北师大版期末真题精选（六大题型，压轴题60题）-【尖子生培优】2023-2024学年八年级数学下学期重难点压轴题突破专练（北师大版）

北师大版期末真题精选（六大题型，压轴题60题）（原卷版） 目录 一、压轴题型一：三角形的证明，10题，难度四星 1 二、压轴题型二：一元一次不等式及不等式组，10题，难度四星 5 三、压轴题型三：图形的平移与旋转，10题，难度四星 12 四、压轴题型四：因式分解，10题，难度四星 17 五、压轴题型五：分式及分式方程，10题，难度四星 20 六、压轴题型六：平行四边形综合，10题，难度五星 23 一、压轴题型一：三角形的证明，10题，难度四星 1．如图1，直线与轴、轴分别交于、两点，点在线段上从向运动，过点作直线垂直于轴，另一动点从出发，沿直线向上运动，记的长为，的坐标为，分析此图后，对下列问题作出探究： (1) ， ； (2)当时，求出、的值； (3)如图当垂直时， ①猜想线段和的数量关系，并证明你得到的结论； ②求出关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围． 2．（1）问题提出：如图1，点E为等腰内一点，，，将绕着点A逆时针旋转得到，求证：． （2）尝试应用：如图2，如图2，点D为等腰外一点，，，过点A的直线分别交的延长线和的延长线于点N，M，若，求证； （3）问题拓展：如图3，中，，点D，E分别在边，上，，，交于点H．若，，直接写出的长度． 3．综合与实践： 【问题情景】 综合与实践课上，王老师让同学们以“共顶点的等腰三角形的旋转”为主题开展数学探究活动． 【实践操作】 王老师让同学们先画出两个等边和，将绕点A旋转到某一位置，要求同学们观察图形，提出问题并加以解决． （1）如图①，“慎思组”的同学们连接、，与的数量关系是 ；与的数量关系是 ；的度数是 度． （2）如图②，得知“慎思组”的结论后，“博学组”的同学们又连接，他们认为，如果，且，就可以求出的长，请写出求解过程． 【类比探究】 （3）如图③，“智慧组”的同学们画出了两个等腰直角和，其中，，；且点恰好落在上，那么、和之间一定存在某种数量关系，请你探究后直接写出它们之间的数量关系． 4．如图与为正三角形，点为射线上的动点，作射线与直线相交于点，将射线绕点逆时针旋转，得到射线，射线与直线相交于点． +   (1)如图①，点与点重合时，点，分别在线段，上，求证：； (2)如图②，当点O在的延长线上时，E，F分别在线段的延长线和线段上，试探索三条线段之间的数量关系，并说明理由； (3)点O在线段上，若，，当时，请直接写出的长． 5．如图，直线与轴、轴分别交于、两点，点在线段上从向运动，过点作直线垂直于轴，另一动点从出发，沿直线向上运动，记的长为，的坐标为，分析此图后，对下列问题作出探究： (1) ， ； (2)当 且 时，； (3)如图当垂直时， 猜想线段和的数量关系，并证明你得到的结论； 求出关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围． 6．综合与实践 问题情境： 如图1，为等边三角形．在直角三角尺中，，，将三角尺的顶点放在的边上，并将三角尺绕点旋转，使得三角尺的两边分别与边交于点． 探究发现： （1）勤学小组的同学发现在三角尺绕点旋转的过程中，与始终相等，请你证明这一结论； （2）如图2，连接，在三角尺绕点旋转的过程中，当时，试判断的形状，并说明理由； 深入探究： （3）如图3，善思小组的同学在图2的基础上，将沿射线的方向平移，使点的对应点恰好与点重合，得到，连接．如果，，请直接写出线段的长． 7．实验学校数学兴趣小组对特殊三角形外一点与该三角形三个顶点所形成的线段数量关系展开探究： (1)如图①，已知等边三角形边的延长线上一点P，且满足，求线段、、的数量关系，马超同学一眼看出结果为，，你是否同意，请聪明的你说明理由； (2)在探究过程中，小组同学们发现，当点P不在任意边的延长线上时，所形成的图形形似“鸡爪”，于是兴趣小组同学们对“鸡爪”图形的特点展开深入探究：如图②，为等边三角形，，（1）中的结论是否仍成立？小孙同学是这样做的：首先将线段朝外作等边三角形，连接，……，请沿着小孙同学的思路尝试着走下去看看结论是否符合（1）中的结论； (3)如图③，“鸡爪”图形中，是等腰直角三角形，，，请简述线段、、的的数量关系； (4)如图④，“鸡爪”图形中，是等腰直角三角形，，，若，，请直接写出的长． 8．（1）问题背景：如图1，已知和为等边三角形，求证：． （2）尝试应用：如图2，已知为等边三角形，点是外一点，且，求线段、、的数量关系． （3）拓展创新：如图3，点是等边外一点，若，，，直接写出线段的长______． 9．（1）发现：如图1，点A为线段外一动点，且，．则当点A位于______时，线段的长取得最大值，且最大值是______． （2）应用：点A为线段外一动点，且，，如图2所示，分别以，为边作等边和等边，连接、，求出线段长的最大值并说明理由 （3）拓展：如图3，在点A的正东方向3000米处有一物资补给站B，某园林部门要规划一片牡丹种植园，要求，，且米．为了在点A有最佳的观赏效果，要求线段最长，试求线段长的最大值及此时点C到直线的距离． 10．已知：中，，点为上一点，连接并延长至点，连接、，使． (1)如图1，当时，求证：； (2)如图2，当时，（1）中结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请直接写出结论：____________________； (3)如图3，在（2）的条件下，在上截取，连接，点在上，连接，且，，，求的长． 二、压轴题型二：一元一次不等式及不等式组，10题，难度四星 11．[问题提出]：如何解不等式？ 预备知识1：同学们学习了一元一次方程、一元一次不等式和一次函数，利用这些一次模型和函数的图象，可以解决一系列问题． 图①中给出了函数和的图象，观察图象，我们可以得到：当时，函数的图象在图象上方，由此可知：不等式的解集为_________． 预备知识2：函数称为分段函数，其图象如图②所示，实际上对带有绝对值的代数式的化简，通常采用“零点分段”的办法，将带有绝对值符号的代数式在各“取值段”化简，即可去掉绝对值符号，比如化简时， 可令和， 分别求得， (称1， 3分别是和的零点值)， 这样可以就，，三种情况进行讨论： （1） 当时， （2） 当时，； （3） 当时，， 所以就可以化简为 预备知识3：函数(b为常数)称为常数函数，其图象如图③所示． [知识迁移] 如图④，直线与直线相交于点，则关于x的不等式的解集是___________． [问题解决] 结合前面的预备知识，我们来研究怎样解不等式． （1）请在平面直角坐标系内作出函数的图象； （2）通过观察图象，便可得到不等式的解集，这个不等式的解集为_______． 12．[问题提出]∶ 如何解不等式？ 预备知识1： 同学们学习了一元一次方程、一元一次不等式和一次函数，利用这些一次模型和函数的图象，可以解决一系列问题． 图①中给出了函数和的图象，观察图象，我们可以得到： 当时， 函数的图象在图象上方， 由此可知∶ 不等式的解集为 ． 预备知识2：函数 称为分段函数，其图象如图②所示，实际上对带有绝对值的代数式的化简，通常采用“零点分段”的办法，将带有绝对值符号的代数式在各“取值段”化简，即可去掉绝对值符号． 比如∶化简时， 可令和， 分别求得， (称1， 3分别是和的零点值)， 这样可以就，，三种情况进行讨论∶ (1) 当时， (2) 当时，； (3) 当时，，所以就可以化简为 预备知识3：函数 (b为常数) 称为常数函数，其图象如图③所示． [知识迁移] 如图④， 直线与直线相交于点，则关于x的不等式． 的解集是 ． [问题解决]： 结合前面的预备知识，我们来研究怎样解不等式 ． 在平面直角坐标系内作出函数的图象，如图⑤． 在同一直角坐标系内再作出直线． 的图象，如图⑥，可以发现函数与的图象有两个交点，这两个交点坐标分别是 ， ； 通过观察图象，便可得到不等式的解集． 这个不等式的解集为 ． 13．在平面直角坐标系中，经过点，且平行于x轴的直线记作直线．我们给出如下定义：点先关于y轴对称得到点，再将点关于直线对称得到点，则称点为点P关于y轴和直线的“青一对称点”．举例：如图，先关于y轴对称得到点，再将点关于直线对称得到点，则称为点P关于y轴和直线的“青一对称点”．    (1)点关于y轴和直线的“青一对称点”的坐标是______． (2)点关于y轴和直线的“青一对称点”的坐标是，求m和n的值． (3)若关于y轴和直线的“青一对称点”在第四象限，且得到关于x的取值范围内的所有整数解之和为5，求m的取值范围． 14．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、B，直线交直线于点C，交x轴于点． (1)求点A的坐标； (2)若点C在第二象限，的面积是5； ①求点C的坐标； ②直接写出不等式组的解集； ③将沿x轴平移，点C、A、D的对应点分别为、、，设点的横坐标为m．直接写出平移过程中只有两个顶点在外部时，m的取值范围． 15．若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，则称这样的函数为分段函数，函数就是分段函数，我们把这个分段函数图像记为图象G． (1)当时，在平面直角坐标系中，画出图象G； (2)当时，结合图像G，回答下面问题： ①当函数值时，求自变量x的值； ②若和在图象G，且，则b的取值范围是___________． (3)当时，，求m的取值范围． (4)线段端点坐标分别为，，当图象G与线段AB有一个公共点时，则m的取值范围是___________． 16．若任意一个代数式，在给定的范围内求得的最值恰好也在该范围内，则称这个代数式是这个范围的“友好代数式”．例如：关于x的代数式，当时，代数式在时有最大值，最大值为1；在x=0时有最小值，最小值为0，此时最值1，0均在（含端点）这个范围内，则称代数式是的“友好代数式”． (1)若关于x的代数式，当时，取得的最大值为________；最小值为________；代数式________（填“是”或“不是”）的“友好代数式”； (2)若关于x的代数式是的“友好代数式”，则m的值是________； (3)若关于x的代数式是的“友好代数式”，求a的最大值和最小值． 17．已知函数y＝，其中m为常数，该函数图象记为G． (1)当m＝1时． ①若点A（a，4）在图象G上，求a的值． ②当﹣1≤x≤2时，直接写出函数值y的取值范围． (2)点B在图象G上，点B的横坐标为2m． ①用含m的代数式表示点B的坐标． ②当m＞0时，直线y＝4m与图象G交于点C、D，当△BCD的面积为9时，求点B的坐标． ③过点B作x轴的垂线，与直线y＝x+交于点H，当BH≥2时，直接写出m的取值范围． 18．已知一次函数与的图像平行，且与x轴交于点A的横坐标为2． (1)求k，b的值； (2)在下面的坐标系中，画出一次函数和的图像，并借助图像求方程组的解； (3)根据图像直接写出，当x取何值时，； (4)若与x轴的交点为B，和两图像的交点为C．在的图像上是否存在点P，使得的面积与的面积相等？若存在，请求出符合条件的点P的坐标：若不存在，请说明理由． 19．请阅读求绝对值不等式和的解的过程． 对于绝对值不等式，从图1的数轴上看：大于而小于的数的绝对值小于，所以的解为； 对于绝对值不等式，从图2的数轴上看：小于或大于的数的绝对值大于，所以的解为或． （1）求绝对值不等式的解 （2）已知绝对值不等式的解为，求的值 （3）已知关于，的二元一次方程组的解满足，其中是负整数，求的值． 20．在平面直角坐标系中，若P、Q两点的坐标分别为和，则定和中较小的一个（若它们相等，则任取其中一个）为P、Q两点的“直角距离小分量”，记为．例如：，因为；，而，所以． （1）请直接写出和的直角距离小分量_________； （2）点D是坐标轴上的一点，它与点的直角距离小分量，求出点D的坐标； （3）若点满足以下条件： a）点M在第一象限； b）点M与点的直角距离小分量 c），O为坐标原点．请写出满足条件的整点（横纵坐标都为整数的点）M的坐标_______． 三、压轴题型三：图形的平移与旋转，10题，难度四星 21．如图，已知直线与轴交于点，点与点关于轴对称．是直线上的动点，将绕点顺时针旋转得．连接，则线段的最小值为 ． 22．【特例感知】 （1）如图1，在中，，将绕点顺时针旋转得到，且满足点三点共线，延长交于点，连接．求证：； 【类比迁移】 （2）如图2，在中，，将绕点顺时针旋转得到，旋转角为，当时，延长与交于点，连接．请猜想与具有怎样的数量关系？并说明理由； 【拓展提升】 （3）如图3，在中，，将绕点顺时针旋转得到，延长分别与交于两点，连接．请问的值是否为定值？若是，请直接写出的值；若不是，请说明理由． 23．提出问题： 如图1，点P为等边内部的一点，连接．当，，，的面积是多少？ 探究问题： 探究（一）如图2，将绕点A顺时针旋转后得到，连接、． 则与全等吗？请说明理由； 探究（二）如图2，将绕点A顺时针旋转后得到，连接、． 请判断是直角三角形吗？请说明理由． 提炼方法： 通过尝试你很容易发现：、可以作如同样的旋转，这样的旋转可以帮助我们把已知数据6、8、10，转化为特殊三角形的边长，使我们有可能进行图形面积的计算了． 解决问题： 如图1，点P为等边内部的一点，连接．当，，，的面积是______． 24．【操作发现】如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上． ①请按要求画图：将绕点A顺时针方向旋转90°，点B的对应点为点，点C的对应点为点．连接； ②在①中所画图形中，______°． 【问题解决】 在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题： 如图2，在等边中，点P在内部，且，，，求的长． 经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点A按顺时针方向旋转，得到，连接，寻找、、三边之间的数量关系… 请参考他们的想法，完成解答过程． 【学以致用】 如图3，在等腰直角中，，P为内一点，，，，求的长． 【拓展延伸】如图4，在四边形中，，垂足为E，，；，，，求的长． 25．问题提出（1）平面中的任意两点都可以通过一次旋转变换互相得到．如图1，在平面直角坐标系中，点A绕x轴上点P旋转得到点B．请找出点P的位置； 问题发现（2）平面中的任意两条等线段都可以通过一次旋转变换互相得到．如图2，线段可以绕平面内一点P作一次旋转直接到线段．已知点，点，点，求出P点的坐标； 问题解决（3）如图3，在四边形中，，，，求的面积． 26．图形操作 （1）如图①，为等边三角形，P为其内一点，请将绕点B逆时针旋转，P的对应点为，画出旋转后的三角形． 问题探究 （2）如图②，等腰直角三角形，，D，E为上两点且，，，试求的面积． 问题解决 （3）“五一”假期期间，八年级学生小明与爸爸回郊区老家看望爷爷．空闲时帮爷爷整理出一片四边形的菜园如图③所示．在四边形中，经测量，，刚好平分，米，米，其中段准备布设一条水管用来灌溉（不计面积），四边形四周用篱笆围成．请你通过计算说明爷爷需要多长的水管？ 27．如图，等腰和等腰，，，． (1)如图1，，，，，求线段的长度； (2)如图2，，点M、N在线段上，，，求证：； (3)如图3，，连接和，若，，，直接写出的长为______． 28．综合与探究 在中，的角度记为． (1)操作与证明：如图1，若，点为边上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转角度至位置，连接．写出和的数量关系：______，______； (2)探究与发现：如图2，若，点变为延长线上一动点，连接，将线段绕点A逆时针旋转角度至位置，连接．试判断和的数量关系，并说明理由； (3)判断与思考：在（2）的探究中，若，点为直线上一点，当时，直接写出的长． 29．