4.4 一次函数的应用 导学案 -2023--2024学年北师大版数学八年级上册

4.4 一次函数的应用 第1课时 确定一次函数的表达式 新课导学 知识点1 求正比例函数的表达式 特别说明：先写出含有未知系数的函数表达式，再根据条件求出这些未知系数的值，从而确定函数表达式，这样的方法叫做待定系数法. 【例1】 已知与成正比例关系，当时，，求：当时的值. 解：设 与 的函数关系式为， 当 时，，，，与 的函数关系式为， 当 时，． 对点训练1 若正比例函数的图象过点，则该正比例函数的表达式为      . 知识点2 求一次函数的表达式 特别说明：用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤：（1）设：设一次函数表达式为；（2）代：将对应点的坐标代入函数表达式；（3）求：解方程，求出，的值；（4）写：将，的值代入，写出函数表达式. 【例2】 （根据教材北师大版八上P89例1改编）在弹性限度内，弹簧的长度是所挂物体质量的一次函数.某弹簧不挂物体时长；当所挂物体的质量为时，弹簧长.则与之间的关系式为      . 对点训练2 已知一次函数的图象经过，两点，求该函数的表达式. 解：设该函数的表达式为． 将，两点的坐标分别代入，得，，解得.所以该函数的表达式为. 课堂通关 第一关 过基础 1. 若正比例函数的图象经过点，则的值为（ D ）. A. B. C. D. 2. 一个正比例函数的图象经过点，，则的值为      . 3. 购买一些双面胶，单价为2元/卷，请写出总价元随双面胶卷数变化的表达式      . 4. 如果一个正比例函数的图象经过点，那么这个正比例函数的表达式为      . 第二关 过能力 5. 地表以下岩层的温度随着所处深度的变化而变化，在某个地点与的部分对应数据如下表： 所处深度 2 3 5 7 10 13 地表以下岩层的温度 90 125 195 265 370 475 则与的关系可以近似地表示为（ A ）. A. B. C. D. 6. [2023·深圳期末]学校开设劳动课，规划围成如图所示的长方形的菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边的总长度恰好为16米，设边的长为米，边的长为米，则与之间的关系式是      .（不要求写出自变量的取值范围） [解析] 用篱笆围成的另外三边总长度恰好为16米，设 边的长为 米，边的长为 米，，.故答案为． 第三关 过思维 7. [2023·梅州期中]如图，把一些相同规格的碗整齐地叠放在水平桌面上，这摞碗的高度随着碗的数量的变化而变化的情况如下面表格所示. 数量/只 1 2 3 4 5 … 高度/ 4 5.2 6.4 7.6 8.8 … （1） 上述两个变量之间的关系中，哪个是自变量？哪个是因变量？ 解：通过表格所列举的变量可知，碗的数量是自变量，高度是因变量. （2） 用表示这摞碗的高度，用（只）表示这摞碗的数量，请用含有的代数式表示. [答案] 由表格可知，每增加一只碗，高度增加， ，. （3） 若这摞碗的高度为，求这摞碗的数量. [答案] ，，解得， 这摞碗的数量是7只. 第2课时 单个一次函数图象的应用 新课导学 知识点1 一次函数与一元一次方程的关系 一般地，当一次函数的函数值为0时，相应的自变量的值就是方程的解.从图象上看，一次函数的图象与轴交点的①  横坐标  就是方程的②  解  . 特别说明：解一元一次方程↔对应一次函数的值为0时，所求出的相应的自变量的值，就是一次函数与 轴交点的横坐标（注意是点的横坐标值而不是点的坐标）. 【例1】 已知一次函数的图象如图，则关于的方程的解是（ B ）. A. B. C. D. 对点训练1 若方程的解为，则一次函数的图象与轴交点的坐标为      . 知识点2 单个一次函数图象的应用 特别说明：利用一次函数解决问题，往往先要确定其表达式，从“数”的角度看，就是；从“形”的角度看，它是一条直线.解决实际问题时，常常数形结合一并思考. 【例2】 某地区由于持续高温和连日无雨，一蓄水水库的蓄水量随着时间的增加而减少.蓄水量（万立方米）与干旱持续时间（天）的关系如图所示，回答下列问题： （1） 水库干旱前的蓄水量是多少？ 解：由题意结合图象得，干旱前的蓄水量是1 200万立方米. （2） 干旱持续20天，蓄水量为多少？ [答案]由题意结合图象得干旱持续20天蓄水量为800万立方米. （3） 蓄水量小于200万立方米时，将发生严重干旱警报.干旱多少天后将发出严重干旱警报？ [答案]50天. （4） 按照这个规律，预计持续干旱多少天水库将干涸？ [答案]60天. 