知当横坐标增加s个单位长度时，纵坐标增加个单位长度，据此求解即可； （2）根据（1）的规律可得点C向右平移2个单位长度，向上平移1个单位长度可以得到点A，由此求出，再由点A到点的平移方式和点D到点的平移方式相同，求出，进而得到点C向右平移8个单位长度，向上平移4个单位长度得到点G，由此即可得到答案； （3）先根据题意作出对应的图形，过点N作，设，则；由平移的性质可得，则，利用平行线的性质得到，同理可得，则由平角的定义可得，由此即可得到结论． 【详解】（1）解：①∵，， ∴点A向右移动4个单位长度，再向上移动2个单位长度得到点B， ∴将点A沿此直线移动到点B时，横坐标增加了4个单位长度，纵坐标增加了2个单位长度； 同理点B向右移动2个单位长度，再向上移动1个单位长度得到点 ∴将点B沿此直线移动到点时，横坐标增加了2个单位长度，其纵坐标增加了1个单位长度， 故答案为：2，1； ②由（1）①可知当横坐标增加s个单位长度时，纵坐标增加个单位长度， ∵将直线l上任意一点沿直线l平移至点Q，点Q的横坐标为， ∴点Q的纵坐标为， 故答案为： （2）解：∵， ∴点C向右平移2个单位长度，向上平移1个单位长度可以得到点A， ∴， ∴ ∴ ∵点A到点的平移方式和点D到点的平移方式相同， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点A向右平移8个单位长度，向上平移4个单位长度得到点E， ∴点C向右平移8个单位长度，向上平移4个单位长度得到点G， ∴点G的坐标为，即； （3）解：如图所示，即为所求； 过点N作，设， ∴， 由平移的性质可得， ∴， ∴， ∵，   ∴， ∴， 同理可得， ∵， ∴， ∴， ∴    【点睛】本题主要考查了坐标与图形，平移的性质，平行线的性质等等，正确理解题意是解题的关键． 24．在平面直角坐标系中，已知点，，给出如下定义：． (1)已知点． ①若点Q与点P重合，则______； ②若点，则______； (2)正方形四个顶点的坐标分别是，，，，其中，在正方形内部有一点，动点Q在正方形的边上及其内部运动．若，求所有满足条件的点Q组成的图形的面积（用含a，b，t的式子表示）； (3)若点，，，且为奇数，直接写出k的取值范围． 【答案】(1)①1；②0 (2)面积为 (3)或或 【分析】（1）根据所给的定义进行求解即可； （2）设点Q的坐标为，则，然后讨论x、y的取值范围，去绝对值，根据确定x、y的取值范围，从而求出答案； （3）求出，然后讨论k的取值范围，去绝对值，然后根据，且为奇数进行求解即可． 【详解】（1）解：乙由题意得： ， 故答案为：1； ②由题意得： ， 故答案为：0； （2）设点Q的坐标为， ∴， ∴当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； ∵， ∴，， ∴所有满足条件的点Q组成的图形是如图所示的阴影区域，其面积为．    （3）解：由题意得， ， 当时， ， ∵， ∴， ∴， 又∵为奇数，即为奇数， ∴； 当时，， 此时满足且为奇数， ∴； 当时， ， ∵， ∴， ∴， 又∵为奇数，即为奇数， ∴； 综上所述，或或． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，化简绝对值，整式的混合运算，正确理解题意，分类讨论是解题的关键． 25．在平面直角坐标系中，对于不重合的两点和点，如果当时，有；当时，有，则称点与点互为“进取点”．特别地，当时，点与点也互为“进取点”．已知点，点．    (1)如图1，下列各点：，，，，其中所有与点互为“进取点”的是________； (2)如果一个点的横、纵坐标都是整数，则称这个点为整点．在满足，的所有整点中（如图2）： ①已知点为第一象限中的整点，且与点，点均互为“进取点”，求所有符合题意的点的坐标； ②在所有的整点中取个点，若这个点中任意两个点都互为“进取点”，直接写出的最大值． 【答案】(1)C、D、F； (2)①，，，，，，，，，； ②31． 【分析】（1）根据，，判定点，，互为“进取点”；根据，判定点，互为“进取点”；根据，，判定点，不互为“进取点”；根据，，判定点，互为“进取点”； （2）①当，时，有，，， 当，时，有，，，，，，，均与点、点互为“进取点”； ②在第一象限内，根据任意两个整点都互为“进取点”，把点按向右再向上的顺序循环平移，每次平移一个单位长度直到，第一象限内得到7个点，根据对称性其他三个象限内每个象限也都有7个点，加上x轴上3个点，的最大值为31． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴点A与点C互为“进取点”； ∵，， ∴， ∴点A与点D互为“进取点”； ∵，， ∴，， ∴点A与点E不互为“进取点”； ∵，， ∴，， ∴点A与点F互为“进取点”； 故答案为：C、D、F； （2）解：①∵为第一象限中的整点，点，点， ∴当，时， ，， ∴，，，均与点、点互为“进取点”， 当，时， ，， ∴，，，，，，，均与点、点互为“进取点”， ∴，，，，，，，，，，均与点、点互为“进取点”； ②∵，， ∴，，，， ∵当时，有，则点和点互为“进取点”， ∴，，，， 当，时，取值0,1,2,3，取值1,2,3,4，、取值0,1,2,3,4， ∵任意两个整点都互为“进取点”， ∴把点按向右再向上的顺序循环平移，每次平移一个单位长度直到，（方法不唯一） ∴第一象限内共7个点，根据对称性其他三个象限内每个象限也都有7个点，x轴上共3个点，如图， ∴n的最大值为．    【点睛】本题主要考查了新定义“进取点”，点的平移，解决问题的关键是熟练掌握规定“进取点”的意义，点的平移坐标右加左减，上加下减的规则． 26．在平面直角坐标系中，对于给定的两点，，若存在点，使得的面积等于1，即，则称点为线段的“单位面积点”，解答下列问题：如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为．        (1)在点，，，中，线段的“单位面积点”是___________； (2)已知点，，将线段沿轴向上平移个单位长度，使得线段上存在线段的“单位面积点”，直接写出的取值范围___________； (3)已知点，，点，是线段的两个“单位面积点”，点在的延长线上，若，求出点纵坐标的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 (3)①当点在轴上时，点纵坐标的取值范围为或；②当点在直线上时，点纵坐标的取值范围为或 【分析】（1）由点的坐标得出，根据三角形的面积公式即可得到结论； （2）当点为线段的“单位面积点”时，，或，当点为线段的“单位面积点”时，，解得：或，即可得出结果； （3）先求出，得出线段的“单位面积点”在轴上或的直线上，则点在的直线与延长线的交点上，求出直线的解析式为：，则，是线段的“单位面积点”，则，， ①当点在轴上时，，得出，列不等式求解即可得出的纵坐标的取值范围； ②当点在直线上时，，得出，列不等式求解即可得出的纵坐标的取值范围． 【详解】（1）解：如图1所示：    点的坐标为， ， 、、、， ，，， ， 点、点是线段的“单位面积点”， 故答案为：，； （2）解：如图2所示：    当点为线段的“单位面积点”时，，解得或； 当点为线段的“单位面积点”时，，解得或； 线段上存在线段的“单位面积点”，的取值范围为或， 故答案为：或； （3）解：点的坐标为，， ， 线段的“单位面积点”在轴上或的直线上， 点在的延长线上， 点在的直线与延长线的交点上，如图3所示：    设直线的解析式为，则，解得， 直线的解析式为：，则， 是线段的“单位面积点”， ， ， ①当点在轴上时，， ， ， 当时，，解得；当时，，解得； 点纵坐标的取值范围为或； ②当点在直线上时，， ， ， 当时，，解得；当时，，解得； 点纵坐标的取值范围为或． 综上, ①当点在轴上时，点纵坐标的取值范围为或；②当点在直线上时，点纵坐标的取值范围为或． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了新概念“单位面积点”、图形与坐标、三角形面积的计算、含绝对值不等式解法、分类讨论等知识，熟练掌握新概念“单位面积点”是解题的关键． 27．对于实数，表示不小于的最小整数，例如：，，．点是轴右侧的点，已知点，，我们把（三角形）叫做点的取整三角形． (1)已知点，直接写出点的坐标________； (2)已知点，且点的取整三角形面积为5，直接写出的取值范围：________________； (3)若点的取整三角形面积为2，请在下面的坐标系中画出所有满足条件的点的区域（用阴影表示，能取到的边界用实线表示，不能取到的边界用虚线表示）． 【答案】(1) (2)，或 (3)见解析 【分析】（1）根据新定义可得答案； （2）由，可得：，则轴，，由在上，可得到的距离为：，则，从而可得答案； （3）由，，，，可得，到的距离为：，可得，则，再画出示意图即可. 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴； 故答案为：； （2）∵， 同理可得：， ∴轴，， ∵， ∴在上， ∴到的距离为：， ∵点的取整三角形面积为5， ∴, ∴， ∴或， ∴，或. 故答案为：或； （3）∵，，，， ∴，到的距离为：， ∵点的取整三角形面积为2， ∴， ∴， ∴的位置如图所示： 【点睛】本题考查的是新定义的含义，坐标与图形，无理数的估算，理解题意，利用数形结合的方法解题是关键. 28．在平面直角坐标系中，对于任意一点，点A的p值的定义如下：；比如点，；点，． (1)已知，，则_____，_____． (2)已知，，点Q在线段上运动，若，求Q的纵坐标q满足的条件； (3)如图，已知，，将线段向上平移个单位得到线段．若线段上恰有2个点的p值为20，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）根据题目中给出的定义进行解答即可； （2）设Q点坐标为，分两种情况时，时，分别列式求解即可； （3）根据题意得出要使p值为20，则或，求出或，根据，，线段向上平移时，得出，得出平移后平移后的p值一定是20，得出，求出，结合图象得出，线段上有一个点的纵坐标为，得出平移距离，综合，得出． 【详解】（1）解：∵，， ∴； ∵，， ∴． 故答案为：；． （2）解：设Q点坐标为， 情况一，当时，，， 此时，也即； 情况二，当时，，， 综上，或． （3）解：要使p值为20则，或， ∴或， ∵，， ∴线段向上平移时，， ∵线段上恰有2个点的p值为20， ∴平移后的p值一定是20， ∴， ∴， 解得：， 当平移的距离在的范围内，线段的平移的范围如图所示： ∴根据图象可知，另外一个p值为20的点的纵坐标，不可能为， ∴根据图象可知，要使线段上有一个点的纵坐标为，必须使平移的距离， 综上分析可知，． 【点睛】本题主要考查了新定义运算，平移的性质，解题的关键是数形结合，理解题意． 29．在平面直角坐标系中，已知不同的两点，，若，则称点P与点Q互为k倍点； (1)已知点，点C在一条平行于y轴且经过点的直线上，它与点A互为倍点，求点C； (2)已知点，对于任意实数k，是否存在x轴上的点D，使得它与点B互为k倍点，若存在，请求出点D的个数，若不存在，请说明理由； (3)已知两点，，若点M与点N互为k倍点，且都在x轴下方，将线段向右平移k个单位长度，点M的对应点为点G，点N的对应点为点H，平移后点H到x轴的距离为2，四边形的面积为，求点M与点N． 【答案】(1)点或 (2)当时，轴上有无数个点与点互为倍点，当时，轴上不存在点与点互为倍点 (3)， 【分析】（1）由题意可设点，则有，然后问题可求解； （2）设点，若存在点与点互为倍点，则，然后可分当时和当时，进而分类求解即可； （3）由题意易得，，则有，然后可得，进而根据题中所给定义可进行求解． 【详解】（1）解：由题意可设点，则有， 即， ∴或， ∴点或． （2）解：设点， 若存在点与点互为倍点，则． 当时，上式总是成立，有为任意实数且， ∴此时存在无数个点与点互为倍点； 当时，成立必有，得， 此时点为，与点重合，不符合题意，舍去． 综上所述：当时，轴上有无数个点与点互为倍点，当时，轴上不存在点与点互为倍点． （3）解：， ， 由题可知， 当时，有， ∴， ∴， 此时点与点重合，不符合题意，舍去， ∴， ∴． 由平移可知，四边形为平行四边形， ∵四边形面积为，且， ∴四边形的高为3，即， ∴， ∴， 又平移后点到轴的距离为2，且点仍在轴下方， ∴， ∴， 把代入中，得， 当时，点为与点在轴下方矛盾，舍去， 当，时，点为，点为． 综上所述，，为所求． 【点睛】本题主要考查图形与坐标，熟练掌握平面直角坐标系中点的坐标特征是解题的关键． 30．在平面直角坐标系中．点A，B，P不在同一条直线上．对于点P和线段给出如下定义：过点P向线段所在直线作垂线，若垂足Q落在线段上，则称点P为线段的内垂点．若垂足Q满足最小，则称点P为线段的最佳内垂点．