专题02 相交线平行线（考题猜想，易错、好题7个考点50题专练）-2023-2024学年七年级数学下学期期末考点大串讲（沪教版）

专题02 相交线平行线（考题猜想，易错、好题7个考点50题专练） 对顶角、邻补角 垂线 点到直线的距离 同位角、内错角、同旁内角 平行线的判定 平行线的性质 平行线的判定与性质 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 一．对顶角、邻补角（共7小题） 1．（2023春•闵行区校级期中）两条直线斜交所形成的四个角中，有一个是，那么这两条直线的夹角的度数是 　　． 2．（2024春•普陀区期中）如果一个角是它的邻补角的，那么这个角的度数为 　　． 3．（2024春•普陀区期中）如图，直线和相交于点，平分，，那么　　． 4．（2024春•奉贤区期中）已知直线和直线交于点，如果，那么直线与直线的锐角夹角是 　　． 5．（2024春•金山区期中）如图，已知直线和直线相交于点，且夹角为，现将直线绕点逆时针方向旋转，那么此时直线和直线的夹角为 　　度． 6．（2024春•杨浦区期中）直线、相交于点，，则直线、的夹角为 　　． 7．（2024春•浦东新区期中）已知直线和直线交于点，比它的邻补角的2倍少，则直线与直线的夹角是 　　度． 二．垂线（共6小题） 8．（2023春•浦东新区校级期中）如果和有公共顶点，且的两边分别垂直于的两边，若时，则　　． 9．（2024春•浦东新区期中）如图，直线与交于点，平分，，，那么　　． 10．（2024春•杨浦区期中）如图，直线与相交于一点，平分，于点，若，则　　． 11．（2024春•浦东新区期中）已知点在直线上，以点为端点的两条射线、互相垂直，若，则的度数是 　　． 12．（2024春•黄浦区期中）如图，直线、相交于点，于，，　　 13．（2024春•闵行区期中）如图，是线段上的一点，已知，，且，试说明．（写出依据） 三．点到直线的距离（共3小题） 14．（2023春•杨浦区期末）如图，在中，，是边上一点，且，下列说法中，错误的是　　 A．直线与直线的夹角为 B．直线与直线的夹角为 C．线段的长是点到直线的距离 D．线段的长是点到直线的距离 15．（2023春•上海期中）如图：，，垂足为，则点到直线的距离是线段　　的长度． 16．（2024春•闵行区期中）如图，，，，，点到直线的距离是 　　． 四．同位角、内错角、同旁内角（共7小题） 17．（2023春•嘉定区期末）如图，以下说法正确的是　　 A．和是同位角 B．和是同位角 C．和是内错角 D．和是同旁内角 18．（2023春•奉贤区校级期中）两直线被第三条直线所截，与是同旁内角，且，则的度数为　　 A． B． C．或 D．无法确定 19．（2023春•奉贤区校级期中）如图，下列说法正确的是　　 A．与是同位角 B．与是内错角 C．与是同位角 D．与是同旁内角 20．（2022春•闵行区校级期中）下列图形中，和是同位角的图有　　 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 21．（2022春•闵行区校级期中）如图所示，图中同位角共有　　 A．4对 B．6对 C．8对 D．10对 22．（2022春•杨浦区校级期中）如图：与成内错角的是 　　；与成同旁内角的是 　　． 23．（2024春•杨浦区期中）如图，和是直线 　　与直线 　　被直线 　　所截得到的 　　角．的内错角有 　　个， 的同位角有 　　个． 五．平行线的判定（共3小题） 24．（2024春•奉贤区期中）在同一平面内，将两个完全相同的三角板按如图摆放，可以画出两条互相平行的直线与这样画的依据是　　 A．内错角相等，两直线平行 B．同位角相等，两直线平行 C．两直线平行，同位角相等 D．两直线平行，内错角相等 25．（2022春•上海期末）如图所示，由已知条件推出结论正确的是　　 A．由，可以推出 B．由，可以推出 C．由，可以推出 D．由，可以推出 26．（2024春•嘉定区期中）如图，已知，，那么与平行吗？为什么？ 六．平行线的性质（共16小题） 27．（2024春•虹口区期中）如图，已知，，垂足为点，那么、、之间的数量关系是　　 A． B． C． D． 28．（2024春•浦东新区期中）如果一个角的两边分别与另一个角的两边平行，其中一个角的大小为，那么另一个角的大小为　　 A． B． C．或 D．无法确定 29．（2022春•闵行区校级期末）如图，直线，，，则　　． 30．（2024春•虹口区期中）如图，已知，点、分别是直线、上的点，点、在、之间，且位于的两侧，、分别平分与，点在内部，且．如果，那么的度数为 　　．（用含的代数式表示） 31．（2023春•沙依巴克区校级期末）如图，若，则，，三者之间的数量关系是 　　． 32．（2022春•杨浦区校级期末）如图，于点，过点作，若，则　　． 33．（2022春•松江区校级期中）如图所示，把一个长方形纸片沿折叠后，点、分别落在、的位置，若，则　　． 34．（2023春•静安区校级期中）如图，直线，直线与直线、分别交于、两点，且．若，则　　． 35．（2023春•普陀区期中）长江汛期来临之前，为了便于夜间查看江水及两岸河堤的情况，防汛指挥部在笔直且平行的长江两岸河堤、上安置了、两盏激光探照灯如图所示．光线按顺时针方向以每秒的速度从旋转至便立即回转，并不断往返旋转；光线按顺时针方向以每秒的速度从旋转至便立即回转，并不断往返旋转． （1）如果两灯同时开始转动，光线和光线旋转时间为秒， ①如图1，请用含的代数式表示光线转动的角度，即　　；用含的代数式表示光线转动的角度，即　　． ②如图2，当光线与光线垂直，垂足为时，求的值． （2）如果光线先转动20秒，光线才开始转动，在光线第一次到达之前，求光线旋转几秒时，与光线平行？ 