期末各名校真题复习（压轴必刷48题15考点）-2023-2024学年八年级数学下学期期中期末考点归纳满分攻略讲练（人教版）

期末各名校真题复习（压轴必刷48题15考点） 一．函数的图象（共1小题） 1．函数y＝的图象为（　　） A． B． C． D． 二．动点问题的函数图象（共3小题） 2．如图所示，半径为1的圆和边长为3的正方形在同一水平线上，圆沿该水平线从左向右匀速穿过正方形，设穿过时间为t，正方形除去圆部分的面积为S（阴影部分），则S与t的大致图象为（　　） A． B． C． D． 3．如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点B运动：点Q从点C同时出发，以2cm/s的速度向点D运动，规定当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为x（s），PQ的长度为y（cm），y与x的对应关系如图②所示．下列说法①AB＝4cm，②CD＝6cm，③BC＝3cm，④当x＝时，PQ∥BC．正确的是（　　） A．② B．②③ C．②④ D．①②③④ 4．如图①，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止，设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图②所示，则矩形MNPQ的面积是　 　． 三．一次函数图象上点的坐标特征（共3小题） 5．如图放置的△OA1B，△A1B1A2，△A2B2A3，…，△AnBnAn+1，都是以A1，A2，A3，…，An为直角顶点的三角形，点A1，A2，A3，…，An都在直线上，OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝AnAn+1，点B在y轴上，OB＝2，OB＝A1B1＝A2B2＝…＝AnBn，则点B2024的坐标是（　　） A．（1012，1012） B． C． D． 6．如图，已知A1、A2、A3、…、An、An+1是x轴上的点，且OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝AnAn+1＝1，分别过点A1、A2、A3、…、An、An+1作x轴的垂线交直线y＝2x于点B1、B2、B3、…、Bn、Bn+1，连接A1B2、B1A2、A2B3、B2A3、…、AnBn+1、BnAn+1，依次相交于点P1、P2、P3、…、Pn．△A1B1P1、△A2B2P2、△AnBnPn的面积依次记为S1、S2、S3、…、Sn，则Sn为（　　） A． B． C． D． 7．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝2x和y＝﹣x的图象分别为直线l1，l2，过点（1，0）作x轴的垂线交l1于点A1，过点A1作y轴的垂线交l2于点A2，过点A2作x轴的垂线交l1于点A3，过点A3作y轴的垂线交l2于点A4，…依次进行下去，则点A2022的坐标为 　 　． 四．待定系数法求一次函数解析式（共1小题） 8．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，B为x轴上一点，菱形AOBC的边长为2，∠AOB＝60°，点D是OB边上一动点（不与点O，B重合），点E在BC边上，且OD＝BE，下列结论： ①△AOD≌△ABE；②∠ADE的大小随点D的运动而变化； ③直线BC的解析式为y＝x﹣2；④DE的最小值为． 其中正确的有 　 　．（填写序号） 五．一次函数与一元一次不等式（共1小题） 9．【问题探究】 某学习小组同学按照以下思路研究不等式组﹣1≤﹣|x|+3≤2的解集： 首先令y＝﹣|x|+3，通过列表、描点、连线的方法作出该函数的图象并对其性质进行探究． 列表： x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 … y … 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 … 描点与连线： （1）在列表的空格处填对应的y值，在图1给出的平面直角坐标系中描出以表中各对应值为坐标的点，并根据描出的点，画出该函数的图象； （2）若P（a，b），Q（5，b）为该函数图象上不同的两点，则a＝　 　； （3）观察图象，当﹣1≤﹣|x|+3≤2时，自变量x的取值范围是 　 　； 【拓展运用】 函数y＝|x|的图象如图2所示，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象草图，并求出它与函数y＝|x|的图象所围成的图形面积． 六．两条直线相交或平行问题（共1小题） 10．若直线y＝﹣2x﹣4与直线y＝4x+b的交点在第三象限，则b的取值范围是（　　） A．﹣4＜b＜8 B．﹣4＜b＜0 C．b＜﹣4或b＞8 D．﹣4≤b≤8 七．一次函数的应用（共3小题） 11．为落实“精准扶贫”，某村在政府的扶持下建起了蔬菜大棚基地，准备种植A，B两种蔬菜，若种植20亩A种蔬菜和30亩B种蔬菜，共需投入36万元；若种植30亩A种蔬菜和20亩B种蔬菜，共需投入34万元． （1）种植A，B两种蔬菜，每亩各需投入多少万元？ （2）经测算，种植A种蔬菜每亩可获利0.8万元，种植B种蔬菜每亩可获利1.2万元，村里把100万元扶贫款全部用来种植这两种蔬菜，总获利w万元．设种植A种蔬菜m亩，求w关于m的函数关系式； （3）在（2）的条件下，若要求A种蔬菜的种植面积不能少于B种蔬菜种植面积的2倍，请你设计出总获利最大的种植方案，并求出最大总获利． 12．我市某风景区门票价格如图所示，有甲、乙两个旅行团队，计划在端午节期间到该景点游玩，两团队游客人数之和为100人，乙团队人数不超过40人．设甲团队人数为x人，如果甲、乙两团队分别购买门票，两团队门票款之和为y元． （1）直接写出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）若甲团队人数不超过80人，计算甲、乙两团队联合购票比分别购票最多可节约多少钱？ （3）端午节之后，该风景区对门票价格作了如下调整：人数不超过40人时，门票价格不变，人数超过40人但不超过80人时，每张门票降价a元；人数超过80人时，每张门票降价2a元．在（2）的条件下，若甲、乙两个旅行团端午节之后去游玩联合购票比分别购票最多可节约3900元，求a的值． 13．为了美化校园环境，争创绿色学校，某县教育局委托园林公司对A、B两校进行校园绿化．已知A校有3600平方米空地需铺设草坪，B校有2400平方米空地需铺设草坪．在甲、乙两地分别有同种草皮3500平方米和2500平方米出售，且售价一样．