上海期末真题精选（四大题型，压轴题45题）-【尖子生培优】2023-2024学年七年级数学下学期重难点压轴题突破专练（沪教上海版）

上海期末真题精选（四大题型，压轴题45题）（原卷版） 目录 一、压轴题一：实数的新定义，10题，难度四星 1 二、压轴题二：平行线综合，10题，难度四星 3 三、压轴题三：三角形综合，20题，难度五星 9 四、压轴题四：平面直角坐标系，5题，难度四星 19 一、压轴题一：实数的新定义，10题，难度四星 1．我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并规定：F（n）=．例如：12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）=．如果一个两位正整数t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t为“吉祥数”．根据以上新定义，下列说法正确的有：（1）F（48）=；（2）如果一个正整数m是另外一个正整数n的平方，我们称正整数m是完全平方数，则对任意一个完全平方数m，总有F（m）=1；（3）15和26是“吉祥数”；（4）“吉祥数”中，F（t）的最大值为． (    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．任何一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝s×t（s，t是正整数，且s≤t），如果p×q在n的所有分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最优分解，并规定：F（n）＝．例如24可以分解成1×24，2×12，3×8，4×6这四种，这时就有F（24）＝＝．给出下列关于F（n）的说法：①F（6）＝；②F（16）＝1；③F（n2﹣n）＝1﹣；④若n是一个完全平方数，F（n）＝1．其中说法正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．若规定符号的意义是：，则当时，的值为 ． 4．定义运算，下列给出了关于这种运算的几个结论：（1）；（2）是无理数；（3）方程不是二元一次方程；（4）不等式组的解集是．其中正确的是 （填序号）． 5．对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为（x）．即当n为非负整数时，若，则（x）=n．如（0.46）=0，（3.67）=4． 给出下列关于（x）的结论： ①（1.493）=1； ②（2x）=2（x）； ③若（）=4，则实数x的取值范围是9≤x<11； ④当x≥0，m为非负整数时，有（m+2019x）=m+（2019x）； ⑤（x+y）=（x）+（y）； 其中，正确的结论有 （填写所有正确的序号）． 6．对于三个数a，b，c，M{a，b，c}表示a，b，c这三个数的平均数，min{a，b，c}表示a，b，c这三个数中最小的数，如： ，min{﹣1，2，3}＝﹣1； ，min{﹣1，2，a}＝； 解决下列问题： （1）填空：min{﹣22，2﹣2，20130}＝　 　； （2）若min{2，2x+2，4﹣2x}＝2，求x的取值范围； （3）①若M{2，x+1，2x}＝min{2，x+1，2x}，那么x＝　 　； ②根据①，你发现结论“若M{a，b，c}＝min{a，b，c}，则　 　”（填a，b，c的大小关系）； ③运用②解决问题：若M{2x+y+2，x+2y，2x﹣y}＝min{2x+y+2，x+2y，2x﹣y}，求x+y的值． 7．对数运算是高中常用的一种重要运算，它的定义为：如果ax=N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作：x=logaN，例如：32=9，则log39=2，其中a=10的对数叫做常用对数，此时log10N可记为lgN．当a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0时，loga(M•N)=logaM+logaN． (I)解方程：logx4=2； (Ⅱ)log28= (Ⅲ)计算：(lg2)2+lg2•1g5+1g5﹣2018= (直接写答案) 8．我们知道，每个自然数都有正因数，将这个自然数的所有正奇数因数之和减去所有正偶数因数之和，再除以这个自然数所得的商叫做这个自然数的“完美指标"．例如：10的正因数有1，2，5，10，它的正奇数因数是1，5，它的正偶数因数是2，10． 所以10的“完美指标”是：．我们规定，若一个自然数的“完美指标”的绝对值越小，这个数就越“完美”．例如：因为6的“完美指标”是，没有正偶数因数，7的“完美指标”是，且，所以6比7更“完美”． 根据上述材料，求出18，19，20，21 这四个自然数中最“完美”的数． 9．若一个四位正整数的十位数字比个位数字大1，百位数字是千位数字与个位数字的平均数，则称这样的数为千丝数，把千丝数的四个数字按从小到大的顺序从左到右进行排列后得到的新数叫做千丝数的万缕数，例如：2598，其十位数字，百位数字，所以2598是千丝数，2589就是千丝数2598的万缕数．对于千丝数，定义：． （1）判断：4376 千丝数；7787 千丝数．（填“是”或者“不是”） （2）请证明：任意一个千丝数与它的个位数字的6倍之差能被5整除． （3）若一个千丝数能被31整除，求出所有的千丝数，及其对应的的值． 10．对，定义一种新的运算，规定：（其中）．已知，． （1）求，的值； （2）若关于正数的不等式组恰好有2个整数解，求的取值范围； （3）请直接写出时，满足条件的，的关系． 二、压轴题二：平行线综合，10题，难度四星 11．已知：如图，，直线交于点M，交于点N，点E是线段上一点，P，Q分别在射线，上，连接，，平分，平分． (1)如图1，当时，直接写出的度数； (2)如图2，求与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（1）问的条件下，若，过点P作交的延长线于点H，将绕点N顺时针旋转，速度为每秒，直线旋转后的对应直线为，同时将绕点P逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为，当首次与重合时，整个运动停止．在此运动过程中，经过秒后，恰好平行于的其中一条边，请直接写出所有满足条件的t的值． 12．综合实践课上，老师提出如下问题： 如图①所示，已知，并且知道与的度数，就可以求出的度数． (1)问题提出：如果，．求的度数． 小米同学看过图形立即求出，请你帮小米同学完成证明过程． 证明：如图②所示，过点P作． (2)问题迁移：如图③所示，，点P在射线上运动，当点P在A，B两点之间运动时，设， ，则，，之间有何数量关系？请说明理由． (3)在（2）的条件下，如果点P在A，B两点外侧运动时（点P与点A，B，O三点不重合），则，，之间有何数量关系并说明理由． 13．【问题背景】 如图，，点为上方一点，、为上两点，连接、，分别交于、两点，且． 【探究求证】 （1）如图，过点作，求证：； （2）如图，点为上一点，连接，作于点，，求证： ； 【延伸扩展】 （3）如图，在（2）的条件下，连接并延长到点，连接，过点作，若，，求的度数． 14．将两块直角三角尺的直角顶点C重合，并按如图方式叠放在一起，其中， (1)①若，则的度数为 ； ②若，则的度数为 ； (2)由（1）猜想与的数量关系，并说明理由： (3)当且点E在直线的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？若存在请直接写出角度所有可能的值（不用说明理由）：若不存在，请说明理由． 15．（1）如图1，，点在两平行线之间，连接，求证：证明过程如下：如图2 过点作（①） （②） （③） （④） （⑤） 即：． 请在上面的括号中填上作图或每一步推理的依据 （2）如图3，，点在两平行线之间，连接．求证：． （3）如图4，，，，直接写出、之间的数量关系． 16．汛期即将来临，防汛指挥部在某水域一危险地带的两岸各安置了一探照灯，便于夜间察看河水及两岸河堤的情况，如图1，探照灯射出的光束自AM顺时针旋转至AN便立即回转，探照灯射出的光束自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若探照灯射出的光束的转动速度是/秒，探照灯射出的光束的转动速度是/秒，且，满足，假定这一带水域两岸河堤是平行的，即，且． (1)求，的值． (2)如图2，两探照灯同时转动，在探照灯射出的光束到达AN之前，两探照灯射出的光束交于点，若，求的度数． (3)若探照灯射出的光束先转动40秒，探照灯射出的光束才开始转动，在探照灯射出的光束第一次到达BQ之前，当两探照灯的光束互相平行时，请直接写出探照灯转动的时间． 17．如图，直线，直线与、分别交于点、，．小安将一个含角的直角三角板按如图①放置，使点、分别在直线、上，且在点、的右侧，，． (1)填空： 　　（填“＞”“＜”或“＝”）； (2)若的平分线交直线于点，如图②． ①当，时，求的度数； ②小安将三角板保持并向左平移，在平移的过程中求的度数（用含的式子表示）． 18．如图，已知直线，点、在直线上，点、在直线上，点在点的右侧，，，平分，平分，直线、交于点. (1)写出的度数_________； (2)试求的度数（用含的代数式表示）； (3)将线段向右平行移动，使点在点的右侧，其他条件不变，请直接写出的度数（用含的代数式表示） 19．阅读资料：光遇到水面、玻璃以及其它许多物体的表面都会发生反射．经过入射点且垂直于反射面的直线叫做法线；入射光线与法线的夹角叫做入射角；反射光线与法线的夹角叫做反射角． 光的反射定律：在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线、入射光线分居法线两侧；反射角等于入射角． 如图，直线，点A在直线上，点C在直线上，光线被反射后再次被反射，入射光线经过两次反射的光线为，其中点在直线上．    (1)在图中画出光线，判断与的位置关系是______．    (2)若直线绕点顺时针旋转，要使光线与光线所在直线垂直，则为______度．    (3)直线绕点顺时针旋转，直线与相交于点，直接写出和旋转角之间的数量关系______．    (4)已知，直线绕点顺时针旋，要使光线能被反射，则的取值范围为______．    20．直线，一副三角板（，，，）按如图①放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分．    (1)求的度数 (2)若将三角板绕点B以每秒3度的速度按顺时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G），设旋转时间为t秒（）． ①在旋转过程中，若边，如图②所示，求t的值． ②若三角板绕点B旋转的同时，三角板绕点E以每秒2度的速度按逆时针方向旋转（C，D的对应点为H，K）请直接写出当边时t的值． 三、压轴题三：三角形综合，20题，难度五星 21．如图，在中，．    (1)如图1，若是边上的一点，点为线段的中点，连接，于，，，求的长度． (2)如图2，H为线段上一点，连接，E为的中点，连接并延长交于，再连接，若，求证：． (3)如图3，若，，为的角平分线，将沿翻折后得到，再将绕点逆时针方向旋转角度，当线段所在直线分别与和所在的直线夹角为时，线段所在的直线与所在的直线形成的锐角度数为，线段所在的直线与所在的直线形成的锐角度数为，请直接写出的值． 22．阅读并理解下面内容，解答问题． 三角形的内心定义：三角形的三条内角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心． 如图1，已知是的三条内角平分线． 求证：相交于一点． 证明：如图2，设相交于点，过点分别，垂足分别为D，E，F． 点是的平分线上的一点， ， 同理，， ． 是的平分线， 点在上． 相交于一点． 请解答以下问题： (1)如图3，在中，为的内心，延长到点，使得，连接，与交于点，求的角度． (2)如图4，为的内心，连接，M为边上一点，连接并延长交于点，若，求证： (3)为的内心，，且，若为线段上的动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，当取得最小值时，直接写出的角度． 23．已知，点、点分别为、上的两点，连接．    (1)如图1平分，平分，试判断与的位置关系，并说明理由； (2)如图2，点在上且在点右侧，，、分别将和分成了两部分，请画图探究并直接写出与的关系； (3)如图3，点为上且在点右侧的定点，点直线上的一个动点，的角平分线所在直线与的角平分线所在直线相交于点，请直接写出与的数量关系：______________． 24．综合探究：如图1，已知两条直线被直线所截，分别交于点E，点平分交于点M，且． (1)直线与直线平行吗？说明你的理由； (2)点G是射线上一动点（不与点M，F重合），平分交于点H，过点H作于点N，设． ①当点G在点F的右侧时，请根据题意，在图2中补全图形，并求出当时α的度数； ②当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并简单说明理由． 25．为等边三角形，在外作射线为射线上一点，连接，在平面内有一点，满足． (1)如图1，连接，若点恰好在上，且，求的度数； (2)如图2，连接，若，且恰好过边的中点，求证：； (3)如图3，若，连接，当线段的长度最小时，在射线上取一点，在边上截取，连接，则当的值最小时，请直接写出的度数． 26．将一个直角三角形纸板放置在锐角上，使该直角三角形纸板的两条直角边，分别经过点M，N． 【发现】 （1）如图1，若点A在内，当时，则 ； （2）如图2，若点A在内，当时， ； 【探究】 若点A在内，请你判断，和之间满足怎样的数量关系，并写出理由； 【应用】 如图3，点A在内，过点P作直线，若，求的度数； 【拓展】 如图4，当点A在外，请直接写出，和之间满足的数量关系 ． 27．如图，四边形和四边形是正方形，（正方形四条边都相等，四个内角都是直角） 【感知】（1）某学习小组探究如下问题：如图1，连接，，直线于点H，交于点M，则与面积的大小关系是：_________． 【探究】（2）该学习小组在探究（1）中面积问题时，发现M为中点，你认为是否成立?若成立，请证明；若不成立，请说明理由. 【拓展】（3）经过以上探究，该学习小组也提出问题：若正方形和正方形的位置如图2所示，点M为中点，连接交于点H，那么与有怎样的关系?试探究，并说明理由     28．如图，已知中，，点D为的中点． (1)如果点P在线段上以的速度由A点向B点运动，同时，点Q在线段上由点B向C点运动． ①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过后，与是否全等？说明理由； ②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当时间t为何值时，与全等？求出此时点Q的运动速度 (2)若点Q以②中的运动速度从点B出发，点P以原来的运动速度从点A同时出发，都逆时针沿三边运动，请直接写出： ①经过多少秒，点P与点Q第一次相遇？ ②点P与点Q第2023次相遇在哪条边上？ 29．如图，在中，，平分，点为中点，与相交于点． (1)若，，求的度数； (2)如图1，若，求线段的长的取值范围； (3)如图2，过点作交延长线于点，设，的面积分别为，，若，试求的最大值． 30．已知：在中，，点在上，连接，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点为的中点，过点作的垂线分别交的延长线，的延长线，于点，，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，过点分别作于点，于点，若，，求的面积． 31．（1）问题背景如图（1），在中，是角平分线．求证：； （2）在中，，，是角平分线，，． ①应用探究如图（2），若，求证：； ②迁移拓展如图（3），P为线段上一点，绕C点逆时针旋转得到，使，连接，当最小时，直接写出的值（用含m，n的式子表示）． 32．如图，，．E、C、D分别是线段、、上的点，且满足．是的角平分线与交于点F，在上截一点G，连接，令．      (1)如图1，若，求的度数． (2)如图1，连接，若，H是线段上的一点（），连接GH，使得，求和的数量关系． (3)如图2，在（2）的条件下，过点Q作，垂足为M、N是线段上的一点，且满足．求和的数量关系． 33．如图，已知点B、C在的两条边上，且，，，．P是边上的一个动点，过点P作，分别与、边相交于点D、E．在边上取点F，使，连接、．    (1)如图①，当点P与点C重合时， ______； (2)如图②，当点F与点B重合时，若，求的面积； (3)如图③，当点F在点B的右侧时，连接．若，求的长． 34．已知：，点A在直线上，点B、C都在上（点B在点C的左侧），连接，，平分． (1)如图，求证：；    (2)如图，点K为上一点，连接，若，判断与之间的数量关系，并说明理由；    (3)在（2）的条件下，在直线上取一点F，连接，使得．若，求的度数． 35．【初步感知】 (1)如图1，已知为等边三角形，点D为边上一动点（点D不与点B，点C重合）．以为边向右侧作等边，连接．求证：；    【类比探究】 (2)如图2，若点D在边的延长线上，随着动点D的运动位置不同，猜想并证明：    ①与的位置关系为： ； ②线段、、之间的数量关系为： ； 【拓展应用】 (3)如图3，在等边中，，点P是边上一定点且，若点D为射线上动点，以为边向右侧作等边，连接、．请问：是否有最小值？若有，请直接写出其最小值；若没有，请说明理由．    36．如图①，在中，，，直线过点，且，点是直线上一点，不与点重合    (1)若点是图①中线段上一点，且，请判断线段与的位置关系，并说明理由； (2)如图②，在（1）的条件下，连接，过点作交线段于点，求证：； (3)如图③，在图①的基础上，改变点的位置后，连接，过点作交线段的延长线于点，请判断线段与的数量关系，并说明理由 37．如图1，，与直线，相交，点为直线、之间的一点．    (1)若，，求的度数； (2)如图2，在（1）的条件下，平分交于点，平分交于点，猜想的结果并证明你的结论； (3)如图3，在（1）的条件下，点是射线上一动点，作射线并在射线上取一点，使得，再作的平分线交直线于点，则当点在射线上移动时，的大小是否变化？若不变，请求出的大小；若变化，请求出其变化范围． 38．如图1，在中，过点作于，过点作于，交于，．    (1)求证：： (2)如图2，过点作射线，在射线上取一点，使，连接，若平分，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，将绕点以每秒的速度逆时针旋转至，旋转时间为，当与重合时停止，则在旋转过程中，当的边与的某一边平行时，直接写出此时的值． 39．如图1，在四边形中，、是等腰直角三角形，且，为锐角；    (1)如图2，连接AD、BE相交于点O，求的度数． (2)在图1中，与面积相等吗？请说明理由． (3)如图3，已知，的面积为10．G在边上，的延长线经过中点F．求的长． (4)如图2，若，．则四边形面积最大值为______； 40．在中，，点E、点D分别是、上一点，连接、，且．    (1)如图1，当，时，求的度数； (2)如图2，取的中点F，连接，若．求证：． 四、压轴题四：平面直角坐标系，5题，难度四星 41．在平面直角坐标系中，对于点，点，定义与中较大的值为点P，的“绝对长距”，记．当时，规定．例如，点，点，因为，所以点P，Q的“绝对长距”为，记为． (1)已知点，点B为y轴上一点． ①若，求点B的坐标； ②的最小值为_______； ③动点满足，所有动点C组成的图形面积为5，请直接写出r的值． (2)已知为一三象限角平分线上一点，点，点． ①若有动点M使得，请画出所有满足条件的动点M组成的图形； ②直接写出的最小值和此时n的取值范围． 42．在平面直角坐标系中，对于点，，将的值叫做点A与点B的“纵横距离”，记为，即．若点P在线段CD上，将的最大值与最小值之差称为线段关于点A的“视差”，记为．已知点，． (1)点A与点B的“纵横距离”的值为__________； (2)已知点C在x轴上，线段关于点A的“视差”为3，则点C的坐标为__________； (3)若点E与点A的“纵横距离”为4． ①的最小值为__________，最大值为__________； ②当取最小值时，请在平面直角坐标系中画出所有符合题意的点E组成的图形． 43．在平面直角坐标系中，对于互不重合的两个点，，令，，若点P的坐标为，我们称点P为点A关于点B的友好点．       例如，已知，，则，，点A关于点B的友好点为 (1)已知，， ①则点A关于点B的友好点的坐标为 ； ②若点B关于点C的友好点是点A，则点C的坐标为 ； (2)已知点D在第一三象限的角平分线上，点D关于的友好点为点F，若点F到x轴的距离等于到y轴距离的2倍，求点F的坐标； (3)已知点，，点O为坐标原点，点M与点N为三角形边上的任意两个不重合的两个点，若点Q为点M关于点N的友好点，则所有可能的点Q形成的图形的面积为 ． 44．如图，在平面直角坐标系中，，，，，．    (1)如果四边形是长方形，请画出该长方形，并直接写出点的坐标； (2)将长方形向右平移个单位长度，得到长方形． ①当点落在线段上时，结合图形直接写出此时的值； ②横、纵坐标都是整数的点叫做整点，如果长方形和三角形重叠区域（不含边界）内恰好有3个整点，直接写出的取值范围． 45．在平面直角坐标系中，任取点，若满足，则称点A与点相关．    (1)判断下面各组中两点是否相关： ①，点A与点___________（填“相关”或“不相关”）； ②，点与点___________（填“相关”或“不相关”）； (2)如图，已知正方形，其四个顶点坐标分别为，． ①称横纵坐标均为整数的点为整点，则此正方形的边上，共有___________个整点与点相关； ②设点，若正方形边上的任意一点都与点A相关，求的取值范围． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 上海期末真题精选（四大题型，压轴题45题）（解析版） 目录 一、压轴题一：实数的新定义，10题，难度四星 1 二、压轴题二：平行线综合，10题，难度四星 9 三、压轴题三：三角形综合，20题，难度五星 38 四、压轴题四：平面直角坐标系，5题，难度四星 99 一、压轴题一：实数的新定义，10题，难度四星 1．我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并规定：F（n）=．例如：12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）=．如果一个两位正整数t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t为“吉祥数”．根据以上新定义，下列说法正确的有：（1）F（48）=；（2）如果一个正整数m是另外一个正整数n的平方，我们称正整数m是完全平方数，则对任意一个完全平方数m，总有F（m）=1；（3）15和26是“吉祥数”；（4）“吉祥数”中，F（t）的最大值为． (    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据最佳分解的定义判断（1）和（2），根据吉祥数的定义判断（3）和（4），即可得出答案． 【详解】（1）48可以分解为1×48，2×24，3×16，4×12，6×8 ∵48-1>24-2>16-3>12-4>8-6 ∴6×8是48的最佳分解，∴F（48）=，故（1）正确； （2）对任意一个完全平方数m设m=n2（n为正整数） ∵ ∴n×n是m的最佳分解 ∴对任意一个完全平方数m，总有，故（2）正确； （3）51-15=36，故15为吉祥数；62-26=36，故36为吉祥数，故（3）正确； （4）设交换t的个位上的数与十位上的数得到的新数为T=10y+x ∵t为吉祥数 ∴T-t=10y+x-(10x+y)=9y-9x=36 ∴y=x+4 ∵1≤x≤y≤9，x，y为自然数 ∴吉祥数有：15,26,37,48,59 ∴，，，， ∴最大值为，故（4）正确； 故答案选择D． 【点睛】本题考查的是新定义，难度适中，解题关键是掌握最佳分解和吉祥数的概念． 2．任何一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝s×t（s，t是正整数，且s≤t），如果p×q在n的所有分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最优分解，并规定：F（n）＝．