期末复习（易错题50题26个考点）-2023-2024学年八年级数学下学期期中期末考点归纳满分攻略讲练（人教版）

期末复习（易错题50题26个考点） 一．二次根式的性质与化简（共3小题） 1．若2＜a＜3，则等于（　　） A．5﹣2a B．1﹣2a C．2a﹣5 D．2a﹣1 2．已知+2＝b+8，则的值是　 　． 3．先阅读下列的解答过程，然后再解答： 形如的化简，只要我们找到两个数a、b，使a+b＝m，ab＝n，使得+＝m，＝，那么便有： ＝＝±（a＞b）． 例如：化简． 解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12 即+＝7，×＝ ∴＝＝＝2+． 由上述例题的方法化简：． 二．分母有理化（共1小题） 4．阅读下列材料，然后回答问题： 在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如、这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：； ．以上这种化简过程叫做分母有理化． 还可以用以下方法化简：． （1）请用其中一种方法化简； （2）化简：． 三．同类二次根式（共1小题） 5．若二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则a＝　 　． 四．二次根式的混合运算（共1小题） 6．计算： （1）； （2）． 五．二次根式的化简求值（共1小题） 7．如果f（x）＝并且f（）表示当x＝时的值，即f（）＝＝，f（）表示当x＝时的值，即f（）＝，那么f（）+f（）+f（）+f（）+的值是（　　） A．n B．n C．n D．n+ 六．函数的概念（共1小题） 8．下列图形中，不能代表y是x函数的是（　　） A． B． C． D． 七．函数自变量的取值范围（共1小题） 9．函数y＝中，自变量x的取值范围是（　　） A．x≥1 B．x＞1 C．x≥1且x≠2 D．x≠2 八．函数的图象（共2小题） 10．甲骑摩托车从A地去B地，乙开汽车从B地去A地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，设甲乙两人间距离为s（单位：千米），甲行驶的时间为（单位：小时），s与t之间的函数关系如图所示，有下列结论： ①出发1小时时，甲、乙在途中相遇； ②乙开车速度是80千米/小时； ③出发1.5小时时，乙比甲多行驶了60千米； ④出发3小时时，甲乙同时到达终点； 其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 11．匀速地向一个容器注水，最后把容器注满．在注水的过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中OEFG为一折线），那么这个容器的形状可能是下列图中的（　　） A． B． C． D． 九．动点问题的函数图象（共1小题） 12．如图1，点P从△ABC的顶点A出发，沿A﹣B﹣C匀速运动，到点C停止运动．点P运动时，线段AP的长度y与运动时间x的函数关系如图2所示，其中D为曲线部分的最低点，则△ABC的面积是（　　） A．10 B．12 C．20 D．24 一十．一次函数图象与系数的关系（共1小题） 13．已知一次函数y＝（m﹣4）x+2m+1的图象不经过第三象限，则m的取值范围是（　　） A．m＜4 B．﹣≤m＜4 C．﹣≤m≤4 D．m 一十一．一次函数图象上点的坐标特征（共2小题） 14．如图所示，直线y＝x+2与两坐标轴分别交于A、B两点，点C是OB的中点，D、E分别是直线AB、y轴上的动点，则△CDE周长的最小值是　 　． 15．若直线y＝3x+b与两坐标轴所围成的三角形的面积是6个单位，则b的值是　 　． 一十二．一次函数图象与几何变换（共3小题） 16．若直线y＝kx+3与直线y＝2x+b关于直线x＝1对称，则k、b值分别为（　　） A．k＝2、b＝﹣3 B．k＝﹣2、b＝﹣3 C．k＝﹣2、b＝1 D．k＝﹣2、b＝﹣1 17．已知直线l：y＝﹣x+1与x轴交于点P，将l绕点P顺时针旋转90°得到直线l′，则直线l′的解析式为（　　） A． B．y＝2x﹣1 C． D．y＝2x﹣4 18．把直线y＝x+1向右平移　 　个单位可得到直线y＝x﹣2． 一十三．待定系数法求一次函数解析式（共1小题） 19．已知y﹣1与x+2成正比例，且x＝﹣1时，y＝3． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若点（2m+1，3）是该函数图象上的一点，求m的值． 一十四．一次函数与一元一次不等式（共3小题） 20．同一平面直角坐标系中，一次函数y1＝k1x+b与正比例函数y2＝k2x的图象如图所示，则满足y1≥y2的x取值范围是（　　） A．x≤﹣2 B．x≥﹣2 C．x＜﹣2 D．x＞﹣2 21．一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象如图，则kx+b＞x+a的解集是　 　． 22．如图，直线l1：y1＝﹣x+b分别与x轴、y轴交于点A、点B，与直线l2：y2＝x交于点C（2，2）． （1）若y1＜y2，请直接写出x的取值范围； （2）点P在直线l1：y1＝﹣x+b上，且△OPC的面积为3，求点P的坐标？ 一十五．一次函数的应用（共2小题） 23．为了落实党的“精准扶贫”政策，A、B两城决定向C、D两乡运送肥料以支持农村生产，已知A、B两城共有肥料500吨，其中A城肥料比B城少100吨，从A城往C、D两乡运肥料的费用分别为20元/吨和25元/吨；从B城往C、D两乡运肥料的费用分别为15元/吨和24元/吨．现C乡需要肥料240吨，D乡需要肥料260吨． （1）A城和B城各有多少吨肥料？ （2）设从A城运往C乡肥料x吨，总运费为y元，求出最少总运费． （3）由于更换车型，使A城运往C乡的运费每吨减少a（0＜a＜6）元，这时怎样调运才能使总运费最少？ 24．某商店准备购进A、B两种商品，A种商品每件的进价比B种商品每件的进价多20元，用3000元购进A种商品和用1800元购进B种商品的数量相同．商店将A种商品每件的售价定为80元，B种商品每件的售价定为45元． （1）A种商品每件的进价和B种商品每件的进价各是多少元？ （2）商店计划用不超过1560元的资金购进A、B两种商品共40件，其中A种商品的数量不低于B种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？ （3）端午节期间，商店开展优惠促销活动，决定对每件A种商品售价优惠m（10＜m＜20）元，B种商品售价不变，在（2）条件下，请设计出销售这40件商品获得总利润最大的进货方案． 一十六．一次函数综合题（共5小题） 25．如图，已知点A（﹣1，0）和点B（1，2），在y轴上确定点P，使得△ABP为直角三角形，则满足条件的点P共有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 26．一次函数y＝x+4分别交x轴、y轴于A、B两点，在x轴上取一点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的点C的坐标为　 　． 27．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点C（2，m）为直线y＝x+2上一点，直线y＝﹣x+b过点C． （1）求m和b的值； （2）直线y＝﹣x+b与x轴交于点D，动点P从点D开始以每秒1个单位的速度向x轴负方向运动．