专题04导数期末10种常考题型归类【好题汇编】-备战2023-2024学年高二数学下学期期末真题分类汇编（人教B版2019选择性必修第三册）

专题04导数期末10种常考题型归类 极限的简单计算 1．（22-23高二下·广西桂林·期末）设函数，则（    ） A． B． C． D． 2．（20-21高二上·陕西延安·期末）已知在处的导数为2，则（    ） A．2 B．6 C． D． 3．（22-23高二上·湖北·期末）已知函数可导，且满足，则函数在x＝3处的导数为（    ） A．2 B．1 C．－1 D．－2 4．（22-23高二下·上海浦东新·期末）设函数在处导数存在，若则 . 5．（22-23高二下·湖北·期末）已知函数的导函数为，且，，则实数t的值为 . 切线问题 6．（23-24高二上·河南周口·期末）曲线 在点处的切线方程为 ． 7．（23-24高二上·广东深圳·期末）若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是 . 8．（21-22高二下·江西宜春·期末）若实数a，b，c，d满足，则的最小值为 ． 9．（23-24高二上·重庆·期末）已知曲线， (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求过点且与曲线相切的直线方程. 10．（23-24高二上·海南海口·期末）已知函数是曲线和的一条公切线． (1)求实数的值； (2)过点可作曲线的三条不同的切线，求实数的取值范围． 导数求值问题 11．（23-24高二上·山西·期末）若函数，则（    ） A．0 B． C． D． 12．（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知是可导函数，如图所示，直线是曲线在处的切线，令，是的导函数，则（    ） A．0 B．1 C． D． 13．（多选）（23-24高二上·山西长治·期末）下列导数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高二上·陕西西安·期末）已知函数，则的值为 ． 15．（23-24高二上·江苏扬州·期末）曲率是衡量曲线弯曲程度的重要指标定义：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率．已知，则曲线在点处的曲率为 ． 导数单调性小题汇总 16．（22-23高二下·福建龙岩·阶段练习）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 17．（22-23高二下·河南平顶山·期末）若函数在区间上单调递增，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18．（22-23高二下·江西赣州·期末）设，则“”是“在上单调递减”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 19．（22-23高二下·陕西西安·期末）若函数在上不单调，则实数的取值范围为 . 20．（21-22高二下·福建漳州·期末）已知函数的单调递减区间是，则关于的不等式的解集是 . 导数单调性解答题汇总 21．（21-22高二上·江西南昌·期末）已知函数（） (1)求的单调区间； (2)当有3个零点时，求的取值范围． 22．（23-24高二上·河北石家庄·期末）设函数． (1)若，求的导数； (2)讨论函数的单调性． 23．（23-24高二上·福建·期末）函数. (1)求函数的单调增区间； (2)当时，若，求证：． 24．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)已知时，直线为曲线的切线，求实数的值． 25．（22-23高二下·宁夏石嘴山·期末）已知函数，． (1)若，讨论函数的单调区间； (2)若有两个零点，求a的取值范围． 导数与不等式问题 26．（23-24高二上·江苏泰州·期末）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 27．（22-23高二上·广东深圳·期末）已知函数，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 28. （22-23高二下·上海·期末）已知函数，则不等式的解集为 . 29. （22-23高二下·江西南昌·期末）设函数，则满足的的取值范围是 . 30. （23-24高二上·江苏宿迁·期末）函数是定义在上的奇函数，对任意实数恒有，则（    ） A． B． C． D． 导数与比较大小 31．（23-24高二上·湖南长沙·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 32．（23-24高二上·山西·期末）已知函数，若，则下列式子大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 33．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知，则a，b，c大小关系为（    ） A． B． C． D． 34．