若园林公司向甲、乙两地购买草皮，其路程和运费单价表如下： （1）设甲地运往A校的草皮为x平方米，总运费为y元，写出y与x的函数关系式； （2）请你设计一种运费最少的方案，并说明最少费用是多少． A校 B校 路程（千米） 运费单价（元） 路程（千米） 运费单价（元） 甲地 20 0.15 10 0.15 乙地 15 0.20 20 0.20 八．一次函数综合题（共16小题） 14．八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，则该直线l的解析式为（　　） A．y＝x B．y＝x C．y＝x D．y＝x 15．如图，点A，B，C在一次函数y＝﹣2x+m的图象上，它们的横坐标依次为﹣1，1，2，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是（　　） A．1 B．3 C．3（m﹣1） D． 16．如图，一次函数y＝﹣x+4的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，过AB中点D的直线CD交x轴于点C，且经过第一象限的点E（6，4）． （1）求A，B两点的坐标及直线CD的函数表达式； （2）连接BE，求△DBE的面积； （3）连接DO，在坐标平面内找一点F，使得以点C，O，F为顶点的三角形与△COD全等，请直接写出点F的坐标． 17．如图，矩形AOBC，点A、B分别在x、y轴上，对角线AB、OC交于点D，点C（，1），点M是射线OC上一动点． （1）求证：△ACD是等边三角形； （2）若△OAM是等腰三角形，求点M的坐标； （3）若N是OA上的动点，则MA+MN是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 18．如图，已知直线l1：y＝﹣x+2与直线l2：y＝2x+8相交于点F，l1、l2分别交x轴于点E、G，矩形ABCD顶点C、D分别在直线l1、l2，顶点A、B都在x轴上，且点B与点G重合． （1）求点F的坐标和∠GEF的度数； （2）求矩形ABCD的边DC与BC的长； （3）若矩形ABCD从原地出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为t（0≤t≤6）秒，矩形ABCD与△GEF重叠部分的面积为s，求s关于t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围． 19．如图，矩形AOCB的顶点A、C分别位于x轴和y轴的正半轴上，线段OA、OC的长度满足|OA﹣15|+＝0，点N在OC上，将△BCN沿直线BN折叠，点C恰好落在x轴上的点D处，且OD＝3． （1）求点B的坐标； （2）求直线BN的解析式； （3）坐标平面内是否存在一点P，使以B、N，D、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 20．如图，已知长方形ABCD的边长AB＝4，AD＝3，E，F分别在边AD，AB上，且DE＝BF＝2，点P是长方形边上的一个动点，点P从点B出发，沿着折线B﹣C﹣D运动，运动到D点停止．记P点走过的路程为x，四边形AEPF的面积为y． （1）求出y关于x的函数表达式； （2）在所给的坐标系中画出该函数的图象； （3）观察函数图象，请写出一条该函数的性质． 21．如图所示，直线AB交x轴于点A（a，0），交y轴于点B（0，b），且a，b满足+（a﹣4）2＝0． （1）a＝　 　，b＝　 　； （2）如图1，若点C的坐标为（﹣1，0），且AH⊥BC于点H，AH交OB于点P，试求点P的坐标； （3）如图2，若点D为AB的中点，点M为y轴正半轴上一动点，连接MD，过点D作DN⊥DM交x轴于点N，当点M在y轴正半轴上运动的过程中，式子S△BDM﹣S△ADN的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求出该式子的值． 22．如图，直线y＝﹣x+4与坐标轴分别交于点A，B，以OA为边在y轴的右侧作正方形AOBC． （1）求点A，B的坐标； （2）如图，点D是x轴上一动点，点E在AD的右侧，∠ADE＝90°，AD＝DE． ①探究发现，点E在一条定直线上，请直接写出该直线的解析式 　 　； ②若点D是线段OB的中点，另一动点H在直线BE上，且∠HAC＝∠BAD，请求出点H的坐标． 23．如图，平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于A、B两点且OA＝1，OB＝． （1）求直线AB解析式； （2）点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 24．综合与探究． 如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的两条邻边分别在x轴、y轴上，对角线，点B的坐标为B（2a，a）． （1）A 　 　，C 　 　． （2）把矩形OABC沿直线DE对折使点C落在点A处，直线DE与OC、AC、AB的交点分别为D，F，E，求直线DE的解析式（问题（1）中的结论可直接使用）． （3）若点M在y轴上，则在平面直角坐标系中的x轴及x轴的下方，是否存在这样的点N，使得以A、D、N、M为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 25．在平面直角坐标系中，已知点A（4，0），点B（0，3）．点P从点A出发，以每秒1个单位的速度向右平移，点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度向右平移，又P、Q两点同时出发． （1）连接AQ，当△ABQ是直角三角形时，则点Q的坐标为 　 　； （2）当P、Q运动到某个位置时，如果沿着直线AQ翻折，点P恰好落在线段AB上，求这时∠AQP的度数； （3）若将AP绕点A逆时针旋转，使得P落在线段BQ上，记作P'，且AP'∥PQ，求此时直线PQ的解析式． 26．在平面直角坐标系xOy中，对于点P，O，Q给出如下定义：若OQ＜PO＜PQ且PO≤2，我们称点P是线段OQ的“潜力点”．已知点O（0，0），Q（1，0）． （1）在P1（0，﹣1），P2（，），P3（﹣1，1）中是线段OQ的“潜力点”是 　 　； （2）若点P在直线y＝x上，且为线段OQ的“潜力点”，求点P横坐标的取值范围； （3）直线y＝2x+b与x轴交于点M，与y轴交于点N，当线段MN上存在线段OQ的“潜力点”时，直接写出b的取值范围． 27．如图，长方形OABC，是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA＝10，OC＝6，在AB上取一点M使得△CBM沿CM翻折后，点B落在x轴上，记作B′点． （1）求B'点的坐标； （2）求折痕CM所在直线的表达式； （3）求折痕CM上是否存在一点P，使PO+PB'最小？