36．（2024春•杨浦区期中）已知． （1）如图1，若垂足为点，，则　　． （2）如图2，垂足为点，过点作于点，说明． （3）如图3，、的角平分线交于点，若，则　　（用含的式子表示）． 37．（2024春•黄浦区期中）将一副三角尺中的直角顶点按如图方式叠放在一起．，， （1）①若，则的度数为 　　． ②若，则的度数为 　　． （2）由（1）猜想并直接写出与的数量关系 　　． （3）当且点在直线的上方时，当这两块三角尺有一组边互相平行时，的度数为 　　． 38．（2022春•杨浦区校级期中）已知：直线分别与直线，相交于点，，平分，，，分别为直线和线段上的点． （1）如图1，平分，若，求的度数． （2）如图2，平分交于点，于点，当在直线上运动（不与点重合）时，探究与的关系，并证明你的结论． 39．（2022春•徐汇区校级期中）如图，已知，分别和直线、交于点、，分别和直线、交于点、，点在上点与、、三点不重合）． （1）如果点在、两点之间运动时，、、之间有何数量关系请说明理由； （2）如果点在、两点外侧运动时，、、有何数量关系（只需写出结论）． 40．（2023春•闵行区期中）（1）如图1，是直线，内部一点，，连接，． 探究猜想． ①当，，则　　； ②猜想图1中，，的关系并验证； （2）如图2，，已知，，求的度数．（用含有，代数式表示） （3）如图3，射线与平行四边形的边交于点，与边交于点，图3中，分别是被射线隔开的2个区域（不含边界），是位于以上两个区域内的一点，猜想，，的关系．（不要求说明理由） 41．（2023春•青浦区校级期中）如图，直线，，、在上，且满足，平分 （1）求的度数； （2）若平行移动，那么的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律或求出变化范围；若不变，求出这个比值． （3）在平行移动的过程中，是否存在某种情况，使？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由． 42．（2024春•杨浦区期中）对于平面内的和，若存在一个常数，使得，则称为的系补周角．如若，，则为的6系补周角． （1）若，则的4系补周角的度数为　　 （2）在平面内，点是平面内一点，连接，． ①如图1，，若是的3系补周角，求的度数． ②如图2，和均为钝角，点在点的右侧，且满足，（其中为常数且，点是角平分线上的一个动点，在点运动过程中，请你确定一个点的位置，使得是的系补周角，并直接写出此时的值（用含的式子表示）． 七．平行线的判定与性质（共8小题） 43．（2024春•闵行区期中）下列说法中，正确的是　　 A．如果两条直线被第三条直线所截，那么同旁内角互补 B．点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的垂线段的长度 C．如果两条直线被第三条直线所截，那么一组内错角的角平分线互相平行 D．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行 44．（2023春•徐汇区校级期中）下列说法： ①平面内，垂直于同一直线的两条直线平行； ②两条直线被第三条直线所截，内错角相等； ③如果直线，，那么； ④直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短； ⑤两平行线被第三条直线所截，同旁内角的角平分线互相垂直． 其中正确的有　　 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 45．（2024春•松江区期中）如图所示，已知，，那么等于多少度？为什么？ 请将说理过程补充完整； 解：过点作， 得 　　． 因为（已知），（已作）， 所以 　　． 得 　　（两直线平行，同旁内角互补）， 所以　　 　　． 即． 因为（已知）， 所以　　（等式性质）． 46．（2023春•越秀区校级期中）填空：如图，已知，，说明与平行的理由． 解：因为（已知） 又因为　　（邻补角意义） 所以　　 所以　　 所以　　　　 因为（已知） 所以　　　　 所以　　 47．（2023春•青浦区校级期中）如图，已知：，、分别平分、，且． 试说明：（1）； （2）． 48．（2024春•金山区期中）如图，如图，已知，，，求的度数． 49．（2024春•松江区期中）如图所示，与互补，．试说明． 50．（2022春•松江区校级期中）（1）如图（1），当、、满足条件 　　时，有．并说明理由． （2）如图（2），当时，，，的关系是 　　． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 相交线平行线（考题猜想，易错、好题7个考点50题专练） 对顶角、邻补角 垂线 点到直线的距离 同位角、内错角、同旁内角 平行线的判定 平行线的性质 平行线的判定与性质 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 一．对顶角、邻补角（共7小题） 1．（2023春•闵行区校级期中）两条直线斜交所形成的四个角中，有一个是，那么这两条直线的夹角的度数是 　或　． 【分析】依题意画出图形，再根据对顶角的性质及邻补角的定义分别求出四个角的度数，进而可得这两条直线的夹角的度数． 【解答】解：依题意如下图所示： 直线，相交于点，且， ， ， ， ， 两条直线斜交所形成的四个角中，有一个是，那么这两条直线的夹角的度数是或． 故答案为：或． 【点评】此题主要考查了相交线，对顶角的性质，邻补角的定义，角的计算，熟练掌握对顶角的性质，邻补角的定义是解决问题的关键． 