（23-24高二上·河南开封·期末）设，，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 35．（23-24高二上·福建福州·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 导数极值小题汇总 36．（22-23高二上·河南·期末）若是函数的极值点，则函数在的零点个数是（    ） A．1 B． C． D． 37．（23-24高二上·山西吕梁·期末）若函数在处有极小值，则（　　） A． B． C．或 D． 38．（23-24高二上·山西运城·期末）已知函数，只有一个极值点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 39. （多选）（23-24高二上·江苏南通·期末）已知函数，则（    ） A．在处取得极小值 B．有3个零点 C．在区间上的值域为 D．曲线的对称中心为 40. （23-24高二上·陕西西安·期末）已知函数在时取得极大值4，则 ． 导数极值与最值解答题汇总 41．（22-23高二下·上海·期末）已知函数. (1)若，求函数的极值； (2)若，求函数的最值. 42．（21-22高二上·江西南昌·期末）已知函数． (1)求函数的最小值； (2)若对于任意的，都有，求整数的最大值． 43．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知函数 ． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若函数在内存在两个极值点，求实数a的取值范围． 44．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知函数． (1)求函数的极值点和零点； (2)若恒成立，求实数k的取值范围． 45．（23-24高二上·浙江杭州·期末）设a为实数，函数． (1)求的极值； (2)对于，都有，试求实数a的取值范围． 导数与图像问题 46．（22-23高二下·福建莆田·期末）某同学利用电脑软件将函数，的图象画在同一直角坐标系中，得到了如图所示的“心形线”．观察图形，当时，的导函数的图象为（    ）    A．   B．   C．   D．   47．（23-24高二上·江苏南京·期末）函数的导函数在内的图像如图所示，则函数在内极大值点的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 48．（23-24高二上·山西长治·期末）函数的导函数的图象如图所示，那么该函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 49．（多选）（23-24高二上·山西忻州·期末）已知函数的导函数的图象如图所示，则（    ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．有2个极大值点 D．只有1个极小值点 50．（多选）（23-24高二上·江苏宿迁·期末）已知函数的导函数的图象如图所示，则（    ） A．在区间上单调递增 B．在区间上有且仅有2个极值点 C．在区间上最多有4个零点 D．在区间上存在极大值点 51．（22-23高二下·陕西榆林·期末）已知函数的图象与轴有且仅有两个交点，则实数的值是（    ） A． B． C． D．0 52．（多选）（23-24高二上·湖南娄底·期末）数学家笛卡尔研究了许多优美的曲线，如笛卡尔叶形线D在平面直角坐标系中的方程为．当时，以下四个结论正确的是（    ） A．曲线D经过第三象限 B．曲线D关于直线轴对称 C．对任意，曲线D与直线一定有公共点 D．对任意，曲线D与直线一定有公共点 53．（23-24高二上·山西·期末）若存在实数使得，则的值为 . 54．（23-24高二上·湖南张家界·期末）已知函数，，. (1)讨论函数的单调性； (2)设，若存在零点，求实数的取值范围. 55．（23-24高二上·河南开封·期末）已知函数． (1)若在定义域内单调递增，求的取值范围； (2)若函数有两个极值点，且恒成立，求实数的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04导数期末10种常考题型归类 极限的简单计算 1．（22-23高二下·广西桂林·期末）设函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合解析式直接求解即可. 【详解】. 故选：C. 2．（20-21高二上·陕西延安·期末）已知在处的导数为2，则（    ） A．2 B．6 C． D． 【答案】A 【分析】 由导数的定义求解即可. 【详解】，. 故选：A 3．（22-23高二上·湖北·期末）已知函数可导，且满足，则函数在x＝3处的导数为（    ） A．2 B．1 C．－1 D．－2 【答案】D 【分析】根据导数的定义即可得到答案. 【详解】由题意，，所以. 故选：D. 4．（22-23高二下·上海浦东新·期末）设函数在处导数存在，若则 . 【答案】 【分析】利用导数的定义可得出的值. 【详解】由导数的定义可得. 故答案为：. 5．（22-23高二下·湖北·期末）已知函数的导函数为，且，，则实数t的值为 . 