例如24可以分解成1×24，2×12，3×8，4×6这四种，这时就有F（24）＝＝．给出下列关于F（n）的说法：①F（6）＝；②F（16）＝1；③F（n2﹣n）＝1﹣；④若n是一个完全平方数，F（n）＝1．其中说法正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据最优分解的定义，分别求出6、16、n2﹣n以及完全平方数n，然后对各小题求解即可作出判断． 【详解】解：①∵6＝1×6＝2×3， ∴F（6）＝，故本小题正确； ②∵16＝1×16＝2×8＝4×4， ∴F（16）＝＝1，故本小题正确； ③∵n2﹣n＝n（n﹣1）， ∴F（n2﹣n）＝＝1﹣，故本小题正确； ④∵n是一个完全平方数， ∴n分解成两个完全相同的数时，差的绝对值最小， ∴F（n）＝1，故本小题正确． 综上所述，说法正确的个数是4， 故选：D． 【点睛】本题考查了完全平方数，读懂题目信息，理解“最优分解”的定义是解题的关键． 3．若规定符号的意义是：，则当时，的值为 ． 【答案】 【分析】根据定义的新运算的运算法则，得出的值，然后进行化简，最后再整体代入即可求值． 【详解】 ∵， ∴， ∴原式=． 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查定义新运算，掌握多项式的乘法法则和整体代入法是解题的关键． 4．定义运算，下列给出了关于这种运算的几个结论：（1）；（2）是无理数；（3）方程不是二元一次方程；（4）不等式组的解集是．其中正确的是 （填序号）． 【答案】（1）（3）（4） 【分析】根据题中所给定义运算，依次将新定义的运算化为一般运算，再进一步分析即可． 【详解】解：（1），故（1）正确； （2）是有理数，故（2）错误； （3）方程得是二元二次方程，故（3）正确； （4）不等式组等价于，解得 ，故（4）正确． 故答案为：（1）（3）（4）． 【点睛】本题考查新定义的实数运算，立方根，二元一次方程的定义，解一元一次不等式组．能理解题中新的定义，并根据题中的定义将给定运算化为一般运算是解决此题的关键． 5．对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为（x）．即当n为非负整数时，若，则（x）=n．如（0.46）=0，（3.67）=4． 给出下列关于（x）的结论： ①（1.493）=1； ②（2x）=2（x）； ③若（）=4，则实数x的取值范围是9≤x<11； ④当x≥0，m为非负整数时，有（m+2019x）=m+（2019x）； ⑤（x+y）=（x）+（y）； 其中，正确的结论有 （填写所有正确的序号）． 【答案】①③④ 【分析】根据题意，可以直接判断①，②和⑤可以举反例判断，③和④可以根据题意利用不等式进行判断. 【详解】解：①（1.493）=1，故①正确； ②（2x）≠2（x），当x=0.3时，（2x）=1，2（x）=0，故②错误； ③若（x-1）=4，则4-≤x-1＜4+，解得:9≤x＜11，故③正确； ④m为整数，故（m+2019x）=m+（2019x），故④正确； ⑤（x+y）≠（x）+（y），例如x=0.3，y=0.4时，（x+y）=1，（x）+（y）=0，故⑤错误； 故答案为：①③④. 【点睛】本题主要考查学生的理解能力，关键是认真审题，看到所得值是个位数四舍五入的值. 6．对于三个数a，b，c，M{a，b，c}表示a，b，c这三个数的平均数，min{a，b，c}表示a，b，c这三个数中最小的数，如： ，min{﹣1，2，3}＝﹣1； ，min{﹣1，2，a}＝； 解决下列问题： （1）填空：min{﹣22，2﹣2，20130}＝　 　； （2）若min{2，2x+2，4﹣2x}＝2，求x的取值范围； （3）①若M{2，x+1，2x}＝min{2，x+1，2x}，那么x＝　 　； ②根据①，你发现结论“若M{a，b，c}＝min{a，b，c}，则　 　”（填a，b，c的大小关系）； ③运用②解决问题：若M{2x+y+2，x+2y，2x﹣y}＝min{2x+y+2，x+2y，2x﹣y}，求x+y的值． 【答案】（1）-4；（2）；（3）①1；②a＝b＝c；③-4 【分析】（1）先求出﹣22，2﹣2，20130这些数的值，再根据运算规则即可得出答案； （2）先根据运算规则列出不等式组，再进行求解即可得出答案； （3）根据题中规定的M{a、b、c}表示这三个数的平均数，min{a、b、c}表示a、b、c这三个数中的最小数，列出方程组即可求解． 【详解】（1）∵﹣22＝﹣4，2﹣2＝，20130＝1， ∴min{﹣22，2﹣2，20130}＝﹣4； 故答案为：﹣4； （2）由题意得：， 解得：0≤x≤1， 则x的取值范围是0≤x≤1； 故答案为0≤x≤1； （3）①M{2，x+1，2x}＝＝x+1＝min{2，x+1，2x}， ∴， ∴， ∴x＝1． ②若M{a，b，c}＝min{a，b，c}，则a＝b＝c； ③根据②得：2x+y+2＝x+2y＝2x﹣y， 解得：x＝﹣3，y＝﹣1， 则x+y＝﹣4． 故答案为：①1；②a＝b＝c；③﹣4． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组及二元一次方程组的应用，读懂题目信息并理解新定义“M”与“min”的意义是解题的关键． 7．对数运算是高中常用的一种重要运算，它的定义为：如果ax=N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作：x=logaN，例如：32=9，则log39=2，其中a=10的对数叫做常用对数，此时log10N可记为lgN．当a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0时，loga(M•N)=logaM+logaN． (I)解方程：logx4=2； (Ⅱ)log28= (Ⅲ)计算：(lg2)2+lg2•1g5+1g5﹣2018= (直接写答案) 【答案】(I) x=2；(Ⅱ) 3； (Ⅲ) -2017. 【分析】(I)根据对数的定义，得出x2=4，求解即可； (Ⅱ)根据对数的定义求解即；； (Ⅲ)根据loga(M•N)=logaM+logaN求解即可． 【详解】(I)解：∵logx4=2， ∴x2=4, ∴x=2或x=-2(舍去) (Ⅱ)解：∵8=23， ∴log28=3, 故答案为3； (Ⅲ)解：(lg2)2+lg2•1g5+1g5﹣2018 = lg2•( lg2+1g5) +1g5﹣2018 = lg2 +1g5﹣2018 =1-2018 =-2017 故答案为-2017. 【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法，有理数的乘方，是一道关于新定义运算的题目，解答本题的关键是理解给出的对数的定义． 8．我们知道，每个自然数都有正因数，将这个自然数的所有正奇数因数之和减去所有正偶数因数之和，再除以这个自然数所得的商叫做这个自然数的“完美指标"．例如：10的正因数有1，2，5，10，它的正奇数因数是1，5，它的正偶数因数是2，10． 所以10的“完美指标”是：．我们规定，若一个自然数的“完美指标”的绝对值越小，这个数就越“完美”．例如：因为6的“完美指标”是，没有正偶数因数，7的“完美指标”是，且，所以6比7更“完美”． 根据上述材料，求出18，19，20，21 这四个自然数中最“完美”的数． 【答案】18． 【分析】根据题意把一个自然数所有正奇数因数之和减去所有正偶数因数之和，再除以这个自然数所得的商，即可求自然数的“完美指标”，“完美指标”绝对值越小，就说这个数越“完美”即可求解． 【详解】解：18的正因数有1、2、3、6、9、18，其中1、3、9是正奇数因数， 18的完美指标为； 19的正因数有1、19，其中1、19是正奇数因数， 19的完美指标为， 20的正因数有1、2、4、5、10、20，其中1、5是正奇数因数， 20的完美指标为； 21的正因数有1、3、7、21，其中1、3、7、21是正奇数因数， 21的完美指标为； 因为 所以四个自然数中最“完美”的数是18． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是理解题意． 9．若一个四位正整数的十位数字比个位数字大1，百位数字是千位数字与个位数字的平均数，则称这样的数为千丝数，把千丝数的四个数字按从小到大的顺序从左到右进行排列后得到的新数叫做千丝数的万缕数，例如：2598，其十位数字，百位数字，所以2598是千丝数，2589就是千丝数2598的万缕数．对于千丝数，定义：． （1）判断：4376 千丝数；7787 千丝数．（填“是”或者“不是”） （2）请证明：任意一个千丝数与它的个位数字的6倍之差能被5整除． （3）若一个千丝数能被31整除，求出所有的千丝数，及其对应的的值． 【答案】(1) 4376不是千丝数， 7787是千丝数， (2)见解析 (3),, 【分析】(1)根据千丝数的概念进行检验即可; (2)用代数式表示出千丝数,因式分解检验是否能被5整除, (3)根据千丝数的含义,枚举出所有的千丝数进行求解. 【详解】解(1) 4376，其十位数字，百位数字，所以4376不是千丝数， 7787，其十位数字，百位数字，所以7787是千丝数， (2)设一个千丝数个位为a,千位为b,则其十位为a+1,百位为, 则这个千丝数可以表示为1000b+50(a+b)+10(a+1)+a=1050b+61a+10 则这个千丝数与它的个位数字的6倍之差=1050b+61a+10-6a=1050b+55a+10=5(210b+11a+2) ∴任意一个千丝数与它的个位数字的6倍之差能被5整除． (3)由十位数比个位数字大1，可知a最大=8, 由百位数字是千位数字与个位数字的平均数,可知a+b一定是2的整数倍, 其枚举结果如下: 当a=0时,千丝数可以是:2110,4210,6310,8410, 当a=1时,千丝数可以是:1121,3221,5321,7421,9521, 当a=2时,千丝数可以是:2232,4332,6432,8532, 当a=3时,千丝数可以是:1243,3343,5443,7543,9643, 当a=4时,千丝数可以是:2354,4454,6554,8654, 当a=5时,千丝数可以是:1365,3465,5565,7665,9765, 当a=6时,千丝数可以是:2746,4576,6676,8776, 当a=7时,千丝数可以是:1487,3587,5687,7787,9887 当a=8时,千丝数可以是:2598,4698,6798,8897 其中31的倍数只有2232与9765 ∴, ∴, 【点睛】本题考查了对新概念的理解,掌握千丝数的概念,是求解(1)的关键;运用整式的性质,将整式进行因式分解是求解(2)的解题关键;熟练掌握枚举法是解(3)的关键. 10．对，定义一种新的运算，规定：（其中）．已知，． （1）求，的值； （2）若关于正数的不等式组恰好有2个整数解，求的取值范围； （3）请直接写出时，满足条件的，的关系． 【答案】（1），；（2）；（3）或． 【分析】（1）根据题中的新定义列出方程组，求出方程组的解即可； （2）由①中的不等式，将新定义的运算化为普通不等式组求解，再根据恰好有2个整数解，求出m的取值范围； （3）分x2≥y2和y2≥x2按照新定义的运算化为普通方程求解即可． 【详解】解：（1），， ， 解得：，； （2）， ，， ， ， 有两个整数解， ， ； （3）∵A（x2，y2）+A（y2，x2）=0， ∴当x2≥y2时，x2-y2+x2-y2=0， ∴x2=y2， ∴x=y或x=-y； 当y2≥x2时，y2-x2+y2-x2=0， ∴x=y或x=-y． 答：满足条件的x，y的关系为x=y或x=-y． 【点睛】本题考查新定义的运算，解二元一次方程组，解一元一次不等式组．理解题中新定义的运算的计算方式，能按照新定义运算列出算式是解题的关键． 二、压轴题二：平行线综合，10题，难度四星 11．已知：如图，，直线交于点M，交于点N，点E是线段上一点，P，Q分别在射线，上，连接，，平分，平分． (1)如图1，当时，直接写出的度数； (2)如图2，求与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（1）问的条件下，若，过点P作交的延长线于点H，将绕点N顺时针旋转，速度为每秒，直线旋转后的对应直线为，同时将绕点P逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为，当首次与重合时，整个运动停止．