北师大版期末真题精选（四大题型，压轴题50题）-【尖子生培优】2023-2024学年七年级数学下学期重难点压轴题突破专练（北师大版）

北师大版期末真题精选（四大题型，压轴题50题）（原卷版） 目录 一、压轴题型一：整式的乘除综合，10题，难度四星 1 二、压轴题型二：相交线与平行线综合，10题，难度四星 4 三、压轴题型三：三角形综合，20题，难度五星 8 四、压轴题型四：轴对称综合，10题，难度四星 17 一、压轴题型一：整式的乘除综合，10题，难度四星 1．如图，将两张长为，宽为的长方形纸片按图1，图2两种方式放置，图1和图2中两张长方形纸片重叠部分分别记为①和②，正方形中未被这两张长方形纸片覆盖部分用阴影表示，图1和图2中阴影部分的面积分别记为和．若知道下列条件，仍不能求值的是（　　）    A．长方形纸片的周长和面积 B．长方形纸片长和宽的差 C．①和②的面积差 D．长方形纸片和①的面积差 2．在矩形内，将两张边长分别为和的正方形纸片按图①，图②两种方式放置（图①，图②中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，若图①中阴影部分面积为，图②中阴影部分的面积和为．则的值表示正确的是（    ） A． B． C． D． 3．若，，则3x﹣2y的值为 ． 4．如图，用大小相同的小正方形拼图形，第1个图形是一个小正方形；第2个图形由9个小正方形拼成；第3个图形由25个小正方形拼成，依此规律，若第n个图形比第（n-1）个图形多用了72个小正方形，则n的值是 . 5．在数学中，为了书写简便，世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”，如，；已知，则的值是 ． 6．【阅读材料】“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．比如：在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导出了完全平方和公式：（如图1）．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题． 【方法应用】根据以上材料提供的方法，完成下列问题： (1)由图2可得等式：__________；由图3可得等式：__________； (2)利用图3得到的结论，解决问题：若，，则__________； (3)如图4，若用其中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张边长分别为、的长方形纸片拼出一个面积为长方形（无空隙、无重叠地拼接），则______； (4)如图4，若有3张边长为的正方形纸片，4张边长分别为的长方形纸片，5张边长为的正方形纸片．从中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张．把取出的这些纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为______． 【方法拓展】 (5)已知正数，，和，，，满足．试通过构造边长为的正方形，利用图形面积来说明． 7．把图1的长方形看成一个基本图形，用若干相同的基本图形进行拼图（重合处无缝隙）． (1)如图2，将四个基本图形进行拼图，得到正方形和正方形，用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积（用含a，b的代数式表示），并写出一个等式； (2)如图3，将四个基本图形进行拼图，得到四边形，求阴影部分的面积（用含a，b的代数式表示）； (3)如图4，将图3的上面两个基本图形作为整体图形向左运动x个单位，再向上运动2b个单位后得到一个长方形图形，若，把图中阴影部分分割成两部分，这两部分的面积分别记为，，若，求证：m与x无关． 8．我国著名数学家曾说：数无形时少直觉，形少数时难入微，数形结合思想是解决问题的有效途径．请阅读材料完成： (1)算法赏析：若x满足，求的值． 解：设则 ∴ 请继续完成计算． (2)算法体验：若满足，求的值； (3)算法应用：如图，已知数轴上A、B、C表示的数分别是m、10、13．以AB为边作正方形ABDE，以AC为边作正方形ACFG，延长ED交FC于P．若正方形ACFG与正方形ABDE面积的和为117，求长方形AEPC的面积 9．“平方差公式”和“完全平方公式”应用非常广泛，灵活利用公式往往能化繁为简，巧妙解题，请阅读并解决下列问题： (1)问题一：．则A=______，B=______； (2)计算：； (3)问题二：已知，则P=_____，Q=______； (4)已知长和宽分别为a，b的长方形，它的周长为14，面积为10，如图所示，求的值． 10．如图，，点D是线段上的一个动点，在右侧以为边作正方形；若，，连接．    (1)请用含k，m的代数式表示； (2)若，梯形的面积是三角形面积的4倍，求k的值； (3)下列三个条件：①；②；③，依次为易、中、难，对应的满分值为1分、2分、3分，选择其中一个条件，求三角形的面积（用含k的代数式表示）． 二、压轴题型二：相交线与平行线综合，10题，难度四星 11．如图，已知点O为直线上一点，，是的平分线． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，是的平分线，求的度数； (3)在（2）的条件下，是的一条三等分线，若，求的度数． 12．长江汛期即将来临，为了便于夜间查看江水及两岸河堤的情况，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯（如图），假定这一带长江两岸河堤是平行的，即，连结，且．灯射线自顺时针旋转至便立即回转，灯射线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视，若灯转动的速度是度秒，灯转动的速度是度秒．    (1)若两灯同时转动，在灯射线第一次转到之前，两灯射出的光线交于点． ①如图，当两灯光线同时转动秒时，求的度数． ②如图，当两灯光线同时转动秒时，过作交于点，求与的比值． (2)若灯射线先转动秒，灯射线才开始转动，在灯射线第一次转到之前，灯转动几秒，两灯的光线互相平行？ 13．如图，直线，一副三角板（，，，）按如图①放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分．    (1)求的度数； (2)如图②，若将绕B点以每秒的速度按逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G）．设旋转时间为t秒； ①在旋转过程中，若边，求t的值； ②若在绕B点旋转的同时，绕E点以每秒的速度按顺时针方向旋转（C、D的对应点分别为K、T），请直接写出与平行时t的值． 14．如图，点O为直线AB上一点，∠BOC＝40°，OD平分∠AOC． (1)求∠AOD的度数； (2)作射线OE，使∠BOE＝∠COE，求∠COE的度数； (3)在（2）的条件下，作∠FOH＝90°，使射线OH在∠BOE的内部，且∠DOF＝3∠BOH，直接写出∠AOH的度数． 15．如图1，已知直线AMBG，点C为射线BG上一动点，过点C作CDAB交AM于点D，点E在线段AB上，∠DCE＝90°，点F在线段AD上，∠FCG＝90°，点H在线段BC上，∠AHG＝90°，∠ECF＝60°． (1)写出一个与∠ADC相等的角 （写一个即可）； (2)如图2，求∠BCD的度数； (3)若点F是直线AM上的一点，点H是直线BG上的一点，在点C的运动过程中（点C不与点B、H重合），求∠BAF的度数． 16．已知直线，直线和，分别交于，两点，点，分别在直线，上，且位于直线的右侧，动点在直线上，且不和点，重合． (1)如图1，当动点在线段上运动时，求证：． (2)如图2，当动点在点上方运动时（，，不在同一直线上），请写出，，之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，当动点在点下方运动时（，，不在同一直线上），直接写出，，之间的数量关系． 17．如图1，已知直线，点、在直线上，点、在上，线段交线段于点，且． (1)求证：； (2)如图2，当、分别在线段、上，且，，标记为，为． ①若，求的度数； ②当________时，为定值，此时定值为________． 18．如图1，已知直线，，射线从出发，绕点以每秒度的速度按逆时针方向旋转，到达后立即以相同的速度返回，到达后继续改变方向，继续按上述方式旋转；射线从出发，绕点以每秒度的速度按逆时针方向旋转，到达后停止运动，此时也同时停止运动．其中，满足方程组． (1)求，的值； (2)若先运动30秒，然后一起运动，设运动的时间为，当运动过程中时，求的值； (3)如图2，若与同时开始转动，在第一次到达之前，与交于点，过点作于点，交直线于点，则在运动过程中，若设的度数为，请求出的度数（结果用含的代数式表示）． 19．问题：已知线段AB∥CD，在AB、CD间取一点P（点P不在直线AC上），连接PA、PC，试探索∠APC与∠A、∠C之间的关系． (1)端点A、C同向： 如图1，点P在直线AC右侧时，∠APC﹣（∠A+∠C）＝ 度； 如图2，点P在直线AC左侧时，∠APC+（∠A+∠C）＝ 度； (2)端点A、C反向： 如图3，点P在直线AC右侧时，∠APC与∠A﹣∠C有怎样的等量关系？写出结论并证明； 如图4，点P在直线AC左侧时，∠APC﹣（∠A﹣∠C）＝ 度． 20．如图，点，，，四点共线，点，，，四点共线．，相交于点，点是直线与之间的一个动点，． (1)求证：； (2)若平分，平分，请探索并证明和之间的数量关系； (3)若，，（2）中的结论还成立吗？若成立请证明；若不成立，请写出你认为正确的结论，并证明． 三、压轴题型三：三角形综合，20题，难度五星 21．已知，，点P是射线上的一个动点．    (1)如图1，连接，若，，求证：； (2)如图1，连接，若，，则是否成立，若成立，写出证明过程，若不成立，请说明理由； (3)如图2，连接，若，，，射线平分，射线平分，射线与射线相交于点Q，则的度数为． 22．【基础巩固】 （1）如图1，在与中，，，，求证：； 【尝试应用】 （2）如图2，在与中，，，，B、D、E三点在一条直线上，与交于点F，若点F为中点， ①求的大小； ②，求的面积； 【拓展提高】 （3）如图3，与中，，，，与交于点F，，，的面积为18，求的长．    23．如图①，点N在的延长线上，过点B作．    (1)求证：； (2)由（1）易知，．如图②，过点C作，交的延长线于点D，作交于点E，的平分线与的平分线相交于点F，且，求的度数． (3)如图③，G为的延长线上一点，H为上一点，平分，平分，，试猜想与的关系，并说明理由． 24．已知和都是等腰直角三角形，，连接，点F为中点．    (1)如图1，求证：； (2)将绕C点旋转到如图2所示的位置，连接，过C点作于M点． ①探究和的关系，并说明理由； ②连接，求证：F，C，M三点共线． 25．直角三角形中，，直线过点． (1)当时，如图，分别过点，作于点，于点． 求证：． (2)当，时，如图，点与点关于直线对称，连接，，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿边向终点运动，同时动点从点出发，以每秒3个单位的速度沿向终点运动，点，到达相应的终点时停止运动，过点作于点，过点作于点，设运动时间为秒． ①______，当在路径上时，______．（用含的代数式表示） ②直接写出当与全等时的值． 26．如图1，，点P，Q分别在AB，CD上，点E在AB，CD之间．连接PE，QE，． (1)直接写出与的数量关系为____________________； (2)如图2，的平分线PG和的平分线QH的反向延长线相交于点G，求∠G的度数； (3)如图3，M为线段PE上一点，连接QM，和的平分线相交于点N，直接写出和的数量关系为____________________． 27．和是两个等腰直角三角形，AB=AD，AC=AE，． (1)如图1，判断CD与BE的数量关系和位置关系，并说明理由； (2)如图1，若AB=4，AC=3．则四边形DBCE面积的最大值是______； (3)如图2，过点A作于点P，延长PA交DE于点Q．试说明点Q为DE的中点． 28．如图，在ΔABC中． AD是BC边上的中线，交BC于点D． (1)如图①，延长AD到点E，使DE=AD，连接BE． 求证：ΔACD≌ΔEBD (2)如图②，若∠BAC=90°，试探究AD与BC有何数量关系，并说明理由． (3)如图③，若CE是边AB上的中线，且CE交AD于点O． 请你猜想线段AO与OD之间的数量关系，并说明理由． 29．在中，，点是直线上一点，连接，以为边向右作，使得，，连接． (1)如图1，当点在边上时， ①若时，则____________°； ②若时，则____________°； ③观察以上结果，猜想与的数量关系，并说明理由． (2)当点在的延长线上时，请判断与的数量关系，并说明理由． 30．如图1，在四边形ABDC中，，，点E是AC上一点，点F是AB的延长线上一点，且． (1)试说明：． (2)如图2，若点G在AB上，且，试猜想CE，EG，BG之间的数量关系，并加以说明． (3)如图3，若题目中的改成，，点G在AB上，则满足什么条件时，（2）中的结论仍然成立？（直接写出条件即可）（提示：四边形的内角和等于360°） 31．在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D为BC上一点， BF⊥AD于点E，交AC于点F，连接DF． (1)如图①，当AD平分∠BAC时， ① AB与AF相等吗？为什么？ ②判断DF与AC的位置关系，并说明理由； (2)如图②，当点D为BC的中点时，试说明：∠FDC＝∠ADB． 32．（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D，E．求证：． （2）组员小明想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D，A，E三点都在直线l上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过的边AB，AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高．