专题03数列期末7种常考题型归类【好题汇编】-备战2023-2024学年高二数学下学期期末真题分类汇编（人教B版2019选择性必修第三册）

专题03数列期末7种常考题型归类 等差数列基本量的计算 1．（22-23高二上·广东深圳·期末）已知为递增的等差数列，，，则（   ） A． B． C． D．或 2．（23-24高二上·广东茂名·期末）已知等差数列的前项和为，则数列的公差是（    ） A． B．2 C．3 D．5 3．（多选）（23-24高二上·山东烟台·期末）（多选）已知等差数列的前n项和为，且，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D．最小 4．（多选）（23-24高二上·福建福州·期末）已知等差数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是（    ） A．数列是递增数列 B． C．当取得最大值时， D． 5．（22-23高二下·陕西榆林·期末）在等差数列中，，则 . 等比数列基本量的计算 6．（23-24高二上·福建福州·期末）已知成等差数列，成等比数列，则等于（    ） A． B． C． D．或 7．（23-24高二上·河南洛阳·期末）已知等比数列的首项为，前项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·江苏常州·期末）已知正项等比数列的前项和为，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 9．（多选）（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知等比数列的公比为，前项积为，若，，则（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二上·山东烟台·期末）已知为等比数列的前n项和，且，，则的值为 . 等差、等比数列的片段和问题 11．（23-24高二上·河南洛阳·期末）已知等比数列的首项为，前项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高二上·广西·期末）正项等比数列的前n项和为，，，则等于（    ） A．9 B．72 C．70 D．48 13．（多选）（21-22高二上·云南曲靖·期末）记为等差数列的前项和，首项为，公差为，则下列叙述正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，且，则 D．若，则 14．（23-24高二上·河北邢台·期末）已知等差数列的前项和为，若，则 . 15．（23-24高二上·湖北十堰·期末）已知正项等比数列的前项和为，且，则 ． 等差、等比数列的性质问题 16．（23-24高二上·湖北荆州·期末）已知两等差数列，，前n项和分别是，，且满足，则（    ） A． B． C． D． 17．（23-24高二上·福建泉州·期末）已知是等差数列的前项和，若，则使的最小整数（    ） A．12 B．13 C．24 D．25 18．（22-23高二上·江苏常州·期末）在等差数列中,,其前项和为,则 . 19．（23-24高二上·广东·期末）若是函数的两个不同的零点，且这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 . 20．（23-24高二上·江苏常州·期末）已知正项等比数列的前项和为，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 数列的通项公式 21．（23-24高二上·重庆·期末）已知数列满足，且，数列满足，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 22．（22-23高二上·江苏镇江·期末）已知数列的前项和，且，则（    ） A． B． C． D． 23．（21-22高二上·福建泉州·期末）若数列满足，则（    ） A．2 B．6 C．12 D．20 24．（23-24高二上·河北石家庄·期末）设数列满足，则（    ） A． B． C． D． 25．（23-24高二上·四川成都·期末）若数列满足，，则的值为（    ） A． B． C． D． 数列的单调性与最值 26．（21-22高二上·江苏盐城·期末）等差数列的公差为d，前n项和，则“”是“数列为单调递增数列”的（    ） A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 27．（23-24高二上·福建漳州·期末）已知正项等比数列的前项积为，且，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 28．（22-23高二下·辽宁·期末）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足条件，，，则下列选项不正确的是（    ） A．为递减数列 B． C．是数列中的最大项 D． 29．（多选）（21-22高二上·黑龙江哈尔滨·期末）设等差数列的前项和为，公差为，已知，，，则（   ） A． B． C．时，的最小值为 D．数列中最小项为第项 30．（多选）（23-24高二上·四川巴中·期末）已知数列的前项和，则下列说法正确的是（    ） A． B．数列为单调递增数列 C．数列是等比数列 D． 数列的前n项和 31．（23-24高二上·福建南平·期末）已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，且数列的前项和为，若都有不等式恒成立，求的取值范围. 