已知点，，． AI    (1)在点、、，中，线段的内垂点为 　 　； (2)点M是线段的最佳内垂点且到线段的距离是2，则点M的坐标为 　 　； (3)点N在y轴上且为线段的内垂点，则点N的纵坐标n的取值范围是 　 　； (4)已知点，，．若线段上存在线段的最佳内垂点，求m的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 (3) (4)或 【分析】（1）根据新定义解决问题即可； （2）满足条件的点在线段的垂直平分线上上； （3）画出图象即可解决问题； （4）分两种情况讨论，构建不等式组解决问题即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴轴， ∴在点、、，中，线段的内垂点，， 故答案为：，； （2）解：∵垂足Q满足最小，则称点P为线段的最佳内垂点． ∴当P在的垂直平分线上时，P为最佳内垂点， ∴点Q在的垂直平分线上， 又∵M到线段的距离是2， ∴或； 故答案为：或； （3）解：如图，作交y轴于E，作交y轴于F，      ∵N为线段的内垂点， ∴N在线段上， ∴， 故答案为：； （4）解：当点F在点C左侧时， ∵，， ∴的中点为， ∵线段上存在线段的最佳内垂点， ∴， ∴， 当点F在点C右侧时， 同理可得：， ∴， 综上可知：或． 【点睛】本题考查坐标与图形的性质，垂线，线段的垂直平分线，不等式组等知识，解题的关键是理解题意，学会构建不等式组解决问题，属于中考常考题型． 四、压轴题四：二元一次方程组综合，10题，难度四星 31．七年级数学兴趣小组准备了一个无盖的圆柱体容器和若干个、两种型号的钢球．先往容器里加入一定量的水，如图，水高度为，水足以淹没所有的钢球，下面探究过程中水的损耗忽略不计．    探究一： 小组做了两次实验，先放入3个型号钢球，水面的高度上涨了；把3个型号钢球捞出，再放入4个型号钢球，水面的高度恰好也上涨了，由此可得一个型号钢球可以使水位上升________，一个型号钢球可以使水位上升________； 探究二： 小组把之前的钢球全部捞出，然后再放入型号与型号钢球共10个后，水面高度涨到，问放入水中的型号与型号钢球各几个？ 探究三： 小组把之前的钢球全部捞出，然后再放入型号和型号钠球共个，此时水面高度刚好涨到（水未溢出），当最大时，放入水中的型号与型号钢球各几个？请说明理由． 【答案】探究一：4，3；探究二：放入水中的型号钢球2个，型号钢球8个；探究三：当放入水中的型号1个，型号钢球12个时，最大是13，理由见解析 【分析】探究一：由和计算即可； 探究二：设型球个，则型球个，根据“水面高度涨到”列方程求解； 探究三：设型球个，型球个，根据“水面高度刚好涨到”列方程讨论求解． 【详解】解：探究一：，， 故答案为4，3； 探究二：设型球个，则型球个，根据题意得 解得， ， 答：放入水中的型号2个，型号钢球8个； 探究三：设型球个，型球个，根据题意得 ， 当、4、7时 、8、4， 所以当放入水中的型号1个，型号钢球12个时，最大是13． 【点睛】本题考查一元一次方程应用，确定数量关系是解答关键． 32．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，且满足关系式，点在第一象限．    (1)求的值． (2)如图1，当时，三角形的面积为7，求的值． (3)如图2，连接，当时，求满足上述条件的整点（都是整数）的坐标． 【答案】(1) (2)4 (3)或或 【分析】（1）根据非负式子和为0可得它们分别等于0，列式求解即可得到答案； （2）过点作轴于点，根据题意得出，，得到，结合三角形面积列式求解即可得到答案； （3）过点作轴于点，则，由（1）可得，从而得到，，，由三角形面积可得，最后由进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：，， ， ； （2）解：如图，过点作轴于点， ， ， ， 由（1）得：， ， ， 三角形的面积为7，， ， 解得：， 的值为4； （3）解：如图，过点作轴于点， ， 点在第一象限， ， 由（1）得：， ，， ， ， ， ， ， ， 都是正整数， 或或， 整点（都是整数）的坐标为：或或． 【点睛】本题主要考查了绝对值的非负性、平方的非负性、平面直角坐标系中图形面积求解、点到坐标轴的距离，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，是解题的关键． 33．如图，点为数轴原点，点和点是数轴上的两个动点，且点所表示的数比点所表示的数大6．    (1)当点所表示的数是时，点所表示的数是________；线段的长是________． (2)点是线段上一点（不与点、点重合），且满足， ①当点在线段上时，如果，求此时点所表示的数； ②当时，直接写出所有满足条件的点所表示的数． 【答案】(1)； (2)①P表示的数为：．②P表示或． 【分析】（1）由点所表示的数比点所表示的数大6，列式计算可得B表示的数，再利用两点之间的距离公式可得的长度； （2）点是线段上一点，点表示的数为， 表示的数为，设表示的数为，结合，可得或，①当点在线段上时，由，互为相反数，则，再建立方程组求解即可；②点是线段上一点，点表示的数为， 表示的数为，设表示的数为，结合，可得，而或，再建立方程组求解即可． 【详解】（1）解：∵点所表示的数比点所表示的数大6，点所表示的数是时， ∴点所表示的数为，． （2）点是线段上一点，点表示的数为， 表示的数为，设表示的数为， ∵， ∴， ∴或， 即或， ①当点在线段上时，由， ∴互为相反数， ∴， ∴，解得：， 或，解得：，此时P不在线段上，舍去， 此时表示， 综上：P表示的数为：． ②点是线段上一点，点表示的数为， 表示的数为，设表示的数为， ∵， ∴ ∵或， ∴或， 解得：或， ∴P表示或． 【点睛】本题考查的是数轴上两点之间的距离，线段的长度的含义，二元一次方程组的应用，绝对值的含义，清晰的分类讨论是解本题的关键． 34．如图，在平面直角坐标系中，A(a，3)，B(－4，b)，C(c，0)，其中a、b、c满足： ． (1)填空：a＝______，b＝_______，c＝________； (2)设AC交y轴于Q，求的值； (3)设P为坐标轴上一点，使得△ABP的面积等于40，请直接写出P点坐标． 【答案】(1)，，2 (2)1 (3)或或或 【分析】（1）解三元一次方程组即可求得结果； （2）连OA，过A作AD⊥y轴于D，分别计算△AOQ、△COQ的面积知，两者的面积相等，再有这两个三角形若分别以AQ、CQ为底边，则这两个三角形等高，则可得AQ=CQ，从而可得结果； （3）设AB交x轴于E，利用割补法可求得△ABC的面积，再由可求得CE的长，即得点E的坐标；分点P在x轴上与点P在y轴上两种情况加以讨论即可． 