对点训练2 [2023·深圳高级中学期末]行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”.为了测定某种型号汽车的刹车性能（车速不超过），对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如下表： 刹车时车速 0 10 20 30 40 50 … 刹车距离 0 2.5 5 7.5 10 12.5 … （1） 自变量是  刹车时车速  ，因变量是  刹车距离  .（用文字表示） （2） 当刹车时车速为时，刹车距离是  15  . [解析] 刹车时速度每增加，刹车距离增加， 刹车时车速为 时，刹车距离为, 当刹车时车速为 时，刹车距离是.故答案为15． （3） 该种型号汽车的刹车距离用表示，刹车时车速用表示，根据上表反映的规律直接写出与之间的关系式.（不用写出自变量的取值范围） 解：依题意，得刹车时速度每增加，刹车距离增加，. 课堂通关 第一关 过基础 1. 一次函数的图象过点和两点，则      ，      . 2. （根据教材北师大版八上P92做一做改编）如图是某一次函数的图象，根据图象填空： （1） 当时，      ，当时，      ; （2） 这个函数的表达式为      . 3. 已知方程的解是，则函数的图象可能是（ C ）. A. B. C. D. 4. 油箱中存油40升，油从油箱中均匀流出，流速为0.2升/分钟，剩余油量（升）与流出时间（分钟）的函数关系式是（ B ）. A. B. C. D. 5. [2023·河源期末]探索计算：弹簧挂上物体后会伸长.已知一弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系如下表： 所挂物体的质量/ 0 1 2 3 4 5 6 7 弹簧的长度/ 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15 15.5 （1） 当所挂物体的质量为时，弹簧的长度是  .  . （2） 在弹性限度内，如果所挂物体的质量为，弹簧的长度为，根据上表写出与的关系式  .  ； （3） 当所挂物体的质量为时，请求出弹簧的长度. 解：当 时，代入，解得， 即弹簧的长度为． 第二关 过能力 6. 如图，某外卖公司员工送外卖日收入（元）与每日的派送量（件）成一次函数关系，若某“快递小哥”的日收入不少于120元，则他至少要派送      件. 7. 如图是一支蜡烛点燃以后，其长度与时间的函数图象，请解答以下问题： （1） 这支蜡烛点燃前的长度是多少厘米？每小时燃烧多少厘米？ 解： 当 时，， 这支蜡烛点燃前的长度是. 时，， 每小时燃烧的长度为. （2） 写出与的函数表达式，并求的取值范围. [答案] 由题意得，当 时，即，解得， 的取值范围是. 故 与 的函数表达式是. 第三关 过思维 8. 水是生命之源，节约用水是每个公民应尽的义务.水龙头关闭不严会造成滴水，为了调查漏水量与漏水时间的关系，某同学在滴水的水龙头下放置了一个能显示水量的容器，每记录一次容器中的水量如下表： 时间 0 5 10 15 20 … 水量 0 25 50 75 100 … （1） 请根据上表中的信息，在图中描出以上述实验所得数据为坐标的各点； 解：如图所示. （2） 根据（1）中各点的分布规律，求出关于的函数表达式； [答案] 根据（1）中各点的分布规律，可知 是关于 的正比例函数， 设 关于 的函数表达式是，当 时， ，，则， 关于 的函数表达式是. （3） 请估算这种漏水状态下一天的漏水量. [答案] 由（2）可知，在这种状态下一天的漏水量. 答：这种漏水状态下一天的漏水量大约是． 第3课时 两个一次函数图象的应用 新课导学 知识点 两个一次函数图象的应用 特别说明：利用一次函数解决实际问题，往往题目文字较多，要静心读懂题意，然后结合一次函数的本质（两个变量之间的一种线性增减关系）及，分别在题目中所代表的实际意义解决实际问题. 【例】 一农民带上若干千克自产的土豆进城出售，为了方便，他带了一些零钱备用，按市场价售出一些后，又降价出售，售出的土豆千克数与他手中持有的钱数（含备用零钱）的关系如图所示，结合图象回答下列问题： （1） 农民自带的零钱是多少? 解：由图象可知，农民自带的零钱是5元. （2） 试求降价前与之间的函数关系. [答案]依据图象可得，降价前图象经过，这两点，设函数关系式为，将点的坐标代入得,,解得 降价前 与 之间的关系式为. （3） 降价前每千克土豆的价格是多少? [答案]由（2）得，降价前每千克土豆0.5元. （4） 降价后他按每千克0.4元将剩余土豆售完，这时他手中的钱（含备用零钱）是26元，那么他一共带了多少千克土豆进城? [答案]（千克），（千克）,他一共带了45千克土豆进城. 