32．（22-23高二上·广东深圳·期末）设数列满足，，且． (1)求证：数列为等差数列; (2)求数列的通项公式； (3)求数列的前项和． 33．（23-24高二上·河南开封·期末）已知数列的前项和为，且满足，等差数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 34．（23-24高二上·贵州毕节·期末）已知递增的等比数列满足，且成等差数列. (1)求的通项公式； (2)设求数列的前项和. 35．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知等差数列的前项和为，公差为，且成等比数列，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前30项的和. 36．（23-24高二上·福建宁德·期末）在数列中，如果存在正整数，使得，对于任意的正整数均成立，那么称数列为周期数列，其中叫做数列的周期．已知数列满足，如果，，当数列的周期最小时，该数列前2024项的和是（    ） A．674 B．1348 C．1350 D．2024 37．（23-24高二上·四川宜宾·期末）一只蜜蜂从蜂房出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房 (如图)，例如：从蜂房只能爬到号或号蜂房，从号蜂房只能爬到号或号蜂房……以此类推，用表示蜜蜂爬到号蜂房的方法数，则（    ） A． B． C． D． 38．（23-24高二上·安徽六安·期末）已知数列满足，则数列的第2024项为（    ） A． B． C． D． 39．（23-24高二上·广东·期末）在数列中，，记，若数列为递增数列，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 40．（23-24高二上·江苏南京·期末）若数列满足，且，则下列结论成立的是（    ） A． B．，满足 C．，满足 D．，使得成立 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03数列期末7种常考题型归类 等差数列基本量的计算 1．（22-23高二上·广东深圳·期末）已知为递增的等差数列，，，则（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】 根据等差数列的性质和基本量法，列式求解. 【详解】因为为等差数列，，所以， 由，得或（舍），所以，. 故选：A 2．（23-24高二上·广东茂名·期末）已知等差数列的前项和为，则数列的公差是（    ） A． B．2 C．3 D．5 【答案】B 【分析】由，得到，再由，得到，即可求解. 【详解】解：， 则，又，则， 所以数列公差为， 故选：B. 3．（多选）（23-24高二上·山东烟台·期末）（多选）已知等差数列的前n项和为，且，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D．最小 【答案】BC 【分析】根据题意，由等差数列的性质分析可得，由此分析选项可得答案. 【详解】根据题意，等差数列中，若，即， 则有， 变形可得， 对于A，，但不确定的符号，不能确定是还是，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，不确定的符号，故不能确定最小还是最大，故D错误. 故选：BC. 4．（多选）（23-24高二上·福建福州·期末）已知等差数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是（    ） A．数列是递增数列 B． C．当取得最大值时， D． 【答案】CD 【分析】设出公差，利用等差数列求和公式得到，，，，从而对选项一一判断，得到答案. 【详解】ABD选项，设的公差为， ，故， ，故， 所以，且，，即是递减数列，AB错误，D正确. C选项，由于是递减数列，，，故当取得最大值时，，C正确. 故选：CD 5．（22-23高二下·陕西榆林·期末）在等差数列中，，则 . 【答案】30 【分析】由等差中项的性质计算即可. 【详解】因为等差数列， 所以， 故答案为：30. 等比数列基本量的计算 6．（23-24高二上·福建福州·期末）已知成等差数列，成等比数列，则等于（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】 根据题意，由得出数列的公差，得到，利用等比中项公式和等比数列的性质，求得，代入即可求解. 【详解】因为成等差数列，所以公差，所以， 因为成等比数列，所以， 设该等比数列的公比为，可得，所以， 所以. 故选：C. 7．（23-24高二上·河南洛阳·期末）已知等比数列的首项为，前项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知结合等比数列的求和公式求出，再由通项公式即可求解． 【详解】解：因为等比数列的首项为， 若，则， 可得，解得， 所以． 故选：． 8．（23-24高二上·江苏常州·期末）已知正项等比数列的前项和为，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设等比数列的公比为，则，由已知可得出，可得出，化简得出，利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】设等比数列的公比为，则， 则， 所以，， 则， 所以， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故选：C. 9．