【详解】（1） ②−①并整理得：， ③−②得：， 解上两式组成的二元一次方程组得， 把a＝－2，b＝－1代入③得：c=2． ∵a＝－2，b＝－1，c＝2； 故答案为：－2，－1，2； （2）连OA，过A作AD⊥y轴于D，如图． 由(1)，得AD＝2，OC＝2， ∴AD＝OC． ∵S△AOQ＝OQ·AD，S△COQ＝OQ·OC， ∴S△AOQ＝S△COQ， ∵这两个三角形分别以AQ、CQ为底边，则这两个三角形等高， ∴ AQ=CQ， ∴． （3）由（1），得 A(－2，3)，B(－4，－1)，C(2，0)， 由割补法，得△ABC面积＝24－4－6－3＝11， 设AB交x轴于E， ∵ ∴CE×(3+1)＝11， ∴CE＝5.5， ∵C(2，0)， ∴E(－3.5，0)． 1、当点P在x轴上时， ∵△ABP面积为40， ∵ ∴PE×(3+1)＝40， ∴PE＝20． ∵E(－3.5，0)， ∴P(－23.5，0)或(16.5，0)； 2、当点P在y轴上时，设直线AB交y轴于F，连接OA、OB， 由割补法可求得S△AOB＝7， ∵S△BOF－S△AOF＝S△AOB， ∴OF(4－2)＝7， ∴OF＝7， ∴F(0，7)．   由S△BPF－S△APF＝S△ABP＝40， ∴PF(4－2)＝40， ∴PF＝40， ∵F(0，7)， ∴P（0，47）或(0，－33)． 综上：P(－23.5，0)或(16.5，0)或（0，47）或(0，－33)． 【点睛】本题考查了三元一次方程组的解法，图形与坐标，割补法求图形面积等知识与方法，（2）中求比值用到的解题方法是本题的难点，（3）中注意分类讨论，不要出现遗漏的情况．割补法的运用是本题的关键． 35．点A对应数a，点B对应数b，点C对应数c，xc﹣5y与﹣2xb＋15y的和是﹣6x5y． (1)那么a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　； (2)点P为数轴上一点，且满足PA＝3PB＋1，请求出点P所表示的数； (3)点M为数轴上点A右侧一点，甲、乙两点分别从A、M出发，相向而行，2分钟后在途中相遇，相遇后，两点的速度都提高了1单位长度/分，当甲到达M点后立刻按原路向A返行，当乙到达A点后也立刻按原路向M点返行．甲、乙两点在第一次相遇后3分36秒又再次相遇，则A、M两点的距离是　 　单位长度； (4)当甲以4单位长度/分的速度从A出发，向右运动，乙同时从点C出发，以6单位长度/分的速度向左运动，当甲到A、B、C的距离之和为40个单位长度时，假如甲立即掉头返行，请问甲、乙还能碰面吗？若能，求出碰面的地点对应的数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)﹣24，﹣10，10 (2)点P所对应的数是﹣或- (3)36 (4)能，碰面的地点对应的数为﹣44 【分析】（1）根据合并同类项的法则可知，c-5=b+15＝5，且+（﹣2）＝﹣6，解之即可； （2）设点P所对应的点为x，根据题意，需要分两种情况：①当点P在线段AB上时，②当点P在点B的右侧时，根据PA＝3PB+1，分别列出方程求解即可； （3）设提速前甲、乙的速度分别为m单位长度/分，n单位长度/分，AM两点间的距离为s单位长度，则提速后甲、乙的速度分别为（m+1）单位长度/分，（n+1）单位长度/分，根据题意可知，，利用消元法消去m和n，即可解得s的值． （4）设甲运动后所对应的点为D，乙运动后所对应的点为E，甲、乙运动的时间为t分，若甲、乙碰面，则有4t+6t＝10﹣（﹣24），解题t＝3.4．当点D在AB之间时，0＜t＜，则有，AD＝4t，BD＝14﹣4t，CD＝34﹣4t，所以4t+14﹣4t+34﹣4t＝40，解得t＝2；甲，乙作追击运动，甲和乙能碰面． 【详解】（1）解：xc﹣5y与﹣2xb＋15y的和是﹣6x5y． ∴c-5=b+15＝5，+（﹣2）＝﹣6， 解得a＝﹣24，b＝﹣10，c＝10． ∴点A对应数﹣24，点B对应数﹣10，点C对应数10． 故答案为：﹣24，﹣10，10． （2）设点P所对应的点为x，根据题意，需要分两种情况： ①当点P在线段AB上时，PA＝x+24，PB＝﹣10﹣x， ∴x+24＝3（﹣10﹣x）+1，解得x＝﹣； ②当点P在点B的右侧时，PA＝x+24，PB＝10+x， ∴x+24＝3（10+x）+1，解得x＝-． ∴点P所对应的数是﹣或． （3）设提速前甲、乙的速度分别为m单位长度/分，n单位长度/分，AM两点间的距离为s单位长度， 则提速后甲、乙的速度分别为（m+1）单位长度/分，（n+1）单位长度/分， 根据题意可知，， 解得s＝36． 故答案为：36． （4）甲和乙能碰面，此时对应的数为﹣44．理由如下： 设甲运动后所对应的点为D，乙运动后所对应的点为E，甲、乙运动的时间为t分， 若甲、乙碰面，则有4t+6t＝10﹣（﹣24），解题t＝3.4． 当点D在AB之间时，0＜t＜， 则有，AD＝4t，BD＝14﹣4t，CD＝34﹣4t， ∴4t+14﹣4t+34﹣4t＝40，解得t＝2； ∵2＜3.4， 当t＝2时，甲在﹣16处，乙在﹣2处，甲改变运动方向，甲、乙同向运动， ﹣16﹣4（t﹣2）＝﹣2﹣6（t﹣2），解得t＝9． 此时﹣16﹣4×（9﹣2）＝﹣44， ∴甲和乙能碰面，此时对应的数为﹣44． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及二元一次方程组的应用和数轴，解题的关键是掌握点的移动与点所表示的数之间的关系，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 36．如图1，已知数轴上的点A、B对应的数分别是﹣5和1． （1）若P到点A、B的距离相等，求点P对应的数； （2）动点P从点A出发，以2个单位/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒，问：是否存在某个时刻t，恰好使得P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由； （3）如图2在数轴上的点M和点N处各竖立一个挡板（点M在原点左侧，点N在原点右侧且OM＞ON），数轴上甲、乙两个弹珠同时从原点出发，甲弹珠以2个单位/秒的速度沿数轴向右运动，乙弹珠以5个单位/秒的速度沿数轴向左运动．