专题05选择性必修三+选择性必修四期末考点汇总（12题型）【好题汇编】-备战2023-2024学年高二数学下学期期末真题分类汇编（人教B版2019选择性必修第三册）

专题05选择性必修三+选择性必修四期末考点汇总（12题型） 排列组合问题 1．（23-24高二上·江西萍乡·期末）有7种不同的颜色给下图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，且相邻的两个格子颜色不能相同，若最多使用3种颜色，则不同的涂色方法种数为（    ） A．462 B．630 C．672 D．882 2．（23-24高二上·河南南阳·期末）南阳市博物院为国家二级博物馆，是豫西南最大的地方综合性博物馆、文化新地标，是展示南阳悠久历史和灿烂文化的重要窗口.南阳市博物院每周一闭馆（节假日除外）.某学校计划于2024年3月4日（周一）——3月10日（周日）组织高一、高二、高三年级的同学去南阳市博物院参观研学，每天只能有一个年级参观，其中高一年级需要连续两天，高二、高三年级各需要一天，则不同的方案有（    ） A．20种 B．50种 C．60种 D．100种 3．（21-22高二下·全国·期末）纪老师与甲、乙等8名学生毕业合照，要求照相时师生站成一排，纪老师必须站在正中间，则乙与纪老师相邻，而甲不站在排头排尾的概率为 ． 4．（23-24高二上·山东青岛·期末）一排有个座位，如果每个座位只能坐人，现安排四人就座，恰有两个空位相邻的不同坐法有 种用数字作答． 5．（23-24高二上·江西萍乡·期末）将6名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排两名学生，不同的分配方案有 种．（用数字作答） 二项式定理与杨辉三角 6．（23-24高二下·江苏·期中）设，展开式中二项式系数的最大值为x，展开式中二项式系数的最大值为y，若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．（22-23高二下·上海松江·期末）若的展开式中各项系数之和为，则第四项与第五项的系数之比为（    ） A． B． C． D． 8．（21-22高二下·全国·期末）的展开式中常数项为（    ） A．120 B． C．180 D． 9．（22-23高二上·福建福州·期末）若，则 . 10．（多选）（23-24高二上·山东青岛·期末）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究．则下列结论正确的是（    ） A．第6行、第7行、第8行的第7个数之和为第9行的第8个数 B． C．第2020行的第1010个数最大 D．第12行中从左到右第2个数与第3个数之比为 条件概率与全概率公式 11．（21-22高二上·北京·期末）抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记两次的点数均为偶数，两次的点数之和为8，则（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高二上·江西萍乡·期末）某一地区患有癌症的人占0.05，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.9，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.05.现抽查了一个人，试验反应是阳性，则此人是癌症患者的概率为（    ） A． B． C． D． 13. （23-24高二上·河南驻马店·期末）中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设空间站要安排甲、乙、丙、丁4名航天员开展实验，每名航天员只能去一个舱，每个舱至少安排一个人，则甲被安排在天和核心舱的条件下，乙也被安排在天和核心舱的概率为 ． 14．（多选）（20-21高二下·江苏无锡·期末）甲盒中有3个红球和2个白球，乙盒中有2个红球和3个白球．先从甲盒中随机取出一球放入乙盒，用事件表示“从甲盒中取出的是红球”；用事件表示“从甲盒中取出的是白球”，再从乙盒中随机取出一球，用事件表示“从乙盒中取出的是红球”，则下列结论中正确的是（　　） A．事件与是互斥事件 B．事件与事件不相互独立 C． D． 15．（23-24高二上·辽宁朝阳·期末）新高考模式下，“3+1+2”中“3”是数学、语文、外语三个必选的主科，“1”是物理、历史二选一，“2”是在地理、生物、化学、政治中选两科.已知某校高二学生中有的学生选择物理，剩余的选择历史，选择物理和历史的学生中选择地理的概率分别是和，则从该校高二学生中任选一人，这名学生选择地理的概率为 . 随机变量的数字特征 16．（23-24高二上·江西·期末）设随机变量，若，则的最大值为（    ） A．4 B．3 C． D． 17．（多选）（23-24高二上·江西·期末）设离散型随机变量的分布列为： 0 1 2 3 0.4 0.3 0.2 若离散型随机变量满足，则（    ） A． B． C． D． 18．（23-24高二上·北京昌平·期末）某网站为研究新闻点击量的变化情况，收集得到了该网站连续30天的新闻点击量变化数据，如下表所示.在描述新闻点击量变化时，用“↑”表示“上涨”，即当天新闻点击量比前一天新闻点击量高；用“↓”表示“下降”，即当天新闻点击量比前一天新闻点击量低；用“－”表示“不变”，即当天新闻点击量与前一天新闻点击量相同. 时段 新闻点击量 第1天到第15天 ↑ - ↑ ↓ ↑ - ↓ ↑ - ↓ ↑ ↓ - ↓ ↓ 第16天到第30天 - ↑ - ↑ - ↑ ↓ ↑ ↓ ↑ - ↓ ↑ ↓ ↑ 用频率估计概率. (1)试估计该网站新闻点击量“下降”的概率； (2)从样本中的前15天和后15天中各随机抽取1天，记表示其中该网站新闻点击量“上涨”的天数，求的分布列和数学期望； (3)从样本给出的30天中任取1天，用“”表示该天新闻点击量“上涨”，“”表示该天新闻点击量“下降”或“不变”，然后继续统计接下来的10天的新闻点击量，其中有6天“上涨”、3天“下降”、1天“不变”，相应地，从这40天中任取1天，用“”表示该天新闻点击量“上涨”，“”表示该天新闻点击量“下降”或“不变”，直接写出方差，大小关系. 19．（23-24高二上·海南海口·期末）某果园种植了甲、乙两种蜜桔品种，为给该果园制定蜜桔销售计划，对蜜桔产量进行了预估，从甲、乙两种蜜桔中分别采摘了个进行单个称重，其质量（单位：克）分布在区间，，，，上，并将数据进行汇总整理，得到甲、乙两种蜜桔质量的频率分布直方图如图所示同一组数据用该区间的中点值作代表． (1)试分别计算甲、乙两种蜜桔质量的样本平均数和中位数，并针对这两种蜜桔的质量情况写出两条统计结论． (2)视频率为概率，已知该果园乙种蜜桔树上大约有万个蜜桔等待出售，某水果批发商提出了两种收购方案： 方案一：所有蜜桔均以元千克收购； 方案二：质量适中的蜜桔深受消费者青睐，该批发商建议低于克的蜜桔以元千克收购，不低于克的蜜桔以元千克收购，其他蜜桔以元千克收购． 请你通过计算判断哪种收购方案能使该果园收益最大． (3)现采用不放回抽取的方法从甲种蜜桔中随机逐个抽取，直到抽到的蜜桔的质量在区间内或抽取了个为止，设抽取的蜜桔个数为，求随机变量的数学期望（结果精确到个位）． 20．（22-23高二下·广东肇庆·期末）浙江省是第一批新高考改革省份，取消文理分科，变成必考科目和选考科目．其中必考科目是语文、数学、外语，选考科目由考生在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术7个科目中自主选择其中3个科目参加等级性考试．为了调查学生对物理、化学、生物的选考情况，从镇海中学高三在物理、化学、生物三个科目中至少选考一科的学生中随机抽取100名学生进行调查，他们选考物理、化学、生物的科目数及人数统计如表： 选考物理、化学、生物的科目数 1 2 3 人数 20 40 40 (1)从这100名学生中任选2名，求他们选考物理、化学、生物科目数相等的概率； (2)从这100名学生中任选2名，记X表示这2名学生选考物理、化学、生物的科目数之差的绝对值，求随机变量X的数学期望； 二项分布与超几何分布 21. （21-22高二下·全国·期末）在某诗词大会的“个人追逐赛”环节中，参赛选手应从8个不同的题目中随机抽取3个题目进行作答．已知这8个题目中，选手甲只能正确作答其中的6个，而选手乙正确作答每个题目的概率均为0.8，且甲、乙两位选手对每个题目作答都是相互独立的． (1)求选手甲恰好正确作答2个题目的概率； (2)记选手乙正确作答的题目个数为X，求X的分布列和数学期望； (3)如果在抽取的3个题目中答对2个题目就可以晋级，你认为甲、乙两位选手谁晋级的可能性更大？请说明理由． 22. （23-24高二上·江西南昌·期末）“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学学科夏令营活动． (1)若数学组的7名学员中恰有3人来自中学，从这7名学员中选取3人，表示选取的人中来自中学的人数，求的分布列和数学期望： (2)在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利．已知甲、乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为，且，假设每轮答题结果互不影响，如果甲、乙两位同学想在此次答题活动中取得6轮胜利，那么理论上至少要参加多少轮竞赛？ 23. （22-23高二下·天津和平·期末）宿州号称“中国云都”，拥有华东最大的云计算数据中心、CG动画集群渲染基地，是继北京、上海、合肥、济南之后的全国第5家量子通信节点城市．为了统计智算中心的算力，先从全市n个大型机房和5个小型机房中随机抽取若干机房进行算力分析，若一次抽取2个机房，全是小型机房的概率为． (1)求n的值； (2)若一次抽取3个机房，假设抽取的小型机房的个数为，求的分布列和数学期望． 24. （22-23高二下·陕西西安·期末）某学校共有1000名学生参加知识竞赛，其中男生500人，为了解该校学生在知识竞赛中的情况，采取分层抽样随机抽取了100名学生进行调查，分数分布在分之间，根据调查的结果绘制的学生分数频率分布直方图如图所示：将分数不低于750分的学生称为“高分选手”.    (1)求的值，并估计该校学生分数的平均数、中位数和众数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)现采用分层抽样的方式从分数落在，内的两组学生中抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记被抽取的3名学生中属于“高分选手”的学生人数为随机变量，求的分布列及数学期望. 25. （23-24高二上·陕西西安·期末）某种植户对一块地的个坑进行播种，每个坑播粒种子，每粒种子发芽的概率均为，且每粒种子是否发芽相互独立，对每一个坑而言，如果至少有两粒种子发芽，则不需要进行补播种，否则要补播种. (1)从 个坑中选两个坑进行观察，两坑不能相邻，有多少种方案？ (2)对于单独一个坑，需要补播种的概率是多少？ (3)当 取何值时，有3个坑要补播种的概率最大？最大概率为多少？ 正态分布 26. （23-24高二上·河南·期末）某地区有10000名考生参加了高三模拟调研考试.经过数据分析，数学成绩近似服从正态分布，则数学成绩位于的人数约为（    ） 参考数据：， A．455 B．1359 C．3346 D．1045 27. （21-22高二下·全国·期末）某班有40名学生，一次考试后数学成绩，若，则估计该班学生数学成绩不超过120分的人数为 . 28. （22-23高二下·山西大同·期末）十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康.