专题02概率统计期末10种常考题型归类【好题汇编】-备战2023-2024学年高二数学下学期期末真题分类汇编（人教B版2019选择性必修第二册）

专题02概率统计期末10种常考题型归类 条件概率与全概率公式 1．（21-22高二下·全国·期末）中国女子乒乓球队是世界乒坛的常胜之师，曾20次获得世乒赛女子团体冠军．2021年休斯敦世界乒乓球锦标赛，中国选手王曼昱以4∶2击败孙颖莎，夺得女单冠军．某校甲、乙两名女生进行乒乓球比赛，约定“七局四胜制”，即先胜四局者获胜．已知甲、乙两人乒乓球水平相当，事件A表示“乙获得比赛胜利”，事件B表示“比赛进行了七局”，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·江西萍乡·期末）某一地区患有癌症的人占0.05，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.9，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.05.现抽查了一个人，试验反应是阳性，则此人是癌症患者的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·河南驻马店·期末）中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设空间站要安排甲、乙、丙、丁4名航天员开展实验，每名航天员只能去一个舱，每个舱至少安排一个人，则甲被安排在天和核心舱的条件下，乙也被安排在天和核心舱的概率为 ． 4．（23-24高二上·辽宁朝阳·期末）新高考模式下，“3+1+2”中“3”是数学、语文、外语三个必选的主科，“1”是物理、历史二选一，“2”是在地理、生物、化学、政治中选两科.已知某校高二学生中有的学生选择物理，剩余的选择历史，选择物理和历史的学生中选择地理的概率分别是和，则从该校高二学生中任选一人，这名学生选择地理的概率为 . 5．（23-24高二上·江西·期末）第31届世界大学生夏季运动会于2023年7月28日在成都开幕．大运会组委会给运动员准备了丰富的饮食服务．大运村共有两个餐厅：餐厅、餐厅，运动员甲第一天随机地选择一个餐厅用餐，如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为0.8；如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为0.6．则运动员甲第二天去餐厅用餐的概率为 ． 随机变量分布列的特征 6．（23-24高二上·江西·期末）设随机变量，若，则的最大值为（    ） A．4 B．3 C． D． 7．（23-24高二上·山东德州·期末）离散型随机变量X的分布列中部分数据丢失，丢失数据以x，y（x，）代替，分布列如下： 1 2 3 4 5 6 0.21 0.20 0.10 0.10 则（    ） A．0.35 B．0.45 C．0.55 D．0.65 8．（多选）（23-24高二上·江西上饶·期末）若随机变量，下列说法中正确的有（    ） A． B．期望 C．期望 D．方差 9．（23-24高二上·广东广州·期末）随机变量有3个不同的取值，且其分布列如下： 0 1 则的值为 ． 10．（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·期末）离散型随机变量的分布列为，，2，3，…，6，其期望为，若，则 . 离散型随机变量的分布列与数字特征 11．（23-24高二上·江西上饶·期末）已知只小白鼠中有只患有某种疾病，需要通过血液化验来确定患这种病的小白鼠，血液化验结果呈阳性的为患病小白鼠，下面是两种化验方案．方案甲：将只小白鼠的血液逐个化验，直到查出患病小白鼠为止．方案乙：先取只小白鼠的血液混在一起化验，若呈阳性，则对这只小白鼠的血液再逐个化验，直到查出患病小白鼠；若不呈阳性，则对剩下的只小白鼠再逐个化验，直到查出患病小白鼠． (1)若用方案甲，求化验次数为次的概率； (2)若平均化验次数少的方案好，请你确定方案甲、方案乙哪个更好． 12．（23-24高二上·河南南阳·期末）某商场举行抽奖活动，准备了甲､乙两个箱子，甲箱内有2个黑球､4个白球，乙箱内有4个红球､6个黄球.每位顾客可参与一次抽奖，先从甲箱中摸出一个球，如果是黑球，就可以到乙箱中一次性地摸出两个球；如果是白球，就只能到乙箱中摸出一个球.摸出一个红球可获得90元奖金，摸出两个红球可获得180元奖金. (1)求某顾客摸出红球的概率； (2)设某家庭四人均参与了抽奖，他们获得的奖金总数为元，求随机变量的数学期望. 13．（22-23高二下·重庆江津·期末）袋中装有黑球、白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为. (1)现有甲，乙二人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，……，取后不放回，直到两人中有一人取到白球为止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的.求取球次数的分布列; (2)现从袋中将黑球和白球各取出一个，再让丙从袋中取球，每次取一个，记下颜色后放回再取，直到将同一种颜色的球取出3次为止，记丙取球的次数为Y，求Y的期望. 14．（21-22高二上·山东德州·期末）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： 最高气温 [10，15） [15，20） [20，25） [25，30） [30，35） [35，40） 天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率. (1)求六月份这种酸奶一天的需求量（单位：瓶）的分布列； (2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量（单位：瓶）为多少时，的数学期望达到最大值？ 15．（22-23高二下·浙江·期末）人口老龄化加剧的背景下，我国先后颁布了一系列生育政策，根据不同政策要求，分为两个时期Ⅰ和Ⅱ．根据部分调查数据总结出如下规律：对于同一个家庭，在Ⅰ时期内生孩人，在Ⅱ时期生孩人，（不考虑多胞胎）生男生女的概率相等．服从0-1分布且．分布列如下图： 0 1 2 现已知一个家庭在Ⅰ时期没生孩子，则在Ⅱ时期生2个孩子概率为；若在Ⅰ时期生了1个女孩，则在时期生2个孩子概率为；若在Ⅰ时期生了1个男孩，则在Ⅱ时期生2个孩子概率为，样本点中Ⅰ时期生孩人数与Ⅱ时期生孩人数之比为（针对普遍家庭）． (1)求的期望与方差； (2)由数据组成的样本空间根据分层随机抽样分为两层，样本点之比为，分别为与，，总体样本点与两个分层样本点均值分别为，，，方差分别为，，，证明：，并利用该公式估算题设样本总体的方差． 二项分布的分布列与数字特征 16．（23-24高二上·河南南阳·期末）中医药学是中国古代科学的瑰宝，也是打开中华文明宝库的钥匙.为了调查某地市民对中医药文化的了解程度，某学习小组随机向该地100位不同年龄段的市民发放了有关中医药文化的调查问卷，得到的数据如下表所示： 规定成绩在内代表对中医药文化了解程度低，成绩在内代表对中医药文化了解程度高. (1)从这100位市民中随机抽取1人，求抽到对中医药文化了解程度高的市民的频率； (2)将频率视为概率，现从该地41岁~50岁年龄段的市民中随机抽取3人，记为对中医药文化了解程度高的人数，求的分布列和期望. 17．（23-24高二上·河南·期末）一台机器由于使用时间较长，生产的零件有可能会产生次品.设该机器生产零件的尺寸为，且规定尺寸为正品，其余的为次品.现从该机器生产的零件中随机抽取100件做质量分析，作出的频率分布直方图如图. (1)试估计该机器生产的零件的平均尺寸； (2)如果将每5件零件打包成一箱，若每生产一件正品可获利30元，每生产一件次品亏损80元.若随机取一箱零件，求这箱零件的期望利润. 18．（22-23高二下·贵州铜仁·期末）来自微碧江的报道：2023年6月17日，铜仁市碧江区第二届房地产交易展示会在三江公园隆重开幕．据了解，本次房交会以政府搭台、企业让利、政策支持、百姓受益为办展宗旨，聚集了碧江区17家房开企业、18个楼盘参展，2080套房源、25万平方米供群众选购，9大银行和公积金中心在现场助阵和提供咨询服务．本次房交会从6月17日持续到6月22日，期间每天都安排有精彩演出、免费美食、互动游戏、露天电影和游江龙舟五类活动． (1)甲、乙两名市民参加了不同类的活动，且每人只参加一类活动．已知甲参加了免费美食的活动，求乙参加游江龙舟活动的概率是多少? (2)已知来自某小区的市民参加互动游戏的概率是，设来自该小区的2名市民参加互动游戏的人数为，求的分布列与期望． 19．（22-23高二下·福建宁德·期末）在一个系统中，每一个设备能正常工作的概率称为设备的可靠度，而系统能正常工作的概率称为系统的可靠度，为了增加系统的可靠度，人们经常使用“备用冗余设备”（即正在使用的设备出故障时才启动的设备）．已知某计算机网络服务器系统采用的是“一用两备”（即一台正常设备，两台备用设备）的配置，这三台设备中，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉．系统就能正常工作．设三台设备的可靠度均为，它们之间相互不影响． (1)要使系统的可靠度不低于0.992，求的最小值； (2)当时，求能使系统正常工作的设备数的分布列； (3)已知某高科技产业园当前的计算机网络中每台设备的可靠度是0.7，根据以往经验可知，计算机网络断掉可给该产业园带来约50万的经济损失．为减少对该产业园带来的经济损失，有以下两种方案： 方案1：更换部分设备的硬件，使得每台设备的可靠度维持在0.8，更换设备硬件总费用为0.8万元； 方案2：花费0.5万元增加一台可靠度是0.7的备用设备，达到“一用三备”． 请从经济损失期望最小的角度判断决策部门该如何决策？并说明理由． 20．（23-24高二上·河南南阳·期末）2023年12月4日是我国第十个国家宪法日.为加强宪法学习宣传，弘扬宪法精神，某省总工会举办宪法闯关网络知识竞答活动.每轮共分两关，每关设有两题，闯每关时两题都要作答，只有第一关的两题均答对，才能闯第二关，否则本轮闯关失败.已知甲第一关每道题答对的概率均为，第二关每道题答对的概率均为，两关至少答对3题才可获得一次抽奖机会. (1)求甲在一轮闯关中闯关失败的概率； (2)记甲在一轮闯关中答对的题目数为，请写出的分布列，并求； (3)若每人可参加多轮问关，且各轮之间相互独立，甲进行5轮闯关，求他恰好获得3次抽奖机会的概率. 超几何分布的分布列与数字特征 21. （21-22高二上·黑龙江哈尔滨·期末）《中国制造2025》是经国务院总理李克强签批，由国务院于2015年5月印发的部署全面推进实施制造强国战略文件，是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领.制造业是国民经济的主体，是产国之本、兴国之器、强国之基.发展制造业的基本方针为质量为先，坚持把质量作为建设制造强国的生命线，某企业生产流水线检测员每天随机从流水线上抽取100件新生产的产品进行检测，某日检测抽取的100件产品的柱状图如图所示： (1)根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.若从出厂的所有产品中随机取出3件，求至少有一件产品是一级品的概率； (2)现从样本产品中利用分层抽样的方法随机抽取10件产品，再从这10件中任意抽取3件，设取到一级品的件数为，求随机变量的分布列和数学期望. 22. （22-23高二下·海南省直辖县级单位·期末）某学校长期坚持以人为本，实施素质教育，每年都会在校文化节期间举行诗词知识和环保知识两项竞赛，竞赛成绩分为五个等级，等级分别对应5分，4分，3分，2分，1分.设该校某班学生两项知识竞赛都参加，且两项知识竞赛的成绩的数据统计如下图所示，其中环保知识竞赛的成绩为A的学生有4人.    (1)求该班学生诗词知识竞赛成绩为A的人数以及诗词知识竞赛的平均分； (2)若该班两项竞赛成绩总得分超过8分的学生共有7人，其中有3人10分，4人9分，从这7人中随机抽取三人，记三人的成绩之和为，求的分布列及数学期望. 23. （22-23高二下·黑龙江哈尔滨·期末）某食盐厂为了检查一条自动流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的100袋食盐称出它们的质量（单位：克）作为样本数据，质量的分组区间为.由此得到样本的频率分布直方图如图：    (1)求的值； (2)从该流水线上任取2袋食盐，设为质量超过的食盐数量，求随机变量的分布列及数学期望； (3)在上述抽取的100袋食盐中任取2袋，设为质量超过的食盐数量，求随机变量的分布列. 24. （22-23高二下·河南安阳·期末）不负青山，力换“金山”，民宿旅游逐渐成为一种热潮，山野乡村的民宿深受广大旅游爱好者的喜爱.