八年级数学下学期期末押题卷（人教版）-【尖子生培优】2023-2024学年八年级数学下学期重难点压轴题突破专练（人教版）

八年级数学下学期期末押题卷（人教版） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．下列二次根式的运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．某公司5名员工在一次义务募捐中的捐款额为（单位：元）：30，50，50，55， 60，若捐款最少的员工又多捐了20元，则分析这5名员工捐款额的数据时，统计量变小的是（　　） A．方差 B．平均数 C．中位数 D．众数 3．下列说法正确的是（　　） A．若能用完全平方公式分解因式，则m的值一定等于20 B．如果关于x的不等式的解集是，则a的取值范围是 C．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 D．等腰三角形有一个角等于，则另外两个内角一定都等于 4．一天，李师傅骑车上班途中因车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行，按时赶到了单位，如图描述了他上班途中的情景，下列说法中错误的是（    ） A．李师傅上班处距他家米 B．李师傅修车用了分钟 C．修车后李师傅骑车速度是修车前的倍 D．李师傅路上耗时分钟 5．如图，把放在直角坐标系内，其中，，点A、B的坐标分别为，，将沿x轴向右平移，当点C落在直线时，线段扫过的面积为（　　） A．16 B．32 C．64 D．72 6．已知，点和点在直线上，则和的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 7．如图，在菱形中，对角线，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 8．如图，点分别是四边形边的中点．则下列说法：①若，则四边形为矩形；②若，则四边形为菱形；③若四边形是平行四边形，则与互相平分；④若四边形是正方形，则与互相垂直且相等．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．如图，以原点为圆心，为半径画弧与数轴交于点，且点表示的数为，则的值为（   ）    A． B． C． D． 10．如图，在中，，，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点和，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接交于点．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．化简： ． 12．如图是根据某班40名同学一周的体育锻炼情况绘制的统计图，该班40名同学一周参加体育锻炼时间的中位数是 ． 13．如图，，是平行四边形对角线上的两点，在不作辅助线的前提下，请你添加一个适当的条件： ，使四边形是平行四边形． 14．函数和的图像如图所示，则关于的不等式的解集是 ． 15．如图：在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为、，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点M、N，如果以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，则b的值为 ． 16．在中，，，，点和点分别是射线和射线上的动点，且满足，则的最小值为 ． 三、解答题（共52分） 17．计算 (1) (2)已知，，求的值 18．已知，则： (1)求的值． (2)若，试判断以为边的三角形的形状，并说明理由． 19．家电超市出售某品牌手机充电器，每个进价50元，了解到有A，B两个厂家可供选择，为了促销、两个厂家给出了不同的优惠方案： A厂家：一律打8折出售； B厂家：20个以内（含20个）不打折，超过20个后，超过的部分打7折． 该家电超市计划购买充电器x个，设去A厂家购买应付元，去B厂家购买应付元． (1)分别求出、与x之间的函数关系； (2)若该商家只在一个厂家购买，怎样买过算？ 20．在创建文明城区的活动中，有两段长度相等的彩色道砖铺设任务，分别交给甲、乙两个施工队同时进行施工．如图是反映所铺设彩色道砖的长度y（米）与施工时间x（时）之间关系的部分图像．请解答下列问题： (1)甲队在的时段内的速度是 米/时，乙队在的时段内的速度是 米/时． (2)如果铺设的彩色道砖的总长度为180米，开挖6小时后，甲队、乙队均增加人手，提高了工作效率，此后乙队平均每小时铺设的长度是甲队平均每小时铺设长度的倍，结果乙队比甲队提前1小时完成总铺设任务，求提高工作效率后甲队、乙队每小时铺设的长度分别为多少？ 21．