北师大版期末真题精选（六大章节，基础易错100题）-【尖子生培优】2023-2024学年八年级数学下学期重难点压轴题突破专练（北师大版）

北师大版期末真题精选（六大章节，基础易错100题）（原卷版） 目录 一、第一章，三角形的证明，15题 1 二、第二章，一元一次不等式及不等式组，15题 5 三、第三章，图形的平移与旋转，15题 8 四、第四章，因式分解，15题 12 五、第五章，分式及分式方程，15题 13 六、第六章，平行四边形，25题 15 一、第一章，三角形的证明，15题 1．如图，是中边上的垂直平分线，如果，则的周长为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，平分，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接．若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3．如图，在中，，按以下步骤作图：分别以点和点为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点和点，作直线交于点，连接．若，，则的周长为（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 4．如图，在中，，，的平分线交于，于点，若，则（　　） A． B． C． D． 5．如图，中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线交于点D．若，则点D到的距离为（　　） A．2 B．1 C． D． 6．下列条件中，分别为三角形的三边，不能判断为直角三角形的是（   ） A． B． C． D．，， 7．如图，在中，是边上的高，，，，连接，交的延长线于点，连接，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有 （写出所有正确结论的序号） 8．如图放置的，，，…都是边长为1的等边三角形，点在轴上，点…都在直线上，则点的坐标是 ．    9．如图，直线，的平分线与的平分线交于点P，与交于点M，若，，则的面积为 ． 10．如图，在中，，平分交于点，过点作交于点，，垂足为点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 11．如图，在四边形中，，，，． (1)求的度数； (2)求四边形的面积． 12．笔直的河流一侧有一旅游地C可直接到达河边两个漂流点A，B，由于某种原因，由C到B的路现在已经不通，为方便游客决定在河边新建一个漂流点H（A，H，B在同一直线上），并新修一条路，现测得千米，千米，千米，千米．试问：能否求出原路线的长？说明理由． 13．以的边，为腰分别向外作等腰直角，，，，，连接． (1)如图1，当时，求的度数； (2)如图2，若，，，过点作直线于点，交线段于点，求的长． 14．如图，在中，，是边上的中线，作的垂直平分线交于，交于． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求线段的长． 15．如图，在中，边的垂直平分线交，于点，，边的垂直平分线交，于点，，的周长是12． (1)求的长． (2)若，，求的面积． 二、第二章，一元一次不等式及不等式组，15题 16．如图，直线经过点和点，直线过点，则不等式的解集为（   ）    A． B． C． D． 17．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交点为，与y轴交点为B，且与正比例函数的图象交于点．观察函数图象，关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 18．在数轴上表示不等式，正确的是（   ） A． B． C． D． 19．关于的不等式的解集为，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 20．据悉，我国设计制造的天舟二号货运飞船，在2021年5月29日顺利升空，将6吨多物资运送到天和核心舱，若用a表示货运飞船的载货质量，则对a的取值理解最准确的是（　　）（单位：吨） A． B． C． D． 21．下列说法中，正确的是（    ） A．不等式的解集是 B．是不等式的一个解 C．不等式的整数解有无数个 D．不等式的正整数解有4个 22．如图，在平面直角坐标系中，直线与交于点，则不等式的解集为 ． 23．在平面直角坐标系xOy中，一次函数与的图象如图所示，若它们的交点的横坐标为2，则下列结论中所有正确的序号有 ． ①直线与轴所夹锐角等于；②；③关于的不等式的解集是；④．    24．（1）解不等式： （2）解不等式：； （3）解不等式组：，并写出它的最小负整数解． 25．解不等式（组）： (1)解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． (2)解不等式组：． 26．如图，在直角坐标系中，直线与x轴交于A，与直线交于，直线分别与x轴、y轴交于C、D，连接． (1)直接根据图象写出关于x的不等式的解集； (2)求出的值； (3)求出的面积． 27．已知直线：与直线：相交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点． (1)求，两点的坐标； (2)若，则的取值范围是________； (3)根据图象，直接写出关于的不等式的解集． 28．2024年是中国农历甲辰龙年，某购物中心有A，B两种龙年吉祥物出售．B种每个售价比A种多2元；购买20个A种龙年吉祥物和30个B种龙年吉祥物共需花费360元． (1)A，B两种吉祥物每件售价各是多少？ (2)某爱心团队计划购买A种吉祥物送给特教学校的学生们作为新年礼物，且购买数量超过50个，购物中心给出两种优惠方案： 方案一：每个均按原售价的8折优惠； 方案二：前30个按原售价付款，超过30个的部分每个按原售价的5折优惠． 爱心团队选择哪种方案购买更合算？ (3)若购买A，B两种龙年吉祥物共60个，且购买A种的数量不多于B种的3倍，购买多少个A种龙年吉祥物花费最少？最少花费是多少？ 29．为深入践行绿色发展理念，引导师生尊重自然、爱护自然，在第46个植树节来临之际，某校组织师生积极开展了“植此青绿，共树未来”主题植树活动，学校决定用不超过1800元的费用购买甲、乙两种树苗共60棵，已知甲种树苗每棵36元，乙种树苗每棵25元，则学校最多可以购买多少棵甲种树苗？ 30．定义运算“”，规定（其中均为常数），例如．已知． (1)求的值； (2)若关于的不等式恰有2个正整数解，求实数的取值范围． 三、第三章，图形的平移与旋转，15题 31．在平面直角坐标系中，线段两个端点的坐标分别为，，将线段平移后得到线段，若点的坐标为，点的坐标为，则a的值为（    ） A． B．1 C．2 D．0 32．如图，将沿方向平移得到．连接，若，，则的长为（   ）    A． B． C． D． 33．如图，的顶点坐标分别为，，，如果将先向左平移3个单位，再向上平移1个单位得到，那么点B的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 34．如图，边长为20的等边三角形中，M是高所在直线上的一个动点，连接，将线段绕点B逆时针旋转得到，连接，则在点M运动的过程中，线段长度的最小值是（    ） A．3 B．10 C．5 D．6 35．如图，将绕点A按顺时针方向旋转后得到，点P是y轴上任意一点，当的值最小时，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 36．近年来，信息技术发展迅速，学生可以从各个平台获取相应的学习资源，下列为学习强国几个常用的图标，以下图标（不考虑文字，颜色）既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A．学习积分 B．同学会 C．设置 D．我要答题 37．发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是应对气候变化、推动绿色发展的战略举措．2023年，中国新能源汽车产销量占全球比重超过，交出亮眼成绩单；下列新能源汽车标志是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 38．以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中为中心对称图形的是（　　　） A． B． C． D． 39．如图所示，甲图案变为乙图案，可以用（      ）    A．旋转、平移 B．平移、轴对称 C．旋转、轴对称 D．平移 40．如图，由图案（1）到图案（2）再到图案（3）的变化过程中，不可能用作的图形变化是（　　） A．轴对称 B．旋转 C．中心对称 D．平移 41．下列各组图形中，图形甲变成图形乙，既能用平移，又能用旋转的是（   ） A．   B．   C．   D．   42．如图，图案（1）变成图案（2）是由下列哪种变换而成的(   )    A．平移变换 B．轴对称变换 C．旋转变换 D．相似变换 43．如图，由图案（1）到图案（2）再到图案（3）的变化过程中，不可能用到的图形变换是 （   ） A．轴对称 B．旋转 C．中心对称 D．平移 44．如图，将绕直角顶点顺时针旋转，得到，连接，若，，则的长度为 ． 45．如图，将绕直角顶点C顺时针旋转，得到，连接，若，，则的长度为 ． 四、第四章，因式分解，15题 46．下列各式从左到右的变形中，属于分解因式的是（    ） A． B． C． D． 47．下列是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 48．已知，，则代数式的值（    ） A．6 B． C． D．5 49．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，如：因为，所以16就是一个“智慧数”，下面4个数中不是“智慧数”的是（   ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 50．若可以分解为，则的值为 ． 51．若，则代数式 ． 52．多项式的公因式是 ． 53．若，则 ． 54．若，，则 ． 55．已知是方程的一组解．则的值等于 ． 56．