【答案】/ 【分析】根据导数的知识列方程，化简求得的值. 【详解】依题意， 即，解得. 故答案为： 切线问题 6．（23-24高二上·河南周口·期末）曲线 在点处的切线方程为 ． 【答案】 【分析】求出函数的导数，求出在时的导数值，从而可求解. 【详解】由，则，， 所以曲线在点处的切线方程为. 故答案为：. 7．（23-24高二上·广东深圳·期末）若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】先利用导数求曲线过坐标的切线方程，再列出关于的不等式，进而求得的取值范围. 【详解】由得，设切点坐标为， 则切线斜率， 切线方程为， 又因为切线过，所以，整理得， 又曲线有两条过坐标原点的切线，所以该方程有两个实数解， 所以，解得或， 所以的取值范围是， 故答案为：. 8．（21-22高二下·江西宜春·期末）若实数a，b，c，d满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由题意可知点在曲线上.点在曲线上.由的最小值的几何意义就是曲线到曲线上点的距离的最小值.设出切点由斜率为，即可求出切点，利用点到直线的距离即可求出最值. 【详解】因为 所以 . 所以点在曲线上. 点在曲线上. 的最小值的几何意义就是曲线到曲线上点的距离的最小值. 等价于曲线平行于的切线到曲线的距离. 设切点为,, 则或（舍） 所以，切点. 该点到直线的距离为：. 所以的最小值为. 故答案为：. 【点睛】本题考查了利用导数求曲线上的点到直线的距离的最值.考查了转化与化归思想.属于难题.其中的几何意义为点到点的距离是解本题的关键. 9．（23-24高二上·重庆·期末）已知曲线， (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求过点且与曲线相切的直线方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）求得，得到，结合直线的点斜式方程，即可求解； （2）设切点为，求得切线方程为，结合点在直线上，列出方程求得，进而求得过点的切线方程. 【详解】（1）解：由函数，可得，可得， 即曲线在点处的切线斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）解：因为点不在曲线上， 设切点为，所以， 所以切线方程为， 又因为在直线上，所以， 即，解得或. 当切点为时，切线方程为； 当切点为时，切线的斜率为，此时切线方程为， 综上所述，过点且与曲线相切的直线方程为：或. 10．（23-24高二上·海南海口·期末）已知函数是曲线和的一条公切线． (1)求实数的值； (2)过点可作曲线的三条不同的切线，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2)或或 【分析】（1）根据导数的几何意义，结合一元二次方程根的判别式进行求解即可； （2）根据导数的几何意义，结合一元二次方程根的判别式进行求解即可 【详解】（1）设直线与曲线的切点坐标为， ，， 又直线的斜率为，， 且点同时在直线和曲线上， 满足，联立以上两式可得， 故直线的方程为， 联立，可得， 又直线与曲线相切， ，解得． （2）由（1）得，， 设切点为， 则曲线在点的切线方程为， 又切线过点， ， 即方程有两个不相等的实数根，且， ， 解得或或， 所以实数的取值范围为或或． 【点睛】关键点睛：本题的关键是利用导数的几何意义，结合一元二次方程根的判别式进行求解. 导数求值问题 11．（23-24高二上·山西·期末）若函数，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【分析】求导，再令即可得解. 【详解】， 所以. 故选：A. 12．（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知是可导函数，如图所示，直线是曲线在处的切线，令，是的导函数，则（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】先求出，再根据图象求出，，代入计算即可． 【详解】由图可知：过，所以， 又过，所以，即． 而，所以 故选：A． 13．（多选）（23-24高二上·山西长治·期末）下列导数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用基本函数和复合函数的求导法则求解即可. 【详解】选项A，，故A正确； 选项B，，故B错误； 选项C，，故C正确； 选项D，，故D错误. 故选：AC. 14．（23-24高二上·陕西西安·期末）已知函数，则的值为 ． 【答案】1 【分析】先求，令，求得，可得，从而可解. 【详解】由题意，， 则， 所以，则， 则. 故答案为：1 15．（23-24高二上·江苏扬州·期末）曲率是衡量曲线弯曲程度的重要指标定义：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率．已知，则曲线在点处的曲率为 ． 【答案】2 【分析】 计算出及后代入计算即可得. 【详解】，， 故，， 则. 故答案为：. 导数单调性小题汇总 16．