在边长为4的等边三角形中，点在射线上（不与点，重合），连接，并在其右侧作，使，连接． (1)当点在边上（如图时，填空：与的位置关系是 　 　；与的数量关系是 　 　； (2)当点在边的延长线上（如图时，（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请结合图2情形进行证明；若不成立，请说明理由； (3)当，请直接写出线段的长． 30．【操作发现】如图1，为等腰直角三角形，，先将三角板的角与重合，再将三角板绕点C按顺时针方向旋转（旋转角大于且小于），旋转后三角板的一直角边与交于点D．在三角板另一直角边上取一点F，使，线段上取点E，使，连接，． (1)直接写出______°； (2)与相等吗？请说明理由； 【类比探究】如图2，为等边三角形，先将三角板中的角与重合，再将三角板绕点C按顺时针方向旋转（旋转角大于且小于）．旋转后三角板的一直角边与交于点D．在三角板斜边上取一点F，使，线段上取点E，使，连接，． (3)请求出的度数； (4)若，求线段的长度． 四、压轴题型四：因式分解，10题，难度四星 31．如果一个三位自然数m的各数位上的数字均不相同且均不为0，且满足将m的各个数位中任取两个数位构成一个两位数这样就可以得到六个两位数，这六个两位数叫做m的“海纳数”例如：，则m的“海纳数”是57、75、58、85、78、87，m的所有“海纳数”之和与11的商记为，若，则 ；若s和t是两个三位数，它们都有“海纳数”，，（，a、b、c均为整数），若的能被4整除，记，则p的最大值为 ． 32．设为正整数，且，则等于 ． 33．一个两位正整数，如果满足各数位上的数字互不相同且均不为0，那么称为“异能数”，将的两个数位上的数字对调得到一个新数．把放在的后面组成第一个四位数，把放在的后面组成第二个四位数，我们把第一个四位数减去第二个四位数后再除以11所得的商记为，例如：时， ，．则 ；若、为“异能数”，其中，，（，，，且，，，为整数）规定：，若能被7整除，且，求的最大值为 ． 34．已知实数x，y，z满足，且，则z的最大值为 ． 35．阅读以下材料： 目前我们掌握的因式分解方法有提取公因式法和公式法．对于，它不是完全平方式，所以无法用公式法进行因式分解．现在介绍一种“凑数法”对此类代数式在有理数范围内因式分解： 第一步，因式分解是整式乘法的逆过程，最高含有的二次项，所以看作由得到； 第二步，去括号，和对比发现， 二次项系数为1，二次项由和相乘得出，所以（为了计算简便，往往取整数）； 第三步，继续把和对比，发现，两数之积为2，和为3，就不难凑出，，检验一下：，换个方向写就是因式分解了． 请使用上述方法回答下列问题： (1)因式分解： ①； ②； (2)对关于的多项式因式分解：． 36．通过课堂的学习知道，我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法． 配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式； 再例如求代数式的最小值，． 可知当时，有最小值，最小值是，根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)代数式的最大值为： ； (2)若与，判断的大小关系，并说明理由； (3)已知：，，求代数式的值． 37．现对x，y定义一种新的运算：，(其中均不为0)，举例：． (1)若； ①求的值． ②若关于的不等式组恰好有2个整数解，求的取值范围． (2)若对任意实数都成立，则应满足什么样的关系式？ 38．我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”． [解决问题] (1)已知29是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式______； (2)若可配方成（m、n为常数），则______； [探究问题] (3)已知，则______； (4)已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． [拓展结论] (5)已知实数x、y满足，求的最值． 39．阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值， 最小值等．例分解因式：；又例如：求代数式的最小值：；又；当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，利用“配方法”，解决下列问题： (1)分解因式：___________； (2)已知的三边长、、都是正整数，且满足求边长的最小值； (3)当、为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． 40．我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：（p，q是正整数，且），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称是n的最佳分解，并规定；，例如12可以分解成，或，因为，所以是12的最佳分解，所以． (1)求； (2)如果一个正整数只有1与m本身两个正因数，则m称为质数．若质数m满足，求m的值； (3)是否存在正整数n满足，若存在，求n的值：若不存在，说明理由． 五、压轴题型五：分式及分式方程，10题，难度四星 41．若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程有非负整数解，则满足条件的所有整数a的和为（    ） A．8 B．10 C．16 D．18 42．随着期末考试来临，李勇同学原计划延时服务期间复习语文、数学、英语的时间为，班主任李老师提醒要学科均衡，补短板．他便将数学复习时间的分给了语文和英语，调整后语文和英语的复习时间之比为．李勇同学非常刻苦，实际复习时还挤出部分休息时间分给了三个学科，其中分给了语文，余下的分别分给数学和英语，这样语文的总复习时间与三科总复习时间比为．若李勇同学最终希望使数学与英语总复习时间比为，那么数学的总复习时间与最后三科总复习时间之比为 ． 43．腊味食品是川渝人民的最爱，去年12月份，某销售商出售腊肠、腊舌、腊肉的数量之比为，腊肠、腊舌、腊肉的单价之比为．今年1月份，该销售商将腊肠单价上调，腊舌、腊肉的单价不变，并加大了宣传力度，预计今年1月份的营业额将会增加，其中腊肉增加的营业额占总增加营业额的，今年1月份腊肉的营业额将达到今年1月份总营业额的．若腊舌今年1月份增加的营业额与今年1月份总营业额之比为，则今年1月份出售腊肠与腊肉的数量之比是 ． 44．设n为正整数，且， ， … ． (1)求证：； (2)若，求正整数a，b的值． 45．定义：若分式A与分式的差等于它们的积．即，则称分式是分式A的“可存异分式”．如与．因为，．所以是的“可存异分式”． (1)填空：分式________分式的“可存异分式”（填“是”或“不是”；） (2)分式的“可存异分式”是________； (3)已知分式是分式A的“可存异分式”． ①求分式A的表达式； ②若整数使得分式A的值是正整数，直接写出分式A的值； (4)若关于的分式是关于的分式的“可存异分式”，求的值． 46．著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则． 阅读材料：在处理分数和分式的问题时，有时由于分子大于分母，或分子的次数高于分母的次数，在实际运算时难度较大，这时，我们可将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（分式）的和（差）的形式，通过对它的简单分析来解决问题，我们称这种方法为分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效． 将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行，如：，这样，分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式． 根据以上阅读材料，解答下列问题： (1)若分式的值为非负整数，则整数的值为______． (2)求分式的取值范围； (3)若分式拆分成一个整式与一个真分式（分子为整数）的和（差）的形式为：（整式部分对应等于，真分式部分对应等于），求的最小值． 47．请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题： 例1：分解因式； 解：将“”看成一个整体，令； 原式； 例2：已知，求的值． 解：； (1)根据材料，请你模仿例1尝试对多项式进行因式分解； (2)计算：　 　． (3)①已知，求的值； ②若，直接写出的值． 48．已知，，，求的值． 49．阅读：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，这样的分式就是真分式，我们知道，假分数可以化为带分数，例如：．类似地，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如： ； ． 请根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：①分式是______分式（填“真”或“假”）． ②把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式： ______＋______． (2)把分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，并求x取何整数时，这个分式的值为整数． (3)一个三位数m，个位数字是百位数字的两倍．另一个两位数n，十位数字与m的百位数字相同，个位数字与m的十位数字相同．若这个三位数的平方能被这个两位数整除，求满足条件的两位数n． 50．（1）已知其中，化简求值； （2）已知，探究m与n的关系． 六、压轴题型六：平行四边形综合，10题，难度五星 51．在中，，连接，已知，点E在线段上，将线段绕点D顺时针旋转 为线段． (1)如图1，线段与线段的交点和点E重合，连接，求线段的长度； (2)如图2，点G为延长线上一点，使得，连接交于点H，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，平面内一点P，当最小时，求的面积． 52．如图，在中，，，为边上任意一点（不与点，重合），将线段绕点逆时针旋转，得到线段，为边的中点，连接，，． (1)如图1，交于点，若，，求线段的长度； (2)如图2，为的中点，连接，，求证：； (3)连接，点为直线上一动点（不与点，重合），连接，将沿翻折至所在平面内，得到，连接，在（2）的条件下，若，当取得最小值时，直接写出线段的长度的最小值． 53．如图，在中，为对角线的中点，，，．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿折线向终点匀速运动，连结并延长交折线于点，将线段绕着点逆时针旋转得到线段，连结，设点的运动时间为（s）．    (1)用含的代数式表示的长． (2)当点在边上运动时，求证：． (3)当点在内部时，求的取值范围． (4)当与的重叠部分图形是轴对称的三角形时，直接写出的值． 54．如图：是边长为6的等边三角形，P是边上一动点．由点A向点C运动（P与点不重合），点Q同时以点P相同的速度，由点B向延长线方向运动（点Q不与点B重合），过点P作于点E，连接交于点D． (1)若设的长为x，则 ， ． (2)当时，求的长； (3)过点Q作交延长线于点F，则有怎样的数量关系？说明理由． (4)点在运动过程中，线段的长是否发生变化？如果不变，直接写出线段的长；如果变化，请说明理由． 55．问题提出 已知是等边三角形，将等边三角形绕A旋转，过点做，，连接． (1)观察发现 如图1，当点E在线段上，猜想的形状__________； (2)探究迁移 如图2，当点E不在线段上，（1）中猜想的结论是否依然成立，请说明理由； (3)拓展应用 在绕着点旋转的过程中，当与延长线垂直，交于点K时，若，，求． 56．等边，点是直线上一点，以为边在的右侧作等边，连接． (1)如图（1），若点在线段上，求证：； (2)如图（2），若点在的延长线上，直接写出线段，，的数量关系为______； (3)在（2）问条件下，把沿翻折得到，连接，，若恰好平分，，求线段的长． 57．在中，是对角线，，是内一点，连接，，， (1)求证： (2)当时，，，，求的面积． (3)在（1）的条件下，当平分，，，，求的长． 58．如图所示，在平面直角坐标系中，，，以，为邻边做平行四边形，其中，，满足． (1)直接写出点坐标　　　　； (2)如图2，线段的垂直平分线交轴于点，为的中点，试判断的大小，并说明理由； (3)如图3，点，为轴上的一点，，求点的坐标． 59．已知，，，连接，N为的中点． (1)如图，若A、M、D共线，求的值；    (2)如图，若A、M、D不共线时，上述结论是否依然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．    60．在平面直角坐标系中，的顶点A在y轴正半轴上，BC边在x轴上，已知，，且点B点C关于关于y轴对称    (1)如图1，求点A的坐标． (2)如图2，点E是y轴负半轴上一点，连接BE，若，求OE的长． (3)如图3，在（2）的条件下，点Q是外一点，连接AQ、BQ、CQ，并且CQ交AO于F，交AB于G，且，请问是否存在点P使得四边形为平行四边形？若存在求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北师大版期末真题精选（六大题型，压轴题60题）（解析版） 目录 一、压轴题型一：三角形的证明，10题，难度四星 1 二、压轴题型二：一元一次不等式及不等式组，10题，难度四星 27 三、压轴题型三：图形的平移与旋转，10题，难度四星 52 四、压轴题型四：因式分解，10题，难度四星 78 五、压轴题型五：分式及分式方程，10题，难度四星 91 六、压轴题型六：平行四边形综合，10题，难度五星 107 一、压轴题型一：三角形的证明，10题，难度四星 1．如图1，直线与轴、轴分别交于、两点，点在线段上从向运动，过点作直线垂直于轴，另一动点从出发，沿直线向上运动，记的长为，的坐标为，分析此图后，对下列问题作出探究： (1) ， ； (2)当时，求出、的值； (3)如图当垂直时， ①猜想线段和的数量关系，并证明你得到的结论； ②求出关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围． 【答案】(1)； (2)， (3)①，证明见解析；②（） 【分析】（1）结合直线解析式求得点、的坐标，即可获得答案； （2）由全等三角形的性质，可得，，再根据，结合题意即可获得答案； （3）①过作轴于，延长交延长线于，证明，由全等三角形的性质即可获得答案；②根据题意，结合等腰直角三角形的性质即可获得答案． 【详解】（1）解：∵直线与轴、轴分别交于、两点， ∴时，， ∴， ∴时，， 解得：， ∴， ∴，， 故答案为：；； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴，即， ∴，即； （3）解：①线段和的数量关系为，证明如下， 如图，过作轴于，延长交延长线于， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ②∵，，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 当点与点重合时，， 当点与点重合时，，则， ∴（）． 【点睛】本题主要考查了函数和几何图形的综合应用，解题的关键是灵活运用函数性质和点的意义表示出相应的线段长度，再结合全等三角形和等腰直角三角形的性质求解． 2．