已知二次三项式可以分解为为常数，求m、n的值． 57．下列从左到右的变形中，哪些是因式分解？哪些不是？ (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 58．（1）因式分解：． （2）利用因式分解计算：． 59．（1）分解因式：； （2）一个长为，宽为的长方形的周长为12，面积为7，求的值． 60．因式分解： (1)； (2)． 五、第五章，分式及分式方程，15题 61．某超市用2000元购进普罗旺斯西红柿，面市后供不应求，该超市又用3000元购进第二批这种西红柿，所购数量是第一批数量的2倍，但每千克的进货价降了0.5元．设第一批西红柿每千克的进货价为元，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 62．若关于x的分式方程 有增根，则a的值为（     ） A．4 B． C．3 D． 63．数学家们曾思考过这个问题：一个容器装有1 升水，按照下面的方式将水倒出：第1次倒出升水，第2次倒出的水量是升的，第3次倒出的水量是升的，第n次倒出的水量是升的，，按照这种倒水的方式，第n次倒出水后，还剩下水（  ） A．升 B．升 C．0升 D．升 64．下列各式从左到右的变形中，正确的是（  ） A． B． C． D． 65．如果把分式中的和都扩大倍，那么分式的值（   ） A．不变 B．扩大3倍 C．缩小3倍 D．扩大9倍 66．下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 67．约分的结果是 68．分式的最简公分母是 ． 69．先化简，再求值．．已知． 70．化简：． 71．（1）计算：． （2）先化简：，再从，，0，1中选择一个合适的数作为x代入求值． 72．已知满足，求的值． 73．我市在创建全国文明城市时，区里积极配合，计划将西区道路两旁的人行道进行改造，经调查知：若该工程由甲工程队单独做刚好在规定时间内完成，若该工程由乙工程队单独完成，则所需天数是甲单独完成时间的倍，如果甲、乙两工程队合作天后，那么余下的工程由乙工程队单独来做还需天才能完成． (1)甲、乙单独完成这项工程各需要多少天？ (2)已知甲工程队做一天需付给工资万元，乙工程队做一天需付给工资万元，现该工程由甲、乙两工程队合做来完成，区里准备了工程工资款万元，请问区里准备的工程工资款是否够用？ 74．2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆，任务取得圆满成功.航模店看准商机，推出了“神舟”和“天宫”模型.已知每个“天宫”模型的成本比“神舟”模型低20%，同样花费320元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多4个． (1)“神舟”和“天宫”模型的成本每个各多少元？ (2)该航模店计划购买两种模型共100个，且每个“神舟”模型的售价为35元，“天宫”模型的售价为25元.设购买“神舟”模型a个，销售这批模型的利润为w元． ①求w与a的函数关系式（不要求写出a的取值范围）； ②若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的一半，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？ 75．先阅读下列解题过程，再回答问题． 解方程：， 解：两边同乘得：①， 去括号得：②， 移项得：③， 解得：④． (1)以上解答有错误，错误步骤的序号是___________． (2)请给出正确的解答过程． 六、第六章，平行四边形，25题 76．如图，平行四边形的对角线与相交于点，，若，，则的长是（　　）    A． B． C．4 D． 77．如图，在平行四边形中，，，的平分线交于，交的延长线于点，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 78．如图，的对角线与相交于点，，若，，则的长是（   ）    A．4 B．5 C．6 D．8 79．如图，在中，平分交于，，，则的长为（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 80．如图，四边形中，对角线与相交于点O，不能判断四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 81．如图，在中，点D在上，，于点M，N是的中点，连接，若，则为（    ） A．3 B．4 C．1 D．2 82．如图，在中，平分，是的中点，，，，则的长为（    ） A．1 B． C．2 D． 83．将一把直尺和正六边形按如图所示的位置放置，若，那么的大小为（    ） A． B． C． D． 84．一个多边形的每一个外角均为，则这个多边形是（    ） A．八边形 B．九边形 C．十边形 D．十一边形 85．如图，在中，，，将沿对角线翻折，交于点，点的对应点为点，则的度数是 ． 86．如图，l是四边形的对称轴，如果，有下列结论：①；②；③；④． 其中错误的结论是 ．（把你认为错误的结论的序号都填上） 87．如图，在平行四边形中，，点P在边上以每秒的速度从点A向点D运动，点Q在边上以每秒的速度从点C出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动，同时点Q 也停止运动．设运动时间为，开始运动以后，当以A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为 ． 88．如图，在中，，，点为的中点，平分，，垂足为点，延长交于点，的长为 ． 89．如图，在四边形中，点E，F分别是边的中点，，，，，则的度数为 ．    90．锐角为的两个平行四边形按如图所示的位置摆放．若，则的大小为 度． 91．一个多边形每个外角都等于，则从这个多边形的某个顶点画对角线，最多可以画出几条 ． 92．如图，在四边形中，的平分线与的平分线交于点，，则 ° 93．如图，已知四边形为平行四边形，分别平分和，交于点，连接．    (1)若，求的度数； (2)求证：． 94．如图，平行四边形的对角线，相交于点O． (1)尺规作图：作的平分线，交于点E（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）所作的图中，若，求证：． 95．已知，． (1)如图1，若以为边作等边，且点E恰好在边上，则的面积为______； (2)如图2，若以为斜边作等腰直角三角形，且点F恰好在边上，过C作交于G，连接．用等式表示此时线段之间的数量关系，并证明； (3)如图3，以为边作，且，．若，直接用等式表示此时与的数量关系． 96．在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，的顶点都在格点上，位置如图所示．        (1)把绕原点O逆时针旋转得，试画出图形，并直接写出点的坐标_____． (2)将绕某点顺时针旋转后，其对应点分别为，，，则旋转中心的坐标为_____． (3)若平面上有一点Q，使得点C、、、Q能构成平行四边形，则Q的坐标为_____． 97．将一张宽度相等的纸条如图放置，与的边交于点E、F，连接别与相交于M、N两点． 求证：四边形是平行四边形． 98．如图，在中，点在上，点在上，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若为的角平分线，且，，求的周长． 99．如图，在四边形中，与交于点，，，、，垂足分别为，． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 100．（1）如图①，在四边形中，、、、分别是、、、的中点．求证：四边形是平行四边形． （2）如图②，在四边形中，、、、分别为、、、的中点，求证：与互相平分． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北师大版期末真题精选（六大章节，基础易错100题）（解析版） 目录 一、第一章，三角形的证明，15题 1 二、第二章，一元一次不等式及不等式组，15题 15 三、第三章，图形的平移与旋转，15题 26 四、第四章，因式分解，15题 36 五、第五章，分式及分式方程，15题 43 六、第六章，平行四边形，25题 51 一、第一章，三角形的证明，15题 1．如图，是中边上的垂直平分线，如果，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等得到，再根据三角形周长公式进行求解即可. 【详解】解：∵是中边上的垂直平分线， ∴， ∵， ∴的周长为， 故选：B. 2．如图，在中，平分，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接．若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 根据线段垂直平分线的性质得到，得到，根据角平分线的定义得到，再根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：是的垂直平分线， ， ， 平分， ， ， 故选：D． 3．如图，在中，，按以下步骤作图：分别以点和点为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点和点，作直线交于点，连接．若，，则的周长为（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和尺规作图，根据作图方法可得垂直平分，，据此可得的周长． 【详解】解：由作图方法可知垂直平分， ∴， ∴的周长， 故选：B． 4．如图，在中，，，的平分线交于，于点，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”、含30度角的直角三角形的性质，根据角平分线的性质得出，根据含30度角的直角三角形的性质得出，结合，求出的长即可，熟练掌握角平分线的性质、含30度角的直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵的平分线交于，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 5．如图，中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线交于点D．