（22-23高二下·福建龙岩·阶段练习）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求导得, 令, 即可求得答案. 【详解】， 当 时 ,的单调递减区间为, 故选：D. 17．（22-23高二下·河南平顶山·期末）若函数在区间上单调递增，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】关键函数在区间上单调递增，由在上恒成立求解. 【详解】解：因为函数， 所以， 因为函数在区间上单调递增， 所以在上恒成立； 即在上恒成立； 即在上恒成立； 所以， 故选：C 18．（22-23高二下·江西赣州·期末）设，则“”是“在上单调递减”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】求出函数在上单调递减时的取值范围，结合必要不充分条件可得答案. 【详解】令函数，得， 由，可得，则在上单调递减， 可转化为则“”是“”成立的什么条件问题， 当时显然，反之不成立， 则“”是“在上单调递减”的必要不充分条件. 故选：B. 19．（22-23高二下·陕西西安·期末）若函数在上不单调，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】将问题转化为方程在上有根，结合的定义域得到关于的不等式组，解之即可得解. 【详解】因为函数在上不单调， 所以在上有零点， 即方程在上有根，即方程在上有根， 又函数定义域为， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 20．（21-22高二下·福建漳州·期末）已知函数的单调递减区间是，则关于的不等式的解集是 . 【答案】 【分析】根据题意可得不等式的解集为，再根据二次不等式的解集与系数的关系解得，，再代入因式分解求解不等式即可 【详解】，的单调递减区间是，则不等式的解集为，所以是的两根，故，，所以，，.令，得，即，得；令，得，即，得；所以不等式的解集为. 故答案为： 导数单调性解答题汇总 21．（21-22高二上·江西南昌·期末）已知函数（） (1)求的单调区间； (2)当有3个零点时，求的取值范围． 【答案】(1)增区间，，减区间 (2) 【分析】（1）直接根据导数与单调性的关系即可得结果； （2）首先求出函数的极值，根据题意得到，再解不等式组即可. 【详解】（1）因为， 令，得或1； 令，得或； 令，得， 所以的增区间为，，减区间为. （2）由（1）易得的极大值为，极小值为 因为有3个零点，所以，解得. 即的取值范围为. 22．（23-24高二上·河北石家庄·期末）设函数． (1)若，求的导数； (2)讨论函数的单调性． 【答案】(1)，其中. (2)见解析 【分析】（1）根据导数的运算规则结合初等函数的导数可求的导数； （2）就、、、分类讨论后可得函数的单调性. 【详解】（1）若，则，故，其中. （2）， 当时， 当时，；当时，. 故的减区间为，增区间为. 当时， 若，则当时，； 当时，， 故的减区间为，增区间为. 若，则当时，； 当时，， 故的减区间为，增区间为. 若， 恒成立（不恒为零），故的增区间为，无减区间. 综上： 当时，故的减区间为，增区间为. 当时，故的减区间为，增区间为. 若，故的减区间为，增区间为. 若， 的增区间为，无减区间. 23．（23-24高二上·福建·期末）函数. (1)求函数的单调增区间； (2)当时，若，求证：． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用导数含参讨论单调区间即可. （2）构造对称差函数，结合导数求解即可. 【详解】（1）函数的定义域是. 由已知得，. ①当时， 由得，或， ∴的单调增区间为，， ②当时， 当时，，所以单调增区间为. ③当时， 由得：或， ∴的单调增区间为， 综上，①当时，函数单调递增区间为，； ②当时，函数单调递增区间为； ③当时，函数单调递增区间为，. （2）当时，. 由（1）知，函数在上单调递增且； 令 ，， 令， 令，解得；令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以， 令，则，则， 故， 所以恒成立， 由已知，不妨设，则， 所以，所以， 因为，，而在单调递增， 所以，所以. 24．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)已知时，直线为曲线的切线，求实数的值． 【答案】(1)答案见解析 (2)或 【分析】（1）求导后因式分解，再讨论当，，时导函数的正负，即可判断原函数的单调性. （2）求导后根据导数的几何意义设切点，求得切线方程，根据切线过原点计算即可求得结果. 【详解】（1）． 令，得或． 若，则当时，；当时，． 故在上单调递增，在上单调递减； 若时，，在上单调递增； 若，则当时，；当时，． 故在上单调递增，在上单调递减． 综上所述：当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 时，在单调递增，在单调递减． （2）当时， 设切点，则切线方程为 因为切线过原点， 故， 即， 解得或 所以或. 25．