2．（2024春•普陀区期中）如果一个角是它的邻补角的，那么这个角的度数为 　　． 【分析】设这个角为，由题意得列出，求解即可． 【解答】解：设这个角为， 由题意得，， 解得， 故答案为：． 【点评】本题考查了对顶角、邻补角，熟知邻补角互补是解题的关键． 3．（2024春•普陀区期中）如图，直线和相交于点，平分，，那么　40　． 【分析】根据，即可求出的度数，根据角平分线的定义求出的度数，最后根据对顶角相等即可求出的度数． 【解答】解：平分， ， ， ， ， ， ， 故答案为：40． 【点评】本题考查了对顶角、邻补角，角平分线的定义，熟练掌握对顶角相等，邻补角互补的性质是解题的关键． 4．（2024春•奉贤区期中）已知直线和直线交于点，如果，那么直线与直线的锐角夹角是 　40　． 【分析】根据邻补角互补即可求出直线与直线的锐角夹角的度数． 【解答】解：， ， 即直线与直线的锐角夹角是， 故答案为：40． 【点评】本题考查了邻补角，熟知邻补角互补的性质是解题的关键． 5．（2024春•金山区期中）如图，已知直线和直线相交于点，且夹角为，现将直线绕点逆时针方向旋转，那么此时直线和直线的夹角为 　20　度． 【分析】先根据题目的已知条件画出图形进行分析，然后进行计算即可解答． 【解答】解：如图： 由题意得：此时直线和直线的夹角， 此时直线和直线的夹角为， 故答案为：20． 【点评】本题考查了对顶角、邻补角，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 6．（2024春•杨浦区期中）直线、相交于点，，则直线、的夹角为 　　． 【分析】先求出的邻补角，即可解答． 【解答】解：， 的邻补角， 直线、的夹角为， 故答案为：． 【点评】本题考查了对顶角、邻补角，准确熟练地进行计算是解题的关键． 7．（2024春•浦东新区期中）已知直线和直线交于点，比它的邻补角的2倍少，则直线与直线的夹角是 　70　度． 【分析】设的邻补角为，则，根据题意可得：，然后进行计算即可解答． 【解答】解：设的邻补角为，则， 由题意得：， 解得：， 的邻补角为， 直线与直线的夹角是70度， 故答案为：70． 【点评】本题考查了对顶角、邻补角，准确熟练地进行计算是解题的关键． 二．垂线（共6小题） 8．（2023春•浦东新区校级期中）如果和有公共顶点，且的两边分别垂直于的两边，若时，则　或　． 【分析】分两种情况分别画图计算可得答案． 【解答】解：第一种情况，如图： ，， ，， ， 第二种情况，如图：， ，， ，， ， ． 故答案为：或． 【点评】此题考查的是垂线的性质，掌握余角性质是解决此题关键． 9．（2024春•浦东新区期中）如图，直线与交于点，平分，，，那么　108　． 【分析】先根据对顶角性质得，再根据角平分线定义得，然后根据得，最后根据即可得出答案． 【解答】解：直线与交于点，， ， 平分， ， ， ， ． 故答案为：108． 【点评】此题主要考查了垂直定义，角平分线定义，对顶角的性质，角的计算，准确识图，理解垂直定义，角平分线定义，熟练掌握对顶角的性质，角的计算是解决问题的关键． 10．（2024春•杨浦区期中）如图，直线与相交于一点，平分，于点，若，则　　． 【分析】根据对顶角的性质得，再根据角平分线的定义得，然后再根据邻补角的定义可得的度数． 【解答】解：直线与相交于一点，， ， 平分， ， ， ． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了角平分线的定义，对顶角的性质，邻补角的定义，准确识图，理解角平分线的定义，对顶角的性质，邻补角的定义，熟练掌握角的计算是解决问题的关键． 11．（2024春•浦东新区期中）已知点在直线上，以点为端点的两条射线、互相垂直，若，则的度数是 　或　． 【分析】需要分类讨论：如图，、在的同侧和异侧两种情况． 【解答】解：，互相垂直， ． 如图1，与在的同侧时， ， ； 如图2，与在的两侧时， ， ； 故答案为：或． 【点评】本题考查了垂线．注意数形结合数学思想的应用． 12．（2024春•黄浦区期中）如图，直线、相交于点，于，，　60　 【分析】先根据垂直定义可得，从而利用已知可得，然后利用对顶角相等可得，即可解答． 【解答】解：， ， ， ， ， 故答案为：60． 【点评】本题考查了垂线，对顶角、邻补角，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 13．（2024春•闵行区期中）如图，是线段上的一点，已知，，且，试说明．（写出依据） 【分析】先证，再根据三角形内角和定理及，，得，，据此可得出结论． 【解答】解：（已知）， （垂直定义）， （邻补角的定义）， ，（三角形内角和定理）， 又，（已知）， ，（等量代换）， （等式的性质）， （等量代换）． 【点评】此题主要考查了垂线的定义，三角形的内角和定理，准确识图，理解垂线的定义，熟练掌握三角形的内角和定理是解决问题的关键． 三．点到直线的距离（共3小题） 14．（2023春•杨浦区期末）如图，在中，，是边上一点，且，下列说法中，错误的是　　 A．直线与直线的夹角为 B．直线与直线的夹角为 C．线段的长是点到直线的距离 D．线段的长是点到直线的距离 【分析】根据已知角即可判断、；根据点到直线的距离的定义即可判断、． 【解答】解：、， 直线与直线的夹角是，正确，故本选项不符合题意； 、， 直线与直线的夹角是，正确，故本选项不符合题意； 、， ， 线段的长是点到直线的距离，正确，故本选项不符合题意； 、和不垂直， 线段的长是点到直线的距离，错误，故本选项符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了点到直线的距离，注意：点到直线的距离是指该点到直线的垂线段的长． 