经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也逐年增加，为了制定提升农民收入力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2019年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图：    (1)根据频率分布直方图，估计50位农民的年平均收入（单位：千元）（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）； (2)由频率分布直方图，可以认为该贫困地区农民收入X服从正态分布，其中近似为年平均收入，近似为样本方差，经计算得，利用该正态分布，求： ①在扶贫攻坚工作中，若使该地区约有84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？ ②为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了1000位农民.若每位农民的年收入互相独立，记这1000位农民中的年收入高于千元的人数为，求. 附参考数据：， 若随机变量X服从正态分布，则 ， ， . 29. （22-23高二下·福建龙岩·期末）第22届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在我国杭州举行．为了让中学生了解亚运会，某市举办了一次亚运会知识竞赛，分预赛和复赛两个环节，现从参加预赛的全体学生中随机抽取100人的预赛成绩作为样本，得到频率分布表（见表）． 分组（百分制） 频数 频率 10 0.1 20 0.2 30 0.3 25 0.25 15 0.15 合计 100 1 (1)由频率分布表可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩X服从正态分布，其中可近似为样本中的100名学生预赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且．利用该正态分布，求； (2)预赛成绩不低于80分的学生将参加复赛，现用样本估计总体，将频率视为概率．从该市参加预赛的学生中随机抽取2人，记进入复赛的人数为Y，求Y的概率分布列和数学期望． 附：若，则，，；． 30. （22-23高二下·河北唐山·期末）《中国制造2025》是经国务院总理李克强签批，由国务院于2015年5月印发的部署全面推进实施制造强国的战略文件，是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领．制造业是国民经济的主体，是立国之本、兴国之器、强国之基.发展制造业的基本方针为质量为先，坚持把质量作为建设制造强国的生命线.某制造企业根据长期检测结果，发现生产的产品质量与生产标准的质量差都服从正态分布，并把质量差在内的产品为优等品，质量差在内的产品为一等品，其余范围内的产品作为废品处理，优等品与一等品统称为正品．现分别从该企业生产的正品中随机抽取1000件，测得产品质量差的样本数据统计如下：    (1)根据频率分布直方图，求样本平均数； (2)根据大量的产品检测数据，检查样本数据的方差的近似值为100，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差s作为的估计值，求该厂生产的产品为正品的概率.（同一组中的数据用该组区间的中点值代表） [参考数据：若随机变量服从正态分布，则：，，. (3)假如企业包装时要求把3件优等品和4件一等品装在同一个箱子中，质检员每次从箱子中摸出三件产品进行检验，记摸出三件产品中优等品的件数为X，求X的分布列以及期望值. 线性与非线性回归方程 31．（23-24高二上·江苏常州·期末）某公司为了解年研发资金投入量（单位：亿元）对年销售额（单位：亿元）的影响.对公司近12年的年研发资金投入量和年销售额的数据，进行了对比分析，建立了两个模型：①，②，其中，，，均为常数，为自然对数的底数，并得到一些统计量的值.令，，（，，，…，），经计算得如下数据： (1)请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好？ (2)根据（1）的分析及表中数据，求关于的回归方程. 附：（1）相关系数；（2）线性回归方程中，的计算公式分别为：，. 32．（23-24高二上·江西赣州·期末）大气污染物（直径不大于2.5的颗粒物）的浓度超过一定限度会影响人的身体健康．为研究浓度y（单位：）与汽车流量x（单位：千辆）的线性关系，研究人员选定了10个城市，在每个城市建立交通监测点，统计了24h内过往的汽车流量以及同时段空气中的浓度，得到如下数据： 城市编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 x 1.300 1.444 0.786 1.652 1.756 1.754 1.200 1.500 1.200 0.908 13.5 y 66 76 21 170 156 120 72 120 100 129 1030 并计算得，，． (1)求变量关于的线性回归方程； (2)根据内浓度确定空气质量等级，浓度在0～35为优，35～75为良，75～115为轻度污染，115～150为中度污染，150～250为重度污染，已知某城市内过往的汽车流量为1360辆，判断该城市的空气质量等级． 参考公式：线性回归方程为，其中以． 33．（21-22高二上·新疆哈密·期末）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如表： 零件的个数x（个） 2 3 4 5 加工的时间y（小时） 2.5 3 4 4.5    参考公式：， (1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图； (2)求出关于的线性回归方程； (3)预测加工10个零件需要多少小时？ 34．（21-22高二上·四川德阳·期末）2021年2月25日，全国脱贫攻坚表彰大会在北京隆重召开，习近平总书记在讲话中指出，现行标准下，9899万农村贫困人口全部脱贫，832个贫困县全部摘帽，12.8万个贫困村全部出列，区域性整体贫困得到解决，完成了消除贫困的艰巨任务．脱贫攻坚决战取得了全面胜利．为了防止返贫监测和建立帮扶机制，采取有效举措巩固脱贫攻坚成果，某市统计局统计出该市居民2016至2020年人均年收入如下表：（为了使运算简单，年份用末尾数字减5表示，2020年用5表示） 年份 2016 2017 2018 2019 2020 年份简写 1 2 3 4 5 人圴年收入（万元） 1.3 1.5 1.8 2.1 2.3 (1)由表画散点图易知，人均年收入（万元）与年份简写之间具有较强的线性关系，试用最小二乘法求关于的回归直线方程，并依此预测2021年该市人均年收入； (2)从2016到2020年五个年份的人均年收入中随机抽取两个数据作进一步分析，求所取得的两个数据中，人均年收入恰好有一个超过2万元的概率． 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式：，． 35．（22-23高二下·陕西宝鸡·期末）随着人们生活水平的提高，健康越来越成为当下人们关心的话题，因此，健身也成了广大市民的一项必修课.某健身机构统计了2022年1∼5月份某初级私人健身教练课程的月报名人数（单位：人）与该初级私人健身教练价格（单位：元/小时）的情况，如下表所示. 月份 1 2 3 4 5 初级私人健身教练价格（元/小时） 210 200 190 170 150 初级私人健身教练课程的月报名人数（人） 5 8 7 9 11 (1)求（，2，3，4，5）的相关系数r，并判断月报名人数y与价格x是否有很强的线性相关性?（当时，可以认为两个变量有很强的线性相关性；否则，没有很强的线性相关性）（精确到0.001） (2)请建立关于的线性回归方程；（精确到0.001） (3)当价格为每小时230元时，估计该课程的月报名人数为多少人?（结果保留整数） 参考公式：对于一组数据（，2，3，…，n），相关系数，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，. 参考数据：.，，. 独立性检验 36．（22-23高二下·辽宁朝阳·期末）乒乓球，被称为中国的“国球”，是一项集力量、速度、柔韧、灵敏和耐力素质为一体的球类运动，同时又是技术和战术完美结合的典型.打乒乓球能使眼球内部不断运动，血液循环增强，眼神经机能提高，因而能使眼睛疲劳消除或减轻，起到预防治疗近视的作用.乒乓球的球体小，速度快，攻防转换迅速，技术打法丰富多样，既要考虑技术的发挥，又要考虑战术的运用.乒乓球运动中要求大脑快速紧张地思考，这样可以促进大脑的血液循环，供给大脑充分的能量，具有很好的健脑功能.乒乓球运动中既要有一定的爆发力，又要有动作的高度精确，要做到眼到、手到和步伐到，提高了身体的协调和平衡能力.不管学习还是工作，每天都或多或少有点压抑，打球能使大脑的兴奋与抑制过程合理交替，避免神经系统过度紧张.某中学对学生参加乒乓球运动的情况进行调查，将每周参加乒乓球运动超过2小时的学生称为“乒乓球爱好者”，否则称为“非乒乓球爱好者”，从调查结果中随机抽取100份进行分析，得到数据如表所示： 乒乓球爱好者 非乒乓球爱好者 总计 男 40 56 女 24 总计 100 (1)补全列联表，并判断我们能否有的把握认为是否为“乒乓球爱好者”与性别有关？ (2)为了解学生的乒乓球运动水平，现从抽取的“乒乓球爱好者”学生中按性别采用分层抽样的方法抽取3人，与体育老师进行乒乓球比赛，其中男乒乓球爱好者获胜的概率为，女乒乓球爱好者获胜的概率为，每次比赛结果相互独立，记这3人获胜的人数为X，求X的分布列和数学期望. 参考公式：，. 0.05 0.010 0.005 0.001 k 3.841 6.635 7.879 10.828 37．（23-24高二上·山东德州·期末）为了解某一地区电动汽车销售情况，某部门根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量y（单位：万台）关于x（年份）的线性回归方程为，且销量y的方差，年份x的方差． (1)求y与x的相关系数r，并据此判断电动汽车销量y与年份x的相关性强弱； (2)该部门还调查了该地区90位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如下表： 性别 购买非电动汽车 购买电动汽车 总计 男性 39 45 女性 15 总计 根据调查数据回答：是否有的把握认为购买电动汽车与车主性别有关？ 参考公式：（i）线性回归方程：，其中； （ii）相关系数：，若，则可判断y与x线性相关较强． （iii），其中．附表： 0.10 0.05 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 38．（23-24高二上·江西萍乡·期末）甲、乙两所学校高三年级学生分别有1000人和800人，为了解两所学校全体高三年级学生在该地区八校联考的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两所学校一共抽取了72名学生的数学成绩，并作出了频数分布统计表如下： 甲校 分组 频数 3 14 8 10 3 乙校 分组 频数 2 10 2 2 1 (1)计算，的值； (2)若规定考试成绩在内为尖子，现从两校的尖子生中随机抽取4人，求恰有1人来自乙校的概率； (3)若规定考试成绩在内为优秀，根据以上统计数据完成列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为两所学校的数学成绩有差异． 甲校 乙校 总计 优秀 非优秀 总计 参考公式：，． 