若，则点D到的距离为（　　） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是角平分线的性质，理解题意作出合适的辅助线是解本题的关键．作于点，根据角平分线的性质得到，即可解题． 【详解】解：由题知，为的角平分线， 作于点， ，， ， 故选：B． 6．下列条件中，分别为三角形的三边，不能判断为直角三角形的是（   ） A． B． C． D．，， 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理．熟练掌握勾股定理的逆定理，三角形内角和定理是解题的关键． 利用勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：A、设，则， ∵， ∴不能判断为直角三角形，故符合要求； B、，则为直角三角形，故不符合要求； C、由，，可得，则为直角三角形，故不符合要求； D、，则为直角三角形，故不符合要求； 故选：A． 7．如图，在中，是边上的高，，，，连接，交的延长线于点，连接，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有 （写出所有正确结论的序号） 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质．证得，从而推得①正确；利用及三角形内角和与对顶角，可判断②正确；证明，得出，，则③正确，同理，得出，则，证明．可得出结论④正确． 【详解】解：， ，即， 又，， ， ，故①正确； ， ， ， 设与相交于点， ， ；故②正确； 过点作于点，过点作交的延长线于点， ， ，， ， 又， ， ，， 故③正确， 同理， ， ， ，， ， ， ， ，故④正确． 故选：①②③④． 8．如图放置的，，，…都是边长为1的等边三角形，点在轴上，点…都在直线上，则点的坐标是 ．    【答案】 【分析】本题考查了规律型中点的坐标，等边三角形的性质，勾股定理的应用，解题的关键是根据点的坐标的变化找出点的坐标规律．根据等边三角形的性质结合勾股定理可得出点的坐标，进而可得出点的坐标，代入即可求出结论． 【详解】解：如图，过作于，而是边长为1的等边三角形， ∴，， ∴，，    ∴， 同理可得：， 归纳可得：， ∴． 故答案为： 9．如图，直线，的平分线与的平分线交于点P，与交于点M，若，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】由平分，，可得，则，由平分，可得，由勾股定理得，，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 由勾股定理得，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握角平分线，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 10．如图，在中，，平分交于点，过点作交于点，，垂足为点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定、角平分线的性质及勾股定理． （1）利用角平分线和平行线的性质即可判定； （2）先利用角平分线性质得，求出，即可求出，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， 又∵平分交于点，， ∴． 在中，， ∵， ∴， 在中，． 11．如图，在四边形中，，，，． (1)求的度数； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）连接，在中，利用勾股定理求出的长，，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，最后进行计算即可解答； （2）根据四边形的面积的面积的面积，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：连接， ，， ， ， ，， ，， ， 是直角三角形， ， ， 的度数为； （2）解：由题意得：四边形的面积的面积的面积 ， 四边形的面积为． 12．笔直的河流一侧有一旅游地C可直接到达河边两个漂流点A，B，由于某种原因，由C到B的路现在已经不通，为方便游客决定在河边新建一个漂流点H（A，H，B在同一直线上），并新修一条路，现测得千米，千米，千米，千米．试问：能否求出原路线的长？说明理由． 【答案】能，原路线长为千米，理由见解析 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理的应用，解决本题的关键是掌握勾股定理及其逆定理．由已知可得，根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，再根据勾股定理，即可得到答案． 【详解】解：能； ，， ． 是直角三角形，且， ． 在中， ， （千米）． 答：原路线长为千米． 13．以的边，为腰分别向外作等腰直角，，，，，连接． (1)如图1，当时，求的度数； (2)如图2，若，，，过点作直线于点，交线段于点，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、勾股定理等知识，利用全等三角形的性质得到是解答的关键． （1）先证明是等边三角形，得到，利用周角定义求得，再证得，由等腰三角形的性质求解即可； （2）连接，，交点为O，设与的交点为G，证明得，利用三角形的内角和定理求得，然后利用勾股定得到即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴是等边三角形， ∴， 又， ∴， ∵，，， ∴， ∴； （2）解：连接，，交点为O，设与的交点为G， ∵， ∴，又，， ∴， ∴， ∵， ∴，则， ∴， ∵，，， ∴，， 又， ∴， 则， ∴． 14．如图，在中，，是边上的中线，作的垂直平分线交于，交于． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)3 【分析】（1）证明，即可得到结论； （2）根据等边三角形的性质和含角的直角三角形的性质进行解答即可． 【详解】（1）证明：， ， 是边上的中线， ， ， 垂直平分， ， ， ， ， ， 是等边三角形； （2）解：是等边三角形， ， ， ， ， ， ． 【点睛】此题考查了等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质和判定、含角的直角三角形的性质等知识，证明是等边三角形是解题的关键． 15．如图，在中，边的垂直平分线交，于点，，边的垂直平分线交，于点，，的周长是12． (1)求的长． (2)若，，求的面积． 【答案】(1)的长为12； (2)的面积为6． 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算即可； （2）根据角之间的数量关系，得到，再根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：是边的垂直平分线，是的垂直平分线， ，， ； （2）解：， ， ，， ，， ， 设，则． ， ， ， ，，， 的面积． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、等边对等角、勾股定理、三角形的内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 二、第二章，一元一次不等式及不等式组，15题 16．如图，直线经过点和点，直线过点，则不等式的解集为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数与不等式之间的关系，根据函数图象找到直线的函数图象在直线的图象下方，且都在x轴下方时，自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可知，当直线的函数图象在直线的图象下方，且都在x轴下方时，自变量的取值范围为， ∴不等式的解集为， 故选：D． 17．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交点为，与y轴交点为B，且与正比例函数的图象交于点．观察函数图象，关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，先得出，运用数形结合思想，来解答两个函数所对应的两直线交点，得出它们构成的不等式的解集，据此即可作答． 【详解】解：∵点在正比例函数， ∴， ∴， 则， ∵一次函数的图象与x轴交点为，与y轴交点为B，且与正比例函数的图象交于点， ∴结合图象，关于x的不等式的解集为， 故选：C． 18．在数轴上表示不等式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右”的法则是解题的关键． 把不等式组的解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解：∵， ∴在数轴上表示为： 故选：C． 19．关于的不等式的解集为，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】先根据关于的不等式的解集为，得出的关系，即可求出答案． 【详解】关于的不等式的解集为， ， ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了不等式的解集，在解题时要注意注意不等式两边同时乘以同一个负数时，不等号的方向改变． 20．据悉，我国设计制造的天舟二号货运飞船，在2021年5月29日顺利升空，将6吨多物资运送到天和核心舱，若用a表示货运飞船的载货质量，则对a的取值理解最准确的是（　　）（单位：吨） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“6吨多”得到的取值范围即可． 【详解】解：根据“6吨多”物资运送到天和核心舱得到． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了不等式的定义：用“”或“”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“”号表示不等关系的式子也是不等式． 21．下列说法中，正确的是（    ） A．