当弹珠遇到挡板后立即以原速度向反方向运动，若甲、乙两个弹珠相遇的位置恰好到点M和点N的距离相等，试探究点M对应的数m与点N对应的数n是否满足某种数量关系，请写出它们的关系式，并说明理由． 【答案】（1）点P对应的数为-2；（2）当t=2或6时，恰好使得P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍；（3）m+13n=0． 【分析】（1）设点P对应的数为x，表示出BP与PA，根据BP=PA求出x的值，即可确定出点P对应的数； （2）表示出点P对应的数，进而表示出PA与PB，根据PA=2PB求出t的值即可； （3）因为OM＞ON，只有甲乙均反弹之后在中点相遇一种情况，设点M对应的数为m，点N对应的数为n，时间为t，则M、N的中点对应的数为，根据甲、乙两个弹珠相遇的位置恰好到点M和点N的距离相等列出关系式即可． 【详解】解：（1）点A、B对应的数分别是﹣5和1， 设点P对应的数为x， 则BP=1-x，PA=x+5， ∵BP=PA， ∴1-x=x+5， 解得：x=-2， ∴点P对应的数为-2； （2）P对应的数为-5+2t， ∴PA=2t，PB=|-5+2t-1|=|2t-6|， ∵PA=2PB， ∴2t=2|2t-6|， 当t=2t-6时，t=6； 当t+2t-6=0时，t=2； 答：当t=2或6时，恰好使得P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍； （3）设点M对应的数为m，点N对应的数为n，时间为t， 则M、N的中点对应的数为， ∴MN=n-m，OM=-m，ON=n， ∴，即， 化简得m+13n=0． 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，数轴，两点间的距离，运用分类讨论思想、方程思想及数形结合思想是解题的关键． 37．对a，b定义一种新运算T，规定：T（a，b）＝（a+2b）（ax+by）（其中x，y均为非零实数）．例如：T（1，1）＝3x+3y． （1）已知T（1，﹣1）＝0，T（0，2）＝8，求x，y的值； （2）已知关于x，y的方程组，若a≥﹣2，求x+y的取值范围； （3）在（2）的条件下，已知平面直角坐标系上的点A（x，y）落在坐标轴上，将线段OA沿x轴向右平移2个单位，得线段O′A′，坐标轴上有一点B满足三角形BOA′的面积为9，请直接写出点B的坐标． 【答案】（1）x=1，y=1；（2）；（3）或或或或或 【分析】（1）根据新运算定义建立方程组，解方程组即可得出答案； （2）应用新运算定义建立方程组，解关于、的方程组可得，进而得出，再运用不等式性质即可得出答案； （3）根据题意得，由平移可得，根据点落在坐标轴上，且，分类讨论即可． 【详解】解：（1）根据新运算的定义可得： ， 解得：； （2）由题意得：， 解得：， ， ， ， ， ； （3）由（2）知，， ， 将线段沿轴向右平移2个单位，得线段， ， 点落在坐标轴上，且， 或， 或； ①当时，， 若点在轴上，， ， 或； 若点在轴上，， ， 或； ②当时，； 点只能在轴上，， ， 或； 综上所述，点的坐标为或或或或或． 【点睛】本题考查了新运算定义，解二元一次方程组，不等式性质，平移变换的性质，理解并应用新运算定义是解题关键． 38．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，其中是二元一次方程组的解，过点作轴的平行线交轴于点． （1）求点的坐标； （2）动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿射线的方向运动，连接，设点的运动时间为秒，三角形的面积为，请用含的式子表示（不用写出相应的的取值范围）； （3）在（2）的条件下，在动点从点出发的同时，动点从点出发以每秒个单位长度的速度沿线段的方向运动．过点作直线的垂线，点为垂足；过点作直线的垂线，点为垂足．当时，求的值． 【答案】（1） ；（2）；（3）或4． 【分析】（1）先求出是二元一次方程组的解，然后代入A、B的坐标即可解答； （2）先求出OC的长，分点P在线段OB上和OB的延长线上两种情况，分别利用三角形面积公式计算即可； （3）分两种情况解答：①当点P在线段OB上时，连接PQ，过点M作PM⊥AC交AC的延长线于M，可得OP=2CQ，构建方程解答即可；②当点P在BO的延长线上时，同理可解． 【详解】解：（1）解二元一次方程组，得： ∴A（6,7），B（-8,0）； （2） ①当点P在线段OB上时，BP=4t，OP=8-4t， ∴ ②当点P在OB延长线上时， 综上所述； （3）①当点P在线段OB上时， 如图：连接PQ，过点M作PM ⊥AC交AC的延长线于M ，   又          ； ②当在线段延长线上时 同理可得：． 综上，满足题意t的值为或4． 【点睛】本题主要考查了三角形的面积、二元一次方程组等知识点，学会用分类讨论的思想思考问题以及利用面积法解决线段之间的关系成为解答本题的关键． 39．某化工厂与A，B两地有公路和铁路相连，这家工厂从A地购买一批每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B地． (1)如图为该化工厂与A、B两地的距离，已知公路运价为1.5元/（吨•千米），铁路运价为1.2元/（吨•千米），这两次运输共支出公路运输费15000元，铁路运输费97200元．请计算这批产品的销售款比原料费和运输费的和多多少元？ ①根据题意，甲、乙同学分别列出尚不完整的方程组如下： 甲：乙： 根据甲，乙两名同学所列方程组，请你分别指出未知数x，y，，表示的意义，然后在等式右边补全甲乙两名同学所列方程组 甲：x表示　　，y表示　　；乙：表示　　，表示　　； ②甲同学根据他所列方程组解得x＝300，请你帮他解出y的值，并解决该实际问题． (2)工厂原计划从A地购买的原料和送往B地的产品一共20吨，若要增加c吨的产品，就要再购买c吨原料，此时产品的销售款与原料的进货款之差等于66000元，同时满足原料总重量的2倍，求需要再购买多少吨的原料？ 【答案】(1)①产品的重量，原料的重量，产品销售额，原料费，5000，97200，5000，97200，；②1887800 (2)8吨 【分析】（1）①仔细分析题意根据题目中的两个方程表示出，的值并补全方程组即可； ②将的值代入方程组即可得到结论． （2）依据题意列出方程可求出的值，进而可得出结论． 