若存在，请求出最小值，若不存在，请说出理由． 28．如图①，在矩形OACB中，点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，点C在第一象限，OA＝8，OB＝6 （1）直接写出点C的坐标：　 　； （2）如图②，点G在BC边上，连接AG，将△ACG沿AG折叠，点C恰好与线段AB上一点C′重合，求线段CG的长度； （3）如图③，P是直线y＝2x﹣6上一点，PD⊥PB交线段AC于D．若P在第一象限，且PB＝PD，试求符合条件的所有点P的坐标． 29．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴交于A、B两点，且OA、OB的长度满足|8﹣OA|+＝0，M是OA上一点，若将△ABM沿着直线BM折叠，点A恰好落在y轴上的点P处． （1）求点A、B、P三点坐标； （2）求直线BM的解析式； （3）在坐标平面内是否存在一点N，使以点B、M、A、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由． 九．勾股定理（共1小题） 30．如图所示，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列四个说法：①x2+y2＝49，②x﹣y＝2，③2xy+4＝49，④x+y＝9．其中说法正确的是（　　） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 一十．三角形中位线定理（共2小题） 31．已知：四边形ABCD中，AB＝2，CD＝3，M、N分别是AD，BC的中点，则线段MN的取值范围是（　　） A．1＜MN＜5 B．1＜MN≤5 C．＜MN＜ D．＜MN≤ 32．如图，△ABC中，∠BAD＝∠CAD，BE＝CE，AD⊥BD，DE＝，AB＝4，则AC的值为（　　） A．6 B． C．7 D．8 一十一．平行四边形的判定与性质（共1小题） 33．如图，直线AB与x轴，y轴分别交于点A，B，且点A（3，0），B（0，6），另有两点C（﹣1，4），D（﹣3，4），若点P是直线AB上的动点，点Q为y轴上的动点，要使以Q，P，C，D为顶点的四边形是平行四边形，且线段CD为平行四边形的一边，则满足条件的P点坐标为 　 　． 一十二．菱形的性质（共4小题） 34．如图，已知菱形ABCD的边长为6，点M是对角线AC上的一动点，且∠ABC＝120°，则MA+MB+MD的最小值是（　　） A． B．3+3 C．6+ D． 35．如图，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、E在同一直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．若∠ABC＝∠BEF＝60°，则＝（　　） A． B． C． D． 36．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，E、F分别是AB，AD的中点，DE、BF相交于点G，连接BD，CG．有下列结论： ①∠BGD＝120°；②BG+DG＝CG；③△BDF≌△CGB；④S△ABD＝AB2 其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 37．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，OH＝4，若菱形ABCD的面积为32，则CD的长为（　　） A．4 B．4 C．8 D．8 一十三．矩形的性质（共4小题） 38．定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA＝3，OC＝4，点M（2，0），在边AB存在点P，使得△CMP为“智慧三角形”，则点P的坐标为（　　） A．（3，1）或（3，3） B．（3，）或（3，3） C．（3，）或（3，1） D．（3，）或（3，1）或（3，3） 39．如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，则B、C两点的坐标分别是（　　） A．（，3）、（﹣，4） B．（，3）、（﹣，4） C．（，）、（﹣，4） D．（，）、（﹣，4） 40．如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝6，BC＝2．运动过程中点D到点O的最大距离是 　 　． 41．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E为AD的中点，F为线段EC上一动点，P为BF中点，连接PD，则线段PD长的取值范围是 　 　． 一十四．正方形的性质（共5小题） 42．在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4＝（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 43．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2的值为（　　） A．16 B．17 C．18 D．19 44．如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．在下列结论中： ①DE＝EF； ②△DAE≌△DCG； ③AC⊥CG； ④CE＝CF． 其中正确的结论序号是 　 　． 45．如图，在正方形ABCD中，点M、N为边BC和CD上的动点（不含端点），∠MAN＝45°，下列四个结论：①当MN＝MC时，则∠BAM＝22.5°；②2∠AMN﹣∠MNC＝90°；③△MNC的周长不变；④∠AMN﹣∠AMB＝60°．其中正确结论的序号是　 　． 46．如图，正方形ABCD边长为4，点E在边AB上（点E与点A、B不重合），过点A作AF⊥DE，垂足为G，AF与边BC相交于点F． （1）求证：△ADF≌△DCE； （2）若△DEF的面积为，求AF的长； （3）在（2）的条件下，取DE，AF的中点M，N，连接MN，求MN的长． 一十五．翻折变换（折叠问题）（共2小题） 47．如图，将一个边长分别为4，8的长方形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，则折痕EF的长是（　　） A． B． C． D． 48．如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，∠EBC的平分线交CD于点F，将△DEF沿EF折叠，点D恰好落在BE上M点处，延长BC、EF交于点N．