延长HA交EG于点I．若，则______． 33．（1）问题引入：如图1，点F是正方形ABCD边CD上一点，连接AF，将ADF绕点A顺时针旋转90°与ABG重合（D与B重合，F与G重合，此时点G，B，C在一条直线上），∠GAF的平分线交BC于点E，连接EF，判断线段EF与GE之间有怎样的数量关系，并说明理由． （2）知识迁移：如图2，在四边形ABCD中，∠ADC+∠B＝180°，AB＝AD，E，F分别是边BC，CD延长线上的点，连接AE，AF，且∠BAD＝2∠EAF，试写出线段BE，EF，DF之间的数量关系，并说明理由． （3）实践创新：如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AC平分∠DAB，点E在AB上，连接DE，CE，且∠DAB＝∠DCE＝60°，若DE＝a，AD＝b，AE＝c，求BE的长．（用含a，b，c的式子表示） 34．如图，在中，AB＝AC，BC＝8厘米，点D为AB上一点且BD=5厘米．点P在线段BC上由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动．设运动时间为t秒． （1）若点P的速度为2厘米/秒，用含t的式子表示CP的长为 厘米． （2）在（1）的条件下，若点Q与点P的运动速度相等，经过几秒钟BPD与CQP全等？ （3）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，且点P的速度比点Q的速度慢1厘米/秒时，请求出点Q的运动速度为多少时，能够使BPD与CQP全等． 35．在中，． （1）如图1、求证：： （2）如图2，D为AB上一点，连接CD，E为CD中点，过点E作于点E，连接，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，过点F作于点H，连接AF，若AF∥BC，FH=4，CH=20，BD=10，求的面积 36．在四边形ABCD中，AE平分∠BAD交CD于点E，与BC的延长线交于点F，∠CBA﹣∠D＝∠BAD，且AB＝AE，AB与DC的延长线交于点G． （1）如图1，求证：AF＝AG； （2）如图2，连接AC，求证：∠DAC＝3∠CAB； （3）如图3，过点E作EH⊥AB于点H，若BF＝2ED，△ABF的面积为28，EH＝4，求AD的长． 37．已知：等边中，点是边三边垂直平分线的交点，点，分别在直线，上， （1）如图， ； （2）如图，点、分别在边、上时，，求的度数； （3）当点在边上，点在的延长线上时，，请你在图中补全图形，标出相应字母，此时线段、、三者的数量关系是怎样的？并说明理由． 38．【问题背景】如图1，∠DAB是△ABC的一个外角．求证：∠DAB＝∠B+∠C； 【尝试应用】如图2，直线l1与直线l2相交于点O，夹角为α，点B在点O右侧，点C在l1上方，点A在O点左侧运动，点E在射线CO上运动（不与C、O重合）． ①当α＝60°时，AG平分∠EAB，EF平分∠AEC交直线AG于点G，求∠AGE； 【拓展创新】②如图3，点E在线段CO上运动（不与C、O重合），∠AEF＝n∠AEC，∠EAG＝m∠EAB，m+2n＝1，EF交AG于点G，当n为何值时，∠AGE不随∠EAB的变化而变化，并用含α的代数式表示∠AGE的值（写出解答过程）．当点E在线段CO的延长线上时（其他条件不变），直接写出∠AGE＝　 　． 39．直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝α，点F在直线AB上且在点O的右侧，点E在直线CD上（点E与点O不重合），连接EF，直线EM、FN交于点G． （1）如图1，若点E在射线OC上，α＝60°，EM、FN分别平分∠CEF和∠AFE，求∠EGF的度数； （2）如图2，点E在射线OC上，∠MEF＝m∠CEF，∠NFE＝（1﹣2m）∠AFE，若∠EGF的度数与∠AFE的度数无关，求m的值及∠EGF的度数（用含有α的代数式表示）； （3）如图3，若将（2）中的“点E在射线OC上”改为“点E在射线OD上”，其他条件不变，直接写出∠EGF的度数（用含有a的代数式表示） 40．如图1，∠ABC＝90°，FA⊥AB于点A，D是线段AB上的点，AD＝BC，AF＝BD． （1）判断DF与DC的数量关系为 　 　，位置关系为 　 　． （2）如图2，若点D在线段AB的延长线上，过点A在AB的另一侧作AF⊥AB，并截取AF＝BD，连接DC、DF、CF，试说明（1）中结论是否成立，并说明理由． （3）若点D在线段AB外，点E是BC延长线上一点，且CE＝BD，连接AE，与DC的延长线交于点P，直接写出∠APC的度数． 四、压轴题型四：轴对称综合，10题，难度四星 41．如图（1）所示为长方形纸带，将纸带沿EF折叠成图（2）；再沿BF折叠成图（3）；继续沿EF折叠成图（4）按此操作，最后一次折叠后恰好完全盖住∠EFG，整个过程共折叠了9次，问图（1）中∠DEF的度数是（　　） A．20° B．19° C．18° D．15° 42．把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠成图①，再沿HF折叠成图②，若∠DEF＝β（0°＜β＜90°），用β表示∠C''FE，则∠C''FE＝ ． 43．如图，将沿着过中点的直线折叠，使点落在边上的处，称为第1次操作，到折痕的距离记为；还原纸片后，再将沿着过中点的直线折叠，使点落在边上的处，称为第2次操作，到折痕的距离记为；按上述方法不断操作下去，经过第2019次操作后，到折痕的距离记为，若，则的值为 ． 44．综合与实践 问题情境： 数学课上，同学们以“长方形纸带的折叠”为主题开展数学活动，已知长方形纸带的边，将纸片沿折痕折叠，点，分别为点，，线段与交于点（说明：折叠后纸带的边始终成立）    操作探究： (1)如图，若，则的度数为______°． (2)如图，改变折痕的位置，其余条件不变，小彬发现图中始终成立，请说明理由； (3)改变折痕的位置，使点恰好落在线段上，然后继续沿折痕折叠纸带，点，分别在线段和上． ①如图，点的对应点与点重合，点的对应点为点若，直接写出的度数． ②如图，点，的对应点分别为点，，点，均在上方，若，，当时，直接写出与之间的数量关系． 45．阅读理解：如图1，在ABC中，D是BC边上一点，且，试说明． 解：过点A作BC边上的高AH， ∵，， ∴， 又∵， ∴． 根据以上结论解决下列问题：如图2，在ABC中，D是AB边上一点，且CD⊥AB，将ACD沿直线AC翻折得到ACE，点D的对应点为E，AE，BC的延长线交于点F，AB＝12，AF＝10． （1）若CD＝4，求ACF的面积； （2）设△ABF的面积为m，点P，M分别在线段AC，AF上． ①求PF+PM的最小值（用含m的代数式表示）； ②已知，当PF+PM取得最小值时，求四边形PCFM的面积（用含m的代数式表示）． 46．已知：M、N分别是∠AOB的边OA、OB上的定点， （1）如图1，若∠O=∠OMN，过M作射线MDOB(如图)，点C是射线MD上一动点，∠MNC的平分线NE交射线OA于E点．试探究∠MEN与∠MCN的数量关系； （2）如图2，若P是线段ON上一动点，Q是射线MA上一动点．∠AOB=20，当MP+PQ+QN取得最小值时，求∠OPM+∠OQN的值． 47．如图1，三角形中，，，．点D是边上的定点，点E在边上运动，沿折叠三角形，点C落在点G处． （1）如图2，若，求的度数． （2）如图3，若，求的度数． （3）当三角形的三边与三角形的三边有一组边平行时，直接写出其他所有情况下的度数． 48．已知：如图①长方形纸片ABCD中，．将长方形纸片ABCD沿直线AE翻折，使点B落在AD边上，记作点F，如图②．       （1）当，时，求线段FD的长度； （2）设、，如果再将沿直线EF向右起折，使点A落在射线FD上，记作点G，若线段，请根据题意画出图形，并求出x的值； （3）设．，沿直线EF向右翻折后交CD边于点H，连接FH，当时，求的值． 49．直角三角形ABC中，∠ACB=90°，直线l过点C． （1）当AC=BC时，如图①，分别过点A、B作AD⊥l于点D，BE⊥l于点E．求证：△ACD≌△CBE． （2）当AC=8，BC=6时，如图②，点B与点F关于直线l对称，连接BF，CF，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AC边向终点C运动，同时动点N从点F出发，以每秒3个单位的速度沿F→C→B→C→F向终点F运动，点M、N到达相应的终点时停止运动，过点M作MD⊥l于点D，过点N作NE⊥l于点E，设运动时间为t秒． ①CM=　　　　，当N在F→C路径上时，CN=　　　　．（用含t的代数式表示） ②直接写出当△MDC与△CEN全等时t的值． 50．（1）填空 ①把一张长方形的纸片按如图①所示的方式折叠，，为折痕，折叠后的点落在或的延长线上，那么的度数是________； ②把一张长方形的纸片按如图②所示的方式折叠，点与点重合，，为折痕，折叠后的点落在或的延长线上，那么的度数是_______． （2）解答：①把一张长方形的纸片按如图③所示的方式折叠，，为折痕，折叠后的点落在或的延长线上左侧，且，求的度数； ②把一张长方形的纸片按如图④所示的方式折叠，点与点重合，，为折痕，折叠后的点落在或的延长线右侧，且，求的度数． （3）探究：把一张四边形的纸片按如图⑤所示的方式折叠，，为折痕，设，，，求，，之间的数量关系． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北师大版期末真题精选（四大题型，压轴题50题）（解析版） 目录 一、压轴题型一：整式的乘除综合，10题，难度四星 1 二、压轴题型二：相交线与平行线综合，10题，难度四星 15 三、压轴题型三：三角形综合，20题，难度五星 40 四、压轴题型四：轴对称综合，10题，难度四星 87 一、压轴题型一：整式的乘除综合，10题，难度四星 1．如图，将两张长为，宽为的长方形纸片按图1，图2两种方式放置，图1和图2中两张长方形纸片重叠部分分别记为①和②，正方形中未被这两张长方形纸片覆盖部分用阴影表示，图1和图2中阴影部分的面积分别记为和．若知道下列条件，仍不能求值的是（　　）    A．长方形纸片的周长和面积 B．长方形纸片长和宽的差 C．①和②的面积差 D．长方形纸片和①的面积差 【答案】D 【分析】 设正方形的边长为，分别求出、①和②的面积、长方形纸片的面积与周长，再逐项判断即可得． 【详解】解：如图，设正方形的边长为，    则， ， ， ∵长方形纸片的周长为，面积为， ∴若知道长方形纸片的周长和面积或长方形纸片长和宽的差，能求出，即选项A、B不符合题意； 图中①的面积为， ②的面积为， ∴①和②的面积差为， ∴若知道①和②的面积差，能求出，即选项C不符合题意； ∵长方形纸片和①的面积差为， ∴若知道长方形纸片和①的面积差，不能求出，即选项D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了整式乘法、完全平方公式在图形中的应用，熟记运算法则是解题的关键． 2．在矩形内，将两张边长分别为和的正方形纸片按图①，图②两种方式放置（图①，图②中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，若图①中阴影部分面积为，图②中阴影部分的面积和为．则的值表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用面积的和差分别表示出S1和S2，然后利用整式的混合运算计算它们的差． 【详解】解：∵S1=（AB-a）•a+（CD-b）（AD-a）=（AB-a）•a+（AB-b）（AD-a）， S2=（AB-a）（AD-b）+（AD-a）（AB-b）， ∴S1-S2=（AB-a）•a+（AB-b）（AD-a）-（AB-a）（AD-b）-（AD-a）（AB-b） =（AB-a）•a-（AB-a）（AD-b） =（AB-a）•（a-AD+b） =BE•FG， 故选：A． 【点睛】本题考查了整式的混合运算：“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看作整体的代数式通常要用括号括起来．也考查了正方形的性质． 3．若，，则3x﹣2y的值为 ． 【答案】 【分析】根据即可代入求解． 【详解】解：． 故答案是：． 【点睛】本题考查了同底数的幂的除法运算，正确理解是关键． 4．如图，用大小相同的小正方形拼图形，第1个图形是一个小正方形；第2个图形由9个小正方形拼成；第3个图形由25个小正方形拼成，依此规律，若第n个图形比第（n-1）个图形多用了72个小正方形，则n的值是 . 【答案】 【分析】依次观察前几个图形以及正方形的个数，进而归纳得到拼成第个图形需要个正方形，即可得出结论． 【详解】第1个图形是一个小正方形； 第2个图形由个小正方形拼成； 第3个图形由个小正方形拼成， …… 拼成第个图形需要个正方形， 拼成第个图形需要个正方形， ， 解得：； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了图形类规律探索，根据图形得出小正方形的变化规律是解题的关键． 5．在数学中，为了书写简便，世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”，如，；已知，则的值是 ． 【答案】-99 【分析】观察已知可得，列出算术可得的值，即可得到答案． 【详解】解：由知， ， ， 即， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查整式的运算，解题的关键是理解求和符号“”的意义，求出，的值． 6．【阅读材料】“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．比如：在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导出了完全平方和公式：（如图1）．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题． 