【详解】（1）解：甲：表示产品的重量，表示原料的重量， 乙：表示产品销售额，表示原料费， 甲方程组右边方框内的数分别为：15000，97200，乙同甲； 则甲： 乙：， 故答案为：产品的重量；原料的重量；产品销售额；原料费． ②将代入原方程组解得， 产品销售额为元， 原料费为元， 运费为元， （元）， 答：这批产品的销售额比原料费和运费的和多1887800元． （2）解：设工厂原计划从地购买的原料为吨，则送往地的产品为吨， 原料总重量是产品总重量的2倍， ． 解得：． 则原料的总重量为：吨，产品的总重量为：吨． 产品的销售款与原料的进货款之差等于66000元， ． 解得：． ． 答：需要再购买8吨的原料． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是正确建立方程组进行求解． 40．如图1，已知，，点E在CD上，点G，F在AB上，点H在AB，CD之间，连接FE，EH，HG，． (1)求证：； (2)如图2，FK平分∠AFE交CD于点K，，GM平分∠HGB，若，求∠GHE的度数； (3)如图3，FK平分∠AFE交CD于点K，，GM平分∠HGB，EM平分∠HED，GM，EM交于点M，若，，求的值．（请直接写出答案） 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)2 【分析】（1）根据平行线的性质得出，结合题意即可得出，从而证明； （2）如图，过点H作，即得出．由，可设，则．再根据平行线的性质和角平分线的定义即可得出方程，解出x，从而可求出答案； （3）如图，过点M作．由题意可设，则．再根据平行线的性质和角平分线的定义即可得出方程组，解出，最后作比求值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，过点H作． ∴． ∵， 故可设，则． ∵， ∴，，． ∵FK平分∠AFE，GM平分∠HGB， ∴，， ∴，． 由（1）可知， ∴， ∴， 解得：． ∴，． ∵， ∴， ∴； （3）解：如图，过点M作． 由题意可设，则． ∵，FK平分∠AFE ∴，． ∵， ∴． ∵EM平分∠HED， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵GM平分∠HGB， ∴，， ∴． ∵， ∴． ∴，即． 由（1）可知， ∴， ∴． 即， 解得：， ∴． 【点睛】本题主要考查平行线的判定和性质，角平分线的定义等知识．正确的作出辅助线并利用数形结合的思想是解题的关键． 五、压轴题五：不等式综合，10题，难度四星 41．在平面直角坐标系中，对于任意两点，、，，定义：为点、的折距离．若点满足，，，则称点C为点A、B的m生成点；若图形W的所有点都是点A、B的m生成点，则称图形W为点A、B的m生成图形． (1)已知， ①点E、F的折距离是 ； ②若点是点E、F的m生成点，求m的值； (2)已知、，，，，，连接点 、、、得到正方形，把正方形记作图形．若图形是点、的8生成图形，直接写出n的最大值和最小值． 【答案】(1)①3；②5 (2)n的最大值为，最小值为 【分析】本题考查新定义问题，直角坐标系中点坐标． （1）①根据折距离定义即可作答； ②根据折距离定义即可作答； （2）设，的8生成点为，，分别表示出，，和为8，结合数轴上的距离即可，，的范围，根据矩形的性质即可作答． 【详解】（1）①由题意知，， 故答案为：3； ②， ， ，，， 的值为5； （2）设，的8生成点为，， 则， ， 则有，，， ， ， 将看作数轴上表示的数到和1的距离之和， 则， 将看作数轴上表示的数到4和1的距离之和， 则， 又， ，， ，， 则正方形在以，，，为顶点的矩形内（含边界）， 由题知，，则轴，则正方形与坐标轴平行， ，在上方， ，在左侧， 则有，即， ， ，即， ， 有，即， ， ，即， ， 的最大值为，最小值为． 42．对于任意有理数x，规定：当时，； 当时，． (1)填空：______，______，______； (2)若， 求m 的值； (3)若两个有理数，， 且a， b异号， 满足，请直接写出a，b之间可能存在的数量关系： 【答案】(1)，，； (2)或 (3)或或或． 【分析】（1）根据新定义运算的法则代入的值进行计算即可； （2）分情况讨论：当与，再建立方程求解即可； （3）由a， b异号，可得，或，，再分两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵当时，； 当时，． ∴，， ； （2）∵， ∴当时，即， ∴， 解得：， 当，则， ∴， 解得：（不符合题意）； （3）∵a， b异号， ∴，或，， 当，时， ∴，， ∵两个有理数，， 满足， ∴， 当，时，则， ∴， ∴或； 当，时，则， ∴， ∴，（不符合题意舍去）； 当，时， ∴，， ∵两个有理数，， 满足， ∴， 当，时，， ∴或； 当，时， ∴， ∴， ∴（不符合题意舍去）； 综上：或或或． 【点睛】本题考查的是求解代数式的值，绝对值方程的应用，一元一次方程的应用，一元一次不等式的解法，清晰的分类讨论是解本题的关键． 43．如图，数轴上两点A、B对应的数分别是，1，点P是线段上一动点，给出如下定义：如果在数轴上存在动点Q，满足，那么我们把这样的点Q表示的数称为连动数，特别地，当点Q表示的数是整数时我们称为连动整数．    (1)在，0，2，3.5四个数中，连动数有______； (2)若k使得方程组中的x，y均为连动数，求k所有可能的取值； (3)若关于x的不等式组的解集中恰好有3个连动整数，求这3个连动整数的值及a的取值范围． 【答案】(1)，2 (2)或或； (3)a的取值范围是． 【分析】（1）根据连动数的定义即可确定； （2）先表示出x，y的值，再根据连动数的范围求解即可； （3）求得不等式的解，根据连动整数的概念得到关于a的不等式，解不等式即可求得． 【详解】（1）解：∵点P是线段上一动点，点A、点B对应的数分别是，1， 又∵， ∴连动数Q的范围为：或， ∴连动数有，2； 故答案为：，2； （2）解：， 得：， 得：， 要使x，y均为连动数， 或，解得或， 或，解得或， ∴或或； （3）解：解得： ， ∵解集中恰好有3个解是连动整数， ∴四个连动整数解为，1，2， ∴， ∴ ∴a的取值范围是． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组的整数解，一元一次方程的解，根据新定义得到不等式组是解题的关键， 44．