有下列四个结论： ①DF＝CF； ②BF⊥EN； ③△BEN是等边三角形； ④S△BEF＝3S△DEF． 其中，将正确结论的序号全部选对的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末各名校真题复习（压轴必刷48题15考点） 一．函数的图象（共1小题） 1．函数y＝的图象为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：当x＜0时，函数解析式为：y＝﹣x﹣2， 函数图象为：B、D， 当x＞0时，函数解析式为：y＝x+2， 函数图象为：A、C、D， 故选：D． 二．动点问题的函数图象（共3小题） 2．如图所示，半径为1的圆和边长为3的正方形在同一水平线上，圆沿该水平线从左向右匀速穿过正方形，设穿过时间为t，正方形除去圆部分的面积为S（阴影部分），则S与t的大致图象为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：由图中可知：在开始的时候，阴影部分的面积最大，可以排除B，C． 随着圆的穿行开始，阴影部分的面积开始减小，当圆完全进入正方形时，阴影部分的面积开始不再变化．应排除D． 故选：A． 3．如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点B运动：点Q从点C同时出发，以2cm/s的速度向点D运动，规定当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为x（s），PQ的长度为y（cm），y与x的对应关系如图②所示．下列说法①AB＝4cm，②CD＝6cm，③BC＝3cm，④当x＝时，PQ∥BC．正确的是（　　） A．② B．②③ C．②④ D．①②③④ 【答案】A 【解答】解：由图象经过（0，3）可知当x＝0时，y＝PQ＝3， ∴AC＝3， 由图象最低点是（2，3）可知当x＝2时，y＝PQ＝3， 此时PQ⊥CD， ∴AD＝3， ∴根据勾股定理得CD＝6， ∴Q点最多运动3s，故②正确， 由最后一个点（3，3）可知运动3s时PQ＝3， 此时Q与D重合，AP＝3， ∴AB的长是求不出来的， ∴①③④不能判断对错， 故选：A． 4．如图①，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止，设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图②所示，则矩形MNPQ的面积是　20　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由图象可知，x＝4时，点R到达P，x＝9时，点R到Q点，则PN＝4，QP＝5 ∴矩形MNPQ的面积是20． 三．一次函数图象上点的坐标特征（共3小题） 5．如图放置的△OA1B，△A1B1A2，△A2B2A3，…，△AnBnAn+1，都是以A1，A2，A3，…，An为直角顶点的三角形，点A1，A2，A3，…，An都在直线上，OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝AnAn+1，点B在y轴上，OB＝2，OB＝A1B1＝A2B2＝…＝AnBn，则点B2024的坐标是（　　） A．（1012，1012） B． C． D． 【答案】D 【解答】解：∵OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝AnAn+1，OB＝A1B1＝A2B2＝…＝AnBn， ∴Rt△OA1B≌Rt△A1B1A2≌Rt△A2B2A3≌…≌Rt△AnBnAn+1． ∴∠BOA1＝∠B1A1A2＝∠B2A2A3＝…＝∠BnAnAn+1． ∴OB∥A1B1∥A2B2∥…∥AnBn． ∵tg（90°﹣∠BOA1）＝， ∴90°﹣∠BOA1＝60°， ∴∠BOA1＝30°． ∴OA1＝OB•cos30°＝2×＝， ∴点A1的横坐标为OA1•sin30°＝×＝，纵坐标为×＝，即A1（，）． ∴点B1的横坐标为，纵坐标为+2＝，即B1（，）． 同理，A2（，3），B2（，5）；A3（，），B3（，）；… ∴B1（，），B2（，5），B3（，）…Bn（n，2+n）． ∴当n＝2024时，×2024＝1012，2+×2024＝3038， ∴Bn（1012，3038）． 故选：D． 6．如图，已知A1、A2、A3、…、An、An+1是x轴上的点，且OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝AnAn+1＝1，分别过点A1、A2、A3、…、An、An+1作x轴的垂线交直线y＝2x于点B1、B2、B3、…、Bn、Bn+1，连接A1B2、B1A2、A2B3、B2A3、…、AnBn+1、BnAn+1，依次相交于点P1、P2、P3、…、Pn．△A1B1P1、△A2B2P2、△AnBnPn的面积依次记为S1、S2、S3、…、Sn，则Sn为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：∵A1、A2、A3、…、An、An+1是x轴上的点，且OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝AnAn+1＝1，分别过点A1、A2、A3、…、An、An+1作x轴的垂线交直线y＝2x于点B1、B2、B3、…、Bn、Bn+1， ∴依题意得：B1（1，2），B2（2，4），B3（3，6），…，Bn（n，2n） ∵A1B1∥A2B2， ∴△A1B1P1∽△A2B2P1， ∴＝， ∴△A1B1P1与△A2B2P1对应高的比为：1：2， ∵A1A2＝1， ∴A1B1边上的高为：， ∴＝××2＝， 同理可得：＝，＝， ∴Sn＝． 故选：D． 7．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝2x和y＝﹣x的图象分别为直线l1，l2，过点（1，0）作x轴的垂线交l1于点A1，过点A1作y轴的垂线交l2于点A2，过点A2作x轴的垂线交l1于点A3，过点A3作y轴的垂线交l2于点A4，…依次进行下去，则点A2022的坐标为 　（﹣21011，21011）　． 【答案】（﹣21011，21011）． 【解答】解：当x＝1时，y＝2， ∴点A1的坐标为（1，2）； 当y＝﹣x＝2时，x＝﹣2， ∴点A2的坐标为（﹣2，2）； 同理可得A3（﹣2，﹣4），A4（4，﹣4），A5（4，8），A6（﹣8，8），A7（﹣8，﹣16），A8（16，﹣16）……， ∴， ， ， （n为自然数）， ∵2022＝505×4+2， ∴点A2022的坐标为（﹣2505×2+1，2505×2+1）， 即点A2022的坐标为（﹣21011，21011）． 