某地区结合当地资源，按照“山上生态做减法、山下产业做加法”的思路，科学有序发展环山文旅康养产业，温泉度假小镇、环山绿道、农家乐提档升级、特色民宿群等一批生态产业项目加快实施.2023年“五一”假期来临之前，为了在节假日接待好游客，该地旅游局对本地区各乡村的普通型民宿和品质型民宿进行了调研，随机抽取了10家乡村民宿，统计得到各家的房间数如下表： 民宿 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 普通型民宿 19 5 4 17 13 18 9 20 10 15 品质型民宿 6 1 2 10 11 10 9 12 8 5 (1)若旅游局随机从乙、丙2家各选2间民宿进行调研，求选出的4间均为普通型民宿的概率； (2)从这10家中随机抽取4家民宿，记其中普通型民宿的房间不低于17间的有X家，求X的分布列和数学期望. 25. （22-23高二下·广东珠海·期末）月日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”.为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了名高一学生进行在线调查，得到了这名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成、、、、、、、、九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.    (1)求这名学生日平均阅读时间的中位数（保留到小数点后两位）； (2)为进一步了解这名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在、、三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了人，现从这人中随机抽取人，记日平均阅读时间在内的学生人数为，求的分布列和数学期望； (3)以样本的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取名学生，用表示这名学生中恰有名学生日平均阅读时间在内的概率，其中、、、、.当最大时，写出的值，并说明理由. 正态分布小题汇总 26．（23-24高二下·江苏泰州·期中）某电动摩托车制造企业为了解其新研发的一款电动摩托车的续航里程（单位：公里）情况，随机抽查得到了10000个样本，根据统计这款新型电动摩托车的续航里程，若，则该样本中续航里程不小于70公里的电动摩托车大约有（    ） A．10辆 B．100辆 C．180辆 D．900辆 27．（23-24高二上·陕西渭南·期末）已知随机变量服从正态分布，且，则（    ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 28. （多选）（23-24高二上·广西桂林·期末）某市对历年来新生儿体重情况进行统计，发现新生儿体重，则下列结论正确的是（    ） A．该正态分布的均值为 B． C． D． 29. （23-24高二上·黑龙江·期末）已知某批产品的质量指标服从正态分布，其中的产品为“可用产品”，则在这批产品中任取1件，抽到“可用产品”的概率约为 .参考数据：若，则 30. （23-24高二上·江西九江·期末）某工厂生产一批零件，其直径，现在抽取10000件进行检查，则直径在之间的零件大约有 件. （注：） 正态分布解答题汇总 31．（23-24高二上·山东德州·期末）某物流公司专营从甲地到乙地的货运业务，现统计了最近500天内每天可配送的货物量，按照可配送货物量T（单位：箱）分成了以下几组：，并绘制了如图所示的频率分布直方图． (1)由频率分布直方图可以认为，该物流公司每日的可配送货物量T（单位：箱）服从的正态分布，经计算近似为近似为150． ①利用该正态分布，求； ②试利用该正态分布，估计该物流公司2000天内货物配送量在区间（87.8，124.4）内的天数（结果保留整数）． (2)该物流公司负责人根据每日的可配送货物量为装卸员工制定了两种不同的工作奖励方案． 方案一：利用该频率分布直方图获取相关概率（将图中的频率视为概率），采用直接发放奖金的方式奖励员工，按每日的可配送货物量划分为三级：时，奖励50元；时，奖励80元；时，奖励120元；方案二：利用正态分布获取相关概率，采用抽奖的方式奖励员工，其中每日的可配送货物量不低于时有两次抽奖机会，每日的可配送货物量低于时只有一次抽奖机会，每次抽奖的奖金及对应的概率如下表： 奖金 50 100 概率 小张为该公司装卸货物的一名员工，试从员工所得奖金的数学期望角度分析，小张选择哪种奖励方案对他更有利？ 附：，若，则． 32．（23-24高二上·辽宁·期末）某旅游城市推出“一票通”景区旅游年卡，持有旅游年卡一年内可不限次畅游全市所有签约景区.为了解市民每年旅游消费支出情况（单位：百元），相关部门对已游览某签约景区的游客进行随机问卷调查，并把得到的数据列成如表所示的频数分布表： 旅游消费支出 频数 12 388 452 138 10 (1)根据样本数据，可认为市民的旅游费用支出服从正态分布，若该市总人口为700万人，试估计有多少市民每年旅游费用支出在7000元以上； (2)若年旅游消费支出在40（百元）以上的游客一年内会继续来该签约景区游玩.现从游客中随机抽取3人，一年内继续来该签约景区游玩记2分，不来该景点游玩记1分，将上述调查所得的频率视为概率，且游客之间的选择意愿相互独立，求3人总得分为4分的概率. （参考数据：） 33．（23-24高二下·江苏·期末）《中华人民共和国国民经济和社会发展第十四个五年规划和2023年远景目标纲要》指出：要加强原创性、引领性科技攻关，坚决打赢关键核心技术攻坚战.某企业集中科研骨干力量，攻克系列关键技术，已成功实现离子注入机全谱系产品国产化，工艺段覆盖至，为我国芯片制造产业链补上重要一环.该企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进. (1)该款芯片生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检.已知该款芯片在改进生产工艺前，前三道工序的次品率分别为. ①求改进生产工艺前，该款芯片的次品率； ②在第四道工序中，部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验.记表示事件“某芯片经过智能检测系统筛选”，表示事件“某芯片经人工抽检后合格”，求证：； (2)改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标服从正态分布，现从中随机抽取个，这个芯片中恰有个的质量指标位于区间. ①若，以使得的最大值作为的估计值，求； ②记这个芯片的质量指标的标准差为，其中个芯片的质量指标的平均数为，标准差为，剩余芯片的质量指标的平均数为，标准差为，试写出的计算式. 参考数据：. 34．（22-23高二下·陕西宝鸡·期末）某市为了传承发展中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如下：得分在内的学生获三等奖，得分在 内的学生获二等奖，得分在内的学生获一等奖，其他学生不得奖.为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如图所示的样本频率分布直方图. (1)估计这100名学生的竞赛成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)若该市共有10000名学生参加了竞赛，所有参赛学生的成绩近似服从正态分布，其中，为样本平均数的估计值，试估计参赛学生中成绩超过78分的学生人数（结果四舍五入到整数）. 附：若随机变量服从正态分布，则，，. 35．（22-23高二下·福建泉州·期末）为了切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，某高中学校计划优化课程，增加学生体育锻炼时间，提高体质健康水平，某体质监测中心抽取了该校10名学生进行体质测试，得到如下表格： 序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 成绩（分） 38 41 44 51 54 56 58 64 74 80 记这10名学生体质测试成绩的平均分与方差分别为，，经计算，． (1)求； (2)经统计，高中生体质测试成绩近似服从正态分布，用，的值分别作为，的近似值，若监测中心计划从全市抽查100名高中生进行体质测试，记这100名高中生的体质测试成绩恰好落在区间的人数为，求的数学期望． 附：若，则，，． 变量间的相关关系 36．（23-24高二上·江西鹰潭·期末）关于的一组样本数据的散点图中，所有样本点均在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为（    ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 37．（22-23高二下·河南许昌·期末）下图是某地区年月至年月每月最低气温与最高气温（）的折线统计图：已知每月最低气温与最高气温的线性相关系数，则下列结论正确的是（    ）    A．月温差（月最高气温－月最低气温）的最大值出现在月 B．每月最高气温与最低气温的平均值在月逐月增加 C．每月最低气温与最高气温有较强的线性相关性，且二者为线性负相关 D．月的月温差相对于月，波动性更小 38．（多选）（23-24高二上·辽宁沈阳·期末）对两个变量和进行回归分析，则下列结论正确的为（） A．回归直线至少会经过其中一个样本点 B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 C．建立两个回归模型，模型的相关系数，模型的相关系数，则模型的拟合度更好 D．以模型去拟合某组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则的值分别为 39．（多选）（22-23高二下·广东广州·期末）随机抽取家超市，得到其广告支出（万元）与销售额（万元）数据如下，则（    ） 超市 广告支出（万元） 1 2 4 6 10 14 20 销售额（万元） 19 32 44 40 52 53 54 A．销售额与广告支出正相关 B．销售额与广告支出的变化趋势相同，但广告支出超过万元后，销售额增加幅度变缓 C．销售额与广告支出线性相关越强，相关系数越接近 D．要得到销售额的预测值，模型比模型更可靠 40. （20-21高二下·山东济南·期末）为调查某企业年利润（单位：万元）和它的年研究费用（单位：万元）的相关性，收集了5组成对数据，如下表所示： 1 2 3 4 5 50 60 70 80 100 由上表中数据求得关于的经验回归方程为，据此计算出样本点处的残差（残差观测值预测值）为 ． 线性与非线性回归方程 41．（23-24高二上·山东日照·期末）发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是应对气候变化推动绿色发展的战略举措．随着国务院《新能源汽车产业发展规划（2021—2035）》的发布，我国自主品牌汽车越来越具备竞争力．国产某品牌汽车对市场进行调研，统计了该品牌新能源汽车在某城市年前几个月的销售量（单位：辆），用表示第月份该市汽车的销售量，得到如下统计表格： 1 2 3 4 5 6 7 28 32 37 45 47 52 60 (1)经研究，、满足线性相关关系，求关于的线性回归方程，并根据此方程预测该店月份的成交量（、按四舍五入精确到整数）； (2)该市某店为感谢客户，决定针对该品牌的汽车成交客户开展抽奖活动，设“一等奖”、“二等奖”和“祝您平安”三种奖项，“一等奖”奖励千元；“二等奖”奖励千元；“祝您平安”奖励纪念品一份．在一次抽奖活动中获得“二等奖”的概率为，获得一份纪念品的概率为，现有甲、乙两个客户参与抽奖活动，假设他们是否中奖相互独立，求此二人所获奖金总额（千元）的分布列及数学期望． 参考数据及公式：，，． 42．（23-24高二上·江西新余·期末）某地政府为解除空巢老人日常护理和社会照料的困境，大力培育发展养老护理服务市场．从年开始新建社区养老机构，下表为该地区近年新建社区养老机构的数量对照表． 年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 年份代码 1 2 3 4 5 6 7 新建社区养老机构 (1)若该地区参与社区养老的老人的年龄近似服从正态分布，其中年龄的有人，试估计该地参与社区养老的老人有多少？（结果按四舍五入取整数） (2)已知变量与之间的样本相关系数，请求出关于的线性回归方程，并据此估计年时，该地区新建社区养老机构的数量．（结果按四舍五入取整数） 参考公式与数据：①，.； ②若随机变量，则，，； ③，. 43．（22-23高二上·四川攀枝花·期末）攀枝花属于亚热带季风气候区，水果种类丰富．其中，“红格脐橙”已经“中华人民共和国农业部2010年第1364号公告”予以登记，根据其种植规模与以往的种植经验，产自该果园的单个“红格脐橙”的果径（最大横切面直径，单位：）在正常环境下服从正态分布． (1)一顾客购买了10个该果园的“红格脐橙”，求会买到果径小于的概率； (2)为了提高利润，该果园每年投入一定的资金，对种植、采摘、包装、宣传等环节进行改进．