【方法应用】根据以上材料提供的方法，完成下列问题： (1)由图2可得等式：__________；由图3可得等式：__________； (2)利用图3得到的结论，解决问题：若，，则__________； (3)如图4，若用其中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张边长分别为、的长方形纸片拼出一个面积为长方形（无空隙、无重叠地拼接），则______； (4)如图4，若有3张边长为的正方形纸片，4张边长分别为的长方形纸片，5张边长为的正方形纸片．从中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张．把取出的这些纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为______． 【方法拓展】 (5)已知正数，，和，，，满足．试通过构造边长为的正方形，利用图形面积来说明． 【答案】(1)（2a+b）（a+b）=2a2+b2+3ab；（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc； (2)155 (3)9 (4)a+2b； (5)见解析 【分析】（1）大长方形的面积=长×宽，也等于3个小正方形和3个小长方形面积的和，两种方法求得的大长方形的面积相等，即“等积法”得到等式． （2）用（1）的结论变形后代入求值． （3）观察（2a+b）（a+2b）长方形找到x、y、z对应的值，代入求值． （4）通过分析，找到可以拼成正方形的可能的情况，然后找到正方形的边长最大， （5）通过构造边长为k的正方形，用3个长方形的面积表示al+bm+cn，用面积直观地说明al+bm+cn<k2． 【详解】（1）解：由图2知，大长方形的面积=（2a+b）（a+b）， 大长方形的面积=3个小正方形的面积+3个小长方形的面积=a2+a2+b2+3ab=2a2+b2+3ab， ∴（2a+b）（a+b）=2a2+b2+3ab； 由图3知，大正方形的面积=（a+b+c）2， 大正方形的面积=3个正方形的面积+2个小长方形的面积+2个小长方形的面积+2个小长方形的面积=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc， ∴（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc； 故答案为：（2a+b）（a+b）=2a2+b2+3ab； =a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc； （2）由图3得（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc， ∴a2+b2+c2=（a+b+c）2-（2ab+2ac+2bc）=（a+b+c）2-2（ab+ac+bc）， 当，时， a2+b2+c2=152-2×35=155； 故答案为：155 （3）解：∵（2a+b）（a+2b）=2a2+4ab+ab+2b2=2a2+5ab+2b2，2， ∴长方形可以看成2张边长为a的正方形，2张边长为b的正方形，5张边长分别为a、b的长方形纸片拼成的大长方形， ∴x=2，y=2，z=5， ∴x+y+z=9； 故答案为：9 （4）解：3张边长为a的正方形纸片的面积为3a2，4张边长分别为ab的长方形纸片的面积为4ab，5张边长为b的正方形纸片的面积为5b2， ∵想从中取出若干张纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接）， ∴选取的纸片的面积和必须构成完全平方式， ∴可以选取1张边长为a的正方形纸片、2张边长分别为ab的长方形纸片、1张边长为b的正方形纸片， 此时围成的正方形面积为a2+2ab+b2=（a+b）2， ∴此时正方形的边长=a+b； 选取1张边长为a的正方形纸片、4张边长分别为ab的长方形纸片、4张边长为b的正方形纸片， 此时围成的正方形面积为a2+4ab+4b2=（a+2b）2， ∴此时正方形的边长=a+2b， ∵a+b＜a+2b， ∴拼成的正方形的边长最长为a+2b； 故答案为：a+2b； （5）解：如图， 如图，构造了一个边长为k的正方形，AC=CE=EG=AG=k， 在正方形的4个边上分别截取AB=a，CD=b，EF= HG=c， ∵a+m=b+n=c+l=k， ∴BC=m，DE=n，FG=l，AH=l， ∴3个长方形的面积和为al+bm+cn，大正方形的面积为k2， ∴． 【点睛】本题用“等积法”解决多项式乘积的代数问题，渗透数形结合的思想，用代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题． 7．把图1的长方形看成一个基本图形，用若干相同的基本图形进行拼图（重合处无缝隙）． (1)如图2，将四个基本图形进行拼图，得到正方形和正方形，用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积（用含a，b的代数式表示），并写出一个等式； (2)如图3，将四个基本图形进行拼图，得到四边形，求阴影部分的面积（用含a，b的代数式表示）； (3)如图4，将图3的上面两个基本图形作为整体图形向左运动x个单位，再向上运动2b个单位后得到一个长方形图形，若，把图中阴影部分分割成两部分，这两部分的面积分别记为，，若，求证：m与x无关． 【答案】(1)①S阴影＝(a＋b)2−4ab；②S阴影=(a−b)2​；（a＋b）2−4ab＝（a−b）2 (2)S阴影＝a2−2ab＋b2 (3)见解析 【分析】（1）阴影部分的面积有两种计算方法，①S阴影＝S大正方形−4S基本图形；②直接根据正方形EFGH的边长求正方形EFGH的面积； （2）先证明四边形ABCD是正方形，然后用S阴影＝S正方形−4S基本图形； （3）把S1，S2分别用含a、b、x的式子表示出来，然后计算m＝S1−S2，即可证明m与x无关． 【详解】（1）解：①∵在图2中，四边形ABCD是正方形， ∴正方形ABCD的面积为S正方形＝（a＋b）2． ∵四个基本图形的面积为4ab， ∴S阴影＝(a＋b)2−4ab； ②∵四边形EFGH是正方形， ∴EH＝EF＝a−b， ∴S阴影＝EH2＝(a−b)2； ∴（a＋b）2−4ab＝（a−b）2． （2）解：∵NP＝a＋b，MN＝a＋b， ∴四边形EFGH是正方形， ∴S阴影＝MN2−4ab＝(a＋b)2−4ab， 即S阴影＝(a＋b)2−4ab＝a2−2ab＋b2． （3）证明：根据图形可知，AF＝a＋x−2b， m＝S1−S2 ＝2b•2b＋bx−（a−2b＋x）b−3b•b ＝4b2＋bx−（ab−2b2＋bx）−3b2 ＝4b2＋bx−ab＋2b2−bx−3b2 ＝3b2−ab ∴S与x无关． 【点睛】本题主要考查了利用有关代数式表示图形的面积．合理利用代数式把图形的面积表示出来是解题的关键． 8．我国著名数学家曾说：数无形时少直觉，形少数时难入微，数形结合思想是解决问题的有效途径．请阅读材料完成： (1)算法赏析：若x满足，求的值． 解：设则 ∴ 请继续完成计算． (2)算法体验：若满足，求的值； (3)算法应用：如图，已知数轴上A、B、C表示的数分别是m、10、13．以AB为边作正方形ABDE，以AC为边作正方形ACFG，延长ED交FC于P．若正方形ACFG与正方形ABDE面积的和为117，求长方形AEPC的面积 【答案】(1)过程见解析，12 (2)1260 (3)54 【分析】（1）根据完全平方公式可得a2+b2=（a+b）2-2ab求解即可； （2）按（1）方法进行即可求解； （3）正方形ACFG的边长为13-m，面积为（13-m）2，正方形ABDE的边长为10-m，面积为（10-m）2，可得（13-m）2+（10-m）2=117，设13-m=p，10-m=q，则p2+q2=（13-m）2+（10-m）2=117，p-g=13-m-10+m=3，利用求解即可． 【详解】（1）解：设则 ∴ =（a+b）2-2ab =（-4）2-2×2 =16-4 =12． （2）解：设， 则，a+b=10， ； （3）解：正方形ACFG的边长为13-m，面积为（13-m）2，正方形ABDE的边长为10-m，面积为（10-m）2，则有（13-m）2+（10-m）2=117， 设13-m=p，10-m=q，则p2+q2=（13-m）2+（10-m）2=117，p-q=13-m-10+m=3， 所以长方形AEPC的面积为： ． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式和数形结合思想，灵活变形完全平方公式成为解答本题的关键． 9．“平方差公式”和“完全平方公式”应用非常广泛，灵活利用公式往往能化繁为简，巧妙解题，请阅读并解决下列问题： (1)问题一：．则A=______，B=______； (2)计算：； (3)问题二：已知，则P=_____，Q=______； (4)已知长和宽分别为a，b的长方形，它的周长为14，面积为10，如图所示，求的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)的值为39 【分析】（1）根据平方差公式的特点：A前面的符号相同，B前面的符号相反，找到A、B即可． （2）将写成的形式，再按照平方差公式进行计算即可． （3）由得，整理即可得P的值，由得，整理即可得Q的值. （4）根据题意得，则，把写成，将整体代入其中即可求出结果． 【详解】（1） ． 故答案为：． （2）原式 ． （3） ． ． 故答案为：． （4）由题意得：，整理得：． 则． 将代入，得 原式 故的值为39． 【点睛】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式．熟练掌握两个公式的特点会灵活变形并掌握整体代入法是解题的关键． 10．如图，，点D是线段上的一个动点，在右侧以为边作正方形；若，，连接．    (1)请用含k，m的代数式表示； (2)若，梯形的面积是三角形面积的4倍，求k的值； (3)下列三个条件：①；②；③，依次为易、中、难，对应的满分值为1分、2分、3分，选择其中一个条件，求三角形的面积（用含k的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3)当选择：①；②时，的面积为；当选择；③时，的面积为或 【分析】（1）观察图形，找出，和之间的数量关系，求出答案； （2）根据已知条件求出梯形的面积和的面积，然后根据梯形的面积是三角形面积的4倍，列出等式，再代入求值即可； （3）选择条件①，根据的面积梯形的面积的面积的面积，列出式子，进行计算；选择条件②，先求出，再根据条件①的思路求解；选择条件③，分两种情况、根据图形面积间的关系求解即可． 【详解】（1），，， ； （2），，，四边形是正方形， ， ， ， 梯形的面积为：，的面积为，梯形的面积是三角形面积的4倍， ， 整理可得， 把代入得： ， 解得：； （3）若选择：①，由（1），， ， 解得：， ，， ，， 梯形的面积为：，的面积为：，的面积为：， 的面积梯形的面积的面积的面积， 的面积为：； 若选择：②，由（1），， ， 解得：， ，， ，， 梯形的面积为：，的面积为：，的面积为：， 的面积梯形的面积的面积的面积， 的面积为：； 若选择：③，分两种情况讨论： （i）点在的外部，由（1），， ， ∵， ∴。 解得：， ∴，，， ，， 梯形的面积为：，的面积为：，的面积为：， 的面积梯形的面积的面积的面积， 的面积为：； （ii）点在的内部， 如图所示：由（1），，    ， ，即， ∴， ， ，，， 的面积，的面积，的面积，正方形的面积， 的面积的面积的面积的面积正方形的面积， 的面积， 综上可知：当选择：①；②时，的面积为；当选择；③时，的面积为或． 【点睛】本题主要考查了整式乘法的应用、一元一次方程的应用，解题关键是理解线段与线段之间数量关系以及图形与图形之间的联系． 二、压轴题型二：相交线与平行线综合，10题，难度四星 11．如图，已知点O为直线上一点，，是的平分线． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，是的平分线，求的度数； (3)在（2）的条件下，是的一条三等分线，若，求的度数． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）由互余得度数，进而由角平分线得到度数，根据可得度数； （2）由角平分线得出，，继而由得出结论． （3），结合已知和可求，再由，根据是的一条三等分线，分两种情况来讨论，即可解答． 【详解】（1）解：，， ， 是的平分线， ， ； 答：的度数为． （2）解：是的平分线． ， 是的平分线， ， ， ， ， 答：的度数为． （3）解：由（2）得； ， ， 又 ， ， ， ， ，， ， 当， ， ， 当， ， ， 故的度数为：或． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、平角的定义及角的和与差，能根据图形确定所求角和已知各角的关系是解此题的关键． 12．长江汛期即将来临，为了便于夜间查看江水及两岸河堤的情况，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯（如图），假定这一带长江两岸河堤是平行的，即，连结，且．灯射线自顺时针旋转至便立即回转，灯射线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视，若灯转动的速度是度秒，灯转动的速度是度秒．    (1)若两灯同时转动，在灯射线第一次转到之前，两灯射出的光线交于点． ①如图，当两灯光线同时转动秒时，求的度数． ②如图，当两灯光线同时转动秒时，过作交于点，求与的比值． (2)若灯射线先转动秒，灯射线才开始转动，在灯射线第一次转到之前，灯转动几秒，两灯的光线互相平行？ 【答案】(1)①；② (2)灯转动秒或秒时，两灯的光束互相平行 【分析】（1）①当转动秒时，有，即有，根据，即可得解； ②过点作，，，，即有，，根据，可得，再根据，可得，即问题得解； （）设灯转动秒，两灯的光束互相平行，灯先转动秒，则转到还需要（秒）即，①当射线第一次垂直时，用时（秒），此时射线共计运动秒，即，即在灯射线到达之前，先证明，即有：，即可求解；②在灯射线到达之后，回到前，根据①中，同理有：，即有：，即可求解；③在灯射线回到后，第二次到前，由题意得：，即可求解，即问题得解． 