临界值表： 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 39．（22-23高二下·山东东营·期末）2021年4月7日，“学习强国”上线“强国医生”功能，提供智能导诊、疾病自查、疾病百科、健康宣传等多种医疗健康服务. (1)为了解“强国医生”使用次数的多少与性别之间的关系，某调查机构调研了200名“强国医生”的使用者，得到表中数据，根据所给数据完成上述表格，并判断是否有 99.9%的把握认为“强国医生”的使用次数与性别有关； 男 女 总计 使用次数多 40 使用次数少 30 总计 90 200 (2)该机构统计了“强国医生”上线7天内每天使用该服务的女性人数，“强国医生”上线的第x天，每天使用“强国医生”的女性人数为y，得到以下数据： x 1 2 3 4 5 6 7 y 6 11 21 34 66 100 195 通过观察散点图发现样本点集中于某一条曲线的周围，求y关于x的回归方程，并预测“强国医生”上线第12天使用该服务的女性人数. 附：随机变量 0.05 0.02 0.01 0.005 0.001 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 其中参考公式：对于一组数据其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 61.9 1.6 51.8 2522 3.98 40．（22-23高二下·广东深圳·期末）某市调研考试后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀．统计成绩后，得到如下的列联表，且已知在甲、乙两个文科班全部110人中优秀的人数是30人． (1)请完成下面的列联表； (2)根据列联表的数据，若按的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”； (3)从甲、乙两个文科班“非优秀”的人数中按班级分层抽取8人，则甲、乙两个文科班各抽到了多少人？ 参考公式与临界值表 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 优秀 非优秀 合计 甲班 10 乙班 30 合计 110 数列小题汇总 41．（23-24高二上·山东烟台·期末）已知数列的各项均为正整数，，若，则的所有可能取值组成的集合为（    ） A． B． C． D． 42．（23-24高二上·山东烟台·期末）已知等比数列中，，，则（    ） A．2 B．﹣2 C． D．4 43．（23-24高二上·福建福州·期末）已知数列满足，，则（    ） A． B． C．2 D．4 44．（23-24高二上·山东烟台·期末）已知数列满足：；；，，其中，.数列的通项公式 ，令，则数列的前n项和 . 45．（21-22高二下·全国·期末）已知正项数列满足，记数列的前n项和为，则 ． 数列解答题汇总 46．（23-24高二上·四川成都·期末）已知递增数列和分别为等差数列和等比数列，且，，， (1)求数列和的通项公式； (2)若，证明：. 47．（23-24高二上·山东烟台·期末）已知为数列的前项和，且，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 48．（23-24高二上·山东烟台·期末）设数列，的前n项和分别为，，，，且，（）. (1)求的通项公式，并证明：是等差数列； (2)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 49．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知正项数列前n项和为，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和. 50．（23-24高二上·陕西西安·期末）在各项都为正数的等比数列中，， (1)求数列的通项公式： (2)记，求数列的前项和． 导数小题汇总 51．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 52．（23-24高二上·福建南平·期末）已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 53．（23-24高二上·北京海淀·期末）已知函数若不等式对任意实数x恒成立，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 54．（21-22高二下·全国·期末）已知函数，则 . 55．（23-24高二上·福建南平·期末）已知函数在处的切线为，则直线的方程为 . 导数解答题汇总 56．（22-23高二上·山东滨州·期末）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若有两个零点，求的取值范围. 57．（23-24高二上·浙江丽水·期末）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若函数有三个零点，求实数a的取值范围. 58．（23-24高二上·陕西西安·期末）已知函数 (1)若，求函数在处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)若在区间上恒成立，求a的最小值． 59．（23-24高二上·江苏南通·期末）已知函数． (1)求函数的极值点； (2)记曲线在处的切线为，求证，与有唯一公共点． 60．（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知函数（为常数），曲线在点处的切线平行于直线. (1)求的值； (2)求函数的极值. 61．（多选）（23-24高二上·云南曲靖·期末）柜子里有4双不同的鞋子，从中随机地取出2只，下列计算结果正确的是（    ） A．“取出的鞋不成双”的概率等于 B．“取出的鞋都是左鞋”的概率等于 C．“取出的鞋都是一只脚的”的概率等于 D．“取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，但不成双”的概率等于 62．（多选）（23-24高二上·重庆·期末）定义集合，设中所有元素的和为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．当为偶数时，中有项 D．当为奇数时，中元素的最小值为 63．（多选）（22-23高二下·浙江台州·期末）对，设，其中，，则（    ） A． B． C． D． 64．（23-24高二上·广东茂名·期末）已知数列满足． (1)求的通项公式； (2)若的前项和为，证明：． 65．（22-23高二上·福建福州·期末）已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)当时，求函数的最小值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05选择性必修三+选择性必修四期末考点汇总（12题型） 排列组合问题 1．（23-24高二上·江西萍乡·期末）有7种不同的颜色给下图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，且相邻的两个格子颜色不能相同，若最多使用3种颜色，则不同的涂色方法种数为（    ） A．462 B．630 C．672 D．882 【答案】C 【分析】根据题意，按使用颜色的数目分两种情况讨论，由加法原理计算可得答案. 【详解】根据题意，分两种情况讨论： 若用两种颜色涂色，有种涂色方法； 若用三种颜色涂色，有种涂色方法； 所以有种不同的涂色方法. 故选：C. 2．（23-24高二上·河南南阳·期末）南阳市博物院为国家二级博物馆，是豫西南最大的地方综合性博物馆、文化新地标，是展示南阳悠久历史和灿烂文化的重要窗口.南阳市博物院每周一闭馆（节假日除外）.某学校计划于2024年3月4日（周一）——3月10日（周日）组织高一、高二、高三年级的同学去南阳市博物院参观研学，每天只能有一个年级参观，其中高一年级需要连续两天，高二、高三年级各需要一天，则不同的方案有（    ） A．20种 B．50种 C．60种 D．100种 【答案】C 【分析】根据条件，利用分步计数原理即可求出结果. 【详解】因为博物院每周一闭馆， 所以高一年级可以从周二和周三，周三和周四，周四和周五，周五和周六，周六和周日中选择2日去参观，共5种选择， 再从剩下的四天里安排高二、高三年级，有种安排方法， 根据分步计数原理，知不同的方案有种， 故选：C. 3．（21-22高二下·全国·期末）纪老师与甲、乙等8名学生毕业合照，要求照相时师生站成一排，纪老师必须站在正中间，则乙与纪老师相邻，而甲不站在排头排尾的概率为 ． 【答案】 【分析】计算总的排列总数，再分析乙的位置与甲的位置求解概率即可. 【详解】由题意得，所有可能的排列方法有种， 乙与纪老师相邻有2种情况，甲不站排头可站非排头与非乙位置剩下的5个位置中的1个， 剩余6名毕业生随机排列，故所求概率． 故答案为： 4．（23-24高二上·山东青岛·期末）一排有个座位，如果每个座位只能坐人，现安排四人就座，恰有两个空位相邻的不同坐法有 种用数字作答． 【答案】 【分析】将问题看成可看成个坐着人的座位和个空座位排队，先将个坐着人的座位全排，然后结合插空法可得. 【详解】解：可看成个坐着人的座位和个空座位排队， 先安排个坐着人的座位，共有种坐法，产生个空， 然后安排空座位到空中，相邻的两个空座位捆在一起，看作一个元素，有种坐法， 然后再从剩余的个空中选择两个将空座位安上， 因为空座位相同，所以只需要选出两个空位即可，有种坐法， 所以共有种坐法． 故答案为：． 5．（23-24高二上·江西萍乡·期末）将6名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排两名学生，不同的分配方案有 种．（用数字作答） 【答案】50 【分析】 将问题分为甲、乙每屋住4人、2人或3人、3人两类，进而结合排列组合知识进行分配即可求得答案. 【详解】由题意知将6名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排2名学生， 包括甲、乙每屋住4人、2人或3人、3人， 当甲和乙两个屋子住4人、2人，共有种， 当甲和乙两个屋子住3人、3人，共有种， 根据分类计数原理得到共有（种）. 故答案为：50 二项式定理与杨辉三角 6．（23-24高二下·江苏·期中）设，展开式中二项式系数的最大值为x，展开式中二项式系数的最大值为y，若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据二项式系数的单调性可得，进而根据组合数的计算求解. 【详解】由题意可得或， 故，解得， 故选：D 7．（22-23高二下·上海松江·期末）若的展开式中各项系数之和为，则第四项与第五项的系数之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先令，根据各项系数之和解得，再求对应项系数计算比值即可. 【详解】的各项系数和：令，则， 所以，所以的通项，第四项的系数：令，得， 第五项的系数：令，得， 所以. 故选：D. 8．（21-22高二下·全国·期末）的展开式中常数项为（    ） A．120 B． C．180 D． 【答案】D 【分析】求出展开式中通项，进而计算即可求解. 【详解】展开式中通项为 ，，1，2，…，6， 当且仅当时，的展开式可取到常数项， 则常数项为． 故选：D． 9．（22-23高二上·福建福州·期末）若，则 . 【答案】365 【分析】分别令，，然后两式相加可得. 【详解】令得①， 令得②， ①+②得，即. 故答案为：365 10．