4.4.1对数函数 教学设计-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

对数函数教学设计 内 容 教学目的 （1）了解对数函数的实际背景，理解对数函数的概念和意义，掌握对数函数的图像和性质，运用函数模型解决实际问题； （2）类比指数函数的研究过程和方法，归纳对数函数的性质，体会类比思想、数形结合思想及分类讨论思想，总结研究函数的一般思路； （3）在解决问题的过程中，提高演算和动手操作能力，借助现代信息技术激发学习兴趣，培养对待知识的科学态度和从函数的观点认识问题并解决问题的眼光. 教学重点难点 教学重点：对数函数的概念，画出特殊对数函数的图象，由特殊到一般归纳对数函数的性质，对数函数模型的简单应用. 教学难点：画出特殊对数函数的图象，对数函数模型的应用. 教学过程 教学环节及问题 师生活动 设计意图 环节一：情境引入 情境一：不考虑细胞的衰老，一个正常细胞分裂一次后变成2个细胞，分裂两次后变成4个细胞……经过x次分裂后，正常细胞的个数y与x的函数关系：. 情境二：《庄子·天下篇》中记载：一尺之棰，日取其半，万世不竭.蕴含一个函数关系式. 问题1：对于函数，输入一个y值，可不可以得到x值？有几个？ 追问1：要输出x值需要什么前提条件？ 追问2：为什么输出的x值是唯一的？ 师：前面我们学习了指数函数，大家还记得我们学习指数函数时根据什么实例建立的指数函数模型吗？ 师：根据函数的定义，对于函数，每输入一个x，在法则的作用下输出唯一的一个y值. 生1：将指数式转化为对数式. 生2：当时，输出唯一一个x的值；当时不能输出x值. 生3：因为在R上单调递增，（）与函数图象只有一个交点. 同理，对于情境二，可以得到，输入一个正数y，可以得到唯一一个x值. 两个问题情境不是很复杂，而是学生熟悉的，符合学生智力发展的情境，因此这两个问题的提出，学生容易上手，能使学生集中精力，引发对新知识的认知需求，初步感受对数函数是刻画现实世界的又一重要数学模型，从而对问题作深入有效的探索研究. 学生能够由指数式得到对数式，教师通过层层设问，引导学生类比指数函数，迁移得到对数函数的定义，并以此为载体，渗透“由特殊到一般”的数学思想.特别是判断是否是一个函数的过程，使学生能更好地理解对数函数的定义域、值域.在解决问题的过程中，学生既复习了旧知，又学习了新知，既掌握了知识，更学会了探求知识的方法，同时也促进了学生参与学习的主动性. 环节二：新知探究 问题2：类比指数函数，你能得到此类函数的一般式吗？ 追问3：在中，底数a有什么限制条件？ 追问4：你能说出对数函数的定义域吗？ 定义：称函数（且）为对数函数.其定义域为. 通过追问3和4对对数函数得定义进行补充和完善. 问题3：类比我们之前研究对指数函数性质的过程，接下来可以研究对数函数的哪些性质？如何研究对数函数的性质？ 活动1：填写表格，并在同一坐标系内画出函数和的图象. 追问5：从图象中你能提取出什么性质？ 追问6：哪些性质可以推广到一般的对数函数？ 活动2：在刚才的坐标系内画出函数和的图象. 追问7：画函数的图象时有无捷径？ 教师引导学生通过对底数a取特殊值，画两个特殊的对数函数的图象. 请两位学生板演活动一.其他学生独立完成后与同桌交流. 生：①图象都在y轴的右侧，即定义域为（0，+∞），值域为R； ②过特殊点（1，0）； ③在（0，+∞）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减； ④都是非奇非偶函数； ⑤和的图象关于x轴对称. 教师引导学生证明性质①②④⑤，进而推广得到一般的对数函数的性质. 学生已经熟悉研究函数的一般过程和方法，会类比来研究对数函数. 列表描点法作图是画函数图象的基本方法，既能巩固学生的对数运算，又能培养学生画图基本功. 学生通过观察具体对数函数图象，应用数形结合思想，归纳概括性质. 通过具体底数的两个对数函数图象间的关系，观察、归纳、概括一般的两个对数函数和（且）图象间关系，体会由特殊到一般思想的应用. 问题4：对数函数有哪些性质？ 根据四个特殊的对数函数图象，对对数函数的图象和性质提出猜想，并借用几何画板验证猜想，完成表格. 通过这四个图象，学生对对数函数的图象的感性认识步步加深、丰富，感受到对数函数的图象也可分a＞1和0＜a＜1两种情况．同一种情况中，底数a的变化影响着图象与x轴的相对位置，对于性质的进一步探究也就水到渠成. 环节三：典例分析 例1、写出下列函数的定义域： （1）； （2），其中a＞0且a≠1. 教师引导学生识别题目考查对数函数的什么性质，强调定义域写成区间或集合的形式. 例1主要考察对数函数定义中底数和定义域的限制,加深对概念的理解. 例2、比较下面各组中两个值的大小： （1）与； （2）与； （3）与； （4）与. 变式1：比较与（a＞0，a≠1）的大小. 变式2：比较与的大小. 问题5：如何应用对数函数的性质比较大小？ 教师板演（1），请学生练习（2），进一步通过变式1总结方法. 对于（3）和（4），教师引导学生借助图象判断大致位置，继而选择中间量0或1来比较大小. 方法指导： （1）同底不同真的对数式，构造对数函数，利用函数单调性比较大小； （2）既不同底也不同真的对数式，可以借助中间量0或1比较； （3）同真不同底的对数式，结合函数图像进行比较，对数函数图像在第一象限内“底大图右”. 通过例1强调函数模型思想，应用对数函数单调性解决问题.设计（3）（4）题，使学生体会转化思想. 变式2既可以通过换底公式比较倒数的大小，也可以借此题研究对数函数图象随底数a的变化规律. 环节四：课堂小结 思考1：这节课学习了什么知识？ 思考2：我们是如何研究对数函数的？ 思考3：在探究对数函数的图象与性质过程中，我们应用了哪些数学思想与方法？ 教师引导学生从知识和思想方法上思考、讨论、交流. 通过问题式的总结与反思，促进学生对学习过程的概括和对已有知识的重组. 作业布置： 必做： 1、教材P131练习题1， 2、比较下列各组数的大小： （1）与； （2）与. 3、教材P140习题4.4题2、4、5. 选做： 1、求函数的定义域. 2、已知，求m的取值范围. 布置必做作业巩固、强化、应用本节课的知识，选做作业具有一定的挑战性，激发学生对数学学习的兴趣，培养学生的钻研精神. 板书设计 4.4对数函数（1） 一、定义 称函数（且）为对数函数.其定义域为. 二、图象与性质 三、应用 例1、求函数定义域 例2、比较大小 同底不同真——函数模型单调性 既不同底也不同真——中间量 同真不同底——转化或图象法 学科网（北京）股份有限公司 $$