【详解】（1）两灯速度为：灯转动的速度是度秒，灯转动的速度是度秒． ①当转动秒时，， ∴， ∴， 故答案为：； ②比值为：，理由如下， 如图2，过点作，    ∵， ∴， 两灯光线同时转动秒时，则，， ∴，， ∴， 即， 又∵， 即， 而， ∴ ∴． 即比值为：； （2）两灯速度为：灯转动的速度是度秒，灯转动的速度是度秒． 设灯转动秒，两灯的光束互相平行， 灯先转动秒，则转到还需要（秒） 即， ①当射线第一次垂直时，用时（秒）， 此时射线共计运动秒，即， 即在灯射线到达之前，如图所示，    ∵，， ∴，， ∴， ∴， 即有：， 解得：（秒）； ②如图4，在灯射线到达之后，回到前，    根据①中，同理有： ∵ 即有：， 解得：． ③如图5，在灯射线回到后，第二次到前，    由题意得： ，解得：（舍去）． 综上所述，灯转动秒或秒时，两灯的光束互相平行． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及角的和差关系，厘清角度之间的关系并注意分类讨论是解答本题的关键． 13．如图，直线，一副三角板（，，，）按如图①放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分．    (1)求的度数； (2)如图②，若将绕B点以每秒的速度按逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G）．设旋转时间为t秒； ①在旋转过程中，若边，求t的值； ②若在绕B点旋转的同时，绕E点以每秒的速度按顺时针方向旋转（C、D的对应点分别为K、T），请直接写出与平行时t的值． 【答案】(1) (2)①3或21；②5或17或29 【分析】（1）首先求出，根据角平分线的定义求出，再根据平行线的性质求出，继而可得结果； （2）①分两种情况，画出图形，根据旋转速度以及平行线的性质列出关于t的方程，解之即可；②表示出，，分三种情况，画出图形，根据平行线的性质列出方程，再求解即可． 【详解】（1）解：， ， 平分， ， ， ， ， ． （2）①如图，， ， ， ， ， ．    如图，， ， ∵， ∴， 此时旋转了， ∴， ．   在旋转过程中，若边，的值为3或21． ②如图，延长，与交于H， ，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：；    如图，过点C作， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 解得：；    如图，延长，与交于H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：；    综上：t的值为5或17或29． 【点睛】本题考查几何变换综合题，考查了平行线的性质，旋转变换，角平分线的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题． 14．如图，点O为直线AB上一点，∠BOC＝40°，OD平分∠AOC． (1)求∠AOD的度数； (2)作射线OE，使∠BOE＝∠COE，求∠COE的度数； (3)在（2）的条件下，作∠FOH＝90°，使射线OH在∠BOE的内部，且∠DOF＝3∠BOH，直接写出∠AOH的度数． 【答案】(1)70° (2)24°或120° (3)175°或170°或140° 【分析】（1）根据平角定义和角平分线定义即可得结果； （2）根据题意分两种情况画图：①如图1，当射线OE在AB上方时，②如图2，当射线OE在AB下方时，∠BOE＝∠COE，利用角的和差进行计算即可； （3）根据题意分四种情况画图：①如图3，当射线OE在AB上方，OF在AB上方时，作∠FOH＝90°，使射线OH在∠BOE的内部，∠DOF＝3∠BOH，②如图4，当射线OE在AB上方，OF在AB下方时，③如图5，当射线OE在AB下方，OF在AB上方时，④如图6，当射线OE在AB下方，OF在AB下方时，利用角的和差进行计算即可． 【详解】（1）解：∵∠BOC＝40°， ∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝140°， ∵OD平分∠AOC， ∴∠AOD＝∠AOC＝70°； （2）解：①如图1，当射线OE在AB上方时，∠BOE＝∠COE， ∵∠BOE＋∠COE＝∠BOC， ∴∠COE＋∠COE＝40°， ∴∠COE＝24°； ②如图2，当射线OE在AB下方时，∠BOE＝∠COE， ∵∠COE﹣∠BOE＝∠BOC， ∴∠COE﹣∠COE＝40°， ∴∠COE＝120°； 综上所述：∠COE的度数为24°或120°； （3）解：①如图3，当射线OE在AB上方，OF在AB上方时， 作∠FOH＝90°，使射线OH在∠BOE的内部，∠DOF＝3∠BOH， 设∠BOH＝x°，则∠DOF＝3x°，∠FOC＝∠COD﹣∠DOF＝70°﹣3x°， ∵∠AOH＝∠AOD＋∠DOF＋∠FOH＝70°＋3x°＋90°＝160°＋3x°， ∠EOH＝∠BOC﹣∠COE﹣∠BOH＝40°﹣24°﹣x°＝16°﹣x°， ∴∠FOH＝∠FOC＋∠COE＋∠EOH＝70°﹣3x°＋24°＋16°﹣x°＝90°， ∴x°＝5°， ∴∠AOH＝160°＋3x°＝175°； ②如图4，当射线OE在AB上方，OF在AB下方时， ∵∠AOF＝∠DOF﹣∠AOD＝3x°﹣70°， ∠BOF＝∠FOH﹣∠BOH＝90°﹣x°， ∠AOF＋∠BOF＝180°， ∴3x°﹣70°＋90°﹣x°＝180°， 解得x°＝80°， ∵∠COB＝40°， ∵80°＞40°， ∴x°＝80°不符合题意舍去； ③如图5，当射线OE在AB下方，OF在AB上方时， ∵∠AOF＝∠DOF＋∠AOD＝3x°＋70°， ∠BOF＝∠FOH﹣∠BOH＝90°﹣x°， ∠AOF＋∠BOF＝180°， ∴3x°＋70°＋90°﹣x°＝180°， 解得x°＝10°， ∴∠AOH＝180°﹣∠BOH＝180°﹣x°＝170°； ④如图6，当射线OE在AB下方，OF在AB下方时， ∵∠AOF＝∠DOF﹣∠AOD＝3x°﹣70°， ∠BOF＝∠FOH＋∠BOH＝90°＋x°， ∠AOF＋∠BOF＝180°， ∴3x°﹣70°＋90°＋x°＝180°， 解得x°＝40°， ∴∠AOH＝∠AOF＋∠FOH＝50°＋90°＝140°， 综上所述：∠AOH的度数为175°或170°或140°． 【点睛】本题考查了角的计算，解决本题的关键是分情况画图讨论． 15．如图1，已知直线AMBG，点C为射线BG上一动点，过点C作CDAB交AM于点D，点E在线段AB上，∠DCE＝90°，点F在线段AD上，∠FCG＝90°，点H在线段BC上，∠AHG＝90°，∠ECF＝60°． (1)写出一个与∠ADC相等的角 （写一个即可）； (2)如图2，求∠BCD的度数； (3)若点F是直线AM上的一点，点H是直线BG上的一点，在点C的运动过程中（点C不与点B、H重合），求∠BAF的度数． 【答案】(1)∠DCG (2)120° (3)60°或120° 【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等可得； （2）根据、可得，从而得到； （3）先计算出，根据得，再根据点F在线段AD上和线段AD的左侧两种情况分别计算出的度数． 【详解】（1）∵， ∴， 故答案为：； （2）∵∠ECF＝60°，∠DCE＝90°， ∴∠FCD＝30°， 又∵∠BCF＝∠FCG＝90°， ∴∠BCD＝30°+90°＝120°； （3）如图，当点C在线段BH上时，点F在DA延长线上， ∵∠DCE=90°，∠ECF=60°， ∴∠FCD=30°， ∵∠FCG=90°， ∴∠DCG=60°， ∵ADBC， ∴∠BAF＝∠ABC＝60°； 如图，当点C在BH延长线上时，点F在线段AD上， ∵∠ABC＝60°，ADBC， ∴∠BAF＝180°﹣60°＝120°． 综上所述，∠BAF的度数为60°或120°． 【点睛】此题考查了平行线的性质，解题的关键是熟知两直线平行内错角相等，两直线平行同位角相等，两直线平行，同旁内角互补． 16．已知直线，直线和，分别交于，两点，点，分别在直线，上，且位于直线的右侧，动点在直线上，且不和点，重合． (1)如图1，当动点在线段上运动时，求证：． (2)如图2，当动点在点上方运动时（，，不在同一直线上），请写出，，之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，当动点在点下方运动时（，，不在同一直线上），直接写出，，之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）过点作，即可得，即有，，结合，即可证明； （2）过点作，即可得，即有，，结合，即可证明； （3）过点作，即可得，即有，，结合，即可证明 . 【详解】（1）证明：过点作，如图1， ∵，， ∴， ∴，， 又∵， ∴； （2），理由如下： 过点作，如图2， ∵，， ∴， ∴，． ∵， ∴； （3），理由如下： 过点作，如图3， ∵，， ∴， ∴，． ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，添加合理的辅助线并掌握两直线平行内错角相等是解答本题的关键． 17．如图1，已知直线，点、在直线上，点、在上，线段交线段于点，且． (1)求证：； (2)如图2，当、分别在线段、上，且，，标记为，为． ①若，求的度数； ②当________时，为定值，此时定值为________． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②； 【分析】（1）利用平行线的性质解答即可； （2）①设，，则，，结合平行线的性质，利用方程的思想方法，依据已知条件列出方程组即可求解； ②利用①中的方法，设，，则，，通过计算，令计算结果中的的系数为即可求得结论． 【详解】（1）证明：如图，作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ （2）设，， ∵，， ∴，， ∵， ∴，， 由（1）可得： ，，， ∴， ∴，， ①∵， ∴， ∴，， ∴； ②，定值为，理由如下： 当时，， ∴当时，为定值，此时定值为． 故答案为：；． 【点睛】本题考查平行线的性质．利用方程或方程组的思想解答是解题的关键． 18．如图1，已知直线，，射线从出发，绕点以每秒度的速度按逆时针方向旋转，到达后立即以相同的速度返回，到达后继续改变方向，继续按上述方式旋转；射线从出发，绕点以每秒度的速度按逆时针方向旋转，到达后停止运动，此时也同时停止运动．其中，满足方程组． (1)求，的值； (2)若先运动30秒，然后一起运动，设运动的时间为，当运动过程中时，求的值； (3)如图2，若与同时开始转动，在第一次到达之前，与交于点，过点作于点，交直线于点，则在运动过程中，若设的度数为，请求出的度数（结果用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2)10或66或130或138 (3) 【分析】(1)用加减消元法直接求出a和b的值即可； (2)由题意分四种情况讨论：当0＜t≤45时，NF在MN的左侧，ME在MN的右侧，由∠EMD=∠ANF，可得4t=30+t，解得t=10；当45＜t≤90时，NF在MN的左侧，ME在MN的右侧，可得360-4t=30+t，解得t=66；当90＜t＜135时，NF在MN的右侧，ME在MN的左侧，则4t-360=30+t，解得t=130；当135＜t≤150时，，解得t=138； (3)过点作，如解析图中得到，进而得到，最后利用即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知：， 解得： ． （2）解：由(1)可知，射线绕点以每秒1度的速度按逆时针方向旋转，射线绕点以每秒4度的速度按逆时针方向旋转， 分类讨论：①当时， ，， 当时，， ， 解得； ②当时， ，， 当时，， ， 解得； ③当时， ，， 当时，， ， 解得； ④当时， 当时，， ， 解得； 综上所述，的值为10或66或130或138． （3）解：如图，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴当时，. 【点睛】本题是平行线的综合题，熟练掌握平行线的性质，直角三角形的性质，动点运动过程中的分类讨论求解是解题的关键． 19．问题：已知线段AB∥CD，在AB、CD间取一点P（点P不在直线AC上），连接PA、PC，试探索∠APC与∠A、∠C之间的关系． (1)端点A、C同向： 如图1，点P在直线AC右侧时，∠APC﹣（∠A+∠C）＝ 度； 如图2，点P在直线AC左侧时，∠APC+（∠A+∠C）＝ 度； (2)端点A、C反向： 如图3，点P在直线AC右侧时，∠APC与∠A﹣∠C有怎样的等量关系？写出结论并证明； 如图4，点P在直线AC左侧时，∠APC﹣（∠A﹣∠C）＝ 度． 【答案】(1)0；360 (2)∠APC+∠A﹣∠C＝180°，理由见解析；180 【分析】（1）过点作，分别利用猪脚模型，铅笔模型即可求解； （2）过点作，利用平行线的性质，以及角的和差关系进行计算即可求解． 【详解】（1）解：如图：过点作， ， ， ， ， ， ， 度， 故答案为：0； 如图：过点作， ， ， ， ， ， ， 度， 故答案为：360； （2）解：， 证明：过点作， ， ， ， ， ， ， ； 如图：过点作， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：180． 【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握猪脚模型，铅笔模型来求解角度． 20．如图，点，，，四点共线，点，，，四点共线．，相交于点，点是直线与之间的一个动点，． (1)求证：； (2)若平分，平分，请探索并证明和之间的数量关系； (3)若，，（2）中的结论还成立吗？