（多选）（23-24高二上·山东青岛·期末）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究．则下列结论正确的是（    ） A．第6行、第7行、第8行的第7个数之和为第9行的第8个数 B． C．第2020行的第1010个数最大 D．第12行中从左到右第2个数与第3个数之比为 【答案】ABD 【分析】根据杨辉三角读出数据即可判断A，利用组合数公式判断B，分析各行数据的特征，即可判断C，求出第行中从左到右第个数与第个数，即可判断D. 【详解】对于A：第行，第行，第行的第个数字分别为：，，，其和为； 而第行第个数字就是，故A正确； 对于B：因为，， 所以，故B正确； 对于C：由图可知：第行有个数字， 如果是偶数，则第（最中间的）个数字最大； 如果是奇数，则第和第个数字最大，并且这两个数字一样大， 所以第行的第个数最大，故C错误； 对于D：依题意：第行从左到右第个数为，第行从左到右第个数为， 所以第行中从左到右第个数与第个数之比为，故D正确； 故答案为：ABD. 条件概率与全概率公式 11．（21-22高二上·北京·期末）抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记两次的点数均为偶数，两次的点数之和为8，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用条件概率公式，结合古典概率计算即得. 【详解】抛掷一枚质地均匀的骰子两次，基本事件共有种， 其中事件有种，事件有，共种， 所以.   故选：C 12．（23-24高二上·江西萍乡·期末）某一地区患有癌症的人占0.05，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.9，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.05.现抽查了一个人，试验反应是阳性，则此人是癌症患者的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】记事件某人是癌症患者，事件化验结果呈阳性，利用全概率公式求出的值，再利用条件概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】记事件某人是癌症患者，事件化验结果呈阳性， 由题意可知，，， 所以 ， 现在某人的化验结果呈阳性，则此人是癌症患者的概率为：. 故选：D 13. （23-24高二上·河南驻马店·期末）中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设空间站要安排甲、乙、丙、丁4名航天员开展实验，每名航天员只能去一个舱，每个舱至少安排一个人，则甲被安排在天和核心舱的条件下，乙也被安排在天和核心舱的概率为 ． 【答案】 【分析】设事件为“甲被安排在天和核心舱”，事件为“乙被安排在天和核心舱”，由古典概型公式求出、，再由条件概率公式计算可得答案． 【详解】根据题意，设事件为“甲被安排在天和核心舱”，事件为“乙被安排在天和核心舱”， 将甲、乙、丙、丁安排到3个航天舱，需要先将4人分为3组，再安排到3个航天舱，有种安排方法， 甲被安排在天和核心舱，有种安排方法，则， 若甲、乙均被安排在天和核心舱，有种安排方法，则， 故甲被安排在天和核心舱的条件下，乙也被安排在天和核心舱的概率． 故答案为：． 14．（多选）（20-21高二下·江苏无锡·期末）甲盒中有3个红球和2个白球，乙盒中有2个红球和3个白球．先从甲盒中随机取出一球放入乙盒，用事件表示“从甲盒中取出的是红球”；用事件表示“从甲盒中取出的是白球”，再从乙盒中随机取出一球，用事件表示“从乙盒中取出的是红球”，则下列结论中正确的是（　　） A．事件与是互斥事件 B．事件与事件不相互独立 C． D． 【答案】BCD 【分析】对于A：根据互斥事件的概念判断；对于B：求出，判断是否相等即可；对于C：分从甲盒中取出的是红球和从甲盒中取出的是白球两种情况来求概率；对于D：根据条件概率的公式求解. 【详解】对于A，事件与不是互斥事件，A错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确； 对于B，因为，，则，所以事件E与事件G不相互独立，故B正确． 故选：BCD. 15．（23-24高二上·辽宁朝阳·期末）新高考模式下，“3+1+2”中“3”是数学、语文、外语三个必选的主科，“1”是物理、历史二选一，“2”是在地理、生物、化学、政治中选两科.已知某校高二学生中有的学生选择物理，剩余的选择历史，选择物理和历史的学生中选择地理的概率分别是和，则从该校高二学生中任选一人，这名学生选择地理的概率为 . 【答案】 【分析】由全概率公式可得答案. 【详解】设选择地理的概率为P，由全概率公式，得， 即从该校高二学生中任选一人，这名学生选择地理的概率为. 故答案为：. 随机变量的数字特征 16．（23-24高二上·江西·期末）设随机变量，若，则的最大值为（    ） A．4 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】根据二项分布的数学期望得的范围，再根据二项分布方差运算公式结合二次函数的单调性求得的最大值. 【详解】随机变量，由得，解得. ， 易知二次函数的开口向下，对称轴为，所以在上单调递增， 于是时取得最大值，即最大值为. 故选：C. 17．（多选）（23-24高二上·江西·期末）设离散型随机变量的分布列为： 0 1 2 3 0.4 0.3 0.2 若离散型随机变量满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用分布列的性质求得，从而利用期望与方差公式与性质即可得解. 【详解】由分布列的性质知，则， 故，故A正确； ，故C错误； 则，故B正确； 所以，故D正确． 故选：ABD． 18．（23-24高二上·北京昌平·期末）某网站为研究新闻点击量的变化情况，收集得到了该网站连续30天的新闻点击量变化数据，如下表所示.在描述新闻点击量变化时，用“↑”表示“上涨”，即当天新闻点击量比前一天新闻点击量高；用“↓”表示“下降”，即当天新闻点击量比前一天新闻点击量低；用“－”表示“不变”，即当天新闻点击量与前一天新闻点击量相同. 时段 新闻点击量 第1天到第15天 ↑ - ↑ ↓ ↑ - ↓ ↑ - ↓ ↑ ↓ - ↓ ↓ 第16天到第30天 - ↑ - ↑ - ↑ ↓ ↑ ↓ ↑ - ↓ ↑ ↓ ↑ 用频率估计概率. (1)试估计该网站新闻点击量“下降”的概率； (2)从样本中的前15天和后15天中各随机抽取1天，记表示其中该网站新闻点击量“上涨”的天数，求的分布列和数学期望； (3)从样本给出的30天中任取1天，用“”表示该天新闻点击量“上涨”，“”表示该天新闻点击量“下降”或“不变”，然后继续统计接下来的10天的新闻点击量，其中有6天“上涨”、3天“下降”、1天“不变”，相应地，从这40天中任取1天，用“”表示该天新闻点击量“上涨”，“”表示该天新闻点击量“下降”或“不变”，直接写出方差，大小关系. 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)，理由见解析 【分析】（1）30天中，有10天点击量下降，从而估计出相应的概率； （2）求出的可能取值及对应的概率，得到分布列，求出数学期望； （3）求出，，得到，同理得到，比较出大小. 【详解】（1）30天中，有10天点击量下降，故估计该网站新闻点击量“下降”的概率为； （2）前15天中，有5天的点击量上涨，后15天中，有7天上涨， 故的可能取值为， 则，， ， 故的分布列如下： 0 1 2 ； （3），理由如下： 由（2）知，样本给出的30天中点击量上涨的天数为12， 故，， 则，， 这40天中点击量上涨的天数为， 故，， 故，， 由于，故. 19．（23-24高二上·海南海口·期末）某果园种植了甲、乙两种蜜桔品种，为给该果园制定蜜桔销售计划，对蜜桔产量进行了预估，从甲、乙两种蜜桔中分别采摘了个进行单个称重，其质量（单位：克）分布在区间，，，，上，并将数据进行汇总整理，得到甲、乙两种蜜桔质量的频率分布直方图如图所示同一组数据用该区间的中点值作代表． (1)试分别计算甲、乙两种蜜桔质量的样本平均数和中位数，并针对这两种蜜桔的质量情况写出两条统计结论． (2)视频率为概率，已知该果园乙种蜜桔树上大约有万个蜜桔等待出售，某水果批发商提出了两种收购方案： 方案一：所有蜜桔均以元千克收购； 方案二：质量适中的蜜桔深受消费者青睐，该批发商建议低于克的蜜桔以元千克收购，不低于克的蜜桔以元千克收购，其他蜜桔以元千克收购． 请你通过计算判断哪种收购方案能使该果园收益最大． (3)现采用不放回抽取的方法从甲种蜜桔中随机逐个抽取，直到抽到的蜜桔的质量在区间内或抽取了个为止，设抽取的蜜桔个数为，求随机变量的数学期望（结果精确到个位）． 【答案】(1)平均数都为26.5克，中位数都为克；统计结论见解析 (2)收购方案二对该果园收益更大 (3)10 【分析】（1）根据平均数、众数、中位数的定义进行求解即可； （2）根据频率直方图，通过计算总收益，进行比较求解即可； （3）根据数学期望公式，结合错位相减法进行求解即可. 【详解】（1）克， 克． 设甲种蜜桔质量的中位数为，乙种蜜桔质量的中位数为， 则，， 解得， 即两种蜜桔质量的中位数均为． 统计结论：两种蜜桔的平均质量相同； 两种蜜桔质量的众数均为； 两种蜜桔质量的中位数均为； 乙种蜜桔质量集中在平均数附近，甲种蜜桔中质量特别小和质量特别大的蜜桔较多. （2）若按方案一收购， 根据题意各区间段的蜜桔个数依次为万，万，万，万，万，于是总收益为 元． 若按方案二收购，根据题意蜜桔质量位于区间，，的个数依次为万，万，万，则总收益为 由于，所以收购方案二对该种植基地更有利； （3）由题意得，随机抽取个甲种蜜桔，它的质量在区间内的概率为． 的可能取值为，，，，，则，， ．，，．，．． 其数学期望是 ． 其中，设， ， 应用错位相减法“”得．． ，， 故E ．． 20．（22-23高二下·广东肇庆·期末）浙江省是第一批新高考改革省份，取消文理分科，变成必考科目和选考科目．其中必考科目是语文、数学、外语，选考科目由考生在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术7个科目中自主选择其中3个科目参加等级性考试．为了调查学生对物理、化学、生物的选考情况，从镇海中学高三在物理、化学、生物三个科目中至少选考一科的学生中随机抽取100名学生进行调查，他们选考物理、化学、生物的科目数及人数统计如表： 选考物理、化学、生物的科目数 1 2 3 人数 20 40 40 (1)从这100名学生中任选2名，求他们选考物理、化学、生物科目数相等的概率； (2)从这100名学生中任选2名，记X表示这2名学生选考物理、化学、生物的科目数之差的绝对值，求随机变量X的数学期望； 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据古典概型结合组合数分析运算； （2）由X的取值结合古典概型求相应的概率，得分布列，进而可求期望； 【详解】（1）记“所选取的2名学生选考物理、化学、生物科目数量相等”为事件A， 则两人选考科目数量为1的情况数为，数目为2的情况数为，数目为3的情况数有， 则. （2）由题意可知X的可能取值分别为0，1，2． 当X为0时，对应概率为（1）中所求概率，； 当X为1时，一人选考科目数为1，另一人选考科目数为2或一人选考科目数为2，另一人选考科目数为3， ； 当X为2时，一人选考科目数为1，另一人选考科目数为3，． 则分布列如图所示： X 0 1 2 P 故X的期望为． 二项分布与超几何分布 21. （21-22高二下·全国·期末）在某诗词大会的“个人追逐赛”环节中，参赛选手应从8个不同的题目中随机抽取3个题目进行作答．