（多选）（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知等比数列的公比为，前项积为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】先通过条件确定和的取值情况，然后利用等比数列的性质计算即可. 【详解】由已知，又，， 所以，，A正确，B错误； ， ， ， 所以，C正确，D错误. 故选：AC. 10．（23-24高二上·山东烟台·期末）已知为等比数列的前n项和，且，，则的值为 . 【答案】120 【分析】根据题意，设等比数列的公比为，由，求出的值，进而计算可得答案． 【详解】根据题意，设等比数列的公比为q， 若，则有，即，解可得或0（舍）， 则， 故答案为：120. 等差、等比数列的片段和问题 11．（23-24高二上·河南洛阳·期末）已知等比数列的首项为，前项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知结合等比数列的求和公式求出，再由通项公式即可求解． 【详解】解：因为等比数列的首项为， 若，则， 可得，解得， 所以． 故选：． 12．（23-24高二上·广西·期末）正项等比数列的前n项和为，，，则等于（    ） A．9 B．72 C．70 D．48 【答案】D 【分析】用等比数列基本量列方程组求解. 【详解】由题意，，设公比为q，，. 故选:D. 13．（多选）（21-22高二上·云南曲靖·期末）记为等差数列的前项和，首项为，公差为，则下列叙述正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，且，则 D．若，则 【答案】AD 【分析】利用等差数列性质和前项和公式可得AD正确，利用等差数列前项和性质计算可得，即B错误，由等差数列定义以及通项公式可知若，则，可计算得出，即C错误. 【详解】对于A，利用等差数列性质可得，可得，又， 则，即A正确； 对于B，利用等差数列前项和性质可得成等差数列， 又，可得，所以， 即，所以B错误； 对于C，由可得，两式相减解得； 所以，即C错误； 对于D，易知， 即，可得，即，所以，即D正确； 故选：AD 14．（23-24高二上·河北邢台·期末）已知等差数列的前项和为，若，则 . 【答案】46 【分析】由等差数列性质构造等差数列，则由新数列的前两项依次求解可得. 【详解】由等差数列的性质可知成等差数列， 即1，8，成等差数列，且公差为， 所以， 得. 故答案为：. 15．（23-24高二上·湖北十堰·期末）已知正项等比数列的前项和为，且，则 ． 【答案】160 【分析】利用等比数列前项和的性质计算即可. 【详解】因为为正项等比数列，所以也成等比数列， 则，解得或（舍去）， 则，解得． 故答案为：160 等差、等比数列的性质问题 16．（23-24高二上·湖北荆州·期末）已知两等差数列，，前n项和分别是，，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等差数列前n项和的性质，可设、，计算即可得. 【详解】由，为等差数列，故可令、， 则. 故选：C. 17．（23-24高二上·福建泉州·期末）已知是等差数列的前项和，若，则使的最小整数（    ） A．12 B．13 C．24 D．25 【答案】C 【分析】根据条件得到，再利用等差数列的性质及前项和公式，即可求出结果. 【详解】等差数列的前项和为，由，且， 得，所以， 则数列的公差，所以数列是递增的等差数列， 且当时，，当时，， 又， 所以使成立的最小的为24， 故选：C． 18．（22-23高二上·江苏常州·期末）在等差数列中,,其前项和为,则 . 【答案】110 【分析】构造,可知是以2为首项,1为公差的等差数列,求出的通项公式,即可求得,进而求得. 【详解】解:由题知为等差数列,记数列, 所以,由,可知, 所以是以2为首项,1为公差的等差数列, 所以, 所以,所以. 故答案为:110 19．（23-24高二上·广东·期末）若是函数的两个不同的零点，且这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 . 【答案】24 【分析】 根据韦达定理得，根据等比数列性质求得，再根据等差数列的性质求得，即可得解. 【详解】 由题可知，则， 这三个数可适当排序后成等比数列，则3必是等比中项，则， 这三个数可适当排序后成等差数列，则3必不是等差中项， 若是等差中项，则，解得， 则，故， 若是等差中项，则，解得， 则.故. 故答案为：24 20．（23-24高二上·江苏常州·期末）已知正项等比数列的前项和为，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设等比数列的公比为，则，由已知可得出，可得出，化简得出，利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】设等比数列的公比为，则， 则， 所以，， 则， 所以， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故选：C. 数列的通项公式 21．（23-24高二上·重庆·期末）已知数列满足，且，数列满足，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由等差数列定义求出，由累加法求出，由对勾函数单调性结合即可求解. 【详解】由题意数列满足，且， 所以数列是等差数列，且， 所以， 当时，， 又， 所以， 所以，而，所以当或时，取最小值， 当时，，当时，， 综上所述，的最小值为5. 