如图是2013年至2022年（单位：万元）与年利润增量y（单位：万元）的散点图：      该果园为了预测2023年投资金额为20万元时的年利润增量，建立了关于的两个回归模型； 模型①：由最小二乘公式可求得与的线性回归方程：； 模型②：由图中样本点的分布，可以认为样本点集中在曲线：的附近．对投资金额做交换，令，且有，，，． （ⅰ）根据所给的统计量，求模型②中关于的回归方程； （ⅱ）根据下列表格中的数据，比较两种模型的相关指数R2，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测投资金额为20万元时的年利润增量（结果保留两位小数）． 回归模型 模型① 模型② 回归方程 102.28 36.19 附：若随机变量，则，； 样本（）的最小二乘估计公式为，； 相关指数． 参考数据：，，，． 44．（22-23高二下·江西吉安·期末）某乡镇为了提高乡镇居民收入，对山区进行大面积指导农民种植黄茋、党参、当归等药材，同时在种植药材附近种植草，让牛羊吃，发展畜牧业，第二年将种植药材的地改种草让牛羊吃，将牛羊吃过的草地改种药材，这样药材的生长主要依靠牛羊等有机肥来供给，提高药效，同时增加农民的经济收入.现将该乡镇某农户近7年（2016-2022年对应年份代码1-7）的种植药材的收入金额绘成折线图，同时统计出相关数据：，，，，. (1)根据图中所给出的折线图，判断和哪一个更适合作为回归模型；（给出判断即可，不必说明理由） (2)求相关系数（保留两位小数）并求药材种植收入关于年份代码的回归直线方程； (3)若在生物学上将在药材附近同时种植草称作间作，将药材和草每年轮流种植称作轮作，根据题目所给信息，分析这两种种植方式对当地居民收入的影响. 附：相关系数，回归直线方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. 45．（22-23高二下·安徽滁州·期末）“绿色出行，低碳环保”已成为新的时尚，近几年国家相继出台了一系列的环保政策，在汽车行业提出了重点扶持新能源汽车的政策，为新能源汽车行业的发展开辟了广阔的前景．某公司对电动汽车进行生产投资，所获得的利润有如下统计数据： 年代 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 年份代码 1 2 3 4 5 6 7 利润（单位：百万元） 29 33 36 44 48 52 59 (1)请用相关系数说明：能用线性回归模型拟合与的关系（精确到0.01）； (2)建立关于的回归方程，预测2024年该公司所获得的利润． 参考数据：；；；；． 参考公式：相关系数； 回归方程中，，． 列联表与独立性检验 46．（22-23高二下·陕西榆林·期末）某学校共有1000名学生参加“一带一路”知识竞赛，其中男生400人，为了解该校学生在知识竞赛中的情况，采用分层随机抽样的方法抽取了100名学生进行调查，分数分布在450分～950分之间，将分数不低于750分的学生称为“高分选手”.已知样本中“高分选手”有25人，其中女生有10人. (1)试完成下面列联表； 属于“高分选手” 不属于“高分选手” 合计 男生 女生 合计 (2)判断是否有97.5%的把握认为该校学生属于“高分选手”与“性别”有关？ 参考公式：，其中. 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 47．（2024·黑龙江吉林·二模）恰逢盛世，风调雨顺.某稻米产地今秋获得大丰收，为促进当地某品牌大米销售，甲、乙两位驻村干部通过直播宣传销售所驻村生产的该品牌大米.通过在某时段100名顾客在观看直播后选择在甲、乙两位驻村干部的直播间（下简称甲直播间、乙直播间）购买的情况进行调查（假定每人只在一个直播间购买大米），得到以下数据： 网民类型 在直播间购买大米的情况 合计 在甲直播间购买 在乙直播间购买 本地区网民 50 5 55 外地区网民 30 15 45 合计 80 20 100 (1)依据小概率值的独立性检验，能否认为网民选择在甲、乙直播间购买大米与网民所处地区有关； (2)用样本分布的频率分布估计总体分布的概率，若共有名网民在甲、乙直播间购买大米，且网民选择在甲、乙两个直播间购买大米互不影响，记其中在甲直播间购买大米的网民数为X，求使事件“”的概率取最大值时k的值. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 48．（23-24高二上·江西·期末）时下流行的直播带货与主播的学历层次有某些相关性，某调查小组就两者的关系进行调查，从网红的直播中得到容量为200的样本，将所得直播带货和主播的学历层次的样本观测数据整理如下： 直播带货评级主播的学历层次 优秀 良好 合计 本科及以上 60 40 100 专科及以下 30 70 100 合计 90 110 200 (1)是否有的把握认为直播带货的评级与主播的学历层次有关联？ (2)统计学中常用表示在事件条件下事件发生的优势，称为似然比，当时，我们认为事件条件下发生有优势．现从这200人中任选1人，表示“选到的主播带货良好”，表示“选到的主播学历层次为专科及以下”，请利用样本数据，估计的值，并判断事件条件下发生是否有优势； (3)现从主播学历层次为本科及以上的样本中，按分层抽样的方法选出5人组成一个小组，从抽取的5人中再抽取3人参加主播培训，求这3人中，主播带货优秀的人数的概率分布和数学期望． 附：，． 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 49．（22-23高二下·陕西宝鸡·期末）根据5月份中国某信息网发布的我市某品牌人群用户（指在指定周期内浏览品牌相关内容以及商品详情页的人群）性别分析数据，为了做好新数据的分析，现按照性别对喜欢与否作抽样调查，随机抽取了100名用户，相关数据统计如下表所示： 喜欢 不喜欢 男性 13 27 女性 42 18 (1)用分层抽样方法在不喜欢的用户中随机抽取5名，则女性用户应该抽取几名？ (2)在上述抽取的5名用户中任取2名参加座谈会，求恰有1名男性用户的概率； (3)试判断是否有99%的把握认为，用户喜欢与否与性别有关？ 参考公式：，其中. 参考数据： 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 50．（22-23高二下·山东威海·期末）某大学在一次调查学生是否有自主创业打算的活动中，获得了如下数据. 男生/人 女生/人 有自主创业打算 无自主创业打算 (1)若，，根据调查数据判断，是否有的把握认为该校学生有无自主创业打算与性别有关； (2)若，，从这些学生中随机抽取一人. （ⅰ）若已知抽到的人有自主创业打算，求该学生是男生的概率； （ⅱ）判断“抽到的人无自主创业打算”与“抽到的人是男生”是否独立. 附： . 51．（多选）（22-23高二下·浙江宁波·期末）一个不透明的袋子中装有大小形状完全相同的红、黄、蓝三种颜色的小球各一个，每次从袋子中随机摸出一个小球，记录颜色后放回，当三种颜色的小球均被摸出过时就停止摸球.设“第i次摸到红球”，“第i次摸到黄球”，“第i次摸到蓝球”，“摸完第i次球后就停止摸球”，则（    ） A． B． C．， D．， 52．（多选）（23-24高二上·湖北恩施·期中）已知互不相同的30个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，设剩下的28个样本数据的方差为，平均数为;去掉的两个数据的方差为，平均数为﹔原样本数据的方差为，平均数为，若=，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．剩下28个数据的中位数大于原样本数据的中位数 D．剩下28个数据的22%分位数不等于原样本数据的22%分位数 53．（22-23高二下·河北张家口·期末）已知离散型随机事件A，B发生的概率，，若，事件，，分别表示A，B不发生和至少有一个发生，则 ， . 54．（23-24高二上·山东日照·期末）普法宣传教育是依法治国、建设法治社会的重要内容，也是构建社会主义和谐社会的应有之意．为加强对学生的普法教育，某校将举办一次普法知识竞赛，共进行5轮比赛，每轮比赛结果互不影响．比赛规则如下：题库中有法律文书题和案例分析题两类问题，每道题满分10分．每一轮比赛中，参赛者在30分钟内完成法律文书题和案例分析题各2道，若有不少于3道题得分超过8分，将获得“优胜奖”，5轮比赛中，至少获得4次“优胜奖”的同学将进入决赛．甲同学经历多次限时模拟训练，指导老师从训练题库中随机抽取法律文书题和案例分析题各5道，其中有4道法律文书题和3道案例分析题得分超过8分． (1)从这10道题目中，随机抽取法律文书题和案例分析题各2道，求该同学在一轮比赛中获“优胜奖”的概率； (2)将上述两类题目得分超过8分的频率作为概率．为提高甲同学的参赛成绩，指导老师对该同学进行赛前强化训练，使得法律文书题和案例分析题得分超过8分的概率共增加了，以获得“优胜奖”的次数期望为参考，试预测该同学能否进入决赛． 55．（23-24高二上·辽宁抚顺·期末）11月29日，辽宁省政府新闻办召开“山海有情 天辽地宁”冰雪主题系列首场现场新闻发布会，该会重点介绍今年沈阳市深入开展冰雪旅游､冰雪运动､冰雪文化的主要举措､重点活动和亮点特色.某冰雪乐园计划推出冰雪优惠活动，发放冰雪消费券.该冰雪乐园计划通过摸球兄奖的方式对1000位顾客发放消费券，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸取2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获得的消费券的总额. (1)若袋中所装的4个球中1个所标的面值为30元，其余3个均为20元，求顾客所获得的消费券的总额为50元的概率. (2)该冰雪乐园对消费券总额的预算是100000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值40元､60元的2种球组成，或由标有面值30元､50元､70元的3种球组成.为了使顾客得到的消费券总额的期望符合该冰雪乐园的预算且每位顾客所获得的消费券的总额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计方案，并说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02概率统计期末10种常考题型归类 条件概率与全概率公式 1．（21-22高二下·全国·期末）中国女子乒乓球队是世界乒坛的常胜之师，曾20次获得世乒赛女子团体冠军．2021年休斯敦世界乒乓球锦标赛，中国选手王曼昱以4∶2击败孙颖莎，夺得女单冠军．某校甲、乙两名女生进行乒乓球比赛，约定“七局四胜制”，即先胜四局者获胜．已知甲、乙两人乒乓球水平相当，事件A表示“乙获得比赛胜利”，事件B表示“比赛进行了七局”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件概率计算公式求解. 【详解】乙获得比赛胜利，可能进行了4局或5局或6局或7局比赛，乙获胜的概率 ， 乙获胜并且比赛进行了七局的概率， ∴ ． 故选：B． 2．（23-24高二上·江西萍乡·期末）某一地区患有癌症的人占0.05，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.9，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.05.现抽查了一个人，试验反应是阳性，则此人是癌症患者的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】记事件某人是癌症患者，事件化验结果呈阳性，利用全概率公式求出的值，再利用条件概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】记事件某人是癌症患者，事件化验结果呈阳性， 由题意可知，，， 所以 ， 现在某人的化验结果呈阳性，则此人是癌症患者的概率为：. 故选：D 3．（23-24高二上·河南驻马店·期末）中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设空间站要安排甲、乙、丙、丁4名航天员开展实验，每名航天员只能去一个舱，每个舱至少安排一个人，则甲被安排在天和核心舱的条件下，乙也被安排在天和核心舱的概率为 ． 【答案】 【分析】设事件为“甲被安排在天和核心舱”，事件为“乙被安排在天和核心舱”，由古典概型公式求出、，再由条件概率公式计算可得答案． 【详解】根据题意，设事件为“甲被安排在天和核心舱”，事件为“乙被安排在天和核心舱”， 将甲、乙、丙、丁安排到3个航天舱，需要先将4人分为3组，再安排到3个航天舱，有种安排方法， 甲被安排在天和核心舱，有种安排方法，则， 若甲、乙均被安排在天和核心舱，有种安排方法，则， 故甲被安排在天和核心舱的条件下，乙也被安排在天和核心舱的概率． 故答案为：． 4．（23-24高二上·辽宁朝阳·期末）新高考模式下，“3+1+2”中“3”是数学、语文、外语三个必选的主科，“1”是物理、历史二选一，“2”是在地理、生物、化学、政治中选两科.已知某校高二学生中有的学生选择物理，剩余的选择历史，选择物理和历史的学生中选择地理的概率分别是和，则从该校高二学生中任选一人，这名学生选择地理的概率为 . 