故答案为：（﹣21011，21011）． 四．待定系数法求一次函数解析式（共1小题） 8．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，B为x轴上一点，菱形AOBC的边长为2，∠AOB＝60°，点D是OB边上一动点（不与点O，B重合），点E在BC边上，且OD＝BE，下列结论： ①△AOD≌△ABE；②∠ADE的大小随点D的运动而变化； ③直线BC的解析式为y＝x﹣2；④DE的最小值为． 其中正确的有 　①③④　．（填写序号） 【答案】①③④． 【解答】解：∵菱形AOBC的边长为2，∠AOB＝60°， ∴△AOB，△ABC为等边三角形，A（1，）， ∵OD＝BE，∠AOD＝∠ABE＝60°， ∴△AOD≌△ABE，（故①正确）， ∴∠OAD＝∠BAE，AD＝AE， ∴∠OAB＝∠DAE＝60°， ∴△ADE为等边三角形， ∴∠ADE＝60°， ∴∠ADE的大小随点D的运动是不变化的，（故②不正确）， 设直线BC的解析式为y＝kx+b， ∵过B（2，0），C（3，）， ∴y＝x﹣2（故③正确）， 根据垂线段最短， ∴当AD⊥OB时AD有最小值， ∴DE的最小值为，（故④正确）． 故答案为：①③④． 五．一次函数与一元一次不等式（共1小题） 9．【问题探究】 某学习小组同学按照以下思路研究不等式组﹣1≤﹣|x|+3≤2的解集： 首先令y＝﹣|x|+3，通过列表、描点、连线的方法作出该函数的图象并对其性质进行探究． 列表： x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 … y … 　﹣1　 　0　 　1　 　2　 　3　 　2　 　1　 　0　 　﹣1　 … 描点与连线： （1）在列表的空格处填对应的y值，在图1给出的平面直角坐标系中描出以表中各对应值为坐标的点，并根据描出的点，画出该函数的图象； （2）若P（a，b），Q（5，b）为该函数图象上不同的两点，则a＝　﹣5　； （3）观察图象，当﹣1≤﹣|x|+3≤2时，自变量x的取值范围是 　﹣4≤x≤﹣1或1≤x≤4　； 【拓展运用】 函数y＝|x|的图象如图2所示，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象草图，并求出它与函数y＝|x|的图象所围成的图形面积． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：【问题探究】（1）当x＝﹣4时，y＝﹣|﹣4|+3＝﹣4+3＝﹣1； 当x＝﹣3时，y＝﹣|﹣3|+3＝﹣3+3＝0； 当x＝﹣2时，y＝﹣|﹣2|+3＝﹣2+3＝1； 当x＝﹣1时，y＝﹣|﹣1|+3＝﹣1+3＝2； 当x＝0时，y＝﹣|0|+3＝3； 当x＝1时，y＝﹣|1|+3＝﹣1+3＝2； 当x＝2时，y＝﹣|2|+3＝﹣2+3＝1； 当x＝3时，y＝﹣|3|+3＝﹣3+3＝0； 当x＝4时，y＝﹣|4|+3＝﹣4+3＝﹣1． 故答案为：﹣1，0，1，2，3，2，1，0，﹣1． 描点并画出该函数的图象： （2）将（1）中的函数图象左右延长，如图． ∵函数y＝﹣|x|+3的图象关于y轴对称， ∴P（a，b），Q（5，b）关于y轴对称， ∴a＝﹣5． 故答案为：﹣5． （3）由图象可知，当﹣1≤﹣|x|+3≤2时，自变量x的取值范围是﹣4≤x≤﹣1或1≤x≤4． 故答案为：﹣4≤x≤﹣1或1≤x≤4． 【拓展运用】函数y＝|x|与y＝﹣x+3的图象交于点A、B，S△AOB即为所求． ∵y＝|x|的图象与x轴夹角的正切值为1， ∴y＝|x|的图象与x轴的夹角为45°， ∴∠AOB＝90°． ∴SRt△AOB＝OA•OB． 由题意，得，解得或． ∴A（﹣6，6），B（2，2）． ∴OA＝＝6，OB＝＝2， ∴SRt△AOB＝OA•OB＝×6×2＝12． ∴两图象所围成的图形面积为12． 六．两条直线相交或平行问题（共1小题） 10．若直线y＝﹣2x﹣4与直线y＝4x+b的交点在第三象限，则b的取值范围是（　　） A．﹣4＜b＜8 B．﹣4＜b＜0 C．b＜﹣4或b＞8 D．﹣4≤b≤8 【答案】A 【解答】解：， 解得：， ∵交点在第三象限， ∴﹣＜0， ＜0， 解得：b＞﹣4，b＜8， ∴﹣4＜b＜8． 故选：A． 七．一次函数的应用（共3小题） 11．为落实“精准扶贫”，某村在政府的扶持下建起了蔬菜大棚基地，准备种植A，B两种蔬菜，若种植20亩A种蔬菜和30亩B种蔬菜，共需投入36万元；若种植30亩A种蔬菜和20亩B种蔬菜，共需投入34万元． （1）种植A，B两种蔬菜，每亩各需投入多少万元？ （2）经测算，种植A种蔬菜每亩可获利0.8万元，种植B种蔬菜每亩可获利1.2万元，村里把100万元扶贫款全部用来种植这两种蔬菜，总获利w万元．设种植A种蔬菜m亩，求w关于m的函数关系式； （3）在（2）的条件下，若要求A种蔬菜的种植面积不能少于B种蔬菜种植面积的2倍，请你设计出总获利最大的种植方案，并求出最大总获利． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设种植A，B两种蔬菜，每亩各需分别投入x，y万元 根据题意得 解得 答：种植A，B两种蔬菜，每亩各需分别投入0.6，0.8万元 （2）由题意得 w＝0.8m+1.2×＝﹣0.1m+150（0≤m≤） （3）由（2） m≥2× 解得m≥100 ∵w＝﹣0.1m+150 k＝﹣0.1＜0 ∴w随m的增大而减小 ∴当m＝100时，w最大＝140 ＝50 ∴当种A蔬菜100亩，B种蔬菜50亩时，获得最大利润为140万元． 12．我市某风景区门票价格如图所示，有甲、乙两个旅行团队，计划在端午节期间到该景点游玩，两团队游客人数之和为100人，乙团队人数不超过40人．设甲团队人数为x人，如果甲、乙两团队分别购买门票，两团队门票款之和为y元． （1）直接写出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）若甲团队人数不超过80人，计算甲、乙两团队联合购票比分别购票最多可节约多少钱？ （3）端午节之后，该风景区对门票价格作了如下调整：人数不超过40人时，门票价格不变，人数超过40人但不超过80人时，每张门票降价a元；人数超过80人时，每张门票降价2a元．