（22-23高二下·宁夏石嘴山·期末）已知函数，． (1)若，讨论函数的单调区间； (2)若有两个零点，求a的取值范围． 【答案】(1)函数在单调递减，在单调递增 (2)． 【分析】（1）求导分析可得； （2）利用导数判断单调性，分，，三种情况分别讨论零点的个数. 【详解】（1）． 因为，则当时，；当时，； 故函数在单调递减，在单调递增． （2）①当时，由（1）知，函数在单调递减，在单调递增． ∵，， 取实数b满足且， 则， 所以有两个零点，符合题意． ②若，则，故只有一个零点，不符合题意． ③若，由（1）知，当时，则在上单调递增， 又当时，，故不存在两个零点； 当时，则在，上单调递增 在上单调递减．又，故不存在两个零点. 综上所述，a的取值范围是． 【点睛】关键点点睛：利用导数判断函数的单调性并求出单调区间即可；在判断零点问题时，利用导数判断单调性再结合函数取值分析即可. 导数与不等式问题 26．（23-24高二上·江苏泰州·期末）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】不等式等价于，构造函数，求导，确定单调性，利用单调性解不等式即可. 【详解】由得， 设，则，所以在上单调递减， 故由得， 所以，解得. 故选：B. 27．（22-23高二上·广东深圳·期末）已知函数，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知可得函数为增函数，且为奇函数，进而可由得，解得答案. 【详解】函数，定义域为， 函数恒成立， 故函数为增函数， 又由， 故函数为奇函数， ， 则， 解得：. 故选：C. 28. （22-23高二下·上海·期末）已知函数，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】利用导数判断函数在上的单调性，结合偶函数性质即可将原题不等式等价转换为，从而转换为一元二次不等式即可得解. 【详解】因为，的定义域为全体实数， 所以，即为偶函数， 当时，，令， ，即在上单调递增， 所以，故在上单调递增， 因为，所以，所以， 解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 29. （22-23高二下·江西南昌·期末）设函数，则满足的的取值范围是 . 【答案】 【分析】构造函数，确定单调性及奇偶性，利用函数性质来解不等式. 【详解】, 令，定义域为， 得， 所以函数为奇函数， 又，当且仅当时，等号成立， 所以函数在上单调递增， 由得， 即 则， 所以，解得. 故答案为： 30. （23-24高二上·江苏宿迁·期末）函数是定义在上的奇函数，对任意实数恒有，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先构造函数， 根据导数判断函数的单调性，再结合选项，依次判断. 【详解】设，则， 由条件可知，，所以，则函数在上单调递增， 因为函数是定义在上的奇函数，则，即，故A错误； 由函数的单调性可知，，得，故B正确； 由，得，故C错误； 由，得，故D错误. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造函数，从而可以根据函数的单调性，判断选项. 导数与比较大小 31．（23-24高二上·湖南长沙·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，利用导数判断单调性，结合单调性分析判断. 【详解】因为， 构造函数，则， 令，解得；当时，令，解得； 可得在上单调递减，在上单调递增； 且，所以，即. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：根据题意构建，结合函数单调性比较大小. 32．（23-24高二上·山西·期末）已知函数，若，则下列式子大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求导得到函数单调性，结合得到，由函数单调性得到，故，从而得到，得到答案. 【详解】在上恒成立， 故在上单调递增， 因为，故，所以，故， 所以， 当时，， 故，，则， 故， 综上，，A正确. 故选：A 33．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知，则a，b，c大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据式子结构，构造函数，利用导数判断出的单调性，进而得到a，b，c的大小关系. 【详解】根据式子结构，构造函数，则， 令，则，令，得， 因此在单调递增，在单调递减， 而，，， 因为，所以，即. 故选：D 34．（23-24高二上·河南开封·期末）设，，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数在上的单调性可得出、的大小关系，利用函数在上的单调性可得出、的大小关系，由此可得出、、的大小关系. 【详解】令，则， 当时，，则单调递增，所以， 即，则； 令，则，当时，，单调递增， 所以，即，即． 综上所述，． 故选：A． 【点睛】结论点睛：两个常见的重要不等式： （1）；（2）. 35．