已知这8个题目中，选手甲只能正确作答其中的6个，而选手乙正确作答每个题目的概率均为0.8，且甲、乙两位选手对每个题目作答都是相互独立的． (1)求选手甲恰好正确作答2个题目的概率； (2)记选手乙正确作答的题目个数为X，求X的分布列和数学期望； (3)如果在抽取的3个题目中答对2个题目就可以晋级，你认为甲、乙两位选手谁晋级的可能性更大？请说明理由． 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)选手乙，理由见解析 【分析】（1）由题意选手甲需要从能正确作答其中的6个的题目中正确作答2个题目，在剩余的2个不会的题目中答1个，再求解概率即可； （2）由题意得，，再根据二项分布的性质求解分布列与数学期望即可； （3）分别计算甲乙两人答对2或3个题目的数学概率进行判断即可. 【详解】（1）设事件A为“选手甲正确作答2个题目”，则． 故选手甲恰好正确作答2个题目的概率为． （2）由题意得，，X的所有可能取值为0，1，2，3， ∴，，，， ∴X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.008 0.096 0.384 0.512 ∴． （3）设选手甲正确作答的题目个数为Y，则Y的所有可能取值为0，1，2，3， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴可以认为选手乙晋级的可能性更大． 22. （23-24高二上·江西南昌·期末）“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学学科夏令营活动． (1)若数学组的7名学员中恰有3人来自中学，从这7名学员中选取3人，表示选取的人中来自中学的人数，求的分布列和数学期望： (2)在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利．已知甲、乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为，且，假设每轮答题结果互不影响，如果甲、乙两位同学想在此次答题活动中取得6轮胜利，那么理论上至少要参加多少轮竞赛？ 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【分析】（1）利用超几何分布，求出分布列和期望，即可得出结果； （2）先求出每轮答题中取得胜利的概率的最大值，再应用独立重复实验数学期望的范围求出最少轮数. 【详解】（1）由题意知，的可能取值有， ，， ，， 所以的分布列为 . （2）因为甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率为， 由，又，得到， 则，又，所以， 令，则，当时，取到最大值为， 要使答题轮数取得最小值，则每轮答题中取得胜利的概率取最大值， 设甲、乙两人在轮答题中取得胜利的次数为，则， 所以，由，解得， 又，则，理论上至少要参加11轮竞赛. 23. （22-23高二下·天津和平·期末）宿州号称“中国云都”，拥有华东最大的云计算数据中心、CG动画集群渲染基地，是继北京、上海、合肥、济南之后的全国第5家量子通信节点城市．为了统计智算中心的算力，先从全市n个大型机房和5个小型机房中随机抽取若干机房进行算力分析，若一次抽取2个机房，全是小型机房的概率为． (1)求n的值； (2)若一次抽取3个机房，假设抽取的小型机房的个数为，求的分布列和数学期望． 【答案】(1). (2)分布列见解析，. 【分析】（1）利用古典概型的概率公式可得关于的方程，求出其解可得的值. （2）利用超几何分布可求的分布列和数学期望. 【详解】（1）设为“一次抽取2个机房，全是小型机房”，则， 故或（舍）. （2）可取， ，，， ， 故的分布列如下： 0 1 2 3 故. 24. （22-23高二下·陕西西安·期末）某学校共有1000名学生参加知识竞赛，其中男生500人，为了解该校学生在知识竞赛中的情况，采取分层抽样随机抽取了100名学生进行调查，分数分布在分之间，根据调查的结果绘制的学生分数频率分布直方图如图所示：将分数不低于750分的学生称为“高分选手”.    (1)求的值，并估计该校学生分数的平均数、中位数和众数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)现采用分层抽样的方式从分数落在，内的两组学生中抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记被抽取的3名学生中属于“高分选手”的学生人数为随机变量，求的分布列及数学期望. 【答案】(1)，平均数，中位数650，众数600 (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据频率和为1求的值，再结合平均数、中位数和众数的定义运算求解； （2）先根据分层抽样求各层人数，再结合超几何分布求分布列和期望. 【详解】（1）由题意知，解得， 所以每组的频率依次为， 样本平均数， 因为，所以中位数650， 又因为的频率最大，所以众数为600． （2）由题意可得：从中抽取人，从中抽取人， 则随机变量的所有可能取值有0，1，2，3．可知， 即， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 随机变量的数学期望． 25. （23-24高二上·陕西西安·期末）某种植户对一块地的个坑进行播种，每个坑播粒种子，每粒种子发芽的概率均为，且每粒种子是否发芽相互独立，对每一个坑而言，如果至少有两粒种子发芽，则不需要进行补播种，否则要补播种. (1)从 个坑中选两个坑进行观察，两坑不能相邻，有多少种方案？ (2)对于单独一个坑，需要补播种的概率是多少？ (3)当 取何值时，有3个坑要补播种的概率最大？最大概率为多少？ 【答案】(1) (2) (3)或； 【分析】（1）不相邻问题插空法； （2）单独一个坑需要补播种的情况有两种，分别计算两粒种子不发芽的概率和三粒种子不发芽的概率，两者概率之和即是答案； （3）由（2）可得个坑要补播种的概率为，应用不等式法求最大概率并确定对应值即可. 【详解】（1）先把个坑排好共个空，再把剩下的2个坑往空里放，共有种方案； （2）一个坑需要补播种有两种可能：两粒种子不发芽和三粒种子不发芽 两粒种子发芽的概率 三粒种子发芽的概率 所以一个坑需要补播种的概率 （3）3个坑要补播种的概率为，要想有3个坑要补播种概率最大，即满足不等式组 解得：，又，所以或时，3个坑要补播种的概率最大，此时. 正态分布 26. （23-24高二上·河南·期末）某地区有10000名考生参加了高三模拟调研考试.经过数据分析，数学成绩近似服从正态分布，则数学成绩位于的人数约为（    ） 参考数据：， A．455 B．1359 C．3346 D．1045 【答案】B 【分析】根据已知和正态分布的对称性得出结果. 【详解】，则数学成绩位于的人数约为. 故选：B. 27. （21-22高二下·全国·期末）某班有40名学生，一次考试后数学成绩，若，则估计该班学生数学成绩不超过120分的人数为 . 【答案】30 【分析】根据题意，正态分布，因为，所以求得，从而求得，从而求得答案. 【详解】因为数学成绩，所以由， 可得， 所以该班学生数学成绩不超过120分的概率为： ， 所以估计该班学生数学成绩不超过120分的人数为（人）. 故答案为：30. 28. （22-23高二下·山西大同·期末）十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康.经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也逐年增加，为了制定提升农民收入力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2019年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图：    (1)根据频率分布直方图，估计50位农民的年平均收入（单位：千元）（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）； (2)由频率分布直方图，可以认为该贫困地区农民收入X服从正态分布，其中近似为年平均收入，近似为样本方差，经计算得，利用该正态分布，求： ①在扶贫攻坚工作中，若使该地区约有84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？ ②为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了1000位农民.若每位农民的年收入互相独立，记这1000位农民中的年收入高于千元的人数为，求. 附参考数据：， 若随机变量X服从正态分布，则 ， ， . 【答案】(1)17.40 (2)①14.77；②977.3 【分析】（1）根据频率分布直方图求平均值方法可得， （2）①根据原则可得，②根据原则先得每位农民年收入高于千元的概率，根据二项分布的期望公式可得. 【详解】（1） （千元）， 故估计50位农民的年平均收入为17.40千元. （2）由题意知， ①， 所以时，满足题意， 即最低年收入大约为千元. ②由， 每个农民的年收入高于千元的事件的概率为， 则，其中， 所以. 29. （22-23高二下·福建龙岩·期末）第22届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在我国杭州举行．为了让中学生了解亚运会，某市举办了一次亚运会知识竞赛，分预赛和复赛两个环节，现从参加预赛的全体学生中随机抽取100人的预赛成绩作为样本，得到频率分布表（见表）． 分组（百分制） 频数 频率 10 0.1 20 0.2 30 0.3 25 0.25 15 0.15 合计 100 1 (1)由频率分布表可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩X服从正态分布，其中可近似为样本中的100名学生预赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且．利用该正态分布，求； (2)预赛成绩不低于80分的学生将参加复赛，现用样本估计总体，将频率视为概率．从该市参加预赛的学生中随机抽取2人，记进入复赛的人数为Y，求Y的概率分布列和数学期望． 附：若，则，，；． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据正态分布曲线的对称性即可求解；（2）根据二项分布即可求解. 【详解】（1）由题意知样本中的100名学生预赛成绩的平均值为： ， 又由，， ． （2）由题意，抽取2人进入复赛的人数， ． 的概率分布列为 0 1 2 的数学期望为． 30. （22-23高二下·河北唐山·期末）《中国制造2025》是经国务院总理李克强签批，由国务院于2015年5月印发的部署全面推进实施制造强国的战略文件，是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领．制造业是国民经济的主体，是立国之本、兴国之器、强国之基.发展制造业的基本方针为质量为先，坚持把质量作为建设制造强国的生命线.某制造企业根据长期检测结果，发现生产的产品质量与生产标准的质量差都服从正态分布，并把质量差在内的产品为优等品，质量差在内的产品为一等品，其余范围内的产品作为废品处理，优等品与一等品统称为正品．现分别从该企业生产的正品中随机抽取1000件，测得产品质量差的样本数据统计如下：    (1)根据频率分布直方图，求样本平均数； (2)根据大量的产品检测数据，检查样本数据的方差的近似值为100，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差s作为的估计值，求该厂生产的产品为正品的概率.