不等式的解集是 B．是不等式的一个解 C．不等式的整数解有无数个 D．不等式的正整数解有4个 【答案】C 【分析】先求出不等式的解集，再依次判断解的情况． 【详解】解：A、该不等式的解集为，故错误，不符合题意； B、∵，故错误，不符合题意； C、正确，符合题意； D、因为该不等式的解集为，所以无正整数解，故错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了不等式的性质和不等式的解集的理解，解题关键是根据解集正确判断解的情况． 22．如图，在平面直角坐标系中，直线与交于点，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上（或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 写出直线在直线上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：∵直线与交于点， ∴不等式的解集为． 故答案为：． 23．在平面直角坐标系xOy中，一次函数与的图象如图所示，若它们的交点的横坐标为2，则下列结论中所有正确的序号有 ． ①直线与轴所夹锐角等于；②；③关于的不等式的解集是；④．    【答案】①②④ 【分析】结合一次函数的性质、一次函数与不等式的关系，根据图象观察，得出结论．本题考查了一次函数与不等式（组的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合． 【详解】解：由知：直线与坐标轴的截距相等，所以，直线与轴所夹锐角等于，故①的结论正确； 由图知：当时，函数图象对应的点在轴的上方，因此故②的结论正确； 由图知：当时，函数图象对应的点都在的图象下方，因此关于的不等式的解集是，故③的结论不正确； 由图知：，，因此，故④的结论正确； 答案为：①②④． 24．（1）解不等式： （2）解不等式：； （3）解不等式组：，并写出它的最小负整数解． 【答案】（1）；（2）；（3）解集为，最小负整数解为 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组和求不等式的整数解： （1）按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式即可； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式即可； （3）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，进而求出其最小负整数解即可． 【详解】解：（1） 移项得：， 合并同类项得：，    系数化为1得：； （2） 去分母得：， 去括号得：，         移项，合并同类项得：，       系数化为1得：； （3） 解不等式①得：，       解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为， ∴它的最小负整数解为． 25．解不等式（组）： (1)解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． (2)解不等式组：． 【答案】(1)；图见解析 (2) 【分析】本题考查求不等式和不等式组的解集，并在数轴上表示出解集： （1）去括号，移项，合并，系数化1，求出不等式的解集，进而在数轴上表示出解集即可； （2）先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集． 【详解】（1）解：， ∴， ∴， ∴， ∴； 数轴表示如图： （2）， 由①，得：， 由②，得：， 故不等式组的解集为：． 26．如图，在直角坐标系中，直线与x轴交于A，与直线交于，直线分别与x轴、y轴交于C、D，连接． (1)直接根据图象写出关于x的不等式的解集； (2)求出的值； (3)求出的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据点的坐标和函数的图象即可求出不等式的解集； （2）把点的坐标代入两个一次函数的解析式，即可求出、的值； （3）根据两个一次函数的解析式求出，的坐标，再由的面积的面积的面积即可求得结论． 本题考查一次函数的图象及性质，一次函数与一元一次不等式，三角形的面积等知识点，能求出点的纵坐标是解此题的关键． 【详解】（1）解：依题意， ， ； （2）解：直线经过，， ． 直线经过，， ， ； （3）解：由（2）得直线的解析式为， 令，则， ， 令，则， ， ， 的面积的面积的面积． 27．已知直线：与直线：相交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点． (1)求，两点的坐标； (2)若，则的取值范围是________； (3)根据图象，直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数的图象性质以及与坐标轴的交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依题意，先把把代入，得出，再代入，解出，然后当时求出； （2）运用数形结合思想， 时，则的取值范围是，即可作答． （3）运用数形结合思想，不等式的解集为，即可作答． 【详解】（1）解：∵直线：与直线：相交于点， ∴把代入， 得， 解得， 把代入， 得， 解得， ∴直线：， 当时，则 ， 解出， ∴； （2）解：由（1）得出直线：且 结合图象，时，则的取值范围是； （3）解：由（1）得则， 即， 此时的不等式的解集为． 28．2024年是中国农历甲辰龙年，某购物中心有A，B两种龙年吉祥物出售．B种每个售价比A种多2元；购买20个A种龙年吉祥物和30个B种龙年吉祥物共需花费360元． (1)A，B两种吉祥物每件售价各是多少？ (2)某爱心团队计划购买A种吉祥物送给特教学校的学生们作为新年礼物，且购买数量超过50个，购物中心给出两种优惠方案： 方案一：每个均按原售价的8折优惠； 方案二：前30个按原售价付款，超过30个的部分每个按原售价的5折优惠． 爱心团队选择哪种方案购买更合算？ (3)若购买A，B两种龙年吉祥物共60个，且购买A种的数量不多于B种的3倍，购买多少个A种龙年吉祥物花费最少？最少花费是多少？ 【答案】(1)A种吉祥物每件售价为6元，则B种吉祥物每件售价为8元 (2)爱心团队选择方案二购买更合算，理由见解析 (3)购买45个种龙年吉祥物花费最少，最少花费是390元． 【分析】本题考查一次函数、一元一次不等式的应用，掌握一元一次不等式的解法和一次函数的增减性是解题的关键． （1）设种吉祥物每件售价元，则种吉祥物每件售价元，根据题意列方程并求解即可； （2）设购买数量为个，按方案一购买需要元，按方案二购买需要元，分别写出、关于的表达式，再比较二者大小即可； （3）设购买种吉祥物个，则购买种吉祥物个，根据题意列关于的一元一次不等式并求其解集，设购买，两种龙年吉祥物共花费元，写出关于的函数，根据它的增减性和的取值范围，确定当取何值时的值最大，求出其最大值即可． 【详解】（1）解：设种吉祥物每件售价元，则种吉祥物每件售价元． 根据题意，得， 解得， （元， 种吉祥物每件售价6元，种吉祥物每件售价8元； （2）解：设购买数量为个，按方案一购买需要元，按方案二购买需要元． 根据题意，，． ， ， ， ， 爱心团队选择方案二购买更合算； （3）解：设购买种吉祥物个，则购买种吉祥物个． 根据题意，得， 解得． 设购买，两种龙年吉祥物共花费元，则， ， 随的增大而减小， ， 当时，取最小值，， 购买45个种龙年吉祥物花费最少，最少花费是390元． 29．为深入践行绿色发展理念，引导师生尊重自然、爱护自然，在第46个植树节来临之际，某校组织师生积极开展了“植此青绿，共树未来”主题植树活动，学校决定用不超过1800元的费用购买甲、乙两种树苗共60棵，已知甲种树苗每棵36元，乙种树苗每棵25元，则学校最多可以购买多少棵甲种树苗？ 【答案】学校最多可以购买27棵甲种树苗 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，设学校购买甲种树苗x棵，则购买乙种树苗棵，根据购买费用不超过1800元列出不等式求解即可． 【详解】解：设学校购买甲种树苗x棵，则购买乙种树苗棵 由题意得：，   解得， ∵x为正整数， ∴的最大值为， 答：学校最多可以购买27棵甲种树苗． 30．定义运算“”，规定（其中均为常数），例如．已知． (1)求的值； (2)若关于的不等式恰有2个正整数解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可得到答案； （2）根据，，以及关于的不等式恰有2个正整数解，即可得到答案； 此题考查了二元一次方程组的应用、求不等式的解集等知识，读懂题意，正确列出方程组和理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：由得到， ， 解得 （2）由题意可得，， ∵，，，关于的不等式恰有2个正整数解， ∴. 三、第三章，图形的平移与旋转，15题 31．在平面直角坐标系中，线段两个端点的坐标分别为，，将线段平移后得到线段，若点的坐标为，点的坐标为，则a的值为（    ） A． B．1 C．2 D．0 【答案】D 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，根据点B和点B对应点的坐标判断出平移方式，进而求出a的值即可． 【详解】解：∵平移后得到点的坐标为， ∴平移方式为向右平移2个单位，向下平移2个单位， ∴． 故选：D． 32．如图，将沿方向平移得到．连接，若，，则的长为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平移的性质，根据平移的性质得到， 再根据线段的和差关系求解即可． 【详解】解：由平移的性质可得， ∴， 故选：B． 33．如图，的顶点坐标分别为，，，如果将先向左平移3个单位，再向上平移1个单位得到，那么点B的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查坐标与图形变化平移，用到的知识点为：左右平移只改变点的横坐标，左减右加；上下平移只改变点的纵坐标，上加下减．根据规律解决问题即可． 【详解】解：将先向左平移3个单位，再向上平移1个单位得到， 点的对应点的坐标是，即． 