（1）问题提出：如图1，点E为等腰内一点，，，将绕着点A逆时针旋转得到，求证：． （2）尝试应用：如图2，如图2，点D为等腰外一点，，，过点A的直线分别交的延长线和的延长线于点N，M，若，求证； （3）问题拓展：如图3，中，，点D，E分别在边，上，，，交于点H．若，，直接写出的长度． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）13． 【分析】（1）由旋转的性质可证得，，进而得证，即可利用证明． （2）延长至G，使 ，连 接，设 交于K，如图：证明，，可得，再进一步可得结论； （3）将绕 点A 逆时针旋转至，作交 于 M，连 接，，证明为等边三角形，而，可得，，证明，可得，，证明，可得，证明，可得，再进一步可得答案． 【详解】解： （1）∵，，将绕着点A逆时针旋转得到， ∴，， ∴， 即：， 在与中，， ∴． （2） 延长至G，使 ，连 接，设 交于K，如图： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，  即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）将绕 点A 逆时针旋转至，作交 于 M，连 接，， ∴，， ∴为等边三角形，而， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 在和中， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； ∴的长度为13． 【点睛】本题属于几何综合，考查全等三角的判定及性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，含的直角三角形的性质，添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键， 3．综合与实践： 【问题情景】 综合与实践课上，王老师让同学们以“共顶点的等腰三角形的旋转”为主题开展数学探究活动． 【实践操作】 王老师让同学们先画出两个等边和，将绕点A旋转到某一位置，要求同学们观察图形，提出问题并加以解决． （1）如图①，“慎思组”的同学们连接、，与的数量关系是 ；与的数量关系是 ；的度数是 度． （2）如图②，得知“慎思组”的结论后，“博学组”的同学们又连接，他们认为，如果，且，就可以求出的长，请写出求解过程． 【类比探究】 （3）如图③，“智慧组”的同学们画出了两个等腰直角和，其中，，；且点恰好落在上，那么、和之间一定存在某种数量关系，请你探究后直接写出它们之间的数量关系． 【答案】（1），，；（2）；（3） 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识． （1）证明，可以得到，，根据，即可得到； （2）由（1），，根据等边三角形性质求出，，进而求出，根据勾股定理即可求出； （3））连接， 证明得到，，进而得到，根据勾股定理得到，即可得到． 【详解】解：（1）如图1， 与均为等边三角形 ，， 又， ， 在与中， ， ， ，， 又∵， ∴． 故答案为：，，； （2）由（1）可知，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， 在中，由勾股定理可得； （3）．理由如下： 如图③，连接， ，，； ，， 在与中， ， ， ，， ， ， ． 4．如图与为正三角形，点为射线上的动点，作射线与直线相交于点，将射线绕点逆时针旋转，得到射线，射线与直线相交于点． +   (1)如图①，点与点重合时，点，分别在线段，上，求证：； (2)如图②，当点O在的延长线上时，E，F分别在线段的延长线和线段上，试探索三条线段之间的数量关系，并说明理由； (3)点O在线段上，若，，当时，请直接写出的长． 【答案】(1)见解析； (2)，理由见解析； (3)4或2或6． 【分析】（1）由等边三角形的性质可得，，由旋转的性质可得，易得，由“”可证； （2）过点O作交与点H，，可证是等边三角形，可得，由“”可证，可得，即可得； （3）分四种情形画出图形分别求解即可解决问题． 【详解】（1）证明：如图①中， ∵与为正三角形， ∴，， ∵将射线绕点O逆时针旋转， ， ， ， ，， ； （2）解：，理由如下：， 如图②，过点O作交与点H，   ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ，， ， ， ，， ∴； （3）解：作于H． ，为正三角形，， ， ， 如图③中，当点O在线段上，点E在线段上时．   ， ， ， 过点O作，交于N， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 如图③-2中，当点O在线段上，点E在线段上，点F在线段的延长线上时，    同法可证：， ， ； 如图③-3中，当点O在线段上，点F在线段上，点E在线段上时．    同法可证：， ， ， ； 如图③中，当点O在线段上，点F在线段的延长线上，点E在线段上时．    同法可知：， 而， ， ； 综上所述，满足条件的的值为4或2或6． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． 5．如图，直线与轴、轴分别交于、两点，点在线段上从向运动，过点作直线垂直于轴，另一动点从出发，沿直线向上运动，记的长为，的坐标为，分析此图后，对下列问题作出探究： (1) ， ； (2)当 且 时，； (3)如图当垂直时， 猜想线段和的数量关系，并证明你得到的结论； 求出关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围． 【答案】(1)， (2)， (3)①，证明见解析；② 【分析】（1）结合直线解析式求得点的坐标，即可获得答案； （2）由全等三角形的性质，可得，，再根据，结合题意即可获得答案； （3）①过作轴于，延长交延长线于，证明，由全等三角形的性质即可获得答案；②根据题意，结合等腰直角三角形的性质即可获得答案． 【详解】（1）解：对于直线， 令，则有，故， 令，则有， 解得，故， ∴，． 故答案为：1，1； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴，即， ∴，即． 故答案为：，； （3）解：①线段和的数量关系为，证明如下： 过作轴于，延长交延长线于， 则有， ∴四边形为矩形，， 由（1）知为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（）． 【点睛】本题是主要考查了函数和几何图形的综合应用，解题的关键是灵活运用函数性质和点的意义表示出相应的线段长度，再结合全等三角形和等腰直角三角形的性质求解． 6．综合与实践 问题情境： 如图1，为等边三角形．在直角三角尺中，，，将三角尺的顶点放在的边上，并将三角尺绕点旋转，使得三角尺的两边分别与边交于点． 探究发现： （1）勤学小组的同学发现在三角尺绕点旋转的过程中，与始终相等，请你证明这一结论； （2）如图2，连接，在三角尺绕点旋转的过程中，当时，试判断的形状，并说明理由； 深入探究： （3）如图3，善思小组的同学在图2的基础上，将沿射线的方向平移，使点的对应点恰好与点重合，得到，连接．如果，，请直接写出线段的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）等边三角形，理由见解析；（3） 【分析】（1）由等边三角形性质，结合三角形内角和定理表示出与即可得证； （2）由（1）中结论，结合条件，利用三角形全等的判定得到，利用全等三角形性质及等边三角形的判定即可得证； （3）在（2）的基础上，结合平移性质得到相关线段与角度关系，再由等腰三角形的判定与性质，在中，运用含的直角三角形性质及勾股定理求线段长即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴， ∴在中，， 又∵， ∴， ∴； （2）解：是等边三角形． 理由如下： 由（1）得：，， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形； （3）解：由（2）知， 在等边三角形中，，， 在图2的基础上，将沿射线的方向平移，使点的对应点恰好与点重合，得到， ， ，， ， ， ，即平分， 是等腰三角形，且， 如图所示： 在中，，，则， ，则由勾股定理可得， ． 【点睛】本题考查旋转综合，涉及等边三角形的判定与性质、三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、含的直角三角形性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关几何判定与性质并灵活运用是解决问题的关键． 7．实验学校数学兴趣小组对特殊三角形外一点与该三角形三个顶点所形成的线段数量关系展开探究： (1)如图①，已知等边三角形边的延长线上一点P，且满足，求线段、、的数量关系，马超同学一眼看出结果为，，你是否同意，请聪明的你说明理由； (2)在探究过程中，小组同学们发现，当点P不在任意边的延长线上时，所形成的图形形似“鸡爪”，于是兴趣小组同学们对“鸡爪”图形的特点展开深入探究：如图②，为等边三角形，，（1）中的结论是否仍成立？小孙同学是这样做的：首先将线段朝外作等边三角形，连接，……，请沿着小孙同学的思路尝试着走下去看看结论是否符合（1）中的结论； (3)如图③，“鸡爪”图形中，是等腰直角三角形，，，请简述线段、、的的数量关系； (4)如图④，“鸡爪”图形中，是等腰直角三角形，，，若，，请直接写出的长． 【答案】(1)同意，证明见解析； (2)成立，证明见解析； (3) (4) 【分析】（1）证明，，由勾股定理即可得出结论； （2）线段朝外作等边，连接，证明得出，再证明，由勾股定理即可得出结论； （3）线段朝外作等腰直角，同（2）的方法证明，在由即可得出结论； （4）过点A作，交延长线于点D，得是等腰直角三角形，再证明得出，得出，进而求出. 【详解】（1）同意， 理由如下：∵在等边三角形中， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴，即， （2）（1）的结论成立， 证明：如图，线段朝外作等边三角形，连接， 在等边，等边中，，，， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， （3）如图，线段朝外作等腰直角三角形，连接，，， 在等腰直角，等腰直角中，，，， ∴，， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即. （4）过点A作，交延长线于点D， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴ 【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质和勾股定理，利用旋转构造全等三角形，将三条线段转化到同一个三角形中求解是解题关键． 8．（1）问题背景：如图1，已知和为等边三角形，求证：． （2）尝试应用：如图2，已知为等边三角形，点是外一点，且，求线段、、的数量关系． （3）拓展创新：如图3，点是等边外一点，若，，，直接写出线段的长______． 【答案】（1）见解析；（2）线段、、的数量关系为：；（3） 【分析】（1）证明，即可得出结论； （2）在上截取，连接，易得为等边三角形，同法（1）可得，进而得到，从而得到； （3）以为边，构造等边三角形，连接，过点作，交的延长线于点，易得为等腰直角三角形，进而求出、的长，勾股定理求出的长，同（1）法可得：，得到，即可得解． 【详解】（1）证明：和为等边三角形， ，，， ， ， ； （2）如图，在上截取，连接，   ， 为等边三角形， ，， 为等边三角形， ，， ， ， ， ， 线段、、的数量关系为：； （3）如图，以为边，构造等边三角形，连接，过点作，交的延长线于点，    则：，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 、均为等边三角形，同法（1）可得：， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等，是解题的关键． 9．（1）发现：如图1，点A为线段外一动点，且，．则当点A位于______时，线段的长取得最大值，且最大值是______． （2）应用：点A为线段外一动点，且，，如图2所示，分别以，为边作等边和等边，连接、，求出线段长的最大值并说明理由 （3）拓展：如图3，在点A的正东方向3000米处有一物资补给站B，某园林部门要规划一片牡丹种植园，要求，，且米．为了在点A有最佳的观赏效果，要求线段最长，试求线段长的最大值及此时点C到直线的距离． 【答案】（1）延长线上；7；（2）线段长的最大值为7；理由见解析；（3）的最大值为米，点C到直线的距离为米 【分析】（1）根据点A、C、B共线时，线段的长取得最大值，即可得到结论； （2）证明，得出，说明当最大时，最大，根据当点D在延长线时，最大，且最大值为，求出结果即可； （3）过点C作，截取米，连接，，证明，得出，根据当最大时，最大，根据当点E在的延长线上时，最大，且最大值为：米，即可得出的最大值，过点C作于点F，求出米，即可得出点C到的最大值． 【详解】解：（1）当点A位于线段的延长线上时，线段的长取得最大值，且最大值是； （2）∵和为等边三角形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴当最大时，最大， ∵当点D在延长线时，最大，且最大值为， ∴线段长的最大值为7； （3）过点C作，截取米，连接，，如图所示： 根据作图可知，为等腰直角三角形， ∴米， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当最大时，最大， ∴当点E在的延长线上时，最大，且最大值为：米， 即的最大值为米， 此时过点C作于点F， ∵， ∴米， 即此时点C到直线的距离为米． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，点到直线的距离，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 10．已知：中，，点为上一点，连接并延长至点，连接、，使． (1)如图1，当时，求证：； (2)如图2，当时，（1）中结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请直接写出结论：____________________； (3)如图3，在（2）的条件下，在上截取，连接，点在上，连接，且，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)（1）中的结论不成立； (3) 【分析】（1）在上截取，连接，证明，得出，，证明为等边三角形，得出，即可证明结论； （2）在上截取，连接，证明，得出，，证明为等腰直角三角形，得出，即可证明结论； （3）连接，过点A作于点M，根据解析（2）的证明得出，，，证明为等腰直角三角形，求出，，根据直角三角形的性质结合勾股定理求出，最后在中根据含角直角三角形的性质和勾股定理求出结果即可． 【详解】（1）证明：在上截取，连接，如图所示： ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 即； （2）解：（1）中结论不成立；； 在上截取，连接，如图所示： ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：连接，过点A作于点M，如图所示： ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：或（舍去）， ∴的长为． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，证明． 