故选：B. 22．（22-23高二上·江苏镇江·期末）已知数列的前项和，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】，又由，后由累乘法可得答案. 【详解】注意到，则当时，. 故. 故选：B 23．（21-22高二上·福建泉州·期末）若数列满足，则（    ） A．2 B．6 C．12 D．20 【答案】D 【分析】由已知条件变形可得，然后累乘法可得，即可求出 【详解】由得， ， . 故选：D 24．（23-24高二上·河北石家庄·期末）设数列满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用构造法求出数列的通项即可得解. 【详解】数列中，由，得，而， 因此数列是首项为1，公比为的等比数列，，即， 所以. 故选：D 25．（23-24高二上·四川成都·期末）若数列满足，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由与的关系求得，从而为常数列， 得到，即可求的值. 【详解】由及得， 即， 即， 所以，即为常数列， 又，所以，即， 所以， 所以. 故选：B 数列的单调性与最值 26．（21-22高二上·江苏盐城·期末）等差数列的公差为d，前n项和，则“”是“数列为单调递增数列”的（    ） A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据等差数列前n项和公式可得，当证得为递增数列，反之亦可. 【详解】因为， 所以， 若，则关于n的函数单调递增， 所以数列为递增数列； 若为递增数列，则， 即，解得. 所以“”是“为递增数列”的充分必要条件. 故选：A 27．（23-24高二上·福建漳州·期末）已知正项等比数列的前项积为，且，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】结合等比数列的性质及数列的单调性判断各选项即可. 【详解】由已知数列各项均为正，因此乘积也为正，公比，若，则， 由等比数列性质知，所以，故选项A错误； 又，因为，所以，所以， 则，故先增后减，所以，故选项B正确； 若，则，又，无法判断与1的大小，即无法判断与1的大小，故与大小没法判断，故选项CD错误. 故选：B 28．（22-23高二下·辽宁·期末）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足条件，，，则下列选项不正确的是（    ） A．为递减数列 B． C．是数列中的最大项 D． 【答案】B 【分析】 根据已知条件求得的范围，再根据等比数列的性质，对选项逐一判断即可. 【详解】因为数列为等比数列，且，，所以，即数列为正项等比数列， 当时，则，不满足，舍去， 所以，即数列为单调递减数列，A说法正确； 由可得，， 所以，即，B说法错误； 因为数列单调递减，且，，所以是数列中的最大项，C说法正确； 由等比中项可知，D说法正确； 故选：B 29．（多选）（21-22高二上·黑龙江哈尔滨·期末）设等差数列的前项和为，公差为，已知，，，则（   ） A． B． C．时，的最小值为 D．数列中最小项为第项 【答案】ACD 【分析】利用等差数列的求和公式与性质可判断A选项；由已知条件可得出关于的不等式组，可判断B选项；利用等差数列的单调性结合等差数列的求和公式可判断C选项；利用不等式的基本性质结合等差数列的单调性可判断D选项. 【详解】对于A选项，，则，A对； 对于B选项，，解得，B错； 对于C选项，，， 且当时，，即，此时数列单调递减， 故时，的最小值为，C对； 对于D选项，因为，故等差数列为递减数列， 当时，，则，此时， 当时，，，此时， 当时，，，此时数列单调递减，则， 此时， 且有， ，则， 由不等式的性质可得， 故， 综上所述，数列中最小项为第项，D对. 故选：ACD. 30．（多选）（23-24高二上·四川巴中·期末）已知数列的前项和，则下列说法正确的是（    ） A． B．数列为单调递增数列 C．数列是等比数列 D． 【答案】ABC 【分析】利用的关系求出可判断AD；利用等比数列的定义可判断C；由首项及公比可判断B. 【详解】∵，∴，故A正确； 当时，， ∴，也适合， ∴，故D错误； ∵，∴数列是公比为3的等比数列，故C正确； ∵，公比大于1，∴数列为单调递增数列，故B正确. 故选：ABC. 数列的前n项和 31．（23-24高二上·福建南平·期末）已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，且数列的前项和为，若都有不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先得，进一步由的关系得是以为首项，为公比的等比数列，由此即可求解； （2）由等差数列求和公式、错位相减法求得表达式，进一步原问题等价于不等式恒成立，由此即可求解. 【详解】（1）因为，① 当时可得，即. 当时，，② 由①-②得，即， 即是以为首项，为公比的等比数列， 所以. （2）因为， 所以， ， 两式相减得，， 即，则， 故. 由，得，即， 依题意，不等式恒成立， 因为随着增大而减小， 所以，即的取值范围为. 32．（22-23高二上·广东深圳·期末）设数列满足，，且． (1)求证：数列为等差数列; (2)求数列的通项公式； (3)求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由得，根据等差数列的定义可得； （2）由（1）可得，利用累加法可得，验证即可； （3）利用裂项相消法可得. 