专题04复数（考点串讲）-2023-2024学年高一数学下学期期末考点大串讲（沪教版2020必修二）

高一沪教版数学下册期末考点大串讲 串讲04 复数 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 二大易错易混经典例题 5道期末真题对应考点练 三大重难点题型典例剖析+技巧总结 四大常考点：知识梳理 考点透视 例1(2021黑龙江工农校级月考)已知复数z=(m2+5m+6)+(m2-2m-15)i(m∈R). (1)若复数z是实数,求实数m的值; (2)若复数z是虚数,求实数m的取值范围; (3)若复数z是纯虚数,求实数m的值. 解 (1)若复数z是实数,则m2-2m-15=0,解得m=5或-3. (2)若复数z是虚数,则m2-2m-15≠0,解得m≠5且m≠-3.故实数m的取值范围为 {m|m≠5且m≠-3}. 题型剖析 题型一：复数的概念 名师点析处理复数概念问题的两个注意点 (1)当复数不是a+bi(a,b∈R)的形式时,要通过变形化为a+bi(a,b∈R)的形式,以便确定其实部和虚部. (2)求解时,要注意实部和虚部本身对变量的要求,否则容易产生增根. 例2(1)在复平面内,复数 (i是虚数单位)所对应的点位于(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 (2)已知复数z1=2+3i,z2=a+bi(a,b∈R),z3=1-4i,它们在复平面上所对应的点 题型二：复数的几何意义 答案 (1)B　(2)-3　-10 名师点析利用复数与点的对应解题的步骤 (1)首先确定复数的实部与虚部,从而确定复数对应点的坐标. (2)根据已知条件,确定实部与虚部满足的关系. 例3(1)已知是z的共轭复数,若z· i+2=2z,则z=(　　) A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i A.-4+3i B.3+4i C.3-4i D.4-3i 题型三：复数的四则运算 答案 (1)A　(2)D 解析 (1)设z=a+bi(a,b∈R),则 =a-bi,代入z· i+2=2z中得,(a+bi)(a-bi)i+2=2(a+bi), ∴2+(a2+b2)i=2a+2bi, 点师点析(1)复数的乘法运算与多项式的乘法运算类似. (2)复数的除法运算,将分子分母同时乘分母的共轭复数,最后整理成a+bi(a,b∈R)的结构形式. (3)利用复数相等,可实现复数问题的实数化. 解析 －2　 易错点01　对纯虚数的概念把握不准致误 易错易混 解析 {0，－2} 易错点02　误将复数运算当作实数运算 1.(2023春·黄浦区期末)若1+ i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则( ____ ) A.b=2，c=3 B.b=-2，c=3 C.b=-2，c=-1 D.b=2，c=-1 【解析】解：由题意1+ i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0 ∴1+2 i-2+b+ bi+c=0 ∴ ，解得b=-2，c=3 故选：B． B 押题预测 22 2.(2022春·浦东新区校级期末)在复平面内，复数z对应点的坐标为(2，-1)，则(1+i)•z= _____ ． 【解析】解：复数z对应点的坐标为(2，-1)， ∴z=2-i,(1+i)•z=(1+i)•(2-i)=2+2i-i-i2=3+i. 故答案为：3+i. 3+i 23 3.(2022春·虹口区校级期末)已知复数 ，若复数z满足2iz=z1，则复数z的辐角主值为 　　． 【解析】解：∵ ，2iz=z1， ∴ = ， 故复数z的辐角主值为 ． 故答案为： ． 24 4.(2023春·杨浦区校级期末)设复数z=a-i,其中i为虚数单位，a∈R． (1)若z(1+i)是纯虚数，求实数a的值； (2)若a=2，求复数 +i的模． 【解析】解：(1)∵z(1+i)=(a-i)(1+i)=(a+1)+(a-1)i是纯虚数， ∴ ，解得a=-1； (2)若a=2，则 = ， ∴复数 +i的模为 ． 25 5.(2023春·闵行区校级期末)已知a∈R，复数z1=a-1+i,z2=1- =-1在复平面上对应的点分别为A、B、C，O为坐标原点． (1)求|z1+z2|的取值范围； (2)当A、B、C三点共线时，求三角形AOB的面积． 【解析】解：(1)因为z1+z2=a- ，a∈R， 所以|z1+z2|= ≥ =2，当且仅当a= 时等号成立， 故|z1+z2|的取值范围是[2，+∞)． 26 (2)由题意有A(a-1，1)，B(1，-1- )，C(-1，0)三点共线， ∴kAC=kBC，即 ，解得a=-4， ∴A(-5，1)，B(1，- )，即 =(-5，1)， =(1，- )， 所以cos∠AOB= = =- ，∴sin∠AOB= ， 所以S△AOB= | || |sin∠AOB= = ． 5.(2023春·闵行区校级期末)已知a∈R，复数z1=a-1+i,z2=1- =-1在复平面上对应的点分别为A、B、C，O为坐标原点． (1)求|z1+z2|的取值范围； (2)当A、B、C三点共线时，求三角形AOB的面积． 27 【知识梳理】 1．复数的有关概念 (1)复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数，若b≠0，则a＋bi为虚数，若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数． (2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)． (3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＋d＝0(a，b，c，d∈R)． (4)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数． (5)复数的模：向量eq \o(OZ,\s\up17(―→))的模r叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝eq \r(a2＋b2) (r≥0，r∈R)． 2．复数的几何意义 (1)复数z＝a＋bi 复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)． (2)复数z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量eq \o(OZ,\s\up17(―→)). 3．