二、压轴题型二：一元一次不等式及不等式组，10题，难度四星 11．[问题提出]：如何解不等式？ 预备知识1：同学们学习了一元一次方程、一元一次不等式和一次函数，利用这些一次模型和函数的图象，可以解决一系列问题． 图①中给出了函数和的图象，观察图象，我们可以得到：当时，函数的图象在图象上方，由此可知：不等式的解集为_________． 预备知识2：函数称为分段函数，其图象如图②所示，实际上对带有绝对值的代数式的化简，通常采用“零点分段”的办法，将带有绝对值符号的代数式在各“取值段”化简，即可去掉绝对值符号，比如化简时， 可令和， 分别求得， (称1， 3分别是和的零点值)， 这样可以就，，三种情况进行讨论： （1） 当时， （2） 当时，； （3） 当时，， 所以就可以化简为 预备知识3：函数(b为常数)称为常数函数，其图象如图③所示． [知识迁移] 如图④，直线与直线相交于点，则关于x的不等式的解集是___________． [问题解决] 结合前面的预备知识，我们来研究怎样解不等式． （1）请在平面直角坐标系内作出函数的图象； （2）通过观察图象，便可得到不等式的解集，这个不等式的解集为_______． 【答案】[问题提出]；[知识迁移]；[问题解决]（1）见解析；（2）或． 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式之间的关系，熟练掌握函数的性质，数形结合是解题的关键． [问题提出]：根据函数图象可得答案； [知识迁移]：先求解的值，再根据函数图象可得答案； [问题解决]：（1）把函数化为，再画图即可； （2）在同一坐标系内画的图象，并求解两个函数的交点坐标，根据函数图象可得答案； 【详解】解：[问题提出]，如图， ∵当时，函数的图象在的图象上方， ∴不等的解集为：， [知识迁移]，如图， ∵点在上， ∴， 解得：， ∴， ∵当时，直线的图象在的图象的上方， ∴不等式， 即的解集为：， [问题解决] （1）根据题意得： ， 画图如下： （2）再在同一坐标系内画的图象如下： 由函数图象得：与有交点， 则， 解得：， 与有交点， 则 解得： ∴与的两个交点坐标分别为：，； 由函数图象可知，当时，的图象在的上方， 当时，的图象在的上方， 故不等式的解集为：或． 12．[问题提出]∶ 如何解不等式？ 预备知识1： 同学们学习了一元一次方程、一元一次不等式和一次函数，利用这些一次模型和函数的图象，可以解决一系列问题． 图①中给出了函数和的图象，观察图象，我们可以得到： 当时， 函数的图象在图象上方， 由此可知∶ 不等式的解集为 ． 预备知识2：函数 称为分段函数，其图象如图②所示，实际上对带有绝对值的代数式的化简，通常采用“零点分段”的办法，将带有绝对值符号的代数式在各“取值段”化简，即可去掉绝对值符号． 比如∶化简时， 可令和， 分别求得， (称1， 3分别是和的零点值)， 这样可以就，，三种情况进行讨论∶ (1) 当时， (2) 当时，； (3) 当时，，所以就可以化简为 预备知识3：函数 (b为常数) 称为常数函数，其图象如图③所示． [知识迁移] 如图④， 直线与直线相交于点，则关于x的不等式． 的解集是 ． [问题解决]： 结合前面的预备知识，我们来研究怎样解不等式 ． 在平面直角坐标系内作出函数的图象，如图⑤． 在同一直角坐标系内再作出直线． 的图象，如图⑥，可以发现函数与的图象有两个交点，这两个交点坐标分别是 ， ； 通过观察图象，便可得到不等式的解集． 这个不等式的解集为 ． 【答案】[问题提出]；[知识迁移]；[问题解决]，；或 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式之间的关系，熟练掌握函数的性质，数形结合是解题的关键． [问题提出] 观察图象即可得出答案； [知识迁移] 由点在上，可求出m的值，观察图象即可； [问题解决] 由，求出与的两个交点坐标，画出图象即可解决问题． 【详解】解：[问题提出]，如图， ∵当时，函数的图象在的图象上方， ∴不等的解集为：， 故答案为：； [知识迁移]，如图， ∵点在上， ∴， 解得：， ∴， ∵当时，直线的图象在的图象的上方， ∴不等式， 即的解集为：， 故答案为：； [问题解决]，如图， 设， 根据题意得： 由函数图象得：与有交点， 则， 解得：， 与有交点， 则 解得： ∴与的两个交点坐标分别为： ，； 故答案为：，； 由函数图象可知，当时，的图象在的上方， 当时，的图象在的上方， 故不等式的解集为：或， 故答案为：或． 13．在平面直角坐标系中，经过点，且平行于x轴的直线记作直线．我们给出如下定义：点先关于y轴对称得到点，再将点关于直线对称得到点，则称点为点P关于y轴和直线的“青一对称点”．举例：如图，先关于y轴对称得到点，再将点关于直线对称得到点，则称为点P关于y轴和直线的“青一对称点”．    (1)点关于y轴和直线的“青一对称点”的坐标是______． (2)点关于y轴和直线的“青一对称点”的坐标是，求m和n的值． (3)若关于y轴和直线的“青一对称点”在第四象限，且得到关于x的取值范围内的所有整数解之和为5，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)的值为4，的值为2 (3)或 【分析】（1）依照新定义计算即可； （2）依照新定义计算出，根据题意列出关于m和n的方程组，解方程组即可； （3）依照新定义计算出，根据在第四象限求出x的取值范围，再由关于x的取值范围内的所有整数解之和为5，列不等式组得出m的取值范围． 【详解】（1）解：点关于y轴的点为，再关于直线对称的点为， 故答案为：； （2）点关于y轴的点为，再关于直线对称的点为， 故点关于y轴和直线的“青一对称点”的坐标是， 的坐标是， 解得，， 故的值为4，的值为2； （3）故点关于y轴和直线的“青一对称点”的坐标是， 在第四象限， ，解得， 关于x的取值范围内的所有整数解之和为5， 或， 解得，或． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中坐标与图形变化，解题的关键是对新定义“青一对称点”的理解． 14．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、B，直线交直线于点C，交x轴于点． (1)求点A的坐标； (2)若点C在第二象限，的面积是5； ①求点C的坐标； ②直接写出不等式组的解集； ③将沿x轴平移，点C、A、D的对应点分别为、、，设点的横坐标为m．直接写出平移过程中只有两个顶点在外部时，m的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②；③或 【分析】（1）把代入求出点A的坐标即可； （2）①先根据的面积是5，求出点C的纵坐标即可，再代入求出点C的横坐标即可； ②根据函数图象，写出不等式组的解集即可； ③根据平移特点，分两种情况，当沿x轴向右平移时，当沿x轴向左平移，求出m的值即可． 【详解】（1）解：把代入得： ， 解得：， ∴点A的坐标为； （2）解：①∵，， ∴， ∵，点C在第二象限， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴； ②由图象即可知：不等式组的解集为：； ③连接，如图所示： 把代入得：， ∴点B的坐标为， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 把代入得：， 解得：， ， 当点在直线上时，点的横坐标为：， 当点在点D上时，点的横坐标为：， ∴当沿x轴向右平移时，只有两个顶点在外部时； 当沿x轴向左平移，只有两个顶点在外部时； 综上分析可知，只有两个顶点在外部时，m的取值范围为或． 【点睛】本题考查了一次函数图象的性质，一次函数图象与不等式的解集，三角形面积问题，掌握以上知识点是解题的关键． 15．若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，则称这样的函数为分段函数，函数就是分段函数，我们把这个分段函数图像记为图象G． (1)当时，在平面直角坐标系中，画出图象G； (2)当时，结合图像G，回答下面问题： ①当函数值时，求自变量x的值； ②若和在图象G，且，则b的取值范围是___________． (3)当时，，求m的取值范围． (4)线段端点坐标分别为，，当图象G与线段AB有一个公共点时，则m的取值范围是___________． 【答案】(1)见解析 (2)①函数值时，自变量x的值为4或；② (3) (4)或 【分析】（1）把代入函数解析式，求出函数解析式，根据函数解析式画出函数图象即可； （2）①分两种情况求出自变量的值即可； ②分情况解关于b的不等式组即可； （3）分三种情况，，三种情况进行讨论，求出符合条件的m的范围即可； （4）分，，，四种情况进行讨论，求出m的取值范围即可． 【详解】（1）解：把代入函数解析式得：， ∴当时，函数图像经过与，当时，函数图像经过与，画出函数图象，如图所示： （2）解：①当时，，解得， 当时，， 综上可知，函数值时，自变量x的值为4或； ②∵， 又∵和在图象G，且， 当、在函数上时， ∴， 解得：， 当在函数上、在函数上时， ∴， 解得：， 故答案为：． （3）解：当时，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵恒成立，的解集为：， ∴； 当时，， ∴， ∴当时，， ∵， ∴， 解得：， ∴没有符合条件的m值存在； 当时，， 当时，， 当时，， ∵， ∴，， ∵恒成立，的解集为， ∴； 综上分析可知，． （4）解：当时，如图所示： 线段与一定没有交点，要想使图象G与线段AB有一个公共点，则A点一定在的上方， ∴， 解得： ∴， 当时，如图所示： 此时点A一定在上方，要想使图象G与线段AB有一个公共点，则点必须在下方， ∴， 解得：， ∴； 当时，A、B在x轴上，且关于原点对称，由解析（1）中的图像可知，此时线段与图像G交于点O，符合题意； 当时，如图所示： ∵点A的纵坐标为，的最高点的纵坐标为， ∴线段与一定没有交点， ∴要想使图象G与线段AB有一个公共点，则点必须在下方， ∴， 解得：， ∴， 综上分析可知，当图象G与线段AB有一个公共点时，则m的取值范围是：或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图像和性质，求一次函数值或自变量的值，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 16．若任意一个代数式，在给定的范围内求得的最值恰好也在该范围内，则称这个代数式是这个范围的“友好代数式”．例如：关于x的代数式，当时，代数式在时有最大值，最大值为1；在x=0时有最小值，最小值为0，此时最值1，0均在（含端点）这个范围内，则称代数式是的“友好代数式”． (1)若关于x的代数式，当时，取得的最大值为________；最小值为________；代数式________（填“是”或“不是”）的“友好代数式”； (2)若关于x的代数式是的“友好代数式”，则m的值是________； (3)若关于x的代数式是的“友好代数式”，求a的最大值和最小值． 【答案】(1)3；0；不是 (2)4 (3)最大值为4，最小值为0 【分析】（1）根据，得出，进而求出的范围为，然后再根据“友好代数式”的定义直接判断即可； （2）根据，而中和3时候，两个绝对值中有一个为零，故把取值范围分为，，，分段来求而的取值范围，然后再根据“友好代数式”的定义，确定取值； （3）关键我们要讨论出的最大值和最小值，并且用含的代数式表示出来． 当，时，有，所以，所以时，的最大值为，或时的最小值为；所以可得不等式组，当，时，有，所以，所以时，的最小值为，或时的最大值为；所以可得不等式组，分别解两个不等式组即可得到答案． 【详解】（1）解：， ∴， ∴， ∴的最大为3最小值为0， 显然的取值范围不在得范围之内，故它不是友好代数式． 故答案为：3；0；不是． （2）解：在中， 当时，时有最大值为4，时有最小值为2， ∴， 当时，时有最大值为4，时，有最小值2， ∴， 当时，或4时有最大值为4，时，有最小值2， ∴， 而当时，，但是每增加1，增加2，此时的范围就不在变化的范围之内．也就不一定为的“友好代数式”了； 综上所述对于代数式是的“友好代数式”， ∴的值是4． 故答案为：4． （3）解：， ∴， ∴； ①当时，时，有最大值为， 或时有最小值为， ∴可得不等式组，解得：，， ∴； ②时，时，有最小值为， 或时的有大值为， 所以可得不等式组，解得：，，且， ∴无解； 综上分析可得：， ∴的最大值为4，最小值为0． 【点睛】本题考查了代数式取值范围，绝对值的意义，难度较大，考查学生的综合分析能力，同时也考查了一元一次不等式组的解集问题． 17．已知函数y＝，其中m为常数，该函数图象记为G． (1)当m＝1时． ①若点A（a，4）在图象G上，求a的值． ②当﹣1≤x≤2时，直接写出函数值y的取值范围． (2)点B在图象G上，点B的横坐标为2m． ①用含m的代数式表示点B的坐标． ②当m＞0时，直线y＝4m与图象G交于点C、D，当△BCD的面积为9时，求点B的坐标． ③过点B作x轴的垂线，与直线y＝x+交于点H，当BH≥2时，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)①a的值为1或﹣2；②4≤y≤6或1＜y≤3 (2)①点B坐标为（2m，6m）或（2m，0）；②B坐标为（2，6）；③m≥或m≤﹣ 【分析】（1）①将m＝1代入函数解析式，分别讨论a≥1，a＜1，将点A的坐标代入对应解析式求解． ②分别求出当1≤x≤2时和当≤x＜1时，y的取值范围． （2）①分别将x＝2m代入y＝2x+2m，求解． ②令y＝4m，求出CD的长度，再由求解． ③将x＝2m代入y＝x+求出点H坐标，进而求解． 【详解】（1）当m＝1时，y＝， ①当a≥1时，4＝2a+2， 解得a＝1， 当a＜1时，， 解得． ∴a的值为1或． ②当1≤x≤2时，y＝2x+2中，y随x增大而增大， ∴4≤y≤6， 当≤x＜1时，，y随x增大而减小， ∴1＜y≤3． 综上所述，4≤y≤6或1＜y≤3． （2）①当2m≥m时，m≥0，将x＝2m代入y＝2x+2m得y＝6m， ∴点B坐标为（2m，6m）， 当2m＜m时，m＜0，将2m代入得y＝0， ∴点B坐标为（2m，0）， 综上所述，点B坐标为（2m，6m）或（2m，0）． ②将y＝4m代入y＝2x+2m得4m＝2x+2m， 解得x＝m， 将y＝4m代入得4m＝﹣x+2m， 解得， ∴， ∵， 解得m＝或m＝（舍）， ∴点B坐标为（2，6）． （3）把x＝2m代入y＝x+得y＝2m+， ∴点H坐标为（2m，2m+）， 当m＞0时，点B坐标为（2m，6m）， ∴， 解得m≥或m≤（舍）， 当m＜0时，点B坐标为（2m，0）， ∴， 解得m≥（舍）或m≤， 综上所述，m≥或m≤． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，解题关键是掌握一次函数与方程的关系，通过分类讨论求解． 18．已知一次函数与的图像平行，且与x轴交于点A的横坐标为2． (1)求k，b的值； (2)在下面的坐标系中，画出一次函数和的图像，并借助图像求方程组的解； (3)根据图像直接写出，当x取何值时，； (4)若与x轴的交点为B，和两图像的交点为C．在的图像上是否存在点P，使得的面积与的面积相等？若存在，请求出符合条件的点P的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)k=-2，b=4 (2) (3)x＞1 (4)（5，6）或（-7，-6） 【分析】（1）根据待定系数法即可求得； （2）观察图像可知一次函数y1和y2=x+1的图像的交点为（1，2），据此即可求得方程组的解集； （3）根据图像即可求解； （4）设P（x，x+1），由△OBP的面积与△ABC的面积相等，得到×1×|x+1|=3，解得x=5或-7，即可求得P（5，6）或（-7，-6）． 