15．（2023春•上海期中）如图：，，垂足为，则点到直线的距离是线段　　的长度． 【分析】根据点到直线的距离及线段的长的意义可求出答案． 【解答】解：，垂足为， 点到直线的距离是线段的长度． 故答案为：． 【点评】此题考查点到直线的距离，解题的关键是根据点到直线的距离及线段的长的意义解答． 16．（2024春•闵行区期中）如图，，，，，点到直线的距离是 　7.2　． 【分析】过点作于点，根据三角形的面积公式得，再将，，代入上式即可得出的长． 【解答】解：过点作于点，如下图所示： ， ， ，，， ， ． 点到直线的距离是7.2． 故答案为：7.2． 【点评】此题主要考查了点到直线的距离，三角形的面积，理解点到直线距离的定义，熟练掌握三角形的面积公式是解决问题的关键． 四．同位角、内错角、同旁内角（共7小题） 17．（2023春•嘉定区期末）如图，以下说法正确的是　　 A．和是同位角 B．和是同位角 C．和是内错角 D．和是同旁内角 【分析】根据同位角，内错角，同旁内角的意义，逐一判断即可解答． 【解答】解：、和不是同位角，不是内错角，也不是同旁内角，故不符合题意； 、和是同位角，故不符合题意； 、和是内错角，故不符合题意； 、和是同旁内角，故符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了同位角，内错角，同旁内角，熟练掌握同位角，内错角，同旁内角的意义是解题的关键． 18．（2023春•奉贤区校级期中）两直线被第三条直线所截，与是同旁内角，且，则的度数为　　 A． B． C．或 D．无法确定 【分析】两直线被第三条直线所截，只有当两条被截直线平行时，内错角相等，同位角相等，同旁内角互补．不平行时以上结论不成立． 【解答】解：因为两条直线的位置关系不明确，所以无法判断和大小关系， 故选：． 【点评】本题考查了平行线的性质，注意性质定理的条件是两直线平行．解题的关键是正确理解平行线的性质． 19．（2023春•奉贤区校级期中）如图，下列说法正确的是　　 A．与是同位角 B．与是内错角 C．与是同位角 D．与是同旁内角 【分析】根据同位角，内错角，同旁内角的定义逐个判断即可． 【解答】解：、和不是同位角，故本选项不符合题意； 、和不是内错角，故本选项不符合题意； 、和是内错角，不是同位角，故本选项不符合题意； 、和是同旁内角，故本选项符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了同位角，内错角，同旁内角的定义等知识点，能正确找出同位角、内错角、同旁内角是解此题的关键． 20．（2022春•闵行区校级期中）下列图形中，和是同位角的图有　　 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】根据同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角进行分析即可． 【解答】解：根据同位角定义可得第二、三个是同位角，第一、四个不是同位角，即同位角有2个． 故选：． 【点评】此题主要考查了同位角，解题的关键是掌握同位角的边构成“”形，内错角的边构成“”形，同旁内角的边构成“”形． 21．（2022春•闵行区校级期中）如图所示，图中同位角共有　　 A．4对 B．6对 C．8对 D．10对 【分析】根据两个都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角叫做同位角进行判断即可． 【解答】解：如图： 由同位角的定义可知： 和，和，和，和，和，和，和，和都是同位角，共有8对． 故选：． 【点评】本题主要考查了同位角的定义．解答此题时要结合图形和同位角的定义进行解答． 22．（2022春•杨浦区校级期中）如图：与成内错角的是 　、和　；与成同旁内角的是 　　． 【分析】准确识别内错角、同旁内角的关键，是弄清哪两条直线被哪一条线所截．也就是说，在辨别这些角之前，要弄清哪一条直线是截线，哪两条直线是被截线． 【解答】解：如图，与成内错角的是、和，与成同旁内角的是：、、和． 故答案分别是：、和，、、和． 【点评】本题考查了同位角、内错角、同旁内角．在复杂的图形中识别同位角、内错角、同旁内角时，应当沿着角的边将图形补全，或者把多余的线暂时略去，找到三线八角的基本图形，进而确定这两个角的位置关系． 23．（2024春•杨浦区期中）如图，和是直线 　　与直线 　　被直线 　　所截得到的 　　角．的内错角有 　　个， 的同位角有 　　个． 【分析】设直线与直线相交于点，直线与直线相交于点，直线与直线相交于点，根据内错角，同位角的定义，逐一判断即可解答． 【解答】解：如图：设直线与直线相交于点，直线与直线相交于点，直线与直线相交于点， 和是直线与直线被直线所截得到的内错角．的内错角是和，共有2个，的同位角是，，，，共有4个， 故答案为：；；；内错；2；4． 【点评】本题考查了同位角、内错角，同旁内角，熟练掌握同位角、内错角，同旁内角的特征是解题的关键． 五．平行线的判定（共3小题） 24．（2024春•奉贤区期中）在同一平面内，将两个完全相同的三角板按如图摆放，可以画出两条互相平行的直线与这样画的依据是　　 A．内错角相等，两直线平行 B．同位角相等，两直线平行 C．两直线平行，同位角相等 D．两直线平行，内错角相等 【分析】根据题目的已知条件并结合图形进行分析，然后根据内错角相等，两直线平行，即可解答． 