八年级数学下学期期末押题卷（北师大版）-【尖子生培优】2023-2024学年八年级数学下学期重难点压轴题突破专练（北师大版）

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 八年级数学下学期期末押题卷（北师大版） 一、单选题（每小题3分，共36分） 1．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（    ） A． B． C． D． 2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 3．下表是某公司25位员工收入的资料： 月收入/元 45000 18000 10000 5500 5000 3400 3000 1000 人数 1 1 1 3 6 1 11 1 能够反映该公司全体员工月收入水平的统计量是（    ） A．平均数和众数 B．平均数和中位数 C．平均数和方差 D．中位数和众数 4．已知动点P以2cm/s的速度沿图1所示的边框按的路径运动，的面积与运动时间t（s）的关系如图2所示，若，则m的值为（    ） A．8 B．10 C．13 D．16 5．如图，在正方形中，E、F分别是，的中点，，交于点G，，的延长线交于点M，连接，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论是（    ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④ 6．如图，菱形的对角线，相交于点O，且，，点是边上一动点（不与点，点重合），于点，于点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．以点O、A、B、C为顶点的平行四边形放置在平面直角坐标系中，其中点O为坐标原点．若点C的坐标是，点A的坐标是，则点B的坐标是（    ） A．或 B．或 C．或或 D．或或 8．如图，四边形为平行四边形，过点D分别作，的垂线，垂足分别为E，F，若，，，则的长为（    ） A．7 B． C．8 D． 9．两艘轮船从同一港口同时出发，甲船时速海里，乙船时速海里，两个小时后，两船相距海里，已知甲船的航向为北偏东，则乙船的航向为（   ） A．南偏东 B．北偏西 C．南偏东或北偏西 D．无法确定 10．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以点为圆心，长为半径画弧，交轴的负半轴于点，则点的横坐标介于（    ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 11．如图，在一个正方形的内部放置两个大小不同的正方形，其中较小的正方形的面积为9，重叠部分的面积为1，空白部分的面积为，则较大的正方形的面积为（   ）    A． B． C．18 D．12 12．如图，在中，，顶点O与原点重合，，点B的坐标为，点C为边的中点，将向右平移，当点C的对应点在直线上时，点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题3分，共18分） 13．甲、乙两名射击手的10次测试的平均成绩都是8环，方差分别是（环2），（环2），则成绩比较稳定的射击手是 ．（填甲或乙）． 14．已知，则的值为 ．． 15．对于正比例函数，当时，y的最大值等于 ． 16．如图，是等边三角形内的一点，且，，，以为边在外作，连接，则的度数为 ． 17．如图，在矩形中，将沿对角线翻折，点落在点处，与交于点．若，，则的长为 ． 18．如图，直线与直线相交于点，则关于的不等式的解集是 ． 三、解答题（共66分） 19．（1）计算： （2）化简： 20．已知与成正比例，且当时，． (1)求与之间的函数解析式； (2)若点在这个函数图像上，求的值． 21．如图，在笔直的公路旁有一座山，从山另一边的C处到公路上的停靠站A的距离为，与公路上另一停靠站B的距离为，停靠站A，B之间的距离为，为方便运输货物现要从公路上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，且． (1)求证：； (2)求修建的公路的长． 22．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如 样的式子，这样的式子我们可以将其进一步化简： 以上这种化简的方法叫做分母有理化，通过观察请利用分母有理化解答下列问题： (1)利用你观察到的规律，化简 (2)计算： 23．如图，矩形的对角线相交于点O，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 24．2023年9月18日，我校隆重举行“叩问苍穹 征途永志——与英雄航天员共话航天志”主题活动．此次活动中，执行神舟十五号飞行任务的英雄航天员张陆老师与同学们一起谈论理想、爱国和坚持．同学们踊跃举手，畅所欲言的场景，大家一定还记忆犹新．为了获悉学生对航天知识的了解程度，活动前学校从七、八两个年级各随机抽取40名学生，进行了航天知识问卷测试，获得学生的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、苗述和分析．下面给出了部分信息： a．八年级40名学生成绩的频数分布直方图如下（数据分成5组：，，，，）； b．八年级成绩在这一组的是： 70 70 71 72 74 75 75 75 75 76 77 78 79 c．