若成立请证明；若不成立，请写出你认为正确的结论，并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 (3)不成立；，证明见解析 【分析】（1）过点作，根据平行线的性质即可得结论； （2）过点作，过点作，根据平行线的判定和性质以及角平分线的定义可得，，，，则，即可得到和之间的数量关系； （3）过点作，过点作，根据平行线的判定和性质和已知条件，得出，，，，则，从而得到和之间的数量关系． 【详解】（1）证明：如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：，证明如下： 过点作，过点作， 由（1）知：， ∴， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴． （3）如图，（2）中的结论不成立，正确的结论是，证明如下： 过点作，过点作， 由（2）得：，， ∵，， ∴，， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，平行公理的推论，角平分线的定义等知识．正确添加辅助线、熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 三、压轴题型三：三角形综合，20题，难度五星 21．已知，，点P是射线上的一个动点．    (1)如图1，连接，若，，求证：； (2)如图1，连接，若，，则是否成立，若成立，写出证明过程，若不成立，请说明理由； (3)如图2，连接，若，，，射线平分，射线平分，射线与射线相交于点Q，则的度数为． 【答案】(1)见解析 (2)成立，证明见解析 (3)或 【分析】（1）由，，，可依据“”判定和全等； （2）由于，，因此过点B作的延长线，过点作的延长线，可先依据“”判定和全等得，再依据“”判定和全等得，最后再依据“”判定和全等，进而可得出结论； （3）以点E为圆心，以为半径画弧交与点P、，显然，和不全等，然后根据角平分线的定义和三角形的内角和定理分别求出和的度数即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在和中，， ∴； （2）解：成立，证明如下： 延长，过点B作的延长线，垂足为R； 延长，过点作的延长线，垂足为T，    证明：∵， ∴， ∵的延长线，垂足为R，的延长线，垂足为T， ∴， 在和中， ∴， ∴， 在和中的， ∴， ∴， 在和中，， ∴； （3）解：以点E为圆心，以为半径画弧交与点P、，    显然，和不全等， 由，得， 又∵， ∴， ∵射线平分，射线平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的度数为或， 故答案为：或． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理等，解答此题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，特别需要注意的是：已知一个三角形的两边和其中一条边的对角相等时，这两个三角形不一定全等，只有当相等的角是直角或钝角时，这两个三角形才全等． 22．【基础巩固】 （1）如图1，在与中，，，，求证：； 【尝试应用】 （2）如图2，在与中，，，，B、D、E三点在一条直线上，与交于点F，若点F为中点， ①求的大小； ②，求的面积； 【拓展提高】 （3）如图3，与中，，，，与交于点F，，，的面积为18，求的长．    【答案】（1）见解析；（2）①；②；（3）6 【分析】（1）首先得到，然后证明出即可； （2）首先由得到，然后证明出，得到，进而求解即可； （3）连接，首先得到，然后证明出，然后得到，设的长度为a，列方程求解即可． 【详解】解：（1） ∴ 在和中    ∴ （2）① ∴ 在和中 ∴ ∴ ∴ ②作 ∴ 在和中 ∴ ∴ ∴ （3）连接 ∵且 ∴ 在和中 ∴ ∴ 是公共部分， ∴ 设的长度为a， 则，， 故的长度为6． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定． 23．如图①，点N在的延长线上，过点B作．    (1)求证：； (2)由（1）易知，．如图②，过点C作，交的延长线于点D，作交于点E，的平分线与的平分线相交于点F，且，求的度数． (3)如图③，G为的延长线上一点，H为上一点，平分，平分，，试猜想与的关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)的度数为； (3). 【分析】（1）由平行线的性质即可证明； （2）由平行线的性质得到，，由角平分线的定义得到，，再由求解即可； （3）先求得，再求得，据此即可求解. 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵的平分线与的平分线相交于点F， ∴，， ∴ ； （3）解：.理由见解析. ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∵， ∴， ∴. 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键． 24．已知和都是等腰直角三角形，，连接，点F为中点．    (1)如图1，求证：； (2)将绕C点旋转到如图2所示的位置，连接，过C点作于M点． ①探究和的关系，并说明理由； ②连接，求证：F，C，M三点共线． 【答案】(1)见解析 (2)①，理由见解析②见解析 【分析】（1）证明，得到，再根据点F为中点，即可得证； （2）①证明，得到，，设交于点，交于点，根据，得到，即可得出结论；②延长至点，使，连接，证明，进而推出，得到，延长交于点，推出，进而得到点重合，即可得证． 【详解】（1）证明：∵和都是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∵F为中点， ∴； （2）①，理由如下： ∵和都是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∴，， 设交于点，交于点，    则：， ∵， ∴， ∴， 综上：； ②延长至点，使，连接，    ∵F为中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， 延长交于点，则：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点重合，即：F，C，M三点共线． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形判定和性质．熟练掌握手拉手全等模型，倍长中线法构造全等三角形，是解题的关键． 25．直角三角形中，，直线过点． (1)当时，如图，分别过点，作于点，于点． 求证：． (2)当，时，如图，点与点关于直线对称，连接，，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿边向终点运动，同时动点从点出发，以每秒3个单位的速度沿向终点运动，点，到达相应的终点时停止运动，过点作于点，过点作于点，设运动时间为秒． ①______，当在路径上时，______．（用含的代数式表示） ②直接写出当与全等时的值． 【答案】(1)见解析 (2)①， ②或5或． 【分析】 （1）利于同角的余角相等，得到，利用证明三角形全等即可； （2）①利用，求出，利用对称性，得到，利用，求出即可；②分点分别在，四种情况讨论，利用全等三角形对应边相等进行求解即可． 【详解】（1） 证明：∵直线， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴； （2）解：①由题意，得：， ∴， ∵点与点关于直线对称， ∴， ∴， 故答案为：，； ②当与全等时，和是对应边， ∴， 当点在时， ，即：， 解得，不符合题意； 当点在时，此时：， 则：，解得：； 当点在时，此时：， 则：，解得：； 当点在时，此时：， 则：，解得：； 综上：当与全等时，或5或． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等，是解题的关键．注意，分类讨论． 26．如图1，，点P，Q分别在AB，CD上，点E在AB，CD之间．连接PE，QE，． (1)直接写出与的数量关系为____________________； (2)如图2，的平分线PG和的平分线QH的反向延长线相交于点G，求∠G的度数； (3)如图3，M为线段PE上一点，连接QM，和的平分线相交于点N，直接写出和的数量关系为____________________． 【答案】(1) (2)45° (3) 【分析】（1）延长PE交CD于点F，利用平行线的性质得，利用三角形外角的性质得，等量代换可得； （2）过E点作，过G点作，利用平行线的性质可得，，，，，，通过等量代换可得，推出，进而可得； （3）利用角平分线的定义可得，，利用并参照（1）的结论可得，，进而可得，再通过等量代换、角的和差关系可推导出． 【详解】（1）解：如图，延长PE交CD于点F， ∵ ， ∴， ∵ ， ∴， ∵ 是的一个外角， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解： 如图，过E点作，过G点作， ，． ，． ， ，， ，． 又平分和， 设，． ，，． ， ． ， ， ， ． 又． ． （3）解：∵和的平分线相交于点N， ∴，， 由（1）得， ∴， 同（1）可证， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的有关计算，三角形外角的性质等，推导过程较为复杂，利用相关角的关系熟练进行等量代换是解题的关键． 27．和是两个等腰直角三角形，AB=AD，AC=AE，． (1)如图1，判断CD与BE的数量关系和位置关系，并说明理由； (2)如图1，若AB=4，AC=3．则四边形DBCE面积的最大值是______； (3)如图2，过点A作于点P，延长PA交DE于点Q．试说明点Q为DE的中点． 【答案】(1)CD与BE的关系是相等且垂直，理由见解析 (2)24.5 (3)证明见解析 【分析】（1）设CD与BE的交点为点F，设AD与BE的交点为点O，由可证明，从而可利用“SAS”证明，得出BE=CD，．再根据，即可得出，即证明CD与BE的关系是相等且垂直； （2）由（1）可知可知BE=CD，．由，可推出，即可知当CD最大时，四边形DBCE面积最大．因为，即当时，四边形DBCE面积最大，最后代入求值即可； （3）作于点M，于点N．分别证明(AAS)， (AAS)，即得出DM=EN．从而可证明(AAS)，即得出，即点Q为DE中点． 【详解】（1）解：CD与BE的关系是相等且垂直． 理由：设CD与BE的交点为点F，设AD与BE的交点为点O，如图， ∵， ∴，即， 即在和中，， ∴(SAS)， ∴BE=CD，． 又∵， ∴， ∴． ∴CD与BE的关系是相等且垂直； （2）解：由（1）可知BE=CD，． ∴ ， ∴当CD最大时，四边形DBCE面积最大． 由三边关系可知，，即当时， 四边形DBCE面积最大， ∴四边形DBCE面积最大值， 故答案为：24.5； （3）证明：作于点M，于点N，如图． ∵， ∴． ∵，， ∴． ∴， ∴． 又∵， ∴(AAS)， ∴． 同理可证AP=EN， ∴DM=EN． 又∵，． ∴(AAS)， ∴， ∴点Q为DE中点． 【点睛】本题主要考查三角形全等的判定和性质，掌握三角形全等的判定条件，并会连接辅助线构造全等三角形是解题关键． 28．如图，在ΔABC中． AD是BC边上的中线，交BC于点D． (1)如图①，延长AD到点E，使DE=AD，连接BE． 求证：ΔACD≌ΔEBD (2)如图②，若∠BAC=90°，试探究AD与BC有何数量关系，并说明理由． (3)如图③，若CE是边AB上的中线，且CE交AD于点O． 请你猜想线段AO与OD之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)AD=，理由见解析 (3)AO=2OD，理由见解析 【分析】（1）利用SAS可得ΔACD≌ΔEBD； （2）延长AD到点E，使DE=AD，连接BE．先根据△ACD≌△EBD证得∠C = ∠CBE，AC=BE，进而得到AC∥EB， AD=；再证得△ABC≌△BAE（SAS）利用全等三角形全等的性质即可； （3）延长OE到点M，使EM=OE，连接AM．延长OD到点N，使DN=OD，连接BM，BN，BO．证得△MOB≌△NBO(ASA)可得MB=NO，进而得到AO=2OD． 【详解】（1）证明：在△ACD和△EBD中， ∴△ACD≌△EBD（SAS）； （2）解：AD=，理由如下： 延长AD到点E，使DE=AD，连接BE．如图 由（1）得△ACD≌△EBD ∴∠C = ∠CBE，AC=BE ∴AC∥EB， AD= ∴∠BAC+∠ABE=180°， ∵∠BAC=90°， ∴∠ABE=90°， ∴∠BAC=∠ABE 在△ABC和△BAE中 ∴△ABC≌△BAE（SAS） ∴BC=AE， ∴AD= （3）AO=2OD，理由如下： 解：延长OE到点M，使EM=OE，连接AM．延长OD到点N，使DN=OD，连接BM，BN，BO．如图， 由（1）得△AOE≌△BME，△ODC≌△NDB ∴∠AOE=∠BME ，∠OCD=∠NBD，AO=BM ∴AO∥BM ，OC∥NB， ∴∠MBO=∠BON ，∠MOB =∠NBO 在△MOB和△NBO中 ， ∴△MOB≌△NBO(ASA) ∴MB=NO ∴AO=2OD 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，三角形的中线，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 29．在中，，点是直线上一点，连接，以为边向右作，使得，，连接． (1)如图1，当点在边上时， ①若时，则____________°； ②若时，则____________°； ③观察以上结果，猜想与的数量关系，并说明理由． (2)当点在的延长线上时，请判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①140；②100；③，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）证，推出，代入求出即可求出即可； （2）由已知条件可得证出，，推出，根据三角形外角性质即可得证． 