设点P的运动时间为t秒． ①若点P在线段DA上，且△ACP的面积为10，求t的值； ②是否存在t的值，使△ACP为等腰三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 28．如图，将一矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，O（0，0），A（6，0），C（0，3），动点F从点O出发以每秒1个单位长度的速度沿OC向终点C运动，运动秒时，动点E从点A出发以相同的速度沿AO向终点O运动，当点E、F其中一点到达终点时，另一点也停止运动设点E的运动时间为t：（秒） （I）OE＝　 　，OF＝　 　（用含t的代数式表示） （II）当t＝1时，将△OEF沿EF翻折，点O恰好落在CB边上的点D处 ①求点D的坐标及直线DE的解析式； ②点M是射线DB上的任意一点，过点M作直线DE的平行线，与x轴交于N点，设直线MN的解析式为y＝kx+b，当点M与点B不重合时，S为△MBN的面积，当点M与点B重合时，S＝0．求S与b之间的函数关系式，并求出自变量b的取值范围． 29．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+8分别交x轴、y轴于点A、B，将正比例函数y＝2x的图象沿y轴向下平移3个单位长度得到直线l，直线l分别交x轴、y轴于点C、D，交直线AB于点E． （1）直接写出直线l对应的函数表达式； （2）在直线AB上存在点F（不与点E重合），使BF＝BE，求点F的坐标； （3）在x轴上是否存在点P，使∠PDO＝2∠PBO？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 一十七．平行线之间的距离（共1小题） 30．已知直线a∥b，点M到直线a的距离是5cm，到直线b的距离是3cm，那么直线a和b之间的距离是（　　） A．2cm B．6cm C．8cm D．2cm或8cm 一十八．等腰三角形的性质（共1小题） 31．已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是 　 　． 一十九．直角三角形斜边上的中线（共1小题） 32．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，点E、F分别是AB、AC上的动点，∠EDF＝90°，M、N分别是EF、AC的中点，连接AM、MN，若AC＝6，AB＝5，则AM﹣MN的最大值为　 　． 二十．勾股定理（共3小题） 33．已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，则△ABC的形状是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 34．在△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC上的高AD长为12，则△ABC的面积为（　　） A．84 B．24 C．24或84 D．42或84 35．如图，以Rt△ABC的三条边作三个正三角形，则S1、S2、S3、S4的关系为（　　） A．S1+S2+S3＝S4 B．S1+S2＝S3+S4 C．S1+S3＝S2+S4 D．不能确定 二十一．勾股定理的应用（共1小题） 36．《九章算术》中记载“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部3尺远．问：原处还有多高的竹子？（1丈＝10尺）答：原处的竹子还有 　 　尺高． 二十二．三角形中位线定理（共2小题） 37．如图，已知△ABC的周长为1，连接△ABC三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，…，依此类推，则第10个三角形的周长为　 　． 38．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝2cm，E、F分别是AB、AC的中点，动点P从点E出发，沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s，同时动点Q从点B出发，沿BF方向匀速运动，速度为2cm/s，连接PQ，设运动时间为ts（0＜t＜1），则当t＝　 　时，△PQF为等腰三角形． 二十三．菱形的性质（共1小题） 39．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E、F分别为AD、DC上的动点，∠EBF＝60°，点E从点A向点D运动的过程中，AE+CF的长度（　　） A．逐渐增加 B．逐渐减小 C．保持不变且与EF的长度相等 D．保持不变且与AB的长度相等 二十四．矩形的性质（共2小题） 40．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝6，BC＝8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（　　） A． B． C． D． 41．如图，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝4cm，AD＝2cm，动点P、Q分别从点A，C同时出发，都以1cm/s的速度运动，其中点P由A运动到B停止，点Q由点C运动到点D停止． （1）求四边形PBCQ的面积； （2）P、Q两点从出发开始到几秒时，点P、Q、D组成的三角形是等腰三角形？ 二十五．正方形的性质（共8小题） 42．将n个边长都为1cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A1，A2，…，An分别是正方形对角线的交点，则n个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为（　　） A． cm2 B．cm2 C． cm2 D．（）ncm2 43．如图，以边长为4的正方形ABCD的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于E、F两点，则线段EF的最小值为（　　） A．2 B．4 C． D．2 44．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E是BC上的一点且CE＝3，连接DE，动点M从点A以每秒2个单位长度的速度沿AB﹣BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点M的运动时间为t秒，当△ABM和△DCE全等时，t的值是（　　） A．3.5 B．5.5 C．6.5 D．3.5或6.5 45．如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于点G．若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△BCG的周长为　 　． 46．如图，已知正方形ABCD中，AD＝6，∠DAE＝30°，点F为AE的中点，过点F作直线分别与AD、BC相交于点M、N，若MN＝AE，则AM的长等于　 　． 47．如图1，在正方形ABCD中，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F． （1）若点E是BC边上的中点，求证：AE＝EF； （2）如图2，若点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，那么结论“AE＝EF”是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； （3）如图3，若点E是BC边上的任意点一，在AB边上是否存在点M，使得四边形DMEF是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由． 