2024年4月，某校举办了艺术节活动，戏剧老师为调查八年级学生对某种传统剧目H的了解情况，从南、北两个校区各随机抽取41名学生进行知识测试，并对成绩进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．南校区八年级H知识测试得分的频数分布表； （数据分成6组：，，，，，）； 南校区八年级H知识测试得分 频数 10 13 m 6 3 1 合计 41 b．南校区八年级H知识测试得分在这一组的是： 70.2  70.5  70.7  71.0  71.0  71.1  71.2  71.8  71.9  72.5  73.0  73.8  74.5； c．南、北两个校区八年级H知识测试得分的平均数，中位数如下： 平均数 中位数 南校区八年级 73.8 n 北校区八年级 74 74.4 根据以上信息，回答下列问题： (1)表中m和n的值分别为______，______； (2)若南校区八年级共有410名学生参加H知识测试，估计南校区八年级本次H知识测试80分以上（含80分）有多少人？ (3)在南校区八年级抽取的学生中，记H知识测试得分高于他们的平均分的人数为；在北校区八年级抽取的学生中，记H知识测试得分高于他们的平均分的人数为，比较与的大小，并说明理由． 22．如图，直线分别交x轴，y轴于点，．直线分别交x轴，y轴于点C，D，与直线相交于点E，已知． (1)求直线的表达式； (2)求的面积； (3)直接写出时，x的取值范围． 23．如图，四边形是平行四边形，点E是边的中点，延长交的延长线于点F． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 24．如图，为正方形的对角线，．动点、分别从点、同时出发，均以每秒个单位长度的速度分别沿、向终点、运动．连接交于点，过点作交边于点．设点运动的时间为秒．    (1)当点运动到边的中点时，四边形的面积为__________； (2)连接、，求证：四边形是平行四边形； (3)求四边形的面积； (4)当将四边形分成面积比为两部分时，直接写出的值． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级数学下学期期末押题卷（人教版）（解析版） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．下列二次根式的运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、二次根式的化简；熟练掌握二次根式的化简与运算是解决问题的关键． 根据二次根式的加法对A进行判断，根据二次根式的减法法则对B进行判断，根据二次根式的乘法对C进行判断，根据二次根式的除法法则对D进行判断． 【详解】A． ，计算错误，故选项不符合题意； B． ，计算错误，故选项不符合题意； C． ，计算错误，故选项不符合题意； D． ，计算正确，故选项符合题意； 故选：D． 2．某公司5名员工在一次义务募捐中的捐款额为（单位：元）：30，50，50，55， 60，若捐款最少的员工又多捐了20元，则分析这5名员工捐款额的数据时，统计量变小的是（　　） A．方差 B．平均数 C．中位数 D．众数 【答案】A 【分析】本题考查了中位数，平均数，标准差．求出两次的平均数，方差，标准差，据此即可求解． 【详解】捐款最少的员工又多捐了20元，则从小到大的顺序不变，即中位数不变，故C选项不符合题意； 变化前后都是50出现的次数最多，故众数都是50不变， 原来的平均数为， 方差，， 现在的平均数为， 方差， ∴平均数增大，方差变小， 故选：A． 3．下列说法正确的是（　　） A．若能用完全平方公式分解因式，则m的值一定等于20 B．如果关于x的不等式的解集是，则a的取值范围是 C．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 D．等腰三角形有一个角等于，则另外两个内角一定都等于 【答案】B 【分析】此题考查了完全平方公式分解因式、解不等式、代数式有意义的条件、等腰三角形等知识，根据相关知识进行逐项判断即可． 【详解】解：A、若能用完全平方公式分解因式，则m的值等于20或，故本选项说法不正确，不符合题意； B、如果关于x的不等式的解集是，则， ∴a的取值范围是，故本选项说法正确，符合题意； C、若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为且，故本选项说法不正确，不符合题意； D、等腰三角形有一个角等于，则另外两个内角都等于或、，故本选项说法不正确，不符合题意； 故选：B． 4．一天，李师傅骑车上班途中因车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行，按时赶到了单位，如图描述了他上班途中的情景，下列说法中错误的是（    ） A．李师傅上班处距他家米 B．李师傅修车用了分钟 C．修车后李师傅骑车速度是修车前的倍 D．