【解答】解：在同一平面内，将两个完全相同的三角板按如图摆放，可以画出两条互相平行的直线与这样画的依据是：内错角相等，两直线平行， 故选：． 【点评】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题的关键． 25．（2022春•上海期末）如图所示，由已知条件推出结论正确的是　　 A．由，可以推出 B．由，可以推出 C．由，可以推出 D．由，可以推出 【分析】根据平行线的判定方法对各选项分析判断即可利用排除法求解． 【解答】解：、由，可以推出，故本选项错误； 、由，可以推出，故本选项错误； 、由，可以推出，故本选项错误； 、由，可以推出，故本选项正确． 故选：． 【点评】本题主要考查了平行线的判定，找准构成内错角的截线与被截线是解题的关键，本题容易出错． 26．（2024春•嘉定区期中）如图，已知，，那么与平行吗？为什么？ 【分析】依据，即可判定，进而得出，依据，即可得到，进而得到． 【解答】解：平行．理由如下： ， ， ， 又 ， ． 【点评】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①两直线平行同位角相等，②两直线平行内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补． 六．平行线的性质（共16小题） 27．（2024春•虹口区期中）如图，已知，，垂足为点，那么、、之间的数量关系是　　 A． B． C． D． 【分析】过点作，利用平行线的性质可得，再根据垂直定义可得，然后利用平行线的性质可得：，从而可得，最后利用等量代换进行计算，即可解答． 【解答】解：过点作， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， 故选：． 【点评】本题考查了平行线的性质，垂线，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 28．（2024春•浦东新区期中）如果一个角的两边分别与另一个角的两边平行，其中一个角的大小为，那么另一个角的大小为　　 A． B． C．或 D．无法确定 【分析】分两种情况画出图形，然后利用平行线的性质可得如果一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等或互补，从而进行计算即可解答． 【解答】解：分两种情况： 如图： ， ， ， ， ； 如图： ， ， ， ， ； 综上所述：如果一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等或互补， 如果一个角的两边分别与另一个角的两边平行，其中一个角的大小为，那么另一个角的大小为或， 故选：． 【点评】本题考查了平行线的性质，分两种情况讨论是解题的关键． 29．（2022春•闵行区校级期末）如图，直线，，，则　　． 【分析】根据平行线的性质，可以得到的度数，再根据三角形的外角和内角的关系，即可得到的度数． 【解答】解：延长交于点，如图所示： ，， ， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，运用平行线的性质，利用数形结合的思想解答． 30．（2024春•虹口区期中）如图，已知，点、分别是直线、上的点，点、在、之间，且位于的两侧，、分别平分与，点在内部，且．如果，那么的度数为 　　．（用含的代数式表示） 【分析】过点作，证，则，，由此得，根据，，设，，，，设，，则，，再根据角平分线定义得，，则①，然后由三角形内角和定理得：，，即②，③，将②③代入①即可得出的度数． 【解答】解：过点作，如下图所示： ， ， ，， ， 即， ，， 设，，，， 设，， 则，， 、分别平分与， ，， ①， 由三角形内角和定理得： ，， 即，， ②，③， 将②③代入①得：， 整理得：． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理，角的计算，熟练掌握平行线的性质，三角形内角和定理，角的计算是解决问题的关键． 31．（2023春•沙依巴克区校级期末）如图，若，则，，三者之间的数量关系是 　　． 【分析】依据可得出，，进而得到，，据此可得． 【解答】解：， ，， ，， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补． 32．（2022春•杨浦区校级期末）如图，于点，过点作，若，则　　． 【分析】先根据补角的定义求出的度数，再由平行线的性质求出的度数，再由直角三角形的性质即可得出结论． 【解答】解：， ． ， ． ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查平行线的性质和垂线的定义．解题的关键是熟练掌握平行线的性质：两直线平行，内错角相等． 33．（2022春•松江区校级期中）如图所示，把一个长方形纸片沿折叠后，点、分别落在、的位置，若，则　　． 【分析】由平行可求得，又由折叠的性质可得，结合平角可求得． 【解答】解：四边形为长方形， ， ， 又由折叠的性质可得， ， 故答案为：． 【点评】本题主要考查平行线的性质及折叠的性质，掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键． 34．（2023春•静安区校级期中）如图，直线，直线与直线、分别交于、两点，且．若，则　30　． 【分析】根据垂直定义可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后利用平行线的性质可得，即可解答． 【解答】解：， ， ， ， ， ， 故答案为：30． 