48．如图，正方形ABCD边长为4，点E在边AB上（点E与点A、B不重合），过点A作AF⊥DE，垂足为G，AF与边BC相交于点F． （1）求证：△ADF≌△DCE； （2）若△DEF的面积为，求AF的长； （3）在（2）的条件下，取DE，AF的中点M，N，连接MN，求MN的长． 49．正方形ABCD的对角线AC、BD相交于O，直角三角板EFG的直角顶点E在线段AC上，EF、EG与BC、CD边相交于M、N． （1）如图1，若E点与O点重合，求证：EM＝EN； （2）如图2，若E点不与O点重合： ①EM还等于EN吗？说明理由； ②试找出MC、CN、EC三者之间的等量关系，并说明理由． 二十六．算术平均数（共1小题） 50．x1，x2，…，x10的平均数为a，x11，x12，…，x50的平均数为b，则x1，x2，…，x50的平均数为（　　） A．a+b B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末复习（易错题50题26个考点） 一．二次根式的性质与化简（共3小题） 1．若2＜a＜3，则等于（　　） A．5﹣2a B．1﹣2a C．2a﹣5 D．2a﹣1 【答案】C 【解答】解：∵2＜a＜3， ∴ ＝a﹣2﹣（3﹣a） ＝a﹣2﹣3+a ＝2a﹣5． 故选：C． 2．已知+2＝b+8，则的值是　5　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由题可得， 解得， 即a＝17， ∴0＝b+8， ∴b＝﹣8， ∴＝＝5， 故答案为：5． 3．先阅读下列的解答过程，然后再解答： 形如的化简，只要我们找到两个数a、b，使a+b＝m，ab＝n，使得+＝m，＝，那么便有： ＝＝±（a＞b）． 例如：化简． 解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12 即+＝7，×＝ ∴＝＝＝2+． 由上述例题的方法化简：． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：根据，可得m＝13，n＝42， ∵6+7＝13，6×7＝42， ∴＝＝． 二．分母有理化（共1小题） 4．阅读下列材料，然后回答问题： 在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如、这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：； ．以上这种化简过程叫做分母有理化． 还可以用以下方法化简：． （1）请用其中一种方法化简； （2）化简：． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）原式＝＝； （2）原式＝+++… ＝﹣1+﹣+﹣+…﹣＝﹣1 ＝3﹣1 三．同类二次根式（共1小题） 5．若二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则a＝　2　． 【答案】2． 【解答】解：∵＝2与最简二次根式是同类二次根式， ∴a+1＝3， 解得a＝2， 故答案为：2． 四．二次根式的混合运算（共1小题） 6．计算： （1）； （2）． 【答案】（1）17； （2）12﹣4． 【解答】解：（1） ＝﹣ ＝20﹣ ＝20﹣3 ＝17； （2） ＝1﹣4+12﹣（4﹣3） ＝1﹣4+12﹣1 ＝12﹣4． 五．二次根式的化简求值（共1小题） 7．如果f（x）＝并且f（）表示当x＝时的值，即f（）＝＝，f（）表示当x＝时的值，即f（）＝，那么f（）+f（）+f（）+f（）+的值是（　　） A．n B．n C．n D．n+ 【答案】A 【解答】解：代入计算可得，f（）+f（）＝1，f（）+f（）＝1，…，f（）+f（）＝1， 所以，原式＝+（n﹣1）＝n﹣． 故选：A． 六．函数的概念（共1小题） 8．下列图形中，不能代表y是x函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：A、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，故此选项不符合题意； B、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，故此选项不符合题意； C、不满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，故此选项符合题意； D、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，故此选项不符合题意； 故选：C． 七．函数自变量的取值范围（共1小题） 9．函数y＝中，自变量x的取值范围是（　　） A．x≥1 B．x＞1 C．x≥1且x≠2 D．x≠2 【答案】C 【解答】解：依题意得：x﹣1≥0且x﹣2≠0， 解得x≥1且x≠2． 故选：C． 八．函数的图象（共2小题） 10．甲骑摩托车从A地去B地，乙开汽车从B地去A地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，设甲乙两人间距离为s（单位：千米），甲行驶的时间为（单位：小时），s与t之间的函数关系如图所示，有下列结论： ①出发1小时时，甲、乙在途中相遇； ②乙开车速度是80千米/小时； ③出发1.5小时时，乙比甲多行驶了60千米； ④出发3小时时，甲乙同时到达终点； 其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解答】解：由图象可得，当t＝1时，s＝0， 即出发1小时时，甲乙在途中相遇，故①正确， 甲的速度是：120÷3＝40千米/时，则乙的速度是：120÷1﹣40＝80千米/h，故②正确； 出发1.5小时时，乙比甲多行驶路程是：1.5×（80﹣40）＝60千米，故③正确； 在1.5小时时，乙到达终点，甲在3小时时到达终点，故④错误， 故选：C． 11．匀速地向一个容器注水，最后把容器注满．在注水的过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中OEFG为一折线），那么这个容器的形状可能是下列图中的（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：从图中可以看出，OE上升最快，EF上升较慢，FG上升较快， 所以容器的底部容积最小，中间容积最大，上面容积较大， 故选：B． 九．动点问题的函数图象（共1小题） 12．如图1，点P从△ABC的顶点A出发，沿A﹣B﹣C匀速运动，到点C停止运动．点P运动时，线段AP的长度y与运动时间x的函数关系如图2所示，其中D为曲线部分的最低点，则△ABC的面积是（　　） A．10 B．12 C．20 D．24 【答案】B 【解答】解：根据图象可知，点P在AB上运动时，此时AP不断增大， 由图象可知：点P从A向B运动时，AP的最大值为5，即AB＝5， 点P从B向C运动时，AP的最小值为4， 即BC边上的高为4， ∴当AP⊥BC，AP＝4， 此时，由勾股定理可知：BP＝3， 由于图象的曲线部分是轴对称图形， ∴PC＝3， ∴BC＝6， ∴△ABC的面积为：×4×6＝12， 故选：B． 一十．一次函数图象与系数的关系（共1小题） 13．