在（2）的条件下，若甲、乙两个旅行团端午节之后去游玩联合购票比分别购票最多可节约3900元，求a的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由题意乙团队人数为（100﹣x）人 则100﹣x≤40 x≥60 当60≤x≤80时， y＝130x+150（100﹣x）＝﹣20x+15000 当80＜x＜100时 y＝120x+150（100﹣x）＝﹣30x+15000 （2）由（1） 甲团队人数不超过80人 ∵k＝﹣20＜0 ∴y随x增大而减小 ∴当x＝60时，y最大＝13800 当两团队联合购票时购票费用为 100×120＝12000 甲、乙两团队联合购票比分别购票最多可节约13800﹣12000＝1800元． （3）在（2）的条件下 当60≤x≤80时， y＝（130﹣a）x+150（100﹣x）＝﹣（20+a）x+15000 ∵k＝﹣（20+a）＜0 ∴y随x增大而减小 ∴当x＝60时，y最大＝13800﹣60a 由价格方案，联合购票费用为100（120﹣2a）＝12000﹣200a ∴13800﹣60a﹣（12000﹣200a）＝3900 解得a＝15 答：a的值为15 13．为了美化校园环境，争创绿色学校，某县教育局委托园林公司对A、B两校进行校园绿化．已知A校有3600平方米空地需铺设草坪，B校有2400平方米空地需铺设草坪．在甲、乙两地分别有同种草皮3500平方米和2500平方米出售，且售价一样．若园林公司向甲、乙两地购买草皮，其路程和运费单价表如下： （1）设甲地运往A校的草皮为x平方米，总运费为y元，写出y与x的函数关系式； （2）请你设计一种运费最少的方案，并说明最少费用是多少． A校 B校 路程（千米） 运费单价（元） 路程（千米） 运费单价（元） 甲地 20 0.15 10 0.15 乙地 15 0.20 20 0.20 【答案】（1）y＝2.5x+11650，（2）方案见详解，最少费用14400元． 【解答】解：（1）设甲地运往A校的草皮为x米2，总运费为y元， 由于草皮的总供求数量都是6000米2， ∴甲地运往B校的草皮为（3500﹣x）米2， 乙地运往A校的草皮为（3600﹣x）米2， 乙地运往B校的草皮为（x﹣1100）米2， ∴y＝20×0.15x+10×0.15×（3500﹣x）+15×0.2×（3600﹣x）+20×0.2×（x﹣1100） ＝2.5x+11650， （2）一次函数y＝2.5x+11650， 2.5＞0，y随x的增大而增大， ∵x≥0，（3500﹣x）≥0，（3600﹣x）≥0，（x﹣1100）≥0， ∴1100≤x≤3500， ∴当x＝1100时，y有最小值． 即y＝2.5×1100+11650＝14400（元）． 总运费最省的方案为甲地运A校1500米2，运B校2000米2；乙地运A校2100米2，运B校400米2，费用最少． 八．一次函数综合题（共16小题） 14．八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，则该直线l的解析式为（　　） A．y＝x B．y＝x C．y＝x D．y＝x 【答案】C 【解答】解：设直线l和八个正方形的最上面交点为A，过A作AB⊥OB于B，过A作AC⊥OC于C， ∵正方形的边长为1， ∴OB＝3， ∵经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分， ∴两边分别是4， ∴三角形ABO面积是5， ∴OB•AB＝5， ∴AB＝， ∴OC＝， 由此可知直线l经过（，3）， 设直线方程为y＝kx， 则3＝k， k＝， ∴直线l解析式为y＝x， 故选：C． 15．如图，点A，B，C在一次函数y＝﹣2x+m的图象上，它们的横坐标依次为﹣1，1，2，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是（　　） A．1 B．3 C．3（m﹣1） D． 【答案】B 【解答】解：由题意可得：A点坐标为（﹣1，2+m），B点坐标为（1，﹣2+m），C点坐标为（2，m﹣4），D点坐标为（0，2+m），E点坐标为（0，m），F点坐标为（0，﹣2+m），G点坐标为（1，m﹣4）． 所以，DE＝EF＝BG＝2+m﹣m＝m﹣（﹣2+m）＝﹣2+m﹣（m﹣4）＝2，又因为AD＝BF＝GC＝1，所以图中阴影部分的面积和等于×2×1×3＝3． 故选：B． 16．如图，一次函数y＝﹣x+4的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，过AB中点D的直线CD交x轴于点C，且经过第一象限的点E（6，4）． （1）求A，B两点的坐标及直线CD的函数表达式； （2）连接BE，求△DBE的面积； （3）连接DO，在坐标平面内找一点F，使得以点C，O，F为顶点的三角形与△COD全等，请直接写出点F的坐标． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）一次函数y＝﹣x+4，令x＝0，则y＝4；令y＝0，则x＝4， ∴A（0，4），B（4，0）， ∵D是AB的中点， ∴D（2，2）， 设直线CD的函数表达式为y＝kx+b，则 ，解得， ∴直线CD的函数表达式为y＝x+1； （2）y＝x+1，令y＝0，则x＝﹣2， ∴C（﹣2，0）， ∴BC＝2＝4＝6， ∴△DBE的面积＝△BCE的面积﹣△BCD的面积＝×6×（4﹣2）＝6； （3）如图所示，当点F在第一象限时，点F与点D重合，即点F的坐标为（2，2）； 当点F在第二象限时，点F的坐标为（﹣4，2）； 当点F在第三象限时，点F的坐标为（﹣4，﹣2）； 当点F在第四象限时，点F的坐标为（2，﹣2）． 17．如图，矩形AOBC，点A、B分别在x、y轴上，对角线AB、OC交于点D，点C（，1），点M是射线OC上一动点． （1）求证：△ACD是等边三角形； （2）若△OAM是等腰三角形，求点M的坐标； （3）若N是OA上的动点，则MA+MN是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵C（，1）， ∴AC＝1，OA＝， ∴OC＝2， ∴∠COA＝30°，∠OCA＝60°， ∵矩形AOBC， ∴∠ABC＝∠OCB＝30°， ∴∠ADC＝60°， ∴△ACD是等边三角形； （2）△OAM是等腰三角形， 当OM＝MA时，此时点M与点D重合， ∵C（，1），点D为OC中点， ∴M（，）． 当OM1＝OA时，做M1E⊥OA，垂足为E，如图： ∴OM1＝OA＝， 由（1）知∠M1OA＝30°， ∴M1E＝，OE＝， ∴M1（，）． 当OA＝AM2时，做M2F⊥OA，垂足为F，如图： AM2＝， 由（1）知∠COA＝∠AM2O＝30°， ∴∠M2AF＝60°， ∴AF＝，M2F＝， M2（，）． 综上所述：点M坐标为M（，）、（，）、（，）． （3）存在，做点A关于直线OC对称点为G，如图： 则AG⊥OC，且∠GOA＝60°，OG＝OA＝， ∴ON＝，GN＝， ∵点A、G关于直线OC对称， ∴MG＝MA， ∴MA+MN＝MG+MN， ∵N是OA上的动点， ∴当GN⊥x轴时，MA+MN最小， ∴存在MA+MN存在最小值，最小值为． 