故选：C． 34．如图，边长为20的等边三角形中，M是高所在直线上的一个动点，连接，将线段绕点B逆时针旋转得到，连接，则在点M运动的过程中，线段长度的最小值是（    ） A．3 B．10 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．取的中点G，连接，，据等边三角形的性质可得，再求出，根据旋转的性质可得，然后证明，再根据全等三角形对应边相等可得，然后根据垂线段最短可得时最短，再根据求解即可． 【详解】解：如图，取的中点G，连接， ∵是等边三角形， ∴ ∵旋转角为， ∴， 又∵， ∴， ∵M是高所在直线上的一个动点，， ∴， ∴， 又∵线段绕点B逆时针旋转得到， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 根据垂线段最短，时，最短，即最短， 此时， ∴， ∴线段度的最小值是5， 故选：C． 35．如图，将绕点A按顺时针方向旋转后得到，点P是y轴上任意一点，当的值最小时，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查坐标与旋转，坐标与轴对称，一次函数与坐标轴的交点问题，根据旋转的性质，画出，确定的坐标，作关于轴的对称点，直线与轴的交点即为点，进行求解即可． 【详解】解：由图可知， 将绕点A按顺时针方向旋转后得到，则， 点A关于y轴对称的点，则：， ∴当三点共线时，的值最小， 连接交y轴于点P， 则点P即为所求的点， 设直线的解析式为：， 则， 解得， ∴直线的解析式为：， 当时，， ∴， 故选：C． 36．近年来，信息技术发展迅速，学生可以从各个平台获取相应的学习资源，下列为学习强国几个常用的图标，以下图标（不考虑文字，颜色）既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A．学习积分 B．同学会 C．设置 D．我要答题 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选C． 37．发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是应对气候变化、推动绿色发展的战略举措．2023年，中国新能源汽车产销量占全球比重超过，交出亮眼成绩单；下列新能源汽车标志是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查中心对称图形：一个平面图形绕一点，旋转180度能与自身完全重合，这样的图形叫做中心对称图形，据此进行判断即可． 【详解】解：选项A、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形， 选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形， 故选：B． 38．以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中为中心对称图形的是（　　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义判断即可，解题的关键是正确理解中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案． 【详解】、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 故选：． 39．如图所示，甲图案变为乙图案，可以用（      ）    A．旋转、平移 B．平移、轴对称 C．旋转、轴对称 D．平移 【答案】A 【分析】本题考查了平移、对称、旋转． 在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转； 轴对称的特点是一个图形绕着一条直线对折，直线两旁的图形能够完全重合； 平移，是指在同一平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移． 【详解】解：甲图案先绕根部旋转一点角度，再平移即可得到乙，只有A符合题意． 故选：A． 40．如图，由图案（1）到图案（2）再到图案（3）的变化过程中，不可能用作的图形变化是（　　） A．轴对称 B．旋转 C．中心对称 D．平移 【答案】D 【分析】考查图形的对称、平移、旋转等变换，对称有轴对称和中心对称，轴对称的特点是一个图形绕着一条直线对折，直线两旁的图形能够完全重合；中心对称的特点是一个图形绕着一点旋转180°后与另一个图形完全重合，它是旋转变换的一种特殊情况．平移是将一个图形沿某一直线方向移动，得到的新图形与原图形的形状、大小和方向完全相同．旋转是指将一个图形绕着一点转动一个角度的变换．观察时要紧扣图形变换特点，认真判断； 观察本题中图案的特点，根据对称、平移、旋转的特征进行判断作答； 【详解】由图案（1）到图案（2）再到图案（3）的变化过程中，可能用作的图形变化是旋转变换和中心对称、轴对称变换， 图（1）图形沿某一直线方向移动不能得到图（2）（3）中图形重合，故没有用到平移． 故选：D． 41．下列各组图形中，图形甲变成图形乙，既能用平移，又能用旋转的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据平移、旋转的性质，结合图形，对选项进行一一分析，再解答． 【详解】解：A、不能通过平移得到，故本选项错误； B、是平移变换，不能通过旋转得到，故本选项错误； C、既符合平移变化，又能旋转得到，故本选项正确； D、是旋转变化，但不能通过平移得到，故本选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查平移和旋转的性质，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小．一个图形围绕一个定点旋转一定的角度，得到另一个图形，这种变换称为旋转变换． 42．如图，图案（1）变成图案（2）是由下列哪种变换而成的(   )    A．平移变换 B．轴对称变换 C．旋转变换 D．相似变换 【答案】C 【分析】图案旋转变换具备三个要素：①定点﹣旋转中心；②旋转方向；③旋转角度． 【详解】根据观察可知，图案（1）变成图案（2）是由旋转变换而成的． 故选 C． 【点睛】本题考查旋转的性质．旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变． 43．如图，由图案（1）到图案（2）再到图案（3）的变化过程中，不可能用到的图形变换是 （   ） A．轴对称 B．旋转 C．中心对称 D．平移 【答案】D 【分析】观察本题中图案的特点，根据对称、平移、旋转的特征进行判断作答． 【详解】解：图（2）将图形绕着中心点旋转90°的整数倍后均能与原图形重合，图案包含旋转变换和中心对称．图（3）中有4条对称轴，本题图案包含轴对称变换．不符合题意； 图（1）三角形沿某一直线方向移动不能与图（2）（3）中三角形重合，故没有用到平移． 故选：D． 【点睛】考查图形的对称、平移、旋转等变换．对称有轴对称和中心对称，轴对称的特点是一个图形绕着一条直线对折，直线两旁的图形能够完全重合；中心对称的特点是一个图形绕着一点旋转180°后与另一个图形完全重合，它是旋转变换的一种特殊情况． 平移是将一个图形沿某一直线方向移动，得到的新图形与原图形的形状、大小和方向完全相同．旋转是指将一个图形绕着一点转动一个角度的变换．观察时要紧扣图形变换特点，认真判断． 44．如图，将绕直角顶点顺时针旋转，得到，连接，若，，则的长度为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，由旋转的性质可得，，，由等腰直角三角形的性质可求，然后得到，，利用勾股定理求得，最后利用线段和差解答即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】由旋转性质可知：，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 45．如图，将绕直角顶点C顺时针旋转，得到，连接，若，，则的长度为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，由旋转的性质可得，，由等腰直角三角形的性质可求，然后得到，利用勾股定理求得，最后利用解答即可． 【详解】解：∵将绕直角顶点C顺时针旋转，得到，连接， ∴， ∴，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 四、第四章，因式分解，15题 46．下列各式从左到右的变形中，属于分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解．熟练掌握因式分解是解题的关键． 根据因式分解的定义对各选项进行判断即可． 【详解】解：A中，不是因式分解，故不符合要求； B中，因式分解不正确，故不符合要求； C中，是因式分解，故符合要求； D中，不是因式分解，故不符合要求； 故选：C． 47．下列是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，利用排除法求解． 【详解】解：A、，故该选项不正确，不符合题意； B、，故该选项不正确，不符合题意； C、，没有化为几个整式的积的形式，不是因式分解，故该选项不正确，不符合题意； D、，是因式分解，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 48．已知，，则代数式的值（    ） A．6 B． C． D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解的应用等知识点，先由因式分解的方法将变形得，再将已知条件代入即可得解，熟练掌握代数式的恒等变形是解决此题的关键． 【详解】由题意得，， ∵，， ∴， 故选：B． 49．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，如：因为，所以16就是一个“智慧数”，下面4个数中不是“智慧数”的是（   ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式分解因式的应用，牢记是解题的关键．设k是正整数，证明除1外，所有的奇数都是智慧数；除4外，所有的能被4整除的偶数都是智慧数，即可得答案． 