在此运动过程中，经过秒后，恰好平行于的其中一条边，请直接写出所有满足条件的t的值． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)0或3或6或12或15 【分析】（1）根据平行线的性质以及角平分线的定义，得出，，进而得出结论； （2）同（1）根据平行线的性质以及角平分线的定义，得出，，进而得出结论； （3）分情况讨论，画出图形，利用平行线的性质，列出方程即可求解． 【详解】（1）解：过点E作，过点F作， ∵， ∴， ∴，，，， ∵平分，平分， ∴，， ∵，即， ∴ ； （2）解：，理由如下： 过点E作，过点F作， ∵， ∴， ∴，，，， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ， 即； （3）解：总的时间为：，， 则旋转的角度范围为，直线旋转的角度范围为， 由（1）得：，则， ∵， ∴， ∴， 当时，如图： 则， ，， 依题意得， 解得：； 当时，如图： 则， ∵，， ∴， 解得：； 当时，设与交于点G，如图： 则， ，， 依题意得， 解得：； 当时，设与交于点I，如图： 则， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：； 当时，连接并延长，如图： 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：； 综上，所有满足条件的t的值为0或3或6或12或15． 【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形外角性质、角平分线的有关计算、解一元一次方程、余角性质、垂直的定义，掌握平行线的性质、三角形外角性质列出方程是解题的关键． 12．综合实践课上，老师提出如下问题： 如图①所示，已知，并且知道与的度数，就可以求出的度数． (1)问题提出：如果，．求的度数． 小米同学看过图形立即求出，请你帮小米同学完成证明过程． 证明：如图②所示，过点P作． (2)问题迁移：如图③所示，，点P在射线上运动，当点P在A，B两点之间运动时，设， ，则，，之间有何数量关系？请说明理由． (3)在（2）的条件下，如果点P在A，B两点外侧运动时（点P与点A，B，O三点不重合），则，，之间有何数量关系并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)点P在线段上时，；P在射线上时， 【分析】（1）过P作，构造同旁内角，利用平行线性质，可得． （2）过P作交于G点，推出，根据平行线的性质得出， ，即可得出答案； （3）画出图形（分两种情况：①点P在线段上，②点P在射线上上），根据平行线的性质得出， ，即可得出答案． 【详解】（1）证明：过点P作， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴； （2）证明：过P作交于G点， ∵， ∴， ∴， ， ∴； （3）解：当点P在线段上时，过P点作交于点G， ∵， ∴， ∴， ∴； 当点P在射线上时，过点P作交于点H， ∵， ∴， ∴， ， ∴， 综上，点P在线段上时，；P在射线上时，． 13．【问题背景】 如图，，点为上方一点，、为上两点，连接、，分别交于、两点，且． 【探究求证】 （1）如图，过点作，求证：； （2）如图，点为上一点，连接，作于点，，求证： ； 【延伸扩展】 （3）如图，在（2）的条件下，连接并延长到点，连接，过点作，若，，求的度数． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3），过程见详解 【分析】本题考查平行线的判定和性质，垂线的定义，角的运算，掌握相关的知识是解题的关键。 （1）过点作，根据平行线的判定和性质，结合垂线的定义求证即可； （2）根据同位角相等证明，根据内错角相等证明即可； （3）作，根据平行线的判定和性质，结合角的比值求解即可； 【详解】解；（1）证明：过点作, ∴ ∵ ∴, ∴, ∴, ∵, ∴, ∴; （2）∵, ∴, ∵, ∴, ∵, ∴, ∴, ∴, ∴, ∴; （3）∵, ∴, ∵, ∴, ∵, ∴, ∴, ∴, 作, ∴, , ∴。 14．将两块直角三角尺的直角顶点C重合，并按如图方式叠放在一起，其中， (1)①若，则的度数为 ； ②若，则的度数为 ； (2)由（1）猜想与的数量关系，并说明理由： (3)当且点E在直线的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？若存在请直接写出角度所有可能的值（不用说明理由）：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，、、、、． 【分析】本题考查了三角形内角和定理、平行线的性质等知识，清晰的分类讨论是解题的关键． （1）①根据和的度数，求得的度数，再根据求得的度数；②根据和的度数，求得的度数，再根据求得的度数； （2）根据以及，进行计算即可得出结论； （3）分五种情况进行讨论：当时，当时，当时，当时，当时，分别求得的度数． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∵， ∴， ②∵，， ∴， ∴， （2）猜想：， 理由如下：∵， 又∵， ∴， 即； （3）存在，、、、、． 理由：当时，如图1所示： ∴， ∵， ∴； 当时，如图2所示： ∴； 当时，如图3所示： ∴， ∴； 当时，如图4所示： ∴， ∴； 当时，延长交于F，如图5所示： ∴， ∵，， ∴， ∴． 15．（1）如图1，，点在两平行线之间，连接，求证：证明过程如下：如图2 过点作（①） （②） （③） （④） （⑤） 即：． 请在上面的括号中填上作图或每一步推理的依据 （2）如图3，，点在两平行线之间，连接．求证：． （3）如图4，，，，直接写出、之间的数量关系． 【答案】（1）已知；两直线平行，内错角相等；平行同一直线的两条直线平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；（2）见解析；（3）． 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质． （1）过点作，利用平行线的判定和性质推出，即可证明； （2）过点作，同（1）可证明； （3）过点作，由（1）的结论结合已知得到，根据平行线的性质求得，进一步计算即可得到． 【详解】（1）证明：如图，过点作（作图） （两直线平行，内错角相等） ，， （平行同一直线的两条直线平行） （两直线平行，内错角相等） （等量代换） 即：． 故答案为：作图；两直线平行，内错角相等；平行同一直线的两条直线平行；两直线平行，内错角相等；等量代换； 解：（2）如图，过点作， ， ， ，， ， ， ； 解：（3）． 如图，过点作， 由（1）知， ∵， ∴，即， ，， ， ∴， ∵， ∴， 将代入得， 整理得． 16．汛期即将来临，防汛指挥部在某水域一危险地带的两岸各安置了一探照灯，便于夜间察看河水及两岸河堤的情况，如图1，探照灯射出的光束自AM顺时针旋转至AN便立即回转，探照灯射出的光束自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若探照灯射出的光束的转动速度是/秒，探照灯射出的光束的转动速度是/秒，且，满足，假定这一带水域两岸河堤是平行的，即，且． (1)求，的值． (2)如图2，两探照灯同时转动，在探照灯射出的光束到达AN之前，两探照灯射出的光束交于点，若，求的度数． (3)若探照灯射出的光束先转动40秒，探照灯射出的光束才开始转动，在探照灯射出的光束第一次到达BQ之前，当两探照灯的光束互相平行时，请直接写出探照灯转动的时间． 【答案】(1)； (2)； (3)当或两探照灯的光束互相平行． 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，一元一次方程的应用，分类思想，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）根据非负性，得到，，解方程组即可； （2）设A灯转动时间为t秒，则，，分别表示出的三个内角，利用平行线的判定和性质，计算即可． （3）设灯A转动了t秒时，两束光线平行，分类计算即可． 【详解】（1）解：∵． ∴，． ∴； （2）解：作， ∵， ∴， 设A灯转动时间为t秒， 则，， ∵， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴； （3）解：设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行． ①当时， 由题意得， 解得； ②当时， 解得； ③当时， ， 解得（不合题意） 综上所述，当或两探照灯的光束互相平行． 17．如图，直线，直线与、分别交于点、，．小安将一个含角的直角三角板按如图①放置，使点、分别在直线、上，且在点、的右侧，，． (1)填空： 　　（填“＞”“＜”或“＝”）； (2)若的平分线交直线于点，如图②． ①当，时，求的度数； ②小安将三角板保持并向左平移，在平移的过程中求的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，平移的性质，分类讨论是解题的关键． （1）过点作，根据平行线的性质可得，，进而可求解； （2）①由平行线的性质可得，结合角平分线的定义可得，再利用平行线的性质可求解；②利用平行线的性质及角平分线的定义计算可求解． 【详解】（1）解：过点作， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）①，， ，， ， ， ， 平分， ， ， ， ； ②点在的右侧时，如图②， ，， ， ， ， ， 平分， ， ， ， 点在的左侧时，如图， ，， ， ， ， ，， 平分， ， ， 综上所述，的度数为或． 18．如图，已知直线，点、在直线上，点、在直线上，点在点的右侧，，，平分，平分，直线、交于点. (1)写出的度数_________； (2)试求的度数（用含的代数式表示）； (3)将线段向右平行移动，使点在点的右侧，其他条件不变，请直接写出的度数（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2) (3)的度数为或 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义： （1）根据角平分线的定义，即可得到； （2）过点E作，根据两直线平行，内错角相等可得，，根据角平分线的定义求出，，然后求解即可； （3）过点E作，点B在点A的右侧时，若点E在和之间时，根据角平分线的定义求出，，根据两直线平行，内错角相等可得，根据两直线平行，同旁内角互补求出，然后求解即可；同理，再分别求解当点E在上方或下方时的值即可． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴ 故答案为：； （2）解：如图，过点E作， ∵， ∴， ∴,， ∵平分，平分，，， ∴，， ∴； （3）解：过点E作，点B在点A的右侧时， 若点E在和之间，如图， ∵平分，平分，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴； 若点E在上方，如图， 同理，，， 则； 若点E在下方，如图， 同理，，， 则， 综上所述，度数为或． 19．阅读资料：光遇到水面、玻璃以及其它许多物体的表面都会发生反射．经过入射点且垂直于反射面的直线叫做法线；入射光线与法线的夹角叫做入射角；反射光线与法线的夹角叫做反射角． 光的反射定律：在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线、入射光线分居法线两侧；反射角等于入射角． 如图，直线，点A在直线上，点C在直线上，光线被反射后再次被反射，入射光线经过两次反射的光线为，其中点在直线上．    (1)在图中画出光线，判断与的位置关系是______．    (2)若直线绕点顺时针旋转，要使光线与光线所在直线垂直，则为______度．    (3)直线绕点顺时针旋转，直线与相交于点，直接写出和旋转角之间的数量关系______．    (4)已知，直线绕点顺时针旋，要使光线能被反射，则的取值范围为______．    