李师傅路上耗时分钟 【答案】B 【分析】本题考查了函数图象，根据函数图象逐一判断即可求解，看懂函数图象是解题的关键． 【详解】解：、由图象可知，李师傅上班处距他家米，该说法正确，不合题意； 、由图象可得，李师傅修车用了分钟，该说法错误，不合题意； 、由图象可知，修车前李师傅的骑车速度为米分钟，修车后李师傅的骑车速度为米分钟，所以修车后李师傅骑车速度是修车前的倍，该说法正确，不合题意； 、由图象可知，李师傅路上耗时分钟，该说法正确，不合题意； 故选：． 5．如图，把放在直角坐标系内，其中，，点A、B的坐标分别为，，将沿x轴向右平移，当点C落在直线时，线段扫过的面积为（　　） A．16 B．32 C．64 D．72 【答案】C 【分析】此题考查平移的性质及一次函数的综合应用，解决本题的关键是明确线段扫过的面积应为平行四边形的面积．根据题意，线段扫过的面积应为平行四边形的面积，其高是的长，底是点C平移的路程．求当点C落在直线上时的横坐标即可． 【详解】解：如图所示． ∵点A、B的坐标分别为，， ∴， ∵，， ∴． ∴． ∵点在直线上， ∴，解得 ． 即． ∴． ∴． 即线段扫过的面积为64． 故选：C． 6．已知，点和点在直线上，则和的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键．利用一次函数图象上点的坐标特征可求出的值，比较后即可得出结论． 【详解】解：当时，； 当时，；． ∵， ∴． 故选：B 7．如图，在菱形中，对角线，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查菱形的性质，三角形的面积．由菱形的性质得，，，再根据三角形面积公式计算即可．解题的关键是掌握菱形的性质． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴， ∴的面积为． 故选：B． 8．如图，点分别是四边形边的中点．则下列说法：①若，则四边形为矩形；②若，则四边形为菱形；③若四边形是平行四边形，则与互相平分；④若四边形是正方形，则与互相垂直且相等．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了矩形、正方形、菱形的判定与性质，中点四边形的性质，由中点四边形的性质得出四边形是平行四边形，再由菱形的判定即可判断①；由矩形的判定即可判断②；由平行四边形的性质即可判断③；由正方形的判定与性质即可判断④；熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：点分别是四边形边的中点， ，，，， 四边形是平行四边形， ①若，则，则四边形是菱形，故原说法错误，不符合题意； ②若，则，则四边形为矩形，故原说法错误，不符合题意； ③若四边形是平行四边形，不能判定与互相平分，故原说法错误，不符合题意； ④若四边形是正方形，则，，则与互相垂直且相等，故原说法正确，符合题意； 综上所述，正确的有④，共个， 故选：A． 9．如图，以原点为圆心，为半径画弧与数轴交于点，且点表示的数为，则的值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理，实数与数轴，根据勾股定理列式求出，再利用平方根的相反数定义解答，正确利用勾股定理求出的值是解题的关键． 【详解】解：由图可知，， 则，舍去， 故选：． 10．如图，在中，，，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点和，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接交于点．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了尺规作图—作角的平分线，含角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键．过点作于点，由作法知平分，从而可得，得到，再证明是等腰直角三角形，根据勾股定理即可求出的长． 【详解】解：如图，过点作于点， 由作法知平分， ， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ． 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．化简： ． 【答案】0 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，利用二次根式的性质进行化简，完全平方公式等知识．熟练掌握二次根式有意义的条件，利用二次根式的性质进行化简，完全平方公式是解题的关键． 由题意知，，可求，根据，求解作答即可． 【详解】解：由题意知，， 解得，， ∴， 故答案为：0． 12．如图是根据某班40名同学一周的体育锻炼情况绘制的统计图，该班40名同学一周参加体育锻炼时间的中位数是 ． 