18．如图，已知直线l1：y＝﹣x+2与直线l2：y＝2x+8相交于点F，l1、l2分别交x轴于点E、G，矩形ABCD顶点C、D分别在直线l1、l2，顶点A、B都在x轴上，且点B与点G重合． （1）求点F的坐标和∠GEF的度数； （2）求矩形ABCD的边DC与BC的长； （3）若矩形ABCD从原地出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为t（0≤t≤6）秒，矩形ABCD与△GEF重叠部分的面积为s，求s关于t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由题意得 ， 解得x＝﹣2，y＝4， ∴F点坐标：（﹣2，4）； 过F点作直线FM垂直X轴交x轴于M，ME＝MF＝4，△MEF是等腰直角三角形，∠GEF＝45°； （2）∵点G是直线l2与x轴的交点， ∴当y＝0时，2x+8＝0，解得x＝﹣4， ∴G点的坐标为（﹣4，0），则C点的横坐标为﹣4， ∵点C在直线l1上， ∴点C的坐标为（﹣4，6）， ∵由图可知点D与点C的纵坐标相同，且点D在直线l2上， ∴点D的坐标为（﹣1，6）， ∵由图可知点A与点D的横坐标相同，且点A在x轴上， ∴点A的坐标为（﹣1，0）， ∴DC＝|﹣1﹣（﹣4）|＝3，BC＝6； （3）∵点E是l1与x轴的交点， ∴点E的坐标为（2，0）， S△GFE＝＝＝12， 若矩形ABCD从原地出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度平移， 当t秒时，移动的距离是1×t＝t，则B点的坐标为（﹣4+t，0），A点的坐标为（﹣1+t，0）； ①在运动到t秒，若BC边与l2相交设交点为N，AD与l1相交设交点为K，那么﹣4≤﹣4+t≤﹣2，即0≤t≤2时． N点的坐标为（﹣4+t，2t），K点的坐标为（﹣1+t，3﹣t）， s＝S△GFE﹣S△GNB﹣S△AEK＝12﹣＝﹣t2+3t+， ②在运动到t秒，若BC边与l1相交设交点为N，AD与l1相交设交点为K，那么﹣2＜﹣4+t且﹣1+t≤2，即2＜t≤3时． N点的坐标为（﹣4+t，6﹣t），K点的坐标为（﹣1+t，3﹣t）， s＝S梯形BNKA＝＝， ③在运动到t秒，若BC边与l1相交设交点为N，AD与l1不相交，那么﹣4+t≤2且﹣1+t＞2，即3＜t≤6时． N点的坐标为（﹣4+t，6﹣t）， s＝S△BNE＝＝， 答：（1）F点坐标：（﹣2，4），∠GEF的度数是45°； （2）矩形ABCD的边DC的长为3，BC的长为6； （3）s关于t的函数关系式： S＝． 19．如图，矩形AOCB的顶点A、C分别位于x轴和y轴的正半轴上，线段OA、OC的长度满足|OA﹣15|+＝0，点N在OC上，将△BCN沿直线BN折叠，点C恰好落在x轴上的点D处，且OD＝3． （1）求点B的坐标； （2）求直线BN的解析式； （3）坐标平面内是否存在一点P，使以B、N，D、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）B（15，9）； （2）直线BN的解析式为：y＝x+4； （3）存在，符合题意的点P的坐标为（18，5）或（﹣12，﹣5）或（12，13）． 【解答】解：（1）∵|OA﹣15|+＝0， ∴OA＝15，OC＝9， ∴OA＝BC＝15，AB＝OC＝9， ∴B（15，9）； （2）由折叠可知，BD＝BC＝15，∠BCO＝∠BDN＝90°，CN＝DN， 设CN＝m，则DN＝m，ON＝9﹣m， 在Rt△ABD中，∠BAO＝90°， 由勾股定理可知，AD＝12， ∴OD＝3， 在Rt△ODN中，由勾股定理可知，（9﹣m）2+32＝m2， 解得m＝5， ∴ON＝4， ∴N（0，4）， 设直线BN的解析式为：y＝kx+b， ∴， ∴， ∴直线BN的解析式为：y＝x+4． （3）存在，理由如下： 由上可知，B（15，0），N（0，4），D（3，0）， 若以点B、N，D、P为顶点的四边形是平行四边形，根据题意，需要分以下三种情况： ①当BD为平行四边形的对角线时，xB+xD＝xP+xN，yB+yD＝yP+yN， 解得xP＝18，yP＝5， ∴P（18，5）． ②当ND为平行四边形的对角线时，xN+xD＝xB+xP，yN+yD＝yB+yP， 解得xP＝﹣12，yP＝﹣5， ∴P（﹣12，﹣5）． ③当BN为平行四边形的对角线时，xB+xN＝xP+xD，yB+yN＝yP+yD， 解得xP＝12，yP＝13， ∴P（12，13）． 综上，符合题意的点P的坐标为（18，5）或（﹣12，﹣5）或（12，13）． 20．如图，已知长方形ABCD的边长AB＝4，AD＝3，E，F分别在边AD，AB上，且DE＝BF＝2，点P是长方形边上的一个动点，点P从点B出发，沿着折线B﹣C﹣D运动，运动到D点停止．记P点走过的路程为x，四边形AEPF的面积为y． （1）求出y关于x的函数表达式； （2）在所给的坐标系中画出该函数的图象； （3）观察函数图象，请写出一条该函数的性质． 【答案】（1）； （2）见解析； （3）从图象看，当0≤x≤3时，y随x的增大而增大，当3＜x＜7时，y随x的增大而减小（答案不唯一）． 【解答】解：（1）当点P在BC上运动时，即0＜x≤3，则 y＝S矩形ABCD﹣S△PBF﹣S梯形PCDE＝＝＝x+2； 当点P在CD上运动时，即3＜x＜7，如图： 则y＝S矩形ABCD﹣S△PDE﹣S梯形PCBF ＝ ＝， 即； （2）当x＝0时，y＝2，当x＝3时，y＝5，当x＝7时，y＝3， 将上述三点描点、连线绘制图象如下 （3）从图象看，当0≤x≤3时，y随x的增大而增大，当3＜x＜7时，y随x的增大而减小（答案不唯一）． 21．如图所示，直线AB交x轴于点A（a，0），交y轴于点B（0，b），且a，b满足+（a﹣4）2＝0． （1）a＝　4　，b＝　﹣4　； （2）如图1，若点C的坐标为（﹣1，0），且AH⊥BC于点H，AH交OB于点P，试求点P的坐标； （3）如图2，若点D为AB的中点，点M为y轴正半轴上一动点，连接MD，过点D作DN⊥DM交x轴于点N，当点M在y轴正半轴上运动的过程中，式子S△BDM﹣S△ADN的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求出该式子的值． 【答案】（1）4，﹣4； （2）P（0，﹣1）； （3）4． 【解答】解：（1）∵+（a﹣4）2＝0，且≥0，（a﹣4）2≥0， ∴a+b＝0，a﹣4＝0， ∴a＝4，b＝﹣4． 故答案为：4，﹣4； （2）∵a＝4，b＝﹣4，则OA＝OB＝4． ∵AH⊥BC于H， ∴∠OAP+∠OPA＝∠BPH+∠OBC＝90°， ∴∠OAP＝∠OBC， 在△OAP与△OBC中， ， ∴△OAP≌△OBC（ASA）， ∴OP＝OC＝1， 则P（0，﹣1）； （3）S△BDM﹣S△ADN的值不发生改变．