【答案】 【分析】由全概率公式可得答案. 【详解】设选择地理的概率为P，由全概率公式，得， 即从该校高二学生中任选一人，这名学生选择地理的概率为. 故答案为：. 5．（23-24高二上·江西·期末）第31届世界大学生夏季运动会于2023年7月28日在成都开幕．大运会组委会给运动员准备了丰富的饮食服务．大运村共有两个餐厅：餐厅、餐厅，运动员甲第一天随机地选择一个餐厅用餐，如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为0.8；如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为0.6．则运动员甲第二天去餐厅用餐的概率为 ． 【答案】0.7/ 【分析】设“第天去餐厅用餐”，“第天去餐厅用餐”，由条件概率和全概率公式求解即可. 【详解】设“第天去餐厅用餐”，“第天去餐厅用餐”， 则，且与互斥， 根据题意得，，， 则． 故答案为：. 随机变量分布列的特征 6．（23-24高二上·江西·期末）设随机变量，若，则的最大值为（    ） A．4 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】根据二项分布的数学期望得的范围，再根据二项分布方差运算公式结合二次函数的单调性求得的最大值. 【详解】随机变量，由得，解得. ， 易知二次函数的开口向下，对称轴为，所以在上单调递增， 于是时取得最大值，即最大值为. 故选：C. 7．（23-24高二上·山东德州·期末）离散型随机变量X的分布列中部分数据丢失，丢失数据以x，y（x，）代替，分布列如下： 1 2 3 4 5 6 0.21 0.20 0.10 0.10 则（    ） A．0.35 B．0.45 C．0.55 D．0.65 【答案】B 【分析】先根据概率之和为1求出，从而求解概率即可. 【详解】由题意得，化简得， 又且，所以， 所以. 故选：B 8．（多选）（23-24高二上·江西上饶·期末）若随机变量，下列说法中正确的有（    ） A． B．期望 C．期望 D．方差 【答案】AC 【分析】利用独立重复试验的概率公式可判断A选项；利用二项分布的期望公式可判断B选项；利用期望的性质可判断C选项；利用方差的性质可判断D选项. 【详解】因为随机变量，则，， ， 由期望的性质可得， 由方差的性质可得，AC对，BD错. 故选：AC. 9．（23-24高二上·广东广州·期末）随机变量有3个不同的取值，且其分布列如下： 0 1 则的值为 ． 【答案】/0.1875 【分析】根据给定表格，求出的分布列，再利用方差的定义计算即得. 【详解】依题意，的取值为0，1，且，， 则的期望， 所以的方差. 故答案为： 10．（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·期末）离散型随机变量的分布列为，，2，3，…，6，其期望为，若，则 . 【答案】 【分析】根据方差的定义求得，然后利用方差性质求解即可. 【详解】由题意及方差定义知，所以. 故答案为： 离散型随机变量的分布列与数字特征 11．（23-24高二上·江西上饶·期末）已知只小白鼠中有只患有某种疾病，需要通过血液化验来确定患这种病的小白鼠，血液化验结果呈阳性的为患病小白鼠，下面是两种化验方案．方案甲：将只小白鼠的血液逐个化验，直到查出患病小白鼠为止．方案乙：先取只小白鼠的血液混在一起化验，若呈阳性，则对这只小白鼠的血液再逐个化验，直到查出患病小白鼠；若不呈阳性，则对剩下的只小白鼠再逐个化验，直到查出患病小白鼠． (1)若用方案甲，求化验次数为次的概率； (2)若平均化验次数少的方案好，请你确定方案甲、方案乙哪个更好． 【答案】(1) (2)方案乙更好，利用见解析 【分析】（1）若用方案甲，设化验次数为，利用独立事件的概率公式可求得的值； （2）计算出使用方案甲、乙时试验次数的期望值，比较大小后可得出结论. 【详解】（1）解：若用方案甲，设化验次数为，则可能取值为、、、、、、、、， 若用方案乙，设化验次数为，则可能取值为、、、， 由题意可得. 所以，若用方案甲，化验次数为次的概率为. （2）解：由（1）可知，，，， ，， ，， ， ， 所以，随机变量的分布列如下表所示： X P 所以，， 由题意可知，随机变量可能取值为、、、，则， ，，， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 所以，， 则，所以方案乙比方案甲好. 12．（23-24高二上·河南南阳·期末）某商场举行抽奖活动，准备了甲､乙两个箱子，甲箱内有2个黑球､4个白球，乙箱内有4个红球､6个黄球.每位顾客可参与一次抽奖，先从甲箱中摸出一个球，如果是黑球，就可以到乙箱中一次性地摸出两个球；如果是白球，就只能到乙箱中摸出一个球.摸出一个红球可获得90元奖金，摸出两个红球可获得180元奖金. (1)求某顾客摸出红球的概率； (2)设某家庭四人均参与了抽奖，他们获得的奖金总数为元，求随机变量的数学期望. 【答案】(1) (2)192（元）. 【分析】（1）根据互斥事件加法公式及古典概型概率计算公式进行计算即可； （2）求出家庭每个人获得的奖金的期望，根据进行计算即可. 【详解】（1）设“从甲箱中摸出黑球”，“从甲箱中摸出白球”，“从乙箱中摸出红球”，“某顾客摸出红球”，则. 因为， 所以. （2）设该家庭每个人获得的奖金为元，则的取值可能为， 则， ， ， 所以随机变量的分布列为 0 90 180 （元）. 又因为，所以（元）. 13．（22-23高二下·重庆江津·期末）袋中装有黑球、白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为. (1)现有甲，乙二人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，……，取后不放回，直到两人中有一人取到白球为止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的.求取球次数的分布列; (2)现从袋中将黑球和白球各取出一个，再让丙从袋中取球，每次取一个，记下颜色后放回再取，直到将同一种颜色的球取出3次为止，记丙取球的次数为Y，求Y的期望. 【答案】(1)分布列见解析 (2) 【分析】（1）设袋中有白球n个，根据题意得到，求得，得到随机变量所有可能的取值，求得相应的概率，列出分布列； （2）根据题意，得出随机变量所有可能的取值，结合相互独立事件的概率乘法和互斥事件的概率加法，求得相应的概率，利用期望的公式，即可求解. 【详解】（1）解：设袋中有白球n个，因为从袋中的7个小球中任取2个球都是白球的概率为， 所以，解得，即袋中白球个数为3个， 由题意，随机变量所有可能的取值为， 且 ，， ，， 所以随机变量的分布列为 1 2 3 4 5 （2）解：由题意，随机变量所有可能的取值为， 且 ， ， ， 所以随机变量的数学期望为. 14．（21-22高二上·山东德州·期末）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： 最高气温 [10，15） [15，20） [20，25） [25，30） [30，35） [35，40） 天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率. (1)求六月份这种酸奶一天的需求量（单位：瓶）的分布列； (2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量（单位：瓶）为多少时，的数学期望达到最大值？ 【答案】(1)分布列见解析 (2)n＝300 【分析】（1）根据题意，得到的可能取值为，利用古典摡型，求得相应的概率，即可得出分布列； （2）根据题意，得到只需考虑，分别求得和的期望表达式，进而得到结论. 【详解】（1）解：由题意得，随机变量的可能取值为， 可得， 所以随机变量分别为 200 300 500 0.2 0.4 0.4 （2）解：由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500瓶，至少为200瓶， 所以，只需考虑， 当时，若最高气温不低于25，则； 若最高气温位于区间，则； 若最高气温低于，则； 所以. 当时， 若最高气温不低于20，则； 若最高气温低于，则； 所以， 所以当时，的数学期望达到最大值，最大值为元. 15．（22-23高二下·浙江·期末）人口老龄化加剧的背景下，我国先后颁布了一系列生育政策，根据不同政策要求，分为两个时期Ⅰ和Ⅱ．根据部分调查数据总结出如下规律：对于同一个家庭，在Ⅰ时期内生孩人，在Ⅱ时期生孩人，（不考虑多胞胎）生男生女的概率相等．服从0-1分布且．分布列如下图： 0 1 2 现已知一个家庭在Ⅰ时期没生孩子，则在Ⅱ时期生2个孩子概率为；若在Ⅰ时期生了1个女孩，则在时期生2个孩子概率为；若在Ⅰ时期生了1个男孩，则在Ⅱ时期生2个孩子概率为，样本点中Ⅰ时期生孩人数与Ⅱ时期生孩人数之比为（针对普遍家庭）． (1)求的期望与方差； (2)由数据组成的样本空间根据分层随机抽样分为两层，样本点之比为，分别为与，，总体样本点与两个分层样本点均值分别为，，，方差分别为，，，证明：，并利用该公式估算题设样本总体的方差． 【答案】(1)期望为，方差为； (2)证明见解析，总体方差约为. 【详解】（1）由分布列知：，即， 事件分别表示Ⅰ时期没生孩子、生了1个女孩、生了1个男孩， 事件表示Ⅱ时期生2个孩子，则， 又， 所以， 即，则， 综上，分布列如下： 0 1 2 . . （2）由题意，，则，， 而， 上式 ， 又，且， 上式. 综上，得证. 由题设知：，，，， 则总体均值， 综上，题设样本总体的方差 . 【点睛】关键点点睛：第一问，注意分布列概率和为1，且应用全概率公式求Ⅱ时期生2个孩子的概率为关键；第二问，应用方差公式，结合题设参数关系化简证明结论. 二项分布的分布列与数字特征 16．（23-24高二上·河南南阳·期末）中医药学是中国古代科学的瑰宝，也是打开中华文明宝库的钥匙.为了调查某地市民对中医药文化的了解程度，某学习小组随机向该地100位不同年龄段的市民发放了有关中医药文化的调查问卷，得到的数据如下表所示： 规定成绩在内代表对中医药文化了解程度低，成绩在内代表对中医药文化了解程度高. (1)从这100位市民中随机抽取1人，求抽到对中医药文化了解程度高的市民的频率； (2)将频率视为概率，现从该地41岁~50岁年龄段的市民中随机抽取3人，记为对中医药文化了解程度高的人数，求的分布列和期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析，2 【分析】（1）由表格得出成绩在的人数，计算频率，即可得出答案； （2）由表格得出41岁~50岁年龄段中，成绩在内以及内的人数，求出概率，进而得出，然后列出分布列，求出期望即可. 【详解】（1）由表格可知，成绩在的人数为， 所以，抽到对中医药文化了解程度高的市民的频率为； （2）根据表格可知，41岁~50岁年龄段中， 成绩在内的人数为，成绩在内的人数为， 则随机抽取1人，这个人是对中医药文化了解程度高的市民的概率， 了解程度低的概率， 由题意可知，则的可能取值为， 则， ， ， ， 故的分布列为 0 1 2 3 所以的数学期望. 17．（23-24高二上·河南·期末）一台机器由于使用时间较长，生产的零件有可能会产生次品.设该机器生产零件的尺寸为，且规定尺寸为正品，其余的为次品.现从该机器生产的零件中随机抽取100件做质量分析，作出的频率分布直方图如图. (1)试估计该机器生产的零件的平均尺寸； (2)如果将每5件零件打包成一箱，若每生产一件正品可获利30元，每生产一件次品亏损80元.若随机取一箱零件，求这箱零件的期望利润. 【答案】(1) (2)40元 【分析】 (1)由频率分布直方图计算平均数即可求解； (2)求出生产线生产的产品次品率、正品率，设这箱零件中的正品数为，由可得期望，从而得到这箱零件获利. 【详解】（1）生产线生产的产品平均尺寸为：. （2）次品的尺寸范围， 故生产线生产的产品次品率为. 设生产一箱零件（5件）中的正品数为，正品率为， 故，则. 设生产一箱零件获利为元， 则， 则（元）， 所以这箱零件的期望利润为40元. 18．（22-23高二下·贵州铜仁·期末）来自微碧江的报道：2023年6月17日，铜仁市碧江区第二届房地产交易展示会在三江公园隆重开幕．据了解，本次房交会以政府搭台、企业让利、政策支持、百姓受益为办展宗旨，聚集了碧江区17家房开企业、18个楼盘参展，2080套房源、25万平方米供群众选购，9大银行和公积金中心在现场助阵和提供咨询服务．本次房交会从6月17日持续到6月22日，期间每天都安排有精彩演出、免费美食、互动游戏、露天电影和游江龙舟五类活动． (1)甲、乙两名市民参加了不同类的活动，且每人只参加一类活动．已知甲参加了免费美食的活动，求乙参加游江龙舟活动的概率是多少? (2)已知来自某小区的市民参加互动游戏的概率是，设来自该小区的2名市民参加互动游戏的人数为，求的分布列与期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）已知甲参加了免费美食的活动，则可求乙在剩下四类活动中参加游江龙舟活动的概率； （2）依题意可知，即可求二项分布的分布列和期望. 