【答案】(1) (2) (3)或 (4)当或时，能够被反射 【分析】（1）根据平行线的判断和性质，光的反射进行判断即可； （2）先分两种情况：当在的左侧时，当在的右侧时，求出直线与相交于点时，与的关系，然后再根据时，求出的值即可； （3）根据解析（2）可以得出答案； （4）分两种情况：当在左侧时，且时，当在右侧时，且时，分别画出图形求出此时的度数，然后进行解答即可． 【详解】（1）解：根据光的反射可知：，， ∵， ∴，， ∴， ∴；    （2）解：当在的左侧时，直线与相交于点，如图所示：    ∵， ∴， 根据光的反射可知：，，， ∵， ∴， 根据三角形内角和可知：， 即， ∴， ， 即； 当在的右侧时，直线与相交于点，如图所示： ∵， ∴， 根据旋转可知：， 根据光的反射可知：, ， ∵， ∴， 根据三角形内角和可知：， 即， ∴， 整理得：；    综上分析可知：直线与的夹角或； 当光线被直线m反射后，反射光线向左，且正好与直线l平行时，如图所示：    ∵， ∴， 根据反射可知：， ∵， ∴， 即此时， ∴要使光线被m反射后，反射光线能够再被直线l反射，， 从图上可知：， ∴， ∴当在左侧时，直线与的夹角， ∴此时光线与光线所在直线不可能垂直； 当在右侧时，当光线与光线所在直线垂直时，即时，， 解得：． （3）解：根据解析（2）可知：直线与的夹角或； （4）解：当在左侧时，且时，如图所示：    ∵， ∴，， ∵， ∴， 根据光的反射可知：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴当时，能够被反射； 当在右侧时，且时，如图所示：    ∵，， ∴，， ∵， ∴， 根据光的反射可知：，， 即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴当时，能够被反射． 综上分析可知，当或时，能够被反射． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，几何图形中角度的计算，旋转的性质，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 20．直线，一副三角板（，，，）按如图①放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分．    (1)求的度数 (2)若将三角板绕点B以每秒3度的速度按顺时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G），设旋转时间为t秒（）． ①在旋转过程中，若边，如图②所示，求t的值． ②若三角板绕点B旋转的同时，三角板绕点E以每秒2度的速度按逆时针方向旋转（C，D的对应点为H，K）请直接写出当边时t的值． 【答案】(1) (2)①10；②或． 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，一元一次方程的应用，解题的关键在于能够准确理解题意利用分类讨论的思想求解． （1）利用平行线和角平分线的性质即可解决问题； （2）①由得到由得到，则，解得即可． ②分两种情况，分别画出图形进行解答即可． 【详解】（1）解：如图①中， ∵， ∴， ∵平分． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）①解：如图②中，    ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． ∴在旋转过程中，若边，t的值为． ②如图，当时，延长交于R．    ∵， ∴， 过点K作，则， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 如图，当时，延长交于R．．    ∵， ∴， 过点K作，则， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴． 综上所述，满足条件的t的值为或． 三、压轴题三：三角形综合，20题，难度五星 21．如图，在中，．    (1)如图1，若是边上的一点，点为线段的中点，连接，于，，，求的长度． (2)如图2，H为线段上一点，连接，E为的中点，连接并延长交于，再连接，若，求证：． (3)如图3，若，，为的角平分线，将沿翻折后得到，再将绕点逆时针方向旋转角度，当线段所在直线分别与和所在的直线夹角为时，线段所在的直线与所在的直线形成的锐角度数为，线段所在的直线与所在的直线形成的锐角度数为，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)见详解 (3)或或或． 【分析】（1）由等腰三角形的判定及性质得 ，设，由线段的和差得，由即可求解； （2）过作交于，由可判定，由全等三角形的性质得，由可判定，由全等三角形的性质得，即可得证； （3）设，可求，，，由三角形的内角和结合由旋转和折叠的性质得，，①当时，由外角的性质得，从而可求，由求出，由求出，即可求解；②当时，由外角的性质和三角形内角和得，再由求出，由求出，即可求解；③当时，由外角的性质和三角形内角和得，由求出，求出，即可求解；④当时，由三角形内角和定理得 ，，由求出，由求出，即可求解． 【详解】（1）解：， 是等腰三角形， ， ， 设， ， ， ， 点为线段的中点， ， ， ， 解得：， ， ， 故的长度为； （2）解：如图，过作交于，   ， ， E为的中点， ， 在和中， ， （）， ， 由（1）得：， ， ， 即：， 在和中 ， （）， ， ， ， ； （3）解：如图，直线交直线于，直线交直线于、交直线于，    设， ， ，， ， ， 解得：， ， ， ，，， ， ， ； 为的角平分线， ， ， 由旋转和折叠得： ， ， ， ①如上图，当时， ， 解得：， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ； ②如图，当时， 直线交直线于，   ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ③如图，当时， 直线交直线于，   ， ， ， ， ， ， ， ； ④如图，当时，    ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 综上所述：的值为或或或． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，外角的性质，等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质等，掌握判定方法及性质，能根据两直线的夹角不同进行分类讨论是解题的关键． 22．阅读并理解下面内容，解答问题． 三角形的内心定义：三角形的三条内角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心． 如图1，已知是的三条内角平分线． 求证：相交于一点． 证明：如图2，设相交于点，过点分别，垂足分别为D，E，F． 点是的平分线上的一点， ， 同理，， ． 是的平分线， 点在上． 相交于一点． 请解答以下问题： (1)如图3，在中，为的内心，延长到点，使得，连接，与交于点，求的角度． (2)如图4，为的内心，连接，M为边上一点，连接并延长交于点，若，求证： (3)为的内心，，且，若为线段上的动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，当取得最小值时，直接写出的角度． 【答案】(1) (2)见详解 (3) 【分析】（1）先求出，，再根据证明，则，因此； （2）过点P作交于点E，F，连接，根据平行线和角平分线得到，先证明，再证明，则可得到，由，再进行等量代换和线段的和差计算即可； （3）连接并延长交于点D，将绕点P逆时针旋转至，连接并延长交于点M，先证明，继而确定点F的轨迹为直线上的部分线段，当，即点F与点M重合时，取得最小值，再根据三角形内角和定理以及角平分线，进行计算即可． 【详解】（1）解：如图 ∵点P为内心， ∴， 设， 在中，， 即， ∴， 在中，， 同理可求：， ∵， ∴， ∴， ∴ （2）证明：过点P作交于点E，F，连接， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 同理可证：， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∵点P为内心， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴ 即：． （3）解：连接并延长交于点D，将绕点P逆时针旋转至，连接并延长交于点M， ∵P为内心， ∴平分， ∵， ∴， ∴ 由题意得：， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴点F的轨迹为直线上的部分线段， ∴当，即点F与点M重合时，取得最小值， 如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵P为内心， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的计算，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，垂线段最短，正确添加辅助线是解题的关键． 23．已知，点、点分别为、上的两点，连接．    (1)如图1平分，平分，试判断与的位置关系，并说明理由； (2)如图2，点在上且在点右侧，，、分别将和分成了两部分，请画图探究并直接写出与的关系； (3)如图3，点为上且在点右侧的定点，点直线上的一个动点，的角平分线所在直线与的角平分线所在直线相交于点，请直接写出与的数量关系：______________． 【答案】(1)，理由见解析 (2)图见解析，，或或 (3)或 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质，熟练掌握以上知识点，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）利用角平分线的定义和平行线的性质得到，即可得到，即可得到结论； （2）分四种情况画出图形，分别利用平行线的性质进行解答即可； （3）过点N作，设与相交于点S，设证明，，即可得到结论，当在上时，同理可得 【详解】（1）解： 理由如下：∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴ （2）解：∵，， ∴， 设， 如图①，当，时，    过点Q作， ∵ ∴ ∴ ∴， ∴； 如图②，当，时，    过点Q作， 同理可得， ∴； 如图③，当，时，    过点Q作， 同理可得， ∴； 如图④，当，时，    过点Q作， 同理可得， ∴； 综上可知，，或或 （3）如图，过点作，设与相交于点，    ∵， ∴， 设 ∴ ∵的角平分线所在直线与的角平分线所在直线相交于点， ∴，， ∴ ∴， ∵， ∴ 当在的延长线上时，如图所示，    同理可得， ∴ 当在的延长线上时，如图所示，      同理可得， ∴ 故答案为：或 24．综合探究：如图1，已知两条直线被直线所截，分别交于点E，点平分交于点M，且． (1)直线与直线平行吗？说明你的理由； (2)点G是射线上一动点（不与点M，F重合），平分交于点H，过点H作于点N，设． ①当点G在点F的右侧时，请根据题意，在图2中补全图形，并求出当时α的度数； ②当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并简单说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)①图见解析，；②或，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，掌握相关知识，熟练利用角的和差关系是解题关键． （1）根据角平分线的性质得到，进而得到，即可推出； （2）①根据平行的性质，得到，进而得到，再根据角平分线的定义推出，最后利用三角形内角和定理即可求出的度数； ②分情况讨论：当点在点的右侧时，根据平行线的性质得到，进而得到，再根据角平分线的定义，得到，最后利用三角形内角和定理即可得到和之间的数量关系；当点在点的左侧时，根据平行线的性质得到，再根据角平分线的定义，得到，最后利用三角形内角和定理即可得到和之间的数量关系． 