【答案】9小时 【分析】本题考查了中位数的定义，根据中位数的定义可知将40位同学锻炼时间从小到大排序后，第20位同学和第21位同学的平均数即是中位数． 【详解】解：将这组数据按从小到大的顺序排列后，第20位同学和第21位同学的平均数为（小时），即中位数为9小时， 故答案为：9小时． 13．如图，，是平行四边形对角线上的两点，在不作辅助线的前提下，请你添加一个适当的条件： ，使四边形是平行四边形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解答本题的关键．添加一个条件：，根据证明得，同理可证，从而可证四边形是平行四边形． 【详解】解：可添加条件：（答案不唯一）． 证明：∵四边形是平行四边形 ∴ ∵ ∴ ∴ 同理可证： ∴ ∴四边形是平行四边形． 故答案为：（答案不唯一）． 14．函数和的图像如图所示，则关于的不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系，从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图像的角度看，就是确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标的取值范围成为解题的关键． 先根据函数图像确定两函数图像的交点坐标，再写出一次函数的图像在的图像下方且在x轴上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：由图像可得两函数图像的交点坐标为， 所以关于x的不等式的解集是． 故答案为：． 15．如图：在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为、，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点M、N，如果以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，则b的值为 ． 【答案】2或或8 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征及平行四边形的判定，熟知平行四边形的判定及性质是解题的关键． 对为边和为对角线进行分类讨论，利用数形结合的思想即可解决问题． 【详解】解：如图所示， ①当为平行四边形的边时，则， 因为、两点的坐标分别为，则线段向下平移3个单位，点的对应点在轴上，坐标为， 此时点对应点的坐标为，再将所得线段向左平移1个单位，点的对应点在轴上，坐标为， 此时点对应点的坐标为， 此时，且，即所得四边形是平行四边形． 又因为此时点的坐标为， 所以． 将线段绕原点旋转， 因为，且， 则四边形为平行四边形， 此时点的坐标为， 所以． ②当为平行四边形的对角线时， 对角线和互相平分， 因为、两点的坐标分别为，所以中点的坐标为， 因为点的纵坐标为0， 所以， 则， 所以点的坐标为， 所以． 综上所述，的值为：2或或8． 故答案为：2或或8． 16．在中，，，，点和点分别是射线和射线上的动点，且满足，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】如图，在的上方作等边，过点作于点，由三角形的内角和定理及直角三角形的性质得，，进而利用勾股定理得，然后再根据等边三角形的性质及全等三角形的判定及性质得，，进而证明是等边三角形，得，从而，，当、、三点共线时，取最小值，即可得解． 【详解】解：如图，在的上方作等边，过点作于点， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵，当、、三点共线时，取最小值， ∴的最小值为 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，勾股定理，直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，两点之间线段最短，熟练掌握直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质以及两点之间线段最短是解题的关键． 三、解答题（共52分） 17．计算 (1) (2)已知，，求的值 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先根据分母有理化、二次根式的乘法、完全平方公式进行化简，再计算加减即可； （2）先求出，，，再将式子变形为，整体代入计算即可得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：，， ，，， ． 18．已知，则： (1)求的值． (2)若，试判断以为边的三角形的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)直角三角形 【分析】本题考查二次根式混合运算，解题的关键是掌握二次根式混合运算法则和勾股定理逆定理，本题属于基础题型． （1）直接代入根据二次根式运算法则计算即可求出答案． （2）根据勾股定理逆定理即可判断三角形的形状． 