（同一组中的数据用该组区间的中点值代表） [参考数据：若随机变量服从正态分布，则：，，. (3)假如企业包装时要求把3件优等品和4件一等品装在同一个箱子中，质检员每次从箱子中摸出三件产品进行检验，记摸出三件产品中优等品的件数为X，求X的分布列以及期望值. 【答案】(1) (2) (3)分布列见解析，； 【分析】（1）结合频率分布直方图，同一组中的数据用该组区间的中点值代表即可求得平均值； （2）先求得，则正品概率，然后利用正态分布概率数据即可得解； （3）X所有可能值为0，1，2，3，再利用超几何分布求出每个的取值所对应的概率即可得到分布列，然后求出数学期望即可. 【详解】（1）由频率分布直方图可知， . （2）由题意可知，样本方差，故，所以， 该厂生产的产品为正品的概率： ； （3）X所有可能值为0，1，2，3. ，， ，. 所以的分布列为 数学期望. 线性与非线性回归方程 31．（23-24高二上·江苏常州·期末）某公司为了解年研发资金投入量（单位：亿元）对年销售额（单位：亿元）的影响.对公司近12年的年研发资金投入量和年销售额的数据，进行了对比分析，建立了两个模型：①，②，其中，，，均为常数，为自然对数的底数，并得到一些统计量的值.令，，（，，，…，），经计算得如下数据： (1)请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好？ (2)根据（1）的分析及表中数据，求关于的回归方程. 附：（1）相关系数；（2）线性回归方程中，的计算公式分别为：，. 【答案】(1)模型②的拟合程度更好 (2) 【分析】（1）根据相关系数的计算即可比较大小求解， （2）根据最小二乘法即可求解线性回归方程，进而可求解. 【详解】（1）设模型①和②的相关系数分别为，. 由题意可得，， 所以，由相关系数的相关性质可得，模型②的拟合程度更好. （2）因为，可得，即， 可得，， 所以关于的线性回归方程为，即关于的回归方程为. 32．（23-24高二上·江西赣州·期末）大气污染物（直径不大于2.5的颗粒物）的浓度超过一定限度会影响人的身体健康．为研究浓度y（单位：）与汽车流量x（单位：千辆）的线性关系，研究人员选定了10个城市，在每个城市建立交通监测点，统计了24h内过往的汽车流量以及同时段空气中的浓度，得到如下数据： 城市编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 x 1.300 1.444 0.786 1.652 1.756 1.754 1.200 1.500 1.200 0.908 13.5 y 66 76 21 170 156 120 72 120 100 129 1030 并计算得，，． (1)求变量关于的线性回归方程； (2)根据内浓度确定空气质量等级，浓度在0～35为优，35～75为良，75～115为轻度污染，115～150为中度污染，150～250为重度污染，已知某城市内过往的汽车流量为1360辆，判断该城市的空气质量等级． 参考公式：线性回归方程为，其中以． 【答案】(1) (2)轻度污染 【分析】（1）根据公式，求线性回归方程； （2）根据线性回归直线方程，预测空气中的浓度，进行判断. 【详解】（1）由题意得， 又因为， 所以 所以 所以变量y关于x的线性回归方程为． （2）当辆千辆时，可得 因为 所以该城市的空气质量等级为轻度污染． 33．（21-22高二上·新疆哈密·期末）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如表： 零件的个数x（个） 2 3 4 5 加工的时间y（小时） 2.5 3 4 4.5    参考公式：， (1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图； (2)求出关于的线性回归方程； (3)预测加工10个零件需要多少小时？ 【答案】(1)作图见解析 (2) (3)8.05 【分析】（1）由数据表可得四个点的坐标，在坐标系中描点作图； （2）利用最小二乘法求得回归直线方程得系数，再求系数，得回归直线方程； （3）把代入回归直线方程，求得预报变量的值. 【详解】（1）   （2），， ，， ， 由公式得， 所以所求回归方程为. （3）当时，，所以预测加工个零件需要小时. 34．（21-22高二上·四川德阳·期末）2021年2月25日，全国脱贫攻坚表彰大会在北京隆重召开，习近平总书记在讲话中指出，现行标准下，9899万农村贫困人口全部脱贫，832个贫困县全部摘帽，12.8万个贫困村全部出列，区域性整体贫困得到解决，完成了消除贫困的艰巨任务．脱贫攻坚决战取得了全面胜利．为了防止返贫监测和建立帮扶机制，采取有效举措巩固脱贫攻坚成果，某市统计局统计出该市居民2016至2020年人均年收入如下表：（为了使运算简单，年份用末尾数字减5表示，2020年用5表示） 年份 2016 2017 2018 2019 2020 年份简写 1 2 3 4 5 人圴年收入（万元） 1.3 1.5 1.8 2.1 2.3 (1)由表画散点图易知，人均年收入（万元）与年份简写之间具有较强的线性关系，试用最小二乘法求关于的回归直线方程，并依此预测2021年该市人均年收入； (2)从2016到2020年五个年份的人均年收入中随机抽取两个数据作进一步分析，求所取得的两个数据中，人均年收入恰好有一个超过2万元的概率． 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式：，． 【答案】(1)，2.58万元 (2) 【分析】（1）求出，的值，根据最小二乘法的估计公式求出，，即可得回归方程，将代入回归方程，即可预测2021年该市人均年收入； （2）写出从2016到2020年五个年份的人均年收入中随机抽取两个数据的所有可能的取法，再写出恰好有一个超过2万元的可能的取法，根据古典概型的概率公式，即可求得答案. 【详解】（1）由题意得，， ， ， 故关于的回归直线方程为； 当时，， 即预测2021年该市人均年收入为2.58万元. （2）从2016到2020年五个年份的人均年收入中随机抽取两个数据共有： ，共10种可能的取法， 其中恰有一个超过2万元的可能取法有共6种， 故人均年收入恰好有一个超过2万元的概率为． 35．（22-23高二下·陕西宝鸡·期末）随着人们生活水平的提高，健康越来越成为当下人们关心的话题，因此，健身也成了广大市民的一项必修课.某健身机构统计了2022年1∼5月份某初级私人健身教练课程的月报名人数（单位：人）与该初级私人健身教练价格（单位：元/小时）的情况，如下表所示. 月份 1 2 3 4 5 初级私人健身教练价格（元/小时） 210 200 190 170 150 初级私人健身教练课程的月报名人数（人） 5 8 7 9 11 (1)求（，2，3，4，5）的相关系数r，并判断月报名人数y与价格x是否有很强的线性相关性?（当时，可以认为两个变量有很强的线性相关性；否则，没有很强的线性相关性）（精确到0.001） (2)请建立关于的线性回归方程；（精确到0.001） (3)当价格为每小时230元时，估计该课程的月报名人数为多少人?（结果保留整数） 参考公式：对于一组数据（，2，3，…，n），相关系数，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，. 参考数据：.，，. 【答案】(1)-0.929，与有很强的线性相关性 (2) (3)4人. 【分析】（1）利用公式求得相关系数判断； （2）利用公式分别求得，，写出回归方程； （3）将代入回归方程求解. 【详解】（1）解：由已知数据可得： ， ，                             相关系数 因为，所以与有很强的线性相关性. （2）因为， ， 所以关于的线性回归方程为. （3）当时，， 故当价格为每小时230元时，估计该课程的月报名人数为4人. 独立性检验 36．（22-23高二下·辽宁朝阳·期末）乒乓球，被称为中国的“国球”，是一项集力量、速度、柔韧、灵敏和耐力素质为一体的球类运动，同时又是技术和战术完美结合的典型.打乒乓球能使眼球内部不断运动，血液循环增强，眼神经机能提高，因而能使眼睛疲劳消除或减轻，起到预防治疗近视的作用.乒乓球的球体小，速度快，攻防转换迅速，技术打法丰富多样，既要考虑技术的发挥，又要考虑战术的运用.乒乓球运动中要求大脑快速紧张地思考，这样可以促进大脑的血液循环，供给大脑充分的能量，具有很好的健脑功能.乒乓球运动中既要有一定的爆发力，又要有动作的高度精确，要做到眼到、手到和步伐到，提高了身体的协调和平衡能力.不管学习还是工作，每天都或多或少有点压抑，打球能使大脑的兴奋与抑制过程合理交替，避免神经系统过度紧张.某中学对学生参加乒乓球运动的情况进行调查，将每周参加乒乓球运动超过2小时的学生称为“乒乓球爱好者”，否则称为“非乒乓球爱好者”，从调查结果中随机抽取100份进行分析，得到数据如表所示： 乒乓球爱好者 非乒乓球爱好者 总计 男 40 56 女 24 总计 100 (1)补全列联表，并判断我们能否有的把握认为是否为“乒乓球爱好者”与性别有关？ (2)为了解学生的乒乓球运动水平，现从抽取的“乒乓球爱好者”学生中按性别采用分层抽样的方法抽取3人，与体育老师进行乒乓球比赛，其中男乒乓球爱好者获胜的概率为，女乒乓球爱好者获胜的概率为，每次比赛结果相互独立，记这3人获胜的人数为X，求X的分布列和数学期望. 参考公式：，. 0.05 0.010 0.005 0.001 k 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)列联表见解析，有的把握认为是否为“乒乓球爱好者”与性别有关； (2)分布列见解析， 【分析】（1）由的公式可求值，根据表格可判断有关； （2）由分层抽样确定男女生人数，根据X的取值分别求得概率，列分布列求期望即可. 【详解】（1）依题意可得列联表如下： 乒乓球爱好者 非乒乓球爱好者 总计 男 40 16 56 女 20 24 44 总计 60 40 100 零假设为：是否为“乒乓球爱好者”与性别无关联， 则，   我们有的把握认为是否为“乒乓球爱好者”与性别有关. （2）由（1）得抽取的3人中人为男生，人为女生.   则X的可能取值为0、1、2、3， 所以，， ，， 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P   所以. 37．（23-24高二上·山东德州·期末）为了解某一地区电动汽车销售情况，某部门根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量y（单位：万台）关于x（年份）的线性回归方程为，且销量y的方差，年份x的方差． (1)求y与x的相关系数r，并据此判断电动汽车销量y与年份x的相关性强弱； (2)该部门还调查了该地区90位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如下表： 性别 购买非电动汽车 购买电动汽车 总计 男性 39 45 女性 15 总计 根据调查数据回答：是否有的把握认为购买电动汽车与车主性别有关？ 参考公式：（i）线性回归方程：，其中； （ii）相关系数：，若，则可判断y与x线性相关较强． （iii），其中．附表： 0.10 0.05 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)0.9375，y与x线性相关较强 (2)有的把握认为购买电动汽车与车主性别有关 【分析】（1）将相关系数公式适当变形成，代入相关值计算即可判断； （2）根据题意完成列联表，计算的值，并与对应的小概率值比较即得. 【详解】（1）相关系数为 ， (由y关于x的线性回归方程为可知：，且，) 故y与x线性相关较强． （2）由题意： 性别 购买非电动汽车 购买电动汽车 总计 男性 39 6 45 女性 30 15 45 总计 69 21 90 ． 由表可得，所以有的把握认为购买电动汽车与车主性别有关． 