已知一次函数y＝（m﹣4）x+2m+1的图象不经过第三象限，则m的取值范围是（　　） A．m＜4 B．﹣≤m＜4 C．﹣≤m≤4 D．m 【答案】B 【解答】解：根据题意得 ， 解得﹣≤m＜4． 故选：B． 一十一．一次函数图象上点的坐标特征（共2小题） 14．如图所示，直线y＝x+2与两坐标轴分别交于A、B两点，点C是OB的中点，D、E分别是直线AB、y轴上的动点，则△CDE周长的最小值是　　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图，作点C关于AB的对称点F，关于AO的对称点G，连接DF，EG， ∵直线y＝x+2与两坐标轴分别交于A、B两点，点C是OB的中点， ∴B（﹣2，0），C（﹣1，0）， ∴BO＝2，OG＝1，BG＝3， 易得∠ABC＝45°， ∴△BCF是等腰直角三角形， ∴BF＝BC＝1， 由轴对称的性质，可得DF＝DC，EC＝EG， 当点F，D，E，G在同一直线上时，△CDE的周长＝CD+DE+CE＝DF+DE+EG＝FG， 此时△DEC周长最小， ∵Rt△BFG中，FG＝＝＝， ∴△CDE周长的最小值是． 故答案为：． 15．若直线y＝3x+b与两坐标轴所围成的三角形的面积是6个单位，则b的值是　±6　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：直线y＝3x+b与两坐标轴的交点为（0，b）、（﹣，0） 则直线y＝3x+b与两坐标轴所围成的三角形的面积：•|b|•|﹣|＝6 解得：b＝6，b＝﹣6， 则b的值是±6． 故答案为：±6 一十二．一次函数图象与几何变换（共3小题） 16．若直线y＝kx+3与直线y＝2x+b关于直线x＝1对称，则k、b值分别为（　　） A．k＝2、b＝﹣3 B．k＝﹣2、b＝﹣3 C．k＝﹣2、b＝1 D．k＝﹣2、b＝﹣1 【答案】D 【解答】解：∵一次函数y＝kx+3与y轴交点为（0，3）， ∴点（0，3）关于直线x＝1的对称点为（2，3）， 代入直线y＝2x+b，可得 4+b＝3， 解得b＝﹣1， 一次函数y＝2x﹣1与y轴交点为（0，﹣1）， （0，﹣1）关于直线x＝1的对称点为（2，﹣1）， 代入直线y＝kx+3，可得 2k+3＝﹣1， 解得k＝﹣2． 故选：D． 17．已知直线l：y＝﹣x+1与x轴交于点P，将l绕点P顺时针旋转90°得到直线l′，则直线l′的解析式为（　　） A． B．y＝2x﹣1 C． D．y＝2x﹣4 【答案】D 【解答】解：设直线l'的解析式为y＝kx+b， ∵直线l'⊥直线l， ∴﹣×k＝﹣1，即k＝2， 在直线l：y＝﹣x+1中，令y＝0，则x＝2， ∴P（2，0）， 代入y＝2x+b，可得 0＝4+b， 解得b＝﹣4， ∴直线l'的解析式为y＝2x﹣4， 故选：D． 18．把直线y＝x+1向右平移　4　个单位可得到直线y＝x﹣2． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由“左加右减”的原则可知： 直线y＝x+1向右平移n个单位，得到直线的解析式为：y＝（x﹣n）+1， 又∵平移后的直线为y＝x﹣2， ∴（x﹣n）+1＝x﹣2， 解得n＝4， 故答案为：4． 一十三．待定系数法求一次函数解析式（共1小题） 19．已知y﹣1与x+2成正比例，且x＝﹣1时，y＝3． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若点（2m+1，3）是该函数图象上的一点，求m的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）根据题意：设y﹣1＝k（x+2）， 把x＝﹣1，y＝3代入得：3﹣1＝k（﹣1+2）， 解得：k＝2． ∴y与x函数关系式为y＝2（x+2）+1＝2x+5； （2）把点（2m+1，3）代入y＝2x+5得： 3＝2（2m+1）+5 解得m＝﹣1． 一十四．一次函数与一元一次不等式（共3小题） 20．同一平面直角坐标系中，一次函数y1＝k1x+b与正比例函数y2＝k2x的图象如图所示，则满足y1≥y2的x取值范围是（　　） A．x≤﹣2 B．x≥﹣2 C．x＜﹣2 D．x＞﹣2 【答案】A 【解答】解：当x≤﹣2时，直线l1：y1＝k1x+b1都在直线l2：y2＝k2x的上方，即y1≥y2． 故选：A． 21．一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象如图，则kx+b＞x+a的解集是　x＜﹣2　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由图象得：不等式组kx+b＞x+a的解集是x＜﹣2． 故答案为：x＜﹣2． 22．如图，直线l1：y1＝﹣x+b分别与x轴、y轴交于点A、点B，与直线l2：y2＝x交于点C（2，2）． （1）若y1＜y2，请直接写出x的取值范围； （2）点P在直线l1：y1＝﹣x+b上，且△OPC的面积为3，求点P的坐标？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵直线l1：y1＝﹣x+b与直线l2：y2＝x交于点C（2，2）， ∴当y1＜y2时，x＞2； （2）将（2，2）代入y1＝﹣x+b，得b＝3， ∴y1＝﹣x+3， ∴A（6，0），B（0，3）， ∴S△BOC＝×3×2＝3， 当点P与点B重合时，△OPC的面积为3， 此时，P（0，3）； 当点P在射线CA上时，点C为PB的中点， 设点P的坐标为（a，b）， 则＝2，＝2， 解得a＝4，b＝1， ∴P（4，1）， 综上所述，点P的坐标为（0，3）或（4，1）． 一十五．一次函数的应用（共2小题） 23．为了落实党的“精准扶贫”政策，A、B两城决定向C、D两乡运送肥料以支持农村生产，已知A、B两城共有肥料500吨，其中A城肥料比B城少100吨，从A城往C、D两乡运肥料的费用分别为20元/吨和25元/吨；从B城往C、D两乡运肥料的费用分别为15元/吨和24元/吨．现C乡需要肥料240吨，D乡需要肥料260吨． （1）A城和B城各有多少吨肥料？ （2）设从A城运往C乡肥料x吨，总运费为y元，求出最少总运费． （3）由于更换车型，使A城运往C乡的运费每吨减少a（0＜a＜6）元，这时怎样调运才能使总运费最少？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设A城有化肥a吨，B城有化肥b吨 根据题意，得 解得 答：A城和B城分别有200吨和300吨肥料； （2）设从A城运往C乡肥料x吨，则从A城运往D乡（200﹣x）吨， 从B城运往C乡肥料（240﹣x）吨，则从B城运往D乡（60+x）吨． 若总运费为y元，根据题意， 得：y＝20x+25（200﹣x）+15（240﹣x）+24（60+x） ＝4x+10040 由于y＝4x+10040是一次函数，k＝4＞0， y随x的增大而增大． 因为x≥0， 所以当x＝0时，运费最少，最少运费是10040元． （3）从A城运往C乡肥料x吨，由于A城运往C乡的运费每吨减少a（0＜a＜6）元， 所以y＝（20﹣a）x+25（200﹣x）+15（240﹣x）+24（60+x） ＝（4﹣a）x+10040 当0＜a＜4时，∵4﹣a＞0 ∴当x＝0时，运费最少是10040元； 当a＝4时，运费是10040元； 当4＜a＜6时，∵4﹣a＜0 ∴当x最大时，运费最少．即当x＝200时，运费最少． 所以：当0＜a＜4时，A城化肥全部运往D乡，B城运往C城240吨，运往D乡60吨，运费最少； 当a＝4时，不管A城化肥运往D乡多少吨，运费都是10040元． 