【详解】（1）解：∵一次函数y1=kx+b与y=-2x的图像平行， ∴k=-2， ∵一次函数y1=kx+b与x轴交于点A的横坐标为2． ∴A（2，0）， 代入y=-2x+b得0=-4+b， ∴b=4； （2）画出一次函数y1和y2=x+1的图像如图： 由图像可知一次函数y1和y2=x+1的图像的交点为（1，2）， ∴方程组的解； （3）观察图像，当x＞1时，y1＜y2； （4）令y=0，则x+1=0，解得x=-1， ∴B（-1，0）， ∴OB=1， ∵A（2，0），C（1，2）， ∴S△ABC=×（2+1）×2=3， 设P（x，x+1）， ∵△OBP的面积与△ABC的面积相等， ∴×1×|x+1|=3， 解得x=5或x=-7， ∴P（5，6）或（-7，-6）． 【点睛】本题考查一次函数与二元一次方程，一次函数的性质，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与不等式的关系，三角形面积，能根据函数解析式求得交点坐标是解此题的关键． 19．请阅读求绝对值不等式和的解的过程． 对于绝对值不等式，从图1的数轴上看：大于而小于的数的绝对值小于，所以的解为； 对于绝对值不等式，从图2的数轴上看：小于或大于的数的绝对值大于，所以的解为或． （1）求绝对值不等式的解 （2）已知绝对值不等式的解为，求的值 （3）已知关于，的二元一次方程组的解满足，其中是负整数，求的值． 【答案】（1）x＞5或x＜1；（2）9；（3）m=-3或m=-2或m=-1 【分析】（1）由绝对值的几何意义即可得出答案； （2）由知，据此得出，再结合可得出关于、的方程组，解之即可求出、的值，从而得出答案； （3）两个方程相加化简得出，由知，据此得出，解之求出的取值范围，继而可得答案． 【详解】解：（1）根据绝对值的定义得：或， 解得或； （2）， ， 解得， 解集为， ， 解得， 则； （3）两个方程相加，得：， ， ， ， ， 解得， 又是负整数， 或或． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握绝对值的几何意义及解一元一次不等式和不等式组的能力． 20．在平面直角坐标系中，若P、Q两点的坐标分别为和，则定和中较小的一个（若它们相等，则任取其中一个）为P、Q两点的“直角距离小分量”，记为．例如：，因为；，而，所以． （1）请直接写出和的直角距离小分量_________； （2）点D是坐标轴上的一点，它与点的直角距离小分量，求出点D的坐标； （3）若点满足以下条件： a）点M在第一象限； b）点M与点的直角距离小分量 c），O为坐标原点．请写出满足条件的整点（横纵坐标都为整数的点）M的坐标_______． 【答案】（1）3；（2）或；（3）或 【分析】（1）根据新概念求得即可； （2）分两种情况，根据“直角距离小分量”的定义得出即可； （3）根据题意得出，解出的取值范围，再由可推导出，解出的取值范围，根据横纵坐标都为整数的点取的值即可． 【详解】解：（1），， ， ； 故答案为3； （2）点D是坐标轴上的一点， 若在轴上， 设， 由于与题意矛盾， 故点D是在轴上的一点， 设， ， ， 解得：或， 或； （3）由题意得：， 解得， ， ， 当时，， 解得：， 当时，， 解得：， 的取值范围是：或， 恰好为的倾斜角， ， ， 解得：或 综上：的取值范围是：， 横纵坐标都为整数， 和5， 或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，解一元一次不等式组，解题的关键是根据新概念列出不等式组． 三、压轴题型三：图形的平移与旋转，10题，难度四星 21．如图，已知直线与轴交于点，点与点关于轴对称．是直线上的动点，将绕点顺时针旋转得．连接，则线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】设直线与轴的交点为，再取的中点，连接、，过作于点．根据直线解析式求出点和点的坐标，然后再证明为等边三角形．再结合旋转的性质和等边三角形的性质，并利用证明，得出．由为定点，为定值，即说明当在直线上运动时，点也在定直线上运动，即得出当点与点重合时，最短．结合轴对称的性质可求出，进而可利用锐角三角函数求出，即的最小值为3． 【详解】解：设直线与轴的交点为，再取的中点，连接、，过作于点，如图所示： 对于，令，则， ， 令，则， ， ，， ， ， 的中点为， ， ， 为等边三角形， ， ， 由旋转的性质可知，， ，即， ， ， 为定点，为定值， 当在直线上运动时，点也在定直线上运动， 当点与点重合时，最短， 点与点关于轴对称， ， ， ， ，即的最小值为3， 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质、轴对称的性质，三角形全等的判定和性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理、解直角三角形以及一次函数等知识点，解题的关键是确定点在定直线上，通过垂线段最短的性质求的最小值． 22．【特例感知】 （1）如图1，在中，，将绕点顺时针旋转得到，且满足点三点共线，延长交于点，连接．求证：； 【类比迁移】 （2）如图2，在中，，将绕点顺时针旋转得到，旋转角为，当时，延长与交于点，连接．请猜想与具有怎样的数量关系？并说明理由； 【拓展提升】 （3）如图3，在中，，将绕点顺时针旋转得到，延长分别与交于两点，连接．请问的值是否为定值？若是，请直接写出的值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）；理由见解析；（3）的值为定值； 【分析】（1）根据角平分线的判定进行解答即可； （2）过点A作于点M，于点N，先证明，根据角平分线的判定得出平分，即可证明结论； （3）过点A作于点G，求出，说明为等腰直角三角形，得出，设，则，根据勾股定理得出，求出，得出，即可求出结果． 【详解】解：（1）根据旋转可知：，， ∴， ∴，， ∴平分， ∴； （2）；理由如下： 过点A作于点M，于点N，如图所示： 根据旋转可知：， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴平分， ∴； （3）的值为定值；； 过点A作于点G，如图所示： 根据旋转可知：，， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据解析（2）可知，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了角平分线的判定，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，旋转的性质，解题的关键是作出发现，熟练掌握角平分线的判定． 23．提出问题： 如图1，点P为等边内部的一点，连接．当，，，的面积是多少？ 探究问题： 探究（一）如图2，将绕点A顺时针旋转后得到，连接、． 则与全等吗？请说明理由； 探究（二）如图2，将绕点A顺时针旋转后得到，连接、． 请判断是直角三角形吗？请说明理由． 提炼方法： 通过尝试你很容易发现：、可以作如同样的旋转，这样的旋转可以帮助我们把已知数据6、8、10，转化为特殊三角形的边长，使我们有可能进行图形面积的计算了． 解决问题： 如图1，点P为等边内部的一点，连接．当，，，的面积是______． 【答案】探究（一）：，理由见解析；探究（二）是直角三角形，理由见解析；解决问题： 【分析】探究（一）：利用即可证明； 探究（二）：由全等三角形的性质得到，由旋转的性质证明是等边三角形，得到，再根据勾股定理的逆定理即可判断是直角三角形； 解决问题：将绕点C顺时针旋转后得到，同理求得是等边三角形，是直角三角形，求得，作交的延长线于点，则，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求得的边长，据此即可求解． 【详解】解：探究（一）：，理由如下： 由旋转的性质知，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴； 探究（二）：∵， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形； 解决问题：将绕点C顺时针旋转后得到，连接、． 同理，是等边三角形，是直角三角形，且， ∴， 作交的延长线于点，则， ∴，， ∴， ∴， 作于点， 则，， ∴的面积 ． 【点睛】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、含30度角的直角三角形性质和勾股定理和勾股定理的逆定理． 24．【操作发现】如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上． ①请按要求画图：将绕点A顺时针方向旋转90°，点B的对应点为点，点C的对应点为点．连接； ②在①中所画图形中，______°． 【问题解决】 在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题： 如图2，在等边中，点P在内部，且，，，求的长． 经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点A按顺时针方向旋转，得到，连接，寻找、、三边之间的数量关系… 请参考他们的想法，完成解答过程． 【学以致用】 如图3，在等腰直角中，，P为内一点，，，，求的长． 【拓展延伸】如图4，在四边形中，，垂足为E，，；，，，求的长． 【答案】操作发现：；问题解决：；学以致用：；拓展延伸： 【分析】操作发现：根据旋转前后的图形全等和等腰直角三角形两底角等于可得结果； 问题解决：按照题中要求作出图形，根据旋转的性质可得，，再根据等边三角形的性质和判定得到，即可证得结论； 学以致用：将绕点C顺时针旋转得到，连接，证明计算即可． 拓展延伸：将绕点A逆时针旋转得到，连接，根据旋转的性质及等边三角形的判定得出与均为等边三角形，再通过导角证得，即可通过勾股定理求得结果． 【详解】解：操作发现：旋转后的图形如图所示，连接， ，， ； 故答案为：； 问题解决：由题中作图方式作出图形如图所示，则，， 是等边三角形，，， 等边， ，， ， ； 学以致用：∵是等腰直角三角形， ∴． 将绕点C顺时针旋转得到，连接，如图： 则， ∴是等腰直角三角形 ∴， ∴， ∴P、、B三点共线， ∴， ∴， ∴． 拓展延伸：连接， ，， ， 如图所示，将绕点A逆时针旋转得到，连接，则， ， ， ，， ， 与均为等边三角形， ，， ，， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的判定，较为综合，解决本题的关键是利用的旋转的性质作出辅助线，构造直角三角形，从而得到线段之间的关系． 25．问题提出（1）平面中的任意两点都可以通过一次旋转变换互相得到．如图1，在平面直角坐标系中，点A绕x轴上点P旋转得到点B．请找出点P的位置； 问题发现（2）平面中的任意两条等线段都可以通过一次旋转变换互相得到．如图2，线段可以绕平面内一点P作一次旋转直接到线段．已知点，点，点，求出P点的坐标； 问题解决（3）如图3，在四边形中，，，，求的面积． 【答案】（1）见详解；（2）点的坐标为或；（3） 【分析】本题考查旋转的性质，坐标与图形，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积，正确作出辅助线是解题关键． （1）连接，作的垂直平分线，与轴的交点即为所求； （2）分两种情况讨论，点与点是对应点和点与点是对应点，再根据勾股定理即可求解； （3）以为边作等边三角形，连接，，证明，得出，是等边三角形，从而得出，作，根据勾股定理以及勾股定理得出，，即可解答； 【详解】（1）如图所示，点即为所求： （2）设点， 当点与点是对应点时，点与点对应， 由旋转的性质可得， ， 解得， ∴点的坐标为， 当点与点是对应点时，点与点对应， ， ， 解得， ∴点的坐标为， 综上，点的坐标为或； （3）以为边作等边三角形，连接，， ∴， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 作， 是等边三角形， ， ， ，， ， ． 26．图形操作 （1）如图①，为等边三角形，P为其内一点，请将绕点B逆时针旋转，P的对应点为，画出旋转后的三角形． 问题探究 （2）如图②，等腰直角三角形，，D，E为上两点且，，，试求的面积． 问题解决 （3）“五一”假期期间，八年级学生小明与爸爸回郊区老家看望爷爷．空闲时帮爷爷整理出一片四边形的菜园如图③所示．在四边形中，经测量，，刚好平分，米，米，其中段准备布设一条水管用来灌溉（不计面积），四边形四周用篱笆围成．请你通过计算说明爷爷需要多长的水管？ 【答案】（1）见解析；（2）36；（3）米 【分析】此题主要考查了旋转变换，解决问题的关键是熟练掌握旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质． （1）根据旋转的性质画出图形即可； （2）将绕点顺时针旋转，得，连接， 证明，根据，，运用勾股定理求出，证明，得到，推出，得到，即可求出的面积； （3）根据，运用勾股定理求出，将顺时针旋转到，连接，根据，判断，，B，C共线，是等腰直角三角形， 证明，得到，得到，即得． 【详解】（1）根据题意作出图形如下， （2）将绕点顺时针旋转，得，连接，如图， ∴，，，， ，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为； （3）如图，将顺时针旋转到，连接， ， ∵，平分， ∴， ∴，，B，C均在同一直线上， 则是等腰直角三角形，， ∵ ∴ ∴ 在与中， ， ∴， ∴， 在中， ，， ∴， ∴， ∴． ∴得需要米的水管． 27．如图，等腰和等腰，，，． (1)如图1，，，，，求线段的长度； (2)如图2，，点M、N在线段上，，，求证：； (3)如图3，，连接和，若，，，直接写出的长为______． 【答案】(1)10 (2)见解析 (3) 【分析】（1）证明为等边三角形，得出，，根据勾股定理求出，证明，得出； （2）根据等腰三角形的性质求出，将绕点A顺时针旋转得到，连接，根据旋转的性质，求出，证明，得出，证明为等边三角形，得出，即可求出结果； （3）根据勾股定理得出，，连接，交于点O，根据，得出，证明，根据勾股定理得出，，，，求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 根据勾股定理得：， ∵， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 将绕点A顺时针旋转得到，连接，如图所示： 则，， ，， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴． （3）解：∵，，， ∴，，， ∴，， ， 连接，交于点O，如图所示： 则与解析（1）同理可证， ∴， ∴ ， ∴， ∴，， ，， ∴ ， ∴， ∴（负值舍去）． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，旋转的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法． 28．综合与探究 在中，的角度记为． (1)操作与证明：如图1，若，点为边上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转角度至位置，连接．写出和的数量关系：______，______； (2)探究与发现：如图2，若，点变为延长线上一动点，连接，将线段绕点A逆时针旋转角度至位置，连接．试判断和的数量关系，并说明理由； (3)判断与思考：在（2）的探究中，若，点为直线上一点，当时，直接写出的长． 