6.4.3.1　余弦定理 教学设计-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

平面向量的应用——余弦定理教学设计 内 容 教学目的 1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明方法. 2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题. 教学重点难点 重点： 探究和推导余弦定理的两种形式；运用余弦定理解三角形 难点：余弦定理的证明 教学过程 1 情境引入 情境：千岛湖位于我国浙江省淳安县境内，因湖内有星罗棋布的一千多个岛屿而得名，现有三个岛屿A，B，C，岛屿A与B之间距离因A，B之间有另一小岛而无法直接测量，但可测得AC，BC的距离分别为6 km和4 km，且AC，BC的夹角为120°，那么岛屿A，B间的距离如何计算呢？ 问题简化：在三角形ABC中，已知CA、CB的长度和他们的夹角，求AB的长度。 引入概念：一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素.已知三角形中的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 问题1：在三角形中已知两边及其夹角，第三边可求吗？ 教师引导：由判定三角形全等的方法：两个三角形的两边和其夹角分别相等，则两三角形全等。那么给定三角形两边及其夹角，这个三角形就是唯一确定的.所以AB的长度可求。因为涉及的是三角形的两边长和它们的夹角，联想到向量的数量积，所以我们考虑用向量的运算来探究。 2 余弦定理的推导 教师讲授：如图，我们将已知的两边CB、CA分别设为向量，要求的AB设为向量,根据向量的加减运算得=， 求AB即向量的模长，需要将这个式子左右两边平方，得到：，将数量积公式代入，得，然后将模长都用边长代替，得到。即用边a、b和角C表示出了边c，同理，用边b、c和角A可以表示边a：，用边a、c和角B可以表示边b：，这三个式子就是余弦定理。 余弦定理：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍,即： 问题2：观察式子的结构有什么特点？ 教师引导：这三个等式，右边是两边及其夹角，左边是这个角的对边，有三个平方项一个交叉项，且每个式子都涉及到三条边和其中一个角。 我们不妨将夹角的余弦值移到等式左边，将边留在等式右边，对式子变型得到余弦定理的推论：，，. 问题3：余弦定理及其推论能解决什么问题呢？ 教师引导：这些公式每个都涉及到四个量：三条边长和一个夹角的余弦值，那么知道其中三个就可以求出另外一个，所以主要可以解决两类解三角形问题：已知两边及其夹角求第三边，已知三边求夹角。 3 定理的应用 问题4：回到前面千岛湖的测量问题，△ABC中已知边a=4,b=6，角C= 120° ，求边c。 教师引导：已知两边和它们的夹角求第三边的问题，我们知道要用余弦定理，但是余弦定理有三个式子，选择哪个呢？观察：每个式子都有三条边，但是只涉及到一个角，所以要看已知的是哪个角，已知角C，所以选择，将数据代入得，最后不要忘记，求长度还需要开根号，所以. 例1 在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5，求最大角的大小 教师引导：先思考哪个角最大？因为大边对大角，所以角A最大，已知三边求角可以直接用余弦定理的推论。 思考：另外两个角B和C能求吗?（根据推论的另外两个公式，三个角都可以求。） 4 定理的深入理解 思考1：余弦定理与勾股定理有什么关系？ 余弦定理：；勾股定理： 结论：勾股定理是余弦定理的特例，而余弦定理是勾股定理的推广。 思考2：还有其他的方法证明余弦定理吗？ 教师引导：当角C是直角时，直接成立，当角C是锐角或者钝角的时候呢？要求边c可以构造直角三角形，所以可以作高，将边c放在一个直角三角形里再去求。 思考3：根据角可以判断直角，那么根据和可以得到什么结论呢？ 教师引导：根据角余弦值的正负，可以分别判断锐角和钝角。 结论：，， 可以借助三角形的三边判断它的形状。 5 课堂小结 6 作业布置 教材第44页练习1,2,3 学科网（北京）股份有限公司 $$