【详解】（1）解：，理由如下： 平分， ， ， ； （2）①画出图形， ， ， ， 平分，平分， ，， ， ， ， ； ②猜想：或，理由如下： 当点在点的右侧时，如下图： ， ， ， 平分，平分， ，， ， ， ， ； 当点在点的左侧时，如下图： ， ， 平分，平分， ，， ， ， ， ， 综上可知，或． 25．为等边三角形，在外作射线为射线上一点，连接，在平面内有一点，满足． (1)如图1，连接，若点恰好在上，且，求的度数； (2)如图2，连接，若，且恰好过边的中点，求证：； (3)如图3，若，连接，当线段的长度最小时，在射线上取一点，在边上截取，连接，则当的值最小时，请直接写出的度数． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)； 【分析】（1）本题考查了三角形全等和等边三角形的性质，找到全等的条件是解题的关键．根据，，可知为等边三角形，利用公共角，证得，再证，得到，，由此可得度数， ，即得解； （2）本题考查了三角形全等和等边三角形的性质，通过“截长补短法”构造三角形全等是解题的关键．要证，由于三边不在一条直线上，因此考虑“截长补短法”把线段进行转化．在上取点，使得，连接、、，证明，再证，最后证明为等边三角形，即得证； （3）本题考查了动点问题，解题的关键是首先证明点的运动轨迹，找到何时线段最短，然后构造三角形，确定何时的值最小．以为边向下作等边三角形，连接，证明，得到，即得当点在射线上运动时，点的运动轨迹是在直线上，且满足，由此得到当时，线段最短．要证明两条线段的最小值，通常利用两点之间线段最短，因此需要将其中一条线段进行转化．以点为顶点，作，且，连接，证明 ，得到，由此，只需求的值最小，由图可知当三点共线时，取得最小值，最后根据三角形内角和，求角即可； 【详解】（1）解：如图， ，， 为等边三角形， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故． （2）解：在上取点，使得，连接、、，如图所示， 为边的中点 ， ， ，， ，， ， ， ， ， ，， ， ， 为等边三角形， ， 故 ， （3）解：以为边向下作等边三角形，连接，如图所示， 和都是等边三角形， ， ，， ， ， ， ， ， ， 当点在射线上运动时，点的运动轨迹是在直线上，且满足， 当线段的长度最小时，即过点向直线作垂线，为垂足， 即， ， ，， ， 在中，， 又 ， ， ， 以点为顶点，作，且，连接，如图所示， ， ， ， ， 连接交射线于点，在中， ， 当三点共线时，的值最小，如图所示， 此时， ， 为等腰三角形，又， ， 在中，， ， 在中，， ， 又 （前面已证）， ， 在中，， 在中，， ， 故当的值最小，． 【点睛】本题是一道有关三角形的动点问题，综合考查了三角形全等判定与性质，等边三角形性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形的内角和，两点之间线段最短求最值．当看到要证明线段相等的时候，可以考虑“截长补短法”，当看到动点问题时，考虑首先证明动点的运动轨迹，当求线段的最值问题考虑利用“两点之间线段最短”的原理，其中作出恰当的辅助线，构造三角形证明全等是解决本题的关键． 26．将一个直角三角形纸板放置在锐角上，使该直角三角形纸板的两条直角边，分别经过点M，N． 【发现】 （1）如图1，若点A在内，当时，则 ； （2）如图2，若点A在内，当时， ； 【探究】 若点A在内，请你判断，和之间满足怎样的数量关系，并写出理由； 【应用】 如图3，点A在内，过点P作直线，若，求的度数； 【拓展】 如图4，当点A在外，请直接写出，和之间满足的数量关系 ． 【答案】（1）；（2），探究：，理由见解析；应用：；拓展： 【分析】此题是三角形综合题，主要考查了直角三角形的性质，三角形的内角和定理，平行线的性质，平角的定义，正确识图是解本题的关键． （1）先判断出，进而得出，即可得出结论； （2）同（1）的方法即可得出结论； 探究：同（1）的方法即可得出结论； 应用：由（探究）知，，进而求出，即 可求出，最后用平角的定义即可得出结论； 拓展：首先利用角的关系推导出，结合，得到，进而得解． 【详解】（1）解：∵是直角三角形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵是直角三角形， ∴， ∴，在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 探究：∵是直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即：， 应用：由（探究）知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即：， ∴， 拓展：∵，，，， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 27．如图，四边形和四边形是正方形，（正方形四条边都相等，四个内角都是直角） 【感知】（1）某学习小组探究如下问题：如图1，连接，，直线于点H，交于点M，则与面积的大小关系是：_________． 【探究】（2）该学习小组在探究（1）中面积问题时，发现M为中点，你认为是否成立?若成立，请证明；若不成立，请说明理由. 【拓展】（3）经过以上探究，该学习小组也提出问题：若正方形和正方形的位置如图2所示，点M为中点，连接交于点H，那么与有怎样的关系?试探究，并说明理由     【答案】（1）；（2）成立；理由见解析；（3），；理由见解析 【分析】（1）过点E作于点Q，延长，过点G作于点P，证明，得出，根据，得出； （2）过点E作于点P，过点B作于点Q，证明，得出，同理得：，证明，求出，证明，得出； （3）延长，在延长线上截取，连接、，证明，得出，，证明，得出，，证明，得出，即． 【详解】解：（1）过点E作于点Q，延长，过点G作于点P，如图所示：    则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． （2）成立；理由如下： 过点E作于点P，过点B作于点Q，如图所示：    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理得：， ∴， ∴，   ∵，， ∴， ∴， ∴M为中点． （3），．理由如下： 延长，在延长线上截取，连接、，如图所示：    ∵M为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，   ∴， ∵，， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，   ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，余角的性质，平行线的判定和性质，垂线定义理解，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法． 28．如图，已知中，，点D为的中点． (1)如果点P在线段上以的速度由A点向B点运动，同时，点Q在线段上由点B向C点运动． ①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过后，与是否全等？说明理由； ②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当时间t为何值时，与全等？求出此时点Q的运动速度 (2)若点Q以②中的运动速度从点B出发，点P以原来的运动速度从点A同时出发，都逆时针沿三边运动，请直接写出： ①经过多少秒，点P与点Q第一次相遇？ ②点P与点Q第2023次相遇在哪条边上？ 【答案】(1)①全等，见解析；②7.5厘米/秒 (2)①秒；②点P与点Q第2023次在AC边上相遇 【分析】（1）①先求得，，然后根据等边对等角求得，最后根据即可证明； ②因为，所以，又，要使与全等，只能，根据全等得出，然后根据运动速度求得运动时间，根据时间和的长即可求得的运动速度； （2）①因为，只能是点追上点，即点比点多走的路程，据此列出方程，解这个方程即可求得结果；②设第一次相遇经过秒之后，第2023次相遇，据此列出方程，解这个方程即可求得结果. 【详解】（1）①全等， 因为（秒， 所以（厘米）， （厘米），为中点， （厘米）， （厘米）， ， ， 在与中， ， ； ②因为， 所以， 因为， 要使与全等，只能， 即， 故， 所以点、的运动时间：（秒， 此时（厘米秒）； （2）①因为，只能是点追上点，即点比点多走的路程， 设经过秒后与第一次相遇，依题意得， 解得（秒， 此时运动了（厘米）， 又因为的周长为56厘米，， 所以点、在边上相遇，即经过了秒，点与点第一次在边上相遇； ②设第一次相遇经过秒之后，第2023次相遇， ， 解得：， ， ， ， ， 点在边上． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，以及数形结合思想的运用，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． 29．如图，在中，，平分，点为中点，与相交于点． (1)若，，求的度数； (2)如图1，若，求线段的长的取值范围； (3)如图2，过点作交延长线于点，设，的面积分别为，，若，试求的最大值． 【答案】(1) (2) (3)12 【分析】（1）由三角形内角和定理可求，由角平分线的性质和外角的性质可求解； （2）过点作，交的延长线于，由“”可证，可得，，由三角形的三边关系可求解； （3）延长，交于点，由“”可证，可得，，由面积的和差关系可求解． 【详解】（1），， ， 平分， ， ； （2）如图1，过点作，交的延长线于， ，， 点为中点， ， ， ，， 在中，，， ， ； （3）如图2，延长，交于点， ，，， ， ，， ， ， ， ， 当时，有最大值，即有最大值， 的最大值． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，三角形内角和定理等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 30．已知：在中，，点在上，连接，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点为的中点，过点作的垂线分别交的延长线，的延长线，于点，，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，过点分别作于点，于点，若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)． 【分析】（1）设，根据题意用表示出，根据三角形内角和定理求出，结合图形证明； （2）过点B作于点T，过点C作交的延长线于点R，证明，得到，再证明，根据全等三角形的性质证明结论； （3）连接，证明，得到，求出AG，根据三角形的面积公式求出，得到答案． 【详解】（1）证明：如图1， 设，则，， 在中，∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图2，过点B作于点T，过点C作交的延长线于点R， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴； （3）解：如图3，连接， 在△AFG和△AFH中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理、三角形的面积计算，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 31．（1）问题背景如图（1），在中，是角平分线．求证：； （2）在中，，，是角平分线，，． ①应用探究如图（2），若，求证：； ②迁移拓展如图（3），P为线段上一点，绕C点逆时针旋转得到，使，连接，当最小时，直接写出的值（用含m，n的式子表示）． 【答案】（1）见解析；（2）①见解析；（3）． 【分析】（1）作点到、边的垂线，根据三角形面积公式即可得出结论； （2）①在上取点，使，再构造角平分线模型，作的角平分线，由可证明、、都是等腰三角形，，，结合（1）的结论即可解题． ②连接，易证，继而可得，由此可得点在直线运动，再根据将军饮马模型作点D关于直线BQ的对称点，连接交于点，当Q在点时， 最小，再由（1）的结论得出答案． 