【答案】(1)；． (2)，理由见解析． (3)或． 【分析】（1）由旋转的性质得，再证是等边三角形可得，然后证明可得、，最后根据角的和差即可解答； （2）同第（1）的方法证明，再根据全等三角形的性质即可解答； （3）由（2）可得，从而得，进而得到；过A作于F，分两种情况求得,再根据勾股定理以及全等三角形的性质即可解答． 【详解】（1）证明：∵将线段绕点逆时针旋转角度至位置，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴ 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：；． （2）解：，理由如下： ∵将线段绕点逆时针旋转角度至位置，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （3）解：∵，， ∴， 由论证①可知，， ∴， ∴， 由，可知共有两种情况，如图，，过A作于F， ∵，， ∴， ∴，， 在中，由勾股定理得， ， ∵，即， ∴； 在中，由勾股定理得，， ∵，即 ∴； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点．熟练掌握相关性质和定理是解题的关键． 29．在边长为4的等边三角形中，点在射线上（不与点，重合），连接，并在其右侧作，使，连接． (1)当点在边上（如图时，填空：与的位置关系是 　 　；与的数量关系是 　 　； (2)当点在边的延长线上（如图时，（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请结合图2情形进行证明；若不成立，请说明理由； (3)当，请直接写出线段的长． 【答案】(1)平行，相等 (2)（1）中的两个结论仍然成立，理由见解析 (3)2或8 【分析】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． （1）由等边三角形的性质和平行线的性质得到，于是得到是等边三角形，再证明即可得到结论； （2）由等边三角形的性质和平行线的性质得到，于是得到是等边三角形，再证明即可得到结论； （3）过点作，交于点．证出是等边三角形即可得结论． 【详解】（1）如图1中，连接， 由旋转的性质可知，，， 是等边三角形， ，， ， ，即， 在和中， ， ， ，， ， 故答案为：平行，相等； （2）（1）中的两个结论仍然成立， 如图2，，连接， 由旋转的性质可知，，， 是等边三角形， ，， ， ，即， 在和中， ， ， ，， ； （3）当点在线段上，如图3中， 是等边三角形， ， 把线段绕点顺时针旋转，得到线段， 是等边三角形， ， ， ， 由（1）， ，， ； 当点在线段的延长线上，如图4中， 是等边三角形， ， 把线段绕点顺时针旋转，得到线段， 是等边三角形， ， ， ， 由（1）， ，， ， ； ∴线段的长2或8． 30．【操作发现】如图1，为等腰直角三角形，，先将三角板的角与重合，再将三角板绕点C按顺时针方向旋转（旋转角大于且小于），旋转后三角板的一直角边与交于点D．在三角板另一直角边上取一点F，使，线段上取点E，使，连接，． (1)直接写出______°； (2)与相等吗？请说明理由； 【类比探究】如图2，为等边三角形，先将三角板中的角与重合，再将三角板绕点C按顺时针方向旋转（旋转角大于且小于）．旋转后三角板的一直角边与交于点D．在三角板斜边上取一点F，使，线段上取点E，使，连接，． (3)请求出的度数； (4)若，求线段的长度． 【答案】(1)90 (2)，理由见解析； (3) (4) 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出、，证出，由证明得出、，求出； （2）证出，由证明，得出即可； （3）由等边三角形的性质得出，求出，证明得出，求出； （4）证出，由证明，得出；作交的延长线于H．最后解直角三角形即可解答． 【详解】（1）解：∵是等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． （2）解：，理由如下： ， ， ， 在和中， ． （3）解：是等边三角形， ，． ， 在和中， ， ， ． （4）解：，， ， ， 在和中， ， ， ， 如图，作交的延长线于H． 在中，，， ， ，， ， 在中，， ． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识点；本题综合性强，灵活运用所学知识成为解题的关键． 四、压轴题型四：因式分解，10题，难度四星 31．如果一个三位自然数m的各数位上的数字均不相同且均不为0，且满足将m的各个数位中任取两个数位构成一个两位数这样就可以得到六个两位数，这六个两位数叫做m的“海纳数”例如：，则m的“海纳数”是57、75、58、85、78、87，m的所有“海纳数”之和与11的商记为，若，则 ；若s和t是两个三位数，它们都有“海纳数”，，（，a、b、c均为整数），若的能被4整除，记，则p的最大值为 ． 【答案】 26 / 【分析】本题主要考查新定义问题、整除的意义、因式分解的应用等知识点，理解新定义成为解题的关键． 由“海纳数”的定义可以即可得到的值；然后再确定、的表达式，由a、b、c的取值范围可以算出的取值，然后得到关于a、b、c的等式，最后再根据a、b、c的取值范围写出满足条件的几组a、b、c的取值，从中选出使p取值最大的组合并计算出的值即可． 【详解】解：， ∵，（，a、b、c均为整数）， ∴s的百位数是a，十位数是9，个位数是b；t的百位数是2，十位数是1，个位数是c； ∴，， ∵能被4整除， ∴能被4整除， ∴，即， ∵，， ∴， ， ∴或或或或或或或或或或或． ∴经比较p的最大值为． 故答案为：26，． 32．设为正整数，且，则等于 ． 【答案】 【分析】将，转化为关于同一底数幂的形式，再代入中试解即可． 【详解】解：因为，所以只能是，只能是．（为整数） 同理，（为整数）． 由，得 ， ， 故，， 所以，． 因此，，．， ． 故答案为：． 【点睛】此题考查了整数问题的综合运用，将题目条件进行转化，再进行试解是解题的关键，体现了转化思想在解题中的应用． 33．一个两位正整数，如果满足各数位上的数字互不相同且均不为0，那么称为“异能数”，将的两个数位上的数字对调得到一个新数．把放在的后面组成第一个四位数，把放在的后面组成第二个四位数，我们把第一个四位数减去第二个四位数后再除以11所得的商记为，例如：时， ，．则 ；若、为“异能数”，其中，，（，，，且，，，为整数）规定：，若能被7整除，且，求的最大值为 ． 【答案】 / 【分析】 根据新定义求解，用字母表示和，再根据代入验证法求解． 【详解】 解： ， 故答案为：； ， 同理可得，， 能被7整除， ， ，，或者，， ， ， ， ，或，， ， 当，，，时，最大，最大值为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，理解新定义是解题的关键． 34．已知实数x，y，z满足，且，则z的最大值为 ． 【答案】 【分析】依据转换得到，，将变形为整理得即，结合得求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了已知式子的值求字母的取值范围，因式分解综合应用，完全平方公式及平方的非负性；解题的关键是熟练利用因式分解进行综合运算． 35．阅读以下材料： 目前我们掌握的因式分解方法有提取公因式法和公式法．对于，它不是完全平方式，所以无法用公式法进行因式分解．现在介绍一种“凑数法”对此类代数式在有理数范围内因式分解： 第一步，因式分解是整式乘法的逆过程，最高含有的二次项，所以看作由得到； 第二步，去括号，和对比发现， 二次项系数为1，二次项由和相乘得出，所以（为了计算简便，往往取整数）； 第三步，继续把和对比，发现，两数之积为2，和为3，就不难凑出，，检验一下：，换个方向写就是因式分解了． 请使用上述方法回答下列问题： (1)因式分解： ①； ②； (2)对关于的多项式因式分解：． 【答案】(1)①② (2) 【分析】本题考查了新定义“凑数法”因式分解，正确理解阅读材料中的思维方法是解答本题的关键． （1）①根据阅读材料中的待定系数法，通过比较待定系数，可凑得，进一步推理后又可凑得，，即得答案； ②根据阅读材料中的待定系数法，通过比较待定系数，可凑得，，进一步推理后又可凑得，，即得答案； （2）设，则，同样可先凑答案，，代入关系式得，比较系数可得，，针对b，d，可进行讨论，并逐一验证，可得，符合题意，即得答案． 【详解】（1）①由题意得，，，， 所以可凑数，， 故； ②由题意得，，，， 所以可凑数，， 则，， 又可凑数，， 故； （2）设， 则， 凑数，， ， ，， 分四种情况讨论： 当，时，代入，不成立，舍去； 当，时，代入，不成立，舍去； 当，时，代入，成立，符合题意； 当，时，代入，不成立，舍去； 所以只有，， 故． 36．通过课堂的学习知道，我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法． 配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式； 再例如求代数式的最小值，． 可知当时，有最小值，最小值是，根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)代数式的最大值为： ； (2)若与，判断的大小关系，并说明理由； (3)已知：，，求代数式的值． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了因式分解的应用、非负数的性质、完全平方公式的应用，解题时要注意配方法的步骤，注意在变形的过程中不要改变式子的值． （1）先配方，然后根据完全平方式的非负性求最大值即可； （2）先表示出，然后由完全平方式的非负性可得，由此即可得解； （3）由完全平方公式可得，代入可得，然后由完全平方式的非负性可得，，求出，代入进行计算即可． 【详解】（1）解：， 当时，由最大值，为， 代数式的最大值为， 故答案为：； （2）解：，， ， ，， ， ； （3）解：，， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ． 37．现对x，y定义一种新的运算：，(其中均不为0)，举例：． (1)若； ①求的值． ②若关于的不等式组恰好有2个整数解，求的取值范围． (2)若对任意实数都成立，则应满足什么样的关系式？ 【答案】(1)①；②； (2) 【分析】（1）①由新定义运算的含义可得，再解方程组即可得到答案；②由结合不等式组可得，可得：，结合此时恰好有2个正整数解，可得，再解不等式组即可； （2）由，可得，结合题意可得，从而可得答案. 【详解】（1）解：①∵，， ∴，即， 解得：， ②∵由① 得：， ∴， ， ∴即， 解得：， ∵此时恰好有2个正整数解， ∴， 解得：； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∵对任意实数都成立， ∴， ∴； 【点睛】本题考查的是新定义运算，二元一次方程组的解法，一元一次不等式组的解法，因式分解的应用，本题难度大，对学生要求高. 38．我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”． [解决问题] (1)已知29是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式______； (2)若可配方成（m、n为常数），则______； [探究问题] (3)已知，则______； (4)已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． [拓展结论] (5)已知实数x、y满足，求的最值． 【答案】(1)； (2) (3) (4) (5)最大值为：； 【分析】（1）根据“完美数”可得答案； （2）利用完全平方公式可得，从而可得答案； （3）利用完全平方公式把左边分组分解因式，再利用非负数的性质可得答案； （4）利用完全平方公式可得，再利用新定义可得答案； （5）由条件可得，代入计算可得： ，再结合非负数的性质可得最大值． 【详解】（1）解：； （2）； ∴，， ∴； （3）∵， ∴ ∴， ∴，， 解得：，， ∴； （4） ， 当为完美数时， ∴， 解得：． （5）∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴； ∴的最大值为：． 【点睛】本题考查的是新定义运算的理解，完全平方公式的应用，利用完全平方公式分解因式，熟练的掌握完全平方公式的特点与性质是解本题的关键． 39．阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值， 最小值等．例分解因式：；又例如：求代数式的最小值：；又；当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，利用“配方法”，解决下列问题： (1)分解因式：___________； (2)已知的三边长、、都是正整数，且满足求边长的最小值； (3)当、为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． 【答案】(1) (2)5 (3)时，最大值为16． 【分析】（1）根据阅读材料，先将变形为，再根据完全平方公式写成，然后利用平方差公式分解即可； （2）根据配方法得出两个完全平方式，再根据两个非负数的和为0时，每一部分为0可得a，b的值，最后根据三角形三边的关系，可得c的取值范围和最小值； （3）根据题目中的例子，先将所求式子配方，再根据完全平方式的非负性即可得到当x、y为何值时，所求式子取得最大值，并求出这个最大值； 【详解】（1）解：原式 =； 故答案为： （2）， ， ， 解得：， 、、是 的三边长， ， 又是整数，； 边长的最小值是5； （3） ， ，； ， 当 时, 即 时，取得最大值为16． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，非负数的性质，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值． 40．我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：（p，q是正整数，且），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称是n的最佳分解，并规定；，例如12可以分解成，或，因为，所以是12的最佳分解，所以． (1)求； (2)如果一个正整数只有1与m本身两个正因数，则m称为质数．若质数m满足，求m的值； (3)是否存在正整数n满足，若存在，求n的值：若不存在，说明理由． 【答案】(1)； (2)5； (3)不存在，理由见解析． 【分析】（1）读懂F(n)的定义，写出24的最佳分解，即可直接作答； （2）根据F ( m+4) =1可以知道m+4是一个平方数，再利用因式分解求出m的值； （3）假设存在，如果推出矛盾，即可得证不存在；如果可以求出具体的n的值，即可得出结果．． 【详解】（1）解：∵24=124=212=38=46，24-1>12-2>8-3>6-4， ∴； （2）解：由质数m满足设， ∴m+4=a2， ∴m=， ∵m为质数， ∴a-2=1， ∴a=3， ∴m=a2-4=5， （3）解：不存在 假设存在这样的n,设n=a×4a,F（n）=． 此时n=2a×2a,则F（n）=1，矛盾． 故不存在F（n）=． 【点睛】本题考查因式分解的应用，用读懂新定义，并把问题转化为方程或方程组，再用因式分解法解方程或方程组是解题的关键． 五、压轴题型五：分式及分式方程，10题，难度四星 41．