第五章 生活中的轴对称 轴对称的应用 将军饮马中的木兰辞问题 教学设计-2023-2024学年北师大版数学七年级下册

将军饮马中的木兰辞问题教学设计 内 容 教学目的 1.能够建立几何模型，将实际问题抽象为数学的最短路径问题; 2.能够利用轴对称、平移等图形变换，将线段和的最值问题转化为“两点之间线段最短”问题或“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短”问题； 3.能根据情境需求，分类讨论，并完成复杂情境向简单情境的转化，体会分类讨论思想和类比、转化思想，体会学科思维习惯,体验深度学习过程； 4.积极参与问题的探索活动，自主创设情境、提岀问题, 学会和他人合作交流，体会成功的快乐，提升数学学习的兴趣。 教学重点难点 1.教学重点：理解轴对称图形的有关性质，并体验轴对称在现实生活中的广泛应用。 2.教学难点：轴对称的有关性质在现实生活中的应用。 教学过程 一、激疑引趣 提出问题-----利用视频导入问题 同学们：我们已经学习了轴对称的相关性质。接下来跟着刘老师一起学习轴对称的应用，将军饮马问题。 故事背景：传说古希腊有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：将军每天骑马从城堡A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的城堡B开会，应该怎样走才能使路程最短？ 从此，这个问题被称为“将军饮马问题”而广为流传。 这个问题其实并不难，据说海伦稍加思索就解决了。 二、任务驱动 启迪智慧------利用轴对称的性质尝试解决问题 内容页：我们接下来把这个实际问题转化为数学模型。将军抽象为点A，军营抽象为点B 河岸用直线L表示，那我们的问题转化为如何在直线L上找点Q，使得Q到A，B两点的距离最短。（出示动画） 内容页：接下来，我们一起来学习这个模型的作图步骤吧。（出示步骤动画） 第1.作A点关于直线L的对称点A'。 第2.连接A'B交直线L于点P 第3.当Q与P重合时，QA+QB最短，P点即最佳饮马点。 通过观察右面的动态数据，Q点在运动过程中，QA+QB的长度和大于A'B（出示动画），当Q点和P点重合时，QA+QB等于A'B。所以，P点为最佳饮马点，最小值为A'B。 内容页：这是为什么呢？接下来我们利用轴对称的性质来证明这个数学模型吧。按照PPT页面读写证明页。（出示强调） 内容页：我们学习了将军饮马的数学证明，接下来，我们介绍一下将军饮马的基本模型-两条线段和最短。 第一种类型，将军和军营分居河岸两侧，线段AB则为最短路径，P点为最佳饮马点。第二种类型，将军和军营在河岸同侧，利用轴对称的性质，化同侧为异侧，找到最佳饮马点P。 三、任务驱动 启迪智慧 内容页：同学们真棒，我们已经掌握了将军饮马模型中作一次对称点的情况，接下来讨论拓展模型，作两次对称点的情况。 读题：问题：在∠BOA的内部有一点P，在OB上找一点N，在OA上找一点M，使得△PNM的周长最小. 解题步骤（作图步骤） 1.作P点关于OA的对称点P1 2.作P点关于OB的对称点P2 3.连接P1P2,交OA于点M，交OB于点N，交点MN即所求，这是为什么呢？ 内容页：我们一起来利用轴对称的性质解释这个问题吧！ 左图是N点和M点的位置，右图显示了为什么此时△PNM的周长最小。 通过右图的动态过程对比观察，N1、M1分别是OA和OB边上的动点，当它们运动时，我们观察表格中的数据，△PN1M1三边的长度是大于P1P2的长度的。只有当点N1和N点重合，M1和M点重合时，△PN1M1三边的长度等于P1P2。 有的同学会问，为什么P1P2就是△PNM的周长呢？问的真好，因为轴对称的性质，PN=P1N，PM=P2M，所以△PNM的周长等于P1P2的长度。 4、 归纳总结 举一反三 内容页：将军饮马模型本质上是轴对称的应用，我们此处列举了9种模型， 更复杂的情况我们会在8年级和9年级学到，同学们要做好准备哈。 五、再攀高峰 迁移应用 内容页：好了，我们来做道题巩固一下吧！木兰将军从大桥AB的P处前往山脚下的Q处买军粮，然后将军粮送往河岸边BC上，再回到P处，请画出行军最短路径。 事实上，希沃白板中的数学画板已经嵌入了5个将军饮马模型，师生都可以通过希沃强大的交互功能演示最短路径的动态变化过程，更加深入的掌握这个知识点。 实际问题--数学问题--解决问题--拓展延伸--解决生活中的问题。我们解决了将军饮马中的木兰辞问题，发现生活中的别样精彩。 学科网（北京）股份有限公司 $$