对点训练 [2022·深圳期中]周末，小明坐公交车到滨海公园游玩，他从家出发0.8小时后到达中心书城，逗留一段时间后继续坐公交车到滨海公园，小明离家一段时间后，爸爸驾车沿相同的路线前往滨海公园.下面是他们离家的路程与小明离家的时间的关系图，请根据图回答下列问题： （1） 在上述变化过程中，自变量是  时间  ，因变量是  路程  ； （2） 小明家到滨海公园的路程为  30  ，小明在中心书城逗留的时间为  1.7  ； （3） 小明爸爸驾车的平均速度为  30  ，图中点表示的意义是  小明从中心书城坐公交车前往滨海公园  ； （4） 爸爸追上小明时距离滨海公园有多远？ 解：小明从中心书城出来所坐公交车的速度为 ， 爸爸驾车经过 追上小明, 爸爸追上小明时离滨海公园． 课堂通关 第一关 过基础 1. 一家电信公司给顾客提供两种上网收费方式：方式以每分钟0.1元的价格按上网所用时间计费；方式除收月基本费20元外，再以每分钟0.05元的价格按上网所用时间计费.若上网所用时间为，计费为元，如图是两种计费方式的函数图象，其中正确结论的个数是（ A ）. ①图象甲描述的是方式； ②图象乙描述的是方式； ③当上网所用时间为时，选择方式省钱. A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 2. 甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度与燃烧时间之间的关系如图所示，已知，请根据所提供的信息解答下列问题： （1） 乙蜡烛燃烧前的高度是  25  ，乙从点燃到燃尽所用的时间是  2.5  . [解析]由，令，得，令，得，可得乙蜡烛燃烧前的高度是，从点燃到烧尽所用时间是.故答案为25；2.5. （2） 燃烧多长时间时，甲、乙两根蜡烛的高度一样长？ 解：设，由题意得 解得 ． 当 时，甲、乙两根蜡烛的高度一样长， ，解得， 燃烧时间为 时，甲、乙两根蜡烛的高度一样长． 3. 某试验室在保持的恒温，在匀速升温，每小时升高. （1） 写出试验室温度（单位：）关于时间（单位：）的函数关系式； 解：当 时，； 当 时，， 试验室温度（单位：）关于时间（单位：）的函数关系式为 （2） 在平面直角坐标系中画出函数图象.（不用列表） [答案] 函数图象如图所示. 4. 一司机驾驶汽车从甲地到乙地，他以的平均速度行驶到达目的地，并按照原路返回甲地. （1） 返回过程中，汽车行驶的平均速度与行驶的时间有怎样的函数关系？ 解：由题意可得两地路程为， 故汽车的速度 与时间 的函数关系式为. （2） 如果要在返回甲地，求该司机返程的平均速度； [答案] 由题意可得，解得． 答：该司机返程时的平均速度为. （3） 如图是返程行驶的路程与时间之间的函数图象，中途休息了30分钟，休息后以平均速度为的速度回到甲地. ① 自变量为  时间    ；因变量为  路程    ； ② 求该司机返程所用的总时间. [答案] 休息后所用的时间为. 司机返程所用的总时间为. 第二关 过能力 5. 太平中学初一年级一名学生和一名老师一起到一条笔直的跑道上锻炼身体，学生到达起点后做了一会准备活动，老师先跑，当学生出发时，老师已经距起点200米了，他们距起点的距离（米）与学生出发的时间（秒）之间的关系如图所示（不完整），根据图中给出的信息，解答下列问题. （1） 在上述变化过程中，自变量是  学生出发的时间    ，因变量是  距起点的距离    . （2） 求学生出发50秒后老师和学生的速度. 解：老师的速度为（米/秒）；学生的速度为（米/秒）． （3） 学生与老师在途中相遇  2  次，第二次相遇时距起点的距离为  420  米. 第三关 过思维 6. 某健身房推出“云健身”服务，针对特殊人群开展活动.活动方案如下：方案一：不购买“云”，每次收费10元；方案二：购买“云”，每次另行额外收费.设王先生“云健身”次数为（次），按照方案一所需费用为（元），且；按照方案二所需费用为（元），且.其函数图象如图所示. （1）  10  ；购买“云”需要  120  元； （2） 两种方案的函数图象交于点，请求出点的坐标并解释点的实际意义； 解：由题意得， 点，在 上， 解得.令， 解得，， 点 的坐标为； 点 的实际意义为当“云健身”20次时，两种方案所需费用相同，均为200元. （3） 若王先生准备“云健身”25次，选择方案  二  （选填“一”或“二”）所需费用较少；若王先生准备用180元进行“云健身”，选择方案  一  （选填“一”或“二”）可以获得更多的次数. 学科网（北京）股份有限公司 $$