当4＜a＜6时，A城化肥全部运往C乡，B城运往C城40吨，运往D乡260吨，运费最少． 24．某商店准备购进A、B两种商品，A种商品每件的进价比B种商品每件的进价多20元，用3000元购进A种商品和用1800元购进B种商品的数量相同．商店将A种商品每件的售价定为80元，B种商品每件的售价定为45元． （1）A种商品每件的进价和B种商品每件的进价各是多少元？ （2）商店计划用不超过1560元的资金购进A、B两种商品共40件，其中A种商品的数量不低于B种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？ （3）端午节期间，商店开展优惠促销活动，决定对每件A种商品售价优惠m（10＜m＜20）元，B种商品售价不变，在（2）条件下，请设计出销售这40件商品获得总利润最大的进货方案． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设A种商品每件的进价是x元，则B种商品每件的进价是（x﹣20）元， 由题意得：， 解得：x＝50， 经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意， 50﹣20＝30， 答：A种商品每件的进价是50元，B种商品每件的进价是30元； （2）设购买A种商品a件，则购买B商品（40﹣a）件， 由题意得：， 解得：， ∵a为正整数， ∴a＝14、15、16、17、18， ∴商店共有5种进货方案； （3）设销售A、B两种商品共获利y元， 由题意得：y＝（80﹣50﹣m）a+（45﹣30）（40﹣a）， ＝（15﹣m）a+600， ①当10＜m＜15时，15﹣m＞0，y随a的增大而增大， ∴当a＝18时，获利最大，即买18件A商品，22件B商品， ②当m＝15时，15﹣m＝0， y与a的值无关，即（2）问中所有进货方案获利相同， ③当15＜m＜20时，15﹣m＜0，y随a的增大而减小， ∴当a＝14时，获利最大，即买14件A商品，26件B商品． 一十六．一次函数综合题（共5小题） 25．如图，已知点A（﹣1，0）和点B（1，2），在y轴上确定点P，使得△ABP为直角三角形，则满足条件的点P共有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【解答】解：①以A为直角顶点，可过A作直线垂直于AB，与y轴交于一点，这一点符合点P的要求； ②以B为直角顶点，可过B作直线垂直于AB，与y轴交于一点，这一点也符合P点的要求； ③以P为直角顶点，与y轴共有2个交点． 所以满足条件的点P共有4个． 故选：B． 26．一次函数y＝x+4分别交x轴、y轴于A、B两点，在x轴上取一点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的点C的坐标为　（﹣8，0）（3，0）（2，0）（，0）　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：当x＝0时，y＝4， 当y＝0时，x＝﹣3， 即A（﹣3，0），B（0，4）， OA＝3，OB＝4， 由勾股定理得：AB＝5， 有三种情况：①以A为圆心，以AB为半径交x轴于两点，此时AC＝AB＝5， C的坐标是（2，0）和（﹣8，0）； ②以B为圆心，以AB为半径交x轴于一点（A除外），此时AB＝BC，OA＝OC＝3， C的坐标是（3，0）； ③作AB的垂直平分线交x轴于C，设C的坐标是（a，0），A（﹣3，0），B（0，4）， ∵AC＝BC，由勾股定理得：（a+3）2＝a2+42， 解得：a＝， ∴C的坐标是（，0）， 故答案为：（﹣8，0）（3，0）（2，0）（，0）． 27．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点C（2，m）为直线y＝x+2上一点，直线y＝﹣x+b过点C． （1）求m和b的值； （2）直线y＝﹣x+b与x轴交于点D，动点P从点D开始以每秒1个单位的速度向x轴负方向运动．设点P的运动时间为t秒． ①若点P在线段DA上，且△ACP的面积为10，求t的值； ②是否存在t的值，使△ACP为等腰三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）把点C（2，m）代入直线y＝x+2中得：m＝2+2＝4， ∴点C（2，4）， ∵直线y＝﹣x+b过点C， 4＝﹣+b，b＝5； （2）①由题意得：PD＝t， y＝x+2中，当y＝0时，x+2＝0， x＝﹣2， ∴A（﹣2，0）， y＝﹣x+5中，当y＝0时，﹣x+5＝0， x＝10， ∴D（10，0）， ∴AD＝10+2＝12，即0≤t≤12， ∵△ACP的面积为10， ∴•4＝10， t＝7， 则t的值7秒； ②存在，分三种情况： i）当AC＝CP时，如图1，过C作CE⊥AD于E， ∴PE＝AE＝4， ∴PD＝12﹣8＝4， 即t＝4； ii）当AC＝AP时，如图2， AC＝AP1＝AP2＝＝4， ∴DP1＝t＝12﹣4， DP2＝t＝12+4； iii）当AP＝PC时，如图3， ∵OA＝OB＝2 ∴∠BAO＝45° ∴∠CAP＝∠ACP＝45° ∴∠APC＝90° ∴AP＝PC＝4 ∴PD＝12﹣4＝8，即t＝8； 综上，当t＝4秒或（12﹣4）秒或（12+4）秒或8秒时，△ACP为等腰三角形． 28．如图，将一矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，O（0，0），A（6，0），C（0，3），动点F从点O出发以每秒1个单位长度的速度沿OC向终点C运动，运动秒时，动点E从点A出发以相同的速度沿AO向终点O运动，当点E、F其中一点到达终点时，另一点也停止运动设点E的运动时间为t：（秒） （I）OE＝　6﹣t　，OF＝　t+　（用含t的代数式表示） （II）当t＝1时，将△OEF沿EF翻折，点O恰好落在CB边上的点D处 ①求点D的坐标及直线DE的解析式； ②点M是射线DB上的任意一点，过点M作直线DE的平行线，与x轴交于N点，设直线MN的解析式为y＝kx+b，当点M与点B不重合时，S为△MBN的面积，当点M与点B重合时，S＝0．求S与b之间的函数关系式，并求出自变量b的取值范围． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（I）∵O（0，0），A（6，0），C（0，3）， ∴OA＝6，OC＝3， ∵四边形OABC是矩形， ∴AB＝OC＝3，BC＝OA＝6， ∴B（6，3）， ∵动点F从O点以每秒1个单位长的速度沿OC向终点C运动，运动秒时，动点E从点A出发以相等的速度沿AO向终点O运动． ∴当点E的运动时间为t（秒）时， AE＝t，OF＝+t， 则OE＝OA﹣AE＝6﹣t； 故答案为：6﹣t，+t； （II）①当t＝1时，OF＝1+＝，OE＝6﹣1＝5，则CF＝OC﹣OF＝3﹣＝， 由折叠可知：△OEF≌△DEF， ∴OF＝DF＝， 由勾股定理，得：CD＝1， ∴D（1，3）； ∵E（5，0）， ∴设直线DE的解析式为：y＝mx+n（k≠0）， 把D（1，3）和E（5，0）代入得：，解得：， ∴直线DE的解析式为：y＝﹣x+； ②∵MN∥DE， ∴MN的解析式为：y＝﹣x+b， 当y＝3时，﹣x+b＝3，x＝（b﹣3）＝b﹣4， ∴CM＝b﹣4， 分三种情况： i）当M在边CB上时，如图2， ∴BM＝6﹣CM＝6﹣（b﹣4）＝10﹣b， DM＝CM﹣1＝b﹣5， ∵0≤DM＜5，即0≤b﹣5＜5， ∴≤b＜， ∴S＝＝＝15﹣2b＝﹣2b+15（≤b＜）； ii）当M与点B重合时，b＝，S＝0； iii）当M在DB的延长线上时，如图3， ∴BM＝CM﹣6＝b﹣10， DM＝CM﹣1＝b﹣5， ∵DM＞5，即b﹣5＞5， ∴b＞， ∴S＝＝＝2b﹣15（b＞）； 综上，S＝． 