【详解】（1）在甲参加了免费美食活动的条件下，记“乙参加游江龙舟活动的这一事件”为， 则. 所以已知甲参加了免费美食的活动，乙参加游江龙舟活动的概率是. （2）依题意， ； ； . 所以的分布列如下： 0 1 2 的数学期望. 19．（22-23高二下·福建宁德·期末）在一个系统中，每一个设备能正常工作的概率称为设备的可靠度，而系统能正常工作的概率称为系统的可靠度，为了增加系统的可靠度，人们经常使用“备用冗余设备”（即正在使用的设备出故障时才启动的设备）．已知某计算机网络服务器系统采用的是“一用两备”（即一台正常设备，两台备用设备）的配置，这三台设备中，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉．系统就能正常工作．设三台设备的可靠度均为，它们之间相互不影响． (1)要使系统的可靠度不低于0.992，求的最小值； (2)当时，求能使系统正常工作的设备数的分布列； (3)已知某高科技产业园当前的计算机网络中每台设备的可靠度是0.7，根据以往经验可知，计算机网络断掉可给该产业园带来约50万的经济损失．为减少对该产业园带来的经济损失，有以下两种方案： 方案1：更换部分设备的硬件，使得每台设备的可靠度维持在0.8，更换设备硬件总费用为0.8万元； 方案2：花费0.5万元增加一台可靠度是0.7的备用设备，达到“一用三备”． 请从经济损失期望最小的角度判断决策部门该如何决策？并说明理由． 【答案】(1)0.8 (2)答案见解析 (3)决策部门应选择方案2，理由见解析 【分析】（1）先用表示出，结合题意即可求出的最小值； （2）由题意可知，满足二项分布，故易得能正常工作的设备数的分布列； （3）分别计算两种方案的损失期望值，即可做出决策. 【详解】（1）要使系统的可靠度不低于0.992，设能正常工作的设备数为， 则， 解得，故的最小值为0.8． （2）设为正常工作的设备数，由题意可知，， ， ， ， ， 从而的分布列为： 0 1 2 3 0.027 0.189 0.441 0.343 （3）设方案1､方案2的总损失分别为，， 采用方案1，更换部分设备的硬件，使得每台设备的可靠度维持在0.8， 可知计算机网络断掉的概率为：， 故万元． 采用方案2，花费0.5万元增加一台可靠度是0.7的备用设备，达到“一用三备”， 计算机网络断掉的概率为：， 故万元． 因此，从经济损失期望最小的角度，决策部门应选择方案2． 20．（23-24高二上·河南南阳·期末）2023年12月4日是我国第十个国家宪法日.为加强宪法学习宣传，弘扬宪法精神，某省总工会举办宪法闯关网络知识竞答活动.每轮共分两关，每关设有两题，闯每关时两题都要作答，只有第一关的两题均答对，才能闯第二关，否则本轮闯关失败.已知甲第一关每道题答对的概率均为，第二关每道题答对的概率均为，两关至少答对3题才可获得一次抽奖机会. (1)求甲在一轮闯关中闯关失败的概率； (2)记甲在一轮闯关中答对的题目数为，请写出的分布列，并求； (3)若每人可参加多轮问关，且各轮之间相互独立，甲进行5轮闯关，求他恰好获得3次抽奖机会的概率. 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【分析】（1）根据对立事件的概率加法公式求解即可； （2）根据题意，得到的所有可能取值，求出对应概率，得到分布列，得到； （3）根据题意，得到每一轮闯关获得抽奖机会的概率，然后根据二项分布，得到恰好获得3次抽奖机会的概率. 【详解】（1）甲在一轮闯关中闯关失败的概率. （2）由题设可知，的所有可能取值为0，1，2，3，4， ， ， ，， 则的分布列为 0 1 2 3 4 ∴. （3）由（2）及条件知每一轮闯关获得抽奖机会的概率为. 设5轮闯关获得抽奖机会的数量为，则， ∴， 故甲恰获得3次抽奖机会的概率为. 超几何分布的分布列与数字特征 21. （21-22高二上·黑龙江哈尔滨·期末）《中国制造2025》是经国务院总理李克强签批，由国务院于2015年5月印发的部署全面推进实施制造强国战略文件，是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领.制造业是国民经济的主体，是产国之本、兴国之器、强国之基.发展制造业的基本方针为质量为先，坚持把质量作为建设制造强国的生命线，某企业生产流水线检测员每天随机从流水线上抽取100件新生产的产品进行检测，某日检测抽取的100件产品的柱状图如图所示： (1)根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.若从出厂的所有产品中随机取出3件，求至少有一件产品是一级品的概率； (2)现从样本产品中利用分层抽样的方法随机抽取10件产品，再从这10件中任意抽取3件，设取到一级品的件数为，求随机变量的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）求出一级品的概率，根据对立事件的概率计算公式即可求得答案； （2）确定件产品中一级品件，二级品件，三级品件，即可确定一级品的件数的取值，结合超几何分布的概率求出每个值对应的概率，可得分布列，即可求得数学期望. 【详解】（1）抽取的100件产品是一级品的频率是， 根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率， 故从出厂的所有产品中任取件，是一级品的概率是， 设从出厂所有产品中随机选件，至少有一件是一级品的事件为， 则. （2）由题意可知件产品中一级品件，二级品件，三级品件，故的取值范围是， ，，，， 的分布列为： 3 的数学期望为: . 22. （22-23高二下·海南省直辖县级单位·期末）某学校长期坚持以人为本，实施素质教育，每年都会在校文化节期间举行诗词知识和环保知识两项竞赛，竞赛成绩分为五个等级，等级分别对应5分，4分，3分，2分，1分.设该校某班学生两项知识竞赛都参加，且两项知识竞赛的成绩的数据统计如下图所示，其中环保知识竞赛的成绩为A的学生有4人.    (1)求该班学生诗词知识竞赛成绩为A的人数以及诗词知识竞赛的平均分； (2)若该班两项竞赛成绩总得分超过8分的学生共有7人，其中有3人10分，4人9分，从这7人中随机抽取三人，记三人的成绩之和为，求的分布列及数学期望. 【答案】(1)诗词知识竞赛成绩为A的人数为人，诗词知识竞赛的平均分分 (2)分布列见详解， 【分析】（1）根据环保知识竞赛的成绩为A的学生有4人，频率是0.08，可求得班级总人数，根据诗词知识竞赛中A的频率，即可求得诗词知识竞赛成绩为A的人数，代入平均数公式，即可求得诗词知识竞赛的平均分； （2）由题意可知X的所有取值为27，28，29，30，结合超几何分布求分布列和期望. 【详解】（1）由题意可知：环保知识竞赛的成绩为A的频率为， 则该班学生的总人数为人， 因为诗词知识竞赛的成绩为A的频率为， 可得诗词知识竞赛成绩为A的人数为人， 诗词知识竞赛的平均分（分）. （2）由题意可知：的可能取值为30，29，28，27，则有： ， ， 可得的分布列为 30 29 28 27 所以的数学期望. 23. （22-23高二下·黑龙江哈尔滨·期末）某食盐厂为了检查一条自动流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的100袋食盐称出它们的质量（单位：克）作为样本数据，质量的分组区间为.由此得到样本的频率分布直方图如图：    (1)求的值； (2)从该流水线上任取2袋食盐，设为质量超过的食盐数量，求随机变量的分布列及数学期望； (3)在上述抽取的100袋食盐中任取2袋，设为质量超过的食盐数量，求随机变量的分布列. 【答案】(1) (2)分布列见解析，0.6 (3)分布列见解析 【分析】（1）利用诸小矩形面积之和为1可求的值； （2）利用二项分布可求的分布列及数学期望； （3）利用超几何分布可求的分布列； 【详解】（1）由题意可得：， 解得. （2）根据样本估计总体的思想，取一袋食盐， 该食盐的质量超过的概率为. 从流水线上任取2袋食盐互不影响，该问题可以看成2次独立重复试验， 质量超过的袋数X的所有可能取值为， 且服从二项分布， . ， ， ， 随机变量的分布列为： 0 1 2 0.49 0.42 0.09 . （3）质量超过的食盐数量为袋， 随机变量的所有可能取值为，且服从超几何分布. ，， ， 随机变量的分布列为: 0 1 2 24. （22-23高二下·河南安阳·期末）不负青山，力换“金山”，民宿旅游逐渐成为一种热潮，山野乡村的民宿深受广大旅游爱好者的喜爱.某地区结合当地资源，按照“山上生态做减法、山下产业做加法”的思路，科学有序发展环山文旅康养产业，温泉度假小镇、环山绿道、农家乐提档升级、特色民宿群等一批生态产业项目加快实施.2023年“五一”假期来临之前，为了在节假日接待好游客，该地旅游局对本地区各乡村的普通型民宿和品质型民宿进行了调研，随机抽取了10家乡村民宿，统计得到各家的房间数如下表： 民宿 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 普通型民宿 19 5 4 17 13 18 9 20 10 15 品质型民宿 6 1 2 10 11 10 9 12 8 5 (1)若旅游局随机从乙、丙2家各选2间民宿进行调研，求选出的4间均为普通型民宿的概率； (2)从这10家中随机抽取4家民宿，记其中普通型民宿的房间不低于17间的有X家，求X的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析，数学期望为. 【分析】（1）利用超几何分布和独立事件的概率乘法公式求解； （2）利用超几何分布概率模型求解. 【详解】（1）设“从乙家选2间民宿，选到的2间民宿为普通型”为事件；“从丙家选2间民宿，选到的2间民宿为普通型”为事件； 所以选出的4间均为普通型民宿的概率为. （2）这10家民宿，其中普通型民宿的房间不低于17间的有4家， 随机变量的可能取值有， 则 分布列如下， 0 1 2 3 4 所以. 25. （22-23高二下·广东珠海·期末）月日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”.为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了名高一学生进行在线调查，得到了这名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成、、、、、、、、九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.    (1)求这名学生日平均阅读时间的中位数（保留到小数点后两位）； (2)为进一步了解这名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在、、三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了人，现从这人中随机抽取人，记日平均阅读时间在内的学生人数为，求的分布列和数学期望； (3)以样本的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取名学生，用表示这名学生中恰有名学生日平均阅读时间在内的概率，其中、、、、.当最大时，写出的值，并说明理由. 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)，理由见解析 【分析】（1）设中位数为，分析可知，，利用中位数的定义可得出关于的等式，解之即可； （2）计算出按分层抽样所抽取的人中，从日平均阅读时间在内的学生抽取的学生人数，分析可知，的可能取值为、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值； （3）分析可知，计算得出，利用二项式系数的性质可求得当取最大值时，的值. 【详解】（1）设中位数为，前四个矩形的面积之和为 ， 前五个矩形的面积之和为，所以可设中位数为， 由中位数的定义可得，解得. （2）由频率分布直方图，得这名学生中日平均阅读时间在、、三组内的学生人数分别为： ，，， 若采用分层抽样的方法抽取了人，则从日平均阅读时间在内的学生中抽取人， 从这人中随机抽取人，则的可能取值为、、、， ，， ，， 所以，的分布列为 数学期望. （3）可知，原因如下： 由频率分布直方图，得， 解得， 所以，学生日平均阅读时间在内的概率为， 从该地区所有高一学生中随机抽取名学生，日平均阅读时间在内的学生人数， 则， 所以，其中， 由组合数的性质，得当时，最大，则最大. 正态分布小题汇总 26．（23-24高二下·江苏泰州·期中）某电动摩托车制造企业为了解其新研发的一款电动摩托车的续航里程（单位：公里）情况，随机抽查得到了10000个样本，根据统计这款新型电动摩托车的续航里程，若，则该样本中续航里程不小于70公里的电动摩托车大约有（    ） A．10辆 B．100辆 C．180辆 D．900辆 【答案】B 【分析】由，利用正态分布的对称性可得，从而得到答案. 【详解】因为，，所以， 故该样本中续航里程不小于70公里的电动摩托车大约有辆； 故选：B 27．