【点评】本题考查了平行线的性质，垂线，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 35．（2023春•普陀区期中）长江汛期来临之前，为了便于夜间查看江水及两岸河堤的情况，防汛指挥部在笔直且平行的长江两岸河堤、上安置了、两盏激光探照灯如图所示．光线按顺时针方向以每秒的速度从旋转至便立即回转，并不断往返旋转；光线按顺时针方向以每秒的速度从旋转至便立即回转，并不断往返旋转． （1）如果两灯同时开始转动，光线和光线旋转时间为秒， ①如图1，请用含的代数式表示光线转动的角度，即　　；用含的代数式表示光线转动的角度，即　　． ②如图2，当光线与光线垂直，垂足为时，求的值． （2）如果光线先转动20秒，光线才开始转动，在光线第一次到达之前，求光线旋转几秒时，与光线平行？ 【分析】（1）根据旋转速度和旋转时间计算即可； （2）根据平行线性质，得到，与关系，再列方程，解出即可； （3）在光线第一次到达之前，可以旋转的时间应小于160秒，此时可能到达并返回，因此需分两种情况讨论，在不同情况下，利用平行线性质得到的角的关系列出方程解出即可． 【解答】解：（1）①由题意，得光线旋转的角度为，光线旋转的角度为． ，， 故答案为：，． ②解：过点作，如图， ． ， ， ． ． 即． 解得； （2）解：设光线旋转时间为秒， 由题意，知， 解得， ， 因此，需分三种情况： 情况在第一次到达之前，如图， 此时，，， ， ， ， ， ， ， 解得； 情况在第一次到达之后，未到达，如图， 此时，， ， 类似地，当时， ， ， 解得； 情况在第一次到达之后，再第一次到达，返回， 此时，，， 类似地，当时， ， ， 解得， 此情况无解． 综上，光线旋转10秒和85秒时，与光线平行． 【点评】本题考查平行线性质，以动态背景考查一元一次方程的应用，能熟练运用平行线性质是解题的关键． 36．（2024春•杨浦区期中）已知． （1）如图1，若垂足为点，，则　　． （2）如图2，垂足为点，过点作于点，说明． （3）如图3，、的角平分线交于点，若，则　　（用含的式子表示）． 【分析】（1）过点作，利用猪脚模型可求出，然后利用平角定义可得，即可解答； （2）根据垂直定义可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，再利用（1）的结论可得：，然后利用同角的余角相等可得：，即可解答； （3）利用（1）的结论可得：，，再利用角平分线的定义可得，，然后利用等量代换可得，即可解答． 【解答】解：（1）过点作， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）， ， ， 由（1）可得：， ； （3）由（1）可得：，， 平分，平分， ，， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握猪脚模型是解题的关键． 37．（2024春•黄浦区期中）将一副三角尺中的直角顶点按如图方式叠放在一起．，， （1）①若，则的度数为 　　． ②若，则的度数为 　　． （2）由（1）猜想并直接写出与的数量关系 　　． （3）当且点在直线的上方时，当这两块三角尺有一组边互相平行时，的度数为 　　． 【分析】（1）①利用角的和差关系进行计算，即可解答； ②利用角的和差关系进行计算，即可解答； （2）利用角的和差关系进行计算，即可解答； （3）分五种情况：根据题目的已知条件画出图形进行分析计算，即可解答． 【解答】解：（1）①，， ， ， ， 故答案为：； ②，， ， ， ， 故答案为：； （2）， 理由：， ， 故答案为：； （3）分五种情况： 当时，如图： ， ， ； 当时，如图： ； 当时，如图： ； 当时，如图： ， ， ； 当时，如图：延长交于点， ， 是的一个外角， ； 综上所述：的度数为、、、、， 故答案为：、、、、． 【点评】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 38．（2022春•杨浦区校级期中）已知：直线分别与直线，相交于点，，平分，，，分别为直线和线段上的点． （1）如图1，平分，若，求的度数． （2）如图2，平分交于点，于点，当在直线上运动（不与点重合）时，探究与的关系，并证明你的结论． 【分析】（1）首先作，根据平行线的性质，推得；然后根据，推得，据此求出的度数即可． （2）①首先判断出，然后根据，可得，推得，再根据，推得即可． ②首先判断出，然后根据，可得，推得，再根据，推得即可． 【解答】解：（1）如图1，作，， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ． （2）①如图2，， ，理由如下： ， ， ， ， ， ． ②如图3，， ，理由如下： ， ， ， ， ， ． 综上，可得 当在直线上运动（不与点重合）时，或． 【点评】此题主要考查了平行线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．③定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等． 39．（2022春•徐汇区校级期中）如图，已知，分别和直线、交于点、，分别和直线、交于点、，点在上点与、、三点不重合）． （1）如果点在、两点之间运动时，、、之间有何数量关系请说明理由； （2）如果点在、两点外侧运动时，、、有何数量关系（只需写出结论）． 【分析】（1）根据平行线的性质可求出它们的关系，从点作平行线，平行于，根据两直线平行内错角相等可得出． （2）分类讨论，①点在点左边，②点在点右边． 