38．（23-24高二上·江西萍乡·期末）甲、乙两所学校高三年级学生分别有1000人和800人，为了解两所学校全体高三年级学生在该地区八校联考的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两所学校一共抽取了72名学生的数学成绩，并作出了频数分布统计表如下： 甲校 分组 频数 3 14 8 10 3 乙校 分组 频数 2 10 2 2 1 (1)计算，的值； (2)若规定考试成绩在内为尖子，现从两校的尖子生中随机抽取4人，求恰有1人来自乙校的概率； (3)若规定考试成绩在内为优秀，根据以上统计数据完成列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为两所学校的数学成绩有差异． 甲校 乙校 总计 优秀 非优秀 总计 参考公式：，． 临界值表： 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】(1)，： (2)： (3)列联表见后；不能认为两所学校的数学成绩有差异． 【分析】（1）根据分层抽样方法得出甲、乙校各抽多少人，即可得出、； （2）由古典概率公式求解即可； （3）由频数分布统计表得出其列联表，按公式代入计算得，对照临界值表可知在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为两所学校的数学成绩有差异． 【详解】（1）甲校抽取人，乙校抽取人，故，； （2）由表知甲校尖子生5人，乙校尖子生3人，共8人，抽取4人， 恰有1人来自乙校的概率； （3）列联表如下： 甲校 乙校 总计 优秀 15 5 20 非优秀 25 27 52 总计 40 32 72 ， 故不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为两所学校的数学成绩有差异． 39．（22-23高二下·山东东营·期末）2021年4月7日，“学习强国”上线“强国医生”功能，提供智能导诊、疾病自查、疾病百科、健康宣传等多种医疗健康服务. (1)为了解“强国医生”使用次数的多少与性别之间的关系，某调查机构调研了200名“强国医生”的使用者，得到表中数据，根据所给数据完成上述表格，并判断是否有 99.9%的把握认为“强国医生”的使用次数与性别有关； 男 女 总计 使用次数多 40 使用次数少 30 总计 90 200 (2)该机构统计了“强国医生”上线7天内每天使用该服务的女性人数，“强国医生”上线的第x天，每天使用“强国医生”的女性人数为y，得到以下数据： x 1 2 3 4 5 6 7 y 6 11 21 34 66 100 195 通过观察散点图发现样本点集中于某一条曲线的周围，求y关于x的回归方程，并预测“强国医生”上线第12天使用该服务的女性人数. 附：随机变量 0.05 0.02 0.01 0.005 0.001 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 其中参考公式：对于一组数据其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 61.9 1.6 51.8 2522 3.98 【答案】(1)表格见解析，有99.9%的把握认为“强国医生”的使用次数与性别有关 (2)，3980人 【分析】（1）根据已知数据完成表格，计算出与附表中值作比较可得答案； （2）将两边同时取常用对数，设 ，则，求出，可得y关于x的回归方程，把代入回归方程，可得答案. 【详解】（1） 男 女 总计 使用次数多 40 80 120 使用次数少 50 30 80 总计 90 110 200 ， 所以有99.9%的把握认为“强国医生”的使用次数与性别有关； （2）将两边同时取常用对数得 ， 设 ，则， 因为， 所以， 所以， 所以y关于x的回归方程为 把代入回归方程，得， 所以“强国医生”上线第12天，使用该服务的女性约有3980人. 40．（22-23高二下·广东深圳·期末）某市调研考试后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀．统计成绩后，得到如下的列联表，且已知在甲、乙两个文科班全部110人中优秀的人数是30人． (1)请完成下面的列联表； (2)根据列联表的数据，若按的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”； (3)从甲、乙两个文科班“非优秀”的人数中按班级分层抽取8人，则甲、乙两个文科班各抽到了多少人？ 参考公式与临界值表 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 优秀 非优秀 合计 甲班 10 乙班 30 合计 110 【答案】(1)见解析 (2)按的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系” (3)甲班应抽取5人，乙班应抽取3人 【分析】（1）由于从甲、乙两个理科班全部110人中优秀人数为30人，再根据列联表的数据，即可完善表格；（2）假设成绩与班级无关，根据列联表中的数据可得，和临界值表比对后即可得到答案．（3）根据分层抽样，按比例抽取，即可求解. 【详解】（1）因为优秀的人共有30人，所以乙班优秀的人有20人，则非优秀的人共有80人，则甲班非优秀的人有50人，再依次填写右栏的合计. 优秀 非优秀 合计 甲班 10 50 60 乙班 20 30 50 合计 30 80 110 （2）根据列联表中的数据，计算得到. 因此按99.9%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”. （3）非优秀的人共有80人，其中甲班有50人，乙班有30人， 若分层抽取8人，则甲班应抽取人，乙班应抽取人， 所以甲班应抽取5人，乙班应抽取3人. 数列小题汇总 41．（23-24高二上·山东烟台·期末）已知数列的各项均为正整数，，若，则的所有可能取值组成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】采用“倒推”的方式，推导过程中注意分类讨论思想的应用. 【详解】∵，∴若为奇数，则，则舍； 若为偶数，则，. 当时，若为奇数，则，则；若为偶数，则，. 当时， 若为奇数，则，无解；若为偶数，则，则. 若为奇数，则，无解；若为偶数，则，则. 若为奇数，则，则；若为偶数，则，则. 当时， 若为奇数，则，无解；若为偶数，则，则. 若为奇数，则，则；若为偶数，则，则. 当时， 若为奇数，则，无解；若为偶数，则，则. 当时， 若为奇数，则，无解；若为偶数，则，则. 综上，所有可能的取值的集合. 故选：B. 42．（23-24高二上·山东烟台·期末）已知等比数列中，，，则（    ） A．2 B．﹣2 C． D．4 【答案】A 【分析】由已知结合等比数列的性质即可求解. 【详解】解：∵等比数列中，，， 所以，解得. 又，可得与同号， 故. 故选：A. 43．（23-24高二上·福建福州·期末）已知数列满足，，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据递推式得到数列的周期，应用周期性求对应项. 【详解】由，， 得， 所以数列是以为周期的周期数列， 则. 故选：B. 44．（23-24高二上·山东烟台·期末）已知数列满足：；；，，其中，.数列的通项公式 ，令，则数列的前n项和 . 【答案】 . 【分析】利用比例的性质与待定系数法，解方程可得，从而利用构造法求得；再利用裂项相消求和法求得，从而得解. 【详解】依题意，设，， ，又， 又，， 所以，解得， 则，即有， 又，所以是首项为，公比为的等比数列， 所以，则； 所以， 则数列的前n项和. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题第2问解决的关键是观察，发现其可以裂项展开，从而得解. 45．（21-22高二下·全国·期末）已知正项数列满足，记数列的前n项和为，则 ． 【答案】2022 【分析】根据裂项求和即可求解. 【详解】由题意得，， 则， 故，故． 故答案为：2022 数列解答题汇总 46．（23-24高二上·四川成都·期末）已知递增数列和分别为等差数列和等比数列，且，，， (1)求数列和的通项公式； (2)若，证明：. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）由等差和等比数列的性质结合题意列方程组，解出，再由基本量法求出通项即可； （2）由对数的运算性质化简再简单放缩可得，最后利用累乘法可证明. 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 由题意可得：，前两式化简后有， 由上述式子可得：， 化简得：，则或， 若，可得，数列为常数列，故舍去； 若，带入得，又由，解得，，， 于是得到数列的通项公式为，数列的通项公式为. （2）由题可得， 由于时，， 则（当且仅当时取等号）， 所以， 则（当且仅当时取等号）. 所以. 47．（23-24高二上·山东烟台·期末）已知为数列的前项和，且，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用数列递推式求数列的通项公式，结合累乘法求解； （2）分，两种情况，利用等差数列的求和公式求解. 【详解】（1）由， 得（）， 两式相减得， 即（）， 所以当时，， 经检验也符合上式， 故； （2）由题意， 记，则数列的前项和， 所以，当时，， 当时，， 综上， 48．（23-24高二上·山东烟台·期末）设数列，的前n项和分别为，，，，且，（）. (1)求的通项公式，并证明：是等差数列； (2)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)，证明见解析； (2). 【分析】（1）根据给定条件，结合求出的通项，再利用等差数列的定义推理即得. （2）利用错位相减法求和得，，由给定不等式得，，再求出的最小值即可. 【详解】（1）数列中，，当时，，两式相减得，， 又，即，而，解得，则， 所以数列为等比数列，； 由，，得， 因此数列是以为首项、1为公差的等差数列. （2）由（1）得，，即， 则， 于是， 两式相减得，， 因此， 又，即， 于是，而，当且仅当时等号成立，则， 所以实数的取值范围为. 【点睛】思路点睛：涉及数列不等式恒成立问题，可以变形不等式，分离参数，借助函数思想求解即可. 49．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知正项数列前n项和为，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据与之间的关系分析可知数列是等差数列，结合等差数列通项公式运算求解； （2）由（1）可得，利用分组求和以及裂项相消法运算求解. 【详解】（1）因为，则， 两式相减得：， 整理得， 且为正项数列，可知， 可得，即， 可知数列是以首项，公差的等差数列， 所以. （2）由（1）可得， 当为奇数，则， 可得 ， 所以. 50．（23-24高二上·陕西西安·期末）在各项都为正数的等比数列中，， (1)求数列的通项公式： (2)记，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等比数列的公比为．可得，解出即可得出． （2）由（1）得：．再利用错位相减法即可得出． 【详解】（1）设等比数列的公比为． 则， 解得， 所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列， 即． （2）由（1）得：． 所以， ， ， ． 导数小题汇总 51．