29．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+8分别交x轴、y轴于点A、B，将正比例函数y＝2x的图象沿y轴向下平移3个单位长度得到直线l，直线l分别交x轴、y轴于点C、D，交直线AB于点E． （1）直接写出直线l对应的函数表达式； （2）在直线AB上存在点F（不与点E重合），使BF＝BE，求点F的坐标； （3）在x轴上是否存在点P，使∠PDO＝2∠PBO？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y＝2x﹣3， （2）F（﹣4，11）， （3）P（﹣4，0），P（4，0）． 【解答】解：（1）∵l是y＝2x向下平移3个单位所得， ∴l：y＝2x﹣3， （2）∵， 解得：， ∴E（4，5）， ∵BF＝BE，且F不与E重合， ∴F在y轴左侧， 又∵y＝﹣+8， ∴当x＝0时，y＝8， ∴B（0，8）， ∵B是EF的中点， ∴＝0，＝8， ∴xF＝﹣4，yF＝11， ∴F（﹣4，11）． （3） 由图可知，作PG＝PD，G在y轴上， ∴∠PGO＝∠PDO， 又∵∠PDO＝2∠PBO，∠PGO＝∠PBO+∠BPG， ∴∠BPG＝∠PBG＝∠PDO， ∴BG＝PG＝PD， ①P在x轴正半轴， ∵l：y＝2x﹣3， ∴当x0时，y＝﹣3，即D（0，﹣3）， ∴OD＝3， ∴OG＝OD＝3， 则BG＝8﹣3＝5＝PG， ∴OP＝＝4， ∴P（4，0）． ②若P在x轴负半轴，与①同理， P（﹣4，0）． 综上所述P（4，0），（﹣4，0）． 一十七．平行线之间的距离（共1小题） 30．已知直线a∥b，点M到直线a的距离是5cm，到直线b的距离是3cm，那么直线a和b之间的距离是（　　） A．2cm B．6cm C．8cm D．2cm或8cm 【答案】D 【解答】解：如图1，直线a和b之间的距离为：5﹣3＝2（cm）； 如图2，直线a和b之间的距离为：5+3＝8（cm）． 故选：D． 一十八．等腰三角形的性质（共1小题） 31．已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是 　20　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：根据题意得，x﹣4＝0，y﹣8＝0， 解得x＝4，y＝8， ①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、8， ∵4+4＝8， ∴不能组成三角形， ②4是底边时，三角形的三边分别为4、8、8， 能组成三角形，周长＝4+8+8＝20， 所以，三角形的周长为20． 故答案为：20． 一十九．直角三角形斜边上的中线（共1小题） 32．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，点E、F分别是AB、AC上的动点，∠EDF＝90°，M、N分别是EF、AC的中点，连接AM、MN，若AC＝6，AB＝5，则AM﹣MN的最大值为　　． 【答案】． 【解答】解：如图，连接DM，DN， 由图可以得到M的轨迹是一条线段（AD的垂直平分线的一部分）， M在AN上的时候最大（此时AM最大，MN最小）， 当M在AN上时，如图， 设AM＝x，则MN＝3﹣x，DM＝AM＝x， ∵D、N分别是BC、AC的中点， ∴DN＝AB＝， 在直角三角形DMN中，根据勾股定理，得 DM2＝DN2+MN2， ∴x2＝（3﹣x）2+2.52， 解得x＝， ∴3﹣x＝， 此时AM﹣MN＝﹣＝． ∴AM﹣MN的最大值为． 故答案为：． 二十．勾股定理（共3小题） 33．已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，则△ABC的形状是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【解答】解：由a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，得 a4+b2c2﹣a2c2﹣b4 ＝（a4﹣b4）+（b2c2﹣a2c2） ＝（a2+b2）（a2﹣b2）﹣c2（a2﹣b2） ＝（a2﹣b2）（a2+b2﹣c2） ＝（a+b）（a﹣b）（a2+b2﹣c2）＝0， ∵a+b＞0， ∴a﹣b＝0或a2+b2﹣c2＝0， 即a＝b或a2+b2＝c2， 则△ABC为等腰三角形或直角三角形． 故选：D． 34．在△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC上的高AD长为12，则△ABC的面积为（　　） A．84 B．24 C．24或84 D．42或84 【答案】C 【解答】解：（1） △ABC为锐角三角形，高AD在△ABC内部．BD＝＝9，CD＝＝5 ∴△ABC的面积为×（9+5）×12＝84； （2） △ABC为钝角三角形，高AD在△ABC外部．方法同（1）可得到BD＝9，CD＝5 ∴△ABC的面积为×（9﹣5）×12＝24． 故选：C． 35．如图，以Rt△ABC的三条边作三个正三角形，则S1、S2、S3、S4的关系为（　　） A．S1+S2+S3＝S4 B．S1+S2＝S3+S4 C．S1+S3＝S2+S4 D．不能确定 【答案】C 【解答】解：如图，设Rt△ABC的三条边AB＝c，AC＝b，BC＝a， ∵△ACG，△BCH，△ABF是等边三角形， ∴S1＝S△ACG﹣S5＝b2﹣S5，S3＝S△BCH﹣S6＝a2﹣S6， ∴S1+S3＝（a2+b2）﹣S5﹣S6， ∵S2+S4＝S△ABF﹣S5﹣S6＝c2﹣S5﹣S6， ∵c2＝a2+b2， ∴S1+S3＝S2+S4， 故选：C． 二十一．勾股定理的应用（共1小题） 36．《九章算术》中记载“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部3尺远．问：原处还有多高的竹子？（1丈＝10尺）答：原处的竹子还有 　　尺高． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺， 根据勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2， 解得：x＝． 故答案为：． 二十二．三角形中位线定理（共2小题） 37．如图，已知△ABC的周长为1，连接△ABC三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，…，依此类推，则第10个三角形的周长为　　． 【答案】见试题解答内容 【解答】△ABC周长为1，因为每条中位线均为其对应边的长度的，所以： 第2个三角形对应周长为； 第3个三角形对应的周长为； 第4个三角形对应的周长为； 以此类推，第N个三角形对应的周长为； 所以第10个三角形对应的周长为． 故答案为：． 38．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝2cm，E、F分别是AB、AC的中点，动点P从点E出发，沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s，同时动点Q从点B出发，沿BF方向匀速运动，速度为2cm/s，连接PQ，设运动时间为ts（0＜t＜1），则当t＝　2﹣或　时，△PQF为等腰三角形． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝2cm， ∴AC＝2AB＝4cm，BC＝＝2， ∵E、F分别是AB、AC的中点， ∴EF＝BC＝cm，BF＝AC＝2cm， 由题意得：EP＝t，BQ＝2t， ∴PF＝﹣t，FQ＝2﹣2t， 分三种情况： ①当PF＝FQ时，如图1，△PQF为等腰三角形． 则﹣t＝2﹣2t， t＝2﹣； ②如图2，当PQ＝FQ时，△PQF为等腰三角形，过Q作QD⊥EF于D， ∴PF＝2DF， ∵BF＝CF， ∴∠FBC＝∠C＝30°， ∵E、F分别是AB、AC的中点， ∴EF∥BC， ∴∠PFQ＝∠FBC＝30°， ∵FQ＝2﹣2t， ∴DQ＝FQ＝1﹣t， ∴DF＝（1﹣t）， ∴PF＝2DF＝2（1﹣t）， ∵EF＝EP+PF＝， ∴t+2（1﹣t）＝， t＝； ③因为当PF＝PQ时，∠PFQ＝∠PQF＝30°， ∴∠FPQ＝120°， 而在P、Q运动过程中，∠FPQ最大为90°，所以此种情况不成立； 综上，当t＝2﹣或 时，△PQF为等腰三角形． 故答案为：2﹣或． 二十三．菱形的性质（共1小题） 39．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E、F分别为AD、DC上的动点，∠EBF＝60°，点E从点A向点D运动的过程中，AE+CF的长度（　　） A．逐渐增加 B．逐渐减小 C．保持不变且与EF的长度相等 D．保持不变且与AB的长度相等 【答案】D 【解答】解：连接BD， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD＝CD， ∵∠A＝60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴AB＝BD，∠ABD＝60°， ∵DC∥AB， ∴∠CDB＝∠ABD＝60°， ∴∠A＝∠CDB， ∵∠EBF＝60°， ∴∠ABE+∠EBD＝∠EBD+∠DBF， ∴∠ABE＝∠DBF， 在△ABE和△DBF中， ， ∴△ABE≌△DBF（ASA）， ∴AE＝DF， ∴AE+CF＝DF+CF＝CD＝AB， 故选：D． 二十四．矩形的性质（共2小题） 40．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝6，BC＝8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：∵AB＝6，BC＝8， ∴矩形ABCD的面积为48，AC＝＝10， ∴AO＝DO＝AC＝5， ∵对角线AC，BD交于点O， ∴△AOD的面积为12， ∵EO⊥AO，EF⊥DO， ∴S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即12＝AO×EO+DO×EF， ∴12＝×5×EO+×5×EF， ∴5（EO+EF）＝24， ∴EO+EF＝， 故选：C． 41．如图，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝4cm，AD＝2cm，动点P、Q分别从点A，C同时出发，都以1cm/s的速度运动，其中点P由A运动到B停止，点Q由点C运动到点D停止． （1）求四边形PBCQ的面积； （2）P、Q两点从出发开始到几秒时，点P、Q、D组成的三角形是等腰三角形？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设运动时间为t， 则AP＝t，CQ＝t， ∵四边形ABCD是矩形， ∴CD＝AB＝4cm，BC＝AD＝2cm，∠B＝∠C＝90°， ∴BP＝4﹣t， ∴四边形PBCQ的面积＝（PB+CQ）•BC＝4×2＝4（cm）2； （2）设P、Q两点从出发开始到t秒时，点P、Q、D组成的三角形是等腰三角形， ∵CQ＝t，∴DQ＝4﹣t， ①当PQ＝DQ＝4﹣t时， 如图1，过P作PH⊥DQ于H， 则PH＝AD＝2，DH＝AP＝t， ∵CQ＝t， ∴HQ＝4﹣2t， ∵PH2+HQ2＝PQ2， ∴22+（4﹣2t）2＝（4﹣t）2， 解得：t＝2，t＝， ②当PQ＝PD时， 如图2，过P作PH⊥DQ于H， 则PH＝AD＝2，DH＝AP＝HQ＝t， ∵CQ＝t， ∴HQ＝4﹣2t， ∴4﹣2t＝t， ∴t＝， ③当DQ＝PD时， ∴DQ＝4﹣t， ∴PD＝DQ＝4﹣t， ∵AP2+AD2＝PD2， ∴t2+22＝（4﹣t）2， ∴t＝， 综上所述，当t＝2秒或t＝秒或t＝秒或t＝秒时，点P、Q、D组成的三角形是等腰三角形． 二十五．正方形的性质（共8小题） 42．将n个边长都为1cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A1，A2，…，An分别是正方形对角线的交点，则n个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为（　　） A． cm2 B．cm2 C． cm2 D．（）ncm2 【答案】B 【解答】解：由题意可得阴影部分面积等于正方形面积的，即是， 5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为×4， n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为×（n﹣1）＝． 故选：B． 43．如图，以边长为4的正方形ABCD的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于E、F两点，则线段EF的最小值为（　　） A．2 B．4 C． D．2 【答案】D 【解答】解：如图，连接EF， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠EAO＝∠FDO＝45°，AO＝DO； ∵∠EOF＝90°，∠AOD＝90°， ∴∠AOE＝∠DOF； 在△AOE与△DOF中， ， ∴△AOE≌△DOF（ASA）， ∴OE＝OF（设为λ）； ∴△EOF是等腰直角三角形， 由勾股定理得： EF2＝OE2+OF2＝2λ2； ∴EF＝OE＝λ， ∵正方形ABCD的边长是4， ∴OA＝2，O到AB的距离等于2（O到AB的垂线段的长度）， 由题意可得：2≤λ≤2， ∴2≤EF≤4． 所以线段EF的最小值为2． 故选：D． 44．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E是BC上的一点且CE＝3，连接DE，动点M从点A以每秒2个单位长度的速度沿AB﹣BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点M的运动时间为t秒，当△ABM和△DCE全等时，t的值是（　　） A．3.5 B．5.5 C．6.5 D．3.5或6.5 【答案】D 【解答】解：如图，当点M在BC上时， ∵△ABM′和△DCE全等， ∴BM＝CE， 由题意得：BM′＝2t﹣4＝3， 所以t＝3.5（秒）； 当点M在AD上时， ∵△ABM″和△CDE全等， ∴AM″＝CE， 由题意得：AM″＝16﹣2t＝3， 解得t＝6.5（秒）． 所以，当t的值为3.5秒或6.5秒时．△ABM和△DCE全等． 故选：D． 45．如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于点G．