【详解】（1）①∵， ∴，即． 在和中， ∴． ∴， ∴， ∴， 当时，． 故答案为：140． ②由①可得：， 当时，． 故答案为：100． ③． 方法一： ∵， ∴，即． 在和中，， ∴， ∴， ∴． 方法二： ∵， ∴，即． 在和中， ∴， ∴． ∵，∴， ∴，∴， ∴． 即． （2）． ∵， ∴，即． 在和中， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形的外角性质等知识；本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 30．如图1，在四边形ABDC中，，，点E是AC上一点，点F是AB的延长线上一点，且． (1)试说明：． (2)如图2，若点G在AB上，且，试猜想CE，EG，BG之间的数量关系，并加以说明． (3)如图3，若题目中的改成，，点G在AB上，则满足什么条件时，（2）中的结论仍然成立？（直接写出条件即可）（提示：四边形的内角和等于360°） 【答案】(1)见解析 (2)．理由见解析 (3) 【分析】（1）先证，再利用SAS证明即可； （2）利用（1）的结论，先证，再利用SAS证明，得到，通过等量代换即可得出； （3）根据（2）的证明过程可知，成立时，需满足， ，此时． 【详解】（1）证明：∵ 四边形ABDC的内角和等于360°， ∴， 又∵ ， ∴， ∵ ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：．理由如下： 由（1）知， ∴， ∵ ，， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴； （3）解：时，（2）中结论仍然成立． 理由如下： ∵ ，， ∴， 同（1）可证， ∴，， ∵ ，， ∴， ∴， 即， 同（2）可证，在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴． 【点睛】本题考查角的和差以及全等三角形的判定与性质，第3问有一定难度，能够类比第2问的证明过程，推出规律是解题的关键． 31．在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D为BC上一点， BF⊥AD于点E，交AC于点F，连接DF． (1)如图①，当AD平分∠BAC时， ① AB与AF相等吗？为什么？ ②判断DF与AC的位置关系，并说明理由； (2)如图②，当点D为BC的中点时，试说明：∠FDC＝∠ADB． 【答案】(1)①，理由见解析；②，理由见解析； (2)见解析 【分析】（1）①证明，即可推出； ②根据垂直平分可得，进而证明，可得，即可求解． （2）过点作，交的延长线于点，证明,可得，进而证明，得出，根据同角的余角相等，可得，等量代换可得∠FDC＝∠ADB． 【详解】（1）①，理由如下， AD平分∠BAC， ， BF⊥AD， ， 又， ， ； ②，理由如下， ， ， 又， ， 在与中 ， ， ， ， 即； （2）过点作，交的延长线于点，如图， ， ，， ， ， 又， ， ， 点D为BC的中点， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， ∠FDC＝∠ADB． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 32．（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D，E．求证：． （2）组员小明想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D，A，E三点都在直线l上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过的边AB，AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高．延长HA交EG于点I．若，则______． 【答案】（1）见解析；（2）结论成立，理由见解析；（3）3.5 【分析】（1）由条件可证明△ABD≌△CAE，可得DA=CE，AE=BD，可得DE=BD+CE； （2）由条件可知∠BAD+∠CAE=180°-α，且∠DBA+∠BAD=180°-α，可得∠DBA=∠CAE，结合条件可证明△ABD≌△CAE，同（1）可得出结论； （3）由条件可知EM=AH=GN，可得EM=GN，结合条件可证明△EMI≌△GNI，可得出结论I是EG的中点． 【详解】解：（1）证明：如图1中，∵BD⊥直线l，CE⊥直线l， ∴∠BDA=∠CEA=90°， ∵∠BAC=90°， ∴∠BAD+∠CAE=90°， ∵∠BAD+∠ABD=90°， ∴∠CAE=∠ABD， 在△ADB和△CEA中， ， ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴AE=BD，AD=CE， ∴DE=AE+AD=BD+CE． （2）解：成立． 理由：如图2中， ∵∠BDA=∠BAC=α， ∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α， ∴∠DBA=∠CAE， 在△ADB和△CEA中， ， ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴AE=BD，AD=CE， ∴DE=AE+AD=BD+CE． （3）如图3，过E作EM⊥HI于M，GN⊥HI的延长线于N． ∴∠EMI=∠GNI=90° 由（1）和（2）的结论可知EM=AH=GN ∴EM=GN 在△EMI和△GNI中， ， ∴△EMI≌△GNI（AAS）， ∴EI=GI， ∴I是EG的中点． ∴S△AEI=S△AEG=3.5． 故答案为：3.5． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 33．（1）问题引入：如图1，点F是正方形ABCD边CD上一点，连接AF，将ADF绕点A顺时针旋转90°与ABG重合（D与B重合，F与G重合，此时点G，B，C在一条直线上），∠GAF的平分线交BC于点E，连接EF，判断线段EF与GE之间有怎样的数量关系，并说明理由． （2）知识迁移：如图2，在四边形ABCD中，∠ADC+∠B＝180°，AB＝AD，E，F分别是边BC，CD延长线上的点，连接AE，AF，且∠BAD＝2∠EAF，试写出线段BE，EF，DF之间的数量关系，并说明理由． （3）实践创新：如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AC平分∠DAB，点E在AB上，连接DE，CE，且∠DAB＝∠DCE＝60°，若DE＝a，AD＝b，AE＝c，求BE的长．（用含a，b，c的式子表示） 【答案】（1）EF＝GE，理由见详解；（2）BE−DF＝EF，理由见详解；（3）BE＝，理由见详解 【分析】（1）根据SAS直接可证△GAE≌△FAE即得GE＝EF； （2）在BE上取BG＝DF，连接AG，由∠ADC＋∠B＝180°，∠ADF＋∠ADC＝180°，得∠B＝∠ADF，从而SAS证△ABG≌△ADF，再通过SAS证△GAE≌△FAE，得GE＝EF，从而解决问题； （3）作CF⊥AD，交AD的延长线于F，取FG＝BE，连接CG，由（2）同理可两次全等证明出DE＝GD即可． 【详解】解：（1）EF＝GE，理由如下： ∵△ADF绕点A顺时针旋转90°与△ABG重合， ∴AG＝AF， ∵AE平分∠GAF， ∴∠GAE＝∠FAE， 在△GAE和△FAE中， ， ∴△GAE≌△FAE（SAS）， ∴GE＝EF； （2）BE−DF＝EF，理由如下： 如图2，在BE上取BG＝DF，连接AG， ∵∠ADC＋∠B＝180°，∠ADF＋∠ADC＝180°， ∴∠B＝∠ADF， 在△ABG和△ADF中， ， ∴△ABG≌△ADF（SAS）， ∴∠BAG＝∠FAD，AG＝AF， ∵∠BAD＝2∠EAF， ∴∠GAF＝2∠EAF， ∴∠GAE＝∠EAF， 在△GAE和△FAE中 ， ∴△GAE≌△FAE（SAS）， ∴GE＝EF， ∴BE−DF＝EF； （3）如图，作CF⊥AD，交AD的延长线于F，取FG＝BE，连接CG， ∵AC平分∠BAD，CF⊥AF，CB⊥AB， ∴CF＝CB，∠EBC＝∠GFC， ∵BE＝GF， ∴△CBE≌△CFG（SAS）， ∴∠BCE＝∠FCG，CG＝CE， ∵∠DAB＝60°， ∴∠FCB＝120°， ∵∠DCE＝60°， ∴∠DCF＋∠BCE＝60°， ∴∠DCG＝60°， 又∵CG＝CE， ∴△ECD≌△GCD（SAS）， ∴GD＝DE， ∵Rt△ACF≌Rt△ACB（HL）， ∴AF＝AB， ∴b＋a−BE＝c＋BE， ∴BE＝． 【点睛】本题主要考查了全等的判定与性质，结合问题引入，构造出全等三角形是解题的关键． 34．如图，在中，AB＝AC，BC＝8厘米，点D为AB上一点且BD=5厘米．点P在线段BC上由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动．设运动时间为t秒． （1）若点P的速度为2厘米/秒，用含t的式子表示CP的长为 厘米． （2）在（1）的条件下，若点Q与点P的运动速度相等，经过几秒钟BPD与CQP全等？ （3）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，且点P的速度比点Q的速度慢1厘米/秒时，请求出点Q的运动速度为多少时，能够使BPD与CQP全等． 【答案】（1）（8﹣2t）；（2）1.5秒钟；（3）5厘米/秒 【分析】1）先表示出BP，根据PC＝BC﹣BP，可得出答案； （2）根据速度相同可知当BD＝CP＝5时，△BPD与△CQP全等，列出方程即可． （3）根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据路程＝速度×时间公式，先求得点P运动的时间，再求得点Q的运动速度． 【详解】解：（1）BP＝2t，则PC＝BC﹣BP＝8﹣2t； 故答案为：（8﹣2t）． （2）∵点Q与点P的运动速度相等                      ∴BP＝CQ＝2t ∵AB＝AC ∴∠B＝∠C ∴当BD＝CP＝5时，△BPD与△CQP全等 ∴8-2t＝5 ∴t＝1.5                                                          ∴经过1.5秒钟△BPD与△CQP全等 （3）设Q的速度为a厘米/秒，则P的速度为（a﹣1）厘米/秒， ∵点Q的运动速度与点P的运动速度不相等 ∴BP≠CQ， ∴当BP＝CP，BD＝CQ时，△BPD与△CQP全等 ∵BP+CP＝BC＝8， ∴BP＝PC＝4， ∴at＝5，（a﹣1）t＝4， ∴t＝1，a＝5                                                      即Q的速度是5厘米/秒时，△BPD≌△CPQ． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定，解题关键是会用速度和时间来表示线段长，熟练运用全等三角形的判定和性质列方程． 35．在中，． （1）如图1、求证：： （2）如图2，D为AB上一点，连接CD，E为CD中点，过点E作于点E，连接，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，过点F作于点H，连接AF，若AF∥BC，FH=4，CH=20，BD=10，求的面积 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）30 【分析】（1）过点A作于点，只需要证明即可得到答案； （2）只需要证明即可得到答案； （3）过点作延长线于点，然后证明， ，然后计算求解即可得到答案. 【详解】解：（1）证明：过点A作于点， ， ， 在和中， （2）证明： ， ， 为中点， 在和中， （3）过点作延长线于点， ， ， ， ， 在和中， 在和中， ， ， ， 的面积． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形的面积公式，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定. 36．在四边形ABCD中，AE平分∠BAD交CD于点E，与BC的延长线交于点F，∠CBA﹣∠D＝∠BAD，且AB＝AE，AB与DC的延长线交于点G． （1）如图1，求证：AF＝AG； （2）如图2，连接AC，求证：∠DAC＝3∠CAB； （3）如图3，过点E作EH⊥AB于点H，若BF＝2ED，△ABF的面积为28，EH＝4，求AD的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）7 【分析】（1）由AE平分∠BAD，得∠EAG＝∠EAD＝∠BAD；由∠CBA-∠D＝∠BAD，得∠CBA＝∠BAD+∠D＝∠EAD+∠D＝∠AEC，通过证明△ABF≌△AEG，即可得到AF＝AG； （2）由△ABF≌△AEG，得∠G＝∠F；由AG＝AF，得BG＝EF，通过证明△BGC≌△EFC，得BC＝EC，再通过证名△ABC≌△AEC，得∠CAB＝∠CAE＝∠EAG；结合∠EAG＝∠EAD，通过计算即可完成证明； （3）过点A作AN⊥GD于点N，过点E作EK⊥AD于点K；由△ABF≌△AEG，得BF＝EG，S△ABF＝S△AEG；根据BF＝2ED，得EG＝2ED；根据S△AEG＝EG•AN，S△AED＝ED•AN，得S△AEG：S△AED＝EG：ED＝2：1，从而得出S△AED＝S△AEG＝S△ABF＝14，通过计算即可得到答案． 