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】函数有两个零点，即函数的图象与的图象有两个交点，由导数判断函数的单调性、极值，由函数图象的交点个数得的范围. 【详解】函数有两个零点，即函数的图象与的图象有两个交点， 函数的定义域为， , 令，解得 ， ,的变化情况如下表： - 0 + 单调递减 单调递增 所以，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 故当时，有极小值， 令，解得， 当时，；当时，， 当无限趋向于负无穷大时， 无限趋向于0；当无限趋向于正无穷大时时，无限趋向于正无穷大， 由此作出函数的大致图象： 由图象得：当时，交点为0个； 当或时，交点为1个； 当时，交点为2个. 若函数的图象与的图象有两个交点， 则由图可知，实数的取值范围为. 故选：A. 52．（23-24高二上·福建南平·期末）已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得，所以构造函数求导即可进一步求解. 【详解】已知正数满足，则，令， 则，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，也就是说的最小值为. 故选：B. 53．（23-24高二上·北京海淀·期末）已知函数若不等式对任意实数x恒成立，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分，，三种情况讨论，将恒成立问题分参转化为最值问题，借助导数及函数的性质计算即可. 【详解】当时，不等式恒成立； 当时，此时，即， 即对任意恒成立， 令在上单调递减，则，故. 当时，此时，即， 即，对任意恒成立， 令，其中，则， 令，则， 所以在上单调递减， 又，要使在恒成立， 则在恒成立， 即在恒成立， 令，则在上单调递减，， 所以. 综上所述：的取值范围为. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：利用参变分离，再运用函数的思想研究不等式，并结合导数研究函数的单调性与最值. 54．（21-22高二下·全国·期末）已知函数，则 . 【答案】/ 【分析】求出函数的导函数，令，即可求出，从而得到函数解析式，再代入计算可得. 【详解】∵，则， ∴，解得， ∴， ∴. 故答案为： 55．（23-24高二上·福建南平·期末）已知函数在处的切线为，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】分别求得，利用点斜式即可求解. 【详解】因为，，从而， 所以函数在处的切线的方程为：，即. 故答案为：. 导数解答题汇总 56．（22-23高二上·山东滨州·期末）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若有两个零点，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析； (2) 【分析】（1）求出导函数，根据和分类讨论求解即可； （2）根据函数的单调性易知且，根据零点存在性定理结合函数的单调性列不等式求解即可. 【详解】（1）． ①若，，在为增函数； ②若，令，得. 当时，为减函数， 当时，为增函数. 综上所述，当时，在单调递增； 当时，在单调递减，在单调递增. （2）当时，在单调递增，不可能有两个零点，不符合题意. 当时，在单调递减，在单调递增， 因为有两个零点，必有， 因为，所以.令， 则，所以在单调递减，而， 所以当时，，即. 又，故在有1个零点； 当时，因为，则，由得，由得， 所以函数在单调递减，在单调递增，所以，即，故，所以， 取，有， 所以在有1个零点. 综上所述，当有两个零点时，. 57．（23-24高二上·浙江丽水·期末）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若函数有三个零点，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得； （2）由题意可得是函数的一个零点，故方程有两个不同的非零实数根，令，则可转化为求的范围问题，即可得a的取值范围. 【详解】（1），则，又， 所以的切线方程为； （2）， 故是函数的一个零点， 由题意可知，方程有两个不同的非零实数根， 显然不合题意， 令，则， 设，得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 故， 又时，，时，， 故，即. 58．（23-24高二上·陕西西安·期末）已知函数 (1)若，求函数在处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)若在区间上恒成立，求a的最小值． 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3) 【分析】 （1）利用导数的几何意义计算即可； （2）含参分类讨论计算导函数的符号确定单调区间即可； （3）利用（2）的结论，分类讨论计算函数的最值即可. 【详解】（1）若，则， 所以， 故函数在处的切线方程为：； （2）由， 若，则恒成立，即在上单调递增； 若，则， 所以时，，时，， 即在上单调递减，在上单调递增； （3）由（2）可知，若，在上单调递增， 此时，符合题意； 当时， （i）若，即时，此时仍有在上单调递增， 所以，符合题意； （ii）若，即时，此时有在上单调递减， 所以，不符合题意， 综上满足题意. 故a的最小值为. 59．（23-24高二上·江苏南通·期末）已知函数． (1)求函数的极值点； (2)记曲线在处的切线为，求证，与有唯一公共点． 【答案】(1) (2)证明过程见解析 【分析】（1）利用导数的性质，结合极值点的定义进行求解即可； （2）根据导数的几何意义，结合导数的性质进行运算证明即可. 【详解】（1）， 令， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以函数的极值点为； （2）由（1）可知：，而， 所以切线的方程为， 由，或， 当时，，此时，与有公共点， 当时，设， 当时，单调递减， 当时，单调递增，所以， 即，当且仅当时取等号， 所以由，即，此时与有公共点， 综上所述：与有唯一公共点. 60．（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知函数（为常数），曲线在点处的切线平行于直线. (1)求的值； (2)求函数的极值. 【答案】(1) (2)极大值为，极小值为 【分析】（1）求导得，由此即可求解； （2）求导得，根据导数与极值的关系列表即可得解. 【详解】（1）， ∵在点处的切线平行于直线， ∴，∴； （2）由（1）可得， 令得或，列表如下： 3 + 0 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ ∴极大值为，极小值为. 61．（多选）（23-24高二上·云南曲靖·期末）柜子里有4双不同的鞋子，从中随机地取出2只，下列计算结果正确的是（    ） A．“取出的鞋不成双”的概率等于 B．“取出的鞋都是左鞋”的概率等于 C．“取出的鞋都是一只脚的”的概率等于 D．“取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，但不成双”的概率等于 【答案】ABC 【分析】对于A，求出取出的鞋不成双的可能，然后利用古典概型公式判断；对于B，求出取出的鞋都是左鞋的可能，然后利用古典概型公式判断；对于C，由B选项结论，以及加法公式可判断；对于D选项，求出取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，但不成双的可能，然后利用古典概型公式判断. 【详解】对于A，可以先取两双鞋再各分配一只即可得到“取出的鞋不成双”的可能情况数， 所以“取出的鞋不成双”的概率为，故A正确； 对于B，从4只左鞋里面取两只即可得到“取出的鞋都是左鞋”的可能情况数， 所以“取出的鞋都是左鞋”的概率等于，故B正确； 对于C，由B选项可知，“取出的鞋都是左鞋”的概率等于，同理“取出的鞋都是右鞋”的概率等于， 所以“取出的鞋都是一只脚的”的概率等于，故C正确； 对于D，可以先取两双鞋，再分步取鞋使得它们一只是左脚的，一只是右脚的，满足题意的可能情况数， 所以“取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，但不成双”的概率为，故D错误. 故选：ABC. 【点睛】关键点睛：本题的关键是熟练利用组合数公式的实际意义、古典概型公式还有加法、乘法计数原理等，从而即可顺利得解. 62．（多选）（23-24高二上·重庆·期末）定义集合，设中所有元素的和为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．当为偶数时，中有项 D．当为奇数时，中元素的最小值为 【答案】ACD 【分析】对于AB：直接根据集合的定义判断；对于BC：根据的奇偶设和，利用二项式定理求中元素的个数或最值. 【详解】对于A：，则，A正确； 对于B：，B错误； 对于C：当为偶数时，设， 则， 其中， ， 所以， 即，即， 集合中元素个数为，C正确； 对于D：当为奇数时，设， 则， 其中， 所以 ，即， 当时，，符合. 即中元素的最小值为，D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点睛： (1)本题求解的关键在于将变形为，使得展开式中的每一项与除数3建立联系． (2)用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与余数密切相关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，但要注意两点：一是余数的范围，二是二项式定理的逆用． 63．（多选）（22-23高二下·浙江台州·期末）对，设，其中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据题意，令和，可判定A正确，B不正确；令，结合，化简得到，可判定C正确；等号两边同除以，化简得到，令，可判定D正确. 【详解】由，其中， 对于A中，令，可得，所以A正确； 对于B中，令，可得，所以，所以B不正确； 对于C中，由 ， 又由，且， 可得， 令，可得 因为，所以，即，所以C正确； 对于D中，因为， 可得， 因为，其中， 所以 ， 所以可得， 所以，所以D正确. 故选：ACD. 64．（23-24高二上·广东茂名·期末）已知数列满足． (1)求的通项公式； (2)若的前项和为，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据时，，相减即可求解， （2）根据数列的单调性可得，进而根据裂项求和即可求解. 【详解】（1）当时，． 因为， 所以， 当时，， 所以，所以， 当时，符合上式； 所以； （2）设，有， 可知数列单调递减，可知，有， 可知． 当时，有， 当时，， 当时，有 ， 由上可知． 65．（22-23高二上·福建福州·期末）已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)当时，求函数的最小值. 【答案】(1). (2)0 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求得切线方程. （2）利用导数研究在区间上的单调性，由此求得在区间上的最小值. 【详解】（1） . 所以 ，， 所以在处的切线方程为， 即. （2）当时，， ， 令，则 . 当时，，所以在单调递减. 所以. 所以，函数在上单调递减， 所以，即函数的最小值为0. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$