若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△BCG的周长为　+3　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3， ∴阴影部分的面积为×9＝6， ∴空白部分的面积为9﹣6＝3， 由CE＝DF，BC＝CD，∠BCE＝∠CDF＝90°，可得△BCE≌△CDF， ∴△BCG的面积与四边形DEGF的面积相等，均为×3＝， ∠CBE＝∠DCF， ∵∠DCF+∠BCG＝90°， ∴∠CBG+∠BCG＝90°，即∠BGC＝90°， 设BG＝a，CG＝b，则ab＝， 又∵a2+b2＝32， ∴a2+2ab+b2＝9+6＝15， 即（a+b）2＝15， ∴a+b＝，即BG+CG＝， ∴△BCG的周长＝+3， 故答案为：+3． 46．如图，已知正方形ABCD中，AD＝6，∠DAE＝30°，点F为AE的中点，过点F作直线分别与AD、BC相交于点M、N，若MN＝AE，则AM的长等于　4或2　． 【答案】4或2． 【解答】解：在正方形ABCD中，AD＝6，∠DAE＝30°， 设DE＝x，则AE＝2x，由勾股定理x2+62＝（2x）2， 解得：x＝2（负值舍去）， ∴AE＝4， ∵点F为AE的中点， ∴AF＝EF＝2， 分两种情况： ①过M作MG⊥BC，G为垂足，则MG＝DC＝AD， 在Rt△MGN和Rt△ADE中， ， ∴Rt△MGN≌Rt△ADE（HL）， ∴∠NMG＝∠EAD， ∴∠NMG+∠AMF＝90°， ∴∠EAD+∠AMF＝90°， ∴∠AFM＝90°， 在Rt△AFM中，∠DAE＝30°，AF＝2， 设MF＝m，则AM＝2m， 由勾股定理，得 4m2﹣m2＝12， 解得m＝2（负值舍去），则AM＝4； ②方法一：根据对称性由①可知：AM＝6﹣4＝2， 方法二：如图，过N作NG⊥AD于G，过M作MH⊥AE于H， 则NG＝CD＝AD， 在Rt△ADE和Rt△NGM中， ， ∴Rt△ADE≌Rt△NGM（HL）， ∴∠GNM＝∠DAE＝30°， ∴∠GMN＝60°， △AMF中，∠GMN＝∠MAF+∠AFM， ∴∠AFM＝∠DAE＝30°， ∴AM＝MF， ∵MH⊥AF， ∴AH＝FH， 设MH＝x，则AM＝2x，AH＝FH＝x， ∵F是AE的中点， ∴AE＝2AF＝4AH＝4x， Rt△ADE中，∠DAE＝30°， ∴DE＝AE＝2x，AD＝DE＝6x， ∵AD＝6，即6x＝6， x＝1，即AM＝2x＝2； 故答案为：4或2． 47．如图1，在正方形ABCD中，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F． （1）若点E是BC边上的中点，求证：AE＝EF； （2）如图2，若点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，那么结论“AE＝EF”是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； （3）如图3，若点E是BC边上的任意点一，在AB边上是否存在点M，使得四边形DMEF是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：取AB的中点H，连接EH；如图1所示 ∵四边形ABCD是正方形，AE⊥EF； ∴∠1+∠AEB＝90°，∠2+∠AEB＝90° ∴∠1＝∠2， ∵BH＝BE，∠BHE＝45°，且∠FCG＝45°， ∴∠AHE＝∠ECF＝135°，AH＝CE， 在△AHE和△ECF中， ， ∴△AHE≌△ECF（ASA）， ∴AE＝EF； （2）解：AE＝EF成立， 理由如下：如图2，延长BA到M，使AM＝CE， ∵∠AEF＝90°， ∴∠FEG+∠AEB＝90°． ∵∠BAE+∠AEB＝90°， ∴∠BAE＝∠FEG， ∴∠MAE＝∠CEF． ∵AB＝BC， ∴AB+AM＝BC+CE， 即BM＝BE． ∴∠M＝45°， ∴∠M＝∠FCE． 在△AME与△ECF中， ， ∴△AME≌△ECF（ASA）， ∴AE＝EF． （3）存在， 理由如下：如图3，作DM⊥AE于AB交于点M，则有：DM∥EF，连接ME、DF， 在△ADM与△BAE中， ， ∴△ADM≌△BAE（ASA）， ∴DM＝AE， 由（2）AE＝EF， ∴DM＝EF， ∴四边形DMEF为平行四边形． 48．如图，正方形ABCD边长为4，点E在边AB上（点E与点A、B不重合），过点A作AF⊥DE，垂足为G，AF与边BC相交于点F． （1）求证：△ADF≌△DCE； （2）若△DEF的面积为，求AF的长； （3）在（2）的条件下，取DE，AF的中点M，N，连接MN，求MN的长． 【答案】（1）证明见解答部分； （2）AF＝5或． （3）MN的长度为或． 【解答】（1）证明：∵AF⊥DE，∠B＝90°， ∴∠AED＝∠AFB， 在△ABF与△DAE中， ， ∴△ABF≌△DAE（AAS）， ∴AF＝DE， ∵∠ADE+∠CDE＝∠ADE+∠DAG＝90°， ∴∠CDE＝∠DAF， 在△ADF和△DCE中， ， ∴△ADF≌△DCE（SAS）． （2）解：∵△ABF≌△DAE， ∴AE＝BF＝x， ∴BE＝CF＝4﹣x， ∴△DEF的面积＝S正方形﹣S△ADE﹣S△EBF﹣S△DCF ＝4×4﹣×4•x﹣（4﹣x）•x﹣×4•（4﹣x） ＝8﹣2x+x2， ∴y＝x2﹣2x+8＝， 解得，x1＝3，x2＝1， ∴AE＝3或AE＝1， ∴AF＝DE＝5或． （3）解：如图，连接AM并延长交CD于点P，连接PF， ∵点M是DE的中点， ∴DM＝ME， ∵AB∥CD， ∴∠PDM＝∠AEM，∠DPM＝∠EAM， ∴△DPM≌△EAM（AAS）， ∴PM＝AM，DP＝AE＝3或1， 当AE＝3时，BF＝DP＝3， ∴CF＝CP＝1， ∴PF＝， ∴MN＝PF＝； 当AE＝1时，BF＝EP＝1， ∴CF＝CP＝3， ∴PF＝3， ∴MN＝PF＝； 综上，MN的长度为或． 49．正方形ABCD的对角线AC、BD相交于O，直角三角板EFG的直角顶点E在线段AC上，EF、EG与BC、CD边相交于M、N． （1）如图1，若E点与O点重合，求证：EM＝EN； （2）如图2，若E点不与O点重合： ①EM还等于EN吗？说明理由； ②试找出MC、CN、EC三者之间的等量关系，并说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）在正方形ABCD中，OA＝OB＝OC＝OD，且∠OBC＝∠OCD，∠BOC＝90°， ∵∠FOG＝90°， ∴∠BOM＝∠BOC﹣∠MOC＝90°﹣∠MOC，∠CON＝∠FOG﹣∠MOC＝90°﹣∠MOC， ∴∠BOM＝∠CON， 在△OBM和△OCN中， ， ∴△OBM≌△OCN（ASA）， ∴EM＝EN； （2） 过E作EH⊥BC，EG′⊥CD， 由正方形ABCD可知，AC平分∠BCD， ∴EH＝EG′， ∵∠HEG＝360°﹣∠EHC﹣∠EG′C﹣∠HCG′＝90°， ∴∠MEH＝∠NEG′，而∠EHM＝∠EG′N＝90°， ∴△EMH≌△ENG′， ∴EM＝EN； （3）由△EMH≌△ENG′可知，MH＝NG′，而EG′＝HC， ∴MC+NC＝MH+HC+NC＝NG′+EG+NC＝EG′+CG′＝2CG′， ∵CG′＝EC， ∴MC+NC＝EC． 答：（1）EM＝EN，（2）EM＝EN，（3）MC+NC＝EC． 二十六．算术平均数（共1小题） 50．x1，x2，…，x10的平均数为a，x11，x12，…，x50的平均数为b，则x1，x2，…，x50的平均数为（　　） A．a+b B． C． D． 【答案】D 【解答】解：前10个数的和为10a，后40个数的和为40b，50个数的平均数为． 故选：D． 声明：试题解析 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$