（23-24高二上·陕西渭南·期末）已知随机变量服从正态分布，且，则（    ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【答案】A 【分析】根据正态分布的性质求解即可， 【详解】因为随机变量服从正态分布，， 所以. 故选：A. 28. （多选）（23-24高二上·广西桂林·期末）某市对历年来新生儿体重情况进行统计，发现新生儿体重，则下列结论正确的是（    ） A．该正态分布的均值为 B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据可得出该正态分布的均值，可判断A选项；利用正态密度曲线的性质可判断BCD选项. 【详解】因为， 对于A选项，该正态分布的均值为，A对； 对于B选项，，B对； 对于C选项，，C错； 对于D选项，由正态密度曲线的对称性可知，，D错. 故选：AB. 29. （23-24高二上·黑龙江·期末）已知某批产品的质量指标服从正态分布，其中的产品为“可用产品”，则在这批产品中任取1件，抽到“可用产品”的概率约为 .参考数据：若，则 【答案】0.84/ 【分析】根据题意确定，根据正态分布的对称性结合已知区间的概率，即可求得答案. 【详解】由题意知，该产品服从，则， 所以 ， 即抽到“可用产品”的概率为0.84. 故答案为：0.84. 30. （23-24高二上·江西九江·期末）某工厂生产一批零件，其直径，现在抽取10000件进行检查，则直径在之间的零件大约有 件. （注：） 【答案】 【分析】 根据正态分布的对称性来求得正确答案. 【详解】满足正态分布， ， 直径在之间的零件大约有件. 故答案为： 正态分布解答题汇总 31．（23-24高二上·山东德州·期末）某物流公司专营从甲地到乙地的货运业务，现统计了最近500天内每天可配送的货物量，按照可配送货物量T（单位：箱）分成了以下几组：，并绘制了如图所示的频率分布直方图． (1)由频率分布直方图可以认为，该物流公司每日的可配送货物量T（单位：箱）服从的正态分布，经计算近似为近似为150． ①利用该正态分布，求； ②试利用该正态分布，估计该物流公司2000天内货物配送量在区间（87.8，124.4）内的天数（结果保留整数）． (2)该物流公司负责人根据每日的可配送货物量为装卸员工制定了两种不同的工作奖励方案． 方案一：利用该频率分布直方图获取相关概率（将图中的频率视为概率），采用直接发放奖金的方式奖励员工，按每日的可配送货物量划分为三级：时，奖励50元；时，奖励80元；时，奖励120元；方案二：利用正态分布获取相关概率，采用抽奖的方式奖励员工，其中每日的可配送货物量不低于时有两次抽奖机会，每日的可配送货物量低于时只有一次抽奖机会，每次抽奖的奖金及对应的概率如下表： 奖金 50 100 概率 小张为该公司装卸货物的一名员工，试从员工所得奖金的数学期望角度分析，小张选择哪种奖励方案对他更有利？ 附：，若，则． 【答案】(1)①0.8186；②1637（天） (2)小张选择方案二更有利 【分析】（1）①由正态分布概率公式计算可得答案．②根据①计算出的概率乘以2000可得答案； （2）设小张每日可获得的奖金为X元，求出X的可能取值及对应的概率可得，设小张每日可获得的奖金为Y元，求出Y的所有可能取值及对应的概率可得，比较大小可得答案. 【详解】（1）①由题意，其中， ． ②故该物流公司2000天内日货物配送量在区间（87.8，124.4）内的天数为： （天）； （2）易知， 对于方案一，设小张每日可获得的奖金为X元，则X的可能取值为50，80，120， 其对应的概率分别为0.33，0.57，0.10， 故， 对于方案二，设小张每日可获得的奖金为Y元，则Y的所有可能取值为50，100，150，200， 故， ， 所以， 因为，所以从数学期望的角度看，小张选择方案二更有利． 32．（23-24高二上·辽宁·期末）某旅游城市推出“一票通”景区旅游年卡，持有旅游年卡一年内可不限次畅游全市所有签约景区.为了解市民每年旅游消费支出情况（单位：百元），相关部门对已游览某签约景区的游客进行随机问卷调查，并把得到的数据列成如表所示的频数分布表： 旅游消费支出 频数 12 388 452 138 10 (1)根据样本数据，可认为市民的旅游费用支出服从正态分布，若该市总人口为700万人，试估计有多少市民每年旅游费用支出在7000元以上； (2)若年旅游消费支出在40（百元）以上的游客一年内会继续来该签约景区游玩.现从游客中随机抽取3人，一年内继续来该签约景区游玩记2分，不来该景点游玩记1分，将上述调查所得的频率视为概率，且游客之间的选择意愿相互独立，求3人总得分为4分的概率. （参考数据：） 【答案】(1)15.925万 (2) 【分析】（1），旅游费用支出在7000元以上的概率为，即可估计有多少万市民旅游费用支出在7000元以上； （2）由表格知一年内游客继续来该景点游玩的概率为，再由独立事件的乘法公式求解即可. 【详解】（1）， 所以旅游费用支出在7000元以上的概率为 ， ，估计有15.925万市民旅游费用支出在7000元以上 （2）由表格知一年内游客继续来该景点游玩的概率为， 设3人总得分为4分为事件，则 即3人总得分为4分的概率. 33．（23-24高二下·江苏·期末）《中华人民共和国国民经济和社会发展第十四个五年规划和2023年远景目标纲要》指出：要加强原创性、引领性科技攻关，坚决打赢关键核心技术攻坚战.某企业集中科研骨干力量，攻克系列关键技术，已成功实现离子注入机全谱系产品国产化，工艺段覆盖至，为我国芯片制造产业链补上重要一环.该企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进. (1)该款芯片生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检.已知该款芯片在改进生产工艺前，前三道工序的次品率分别为. ①求改进生产工艺前，该款芯片的次品率； ②在第四道工序中，部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验.记表示事件“某芯片经过智能检测系统筛选”，表示事件“某芯片经人工抽检后合格”，求证：； (2)改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标服从正态分布，现从中随机抽取个，这个芯片中恰有个的质量指标位于区间. ①若，以使得的最大值作为的估计值，求； ②记这个芯片的质量指标的标准差为，其中个芯片的质量指标的平均数为，标准差为，剩余芯片的质量指标的平均数为，标准差为，试写出的计算式. 参考数据：. 【答案】(1)①；②证明见解析. (2)①；② 【分析】（1）①根据相互独立事件及对立事件求解即可； ②利用条件概率公式及性质证明即可. （2）①由已知可推得， ， 根据已知以及正态分布的对称性，可求得 .则，，设， 求出函数的最大整数值，即可得出答案. ②利用样本平均数及方差公式化简即可求解. 【详解】（1）①改进生产工艺前，该款芯片的次品率为 . ②由题意，所以，所以， 又， 所以，即， 所以，即，所以. （2）①由已知可得， . 又 ， 所以，. 设， 令 ， 所以，所以. 令 ， 所以，所以. 所以使得最大的M值作为M的估计值，则M为. ②记，这个芯片的质量指标的平均数为：，则 又 同理， 所以 ， 所以. 34．（22-23高二下·陕西宝鸡·期末）某市为了传承发展中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如下：得分在内的学生获三等奖，得分在 内的学生获二等奖，得分在内的学生获一等奖，其他学生不得奖.为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如图所示的样本频率分布直方图. (1)估计这100名学生的竞赛成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)若该市共有10000名学生参加了竞赛，所有参赛学生的成绩近似服从正态分布，其中，为样本平均数的估计值，试估计参赛学生中成绩超过78分的学生人数（结果四舍五入到整数）. 附：若随机变量服从正态分布，则，，. 【答案】(1)64 (2)1587 【分析】（1）由频率分布直方图样本平均数计算方法可得. （2）由原则可得参赛学生中成绩超过78分的概率，进而可得. 【详解】（1）由样本频率分布直方图得，样本平均数的估计值 （2）由题意所有参赛学生的成绩近似服从正态分布， 因，所以。   故参赛学生中成绩超过分的学生数为. 35．（22-23高二下·福建泉州·期末）为了切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，某高中学校计划优化课程，增加学生体育锻炼时间，提高体质健康水平，某体质监测中心抽取了该校10名学生进行体质测试，得到如下表格： 序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 成绩（分） 38 41 44 51 54 56 58 64 74 80 记这10名学生体质测试成绩的平均分与方差分别为，，经计算，． (1)求； (2)经统计，高中生体质测试成绩近似服从正态分布，用，的值分别作为，的近似值，若监测中心计划从全市抽查100名高中生进行体质测试，记这100名高中生的体质测试成绩恰好落在区间的人数为，求的数学期望． 附：若，则，，． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平均数的计算方法，即可求得答案； （2）确定体质测试成绩的方差，可确定学生的体质测试成绩恰好落在区间的概率，根据二项分布的均值公式，即可求得的数学期望. 【详解】（1）由题意得． （2）因为，故， 所以，． 因为， 所以学生的体质测试成绩恰好落在区间的概率约为0.9545， 故，所以． 变量间的相关关系 36．（23-24高二上·江西鹰潭·期末）关于的一组样本数据的散点图中，所有样本点均在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为（    ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 【答案】B 【分析】由题意得回归直线方程是，由此即可得解. 【详解】因为所有样本点都在直线上，所以回归直线方程是， 可得这两个变量是负相关，故这组样本数据的样本相关系数为负值， 且所有样本点都在直线上，则有相关系数. 故选：B. 37．（22-23高二下·河南许昌·期末）下图是某地区年月至年月每月最低气温与最高气温（）的折线统计图：已知每月最低气温与最高气温的线性相关系数，则下列结论正确的是（    ）    A．月温差（月最高气温－月最低气温）的最大值出现在月 B．每月最高气温与最低气温的平均值在月逐月增加 C．每月最低气温与最高气温有较强的线性相关性，且二者为线性负相关 D．月的月温差相对于月，波动性更小 【答案】B 【分析】计算各月的温差，可判断A选项；计算出月每月最高气温与最低气温的平均值，可判断B选项；根据线性相关系数可判断C选项；计算出月、月各月的月温差，可判断D选项. 【详解】对于A选项，年各月温差（单位：）如下表所示： 月份 温差 年各月温差（单位：）如下表所示： 月份 温差 因此，月温差（月最高气温月最低气温）的最大值出现在月，A错； 对于B选项，每月最高气温与最低气温的平均值在月分别为、、、、，逐月增加，B对； 对于C选项，因为，每月最低气温与最高气温有较强的线性相关性，且二者为正线性相关，C错； 对于D选项，由A中表格中的数据可知，月的月温差相对于月，波动性更大，D错. 故选：B. 38．（多选）（23-24高二上·辽宁沈阳·期末）对两个变量和进行回归分析，则下列结论正确的为（） A．回归直线至少会经过其中一个样本点 B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 C．建立两个回归模型，模型的相关系数，模型的相关系数，则模型的拟合度更好 D．以模型去拟合某组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则的值分别为 【答案】BD 【分析】根据回归方程、残差、相关系数、非线性回归等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，回归直线不一定经过样本点，A选项错误. B选项，残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，B选项正确. C选项，，所以模型的拟合度更好，C选项错误. D选项，由，得，D选项正确. 故选：BD 39．（多选）（22-23高二下·广东广州·期末）随机抽取家超市，得到其广告支出（万元）与销售额（万元）数据如下，则（    ） 超市 广告支出（万元） 1 2 4 6 10 14 20 销售额（万元） 19 32 44 40 52 53 54 A．销售额与广告支出正相关 B．销售额与广告支出的变化趋势相同，但广告支出超过万元后，销售额增加幅度变缓 C．销售额与广告支出线性相关越强，相关系数越接近 D．