【详解】（1）如图1， ∵AE平分∠BAD， ∴∠EAG＝∠EAD＝∠BAD， ∵∠CBA﹣∠D＝∠BAD． ∴∠CBA＝∠BAD+∠D＝∠EAD+∠D＝∠AEC，即 在△ABF和△AEG中 ∴△ABF≌△AEG（ASA）， ∴AF＝AG； （2）证明：如图2， ∵△ABF≌△AEG， ∴∠G＝∠F， ∵AG＝AF，AB＝AE ∴AG﹣AB＝AF﹣AE， ∴BG＝EF， 在△BGC和△EFC中 ∴△BGC≌△EFC（AAS）， ∴BC＝EC， 在△ABC和△AEC中， ∴△ABC≌△AEC（SSS）， ∴∠CAB＝∠CAE＝∠EAG， ∵∠EAG＝∠EAD， ∴∠DAC＝∠EAD+∠EAC＝2∠CAB+∠CAB＝3∠CAB，即∠DAC＝3∠CAB； （3）如图3，过点A作AN⊥GD于点N，过点E作EK⊥AD于点K， ∵△ABF≌△AEG， ∴BF＝EG，S△ABF＝S△AEG， ∵BF＝2ED， ∴EG＝2ED， ∵S△AEG＝EG•AN，S△AED＝ED•AN， ∴S△AEG：S△AED＝EG：ED＝2：1， ∴S△AED＝S△AEG＝S△ABF＝14， ∵AE平分∠BAD，EH⊥AB，EK⊥AD， ∴EH＝EK， ∵EH＝4， ∴EK＝4， ∵S△AED＝14＝AD•EK， ∴AD＝7． 【点睛】本题考查了全等三角形、角平分线的知识；解题的关键是熟练掌握全等三角形、角平分线的性质，从而完成求解． 37．已知：等边中，点是边三边垂直平分线的交点，点，分别在直线，上， （1）如图， ； （2）如图，点、分别在边、上时，，求的度数； （3）当点在边上，点在的延长线上时，，请你在图中补全图形，标出相应字母，此时线段、、三者的数量关系是怎样的？并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据等边三角形的性质计算即可； （2）在CB上截取，连接OM，根据已知条件证明，得到，再根据得到，即可得解； （3）根据描述确定点D、E，延长CA，截取，根据条件可得到，得到，，根据得到，从而证得，即可得解； 【详解】（1）∵是等边三角形，点是边三边垂直平分线的交点， ∴OA平分，OC平分， ∴， ∴； 故答案是； （2）在CB上截取，连接OM， ∵是等边三角形，点是边三边垂直平分线的交点， ∴，， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）根据题意作图如下，延长CA，截取， 由（1）知，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即； 【点睛】本题主要考查了三角形全等的综合应用，结合三角形内角和定理计算是解题的关键． 38．【问题背景】如图1，∠DAB是△ABC的一个外角．求证：∠DAB＝∠B+∠C； 【尝试应用】如图2，直线l1与直线l2相交于点O，夹角为α，点B在点O右侧，点C在l1上方，点A在O点左侧运动，点E在射线CO上运动（不与C、O重合）． ①当α＝60°时，AG平分∠EAB，EF平分∠AEC交直线AG于点G，求∠AGE； 【拓展创新】②如图3，点E在线段CO上运动（不与C、O重合），∠AEF＝n∠AEC，∠EAG＝m∠EAB，m+2n＝1，EF交AG于点G，当n为何值时，∠AGE不随∠EAB的变化而变化，并用含α的代数式表示∠AGE的值（写出解答过程）．当点E在线段CO的延长线上时（其他条件不变），直接写出∠AGE＝　 　． 【答案】【问题背景】证明见解析，【尝试应用】①60°或120°，【拓展创新】②，60°﹣α，过程见解析，120°+α． 【分析】【问题背景】∵根据三角形内角和定理证明即可； 【尝试应用】①分两种情形，根据三角形的内角和与角平分线的定义可得答案； 【拓展创新】②由∠AEF＝n∠AEC，∠EAG＝m∠EAB可表示出∠AGE，再利用m+2n＝1经过整理可得结论． 【详解】解：【问题背景】∵∠DAB+∠BAC＝180°，∠BAC+∠B+∠C＝180°． ∴∠DAB＝∠B+∠C； 【尝试应用】①当点E在点O的上方时， ∵α＝60°， ∴∠AOE＝120°， ∵AG平分∠EAB，EF平分∠AEC， ∴∠EAB＝2∠1，∠AEC＝2∠3， 由三角形外角的性质可得： ∠AEC＝∠EAB+120°，∠3＝∠1+∠AGE， ∴2∠AGE＝120°，即∠AGE＝60°． 当点E在点O的下方时，如图中，可得∠AGE＝180°﹣（∠GAE+∠GEA）＝180°﹣（∠OAE+∠OEA）＝120° 综上所述，∠AGE＝60°或120°． 【拓展创新】②由题意得，∠AEF＝n∠AEC，∠EAG＝m∠EAB，∠EAB+∠AEO＝α， 由外角的性质可得： ∠AEF＝∠AGE+∠EAG，∠AEC＝∠AOE+∠EAB＝180°﹣α+∠EAB， ∴（n﹣1）∠AEC＝∠AGE﹣（180°﹣α）+（m﹣1）∠EAB， ∵m+2n＝1， ∴m＝1﹣2n， ∴∠AGE＝n（180°﹣α）+（3n﹣1）∠EAB， 当3n﹣1＝0时，即n＝时，∠AGE为定值， ∠AGE＝（180°﹣α）＝60°﹣α． 当点E在线段CO的延长线上时， 若AG与EF在直线AE异侧，如图： 由题意得，∠AEF＝n∠AEC，∠EAG＝m∠EAB，∠EAB+∠AEC＝180°﹣α， 由外角的性质可得： ∠AEF＝∠AGE+∠EAG，∠AEC＝180°﹣∠AOE﹣∠EAB＝180°﹣α﹣∠EAB， ∴（n﹣1）∠AEC＝∠AGE﹣（180°﹣α）+（m+1）∠EAB， ∵m+2n＝1， ∴m＝1﹣2n，且m、n均为正数， ∴∠AGE＝n（180°﹣α）+（n﹣1）∠EAB， 当n﹣1＝0时，即n＝1时，1﹣2n＝﹣1，故舍去． 若AG与EF在直线AE同侧，如图： 由题意得，∠AEF＝n∠AEC，∠EAG＝m∠EAB，∠EAB+∠AEC＝180°﹣α， 由三角形内角和可得： ∠AEF＝180°﹣∠EAG﹣∠AGE，∠AEC＝180°﹣∠AOE﹣∠EAB＝180°﹣α﹣∠EAB， ∴（n﹣1）∠AEC＝α﹣∠AGE+（1﹣m）∠EAB， ∵m+2n＝1， ∴m＝1﹣2n， ∴∠AGE＝n（α﹣180°）+180°+（3n﹣1）∠EAB， 当3n﹣1＝0时，即n＝时，∠AGE为定值， ∠AGE＝（α﹣180°）+180°＝120°+α． 故答案为：120°+α． 【点睛】本题考查三角形的内角和、三角形外角的性质、角平分线的定义，熟练的掌握三角形的内角和定理是解题关键． 39．直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝α，点F在直线AB上且在点O的右侧，点E在直线CD上（点E与点O不重合），连接EF，直线EM、FN交于点G． （1）如图1，若点E在射线OC上，α＝60°，EM、FN分别平分∠CEF和∠AFE，求∠EGF的度数； （2）如图2，点E在射线OC上，∠MEF＝m∠CEF，∠NFE＝（1﹣2m）∠AFE，若∠EGF的度数与∠AFE的度数无关，求m的值及∠EGF的度数（用含有α的代数式表示）； （3）如图3，若将（2）中的“点E在射线OC上”改为“点E在射线OD上”，其他条件不变，直接写出∠EGF的度数（用含有a的代数式表示） 【答案】（1）∠EGF＝60°；（2）m＝，∠EGF＝60°﹣α；（3）∠EGF＝120°+α，见解析． 【分析】（1）利用三角形外角的性质以及角平分线的性质求解； （2）（3）利用三角形外角的性质，得出∠EGF与∠AFE的关系式，进而求解． 【详解】（1）∵EM、FN分别平分∠CEF和∠AFE， ∴∠MEF＝∠CEF，∠EFG＝∠AFE， ∵∠EGF＝∠MEF﹣∠EFG， ∴∠EGF＝∠CEF﹣∠AFE＝（∠CEF﹣∠AFE）＝∠COF， 而∠AOC＝α＝60°， ∴∠COF＝180°﹣60°＝120°， ∴∠EGF＝60°； （2）∵∠CEF﹣∠AFE＝∠COF＝180°﹣α， ∴∠CEF＝180°﹣α+∠AFE， ∵∠MEF＝m∠CEF， ∴∠MEF＝m（180°﹣α+∠AFE）， ∵∠EGF＝∠MEF﹣∠NFE， ∴∠EGF＝m（180°﹣α+∠AFE）﹣（1﹣2m）∠AFE＝m（180°﹣α）+（3m﹣1）∠AFE， ∵∠EGF的度数与∠AFE的度数无关， ∴3m﹣1＝0，即m＝， ∴∠EGF＝（180°﹣α）＝60°﹣α； （3）∵∠BOC＝∠CEF+∠AFE＝180°﹣α， ∴∠CEF＝180°﹣α﹣∠AFE， ∴∠MEF＝m∠CEF＝m（180°﹣α﹣∠AFE）， 而∠NFE＝（1﹣2m）∠AFE， ∴∠EGF＝180°﹣∠MEF﹣∠NFE＝180°﹣m（180°﹣α﹣∠AFE）﹣（1﹣2m）∠AFE＝180°﹣m（180°﹣α）+（3m﹣1）∠AFE， ∵∠EGF的度数与∠AFE的度数无关， ∴3m﹣1＝0，即m＝， ∴∠EGF＝180°﹣（180°﹣α）＝120°+α． 【点睛】本题重点考察三角形外角的性质，熟练掌握是解决问题的关键． 40．如图1，∠ABC＝90°，FA⊥AB于点A，D是线段AB上的点，AD＝BC，AF＝BD． （1）判断DF与DC的数量关系为 　 　，位置关系为 　 　． （2）如图2，若点D在线段AB的延长线上，过点A在AB的另一侧作AF⊥AB，并截取AF＝BD，连接DC、DF、CF，试说明（1）中结论是否成立，并说明理由． （3）若点D在线段AB外，点E是BC延长线上一点，且CE＝BD，连接AE，与DC的延长线交于点P，直接写出∠APC的度数． 【答案】（1）DF=CD，CD⊥DF；（2）成立，理由见解析；（3）45° 【分析】（1）利用SAS证明△FAD≌△DBC，再利用全等三角形的性质得出FD=DC，∠ADF=∠BCD，由∠BCD+∠CDB=90°得∠ADF+∠CDB=90°，即可证得DF=CD且CD⊥DF； （2）由已知证明△FAD≌△DBC，得到DF=DC，∠FDA=∠DCB，由∠DCB+∠BDC=90°，得到∠FDA+∠BDC=90°，所以∠FDC=90°； （3）过点A作AF⊥AB，并截取AF=BD，连接DF，CF，AC，由△CDF为等腰直角三角形得到∠DCF=45°，证明△AFC≌△CEA得到∠CAE=∠ACF，推出∠APC=∠FCD即可． 【详解】解：（1）∵AF⊥AB， ∴∠DAF=90°， 在△ADF和△BCD中， ， ∴△ADF≌△BCD（SAS）， ∴DF=CD，∠ADF=∠BCD， ∵∠BCD+∠CDB=90°， ∴∠ADF+∠CDB=90°，即∠CDF=90°， ∴CD⊥DF． 故答案为：DF=CD，CD⊥DF； （2）成立，理由如下： ∵AF⊥AB， ∴∠DAF=90°， 在△ADF和△BCD中， ， ∴△ADF≌△BCD（SAS）， ∴DF=CD，∠ADF=∠BCD， ∵∠BCD+∠CDB=90°， ∴∠ADF+∠CDB=90°，即∠CDF=90°， ∴CD⊥DF； （3）如图，由题意，过点A作AF⊥AB，并截取AF=BD，连接DF，CF，AC， 由（1）得△CDF为等腰直角三角形， ∴∠DCF=45°， ∵∠FAD=∠ABC=90°， ∴AF∥CE， ∴∠FAC=∠ACE， ∵AF=BD，CE=BD， ∴AF=CE，又AC=AC， ∴△AFC≌△CEA（SAS）， ∴∠CAE=∠ACF， ∴FC∥AE， ∴∠APC=∠FCD， ∴∠APC=∠FCD=45°． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，解决本题的关键是作出辅助线，构造全等三角形． 四、压轴题型四：轴对称综合，10题，难度四星 41．如图（1）所示为长方形纸带，将纸带沿EF折叠成图（2）；再沿BF折叠成图（3）；继续沿EF折叠成图（4）按此操作，最后一次折叠后恰好完全盖住∠EFG，整个过程共折叠了9次，问图（1）中∠DEF的度数是（　　） A．20° B．19° C．18° D．15° 【答案】C 【分析】根据最后一次折叠后恰好完全盖住∠EFG；整个过程共折叠了9次，可得CF与GF重合，依据平行线的性质，即可得到∠DEF的度数． 【详解】解：设∠DEF＝α，则∠EFG＝α， ∵折叠9次后CF与GF重合， ∴∠CFE＝9∠EFG＝9α， 如图（2），∵CFDE， ∴∠DEF+∠CFE＝180°， ∴α+9α＝180°， ∴α＝18°， 即∠DEF＝18°． 故选：C． 【点睛】本题考查了翻折变换以及矩形的性质，解题的关键是找出∠DEF+∠CFE＝180°．解决该题型题目时，根据翻折变换找出相等的边角关系是关键． 42．把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠成图①，再沿HF折叠成图②，若∠DEF＝β（0°＜β＜90°），用β表示∠C''FE，则∠C''FE＝ ． 【答案】 【分析】先利用平行线的性质得到，，再根据折叠的性质得到，所以，接着再利用折叠的性质得到，然后计算即可． 【详解】四边形为长方形， ， ，， 方形纸条沿折叠成图①， ， ， 长方形沿折叠成图②， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等． 43．如图，将沿着过中点的直线折叠，使点落在边上的处，称为第1次操作，到折痕的距离记为；还原纸片后，再将沿着过中点的直线折叠，使点落在边上的处，称为第2次操作，到折痕的距离记为；按上述方法不断操作下去，经过第2019次操作后，到折痕的距离记为，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】连接AA1, 根据中点的性质及折叠的性质可得DA=DA1=DB，从而可得∠ADA1=2∠B，结合折叠的性质，∠ADA1=2∠ADE，可得∠ADE=∠B，又由DE∥BC，即DE是△ABC的中位线，可得AA1⊥BC;则有AA1=4，求出h=4-2=2，同理求出h2,h3,h4，总结出规律即可解答． 【详解】解：连接AA1 由折叠的性质可得：AA1⊥DE,DA=DA1 又∵D是AB中点， ∴DA=DB ∴DB=DAl ∴∠BA1D=∠B ∴∠ADA1=2∠B 又∵：∠ADA1=2∠ADE ∴∠ADE=∠B ∵DE∥BC ∴ AA1⊥BC ∴ h1=AA1=2,即AA1=4 同理h2=4×，h3=4×……=4×= 故答案为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、三角形中位线的性质、平行线等分线段定理等知识点，根据题意找出规律是解题的关键． 44．