若点的坐标满足． (1)若点的坐标为，求，的值； (2)若点在第二象限，且符合要求的整数只有五个，求的取值范围； (3)若点为不在轴上的点，且关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）解方程组得，当，时，可得，解之即可得出答案； （2）解方程组得，由点P在第二象限，得，则，由题意得出，1，2，3，4，得出即可； （3）由（1）得，，由题意得出，即，由不等式的解集得可得，，求出，解不等式即可． 【详解】（1）解：解方程组得：， ∵点的坐标为 ∴，解得：； （2）∵点P在第二象限，则， ∴，， ∴， ∵符合要求的整数a只有五个， ∴，1，2，3，4； ∴， 即b的取值范围为； （3）由（1）得：，， ∵点P为不在x轴上的点， ∴，即， ∵关于z的不等式的解集为， ∴， ∴，则， ∴， 代入得：，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题是综合题，考查了二元一次方程组的解法、点的坐标特征、一元一次不等式组的解法等知识；本题综合性强，熟练掌握二元一次方程组的解法和一元一次不等式组的解法是解题的关键． 45．对于二元一次方程的任意一个解给出如下定义：若，则称为方程的“关联值”；若，则称为方程的“关联值”． (1)写出方程的一个解，并指明此时方程的“关联值”； (2)若“关联值”为4，写出所有满足条件的方程的解； (3)直接写出方程的最小“关联值”为______；当关联值为时，直接写出x的取值范围是______． 【答案】(1)方程的解为，方程的“关联值”为1（答案不唯一） (2)， (3)或 【分析】（1）根据“关联值”的概念求解即可； （2）根据“关联值”为4分情况列方程求解即可； （3）根据题意得到，进而得到当增大时，先减小到0，然后再增大，然后联立求解即可；根据题意分四种情况分别列出不等式求解即可． 【详解】（1）当时，即， 解得， ∵ ∴此时方程的“关联值”为1，方程的解为（答案不唯一）； （2）∵“关联值”为4， ∴①当时，即，解得， ∴方程的解为； ②当时，即，解得， ∴方程的解为； ③当时，即，解得， ∵， ∴不符合题意，应舍去； ④当时，即，解得， ∵， ∴不符合题意，应舍去； 综上所述，所有满足条件的方程的解有，； （3）∵ ∴， ∵当时，， 当增大时，先减小到0，然后再增大， ∴当时，方程取得最小“关联值”， ∴联立，解得 ∴方程的最小“关联值”为； 当关联值为时，即， ∴， ∴ ∴①当，时，即，时， ∴，解得， ∴； ②当，时，即，时， ∴，解得， ∴； ③当，时，即，时， ∴，解得， ∴； ④当，时，即，时， ∴，解得， ∴； 综上所述，当或时，关联值为． 【点睛】此题考查了二元一次方程的解和一元一次不等式，解题的关键是正确分析题目中的等量关系和不等关系． 46．定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”，例如：方程的解为．不等式组的解集为．因为．所以称方程为不等式组，的“相伴方程”． (1)下列方程是不等式组的“相伴方程”的是_______；（填序号） ①；②；③ (2)若关于x的方程是不等式组的“相伴方程”，求k的取值范围； (3)若方程，都是关于x的不等式组的“相伴方程”，其中，则m的取值范围是________（直接写答案）． 【答案】(1)①② (2)3＜k≤4； (3)2＜m≤3 【分析】（1）先分别求出方程的解和不等式组的解集，再逐个判断即可； （2）先分别求出方程的解和不等式组的解集，根据题意得出＜≤3，再去解不等式组的解集即可； （3）分别求出方程的解，分为两种情况：①当m＜2时，求出不等式组的解集，再判断即可；②当m＞2时，求出不等式组的解集，再判断即可． 【详解】（1）解：解不等式组得-1＜x＜2， 解方程x-1=0得：x=1； 解方程2x+1=0得：x=-； 解方程-2x-2=0得：x=-1， ∵-1＜1＜2，-1＜-＜2，-1=-1， ∴①②是不等式组的“相伴方程”， 故答案为：①②； （2）解：解不等式组得：＜x≤3， 解方程2x-k=2得：x=， ∵关于x的方程2x-k=2是不等式组的“相伴方程”， ∴＜≤3， 解得：3＜k≤4， 即k的取值范围是3＜k≤4； （3）解：解方程2x+4=0得x=-2， 解方程得x=-1， ∵方程2x+4=0，都是关于x的不等式组的“相伴方程”，m≠2， 所以分为两种情况： ①当m＜2时，不等式组为， 此时不等式组的解集是x＞1，不符合题意，舍去； ②当m＞2时，不等式组的解集是m-5≤x＜1， 所以根据题意得， 解得：2＜m≤3， 所以m的取值范围是2＜m≤3， 故答案为：2＜m≤3． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解和解一元一次不等式组等知识点，能根据题意得出关于k和m的不等式组是解此题的关键． 47．阅读下列材料：解答“已知x－y＝2，且x>1，y<0，试确定x＋y的取值范围”有如下解法： 解：∵x－y＝2，∴x＝y＋2  又∵x>1，∴y＋2>1，∴y>－1． 又∵y<0，∴－1<y<0…①． 同理可得1<x<2…②． 由①＋②得：－1＋1<x＋y<0＋2． ∴x＋y的取值范围是0<x＋y<2． 按照上述方法，完成下列问题： (1)已知x－y＝3，且x>2，y<1，则x＋y的取值范围是______； (2)已知关于x，y的方程组的解都是正数，求a的取值范围； (3)在（2）的条件下，若a－b＝4，b<2，求2a＋3b的取值范围． 【答案】(1)1＜x+y＜5 (2)a＞1 (3) 【分析】（1）模仿阅读材料解答即可； （2）先把方程组解出，再根据解为正数列关于a的不等式组解出即可； （3）分别求出2a、3b的取值范围，相加可得结论． 【详解】（1）解：∵x-y=3， ∴x=y+3， ∵x＞2， ∴y+3＞2， ∴y＞-1， 又∵y＜1， ∴-1＜y＜1…①， 同理可得2＜x＜4…②， 由①+②得：-1+2＜x+y＜1+4， ∴x+y的取值范围是1＜x+y＜5， 故答案为：1＜x+y＜5； （2）解：解方程组， 得， ∵该方程组的解都是正数， ∴x＞0，y＞0， ∴， 解不等式组得：a＞1， ∴a的取值范围为：a＞1； （3）解：∵a－b=4，b<2， ∴， ∴， 由（2）得，a＞1， ∴， ∴…①， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴…②， 由①+②得：， ∴2a＋3b的取值范围是． 