（23-24高二上·福建福州·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断，构造，比较的大小. 【详解】因为，而，所以b最大， 构造函数，因为， 当时，当时， 所以在单调递减，在单调递增， 又因为，所以，即， 故. 故选：B． 导数极值小题汇总 36．（22-23高二上·河南·期末）若是函数的极值点，则函数在的零点个数是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】由函数的极值点判断，再由导数的性质得出单调性和最值，最后结合图像得出结果. 【详解】由，则，则． 所以，函数在上，，单调递增，最小值 ， 结合图象可知，交点个数为1．    故选：A 37．（23-24高二上·山西吕梁·期末）若函数在处有极小值，则（　　） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】求得，由，求得或，分别求得函数的单调区间，结合函数极值点的定义，即可求解. 【详解】由函数，可得， 因为函数在处取得极小值，可得，解得或， 当时，令，解得或；令，解得， 函数在上单调递增，在上单调递减，在单调递增， 所以在处有极大值，不符合题意，舍去； 当时，令，可得或；令，可得， 函数在上单调递增，在上单调递减，在单调递增， 所以在处有极小值，符合题意， 综上可得，. 故选：A. 38．（23-24高二上·山西运城·期末）已知函数，只有一个极值点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求函数的导数，利用参变分离得，再构造函数，利用导数分析函数的图象，转化函数的交点问题，即可求解. 【详解】，令，得， 设，，得， 当时，，函数在区间单调递增， 当时，，函数在区间单调递减， 当时，的最大值为， 并且时，，时，， 如图，画出函数的图象， 因为函数只有一个极值点，即与只有一个交点，且， 所以. 故选：A 39. （多选）（23-24高二上·江苏南通·期末）已知函数，则（    ） A．在处取得极小值 B．有3个零点 C．在区间上的值域为 D．曲线的对称中心为 【答案】ABD 【分析】求出函数的导数，利用导数研究函数的单调性，极值，零点，值域，可判断A，B，C选项，根据函数奇偶性及图象变换可判断D. 【详解】由， 令，解得，令，解得或， 所以函数在和上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，故A正确； 又，，，， ，所以函数在有且仅有一个零点， 同理函数在有且仅有一个零点，在上有且仅有一个零点， 即函数共有3个零点，故B正确； 由前面得在上值域为，故C错误； 设，，， 所以函数是奇函数，图象关于对称， 又是向下平移1个单位得到，所以函数的对称中心为，故D正确. 故选：ABD. 40. （23-24高二上·陕西西安·期末）已知函数在时取得极大值4，则 ． 【答案】 【分析】利用导数研究函数的极值，待定系数计算并验证即可. 【详解】由题意可知， 因为函数在时取得极大值4，所以， 解之得， 检验，此时，令或， 令， 即在上单调递增，在上单调递减，即满足题意， 故. 故答案为： 导数极值与最值解答题汇总 41．（22-23高二下·上海·期末）已知函数. (1)若，求函数的极值； (2)若，求函数的最值. 【答案】(1)极大值为，极小值为 (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出单调区间，从而求出极值； （2）结合（1）可得函数的单调性，再求出区间端点的函数值，即可求出函数在闭区间上的最值. 【详解】（1）由，得， 令，解得， 当时，所以函数在上单调递增； 当时，所以函数在上单调递增； 当时，所以函数在上单调递减； 所以当时，函数有极大值为； 当时，函数有极小值为. （2）由（1）得在上单调递减，在上单调递增， 又，， 又函数的极小值为， 所以当时，函数的最大值为，最小值为. 42．（21-22高二上·江西南昌·期末）已知函数． (1)求函数的最小值； (2)若对于任意的，都有，求整数的最大值． 【答案】(1)-1 (2)3 【分析】（1）直接根据导数与单调性的关系，求出最值即可； （2）将不等式等价变形，分离参数并构造函数，再探讨函数的最小值即可推理作答. 【详解】（1）因为， 当时，； 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 所以的最小值为. （2）对于任意的，， 令，，则， 由（1）知在上单调递增； 且，， 则在区间上存在唯一零点， 使得，即， 则当时，，，在上单调递减； 则当时，，，在上单调递增； 于是得， 于是， 所以整数的最大值为3. 【点睛】涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键. 43．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知函数 ． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若函数在内存在两个极值点，求实数a的取值范围． 