【解答】解：（1）如图，过点作的平行线， ， ， 又， ， ， ． （2）①在点左边时，； ②在点右边时，． （提示：两小题都过作的平行线）． 【点评】本题主要考查了两直线平行，内错角相等，正确作出辅助线是解题的关键． 40．（2023春•闵行区期中）（1）如图1，是直线，内部一点，，连接，． 探究猜想． ①当，，则　92　； ②猜想图1中，，的关系并验证； （2）如图2，，已知，，求的度数．（用含有，代数式表示） （3）如图3，射线与平行四边形的边交于点，与边交于点，图3中，分别是被射线隔开的2个区域（不含边界），是位于以上两个区域内的一点，猜想，，的关系．（不要求说明理由） 【分析】（1）如图所示，过点作，根据平行线的性质即可求解①，②； （2）如图所示，分别过点，，作，，，根据平行线的性质即可求解； （3）由（1），（2）的证明方法，分类讨论即可求解． 【解答】解：（1）①， ； ②猜想，，证明过程如下， 如图所示，过点作， ， ， ，， ， ； （2）如图所示，分别过点，，作，，， ， ， 由（1）可知，，，， ， ，，即， ， ， ； （3）根据题意， ①如图所示，当点在区域时，过点作， 四边形是平行四边形， ， ， ，，， ， ； ②如图所示，当点在区域时，过点作， 四边形是平行四边形， ， ， ，，， ； 综上所述，点在区域时，；点在区域时，． 【点评】本题主要考查平行线的性质，理解并掌握平行线的性质是解题的关键． 41．（2023春•青浦区校级期中）如图，直线，，、在上，且满足，平分 （1）求的度数； （2）若平行移动，那么的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律或求出变化范围；若不变，求出这个比值． （3）在平行移动的过程中，是否存在某种情况，使？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由． 【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补求出，然后求出，计算即可得解； （2）根据两直线平行，内错角相等可得，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，从而得解； （3）根据三角形的内角和定理求出，从而得到、、是的四等分线，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解． 【解答】解：（1）， ， 平分， ， ， ； （2）， ， ， ， ， ，是定值； （3）在和中， ，， ， 、、是的四等分线， ， ， 故存在某种情况，使，此时． 【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键． 42．（2024春•杨浦区期中）对于平面内的和，若存在一个常数，使得，则称为的系补周角．如若，，则为的6系补周角． （1）若，则的4系补周角的度数为　60　 （2）在平面内，点是平面内一点，连接，． ①如图1，，若是的3系补周角，求的度数． ②如图2，和均为钝角，点在点的右侧，且满足，（其中为常数且，点是角平分线上的一个动点，在点运动过程中，请你确定一个点的位置，使得是的系补周角，并直接写出此时的值（用含的式子表示）． 【分析】（1）设的4系补周角的度数为，根据新定义列出方程求解便可； （2）①过作，得，再由已知，是的3系补周角，列出的方程，求得便可； ②根据系补周角的定义先确定点的位置，再结合，求解与的关系即可求解． 【解答】解：（1）设的4系补周角的度数为，根据新定义得，， 解得，， 的4系补周角的度数为， 故答案为60； （2）①过作，如图1， ， ， ，， ， ， 即， 是的3系补周角， ， ， ； ②当上的动点为的角平分线与的交点时，满足是的系补周角，此时． 【点评】本题主要考查平行线的性质与判定，角平分线的定义，理解题意是解题的关键． 七．平行线的判定与性质（共8小题） 43．（2024春•闵行区期中）下列说法中，正确的是　　 A．如果两条直线被第三条直线所截，那么同旁内角互补 B．点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的垂线段的长度 C．如果两条直线被第三条直线所截，那么一组内错角的角平分线互相平行 D．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行 【分析】根据平行线的判定与性质，点到直线的距离，同位角，内错角，同旁内角，平行公理及推论，逐一判断即可解答． 【解答】解：、如果两条平行直线被第三条直线所截，那么同旁内角互补，故不符合题意； 、点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的垂线段的长度，故符合题意； 、如果两条平行直线被第三条直线所截，那么一组内错角的角平分线互相平行，故不符合题意； 、经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了平行线的判定与性质，点到直线的距离，同位角，内错角，同旁内角，平行公理及推论，熟练掌握这些数学概念是解题的关键． 44．（2023春•徐汇区校级期中）下列说法： ①平面内，垂直于同一直线的两条直线平行； ②两条直线被第三条直线所截，内错角相等； ③如果直线，，那么； ④直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短； ⑤两平行线被第三条直线所截，同旁内角的角平分线互相垂直． 