七、八两个年级成绩的平均分、中位数如下： 年级 平均分 中位数 七 73.8 72.5 八 73.8 m 根据以上信息，回答下列问题： (1)写出表中m的值； (2)在七年级抽取的学生中，记成绩高于抽取学生平均分的学生人数为．在八年级抽取的学生中，记成绩高于抽取学生平均分的学生人数为．比较，的大小，并说明理由； (3)假设八年级共有200名学生参加测试，估计参加测试的学生成绩不低于80分的人数． 25．在平面直角坐标系中，对于任意两个图形T和图形W，给出如下定义：M，N分别为图形T和图形W上任意一点，将M，N两点间距离的最小值称为图形T和图形W之间的“关联距离”，记作．如图，已知，其中，，，D，E为三角形外两点．例如，点A与x轴之间的“关联距离”，线段与y轴之间的“关联距离”． (1)求点A与直线之间的“关联距离”； (2)若，，将线段向左平移n个单位，当线段与之间的“关联距离”时，求n的最小值； (3)若，，当时，对于每一个m，都满足线段与一次函数（k是常数，）的图象之间的“关联距离”，求k的取值范围． 26．如图，在正方形中，，点是边上一点，点是延长线上一点，，．连接、、，与对角线相交于点． (1)【探究】求证：； (2)【拓展】求线段的长； (3)【延伸】求线段的长． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 八年级数学下学期期末押题卷（北师大版） 一、单选题（每小题3分，共36分） 1．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象，根据的值分别判断出一次函数与正比例函数的图象分布位置，两者一致即为正确答案，掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：当时，一次函数的图象经过第二、三、四象限，正比例函数的图象经过第一、三象限，选项中没有符合条件的图象； 当时，一次函数的图象经过第一、二、三象限，正比例函数的图象经过第二、四象限，选项的图象符合要求； 故选：． 2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查最简二次根式的判断，解题的关键是理解和掌握最简二次根式的定义，满足以下两个条件的二次根式，叫最简二次根式：①被开方数中的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式．据此对各选项逐一分析即可作出判断 【详解】解：A．中的被开方数的因数不是整数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； B．是最简二次根式，故此选项符合题意； C．中的被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； D． 中的被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意． 故选：B． 3．下表是某公司25位员工收入的资料： 月收入/元 45000 18000 10000 5500 5000 3400 3000 1000 人数 1 1 1 3 6 1 11 1 能够反映该公司全体员工月收入水平的统计量是（    ） A．平均数和众数 B．平均数和中位数 C．平均数和方差 D．中位数和众数 【答案】D 【分析】本题考查了统计量的选择，众数、中位数，求出数据的众数和中位数，再与25名员工的收入进行比较即可． 【详解】解：该公司员工月收入的众数为3000元，在25名员工中有13人在这些数据之上， 所以众数能够反映该公司全体员工月收入水平； 因为公司共有员工人， 所以该公司员工月收入的中位数为3400元； 由于在25名员工中在此数据及以上的有13人， 所以中位数也能够反映该公司全体员工月收入水平； 故选：D． 4．已知动点P以2cm/s的速度沿图1所示的边框按的路径运动，的面积与运动时间t（s）的关系如图2所示，若，则m的值为（    ） A．8 B．10 C．13 D．16 【答案】C 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，根据动点的路程与运动时间的关系依次求出点在不同线段上运动的状态，分别计算即可． 【详解】解：由题得五段函数分别是点在、、、、上所形成的， 当时，点在上运动， ， 当时，点在上运动， ， 当时，点在上运动， ， ， 点在上运动的时间， ， 点在上运动的时间， ， 故选：C． 5．如图，在正方形中，E、F分别是，的中点，，交于点G，，的延长线交于点M，连接，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论是（    ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④ 【答案】C 【分析】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识．此题综合性很强，解题的关键是注意数形结合思想的应用． 根据正方形的性质 中点的性质可得，根据全等三角形的性质得到，故①正确；易得，根据垂直的定义得到，故②正确；根据线段中点的定义得到，根据全等三角形的性质得到，由是斜边的中线，得到，求得，根据余角的性质得到．故③正确．根据，可得，所以，进而可知④错误． 【详解】解：四边形是正方形， ， E、F分别是，的中点， 在与中， ，故①正确； ，故②正确； 点E是的中点， 是斜边的中线， ，故③正确； 不是等边三角形， ，故④错误； 故选：C． 6．