【点睛】本题考查不等式的性质及运算法则，解一元一次不等式组，解二元一次方程组，以及新运算方法的理解，熟练熟练掌握不等式的运算法则是解题的关键． 48．对a，b定义一种新运算“T”，规定：T(a，b)=(2a+b)(ax+by)(其中x，y均为非零实数)，这里等式右边是通常的四则运算，例如：T(1，1)=3x+3y． (1)已知T(-1，1)=0，T(2，0)=8，求x，y的值； (2)已知关于x，y的方程组，若a≥-2，求x + y 的取值范围； (3)在(2)的条件下，已知平面直角坐标系xOy中，点A(x，y)在坐标轴上，将点A向上平移2个单位得点A′，坐标轴上有一点B满足三角形BOA′的面积为9，求点B的坐标． 【答案】(1) (2)x+y≥-9 (3)(0，12)或(0，-12)或(9，0)或(-9，0)或(18，0)或(-18，0) 【分析】（1）根据新运算“T”定义建立方程组，解方程组即可得出答案； （2）应用新运算“T”定义建立方程组，解关于x、y的方程可得， 进而得出x+y=a +(2a-3)=3a-3，再运用不等式性质即可得出答案； （3）根据题意得A(a，2a-3)，由平移可得A′(a，2a-1)，根据点A(a，2a-3)落在坐标轴上，且a≥-2，分类讨论即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． （2）依题意得：， 解得， ∴x+y=a +(2a-3)=3a-3， ∵a≥-2， ∴3a≥-6， ∴3a-3≥-9， ∴x+y≥-9， 故答案为：x+y≥-9． （3）由（2）得， ∴A(a，2a-3)， ∵将点A向上平移2个单位得点A′， ∴A′(a，2a-1)， ∵点A(a，2a-3)在坐标轴上，且a≥-2， ∴2a-3=0或a=0， ∴a=或a=0， ①当a=时，A′(，2)， 若点B在y轴上，则， ∴OB=12， ∴B(0，12)或(0，-12)， 若点B在x轴上 ， ∴OB=9， ∴B(9，0)或(-9，0)， ②当a=0时，A′(0，-1)， ∴点B在x轴上， ∴OB=18， ∴B(18，0)或(-18，0)， 综上所述，点B的坐标为(0，12)或(0，-12)或(9，0)或(-9，0)或(18，0)或(-18，0)． 故答案为：(0，12）或(0，-12)或(9，0)或(-9，0)或(18，0)或(-18，0) 【点睛】本题考查了新运算“T”定义，解二元一次方程组，不等式性质，平移变换的性质，理解并应用新运算“T”定义是解题关键． 49．列方程（组）或不等式解应用题： （1）某水果店5月份购进甲、乙两种水果共花费1700元，其中甲种水果8元/千克，乙种水果18元/千克．6月份，这两种水果的进价上调为：甲种水果10元/千克，乙种水果20元/千克．若该店6月份购进这两种水果的数量与5月份都相同，将多支付货款300元，求该店5月份购进甲、乙两种水果分别是多少千克？ （2）在“科学与艺术”知识竞赛的预选赛中，共有20道题.对于每一道题，答对得10分，不答或答错都扣5分，总分不少于90分者能通过预选赛． ①如果小明得了110分，那么小明答对几道题？ ②小明最少应答对几道题才能通过预选赛？ 【答案】（1）5月份甲种购100千克，乙种水果购50千克；（2）①小明答对了14道题；②小明最少应答对13道题才能通过预选赛． 【分析】（1）设5月份甲种水果购千克，乙种水果购千克，再根据总价=单价×购进数量列出关于x、y的二元一次方程组并解答即可； （2）①根据答对得10分、不答或答错都扣5分得规则以及小明得了110分的关系，列出一元一次方程即可； ②根据答对得10分，不答或答错都扣5分的规则以及总分不少于90分的关系，列出不等式并解答即可． 【详解】解：（1）设5月份甲种水果购千克，乙种水果购千克. 依题意得： 解得 答：5月份甲种购100千克，乙种水果购50千克. （2）①解：设小明答对了道题. 依题意得 解得 ∴小明答对了14道题. ② 解得 小明最少应答对13道题才能通过预选赛． 【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，弄清题意、找准关系，列出二元一次方程组和不等式是解答本题的关键． 50．2019年5月以来昆明高温天气创历史新高，市民戏称昆明“春城”变“夏城”，百姓对电风扇的需求量比往年明显增加．某超市销售每台进价分别为元、元的两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 种型号 种型号 第一周 台 台 元 第二周 台 台 元 （进价、售价均保持不变，利润=销售收入-进货成本） （1）求两种型号的电风扇每台售价各是多少元？ （2）若超市准备用不多于元的金额再采购这两种型号的电风扇共台，求种型号的电风扇最多能采购多少台？ （3）在（2）的条件下，超市销售完这台电风扇能否实现利润超过元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【答案】（1）A、B两种型号的电风扇单价分别200元，150元； （2）种型号的电风扇最多能采购37台，采购金额不多于7500元； （3）能，方案如下； 当时，采购A种型号的电风扇36台，B种型号的电风扇14台； 当时，采购A种型号的电风扇37台，B种型号的电风扇13台； 【分析】（1）设出A,B两种电风扇的销售单价，根据表格中的信息列出方程组求解; （2）根据台电风扇和不多于元的金额设未知数列出不等式即可求解. （3）根据实现利润超过元的目标列出不等式，联立第二问中的取值，结合实际取整确定相应的采购方案. 【详解】（1）设A、B两种型号的电风扇单价分别为元 根据题意得 解得 答：A、B两种型号的电风扇单价分别200元，150元. （2）设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇（50-a）台. 根据题意： 解得 答：种型号的电风扇最多能采购37台，采购金额不多于7500元. （3）根据题意得： 解得 根据（2）中条件 相应方案有两种： 当时，采购A种型号的电风扇36台，B种型号的电风扇14台； 当时，采购A种型号的电风扇37台，B种型号的电风扇13台； 【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解题的关键在于理解题意，梳理题目中的等量关系和不等关系. 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$