【答案】(1)单调递增区间为：和，单调递减区间为： (2)或 【分析】（1）首先求函数的导数，利用导数求解函数的单调区间； （2）首先求函数的导数，并化简为，，再讨论的取值，结合函数的单调性，判断函数极值点的个数，从而求解实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，定义域为          令，得或，     所以的单调递增区间为：和，单调递减区间为： （2） ①当时，，所以在上单调递减，在上单调递增， 故只有一个极小值点，与条件矛盾，故舍去．     ②当时，在和上单调递增，在上单调递减， 故有两个极值点a和，与条件相符．     ③当时，在和上单调递增，在上单调递减， 故有两个极值点a和，与条件相符．     ④当时，， 故在上单调递增，无极值点，舍去．     ⑤当时，，所以在上单调递增，在上单调递减， 故只有一个极大值点，与条件矛盾，故舍去．     综上可得：或 44．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知函数． (1)求函数的极值点和零点； (2)若恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】(1)极大值点为，没有极小值点；零点为1； (2) 【分析】（1）利用导数性质，结合函数极值点的定义和零点的定义进行求解即可； （2）运用常变量分离法，构造函数，利用导数进行求解即可. 【详解】（1）函数定义域为，， 当时单调递增， 当时单调递减， 所以函数在时取得极大值，函数没有极小值， 所以函数的极值点只有1个，即极大值点，无极小值点. 因为， 当时，， 当时， 所以 只有一个零点1. （2）要使恒成立，即恒成立， 令，则. 当时，， 单调递增， 当时，，单调递减， 所以在时取得极大值也是最大值，， 要使恒成立，则， 即实数k的取值范围是. 45．（23-24高二上·浙江杭州·期末）设a为实数，函数． (1)求的极值； (2)对于，都有，试求实数a的取值范围． 【答案】(1)极大值为，极小值为 (2) 【分析】（1）利用导数分析函数的单调性，由此可求得函数的极大值和极小值； （2）分析可知，利用导数求得函数在上的最小值，求出函数在上的最大值，可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为，， 令，可得或，列表如下： 递增 极大值 递减 极小值 递增 故函数的极大值为，极小值为. （2）对于，，都有，则. 由（1）可知，函数在上单调递减，在上单调递增， 故当时，， 因为，且时，， 当时，， 故函数在上单调递减，再上单调递增，， 故， 由题意可得，故. 导数与图像问题 46．（22-23高二下·福建莆田·期末）某同学利用电脑软件将函数，的图象画在同一直角坐标系中，得到了如图所示的“心形线”．观察图形，当时，的导函数的图象为（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】求出函数的定义域及函数值符号，分析函数在上的单调性及切线斜率的变化，即可得出合适的选项. 【详解】因为，， 所以函数的图象为“心形线”中轴及下方的部分． 由，得，可得，解得. 所以，函数的定义域为，且， 由题图可知函数在上单调递增，即当时，，故排除BC． 又函数在时的图象的切线斜率先减小后增大，故函数的值先减小后增大， 故只有A选项符合题意， 故选：A． 47．（23-24高二上·江苏南京·期末）函数的导函数在内的图像如图所示，则函数在内极大值点的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】由导函数图像判断原函数单调性，找极大值点即可. 【详解】由的图像知，的单调性为先增后减，再增又减，故极大值点有2个. 故选：B 48．（23-24高二上·山西长治·期末）函数的导函数的图象如图所示，那么该函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据导函数的图像利用导数函数知识从而得到的图像，从而求解. 【详解】由题意知与轴有三个交点，不妨设为， 当，，当，, 当，，当，， 所以在区间，单调递减，故A、C错误； 在区间,单调递增，故B错误，故D正确. 故选：D. 49．（多选）（23-24高二上·山西忻州·期末）已知函数的导函数的图象如图所示，则（    ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．有2个极大值点 D．只有1个极小值点 【答案】ABD 【分析】根据导函数图象与函数单调性以及极值的关系一一分析即可. 【详解】由图可知，当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增，A，B均正确. 当时，，当时，，当时，， 所以的极大值点为，的极小值点为，C错误，D正确. 故选：ABD. 50．（多选）（23-24高二上·江苏宿迁·期末）已知函数的导函数的图象如图所示，则（    ） A．在区间上单调递增 B．在区间上有且仅有2个极值点 C．在区间上最多有4个零点 D．在区间上存在极大值点 【答案】CD 【分析】结合导数图像的正负性，判断原函数的单调性，进而逐一对选项辨析即可. 