要得到销售额的预测值，模型比模型更可靠 【答案】ABD 【分析】作出散点图，由散点图可判断ABD选项；根据线性相关系数与线性相关关系的强弱可判断C选项. 【详解】对于A选项，作出散点图如下图所示：    由散点图可知，销售额与广告支出正相关，A对； 对于B选项，由散点图可知，销售额与广告支出的变化趋势相同， 但广告支出超过万元后，销售额增加幅度变缓，B对； 对于C选项，销售额与广告支出线性相关越强，相关系数的绝对值越接近，C错； 对于D选项，由散点图可知，随着的增大而增大，当时，销售额增加幅度变缓， 所以，要得到销售额的预测值，模型比模型更可靠，D对. 故选：ABD. 40. （20-21高二下·山东济南·期末）为调查某企业年利润（单位：万元）和它的年研究费用（单位：万元）的相关性，收集了5组成对数据，如下表所示： 1 2 3 4 5 50 60 70 80 100 由上表中数据求得关于的经验回归方程为，据此计算出样本点处的残差（残差观测值预测值）为 ． 【答案】 【分析】先计算样本中心点，进而得回归方程为，再计算残差即可. 【详解】解：因为， 所以， 所以关于的经验回归方程为 所以当时， 所以样本点处的残差为 故答案为： 线性与非线性回归方程 41．（23-24高二上·山东日照·期末）发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是应对气候变化推动绿色发展的战略举措．随着国务院《新能源汽车产业发展规划（2021—2035）》的发布，我国自主品牌汽车越来越具备竞争力．国产某品牌汽车对市场进行调研，统计了该品牌新能源汽车在某城市年前几个月的销售量（单位：辆），用表示第月份该市汽车的销售量，得到如下统计表格： 1 2 3 4 5 6 7 28 32 37 45 47 52 60 (1)经研究，、满足线性相关关系，求关于的线性回归方程，并根据此方程预测该店月份的成交量（、按四舍五入精确到整数）； (2)该市某店为感谢客户，决定针对该品牌的汽车成交客户开展抽奖活动，设“一等奖”、“二等奖”和“祝您平安”三种奖项，“一等奖”奖励千元；“二等奖”奖励千元；“祝您平安”奖励纪念品一份．在一次抽奖活动中获得“二等奖”的概率为，获得一份纪念品的概率为，现有甲、乙两个客户参与抽奖活动，假设他们是否中奖相互独立，求此二人所获奖金总额（千元）的分布列及数学期望． 参考数据及公式：，，． 【答案】(1)，预测该店月份的成交量为辆 (2)分布列见解析， 【分析】 （1）计算出、的值，可求出，利用最小二乘法求出、的值，可得出回归直线方程，再将代入回归方程即可得出店月份的成交量的预测值； （2）由题意可知，随机变量的可能取值有、、、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值. 【详解】（1） 解：由题意可得，， ， ，， 故线性回归方程为， 当时，，故预计月份的成交量为辆． （2） 解：由题意可得，获得“一等奖”的概率为， 的所有可能取值为、、、、、， ，， ，， ，， 故的分布列为： 故. 42．（23-24高二上·江西新余·期末）某地政府为解除空巢老人日常护理和社会照料的困境，大力培育发展养老护理服务市场．从年开始新建社区养老机构，下表为该地区近年新建社区养老机构的数量对照表． 年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 年份代码 1 2 3 4 5 6 7 新建社区养老机构 (1)若该地区参与社区养老的老人的年龄近似服从正态分布，其中年龄的有人，试估计该地参与社区养老的老人有多少？（结果按四舍五入取整数） (2)已知变量与之间的样本相关系数，请求出关于的线性回归方程，并据此估计年时，该地区新建社区养老机构的数量．（结果按四舍五入取整数） 参考公式与数据：①，.； ②若随机变量，则，，； ③，. 【答案】(1)约为人 (2)回归方程为；约为个. 【分析】（1）利用原则求出的值，即可求得该地参与社区养老的老人人数为； （2）计算出的值，可求出的值，可求得的值，利用参考数据可求得的值，由此可得出回归直线方程，然后将代入回归直线方程可得结果. 【详解】（1）解：由题意可知，，，则，， 所以， ， 所以，估计该地参与社区养老的老人人数为. （2）解：由表格中的数据可得， 所以，， 由已知条件可得， 所以，， 所以，， 又因为， 显然，解得，则， 所以，关于的回归直线方程为， 当时，. 估计年时，该地区新建社区养老机构的数量约为个. 43．（22-23高二上·四川攀枝花·期末）攀枝花属于亚热带季风气候区，水果种类丰富．其中，“红格脐橙”已经“中华人民共和国农业部2010年第1364号公告”予以登记，根据其种植规模与以往的种植经验，产自该果园的单个“红格脐橙”的果径（最大横切面直径，单位：）在正常环境下服从正态分布． (1)一顾客购买了10个该果园的“红格脐橙”，求会买到果径小于的概率； (2)为了提高利润，该果园每年投入一定的资金，对种植、采摘、包装、宣传等环节进行改进．如图是2013年至2022年（单位：万元）与年利润增量y（单位：万元）的散点图：      该果园为了预测2023年投资金额为20万元时的年利润增量，建立了关于的两个回归模型； 模型①：由最小二乘公式可求得与的线性回归方程：； 模型②：由图中样本点的分布，可以认为样本点集中在曲线：的附近．对投资金额做交换，令，且有，，，． （ⅰ）根据所给的统计量，求模型②中关于的回归方程； （ⅱ）根据下列表格中的数据，比较两种模型的相关指数R2，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测投资金额为20万元时的年利润增量（结果保留两位小数）． 回归模型 模型① 模型② 回归方程 102.28 36.19 附：若随机变量，则，； 样本（）的最小二乘估计公式为，； 相关指数． 参考数据：，，，． 【答案】(1)； (2)（ⅰ）；（ⅱ）模型②刻画的拟合效果更好，当时，模型②的年利润增量的预测值为万元． 【分析】（1）由正态分布的对称性结合法则求解； （2）（ⅰ）由已知数据利用最小二乘法求解模型②中关于的回归方程； （ⅱ）由已知表格中的数据，可得模型①的小于模型②，说明模型②刻画的拟合效果更好，再由（ⅰ）中求得线性回归方程求解． 【详解】（1）由题意，，， 由正态分布曲线的对称性可知， ． 设一顾客购买了10个该果园的“红格脐橙”， 其中果径小于的有个，， 故， ∴一顾客购买了10个该果园的“红格脐橙”，会买到果径小于的概率为； （2）（ⅰ）由题中所给数据，可得，， ，． ∴模型②中关于的线性回归方程为； （ⅱ）由表格中的数据，有，即， ∴模型①的小于模型②，说明模型②刻画的拟合效果更好． 当时，模型②的年利润增量的预测值为： 万元． 44．（22-23高二下·江西吉安·期末）某乡镇为了提高乡镇居民收入，对山区进行大面积指导农民种植黄茋、党参、当归等药材，同时在种植药材附近种植草，让牛羊吃，发展畜牧业，第二年将种植药材的地改种草让牛羊吃，将牛羊吃过的草地改种药材，这样药材的生长主要依靠牛羊等有机肥来供给，提高药效，同时增加农民的经济收入.现将该乡镇某农户近7年（2016-2022年对应年份代码1-7）的种植药材的收入金额绘成折线图，同时统计出相关数据：，，，，. (1)根据图中所给出的折线图，判断和哪一个更适合作为回归模型；（给出判断即可，不必说明理由） (2)求相关系数（保留两位小数）并求药材种植收入关于年份代码的回归直线方程； (3)若在生物学上将在药材附近同时种植草称作间作，将药材和草每年轮流种植称作轮作，根据题目所给信息，分析这两种种植方式对当地居民收入的影响. 附：相关系数，回归直线方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. 【答案】(1) (2)， (3)答案见解析 【分析】（1）根据折线图作出判断即可； （2）根据相关系数公式计算可得，根据公式计算和可得回归直线方程； （3）①间作：从土地的利用率和居民收入最大化进行分析；②轮作：从提高乡镇居民收入和提高土地的生态效益和经济效益进行分析. 【详解】（1）因为折线图更接近直线，所以更适合作为回归模型. （2）， ， 相关系数 ， 根据题意，可得， ，. 种植药材收入金额关于年份代码的回归直线方程为. （3）（答案不唯一，合理即可）①间作：药材和草的间作一方面可以同时发展畜牧业来增加居民收入，另一方面可以实现土地的利用率，实现单位面积内经济效益的最大化； ②轮作：一方面牛羊粪等有机肥可以用来供给药材的生长从而提高乡镇居民收入，另一方面可以调节土壤的肥沃能力，形成良性循环，进一步提高土地的生态效益和经济效益. 45．（22-23高二下·安徽滁州·期末）“绿色出行，低碳环保”已成为新的时尚，近几年国家相继出台了一系列的环保政策，在汽车行业提出了重点扶持新能源汽车的政策，为新能源汽车行业的发展开辟了广阔的前景．某公司对电动汽车进行生产投资，所获得的利润有如下统计数据： 年代 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 年份代码 1 2 3 4 5 6 7 利润（单位：百万元） 29 33 36 44 48 52 59 (1)请用相关系数说明：能用线性回归模型拟合与的关系（精确到0.01）； (2)建立关于的回归方程，预测2024年该公司所获得的利润． 参考数据：；；；；． 参考公式：相关系数； 回归方程中，，． 【答案】(1)答案见解析 (2)，百万元 【分析】（1）首先求出，，再结合所给参考数据求出相关系数，即可得解； （2）求出、即可得到回归直线方程，再将代入计算可得. 【详解】（1）已知，， 所以， ， 所以， 所以说明与的线性相关程度很强，则能用线性回归模型模拟与的关系； （2）由（1）知， 所以， 则， 因为当时，其表示2016年， 所以当时，其表示年，则 （百万元）， 即预计年该公司所获得的利润为百万元． 列联表与独立性检验 46．（22-23高二下·陕西榆林·期末）某学校共有1000名学生参加“一带一路”知识竞赛，其中男生400人，为了解该校学生在知识竞赛中的情况，采用分层随机抽样的方法抽取了100名学生进行调查，分数分布在450分～950分之间，将分数不低于750分的学生称为“高分选手”.已知样本中“高分选手”有25人，其中女生有10人. (1)试完成下面列联表； 属于“高分选手” 不属于“高分选手” 合计 男生 女生 合计 (2)判断是否有97.5%的把握认为该校学生属于“高分选手”与“性别”有关？ 参考公式：，其中. 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)列联表见解析 (2)有 【分析】（1）根据题意，直接列出列联表即可； （2）计算，根据临界值作出结论. 【详解】（1）由题可知，样本中男生40人，女生60人，属于“高分选手”的有25人，其中女生10人，得出以下列联表： 属于“高分选手” 不属于“高分选手” 合计 男生 15 25 40 女生 10 50 60 合计 25 75 100 （2）∵， ∴有97.5%的把握认为该校学生属于“高分选手”与“性别”有关. 47．（2024·黑龙江吉林·二模）恰逢盛世，风调雨顺.某稻米产地今秋获得大丰收，为促进当地某品牌大米销售，甲、乙两位驻村干部通过直播宣传销售所驻村生产的该品牌大米.通过在某时段100名顾客在观看直播后选择在甲、乙两位驻村干部的直播间（下简称甲直播间、乙直播间）购买的情况进行调查（假定每人只在一个直播间购买大米），得到以下数据： 网民类型 在直播间购买大米的情况 合计 在甲直播间购买 在乙直播间购买 本地区网民 50 5 55 外地区网民 30 15 45 合计 80 20 100 (1)依据小概率值的独立性检验，能否认为网民选择在甲、乙直播间购买大米与网民所处地区有关； (2)用样本分布的频率分布估计总体分布的概率，若共有名网民在甲、乙直播间购买大米，且网民选择在甲、乙两个直播间购买大米互不影响，记其中在甲直播间购买大米的网民数为X，求使事件“”的概率取最大值时k的值. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 【答案】(1)能认为网民选择在甲、乙直播间购买大米与网民所处地区有关 (2) 【分析】（1）根据列联表信息，计算出的观测值，结合临界值表可得出结论； （2）根据二项分布求出在甲直播间购买大米的网民人数为的概率，利用作商法判断概率的大小即可得解. 【详解】（1）提出零假设：网民选择在甲、乙直播间购买大米与网民所处地区没有关联， 经计算得， 依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为网民选择在甲、乙直播间购买大米与网民所处地区有关联. （2）利用样本分布的频率估计总体分布的概率， 可知网民选择在甲直播间购买夏橙的概率为， 则，记，， 则， 则问题等价于求当取何值时取最大值， 因为，， 又， 所以当时，； 当时，； 当时，； 所以， ， 所以当时，取最大值， 即使事件“”的概率取最大值的的值为. 【点睛】关键点点睛：本题第2小问解决的关键是，借助参数，，简化了计算，从而得解. 48．