【详解】（1）作点D到AC、BC边的垂线，垂足分别为、N， ∵是角平分线． ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴． （2）①在上取点，使，作的角平分线交于F点， ∵在中，，， ∴， ∴是角平分线，即：， 又∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 又∵是角平分线，． ∴． ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∵是角平分线， ∴，即， ∴即． ②连接，作点D关于直线BQ的对称点，连接交于点， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴是定直线， ∴， 当Q在点时， 最小， 又对称性质可知：，， ∴， 当最小时， 【点睛】本题主要考查了三角形的综合；涉及了角平分线性质，等腰三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、将军饮马模型等知识点，（1）利用角平分线性质结合三角形面积公式即可证明；（2）①通过构造等腰三角形转化线段关系并构造角平分线分线段成比例模型是解题关键；②由旋转全等得出点Q在定直线上运动，从而将转化为将军饮马问题，求正好是造角平分线分线段成比例模型． 32．如图，，．E、C、D分别是线段、、上的点，且满足．是的角平分线与交于点F，在上截一点G，连接，令．      (1)如图1，若，求的度数． (2)如图1，连接，若，H是线段上的一点（），连接GH，使得，求和的数量关系． (3)如图2，在（2）的条件下，过点Q作，垂足为M、N是线段上的一点，且满足．求和的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先根据平行线的性质及垂直的定义得，再利用同角的余角相等即可求得答案； （2）设，则可得，，由角平分线的定义及平角性质得，，根据等边对等角得，最后根 据平行线的性质及三角形内角和可得答案； （3）根据平行线的性质得，由条件，得，再根据三角形内角和可得答案． 【详解】（1）证明：，，， ， ，，， ，， ， ， ； （2）解：设，由（1）知， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ，， 即； （3）， ， ， ， ， 由（1）知， ， 即． 【点睛】本题考查平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，垂直的性质等知识，解题关键是明确题意找到所求角之间的数量关系． 33．如图，已知点B、C在的两条边上，且，，，．P是边上的一个动点，过点P作，分别与、边相交于点D、E．在边上取点F，使，连接、．    (1)如图①，当点P与点C重合时， ______； (2)如图②，当点F与点B重合时，若，求的面积； (3)如图③，当点F在点B的右侧时，连接．若，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由，得，进而求得的值； （2）可证得，得出，进一步得出结果； （3）可证得，从而，，从而得出，，再利用面积法求出，，进一步求出，继而可得结果． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图，    ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）∵， ∴， ∴， 同理（1）可得：， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 34．已知：，点A在直线上，点B、C都在上（点B在点C的左侧），连接，，平分． (1)如图，求证：；    (2)如图，点K为上一点，连接，若，判断与之间的数量关系，并说明理由；    (3)在（2）的条件下，在直线上取一点F，连接，使得．若，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)，理由见解析； (3)或． 【分析】（1）利用平行线的性质和角平分线的定义即可证明． （2）利用平行线的性质和等腰三角形的性质即可求． （3）利用题中等量关系建立方程，分类求解即可． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． （2），理由如下： ∵， ∴， 由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）如图：    如图1，设，则，在中，根据内角和定理得： ， ∵， ∴， 在△AFK中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图2，设， ∵， ，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上所述：或． 【点睛】本题考查平行线的性质，等腰三角形，角平分线的定义，抓住角之间的关系是求解本题的关键． 35．【初步感知】 (1)如图1，已知为等边三角形，点D为边上一动点（点D不与点B，点C重合）．以为边向右侧作等边，连接．求证：；    【类比探究】 (2)如图2，若点D在边的延长线上，随着动点D的运动位置不同，猜想并证明：    ①与的位置关系为： ； ②线段、、之间的数量关系为： ； 【拓展应用】 (3)如图3，在等边中，，点P是边上一定点且，若点D为射线上动点，以为边向右侧作等边，连接、．请问：是否有最小值？若有，请直接写出其最小值；若没有，请说明理由．    【答案】(1)见解析 (2) 平行 (3)有最小值，5 【分析】（1）由和是等边三角形，推出，，，又因为，则，即，从而利用“”证明； （2）①由（1）得，得出，，，则； ②因为，，所以； （3）在上取一点，使得，连接，可证，，求得，得出是等边三角形，则，即点E在角平分线上运动，在射线上截取，当点E与点C重合时，，进而解答此题． 【详解】（1）证明：∵和是等边三角形， ∴，， ， ∵， ∴ 即 在和中， ， ∴； （2）平行，，理由如下： 由（1）得， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴； （3）有最小值，理由如下： 如图，在射线上取一点，使得，连接，    ∵和是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 由三角形内角和为，可知：，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， 即点E在的角平分线上运动， 在射线上截取，连接， 在和中， ， ， ∴， 则， 由三角形三边关系可知，， 即当点E与点C重合，时，有最小值， ∵， ∴， ∴最小值为5．    【点睛】本题考查三角形综合，全等三角形的判定，正确添加辅助线、掌握相关图形的性质定理是解题的关键． 36．如图①，在中，，，直线过点，且，点是直线上一点，不与点重合    (1)若点是图①中线段上一点，且，请判断线段与的位置关系，并说明理由； (2)如图②，在（1）的条件下，连接，过点作交线段于点，求证：； (3)如图③，在图①的基础上，改变点的位置后，连接，过点作交线段的延长线于点，请判断线段与的数量关系，并说明理由 【答案】(1)与垂直，证明过程见解析； (2)证明过程见解析； (3)与相等，证明过程见解析． 【分析】（1）先求出，进而求出，从而判断出，即可得结论； （2）先判断出，再判断出，根据判断两个三角形全等； （3）过点作交线段的延长线于点，判断出，再判断出，根据判断两个三角形全等，然后由全等的性质即可得． 【详解】（1）解：． 证明：在中，，， ， ， ， ， ， ， ； （2）， ， ， ，， ， 是的外角， ， ， ， 在和中， ； （3）如图：过点作交线段的延长线于点， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ．    【点睛】本题是三角形综合题，主要考差了等腰直角三角形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质．能够准确作出辅助线并构造全等三角形是解题的关键，也是本题的难点． 37．如图1，，与直线，相交，点为直线、之间的一点．    (1)若，，求的度数； (2)如图2，在（1）的条件下，平分交于点，平分交于点，猜想的结果并证明你的结论； (3)如图3，在（1）的条件下，点是射线上一动点，作射线并在射线上取一点，使得，再作的平分线交直线于点，则当点在射线上移动时，的大小是否变化？若不变，请求出的大小；若变化，请求出其变化范围． 【答案】(1) (2)的结果为，理由见解析 (3)不变， 【分析】（1）过点作，证明，可得，证明可得，从而可得结论； （2）设，，则，证明，，过点作，过点作，可得，，，同理可得：，再利用角的和差可得答案； （3）证明，可得，证明，再利用三角形的内角和定理可得答案． 【详解】（1）解：过点作    ∵，， ， ，， ， ，，， ， ， 即． （2）的结果为．理由如下： 设，，则 ， ， 平分，平分 ， 过点作，过点作    ∴， ∴，， 同理可得： ∴ （3）， ∴，    平分， ． 【点睛】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 38．如图1，在中，过点作于，过点作于，交于，．    (1)求证：： (2)如图2，过点作射线，在射线上取一点，使，连接，若平分，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，将绕点以每秒的速度逆时针旋转至，旋转时间为，当与重合时停止，则在旋转过程中，当的边与的某一边平行时，直接写出此时的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或或或 【分析】（1）由于， 于，得到，，利用证得，从而得到； （2）通过证明得到，进一步证明，可得，从而得到； （3）分四种情况，一是当时则，可得，则，解得：；二是当时且点在直线的上方时，，则，解得：；三是当时，则，可得，，三点在同一直线上，则，解得：；四是当时，点在直线的下方，则，则，解得：． 【详解】（1）证明：于， 于， ， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：于， ， 平分， ， 在和中 ， ， ， ，， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ； （3）由（1）得， ， ， ， 由（2）得，，， ， ， ， ， 当时，如图，    则， 由旋转，， ， ， ， ，解得：； 当时且点在直线的上方时， ， ，解得：； 当时，如图，设的延长线交于点，    则， ， ， 与重合， ，，三点在同一直线上， ， ，解得：； 当时，点在直线的下方，如图，设的延长线交于点，    则， ， 与点重合， ，，三点在同一直线上， ， ， ，解得：； 综上所述，的值为或或或． 【点睛】此题重点考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、同角的余角相等、列方程解应用题、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考查压轴题． 39．如图1，在四边形中，、是等腰直角三角形，且，为锐角；    (1)如图2，连接AD、BE相交于点O，求的度数． (2)在图1中，与面积相等吗？请说明理由． (3)如图3，已知，的面积为10．G在边上，的延长线经过中点F．求的长． (4)如图2，若，．则四边形面积最大值为______； 【答案】(1) (2)相等，理由见解析 (3)4 (4) 【分析】（1）证明，由对应角相等即可得出； （2）过E作交的延长线于G，过D作于F，证明，则，从而可得与面积相等； （3）过点E作交的延长线于点N，由点F是中点可证明，则，再证明，可得；由与面积相等及等积关系可求得的长； （4）的面积为定值，且与面积相等，则的面积最大时，四边形的面积最大；由于为锐角，过D作于M，则，当点M与点C重合时，最大，从而可求得四边形面积的最大值． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即， ∵、是等腰直角三角形，且， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴； （2）解：面积相等， 理由如下： 过E作交的延长线于G，过D作于F，如图， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即与面积相等；    （3）解：过点E作交的延长线于点N，如图， 则，； ∵点F是中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； ∵与面积相等 ∴， 即， ∴；    （4）解：∵，， ∴， 即的面积为定值， 由（2）知，与面积相等， ∴当的面积最大时，四边形的面积最大； 过D作于M，如图， ∴， 当点M与点C重合时，最大，此时， 而这时， ∴四边形面积的最大值为． 故答案为：．    【点睛】本题是全等三角形的综合，考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，互余关系，四边形内角和为等知识，其中全等三角形的判定与性质的应用是解题的关键． 40．在中，，点E、点D分别是、上一点，连接、，且．    (1)如图1，当，时，求的度数； (2)如图2，取的中点F，连接，若．求证：． 【答案】(1) (2)见详解 【分析】（1）根据等边对等角即三角形内角和定理可得， ，根据，可得，问题随之得解； （2）过C点作，交的延长于点G，根据平行可推出，先证明，即有，再证明，问题得解． 【详解】（1）∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）如图，过C点作，交的延长于点G，    ∵， ∴，， ∵， ∴，， 即， ∵的中点为F， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了等边对等角，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理等知识，作出合理的辅助线是解答本题的关键． 四、压轴题四：平面直角坐标系，5题，难度四星 41．在平面直角坐标系中，对于点，点，定义与中较大的值为点P，的“绝对长距”，记．当时，规定．例如，点，点，因为，所以点P，Q的“绝对长距”为，记为． (1)已知点，点B为y轴上一点． ①若，求点B的坐标； ②的最小值为_______； ③动点满足，所有动点C组成的图形面积为5，请直接写出r的值． (2)已知为一三象限角平分线上一点，点，点． ①若有动点M使得，请画出所有满足条件的动点M组成的图形； ②直接写出的最小值和此时n的取值范围． 【答案】(1)①或；②2；③ (2)①画图见解析；②最小值为5， 【分析】（1）①设，根据可得，求出b即可得到点的坐标；②根据点A、B的纵坐标之差的绝对值是2可得的最小值为2；③判断出点C在以为中心，以为边长的正方形上，然后根据点组成的图形面积为5计算即可； （2）①设，根据点D、E的纵坐标之差的绝对值为4，可知点M到点D、E的横坐标的距离之和小于等于4，然后分情况列出不等式求出的取值范围即可，再画图即可．②求解的横纵坐标相等，即，可得如下的绝对值：，，，，，，再分情况讨论即可． 【详解】（1）解：①设， ∵，， ∴， ∴， ∴点的坐标为或； ②∵，设， ∴， ∴的最小值为2； ③∵，点满足， ∴点C在以为中心，以为边长的正方形上， ∵所有动点C组成的图形面积为5，如图， ∴， ∴； ． （2）①∵点，点．设， ∴点E、F的纵坐标之差的绝对值为4， ∵有动点，使得， ∴， 当时，由题意得：， 解得：， ∴ 当时，，符合题意； 当时，由题意得：， 解得：， ∴ ∴有动点，使得，的取值范围为． ∴符合条件的点M组成的图形为如图的长方形及其内部的所有的点． ． ②如图，∵点，点．， ∵为一三象限角平分线上一点， ∴的横纵坐标相等，即， ∴有如下的绝对值：，，，，，， 当时，则，， ∴， 当时， ∴，， ∴， 此时， 当时， ∴，， ∴， 当时， ∴，， ∴， 当时， ∴，， ∴， 当时， ∴，， ∴， 此时， 当时， ∴，， ∴， ∴； 综上：的最小值为，此时m的取值范围为，即． 【点睛】本题考查的是新定义运算的含义，坐标与图形，绝对值的含义，角平分线的含义，算术平方根的应用，不等式的性质，理解新定义的含义是解本题的关键． 42．在平面直角坐标系中，对于点，，将的值叫做点A与点B的“纵横距离”，记为，即．若点P在线段CD上，将的最大值与最小值之差称为线段关于点A的“视差”，记为．已知点，． (1)点A与点B的“纵横距离”的值为__________； (2)已知点C在x轴上，线段关于点A的“视差”为3，则点C的坐标为__________； (3)若点E与点A的“纵横距离”为4． ①的最小值为__________，最大值为__________； ②当取最小值时，请在平面直角坐标系中画出所有符合题意的点E组成的图形． 【答案】(1)2 (2)或 (3)见解析 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点与坐标，含绝对值的方程等知识，有一定的难度，关键是理解题目中“纵横距离”及“视差”的意义． （1）根据“纵横距离”的定义：计算即可； （2）①当点C在x轴上，根据点C的位置不同分两种情况：在点B的左侧或右侧讨论其最大值与最小值，根据线段关于点A的“视差”为3，列方程即可求解； ②根据当取最小值时，此时点A到线段OE上一点的“纵横距离”的最大值始终是，画出点E组成的图形． 【详解】（1）解：点，． ∴． 故答案为2； （2）设点C坐标为， 当点C在x轴上，并且在点B的左侧时，如图： 此时点A到线段BC上一点的“纵横距离”的最大值是，最小值为， ∴，解得， 当点C在x轴上，并且在点B的右侧时，如图： ∵，最大值不能为，∴点C在x轴正半轴， 此时点A到线段BC上一点的“纵横距离”的最大值是，最小值为， ∴，解得， 综上所述：点C的坐标为或， 故答案为：或； （3）①若点E与点A的“纵横距离”为4． 此时点A到线段OE上一点的“纵横距离”的最大值始终是， 此时点A到线段OE上一点的“纵横距离”的最小值最大为，最小为OE过点A，0， 的最小值为，最大值为， 故答案为3；4． ②当取最小值时，在平面直角坐标系中画出所有符合题意的点E组成的图形是折线，如图： 此时折线的端点为、、、、． 43．在平面直角坐标系中，对于互不重合的两个点，，令，，若点P的坐标为，我们称点P为点A关于点B的友好点．       例如，已知，，则，，点A关于点B的友好点为 (1)已知，， ①则点A关于点B的友好点的坐标为 ； ②若点B关于点C的友好点是点A，则点C的坐标为 ； (2)已知点D在第一三象限的角平分线上，点D关于的友好点为点F，若点F到x轴的距离等于到y轴距离的2倍，求点F的坐标； (3)已知点，，点O为坐标原点，点M与点N为三角形边上的任意两个不重合的两个点，若点Q为点M关于点N的友好点，则所有可能的点Q形成的图形的面积为 ． 【答案】(1)①；② (2)或 (3) 【分析】（1）①根据定义直接计算即可，②根据定义列方程即可求解； （2）设点D的坐标为，根据定义和点F到x轴的距离等于到y轴距离的2倍列方程求出a，进而可得点F坐标； （3）根据定义，由点M、N在三角形的端点位置求出点Q组成图形的边界点，进而求出面积． 【详解】（1）解：①∵，，根据友好点定义得： ，， ②设点C的坐标为，依题意得： 解得：， 故点C的坐标为， 故答案为①；② （2）设点D的坐标为，设点F的坐标为，由点D关于的友好点为点F，可得： ，，即点F的坐标为， 由点F到x轴的距离等于到y轴距离的2倍，得： ， 当时，，此时，，即点F的坐标为， 当时，，此时，，即点F的坐标为， （3）如图：点M与点N为三角形GOH边上的任意两个不重合的两个点，若点Q为点M关于点N的友好点， 当点M在原点时，点N在H点时，友好点坐标为， 当点M在原点时，点N在Q点时，友好点坐标为， 当点M在H点时，点N在原点时，友好点坐标为， 当点M在Q点时，点N在原点时，友好点坐标为， 当点M在G点时，点N在点H时，友好坐标为， 当点M在H点时，点G在原点时，友好点Q坐标为， 所有可能的点Q形成的图形是，如图： 其面积为： 故答案为： 【点睛】本题考查坐标与图形、方程的意义，理解题中定义，从中得出坐标间的关系，利用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键． 44．如图，在平面直角坐标系中，，，，，．    (1)如果四边形是长方形，请画出该长方形，并直接写出点的坐标； (2)将长方形向右平移个单位长度，得到长方形． ①当点落在线段上时，结合图形直接写出此时的值； ②横、纵坐标都是整数的点叫做整点，如果长方形和三角形重叠区域（不含边界）内恰好有3个整点，直接写出的取值范围． 【答案】(1)画图见解析， (2)①；②或 【分析】（1）如图所示，根据题中所给，，及四边形是长方形，即可作出长方形，并得到点的坐标； （2）①将长方形向右平移个单位长度，得到长方形，当点落在线段上时，如图所示，线段过，列方程求解即可得到答案；②根据图形平移，结合长方形和三角形重叠区域（不含边界）内恰好有3个整点，作出图形，数形结合即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意，在图中标出，，，结合四边形是长方形，如图所示：    ； （2）解：①将长方形向右平移个单位长度，得到长方形，当点落在线段上时，如图所示：    ，即，解得； ②将长方形向右平移个单位长度，得到长方形，如图所示：    内部区域（不含边界）内有9个整点， 当长方形和三角形重叠区域右边界在过点且垂直于轴的直线上时，，如图所示：    长方形和三角形重叠区域（不含边界）内恰好有3个整点，的取值范围为； 当长方形和三角形重叠区域左边界在过点且垂直于轴的直线上时，，如图所示：    长方形和三角形重叠区域（不含边界）内恰好有3个整点，的取值范围为； 综上所述，如果长方形和三角形重叠区域（不含边界）内恰好有3个整点，的取值范围为或． 【点睛】本题考查坐标与图形，涉及图形平移，掌握平移法则，数形结合是解决问题的关键． 45．在平面直角坐标系中，任取点，若满足，则称点A与点相关．    (1)判断下面各组中两点是否相关： ①，点A与点___________（填“相关”或“不相关”）； ②，点与点___________（填“相关”或“不相关”）； (2)如图，已知正方形，其四个顶点坐标分别为，． ①称横纵坐标均为整数的点为整点，则此正方形的边上，共有___________个整点与点相关； ②设点，若正方形边上的任意一点都与点A相关，求的取值范围． 【答案】(1)①相关；②不相关 (2)①6；②或或 【分析】（1）根据题目中给出的定义进行判断即可； （2）①根据题目中给出的定义先找出正方形边上的整点，然后再根据定义进行判断即可； ②分别求出当、、、上任意一点与点A相关时，m的取值范围，最后综合得出m的取值范围即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴点A与点相关； 故答案为：相关； ②∵， ∴点与点不相关； 故答案为：不相关； （2）解：①正方形边上的整点有，，，，，， ，， ∵， ， ， ， ， ， ， ， ∴此正方形的边上，共有6个整点与点相关； 故答案为：6． ②当上的点都与点相关时，当时，只要使即可， 解得或， 当，即时，上的点都与点A相关， 当时，只要使即可， 解得， ∴当或或或时，上的点都与点相关； 当上的点都与点相关时，当时，只要使即可， 解得或， 当，即时，上的点都与点A相关， 当时，只要使即可， 解得， ∴当或或或时，上的点都与点相关； 当上的点都与点相关时，当时，只要使即可， 解得或， 当，即时，上的点都与点A相关， 当时，只要使即可， 解得， ∴当或或，上的点都与点相关； 当上的点都与点相关时，当时，只要使即可， 解得或， 当，即时，上的点都与点A相关， 当时，只要使即可， 解得， ∴当或或时，上的点都与点相关； 综上分析可知，要使正方形边上的任意一点都与点A相关，则m的取值范围是或或． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，新定义运算，解题的关键是理解题意，注意分类讨论，不等式组的应用． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$