【详解】由图可知，在区间为负，单调递减， 在区间为正，单调递增，故A错误； 在区间上有3个零点，且零点附近左右两边的值一正一负， 故有3个极值点，故B错误； 在区间，为负，单调递减， 在区间，为正，单调递增， 则在与时取得极小值， 在时取得极大值，则当与时， ，且时， 在区间上最多有4个零点, 故C正确； 在区间上为正，单调递增， 在区间上为负，单调递减， 则为极大值点，故D正确； 故选：CD. 51．（22-23高二下·陕西榆林·期末）已知函数的图象与轴有且仅有两个交点，则实数的值是（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】由题意对函数进行求导，将函数的图象与轴的交点问题，转化成函数单调性和最值问题，分别讨论和两种情况，结合导数几何意义进行求解即可. 【详解】已知，函数定义域为，可得， 当时，，单调递增， 此时函数的图象与轴至多有一个交点，不符合题意； 当时，所以时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 要使函数的图象与轴有且仅有两个交点，需满足或， 因为，所以， 所以. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题重点为分别讨论和两种情况，将函数的图象与轴的交点问题，转化成函数单调性和最值问题. 52．（多选）（23-24高二上·湖南娄底·期末）数学家笛卡尔研究了许多优美的曲线，如笛卡尔叶形线D在平面直角坐标系中的方程为．当时，以下四个结论正确的是（    ） A．曲线D经过第三象限 B．曲线D关于直线轴对称 C．对任意，曲线D与直线一定有公共点 D．对任意，曲线D与直线一定有公共点 【答案】BD 【分析】当时，判断是否成立判断A；将点代入方程，判断与原方程是否相同，从而判断B；举反例判断C；联立直线和曲线方程，判断方程组是否有解判断D. 【详解】当时， 方程为， 当时，，故第三象限内的点不可能在曲线上，故A错误； 将点代入曲线方程得，故曲线关于直线对称，故B正确； 当，联立， 其中， 将代入得，即，则方程组无解， 故曲线与直线无公共点，故C错误； 联立，得， 设， ， 当时， 在单调递增， 单调递减， 则值域为，所以有解成立； 当时，成立； 当时， ，单调递增， 又 ， 所以成立， 所以曲线与直线一定有公共点，故D正确. 故答案为：BD 【点睛】关键点点睛：本题D选项解决的关键是熟练掌握三次函数的性质，从而利用导数分类讨论研究其零点，从而得解. 53．（23-24高二上·山西·期末）若存在实数使得，则的值为 . 【答案】 【分析】利用同构法将不等式转化为，再利用导数证得，进而得到，从而求得的值，由此得解. 【详解】因为，所以， 令，则， 当时，单调递减； 当时，单调递增； 所以，可得， 所以，即， 当且仅当，即时等号成立， 又，所以， 故，此时的值为. 故答案为：. 【点睛】结论点睛：两个常见的重要不等式： （1）；（2）. 54．（23-24高二上·湖南张家界·期末）已知函数，，. (1)讨论函数的单调性； (2)设，若存在零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）对函数求导并对参数进行分类讨论，即可求得出函数的单调性； （2）分离参数并构造函数，求导得出函数单调性并利用函数与方程的思想画出图象即可求得实数的取值范围. 【详解】（1）由. 求导可得， 当时，，此时，函数在上单调递增； 当时，令，解得； 若，解得在上单调递增； 若，解得在上单调递减； 综上，当时，函数在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）令，易知，分离参数得， 令，其中， 则， 当时，； 当时，， 函数的减区间为，增区间为， 所以当时，取得最小值，画出函数的图象如下图所示：    由图可知，当时，直线与函数的图象有交点，即存在零点； 故实数的取值范围是. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 55．（23-24高二上·河南开封·期末）已知函数． (1)若在定义域内单调递增，求的取值范围； (2)若函数有两个极值点，且恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由在定义域内单调递增得，再结合不等式求最小值即可； （2）先根据极值点得出导函数为0得出韦达定理，再应用参数分离，构造函数根据单调性求出最大值即可. 【详解】（1）的定义域为，， 由在定义域内单调递增，得对任意的恒成立， 即恒成立，即恒成立． 因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，即的取值范围是． （2），因为函数有两个极值点， 所以方程有两个不相等的实数根， 故且， 所以， ， 又恒成立，即恒成立， ． 设，则 在上恒成立，故在上单调递减， 所以， 所以，即实数的取值范围为． 【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题应用参数分离，转化为求最值问题. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$