若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程有非负整数解，则满足条件的所有整数a的和为（    ） A．8 B．10 C．16 D．18 【答案】C 【分析】先由不等式组无解，求解，再求解分式方程的解，由方程的解为非负整数，求解且，再逐一确定的值，从而可得答案． 【详解】解： 由①得：， ∴， 由②得：， ∴， ∵关于x的不等式组无解， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵关于y的分式方程有非负整数解， ∴， ∴， ∵为整数， ∴或或或或． ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查的由不等式组无解求解字母系数的范围，分式方程的非负整数解，熟练掌握解不等式组的方法和解分式方程是解题关键，解题时要注意分式方程的解得到y≠2这一隐含条件． 42．随着期末考试来临，李勇同学原计划延时服务期间复习语文、数学、英语的时间为，班主任李老师提醒要学科均衡，补短板．他便将数学复习时间的分给了语文和英语，调整后语文和英语的复习时间之比为．李勇同学非常刻苦，实际复习时还挤出部分休息时间分给了三个学科，其中分给了语文，余下的分别分给数学和英语，这样语文的总复习时间与三科总复习时间比为．若李勇同学最终希望使数学与英语总复习时间比为，那么数学的总复习时间与最后三科总复习时间之比为 ． 【答案】/． 【分析】：设李勇同学原计划延时服务期间复习语文、数学、英语的时间分别为，设他分给语文的时间为，则分给英语的时间为，此时语文时间为：，英语时间为：，依据语文英语时间的比值解得：，此时各科学习时间分别为语文：，数学：，英语：，设挤出的休息时间为，则第二次调整后语文时间为：，依据语文时间的比求出，则总学习时间为：，设此时他的数学时间为，则英语，依据数学英语时间和占总时间的，求出，从而求出数学时间以及和总时间的比值． 【详解】解：设李勇同学原计划延时服务期间复习语文、数学、英语的时间分别为， 依题意： 他分给语文和英语的复习时间和为，剩余数学时间为， 设他分给语文的时间为，则分给英语的时间为， 此时语文时间为：， 英语时间为：， 依题意得：， 解得：， 故第一次调整后语文时间为：， 数学时间为：， 英语时间为：， 设挤出的休息时间为， 则第二次调整后语文时间为：， 依题意得：， 解得， 则总学习时间为：， 设此时他的数学时间为，则英语， 依题意得， 解得：， 故数学的总复习时间与最后三科总复习时间之比为： ， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了分式的实际应用；解题的关键是用代数式准确表示出每次调整后各学科的时间，依据比例列方程求解． 43．腊味食品是川渝人民的最爱，去年12月份，某销售商出售腊肠、腊舌、腊肉的数量之比为，腊肠、腊舌、腊肉的单价之比为．今年1月份，该销售商将腊肠单价上调，腊舌、腊肉的单价不变，并加大了宣传力度，预计今年1月份的营业额将会增加，其中腊肉增加的营业额占总增加营业额的，今年1月份腊肉的营业额将达到今年1月份总营业额的．若腊舌今年1月份增加的营业额与今年1月份总营业额之比为，则今年1月份出售腊肠与腊肉的数量之比是 ． 【答案】20：21 【分析】设去年12月份腊肠的单价为3x，则去年12月份腊舌，腊肉的单价分别为3x，2x，今年1月份腊肠的单价为3.6x，去年12月份腊肠的销售数量为3y，则腊舌，腊肉的销售数量分别为5y、3y，1月份腊肉增加的营业额为z，则总增加营业额为4z；先求出去年12月份的销售额为，1月份腊肉的销售额为，从而得到今年1月份的总销售额为，再由今年1月份腊肉的营业额将达到今年1月份总营业额的，推出，即可求出今年1月份的总销售额为，腊肉的销售额，则腊肠今年1月份的营业额为，设今年1月份出售腊肠与腊肉的数量分别为a和b，可以得到，由此求解即可． 【详解】解：设去年12月份腊肠的单价为3x，则去年12月份腊舌，腊肉的单价分别为3x，2x，今年1月份腊肠的单价为3.6x，去年12月份腊肠的销售数量为3y，则腊舌，腊肉的销售数量分别为5y、3y，1月份腊肉增加的营业额为z，则总增加营业额为4z， ∴去年12月份的销售额为，1月份腊肉的销售额为， ∴今年1月份的总销售额为， ∵今年1月份腊肉的营业额将达到今年1月份总营业额的， ∴， ∴（经检验，符合分式方程有意义的条件）， ∴今年1月份的总销售额为，腊肉的销售额 ∵腊舌今年1月份增加的营业额与今年1月份总营业额之比为1：5， ∴腊舌今年1月份增加的营业额为， ∴腊舌今年1月份的营业额为， ∴腊肠今年1月份的营业额为， 设今年1月份出售腊肠与腊肉的数量分别为a和b， ∴， ∴， ∴， 故答案为：20：21． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键在于能够根据题意设出相应的未知量，然后推导出对应的关系式． 44．设n为正整数，且， ， … ． (1)求证：； (2)若，求正整数a，b的值． 【答案】(1)见解析 (2)或或或 【分析】本题考查分式的化简，整数解． （1）运用分式的运算法则计算即可； （2）由（1）可得：，，从而．设，，上式可变形为，即，根据a，b，s，t为正整数可知为正整数可得t的值，即可解答． 【详解】（1） （2）由（1）可得：，， ∵ ∴， 设，， 则，即， 故， 由a，b为正整数可知s，t为正整数， 则为整数， ∴或或或， ∴或或或， 则或或或． 45．定义：若分式A与分式的差等于它们的积．即，则称分式是分式A的“可存异分式”．如与．因为，．所以是的“可存异分式”． (1)填空：分式________分式的“可存异分式”（填“是”或“不是”；） (2)分式的“可存异分式”是________； (3)已知分式是分式A的“可存异分式”． ①求分式A的表达式； ②若整数使得分式A的值是正整数，直接写出分式A的值； (4)若关于的分式是关于的分式的“可存异分式”，求的值． 【答案】(1)不是 (2) (3)①；②分式A的值是1，3，5； (4)520 【分析】（1）根据“可存异分式”的定义进行判断即可； （2）设的“可存异分式”为，根据定义得出，利用分式混合运算法则求出N即可； （3）①根据“可存异分式”的定义列式计算即可； ②根据整除的定义进行求解即可； （4）设关于的分式的“可存异分式”为M，求出，根据关于的分式是关于的分式的“可存异分式”，得出，求出，代入求值即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴， ∴分式不是分式的“可存异分式”； 故答案为：不是． （2）解：设的“可存异分式”为，则， ∴， ∴ ． 故答案为：． （3）①∵分式是分式A的“可存异分式”， ∴， ∴， ∴ ； ②∵整数使得分式A的值是正整数，， ∴时，， 时，， 时，， ∴分式A的值是1，3，5； （4）解：设关于的分式的“可存异分式”为M，则： ， ∴ ， ∵关于的分式是关于的分式的“可存异分式”， ∴， 整理得：， 解得：， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了分式混合运算的应用，新定义运算，解方程组，代数式求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算． 46．著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则． 阅读材料：在处理分数和分式的问题时，有时由于分子大于分母，或分子的次数高于分母的次数，在实际运算时难度较大，这时，我们可将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（分式）的和（差）的形式，通过对它的简单分析来解决问题，我们称这种方法为分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效． 将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行，如：，这样，分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式． 根据以上阅读材料，解答下列问题： (1)若分式的值为非负整数，则整数的值为______． (2)求分式的取值范围； (3)若分式拆分成一个整式与一个真分式（分子为整数）的和（差）的形式为：（整式部分对应等于，真分式部分对应等于），求的最小值． 【答案】(1)或或 (2) (3)27 【分析】本题考查分式的化简以及完全平方公式． （1）根据题干中的方法，将分式进行变形，再进行求解即可； （2）先将分式转化为一个整数和一个分式的和的形式，进而求出取值范围即可； （3）先将分式转化为一个整数和一个分式的和的形式，然后将代数式转化为完全平方公式的形式，求出最大值即可． 掌握分式的变形方法，是解题的关键． 【详解】（1）解：∵的值为非负整数， ∴， ∴； 故答案为：或或； （2）， ∵， ∴， ∴，即：； （3）∵， 又， ∴，， ∴， ∴， ∴ ； ∵， ∴； ∴的最小值为． 47．请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题： 例1：分解因式； 解：将“”看成一个整体，令； 原式； 例2：已知，求的值． 解：； (1)根据材料，请你模仿例1尝试对多项式进行因式分解； (2)计算：　 　． (3)①已知，求的值； ②若，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)1；5 【分析】（1）将“”看成一个整体，模仿例1求解； （2）令，，将原式变形，即可求解； （3）将中的1用替代，即可求解；将代入将原式变形为，再将代入，进一步将原式变形为，由此可解． 【详解】（1）解：令， ； （2）解：令，， 则原式 ， 故答案为：； （3）解：， ； ， ． 【点睛】本题考查整体思想，因式分解，完全平方公式，整式的运算，分式的运算，解题的关键是掌握整体思想，看懂例题． 48．已知，，，求的值． 【答案】 【分析】先根据完全平方公式得到，进一步推出，由得到，进而推出，同理可得， ，由此代入所求式子中并化简得到，由此即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， 同理可得：， ， ． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值问题，完全平方公式，因式分解的应用，解题的关键是根据已知条件的结构特点，灵活运用有关公式将所给的代数式恒等变形，准确化简． 49．阅读：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，这样的分式就是真分式，我们知道，假分数可以化为带分数，例如：．类似地，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如： ； ． 请根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：①分式是______分式（填“真”或“假”）． ②把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式： ______＋______． (2)把分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，并求x取何整数时，这个分式的值为整数． (3)一个三位数m，个位数字是百位数字的两倍．另一个两位数n，十位数字与m的百位数字相同，个位数字与m的十位数字相同．若这个三位数的平方能被这个两位数整除，求满足条件的两位数n． 【答案】(1)①真；②， (2)，或或或 (3)36 【分析】（1）①根据真分式的定义判断即可；②根据材料中的方法变形即可得到结果； （2）原式利用材料中的方法变形，即可确定出分式的值为整数时整数的值； （3）设三位数的百位数字为，十位数字为，然后表示出，的表达式，再计算，然后利用材料中的方法变形，进行讨论即可． 【详解】（1）解：①的分子的次数小于分母的次数， ∴分式是真分式， 故答案为：真； ②， 故答案为：，； （2）解： 若这个分式的值为整数， 则或或或， ∴或或或； （3）解：设三位数的百位数字为，十位数字为， 则个位数字为，，， ， ， ， ， ， 当时， 为正整数， ， 当时，且为正整数， 不可能为整数， ． 【点睛】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 50．（1）已知其中，化简求值； （2）已知，探究m与n的关系． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据分数运算化简，再由二次根式混合运算代入求值即可得到答案； （2）利用平方差公式及完全平方公式恒等变形，最后由配方法求解即可得到答案． 【详解】解：（1） ， ， 原式； （2） ， ，即， ， ，即， ． 【点睛】本题考查分式化简求值及二次根式混合运算，熟练掌握分式运算及二次根式运算是解决问题的关键． 六、压轴题型六：平行四边形综合，10题，难度五星 51．在中，，连接，已知，点E在线段上，将线段绕点D顺时针旋转 为线段． (1)如图1，线段与线段的交点和点E重合，连接，求线段的长度； (2)如图2，点G为延长线上一点，使得，连接交于点H，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，平面内一点P，当最小时，求的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）作，根据等腰直角三角形的性质与判定，得到，，在中，应用勾股定理，求出的长，根据平行四边形的性质得到的长，根据等腰直角三角形的性质与判定，即可求解， （2）连接，，根据全等三角形的性质与判定得到，，，结合旋转的性质得到，，根据平行四边形的判定得到，，根据平行四边形的性质得到的长度，即可求解， （3）将绕点顺时针旋转，得到，由旋转的性质可得，根据两点之间线段最短，得到，当在线段上时取得最小值，作， 根据等腰直角三角形的判定与性质，得到，在中，应用勾股定理得到，，，，由，得到， 在中，得到，在中，得到，，根据，即可求解， 本题考查了，平行四边形的性质，旋转的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，解题的关键是：通过旋转得到． 【详解】（1）解：过点作，交延长线于点， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴，，， ∵， ∴， 在中，，， ∴， 由旋转的性质可得：，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故答案为：， （2）解：连接，， ∵，， ∴，， 又∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， （3）解：将绕点顺时针旋转，得到，连接， 由旋转的性质可得，，，， ∴， ∴，当在线段上时取得最小值， 延长与延长线交于点，过点作于点，连接， 由旋转的性质可得，，， ∵， ∴，， ∴， 在中，，，， ∵，即：，解得：， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：． 52．如图，在中，，，为边上任意一点（不与点，重合），将线段绕点逆时针旋转，得到线段，为边的中点，连接，，． (1)如图1，交于点，若，，求线段的长度； (2)如图2，为的中点，连接，，求证：； (3)连接，点为直线上一动点（不与点，重合），连接，将沿翻折至所在平面内，得到，连接，在（2）的条件下，若，当取得最小值时，直接写出线段的长度的最小值． 