【详解】（1）∵， ∴ ； （2）若， ， ∴， ∴以为边的三角形是直角三角形． 19．家电超市出售某品牌手机充电器，每个进价50元，了解到有A，B两个厂家可供选择，为了促销、两个厂家给出了不同的优惠方案： A厂家：一律打8折出售； B厂家：20个以内（含20个）不打折，超过20个后，超过的部分打7折． 该家电超市计划购买充电器x个，设去A厂家购买应付元，去B厂家购买应付元． (1)分别求出、与x之间的函数关系； (2)若该商家只在一个厂家购买，怎样买过算？ 【答案】(1)， (2)当时，在厂家购买划算；当时，两个厂家付款一样；当时，在厂家购买划算 【分析】本题考查一次函数的应用，理解题意、根据题意写出函数关系式并掌握一元一次不等式的解法是本题的关键． （1）根据“去厂家购买应付款进价折扣购买数量”求出与之间的函数关系；分别求出当且为整数时、当且为整数时与之间的函数关系即可； （2）根据不同的取值范围，分别求出当、、时对应的的取值范围即可． 【详解】（1）解：根据题意，得且为整数）； 当且为整数时，； 当且为整数时，； 综上，， 与之间的函数关系为，与之间的函数关系为． （2）解：当且为整数时：； 当且为整数时： 若，得，解得； 若，得，解得； 若，得，解得； 综上，当时，；当时，；当时，． 当时，选择厂家购买比较划算；当时，选择厂家和厂家一样划算；当时，选择厂家购买比较划算． 20．在创建文明城区的活动中，有两段长度相等的彩色道砖铺设任务，分别交给甲、乙两个施工队同时进行施工．如图是反映所铺设彩色道砖的长度y（米）与施工时间x（时）之间关系的部分图像．请解答下列问题： (1)甲队在的时段内的速度是 米/时，乙队在的时段内的速度是 米/时． (2)如果铺设的彩色道砖的总长度为180米，开挖6小时后，甲队、乙队均增加人手，提高了工作效率，此后乙队平均每小时铺设的长度是甲队平均每小时铺设长度的倍，结果乙队比甲队提前1小时完成总铺设任务，求提高工作效率后甲队、乙队每小时铺设的长度分别为多少？ 【答案】(1)10，5 (2)甲队每小时铺设16米，则乙队每小时铺设20米 【分析】本题主要考查了根据函数图象获取信息，分式方程的实际应用，解题的关键是熟练掌握相关知识点，根据题意找出等量关系． （1）根据工作效率工作总量时间，即可解答； （2）设提高工作效率后甲队每小时铺设米，则乙队每小时铺设米米，根据“乙比甲队提前1小时完成总铺设任务”列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：甲队在的时段内的速度：（米/时）， 乙队在的时段内的速度：（米/时）， 故答案为：10，5； （2）解：设提高工作效率后甲队每小时铺设米，则乙队每小时铺设米， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：提高工作效率后甲队每小时铺设16米，则乙队每小时铺设20米． 21．2024年4月，某校举办了艺术节活动，戏剧老师为调查八年级学生对某种传统剧目H的了解情况，从南、北两个校区各随机抽取41名学生进行知识测试，并对成绩进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．南校区八年级H知识测试得分的频数分布表； （数据分成6组：，，，，，）； 南校区八年级H知识测试得分 频数 10 13 m 6 3 1 合计 41 b．南校区八年级H知识测试得分在这一组的是： 70.2  70.5  70.7  71.0  71.0  71.1  71.2  71.8  71.9  72.5  73.0  73.8  74.5； c．南、北两个校区八年级H知识测试得分的平均数，中位数如下： 平均数 中位数 南校区八年级 73.8 n 北校区八年级 74 74.4 根据以上信息，回答下列问题： (1)表中m和n的值分别为______，______； (2)若南校区八年级共有410名学生参加H知识测试，估计南校区八年级本次H知识测试80分以上（含80分）有多少人？ (3)在南校区八年级抽取的学生中，记H知识测试得分高于他们的平均分的人数为；在北校区八年级抽取的学生中，记H知识测试得分高于他们的平均分的人数为，比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)， (2)人 (3) 【分析】本题主要考查了频数分布表，中位数，用样本估计总体等等，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）根据频数分布表的数据即可求出m，根据中位数的定义即可求出n； （2）用乘以样本中南校区八年级本次H知识测试80分以上（含80分）的人数占比即可得到答案； （3）南校区八年级的中位数小于平均数，北校区八年级的中位数大于平均数，由此即可得到结论． 