【详解】（1）证明：因为，所以， 又，所以数列是以为首项，为公差的等差数列. （2）由（1）得， 当时， 代入验证，左右成立，所以； （3）， 所以 33．（23-24高二上·河南开封·期末）已知数列的前项和为，且满足，等差数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据 与 的关系，结合等比数列的定义可得 的通项公式， 由等差数列的通项公式，即可求得 的通项公式； （2）结合分组求和法与错位相减法, 求解即可. 【详解】（1）当时，，又，所以． 由，得，两式相减，得，即， 所以是首项为2，公比为的等比数列， 因此的通项公式， 设等差数列的公差为，则由，得， 又，所以，解得， 所以数列的通项公式为． （2）由及，得， 所以 设的前项和为，则． 设的前项和为，则， 两式相减，得 ， 所以． 所以． 34．（23-24高二上·贵州毕节·期末）已知递增的等比数列满足，且成等差数列. (1)求的通项公式； (2)设求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）已知等比数列，依据题意求出基本量即可. （2）讨论奇偶项，转化为等比数列求和即可. 【详解】（1）由题意，设等比数列的公比为， 则， 成等差数列， ，即， 化简整理，得， 解得（舍去），或， 首项， . （2）由（1）可得 则数列的前项和为 35．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知等差数列的前项和为，公差为，且成等比数列，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前30项的和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等比中项公式，结合等差数列的通项公式与求和公式求得，从而得解； （2）利用并项求和法，结合等差数列的求和公式即可得解. 【详解】（1）依题意，则，解得， 则，故， 所以，解得，则， 故. （2）， ， . 36．（23-24高二上·福建宁德·期末）在数列中，如果存在正整数，使得，对于任意的正整数均成立，那么称数列为周期数列，其中叫做数列的周期．已知数列满足，如果，，当数列的周期最小时，该数列前2024项的和是（    ） A．674 B．1348 C．1350 D．2024 【答案】C 【分析】对周期从小到大分类讨论求得符合题意的周期，由此即可顺利得解. 【详解】若数列的周期为1，则，但，矛盾， 所以数列的周期不可能为1， 若数列的周期为2，则，且， 又，所以解得， 而当时，，矛盾， 所以数列的周期不可能为2， 若数列的周期为3，则， 且， 所以或， 又，所以， 且此时有， 所以或， 又，所以， 解得符合题意， 当时，数列为：，满足题意， 此时， 所以该数列前2024项的和是. 故选：C. 【点睛】关键点睛：关键是求得符合题意的周期，结合周期即可顺利求和得解. 37．（23-24高二上·四川宜宾·期末）一只蜜蜂从蜂房出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房 (如图)，例如：从蜂房只能爬到号或号蜂房，从号蜂房只能爬到号或号蜂房……以此类推，用表示蜜蜂爬到号蜂房的方法数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据递推关系以及构造法求得正确答案. 【详解】依题意，（），， 当时， ， ，所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以. 故选：A 【点睛】本题首先是考查观察能力，通过观察题目所给图象，探究数列的递推关系.其次是根据递推关系求通项公式，利用的是构造函数法以及等比数列的定义，将递推关系转化为等比数列的形式，从而可利用等比数列的知识来对问题进行求解. 38．（23-24高二上·安徽六安·期末）已知数列满足，则数列的第2024项为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】确定，利用累加法和分组求和计算得到答案. 【详解】即 . 故选：A. 39．（23-24高二上·广东·期末）在数列中，，记，若数列为递增数列，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由递推关系可得，求得，不等式恒成立等价于恒成立，讨论的奇偶即可求出. 【详解】由，得，即， 而，则，即，， 由数列为递增数列，得任意的恒成立， 则，即恒成立， 当为奇数时，恒成立，数列单调递增，的最小值为1，则， 当为偶数时，恒成立，数列单调递减，的最大值为，则， 所以实数的取值范围为. 故选：A 【点睛】思路点睛：涉及数列不等式恒成立问题，可以变形不等式，分离参数，借助函数思想求解即可. 40．（23-24高二上·江苏南京·期末）若数列满足，且，则下列结论成立的是（    ） A． B．，满足 C．，满足 D．，使得成立 【答案】C 【分析】 由，可得，化简得，即有、，可得、，由、时可得、、、，即可逐项研究判断. 【详解】由，故， 即， 即有，， 由，有， 即，化简得， 有，有， 即，化简得，故B错误； 当时， ，由，故，， 当时，，即，故，， 故A错误； 由，，且，，，， 故当时，恒成立，故D错误； ， 又，有， 故， 即数列是以为首项，为公比的等比数列， 即， 故，故C正确. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题关键是借助，得到，即可得，，从而得到，. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$