如图，菱形的对角线，相交于点O，且，，点是边上一动点（不与点，点重合），于点，于点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，垂线段最短，勾股定理，熟练掌握菱形的性质，矩形的判定和性质是解题的关键．连接，根据矩形的性质，得到，利用三角形的面积，运用垂线段最短计算即可． 【详解】连接， ∵菱形的对角线相交于点O，，，， ∴四边形是矩形， ∴， 当时，最小，故最小， ∵菱形，，且，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 7．以点O、A、B、C为顶点的平行四边形放置在平面直角坐标系中，其中点O为坐标原点．若点C的坐标是，点A的坐标是，则点B的坐标是（    ） A．或 B．或 C．或或 D．或或 【答案】D 【分析】先根据题意画出图形，然后分为边和对角线两种情况，分别根据平行四边形的判定和平移的性质即可解答． 【详解】解：如图：当为对角线时，点的坐标为，即； 当为边时，点的坐标为，即；点的坐标为，即． 故选D． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定、平移的性质等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键． 8．如图，四边形为平行四边形，过点D分别作，的垂线，垂足分别为E，F，若，，，则的长为（    ） A．7 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的性质，勾股定理，熟练的利用“等面积法”是解题的关键，利用，，求出的长，再利用勾股定理求出，得到，最后根据平行四边形面积即可求出的长． 【详解】解： ，， ， ，，四边形为平行四边形， ， ， ， 故选：B． 9．两艘轮船从同一港口同时出发，甲船时速海里，乙船时速海里，两个小时后，两船相距海里，已知甲船的航向为北偏东，则乙船的航向为（   ） A．南偏东 B．北偏西 C．南偏东或北偏西 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了方位角，勾股定理逆定理，根据题意画出图形，然后利用勾股定理逆定理判断出即可求解，掌握勾股定理逆定理的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意得，海里，海里，， ∵，， ∴， ∴点三点共线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴乙船的航向为南偏东或北偏西， 故选：． 10．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以点为圆心，长为半径画弧，交轴的负半轴于点，则点的横坐标介于（    ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，勾股定理的应用，无理数的估算等知识．熟练掌握数轴上两点之间的距离，勾股定理的应用，无理数的估算是解题的关键． 由的坐标为，可求，则点的横坐标为，由，可求． 【详解】解：∵的坐标为， ∴， ∴点的横坐标为， ∵， ∴，即， 故选：B． 11．如图，在一个正方形的内部放置两个大小不同的正方形，其中较小的正方形的面积为9，重叠部分的面积为1，空白部分的面积为，则较大的正方形的面积为（   ）    A． B． C．18 D．12 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，观察图形得到各个正方形边长之间的关系是解题的关键．根据面积可求得小正方形和重叠部分的边长，从而求得空白部分的宽；观察可知两块空白部分全等，则可得到一块空白的面积；通过长方形面积公式即可求出空白部分的长，最后求出较大正方形的边长即可求出面积． 【详解】∵观察可知，两个空白部分的长相等，宽也相等， ∴重叠部分也为正方形， ∵空白部分的面积为， ∴一个空白长方形面积， ∵较小的正方形的面积为9，重叠部分面积为1， ∴小正方形边长，重叠部分边长， ∴空白部分的宽， 设空白部分长为x，可得：，解得：， ∴较大的正方形的边长=空白部分的长+重叠部分边长， ∴较大的正方形的面积， 故选：D． 12．如图，在中，，顶点O与原点重合，，点B的坐标为，点C为边的中点，将向右平移，当点C的对应点在直线上时，点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题是一次函数综合题，涉及的知识包括坐标与图形、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平移的性质等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键． 先求得点，的坐标，根据平移后纵坐标相等，求得点的坐标，进而求得平移距离，即可求得点的坐标． 【详解】过点作轴于点，过作于点，如图所示: 则有， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 点C为边的中点， ， 将向右平移，纵坐标还是， 代入， 得， 解得 ， 向右平移4个单位到 ∴坐标为 ， 故选B． 二、填空题（每小题3分，共18分） 13．甲、乙两名射击手的10次测试的平均成绩都是8环，方差分别是（环2），（环2），则成绩比较稳定的射击手是 ．（填甲或乙）． 【答案】甲 【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 【详解】解：，， ， 成绩比较稳定的是甲， 故答案为：甲． 