【详解】（1）解：， 把南校区八年级H知识测试得成绩排列后位于第位的数为， ∴， 故答案为：，； （2）解：人， 答：南校区八年级本次H知识测试80分以上（含80分）有人． （3）解：∵南校区八年级的中位数小于平均数，北校区八年级的中位数大于平均数， ∴南校区八年级测试得分高于他们的平均分的人数一定小于总人数的一半，北校区八年级测试得分高于他们的平均分的人数一定大于总人数的一半， ∴． 22．如图，直线分别交x轴，y轴于点，．直线分别交x轴，y轴于点C，D，与直线相交于点E，已知． (1)求直线的表达式； (2)求的面积； (3)直接写出时，x的取值范围． 【答案】(1) (2)5 (3) 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式： （1）利用待定系数法求直线的表达式； （2）分别求出A，C，E点坐标，利用三角形面积公式即可得答案； （3）观察函数图象，直线在直线的上方时对应的点的横坐标的范围，即为所求． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得， ∴直线的表达式为； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 把代入得， 解得， ∴， 联立， 解得，， ∴， 又，， ∴ ∴； （3）解：由（2）知，， 观察函数图象得，当时，函数的图象在函数的图象上方， 所以，时，x的取值范围是． 23．如图，四边形是平行四边形，点E是边的中点，延长交的延长线于点F． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)8 【分析】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定方法、勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． （1）由平行四边形的性质得出，证出，由证明即可； （2）由全等三角形的性质得出，由平行线的性质证出，求出，即可得出的长． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵是的边的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）∵， ， ， 在中，， ， ． 24．如图，为正方形的对角线，．动点、分别从点、同时出发，均以每秒个单位长度的速度分别沿、向终点、运动．连接交于点，过点作交边于点．设点运动的时间为秒．    (1)当点运动到边的中点时，四边形的面积为__________； (2)连接、，求证：四边形是平行四边形； (3)求四边形的面积； (4)当将四边形分成面积比为两部分时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) (4)秒或秒 【分析】（1）根据题意得，证明，得，证明四边形是矩形，得，，证明四边形是矩形，继而得解； （2）根据题意得，再根据正方形的性质得，即可得证； （3）连接，证明，得，则 ，计算即可； （4）根据和的两底边都在线段上，且高相等，得，继而得到，然后分两种情况：①当时；②当时，分别求出的值即可． 【详解】（1）解：∵在正方形中，， ∴，，， ∴， ∵动点、分别从点、同时出发，均以每秒个单位长度的速度分别沿、向终点、运动，当点运动到边的中点时， ∴， ∴动点、的运动时间为：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴四边形的面积为， 故答案为：；    （2）证明：如图， ∵动点、分别从点、同时出发，均以每秒个单位长度的速度分别沿、向终点、运动，点运动的时间为秒， ∴，， ∴， ∵，即， ∴四边形平行四边形；    （3）解：连接， ∵，，即点是的中点， ∴，，， ∴， ∴， ∵为正方形的对角线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形的面积为；    （4）由（3）知：，， ∵和的两底边都在线段上，且高相等， ∴， ∴， ∴， ∵将四边形分成面积比为两部分， ①当时， ， ∴， ∴， ②当时， ， ∴， ∴， 综上所述，当将四边形分成面积比为两部分时，的值为秒或秒． 【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，矩形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形三线合一性质，三角形的面积及等积变换等知识点．掌握特殊四边形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质是解题的关键． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$