复数的四则运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； ②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； ③乘法：z1z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； ④除法：eq \f(z1,z2)＝eq \f(a＋bi,c＋di)＝eq \f(a＋bic－di,c＋dic－di)＝eq \f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq \f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0)． (2)复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． 4．复数的三角表示 (1)复数的三角形式 ①一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cos θ＋isin θ)的形式．其中r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量eq \o(OZ,\s\up17(―→))所在射线为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角．r(cos θ＋isin θ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式． ②规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作arg z，即0≤arg z<2π. ③复数的三角形式和代数形式可以相互转化． (2)复数三角形式乘、除运算的三角表示及其几何意义 设z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)， ①乘法：z1z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)·r2(cos θ2＋isin θ2)＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]． 即两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和． ②除法：eq \f(r1cos θ1＋isin θ1,r2cos θ2＋isin θ2)＝eq \f(r1,r2)[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]． 即两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差． (3)若z是纯虚数,则解得m=-2. 分别为A,B,C.若=2,则a=　　　　　,b=　　　　　.  解析 (1)=-i, 故复数对应的点位于第二象限. (2)∵=2,∴1-4i=2(2+3i)+(a+bi).即 (2)已知复数z1=2-3i,z2=,则等于(　　) 由复数相等的条件得, ∴ ∴z=1+i,故选A. (2)==4-3i. 【应用问题与数学建模】 ——巧妙运用复数知识寻找宝藏 一个探险家无意中得到一张藏宝图，图上画着一座海岛，海岛上有两座宝塔A和B，以及一座寺庙，藏宝图用一种比较特别的方式指出了宝藏的位置． 从寺庙开始沿直线走向宝塔A，到达后记下距离并向左转90°，沿直线走相同的距离，然后在停止处做一记号．再回到寺庙，同样沿直线走向宝塔B，到达后记下距离并向右转90°，沿直线走相同的距离，然后在停止处再做一记号，两个记号连线的中点就是宝藏所在的位置． 探险家得到宝藏图之后，兴奋不已，不顾路途艰辛，跋山涉水终于找到了这座海岛，海岛上果真有两座宝塔，但是却找不到任何寺庙的影子，失望之余探险家就疯狂的挖起地来，他希望能够找到宝藏，但海岛面积较大，他挖了好多天也没有发现宝藏的踪迹，最后只好失望而归． 其实我们可以利用复数找到宝藏的位置，按照宝藏图可以绘制出如下平面图： 设点C是寺庙的位置，D，E是前后两次作记号的位置，T为DE的中点，即宝藏的位置，以宝塔A为原点，以两塔A，B所在的直线为x轴，建立直角坐标系．设|AB|＝d，eq \o(AC,\s\up17(―→))＝a＋bi，由复数的运算法则： eq \o(BC,\s\up17(―→))＝eq \o(BA,\s\up17(―→))＋eq \o(AC,\s\up17(―→))＝－d＋a＋bi＝(a－d)＋bi， eq \o(AD,\s\up17(―→))＝eq \o(AC,\s\up17(―→))·(－i)＝(a＋bi)·(－i)＝b－ai， eq \o(BE,\s\up17(―→))＝eq \o(BC,\s\up17(―→))·i＝[(a－d)＋bi]·i＝－b＋(a－d)i， eq \o(DE,\s\up17(―→))＝eq \o(DA,\s\up17(―→))＋eq \o(AB,\s\up17(―→))＋eq \o(BE,\s\up17(―→))＝(d－2b)＋(2a－d)i， eq \o(AT,\s\up17(―→))＝eq \o(AD,\s\up17(―→))＋eq \f(1,2) eq \o(DE,\s\up17(―→))＝eq \f(d,2)－eq \f(d,2)i. 所以宝藏的位置与寺庙的位置并没有关系，只要从宝塔A出发，沿着AB走到AB的中点处，记下距离，然后向右转90°，继续沿直线走相同距离，就可以到达宝藏所在的位置． 【例1】设m∈R，m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m＝________． 复数m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数的充要条件是eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2＋m－2＝0，,m2－1≠0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝1或m＝－2，,m≠±1，)) 即m＝－2.故当m＝－2时，m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数． 【例2】已知集合M＝{z||z＋1|＝1}，N＝{z||z＋i|＝|z－i|}，则M∩N＝________． 在复平面内，|z＋1|＝1的几何意义是以点(－1，0)为圆心，1为半径的圆．|z＋i|＝|z－i|的几何意义是到点A(0，1)和点B(0，－1)距离相等的点的集合，是线段AB的垂直平分线，也就是实轴．M∩N的几何意义是实轴与圆的公共点对应的复数，故z＝0或z＝－2，∴M∩N＝{0，－2}． $$