2.2基本不等式 教学设计 (1)-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

基本不等式教学设计 内 容 教学目的 一、理解基本不等式，发展逻辑推理素养； 二、结合具体实例，用基本不等式解决简单的求最值的问题，发展数学运算素养。 教学重点难点 重点：基本不等式的定义、几何解释和证明方法，用基本不等式解决简单的最值问题。 难点：基本不等式的几何解释，用基本不等式解决简单的最值问题。 教学过程 一、复习导入 问题1：上节课我们通过数学家大会的会标，得出来一类重要不等式，是什么？ 师生活动：学生在下面齐答。教师板书：，当且仅当时，等号成立。 设计意图：通过上节课由图形得不等式的思想，引入今天由新的几何图形得基本不等式。 二、基本不等式的几何意义A B C D E a b O 问题2：如图, AB是圆的直径, O为圆心，点C是AB上一点, AC=, BC=. 过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD.思考能否通过下面几个问题，得出新的不等关系？ ①如何用a, b表示OD? ②如何用a, b表示CD? ③OD与CD的大小关系怎样? 师生活动：学生小组讨论三分钟，分别得出OD、CD的长以及OD与CD的大小关系，进而使用字母刻画，得出基本不等式的标准形式，并以板书的形式完整呈现，强调其重要性。 设计意图：让学生自己寻找基本不等式的几何解释是很困难的，这里设计成三个小问题，然后由此得出基本不等式，既可以很好地理解基本不等式的几何解释，又可以锻炼学生的思维素养。 三、基本不等式的定义和证明 问题3：基本不等式是不是对任意地和都成立呀？这是我们之前学习的什么量词命题？ 师生活动：学生会很直接地回答全称量词命题。 设计意图：与前面的知识点相互串联，使学生们有意识地梳理数学各章节之间的联系。 问题4：能否对不等式进行证明呢？ 师生活动：通过板书的形式，引导学生由果索因，最终证得基本不等式成立。并激发学生们多思考，让学生们课下讨论更多的关于基本不等式证明的方法。 设计意图：根据不等式的性质，用分析法证明基本不等式，同时引导学生认识分析法的证明过程和证明格式，为学生高中阶段的推理和证明提供了更丰富的策略。 四、基本不等式的自然语言描述。 问题5：由几何图形推出来的基本不等式左边部分是什么呢？ 师生互动：学生思考后回答。教师总结：是正数a, b的算数平均数； 设计意图：让学生们自己寻找基本不等式的自然语言解释。 问题6：由几何图形推出来的基本不等式右边部分是什么呢？ 师生互动：学生思考后回答。教师总结：是正数a, b的几何平均数； 设计意图：让学生们自己一步步寻找基本不等式的自然语言解释，同时强调数学中，几何平均数的计算公式。 问题7：所以能否用自然语言对基本不等式进行描述？ 师生互动：学生思考后回答。教师总结：基本不等式表明两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 设计意图：学生们在前面已经对不等式的左右两边分别进行解释，可以很自然地得出不等式的自然语言表述，进一步加深对基本不等式的理解和认识。 五、基本不等式的简单应用 例1：已知x>0，求的最小值。 师生活动：教师通过板书的形式，引导学生一步步计算代数和的最小值。 变式1：已知x>0，求的最小值。 师生活动：参照例1的解题步骤，给学生两分钟时间在草稿本上计算，并核对答案。 问题8：通过例1和变式1，可以总结出一般规律是什么？ 师生活动：找同学回答，引导出“一正二定三相等最后得结论”的一般规律。 设计意图：引导学生根据所求代数式的形式，判断是否能利用基本不等式解决问题，同时强调代数式的最值必须是代数式能取到的值，为学生求解代数式的最值问题提供示范。 例2：设0＜x＜1,求函数y＝x(1−x)的最大值。 师生活动：教师通过板书的形式，引导学生一步步计算代数乘积的最大值。 变式2：设0＜x＜,求函数y＝x(3-2x)的最大值. 师生活动：参照例2的解题步骤，给学生两分钟时间在草稿本上计算，并核对答案。 设计意图：引导学生根据所求代数式的形式，判断是否能利用基本不等式解决问题，同时强调代数式的最值必须是代数式能取到的值，为学生求解代数式的最值问题提供示范。 问题9：通过例2和变式2，可以总结出一般规律是什么？ 师生活动：找同学回答，引导出“一正二定三相等最后得结论”的一般规律。 问题10：通过以上题目，能否由特殊的一般结论？ 师生活动：学生思考后回答。教师总结：如果x,y都为正数，和为定值，积有最大值。积为定值，和有最小值。 设计意图：由特殊到一般，为用基本不等式解决实际问题创造条件。 六、布置作业 1：已知−1≤x≤1，求的最大值。 2：已知x>−1，求的最小值。 3：已知直角三角形的面积等于50cm^2，当两条直角边的长度各为多少时，两条直角边的和最小？最小值是多少？ 七、目标检测设计 见配套试卷文件。 学科网（北京）股份有限公司 $$