（23-24高二上·江西·期末）时下流行的直播带货与主播的学历层次有某些相关性，某调查小组就两者的关系进行调查，从网红的直播中得到容量为200的样本，将所得直播带货和主播的学历层次的样本观测数据整理如下： 直播带货评级主播的学历层次 优秀 良好 合计 本科及以上 60 40 100 专科及以下 30 70 100 合计 90 110 200 (1)是否有的把握认为直播带货的评级与主播的学历层次有关联？ (2)统计学中常用表示在事件条件下事件发生的优势，称为似然比，当时，我们认为事件条件下发生有优势．现从这200人中任选1人，表示“选到的主播带货良好”，表示“选到的主播学历层次为专科及以下”，请利用样本数据，估计的值，并判断事件条件下发生是否有优势； (3)现从主播学历层次为本科及以上的样本中，按分层抽样的方法选出5人组成一个小组，从抽取的5人中再抽取3人参加主播培训，求这3人中，主播带货优秀的人数的概率分布和数学期望． 附：，． 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)有 (2)，在事件条件下发生有优势 (3)分布列见解析， 【分析】（1）根据公式可求的值，结合临界值表可判断是否有的把握认为直播带货的评级与主播的学历层次有关联． （2）根据条件概率公式可求，据此值可判断在事件条件下发生有优势. （3）利用超几何分布可求的分布列，根据公式可求其期望. 【详解】（1）由题意得． 由于，所以有的把握认为直播带货的评级与主播的学历层次有关联． （2）， 因为，所以认为在事件条件下发生有优势． （3）按照分层抽样，直播带货优秀的有3人，直播带货良好的有2人， 随机变量的可能取值为1，2，3， ， ， ， 所以的分布列为： X 1 2 3 P 所以数学期望． 49．（22-23高二下·陕西宝鸡·期末）根据5月份中国某信息网发布的我市某品牌人群用户（指在指定周期内浏览品牌相关内容以及商品详情页的人群）性别分析数据，为了做好新数据的分析，现按照性别对喜欢与否作抽样调查，随机抽取了100名用户，相关数据统计如下表所示： 喜欢 不喜欢 男性 13 27 女性 42 18 (1)用分层抽样方法在不喜欢的用户中随机抽取5名，则女性用户应该抽取几名？ (2)在上述抽取的5名用户中任取2名参加座谈会，求恰有1名男性用户的概率； (3)试判断是否有99%的把握认为，用户喜欢与否与性别有关？ 参考公式：，其中. 参考数据： 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 【答案】(1)2 (2) (3)有99%的把握认为，用户喜欢与否与性别有关 【分析】（1）利用分层抽样的计算公式进行求解； （2）结合（1）中数据，利用古典概型概率公式求解； （3）结合题中数据和公式，算出，然后得出结论. 【详解】（1）用分层抽样方法在不喜欢的用户中随机抽取5名， 则女性用户应该抽取名； （2）由（1）得5人中男性用户3人，记作1，2，3，女性用户2人，A，B， 选取两人参加座谈会，有，，，，，，，，，，共10种情况， 其中恰有1名男性用户的有，，，，，，共6种情况， 根据古典概型概率公式得，恰有1名男性用户的概率. （3）根据题目所给数据得到如下的列联表： 喜欢 不喜欢 总计 男性 女性 总计 ， 所以有99%的把握认为，用户喜欢与否与性别有关. 50．（22-23高二下·山东威海·期末）某大学在一次调查学生是否有自主创业打算的活动中，获得了如下数据. 男生/人 女生/人 有自主创业打算 无自主创业打算 (1)若，，根据调查数据判断，是否有的把握认为该校学生有无自主创业打算与性别有关； (2)若，，从这些学生中随机抽取一人. （ⅰ）若已知抽到的人有自主创业打算，求该学生是男生的概率； （ⅱ）判断“抽到的人无自主创业打算”与“抽到的人是男生”是否独立. 附： . 【答案】(1)有的把握认为该校学生有无自主创业打算与性别有关 (2)（ⅰ）；（ⅱ）“抽到的人无自主创业打算”与“抽到的人是男生”独立. 【分析】（1）计算卡方，与6.635比较后得到结论； （2）（ⅰ）设出事件，利用条件概率公式进行求解； （ⅱ）法一：计算出，得到结论；法二：计算出，得到结论；法三：计算得到，得到结论；法四：计算出卡方为0，从而得到结论. 【详解】（1）， 所以有的把握认为该校学生有无自主创业打算与性别有关 （2）（ⅰ）记为“抽到的人有自主创业打算”，为“抽到的人是男生”. ，， 所以(或). （ⅱ）记为“抽到的人无自主创业打算”，为“抽到的人是男生”， 法一：，又，所以， 所以“抽到的人无自主创业打算”与“抽到的人是男生”独立.            法二：，又，所以， 所以“抽到的人无自主创业打算”与“抽到的人是男生”独立. 法三：，， ，所以，所以， 所以“抽到的人无自主创业打算”与“抽到的人是男生”独立. 法四：， 所以该校学生有无自主创业打算与性别无关， 所以“抽到的人无自主创业打算”与“抽到的人是男生”独立. 51．（多选）（22-23高二下·浙江宁波·期末）一个不透明的袋子中装有大小形状完全相同的红、黄、蓝三种颜色的小球各一个，每次从袋子中随机摸出一个小球，记录颜色后放回，当三种颜色的小球均被摸出过时就停止摸球.设“第i次摸到红球”，“第i次摸到黄球”，“第i次摸到蓝球”，“摸完第i次球后就停止摸球”，则（    ） A． B． C．， D．， 【答案】ACD 【分析】对选项AC，求出包含的事件数为，从而得到，并计算出；选项B，计算出，，利用条件概率公式计算出答案，选项D，得出，，和，，利用条件概率公式得到答案. 【详解】对于AC，“摸完第n次球后就停止摸球”，有放回的摸n次，有种可能，若恰好摸球n次就停止摸球，则恰好第n次三种颜色都被摸到，即前次摸到2种颜色，第n次摸到第三种颜色，共种情况， 则，，，AC正确； 对于B，事件表示第一次摸到红球，摸到第4次，摸球结束， 若第2次或第3次摸到的球为红球，此时有种情况，不妨设第2次摸到的球为红球， 则第3次和第4次摸到的球为蓝球或黄球，有2种可能，故有种情况， 若第2次和第3次都没有摸到红球，则第2次和第3次摸到的球颜色相同，第4次摸到的球和第2,3次摸到的球颜色不同，故有种情况， 故，其中摸4次球可能的情况有种，故， 其中，故，B错误； 对于D，表示“第次摸到蓝球，第次摸到黄球，第次摸到红球，停止摸球”，则前次摸到的球是蓝球或黄球，故有种可能，故，， 表示“在前次摸球中，第次摸到蓝球，第次摸到黄球”，故有种可能， 故，，则，，D正确. 故选：ACD 【点睛】 常见的条件概率处理方法，其一是用样本点数的比值处理，需要弄情况事件包含的样本点数，其二是用概率的比值处理，也可以缩小样本空间，从而确定概率，解决实际问题的关键在于分析情况基本事件. 52．（多选）（23-24高二上·湖北恩施·期中）已知互不相同的30个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，设剩下的28个样本数据的方差为，平均数为;去掉的两个数据的方差为，平均数为﹔原样本数据的方差为，平均数为，若=，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．剩下28个数据的中位数大于原样本数据的中位数 D．剩下28个数据的22%分位数不等于原样本数据的22%分位数 【答案】ABD 【分析】对于A选项，求出剩下的28个样本数据的和、去掉的两个数据和、原样本数据和，列出方程即可； 对于B选项，写出和的表达式即可； 对于C选项，根据中位数定义判断即可； 对于D选项，根据分位数定义判断即可. 【详解】A. 剩下的28个样本数据的和为，去掉的两个数据和为，原样本数据和为，所以，因为=，所以 ，故A选项正确； B.设，， 因为，所以，所以， 所以，故B选项正确； C. 剩下28个数据的中位数等于原样本数据的中位数，故C选项错误； D. ，所以原数据的22%分位数为从小到大的第7个； ，所以剩下28个数据的22%分位数为从小到大的第7个； 因为去掉了最小值，则剩下28个数据的22%分位数不等于原样本数据的22%分位数，故D正确. 故选：ABD. 53．（22-23高二下·河北张家口·期末）已知离散型随机事件A，B发生的概率，，若，事件，，分别表示A，B不发生和至少有一个发生，则 ， . 【答案】 0.8/ 0.6/ 【分析】空1，空2：利用条件概率公式结合韦恩图计算即可. 【详解】由题意得， ， ， ， 故答案为：0.8；0.6.    54．（23-24高二上·山东日照·期末）普法宣传教育是依法治国、建设法治社会的重要内容，也是构建社会主义和谐社会的应有之意．为加强对学生的普法教育，某校将举办一次普法知识竞赛，共进行5轮比赛，每轮比赛结果互不影响．比赛规则如下：题库中有法律文书题和案例分析题两类问题，每道题满分10分．每一轮比赛中，参赛者在30分钟内完成法律文书题和案例分析题各2道，若有不少于3道题得分超过8分，将获得“优胜奖”，5轮比赛中，至少获得4次“优胜奖”的同学将进入决赛．甲同学经历多次限时模拟训练，指导老师从训练题库中随机抽取法律文书题和案例分析题各5道，其中有4道法律文书题和3道案例分析题得分超过8分． (1)从这10道题目中，随机抽取法律文书题和案例分析题各2道，求该同学在一轮比赛中获“优胜奖”的概率； (2)将上述两类题目得分超过8分的频率作为概率．为提高甲同学的参赛成绩，指导老师对该同学进行赛前强化训练，使得法律文书题和案例分析题得分超过8分的概率共增加了，以获得“优胜奖”的次数期望为参考，试预测该同学能否进入决赛． 【答案】(1) (2)该同学没有希望进入决赛 【分析】 （1）由题意分析出超过8分的题型，求出对应的概率，相加即可求解； （2）设强化训练后法律文书题超过8分的概率为，案例分析题的为，则，求得强化训练后该同学某一轮可获得“优胜奖”的概率为，结合二次函数的性质求得，令，利用换元法可得，由二次函数的性质和二项分布的数学期望计算公式可得，即可下结论. 【详解】（1） 由题可知，所有可能的情况有： ①超过8分的是1道法律文书题，2道案例分析题，， ②超过8分的是2道法律文书题，1道案例分析题，， ③超过8分的是2道法律文书题，2道案例分析题，， 故所求的概率； （2） 设强化训练后，法律文书题超过8分的概率为，案例分析题超过8分的概率为， 则， 由已知可得，强化训练后该同学某一轮可获得“优胜奖”的概率为： ， ，且，，即，， 则，， 故可得：，， ， ， 令，则在上单调递减， ． 该同学在5轮比赛中获得“优胜奖”的次数， ， 故该同学没有希望进入决赛． 55．（23-24高二上·辽宁抚顺·期末）11月29日，辽宁省政府新闻办召开“山海有情 天辽地宁”冰雪主题系列首场现场新闻发布会，该会重点介绍今年沈阳市深入开展冰雪旅游､冰雪运动､冰雪文化的主要举措､重点活动和亮点特色.某冰雪乐园计划推出冰雪优惠活动，发放冰雪消费券.该冰雪乐园计划通过摸球兄奖的方式对1000位顾客发放消费券，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸取2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获得的消费券的总额. (1)若袋中所装的4个球中1个所标的面值为30元，其余3个均为20元，求顾客所获得的消费券的总额为50元的概率. (2)该冰雪乐园对消费券总额的预算是100000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值40元､60元的2种球组成，或由标有面值30元､50元､70元的3种球组成.为了使顾客得到的消费券总额的期望符合该冰雪乐园的预算且每位顾客所获得的消费券的总额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计方案，并说明理由. 【答案】(1) (2)选择方案1，理由见解析 【分析】（1）先求得4个标有面值的球的袋中一次性随机摸取2个球和顾客获得的消费券的总额为50元的种数，利用古典概型的概率求解； （2）根据每个顾客的平均奖励额为100元，所以先寻找期望为100元的可能方案，对于面值由40元､60元组成的情况，分，的两种方案，对于面值由30元､50元､70元组成的情况：分，，三种方案，然后利用离散型随机变量的期望求解. 【详解】（1）解：顾客所获得的消费券的总额为50元的概率为. （2）根据该冰雪乐园的预算，每个顾客的平均奖励额为100元，所以先寻找期望为100元的可能方案. 对于面值由40元､60元组成的情况： 如果选择的方案，因为100元是面值之和的最大值，所以期望不可能为100元； 如果选择的方案，因为100元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为100元； 因此可能的方案是，记为方案1. 方案1，设每位顾客所获得的消费券的总额为，则的取值范围是， ， 则. 对于面值由30元､50元､70元组成的情况： 可能的方案是，，分别记为方案2，方案3，方案4. 易知方案2，方案3，方案4每位顾客所获得的消费券的总额的期望依次增大，所以先研究方案3. 方案3，设每位顾客所获得的消费券的总额为，则的取值范围是，，则. 所以在方案2，方案3，方案4中，方案3符合该冰雪乐园的预算. 因为，所以比较方案1，方案3的方差. ， . 因为， 所以选择方案1，即这4个球的面值为40元､40元､60元､60元. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$