综合与实践 问题情境： 数学课上，同学们以“长方形纸带的折叠”为主题开展数学活动，已知长方形纸带的边，将纸片沿折痕折叠，点，分别为点，，线段与交于点（说明：折叠后纸带的边始终成立）    操作探究： (1)如图，若，则的度数为______°． (2)如图，改变折痕的位置，其余条件不变，小彬发现图中始终成立，请说明理由； (3)改变折痕的位置，使点恰好落在线段上，然后继续沿折痕折叠纸带，点，分别在线段和上． ①如图，点的对应点与点重合，点的对应点为点若，直接写出的度数． ②如图，点，的对应点分别为点，，点，均在上方，若，，当时，直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)45 (2)说明理由见解析 (3)①；② 【分析】（1）由，证明，由折叠知，，可得，结合，从而可得答案； （2）由，可得，由，可得，从而可得答案； （3）①：由折叠得出，同理得出，即可得出结论； ②：同①的方法得，，，由平行得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：在长方形中，， ， 由折叠知，， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：∵， ， ∵， ， ； （3）解：①：由折叠知，， ， ， 同理：， ； ②：同①的方法得，，， ∴， ， ， ． 【点睛】此题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，垂直的定义，三角形的内角和定理，掌握折叠的性质是解本题的关键． 45．阅读理解：如图1，在ABC中，D是BC边上一点，且，试说明． 解：过点A作BC边上的高AH， ∵，， ∴， 又∵， ∴． 根据以上结论解决下列问题：如图2，在ABC中，D是AB边上一点，且CD⊥AB，将ACD沿直线AC翻折得到ACE，点D的对应点为E，AE，BC的延长线交于点F，AB＝12，AF＝10． （1）若CD＝4，求ACF的面积； （2）设△ABF的面积为m，点P，M分别在线段AC，AF上． ①求PF+PM的最小值（用含m的代数式表示）； ②已知，当PF+PM取得最小值时，求四边形PCFM的面积（用含m的代数式表示）． 【答案】（1）20；（2）①m；②m 【分析】（1）根据已知条件，由三角形的面积公式直接求△ACF的面积； （2）①作点M关于直线AC的对称点N，连接PN、FN，可得当点P落在FN上且FN⊥AB时，PF+PM的值最小，为此时FN的长，根据△ABF的面积为m，将FN用含m的式子表示即可； ②先将△AFC的面积用m表示，再由求出AM的长，得AN＝AM＝4，可得S△AFN＝m，由S△APM＝S△APN，，求出S△APM，由S四边形PCFM＝S△AFC﹣S△APM即可求出S四边形PCFM． 【详解】解：（1）∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝90°， 由翻折得，CE＝CD＝4，∠AEC＝∠ADC＝90°， ∴CE⊥AF， ∵AF＝10， ∴S△ACF＝AF•CE＝×10×4＝20． （2）①如图2，作MN⊥AC于点O，交AB于点N，连接FN、PN， ， 由翻折得，∠OAM＝∠OAN， ∵AO＝AO，∠AOM＝∠AON＝90°， ∴△AOM≌△AON（ASA）， ∴OM＝ON，AM＝AN， ∴AC垂直平分MN， ∴PM＝PN， ∴PF+PM＝PF+PN≥FN， ∴当点P落在FN上且FN⊥AB时，PF+PM的值最小，为此时FN的长； 如图3，FN⊥AB于点N，交AC于点P，PM⊥AF， 由S△ABF＝AB•FN＝m，得×12FN＝m， 解得，FN＝m， 此时PF+PM＝FN＝m， ∴PF+PM的最小值为m． ②如图4，当PF+PM取最小值时，FN⊥AB于点N，交AC于点P，PM⊥AF， 设CD＝CE＝a，PM＝PN＝x， ∵AB＝12，AF＝10， ∴， ∴S△AFC＝S△ABF＝m； ∵， ∴AM＝AF＝×10＝4， ∴AN＝AM＝4， ∴BN＝12＝4＝8， ∴， ∴S△AFN＝S△ABF＝m， 由S△APM＝×4x，S△APN＝×4x，得S△APM＝S△APN， 设S△APM＝S△APN＝2n， ∵， ∴S△FPM＝3n， 由S△APN+S△APM+S△FPM＝S△AFN＝m， 得2n+2n+3n＝m， ∴n＝m， ∴S△APM＝2n＝m， ∴S四边形PCFM＝m-m＝m． 【点睛】此题重点考查用面积的方法求线段的比、全等三角形的判定与性质、轴对称的性质及以求线段的和的最小值问题等知识与方法，解题的关键是正确地理解和运用“阅读理解”中介绍的方法和结论，此题属于考试压轴题． 46．已知：M、N分别是∠AOB的边OA、OB上的定点， （1）如图1，若∠O=∠OMN，过M作射线MDOB(如图)，点C是射线MD上一动点，∠MNC的平分线NE交射线OA于E点．试探究∠MEN与∠MCN的数量关系； （2）如图2，若P是线段ON上一动点，Q是射线MA上一动点．∠AOB=20，当MP+PQ+QN取得最小值时，求∠OPM+∠OQN的值． 【答案】（1）∠MCN =2∠MEN，理由见解析；（2）∠OPM+∠OQN． 【分析】（1）根据角平分线的性质以及平行线的性质得到∠1=∠2，∠MCN=∠CNB，∠O=∠OMN=∠4，利用三角形的外角性质得到2∠2+∠MCN=2∠O①和∠2+∠MCN =∠O+∠MEN②，计算可得∠MCN =2∠MEN； （2）过作点M关于OB的对称点M1，作点N关于OA的对称点N1，连接M1N1交OA于点Q，交OB于点P，根据轴对称的性质得到PM+PQ+NQ的最小值为M1N1，利用轴对称的性质和三角形的外角性质即可计算得到∠OPM+∠OQN． 【详解】解：（1）∠MCN =2∠MEN，理由如下： 如图， ∵NE是∠MNC的平分线，MDOB，∠O=∠OMN， ∴∠1=∠2，∠MCN=∠CNB，∠O=∠OMN=∠4， 在△OMN中，∠MNB=∠O+∠OMN， ∴∠1+∠2+∠MCN=2∠O，即2∠2+∠MCN=2∠O①， 又∠3=∠2+∠MCN =∠4+∠MEN，即∠2+∠MCN =∠O+∠MEN②， 由①②得：∠MCN =2∠MEN； （2）如图，过作点M关于OB的对称点M1，作点N关于OA的对称点N1，连接M1N1交OA于点Q，交OB于点P， ∴PM+PQ+NQ=PM1+PQ+QN1， 由两点之间，线段最短，可得PM+PQ+NQ的最小值为M1N1， 由对称的性质，知：∠MPO=∠M1PO，∠NQA=∠N1QA， 设∠OQP=，∠ONQ=， 由对顶角的性质得∠MPO=∠M1PO=∠QPN，∠NQA=∠N1QA=∠OQP=， 在△OQN中，∠NQA=∠O+∠ONQ，即， 在△OPQ中，∠QPN =∠O+∠OQP，即∠OPM， ∠OQN=180°-∠NQA=180°， ∴∠OPM+∠OQN=160°． 【点睛】本题主要考查了轴对称-最短路径问题，平行线的性质，角平分线的定义，掌握轴对称-最短路径的确定方法是解题的关键． 47．如图1，三角形中，，，．点D是边上的定点，点E在边上运动，沿折叠三角形，点C落在点G处． （1）如图2，若，求的度数． （2）如图3，若，求的度数． （3）当三角形的三边与三角形的三边有一组边平行时，直接写出其他所有情况下的度数． 【答案】（1）52°；（2）142°；（3）116°或26°或38°或64° 【分析】（1）根据折叠的性质得到∠CDE=∠A=∠GDE=64°，即可求出∠ADG； （2）根据GE∥AB，得到∠BEG=90°，算出∠BFD，利用四边形内角和即可求出∠ADG； （3）找出其他所有情况，画出图形，利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：（1）由折叠可知： ∠C=∠DGE=26°，∠CDE=∠GDE， ∵DE∥AB，AB⊥BC， ∴DE⊥BC，则G在BC上， ∴∠CDE=∠A=∠GDE=64°， ∴∠ADG=180°-64°×2=52°； （2）由折叠可知：∠C=∠DGE=26°，∠CDE=∠GDE，∠DEC=∠DEG， ∵GE∥AB， ∴∠B=∠CEG=∠BEG=90°， ∴∠EFG=90°-26°=64°， ∵∠A=64°，∠B=90°， ∴∠ADG=360°-64°-90°-64°=142°； （3）如图，DG∥AB， 则∠ADG=180°-∠A=116°； 如图，DG∥BC， ∠ADG=∠C=26°； 如图，EG∥AC， ∠ADG=∠G=∠C=26°； 如图，EG∥AB， ∴∠A=∠CFE=64°，∠B=∠CEG=90°， 由折叠可知：∠DEG=∠DEC=45°， ∴∠CDE=180°-45°-26°=109°=∠EDG， ∴∠EDF=180°-109°=71°， ∴∠ADG=109°-71°=38°； 如图，DG∥AB， ∴∠ADG=∠A=64°； 综上：其他所有情况下∠ADG的度数为116°或26°或38°或64°． 【点睛】本题考查了平行线的性质，折叠问题，解题的难点在于找出所有符合题意的情况，得到角的关系． 48．已知：如图①长方形纸片ABCD中，．将长方形纸片ABCD沿直线AE翻折，使点B落在AD边上，记作点F，如图②．       （1）当，时，求线段FD的长度； （2）设、，如果再将沿直线EF向右起折，使点A落在射线FD上，记作点G，若线段，请根据题意画出图形，并求出x的值； （3）设．，沿直线EF向右翻折后交CD边于点H，连接FH，当时，求的值． 【答案】（1）4；（2）图见解析，或；（3）= 【分析】（1）根据折叠的性质可得AF=AB=6，从而求出结论； （2）根据点G的位置分类讨论，分别画出对应的图形，根据折叠的性质分别用x表示出FD和DG，根据题意列出方程即可求出结论； （3）过点H作HM⊥EF于M，根据用a和b表示出S△HFE和S四边形ABCD，结合已知等式即可求出结论． 【详解】解：（1）由折叠的性质可得AF=AB=6 ∵ ∴FD=AD－AF=4； （2）若点G落在线段FD上时，如下图所示 由折叠的性质可得：FG=AF=AB=x ∴FD=AD－AF=10－x， ∴DG=FD－FG=10－2x ∵ ∴ 解得：； 若点G落在线段FD的延长线上时，如下图所示 由折叠的性质可得：FG=AF=AB=x ∴FD=AD－AF=10－x， ∴DG=FG－FD=2x－10 ∵ ∴ 解得：； 综上：或； （3）如下图所示，过点H作HM⊥EF于M ∴HM=FD， 由题意可知：AF=AB=b，EF=AB=b， ∴FD=AD－AF=a－b ∴HM=a－b ∴S△HFE=EF·HM=b（a－b），S四边形ABCD=AD·AB=ab ∵ ∴ 整理可得： ∴=． 【点睛】此题考查的是一元一次方程的应用，掌握折叠的性质是解题关键． 49．直角三角形ABC中，∠ACB=90°，直线l过点C． （1）当AC=BC时，如图①，分别过点A、B作AD⊥l于点D，BE⊥l于点E．求证：△ACD≌△CBE． （2）当AC=8，BC=6时，如图②，点B与点F关于直线l对称，连接BF，CF，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AC边向终点C运动，同时动点N从点F出发，以每秒3个单位的速度沿F→C→B→C→F向终点F运动，点M、N到达相应的终点时停止运动，过点M作MD⊥l于点D，过点N作NE⊥l于点E，设运动时间为t秒． ①CM=　　　　，当N在F→C路径上时，CN=　　　　．（用含t的代数式表示） ②直接写出当△MDC与△CEN全等时t的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）①CM=，CN=；②t=3.5或5或6.5． 【分析】（1）根据垂直的定义得到∠DAC=∠ECB，利用AAS定理证明△ACD≌△CBE； （2）①由折叠的性质可得出答案； ②动点N沿F→C路径运动，点N沿C→B路径运动，点N沿B→C路径运动，点N沿C→F路径运动四种情况，根据全等三角形的判定定理列式计算． 【详解】（1）∵AD⊥直线，BE⊥直线， ∴∠DAC+∠ACD=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠BCE+∠ACD=90°， ∴∠DAC=∠ECB， 在△ACD和△CBE中， ， ∴△ACD≌△CBE（AAS）； （2）①由题意得，AM=t，FN=3t， 则CM=8-t， 由折叠的性质可知，CF=CB=6， ∴CN=6-3t； 故答案为：8-t；6-3t； ②由折叠的性质可知，∠BCE=∠FCE， ∵∠MCD+∠CMD=90°，∠MCD+∠BCE=90°， ∴∠NCE=∠CMD， ∴当CM=CN时，△MDC与△CEN全等， 当点N沿F→C路径运动时，8-t=6-3t， 解得，t=-1（不合题意）， 当点N沿C→B路径运动时，CN=3t-6， 则8-t=3t-6， 解得，t=3.5， 当点N沿B→C路径运动时，由题意得，8-t=18-3t， 解得，t=5， 当点N沿C→F路径运动时，由题意得，8-t=3t-18， 解得，t=6.5， 综上所述，当t=3.5秒或5秒或6.5秒时，△MDC与△CEN全等． 【点睛】本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 50．（1）填空 ①把一张长方形的纸片按如图①所示的方式折叠，，为折痕，折叠后的点落在或的延长线上，那么的度数是________； ②把一张长方形的纸片按如图②所示的方式折叠，点与点重合，，为折痕，折叠后的点落在或的延长线上，那么的度数是_______． （2）解答：①把一张长方形的纸片按如图③所示的方式折叠，，为折痕，折叠后的点落在或的延长线上左侧，且，求的度数； ②把一张长方形的纸片按如图④所示的方式折叠，点与点重合，，为折痕，折叠后的点落在或的延长线右侧，且，求的度数． （3）探究：把一张四边形的纸片按如图⑤所示的方式折叠，，为折痕，设，，，求，，之间的数量关系． 【答案】，；，；，. 【分析】（1）①如图①知，得 可求出解. ②由图②知得可求出解. （2）①由图③折叠知，可推出，即可求出解. ②由图④中折叠知，可推出，即可求出解. （3）如图⑤-1、⑤-2中分别由折叠可知，、，即可求得 、. 【详解】解：（1）①如图①中， ，， ， 故答案为. ②如图②中，， ， 故答案为. （2）①如图③中由折叠可知， ， ， ， ， ； ②如图④中根据折叠可知， ， ， ， ， ， ； （3）如图⑤-1中，由折叠可知，， ； 如图⑤-2中，由折叠可知，， .    【点睛】本题考查了图形的变换中折叠属全等变换，图形的角度及边长不变及一些角度的计算问题，突出考查学生的观察能力、思维能力以及动手操作能力，本题是代数、几何知识的综合运用典型题目. 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$