【答案】(1) (2)见详解 (3) 【分析】（1）先证明是等边三角形，得到，推导出，根据锐角三角函数的定义计算可得，，的长，由此即得答案； （2）过点作，交于点，连结，，先证明，得到，，再证明四边形是平行四边形，可进一步推得，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得结论； （3）由（2）知，由此当时，取最小值，求出这个最小值为；由轴对称的性质可知，点在以点为圆心，的长为半径的弧上运动，所以当，，三点共线时，线段的长度取得最小值，求出这个最小值，即得答案． 【详解】（1）解：，， 是等边三角形， ，， ， ， 为边的中点， ， ， ，， ； （2）证明：过点作，交于点，连接，，如图2， 将线段绕点逆时针旋转，得到线段， ，， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ，为边的中点， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， 为的中点， ， ，，三点共线，且， ， ， ； （3）解：由（2）知，， 射线与的夹角为定值， 即射线的方向固定， 当时，取最小值， ， ， ， 在中，， 沿翻折至所在平面内，得到， 点在以点为圆心，的长为半径的弧上运动， 当，，三点共线时，线段的长度取得最小值，如图4， 在中，， 线段的长度的最小值为． 【点睛】本题主要考查了图形的旋转与翻折，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，平行四边形的判定与性质及直角三角形的性质等知识，作辅助线构造平行四边形及求线段最小值的分析思路是解题的关键． 53．如图，在中，为对角线的中点，，，．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿折线向终点匀速运动，连结并延长交折线于点，将线段绕着点逆时针旋转得到线段，连结，设点的运动时间为（s）．    (1)用含的代数式表示的长． (2)当点在边上运动时，求证：． (3)当点在内部时，求的取值范围． (4)当与的重叠部分图形是轴对称的三角形时，直接写出的值． 【答案】(1)或； (2)见解析； (3)； (4)1或． 【分析】（1）利用含角的直角三角形的性质，平行四边形的性质解答即可； （2）连接，利用平行四边形的性质和全等三角形的判定与性质解答即可； （3）利用平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质求得点的临界值时的值，从而得到的取值范围； （4）画出符合题意的图形，利用的长度列出关于的方程解答即可． 【详解】（1）解：，，， ， ， ． 四边形为平行四边形， ． ①当时，， ②当时， （2）证明：连接，如图，    在中，为对角线的中点， 经过点，， 四边形为平行四边形， ， ． 在和中， ， ， （3）解：①当点与点重合时，如图，    由题意得：为等边三角形， ， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ②当点落在边上时，如图，    由题意得：为等边三角形， ， ， ， 四边形为平行四边形， ，， ． ． 在和中， ， ， ， ， ， ， 当点在内部时，的取值范围为： （4）①当点在边上运动时，经过点时，与的重叠部分图形是轴对称的三角形，      ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． ②当点在边上运动时，如果，则，与的重叠部分图形是轴对称的三角形，如图，    ， ， ． 综上，当与的重叠部分图形是轴对称的三角形时，的值为1或． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，图形旋转的性质，等边三角形的判定与性质，利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键． 54．如图：是边长为6的等边三角形，P是边上一动点．由点A向点C运动（P与点不重合），点Q同时以点P相同的速度，由点B向延长线方向运动（点Q不与点B重合），过点P作于点E，连接交于点D． (1)若设的长为x，则 ， ． (2)当时，求的长； (3)过点Q作交延长线于点F，则有怎样的数量关系？说明理由． (4)点在运动过程中，线段的长是否发生变化？如果不变，直接写出线段的长；如果变化，请说明理由． 【答案】(1) (2)2 (3) (4)3 【分析】本题考查的是等边三角形的性质及全等三角形的判定定理、平行四边形的判定与性质，熟练全等三角形判定是解答此题的关键． （1）由线段和差关系可求解； （2）由直角三角形的性质可列方程，即可求的长； （3）由""可证，可得； （4）连接，由全等三角形的性质可证，由题意可证四边形是平行四边形，可得． 【详解】（1）解：是边长为6的等边三角形， 设，则， 故答案为∶； （2）当时， 是等边三角形， ， 解得∶， ； （3），理由如下∶ ， ， 又， ， ； （4）的长度不变． 连接，如图： ， ，且 四边形是平行四边形 55．问题提出 已知是等边三角形，将等边三角形绕A旋转，过点做，，连接． (1)观察发现 如图1，当点E在线段上，猜想的形状__________； (2)探究迁移 如图2，当点E不在线段上，（1）中猜想的结论是否依然成立，请说明理由； (3)拓展应用 在绕着点旋转的过程中，当与延长线垂直，交于点K时，若，，求． 【答案】(1)等边三角形 (2)成立，理由见解析 (3) 【分析】（1）由等边三角形可得，由平行线的性质可得，进而可证是等边三角形； （2）如图1，延长到，由，，可得，证明，则，，，进而可证是等边三角形； （3）由题意知，分当在下方，当在上方两种情况求解：①当在下方，如图2，，，如图2，作的延长线于，则，，根据，计算求解即可；②当在上方时，如图3，同理①可求，，如图3，作于，，根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：是等边三角形； ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：（1）中猜想的结论依然成立，理由如下： 如图1，延长到， ∵，是等边三角形，， ∴，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形； （3）解：由题意知，分当在下方，当在上方两种情况求解： ①当在下方，如图2， ∵的延长线， ∴， 由（2）可知，是等边三角形， ∴， ∴， 如图2，作的延长线于， ∴， ∴， ∴； ②当在上方时，如图3， 同理①可求， ∴， 如图3，作于， ∴， ∴； 综上所述，为． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，含的直角三角形，四边形内角和．熟练掌握等边三角形的判定与性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，含的直角三角形是解题的关键． 56．等边，点是直线上一点，以为边在的右侧作等边，连接． (1)如图（1），若点在线段上，求证：； (2)如图（2），若点在的延长线上，直接写出线段，，的数量关系为______； (3)在（2）问条件下，把沿翻折得到，连接，，若恰好平分，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据条件根据证明，则结论得证； （2）根据证明，得出，即可求出； （3）证明为等边三角形，得出，根据平分，得出，求出，，得出，根据三角形中位线性质得出． 【详解】（1）证明：∵都为等边三角形， ∴，,， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， 即． （2）解：∵都是等边三角形， ∴，,， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴； 故答案为： （3）解：延长，交于点F，如图所示： ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 根据解析（2）可知，， 根据折叠可知，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查的是等边三角形的判定性质，全等三角形的判定与性质，中位线性质，折叠的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定，证明． 57．在中，是对角线，，是内一点，连接，，， (1)求证： (2)当时，，，，求的面积． (3)在（1）的条件下，当平分，，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用平行四边形相邻两角互补的性质可得，然后用平行四边形对边相等即可得证． （2）由可得为等腰直角三角形，然后以为直角边构造一个等腰直角三角形可求证即可求解． （3）延长边构造即可得，过点D作形成以为直角边的两个直角三角形，通过两直角三角形有公共直角边即可用双勾股定理，最后过点C作设，解直角三角形即可求解． 【详解】（1）证明：在中，有，， ， ， ， ， （2）， ， ， 等腰直角三角形， 过点B作且，连接，连接，如图： 为等腰直角三角形， ， ， ，， ， ∴，， ∴， ∴， ∴、、共线， ． （3）延长至，使， ∵， ， ∴， ∴， 设， ∴， ， ， ∴， ， ， ， 连接，并延长，过点作于，使， ， ， ∴，， 设， ， 在中， ， ， ， ， ， （双勾股）， ∴， ∴，（舍）， 作， ，， ，， （双勾股）， ∴， ∴， ， ∴， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，三角形全等，三角形的外角，等腰直角三角形的性质，解题关键是构造全等三角形，证明角度相等，线段数量关系． 58．如图所示，在平面直角坐标系中，，，以，为邻边做平行四边形，其中，，满足． (1)直接写出点坐标　　　　； (2)如图2，线段的垂直平分线交轴于点，为的中点，试判断的大小，并说明理由； (3)如图3，点，为轴上的一点，，求点的坐标． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)点F的坐标为或 【分析】（1）根据非负数的性质得到，得，得到，过C作轴于E点，根据平行四边形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，于是得到结论； （2）连接，过F作轴于G，轴于K，根据线段垂直平分线的性质得到，求得，设，根据勾股定理列方程得到，根据勾股定理和勾股定理的逆定理即可得到结论； （3）分两种情况：分F在点E的左侧和右侧，作辅助线，构建直角三角形，根据等腰直角三角形的性质，利用勾股定理建立方程求解可得结论． 【详解】（1）解：∵． ， ∴， ∴， ∴， 如图，过C作轴于E点， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：如图，连接，过F作轴于G，轴于K， ∵线段的中垂线交y轴于点E， ， ∵F为的中点， ， ， ， 解得：， ，，， ， 是直角三角形， ； （3）解：分两种情况： ①当F在点E的左侧时，如图3，过F作于H， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， 设，则， ， ， ， ，即， 整理得：， 解得：或， 或（舍去，不符合题意）， ， ， ； ②当点在点E的右侧时，如图3，过作交延长线于点， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， 设，则， ， ， ， ，即， 整理得：， 解得：或， （舍去，不符合题意）或， ， ， ， 综上所述，点F的坐标为或． 【点睛】本题考查了四边形的综合题，考查了图形和坐标的性质、非负性、等腰直角三角形的性质和判定、勾股定理逆定理、等知识，解题的关键是恰当地作辅助线，构建直角三角形，并运用方程解决问题． 59．已知，，，连接，N为的中点． (1)如图，若A、M、D共线，求的值；    (2)如图，若A、M、D不共线时，上述结论是否依然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．    【答案】(1) (2)依然成立,证明见解析 【分析】（1）延长与，相交于点E．由可证，于是可证，则，再结合已知条件可证是等腰三角形，则利用等腰三角形“三线合一”可证，于是得证． （2）延长至点I，使，连接．易证，于是，再利用五边形的内角和并结合已知条件可证及周角定义可证，因此，于是可证，则，结合可证，，于是得证． 【详解】（1）延长与，相交于点E．（如图）    ∵ ∴ ∴ N为的中点，则 ∴ ∴，， ∵ ∴ 即，又 ∴（等腰三角形底边上的中线也是底边上的高） ∴， ∴． （2）上述结论仍然成立．理由如下： 延长至点I，使，连接（如图）    ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴， 又 ∴ ∴， 又 ∴（等腰三角形底边上的中线是底边上的高） ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质、等腰三角形的“三线合一”、多边形内角和等知识点，解题的关键是构造全等三角形． 60．在平面直角坐标系中，的顶点A在y轴正半轴上，BC边在x轴上，已知，，且点B点C关于关于y轴对称    (1)如图1，求点A的坐标． (2)如图2，点E是y轴负半轴上一点，连接BE，若，求OE的长． (3)如图3，在（2）的条件下，点Q是外一点，连接AQ、BQ、CQ，并且CQ交AO于F，交AB于G，且，请问是否存在点P使得四边形为平行四边形？若存在求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)3 (3) 【分析】（1）根据对称性得到，由勾股定理得到，则； （2）如图所示，在上取一点H使得，设，则，由勾股定理建立方程，解方程求出，利用三角形外角的性质得到，进而证明，则； （3）如图所示，延长到H，使得，连接，证明得到，则，设，则，再由推出，再证明，进而证明，得到，如图所示，过点Q作于M，则四边形是矩形，得到，证明，得到，则，设点P的坐标为，由的中点坐标相同，得到，解得，则． 【详解】（1）解：∵，且点B、点C关于关于y轴对称， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴； （2）解：如图所示，在上取一点H使得， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点B、点C关于关于y轴对称， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；    （3）解：如图所示，延长到H，使得，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴设，则， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 如图所示，过点Q作于M，则四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设点P的坐标为， ∵四边形为平行四边形， ∴的中点坐标相同， ∴， ∴， ∴．    【点睛】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，三角形外角的性质，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，等腰三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$