【详解】解：设k是正整数， ∵， ∴除1外，所有的奇数都是智慧数，所以，A，C选项都是智慧数，不符合题意； ∵， ∴除4外，所有的能被4整除的偶数都是智慧数，所以D选项是智慧数，不符合题意， B选项2022不是奇数也不是4的倍数，不是智慧数，符合题意． 故选：B． 50．若可以分解为，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式． 先计算，再根据对应的项相同，可求出结果． 【详解】解：， ，， ，， ， 故答案为：2． 51．若，则代数式 ． 【答案】5 【分析】本题考查了提取公因式法的应用，利用因式分解的方法将代数式局部分解为已知代数整体是解题的关键．将移项得，然后将用提取公因式法局部化简为，再将代入计算，即得答案． 【详解】 52．多项式的公因式是 ． 【答案】 【分析】此题考查了提公因式因式分解法的应用能力，关键是能准确理解并运用该知识进行求解．运用提公因式因式分解法进行求解． 【详解】解：， 多项式的公因式是， 故答案为：． 53．若，则 ． 【答案】/ 【分析】先将原式变形为，再将，代入计算即可．本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：，， ， 故答案为：． 54．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算以及因式分解的应用，先整理原式为，再代入，，进行计算化简，即可作答． 【详解】解： ∵， ∴原式 故答案为： 55．已知是方程的一组解．则的值等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解的定义，代数式求值，平方差公式，先把代入原方程得到，再利用平方差公式把原式变形为，进一步变形得到，据此求解即可． 【详解】解：把代入方程，得， ∴， ∴ ， 故答案为：． 56．已知二次三项式可以分解为为常数，求m、n的值． 【答案】， 【分析】本题考查根据因式分解的结果求参，熟练掌握多项式乘多项式法则是解题的关键． 先计算，再比较即可得到答案 【详解】解：∵ ∴ 解得：． 57．下列从左到右的变形中，哪些是因式分解？哪些不是？ (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)不是因式分解 (2)不是因式分解 (3)是因式分解 (4)不是因式分解 (5)不是因式分解 【分析】本题考查了因式分解的意义，注意因式分解是针对多项式而言的，因式分解后，右边是整式积的形式． 根据分解因式的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式 【详解】（1）解：因式分解是针对多项式来说的，故不是因式分解； （2）解：等号右边不是整式积的形式，不是因式分解； （3）解：是因式分解； （4）解：等号右边不是整式积的形式，不是因式分解； （5）解：等号右边不是整式积的形式，不是因式分解． 58．（1）因式分解：． （2）利用因式分解计算：． 【答案】（1）；（2）． 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． （1）利用提公因式法因式分解即可； （2）利用提公因式法因式分解求解即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 59．（1）分解因式：； （2）一个长为，宽为的长方形的周长为12，面积为7，求的值． 【答案】（1）（2） 【分析】（1）提取公因式，即可求解， （2）根据题意列出，，将提取公因式代入即可， 此题考查了提取公因式法分解因式，代数式化简求值，解题关键是：熟练掌握提公因式法因式分解． 【详解】解：（1）． （2），， ，， 则， 60．因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查因式分解： （1）原式提取公因式即可； （2）原式提取公因式后，再运用平方差公式进行因式分解即可 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 五、第五章，分式及分式方程，15题 61．某超市用2000元购进普罗旺斯西红柿，面市后供不应求，该超市又用3000元购进第二批这种西红柿，所购数量是第一批数量的2倍，但每千克的进货价降了0.5元．设第一批西红柿每千克的进货价为元，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，设第一批西红柿的进货单价为x元，则西红柿的进货单价是元，根据第二批所购数量是第一批购进数量的2倍，列出方程即可． 【详解】解：设第一批西红柿的进货单价为x元，则西红柿的进货单价是元， 依题意有：． 故选：A． 62．若关于x的分式方程 有增根，则a的值为（     ） A．4 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查分式方程增根的定义，解决本题的关键是要熟练掌握分式方程的解法和增根的定义．分式方程的增根是使得最简公分母为0的未知数的取值，根据分式方程的增根定义即可求解． 【详解】解： 方程两边同乘得：， ∵方程有增根， ∴满足 解得： 故选：D． 63．数学家们曾思考过这个问题：一个容器装有1 升水，按照下面的方式将水倒出：第1次倒出升水，第2次倒出的水量是升的，第3次倒出的水量是升的，第n次倒出的水量是升的，，按照这种倒水的方式，第n次倒出水后，还剩下水（  ） A．升 B．升 C．0升 D．升 【答案】A 【分析】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是正确 找出规律，如第次倒出的水为升．根据题意易知倒出水的规律，第次倒出的水为升，然后从1升水中逐次减去每一次倒的水，再进行计算即可． 【详解】解：根据题意可知，第一次倒出：（升）， 第二次倒出：（升）， 第三次倒出：（升）， 第次倒出：所以次共倒出：（升）， 所以第次倒出水后，还剩下水（升）． 故选：A 64．下列各式从左到右的变形中，正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是分式的加减法和性质，熟练掌握其运算法则是解题的关键．根据分式的加减法运算法则和性质计算并判断即可． 【详解】解：A、，故选项A符合题意； B、，故选项B不符合题意； C、，故选项C不符合题意； D、，故选项D不符合题意； 故选：A． 65．如果把分式中的和都扩大倍，那么分式的值（   ） A．不变 B．扩大3倍 C．缩小3倍 D．扩大9倍 【答案】A 【分析】本题考查了分式的基本性质，把，分别换成，是解题关键．把原分式中的和分别换为和，然后进行化简，再与原分式进行比较即可得出结论． 【详解】解：分式中的和都扩大倍时， 原分式变为：， 即把分式中的和都扩大倍，那么分式的值不变． 故选A． 66．下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式除法计算，约分，异分母分式加法计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，原式计算正确，符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：A． 67．约分的结果是 【答案】 【分析】本题主要考查了约分，根据约分的方法进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 68．分式的最简公分母是 ． 【答案】6a 【分析】本题考查了最简公分母：通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．根据最简公分母的定义求解． 【详解】解：分式，，的最简公分母是． 故答案为： 69．先化简，再求值．．已知． 【答案】；2 【分析】本题考查了分式化简求值，先通分括号内，再进行除法，然后化简得出，再把代入，进行运算即可作答． 【详解】解：原式 ． ∵， ∴原式． 70．化简：． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的化简，掌握因式分解相关知识以及分式运算的相关法则是正确化简分式的关键． 先算括号里面的分式的减法，再算分式的除法即可． 【详解】 71．（1）计算：． （2）先化简：，再从，，0，1中选择一个合适的数作为x代入求值． 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题主要考查分式的化简求值： （1）将原式的括号内的进行通分计算，再把除法转换为乘法后约分化简即可： （2）原式先将除法转换为乘法后约分化简，再计算加减法得到最简结果后，取使分式有意义的代入计算即可． 【详解】解：（1） （2） ， ∵ ∴当时，上式． 72．已知满足，求的值． 【答案】 【分析】本题考查分式有意义的条件，二次根式有意义的条件；根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式求出x，再求出y，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：依题意，得：， 解得：； 又； 即； ∴； ； 故． ∴的值为． 73．我市在创建全国文明城市时，区里积极配合，计划将西区道路两旁的人行道进行改造，经调查知：若该工程由甲工程队单独做刚好在规定时间内完成，若该工程由乙工程队单独完成，则所需天数是甲单独完成时间的倍，如果甲、乙两工程队合作天后，那么余下的工程由乙工程队单独来做还需天才能完成． (1)甲、乙单独完成这项工程各需要多少天？ (2)已知甲工程队做一天需付给工资万元，乙工程队做一天需付给工资万元，现该工程由甲、乙两工程队合做来完成，区里准备了工程工资款万元，请问区里准备的工程工资款是否够用？ 【答案】(1)甲需要天，乙需要天； (2)够用． 【分析】本题主要考查了分式方程的应用及有理数的混合运算，找出等量关系列分程是解题的关键． （）设规定时间是天，根据甲、乙两工程队合作天后，那么余下的工程由乙工程队单独来做还需天才能完成列分式方程求解即可； （）由（）知甲工程队单独做需天，乙工程队单独做需天，进而求出甲乙两工程队合作需要的天数，从而求得合作时所需工程工资款，与万比较即可得解． 【详解】（1）解：设规定时间是天，由题意得： ． 