【点睛】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 14．已知，则的值为 ．． 【答案】15 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，解一元一次不等式组，根据被开方数大于等于零列出不等式，求出x，y的值，即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 解得：， ， ， 故答案为：15． 15．对于正比例函数，当时，y的最大值等于 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查的是正比例函数的性质，熟知正比例函数的增减性与系数的关系是解题的关键． 先根据题意判断出函数的增减性，然后根据函数的增减性求最值即可． 【详解】解：∵正比例函数中，， ∴y随x的增大而增大， ∵， ∴当时，． 故答案为：12． 16．如图，是等边三角形内的一点，且，，，以为边在外作，连接，则的度数为 ． 【答案】/150度 【分析】本题考查全等三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理．由等边三角形的性质得，根据全等三角形的性质得，，，，证明是等边三角形，得，证明，得，可得结论．掌握等边三角形的判定和性质及勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵，，，， ∴，，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 故答案为：． 17．如图，在矩形中，将沿对角线翻折，点落在点处，与交于点．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换，全等三角形的判定与性质及勾股定理的知识，根据折叠的性质可得到，，再由对顶角相等可得，继而根据可得，由性质设， 则，在中利用勾股定理可得出的值即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】在矩形中，将沿对角线翻折，点落在点处，与交于点， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得：， ∴的长是， 故答案为：． 18．如图，直线与直线相交于点，则关于的不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一次函数和一元一次不等式，直接将代入求出的值，利用图象以及其交点坐标得出不等式的解集，正确利用数形结合得出是解题关键． 【详解】解： 直线与直线相交于点， ， 解得：； 关于的不等式的解集为：． 故答案为：． 三、解答题（共66分） 19．（1）计算： （2）化简： 【答案】（1）；（2）1 【分析】本题主要考查二次根式的加减法和二次根式的性质： （1）原式首先去括号，再将二次根式化简后合并即可得到结果； （2）根据条件得出，，再将原式化为，再去绝对值符号即可 【详解】解：（1） ； （2）∵， ∴，， ∴ 20．已知与成正比例，且当时，． (1)求与之间的函数解析式； (2)若点在这个函数图像上，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式、一次函数图像上点的坐标特征等知识，正确求得与之间的函数解析式是解题关键． （1）根据题意可，可设，将，代入求解，即可获得答案； （2）将点代入函数，求解即可． 【详解】（1）解：∵与成正比例， ∴设， 将，代入，可得， 解得， ∴与之间的函数解析式； （2）将点代入函数， 可得， 解得， ∴的值为． 21．如图，在笔直的公路旁有一座山，从山另一边的C处到公路上的停靠站A的距离为，与公路上另一停靠站B的距离为，停靠站A，B之间的距离为，为方便运输货物现要从公路上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，且． (1)求证：； (2)求修建的公路的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理的应用，以及三角形的面积公式等知识，熟练掌握这两个定理是解题关键． （1）根据勾股定理的逆定理，由得到是直角三角形，进而得解； （2）利用的面积公式可得，，从而求出的长． 【详解】（1）解：证明：∵，，，， ∴， ∴． （2）∵， ∴， ∴． 答：修建的公路的长是． 22．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如 样的式子，这样的式子我们可以将其进一步化简： 以上这种化简的方法叫做分母有理化，通过观察请利用分母有理化解答下列问题： (1)利用你观察到的规律，化简 (2)计算： 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分母有理化： （1）仿照题意进行分母有理化即可； （2）求出，据此把所求式子中的每一项分母有理化后隔项相消即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∴ ． 23．如图，矩形的对角线相交于点O，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查矩形的性质，菱形的判定和性质，掌握相关判定和性质，是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再根据矩形的对角线相等且平分，得到，即可得证； （2）连接，证明四边形是平行四边形，进而得到，利用菱形的面积公式进行计算即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵四边形是矩形， ∴，，． ∴． ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形． （2）解：如图，连接， 由（1）知四边形是菱形， ∴． ∵， ∴，． ∴四边形是平行四边形． ∴． ∴． ∴菱形的面积是4． 24．2023年9月18日，我校隆重举行“叩问苍穹 征途永志——与英雄航天员共话航天志”主题活动．此次活动中，执行神舟十五号飞行任务的英雄航天员张陆老师与同学们一起谈论理想、爱国和坚持．同学们踊跃举手，畅所欲言的场景，大家一定还记忆犹新．为了获悉学生对航天知识的了解程度，活动前学校从七、八两个年级各随机抽取40名学生，进行了航天知识问卷测试，获得学生的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、苗述和分析．下面给出了部分信息： a．八年级40名学生成绩的频数分布直方图如下（数据分成5组：，，，，）； b．八年级成绩在这一组的是： 70 70 71 72 74 75 75 75 75 76 77 78 79 c．七、八两个年级成绩的平均分、中位数如下： 年级 平均分 中位数 七 73.8 72.5 八 73.8 m 根据以上信息，回答下列问题： (1)写出表中m的值； (2)在七年级抽取的学生中，记成绩高于抽取学生平均分的学生人数为．在八年级抽取的学生中，记成绩高于抽取学生平均分的学生人数为．比较，的大小，并说明理由； (3)假设八年级共有200名学生参加测试，估计参加测试的学生成绩不低于80分的人数． 【答案】(1)74.5 (2)，理由见解析 (3)60人 【分析】本题考查了频数直方图，求中位数，以及中位数的意义，样本估计总体，从统计图表中获取信息是解题的关键． （1）根据中位数的定义结合根据频数直方图即可得出答案； （2）根据中位数的意义，可得，，即可求解； （3）根据样本估计总体，用200乘以分数高于80分的占比即可求解． 【详解】（1）∵第一组有3人，第二组有12人，第三组有13人， ∴中位数； （2），理由如下： 由于七年级抽取的40名学生的平均分是73.8，中位数是72.5， 因此，所抽取的40名学生的得分在73.8及以上的人数少于一半，也就是的值小于等于20， 由题意得， 所以； （3）（人）， 答：估计参加测试的学生成绩不低于80分的人数为60人． 25．在平面直角坐标系中，对于任意两个图形T和图形W，给出如下定义：M，N分别为图形T和图形W上任意一点，将M，N两点间距离的最小值称为图形T和图形W之间的“关联距离”，记作．如图，已知，其中，，，D，E为三角形外两点．例如，点A与x轴之间的“关联距离”，线段与y轴之间的“关联距离”． (1)求点A与直线之间的“关联距离”； (2)若，，将线段向左平移n个单位，当线段与之间的“关联距离”时，求n的最小值； (3)若，，当时，对于每一个m，都满足线段与一次函数（k是常数，）的图象之间的“关联距离”，求k的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)且 【分析】（1）过点A作于点D，根据，，，得出，，，根据等积法求出，即可得出答案； （2）求出直线的解析式为：，把代入得：，求出，根据线段与之间的“关联距离”，求出即可； （3）根据，，得出当时，线段在线段和之间，根据，得出直线过定点，画出图形，根据，得出结果即可． 【详解】（1）解：过点A作于点D，如图所示： ∵，，， ∴，， ， ， ∵， ∴， ∵垂线段最短， ∴； （2）解：∵，， ∴在直线上， 设直线的解析式为：，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∵线段与之间的“关联距离”， ∴线段向左平移的距离为：． （3）解：∵，， ∴当时，， 当时，， ∴当时，线段在线段和之间， ∵， ∴直线过定点，如图所示： 把代入得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， 根据图可知，当且时，． 【点睛】本题主要考查了一次函数的综合应用，求一次函数的解析式，坐标与图形，三角形面积公式，两点间距离公式，解题的关键是数形结合，熟练掌握一次函数的性质． 26．如图，在正方形中，，点是边上一点，点是延长线上一点，，．连接、、，与对角线相交于点． (1)【探究】求证：； (2)【拓展】求线段的长； (3)【延伸】求线段的长． 【答案】(1)证明见详解 (2) (3) 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识．熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键． （1）由题意可得，，，可证明，故． （2）解；由题意可得，，又因为，，，因为，所以，，所以，所以． （3）作交于，则，可得，，因为，所以，易得，，所以，所以，又因为，是斜边上的中线，所以． 【详解】（1）证明：由题意可得， 又∵， ∴， ∴． （2）解；由题意可得，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图，作交于，则，    ∵ ∴， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，是斜边上的中线， ∴． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$