其中正确的有　　 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】依据平行公理，垂线段最短以及平行线的性质，即可得出结论． 【解答】解：①平面内，垂直于同一直线的两条直线平行，原说法正确； ②两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，原说法错误； ③如果直线，，那么，原说法正确； ④直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，原说法正确； ⑤两条平行线被第三条直线所截，同旁内角的角平分线互相垂直，原说法正确． 其中正确的是①③④⑤，共4个． 故选：． 【点评】本题主要考查了平行线的性质以及平行公理，解题时注意：平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 45．（2024春•松江区期中）如图所示，已知，，那么等于多少度？为什么？ 请将说理过程补充完整； 解：过点作， 得 　两直线平行，同旁内角互补　． 因为（已知），（已作）， 所以 　　． 得 　　（两直线平行，同旁内角互补）， 所以　　 　　． 即． 因为（已知）， 所以　　（等式性质）． 【分析】过点作，从而利用平行线的性质可得，再根据平行于同一条直线的两条直线平行可得，然后利用平行线的性质可得，从而利用等式的性质可得，最后进行计算即可解答． 【解答】解：过点作， 得（两直线平行，同旁内角互补）， 因为（已知），（已作）， 所以（平行于同一条直线的两条直线平行）． 得（两直线平行，同旁内角互补）， 所以（等式的性质）． 即， 因为（已知）， 所以（等式性质）， 故答案为：两直线平行，同旁内角互补；平行于同一条直线的两条直线平行；；360；等式的性质；270． 【点评】本题考查了平行线的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 46．（2023春•越秀区校级期中）填空：如图，已知，，说明与平行的理由． 解：因为（已知） 又因为　　（邻补角意义） 所以　　 所以　　 所以　　　　 因为（已知） 所以　　　　 所以　　 【分析】根据平行线的判定方法和平行线的性质解答即可． 【解答】解：因为（已知）， 又因为（邻补角的意义）， 所以（同角的补角相等）， 所以（内错角相等，两直线平行）， 所以（两直线平行，内错角相等）， 因为（已知）， 所以（等量代换）， （同位角相等，两直线平行）． 故答案为：；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；等量代换；同位角相等，两直线平行． 【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟知平行线的判定与性质的区别是解答此题的关键，即性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关． 47．（2023春•青浦区校级期中）如图，已知：，、分别平分、，且． 试说明：（1）； （2）． 【分析】（1）先根据角平分线的定义得出，，再由得出，根据可得出，故； （2）由平行线的性质可知，，根据，进而可得出结论． 【解答】证明：（1）如图： 、分别平分、， ，， ， ， 又， ， ； （2）， ，， ， ． 【点评】本题考查的是平行线的性质，熟知平行线的判定与性质是解答此题的关键． 48．（2024春•金山区期中）如图，如图，已知，，，求的度数． 【分析】先根据对顶角相等可得：，从而可得，进而可得，然后利用平行线的性质可得，从而可得，进而可得，最后利用平行线的性质可得，从而进行计算即可解答． 【解答】解：，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的度数为． 【点评】本题考查平行线的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 49．（2024春•松江区期中）如图所示，与互补，．试说明． 【分析】延长交于点，先根据补角定义可得，从而可得，然后利用平行线的性质可得，从而利用等量代换可得，最后利用同位角相等，两直线平行可得，从而利用平行线的性质可得，即可解答． 【解答】解：延长交于点， 与互补， ， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查了平行线的判定与性质，余角和补角，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 50．（2022春•松江区校级期中）（1）如图（1），当、、满足条件 　　时，有．并说明理由． （2）如图（2），当时，，，的关系是 　　． 【分析】（1）如图，过点作，根据平行线的判定和性质证明即可； （2）如图，过点作，根据平行线的判定和性质证明即可． 【解答】解：（1）当、、满足条件时，有．理由如下： 过点作，如图： （两直线平行，内错角相等）， ，， ， （内错角相等，两直线平行）， ， （平行于同一条直线的两条直线互相平行）； 故答案为：； （2）当时，，，的关系是，理由如下： 过点作，如图： （两直线平行，同旁内角互补）， （已知）， （平行于同一条直线的两条直线互相平行）， （两直线平行，内错角相等）， 即， ， （等量代换）， 即． 故答案为：． 【点评】本题考查了平行线的判定和性质．能够正确的作辅助线并熟记平行线的判定和性质是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 $$