解得：， 经检验，是所列方程的根， 乙：（天）． 答：甲需要天，乙需要天． （2）解：由（）知甲工程队单独做需天，乙工程队单独做需天， 则甲乙两工程队合作需要的天数是：（天）， 所需工程工资款为：万万， 故该区里准备的工程工资款是够用． 答：该区里准备的工程工资款是够用． 74．2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆，任务取得圆满成功.航模店看准商机，推出了“神舟”和“天宫”模型.已知每个“天宫”模型的成本比“神舟”模型低20%，同样花费320元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多4个． (1)“神舟”和“天宫”模型的成本每个各多少元？ (2)该航模店计划购买两种模型共100个，且每个“神舟”模型的售价为35元，“天宫”模型的售价为25元.设购买“神舟”模型a个，销售这批模型的利润为w元． ①求w与a的函数关系式（不要求写出a的取值范围）； ②若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的一半，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1)“神舟”模型成本为每个20元，“天宫”模型成本为每个16元 (2)购进“神舟”模型33个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润是1098元 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用和分式方程的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式和方程． （1）设“神舟”模型成本为每个元，则“天宫”模型成本为每个（元，根据同样花费320元，购进“天官”模型的数量比“神舟”模型多4个．列出方程，解方程即可，注意验根； （2）①设购买“神舟”模型个，则购买“天宫”模型个，根据总利润两种模型利润之和列出函数解析式即可； ②根据购进“神舟”模型的数量不超过“天官”模型数量的一半求出的取值范围，由函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：设“神舟”模型成本为每个元，则“天宫”模型成本为每个（元， 根据题意得：， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合实际意义， （元， 答：“神舟”模型成本为每个20元，“天宫”模型成本为每个16元； （2）解：①设购买“神舟”模型个，则购买“天宫”模型个， 则， 与的函数关系式为； ②购进“神舟”模型的数量不超过“天官”模型数量的一半， ， 解得， ，，是正整数， 当时，最大，最大值为1098， 答：购进“神舟”模型33个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润是1098元． 75．先阅读下列解题过程，再回答问题． 解方程：， 解：两边同乘得：①， 去括号得：②， 移项得：③， 解得：④． (1)以上解答有错误，错误步骤的序号是___________． (2)请给出正确的解答过程． 【答案】(1)① (2) 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步㵵是解题的关键，注意不要丢了检验． （1）根据等式的性质判断即可； （2）根据解分式方程的步骤求解即可． 【详解】（1）解：以上解答有错误，错误步骤的序号是①， 故答案为：①． （2）， 两边同乘得：， 去括号得：， 移项得： 合并同类项得：， 解得：， 检验：当时，， 所以分式方程的解是． 六、第六章，平行四边形，25题 76．如图，平行四边形的对角线与相交于点，，若，，则的长是（　　）    A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、平行四边形的性质、勾股定理，由等腰直角三角形的判定与性质得出，由平行四边形的性质得出，，由勾股定理得出，即可得解． 【详解】解：，，， 为等腰直角三角形，， 四边形为平行四边形， ，， ， ， 故选：D． 77．如图，在平行四边形中，，，的平分线交于，交的延长线于点，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，以及平行线的性质，等角对等边．首先根据平行四边形的性质可得，，，再根据平行线的性质与角平分线的性质证明，根据等角对等边可得，再用即可算出的长． 【详解】解：如图， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 78．如图，的对角线与相交于点，，若，，则的长是（   ）    A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，以及勾股定理，熟练练据平行四边形的对角线互相平分是解答本题的关键． 根据平行四边形的性质得出，利用勾股定理得出，进而利用平行四边形的性质得出即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ， ， ， ， 故选：C． 79．如图，在中，平分交于，，，则的长为（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型． 首先证明，再根据平行四边形的性质即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 故选：C． 80．如图，四边形中，对角线与相交于点O，不能判断四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形． 根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可． 【详解】解：A、，根据“一组对边平行，另一组对边相等”的四边形也可能是等腰梯形，故本选项符合题意； B、，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可判定四边形为平行四边形，故此选项不符合题意； C、，根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”可判定四边形为平行四边形，故此不选项符合题意； D、，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”可判定四边形为平行四边形，故此选项不符合题意； 故选：A． 81．如图，在中，点D在上，，于点M，N是的中点，连接，若，则为（    ） A．3 B．4 C．1 D．2 【答案】D 【分析】本题考查三线合一，三角形的中位线定理．根据三线合一，得到为的中点，进而得到，进行求解即可． 【详解】解：∵，于点M， ∴， ∵N是的中点， ∴； 故选D． 82．如图，在中，平分，是的中点，，，，则的长为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形中位线的性质定理，关键是作辅助线得到等腰三角形． 延长交的延长线于点，证明是等腰三角形，则得的长，点E是的中点，求得的长，从而是中位线，即可求得的长． 【详解】延长交的延长线于点，如图， ， ， 平分， ， ， 是等腰三角形， ，点E是的中点， ，是的中位线， ． 故选：A． 83．将一把直尺和正六边形按如图所示的位置放置，若，那么的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，正多边形的内角和定理．过点C作与直尺平行，可得，再由正六边形的性质可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点C作与直尺平行， ∴， ∵多边形为正六边形， ∴， ∴． 故选：C 84．一个多边形的每一个外角均为，则这个多边形是（    ） A．八边形 B．九边形 C．十边形 D．十一边形 【答案】B 【分析】本题主要考查了多边形外角和定理，根据多边形外角和为360度进行求解即可． 【详解】解：， ∴这个多边形是九边形， 故选：B． 85．如图，在中，，，将沿对角线翻折，交于点，点的对应点为点，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的定义与性质、折叠的性质，由平行四边形的性质得出，由等边对等角得出，由折叠的性质可得：，由三角形外角的定义与性质得出，即可得解． 【详解】解：四边形为平行四边形， ， ， ，， ， 由折叠的性质可得：， ， ， 故答案为：． 86．如图，l是四边形的对称轴，如果，有下列结论：①；②；③；④． 其中错误的结论是 ．（把你认为错误的结论的序号都填上） 【答案】③ 【分析】本题考查了轴对称图形的的基本特征，平行线的性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据轴对称以及平行，证明，知道，结合，知道四边形是平行四边形，然后利用平行四边形的性质判断即可． 【详解】是四边形的对称轴， ，， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ，，， 又， ， 故①②④正确，③错误； 所以答案是③． 87．如图，在平行四边形中，，点P在边上以每秒的速度从点A向点D运动，点Q在边上以每秒的速度从点C出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动，同时点Q 也停止运动．设运动时间为，开始运动以后，当以A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为 ． 【答案】3或9/9或3 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，一元一次方程的应用，熟练掌握知识点并能够分类讨论是解题的关键．先由平行四边形的性质得出，再根据平行四边形的判定得出要以A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，则，分两种情况讨论，分别表示出，列出对应的一元一次方程，求解即可． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴， 若要以A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，则， 当时，， ∵， ∴， ∴，解得； 当时，， ∴，解得； 综上，t的值为3或9， 故答案为：3或9． 88．如图，在中，，，点为的中点，平分，，垂足为点，延长交于点，的长为 ． 【答案】1 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 证明，根据全等三角形的性质得到，，根据三角形中位线定理解答． 【详解】解：∵平分， ∴ 在和中， ， ∴ ∴，， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：1． 89．如图，在四边形中，点E，F分别是边的中点，，，，，则的度数为 ．    【答案】/度 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理的逆定理，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 连接，根据三角形中位线定理得到，根据平行线的性质求出，根据勾股定理的逆定理求出，计算即可． 【详解】解：如图，连接，    ∵点、分别是边、的中点， ∴是的中位线， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 故答案为：． 90．锐角为的两个平行四边形按如图所示的位置摆放．若，则的大小为 度． 【答案】25 【分析】本题考查了平行四边形的性质，多边形的内角和公式．根据平行四边形的性质结合五边形的内角和公式即可求解． 【详解】解：锐角为的两个平行四边形按如图所示的位置摆放， ，， ，， ， ， 故答案为：25． 91．一个多边形每个外角都等于，则从这个多边形的某个顶点画对角线，最多可以画出几条 ． 【答案】 【分析】本题考查了多边形的内角和外角性质，先计算出多边形的边数，再根据边形从一个点的作对角线条计算即可，熟练掌握外角和为是解题的关键． 【详解】解：∵多边形外角和都为， ∴该多边形为边形， ∴从这个多边形的某个顶点画对角线最多可以画出条， 故答案为：． 92．如图，在四边形中，的平分线与的平分线交于点，，则 ° 【答案】 【分析】本题考查了多边形的内角和、角平分线的定义；根据角平分线的定义及三角形内角和可求得的度数，再由四边形内角和即可求得结果． 【详解】解：∵分别是、的平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴； ∵， ∴； 故答案为：． 93．如图，已知四边形为平行四边形，分别平分和，交于点，连接．    (1)若，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义、三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由角平分线的定义得出，由平行四边形的性质得出，即可得出，从而得解； （2）根据平行四边形的性质和角平分线的性质证明，即可得证． 【详解】（1）解：平分，， ， 四边形为平行四边形， ， ； （2）证明：四边形为平行四边形， ，，， ， 分别平分和， ，， ， 在和中， ， ， ． 94．如图，平行四边形的对角线，相交于点O． (1)尺规作图：作的平分线，交于点E（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）所作的图中，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了平行四边形的性质，尺规作角平分线，等腰三角形的性质和判定， （1）理由尺规作角平分线的方法求解即可； （2）首先根据平行四边形的性质得到，，然后利用等腰三角形三线合一性质得到，进而求解即可． 【详解】（1）如图所示，即为所求； （2）证明：∵四边形为平行四边形， ∴，． ∵， ∴． ∵平分， ， ∴． ∴． ∴． 即． 95．已知，． (1)如图1，若以为边作等边，且点E恰好在边上，则的面积为______； (2)如图2，若以为斜边作等腰直角三角形，且点F恰好在边上，过C作交于G，连接．用等式表示此时线段之间的数量关系，并证明； (3)如图3，以为边作，且，．若，直接用等式表示此时与的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)，见解析 【分析】本题考查平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质： （1）作于点I，根据等边三角形的性质得出，再根据勾股定理得出，进而求出面积即可； （2）延长交的延长线于点H，延长交的延长线于点J，根据等腰直角三角形得出，，，再求出，证明，再证明，得出，进而得出结论； （3）连接，作并交MN的延长线于点K，由题意得，，得出，即是直角三角形，再求出，，根据勾股定理得出，进而得出答案． 【详解】（1）解：作于点I， ∵是边长为2的等边三角形， ∴， ∴， ∴此时的面积为； （2）解：①补全图形如图， ②；理由如下， 延长交的延长线于点H，延长交的延长线于点J， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴，，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：． 连接，作并交MN的延长线于点K， 由题意得，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵ ∴，即是直角三角形， ∵四边形是平行四边形，且， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，即． 96．在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，的顶点都在格点上，位置如图所示．        (1)把绕原点O逆时针旋转得，试画出图形，并直接写出点的坐标_____． (2)将绕某点顺时针旋转后，其对应点分别为，，，则旋转中心的坐标为_____． (3)若平面上有一点Q，使得点C、、、Q能构成平行四边形，则Q的坐标为_____． 【答案】(1)作图见解析； (2) (3)，， 【分析】本题主要考查了作图旋转变换，平行四边形的判定，准确找到旋转中心是解题的关键． （1）根据旋转变换的定义作出旋转后的对应点，再首尾顺次连接即可； （2）根据旋转的性质求解即可； （3）根据平行四边形的判定求解即可． 【详解】（1）如图所示，即为所求； 的坐标； （2）连接，，分别作线段，的垂直平分线，相交于点P， ∴旋转中心点P的坐标为； （3）如图所示，    当以为对角线时，可得平行四边形， 此时的坐标为； 当以为对角线时，可得平行四边形， 此时的坐标为； 当以为对角线时，可得平行四边形， 此时的坐标为； 综上所述，点Q的坐标为或或． 97．将一张宽度相等的纸条如图放置，与的边交于点E、F，连接别与相交于M、N两点． 求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，根据平行四边形的判定分别证明四边形和四边形是平行四边形，进而结合平行四边形的性质可证得结论． 【详解】证明：纸条宽度相等， ， ， ，，即， 四边形是平行四边形， ， 又， 四边形是平行四边形． ，又， 四边形是平行四边形 98．如图，在中，点在上，点在上，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若为的角平分线，且，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)32 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边，平行四边形的周长， （1）根据平行四边形的对边平行且相等可得，，结合题意可得，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明； （2）根据角平分线的定义可得，根据平行四边形的对边平行可得，根据两直线平行，内错角相等可得，推得，根据等角对等边可得，求得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，且， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵为的角平分线， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的周长． 99．如图，在四边形中，与交于点，，，、，垂足分别为，． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质及平行四边形的判定， （1）根据，得，再根据即可得证； （2）根据全等三角形的性质得，，继而得到，即可得证； 正确地找到全等三角形的对应边和对应角是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵、， ∴， 在和中， ， ∴； （2）由（1）知：， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形． 100．（1）如图①，在四边形中，、、、分别是、、、的中点．求证：四边形是平行四边形． （2）如图②，在四边形中，、、、分别为、、、的中点，求证：与互相平分． 【答案】（1）见解析（2）见解析 【分析】本题主要考查了三角形中位线的性质、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握三角形中位线的性质是解题关键． （1）连接，根据“三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半”可得，，，，进而可得且，即可证明结论； （2）连接、、、，结合三角形中位线的性质可证明四边形是平行四边形，由平行四边形的性质即可证明结论． 【详解】证明：（1）连接， ∵、分别为、的中点， ∴为的中位线,， ∴，， 同理可得，∴为的中位线， ∴，， ∴且， ∴四边形是平行四边形； （2）如下图，连接、、、，    ∵、、、分别为、、、的中点， ∴且，且， ∴且， ∴ 四边形是平行四边形， ∴与互相平分． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$