S△BDM﹣S△ADN＝4． 连接OD，则OD⊥AB，∠BOD＝∠AOD＝45°，∠OAD＝45° ∴OD＝AD， ∴∠MDO＝∠NDA＝90°﹣∠MDA， 在△ODM与△ADN中， ， ∴△ODM≌△ADN（ASA）， ∴S△ODM＝S△ADN， ∴S△BDM﹣S△ADN＝S△BDM﹣S△ODM＝S△BOD＝S△AOB＝×AO•BO＝××4×4＝4． 22．如图，直线y＝﹣x+4与坐标轴分别交于点A，B，以OA为边在y轴的右侧作正方形AOBC． （1）求点A，B的坐标； （2）如图，点D是x轴上一动点，点E在AD的右侧，∠ADE＝90°，AD＝DE． ①探究发现，点E在一条定直线上，请直接写出该直线的解析式 　y＝x﹣4　； ②若点D是线段OB的中点，另一动点H在直线BE上，且∠HAC＝∠BAD，请求出点H的坐标． 【答案】（1）点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（4，0）； （2）①点E所在的直线的解析式为y＝x﹣4； ②点H的坐标为（6，2）或（12，8）． 【解答】解：（1）把x＝0代入y＝﹣x+4，得y＝4， ∴点A的坐标为（0，4）， 把y＝0代入y＝﹣x+4，得x＝4， ∴点B的坐标为（4，0）； （2）①过点E作EF⊥x轴，垂足为点F， 设点E的坐标为（x，y），则OF＝x，EF＝y， ∵∠ADE＝∠AOD＝90°， ∴∠OAD+∠ADO＝90°，∠FDE+∠ADO＝90°， ∴∠OAD＝∠FDE， ∵∠AOD＝∠DFE＝90°，AD＝DE， ∴△AOD≌△DFE（AAS）， ∴OD＝EF＝y，OA＝DF＝4， ∵OF＝OD+DF， ∴x＝y+4，整理得y＝x﹣4， ∴点E所在的直线的解析式为y＝x﹣4； ②连接AE，由题意可知△ADE为等腰直角三角形，则∠DAE＝45°， ∵四边形OACB为正方形， ∴∠BAC＝∠DAE＝45°， ∴∠EAC＝∠BAD，此时点H与点E重合， ∵点D是线段OB的中点， ∴OD＝BD＝2， ∴点E的坐标为（6，2）， 设直线AE的解析式为y＝kx+b，把A（0，4），E（6，2）代入， 得，解得， ∴直线AE的解析式为， 当x＝4时，y＝， ∴点M的坐标为， 作点M关于直线AC的对称点N，可得， 此时∠NAC＝∠EAC＝∠BAD，所以点H为直线AN与BE的交点， ∴直线AN的解析式为， 联立，解得， ∴点H的坐标为（12，8）， 综上所述，点H的坐标为（6，2）或（12，8）． 23．如图，平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于A、B两点且OA＝1，OB＝． （1）求直线AB解析式； （2）点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）直线AB解析式为； （2）存在，Q点的坐标为：（﹣1，0）或（1，2）或（1，﹣2）或． 【解答】解：（1）∵， ∴A（1，0），， 设直线AB解析式为， ∴， 解得， ∴直线AB解析式为； （2）存在．理由如下： ∵OA＝1，， ∴， ①当AB是菱形的边时，如图所示， 在菱形AP1Q1B中， Q1O＝AO＝1，所以Q1的坐标为（﹣1，0）； 在菱形ABP2Q2中， AQ2∥BP2，AQ2＝AB＝2，所以Q2的坐标为（1，2）， 在菱形ABP3Q3中， AQ3∥BP3，AQ3＝AB＝2，所以Q3的坐标为（1，﹣2）， ②当AB为菱形的对角线时，如图所示的菱形AP4BQ4， 设菱形的边长为x，则AP4＝BP4＝x，， 则在Rt△AP4O中，， 即，解得， ∴． 综上可得，平面内满足条件的Q点的坐标为：（﹣1，0）或（1，2）或（1，﹣2）或． 24．综合与探究． 如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的两条邻边分别在x轴、y轴上，对角线，点B的坐标为B（2a，a）． （1）A 　（0，4）　，C 　（8，0）　． （2）把矩形OABC沿直线DE对折使点C落在点A处，直线DE与OC、AC、AB的交点分别为D，F，E，求直线DE的解析式（问题（1）中的结论可直接使用）． （3）若点M在y轴上，则在平面直角坐标系中的x轴及x轴的下方，是否存在这样的点N，使得以A、D、N、M为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）（0，4），（8，0）； （2）y＝2x﹣6； （3）存在，N的坐标为（3，﹣5）或（﹣3，0）． 【解答】解：（1）∵四边形OABC是矩形，B（2a，a） ∴OA＝BC＝a，AB＝OC＝2a， 则， ∴a＝4，则2a＝8， ∴A（0，4），C（8，0）， 故答案为：（0，4），（8，0）； （2）连接AD，CE， ∵矩形OABC沿直线DE对折使点C落在点A处， ∴DE是AC的垂直平分线，AF＝CF，AB∥OC，则∠EAF＝∠DCF，∠AEF＝∠CDF， ∴AD＝CD，AE＝CE，△EAF≌△DCF（AAS）， ∴AE＝CD，则四边形ADCE是菱形， ∴AD＝CD＝AE＝CE， 设OD＝x，则AD＝CD＝8﹣x， 在Rt△AOD中：AD2＝OA2+OD2， 即（8﹣x）2＝x2+16， 解得：x＝3， ∴OD＝3，CD＝AE＝5， ∴D（3，0），E（5，4）， 设直线DE的解析式为y＝kx+b， 将D、E坐标代入得： ， 解得：， ∴直线DE的解析式为y＝2x﹣6． （3）设M（0，m）， ∵OA＝4，OD＝3， ∴， ①当AM＝AD时， 即|4﹣m|＝5，解得：m＝﹣1（m＝9时，点N在x轴上方，舍去） ∴M（0，﹣1）， 由中点坐标可得：， 得， 即：N（3，﹣5）； ②当DM＝AD时，， 解得：m＝﹣4（m＝4时，点M与点A重合，舍去）， ∴M（0，﹣4）， 由中点坐标可得：， 得， 即：N（﹣3，0）； ③当MA＝MD时，MA＝DM＝|4﹣m|， 由勾股定理可得：DM2＝OM2+OD2，即（4﹣m）2＝m2+32，解得：， 此时点N在x轴上方，故不符合题意， 综上，当N的坐标为（3，﹣5）或（﹣3，0）时，使得以A、D、N、M为顶点的四边形是菱形． 25．在平面直角坐标系中，已知点A（4，0），点B（0，3）．点P从点A出发，以每秒1个单位的速度向右平移，点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度向右平移，又P、Q两点同时出发． （1）连接AQ，当△ABQ是直角三角形时，则点Q的坐标为 　（，3）或（4，3）　； （2）当P、Q运动到某个位置时，如果沿着直线AQ翻折，点P恰好落在线段AB上，求这时∠AQP的度数； （3）若将AP绕点A逆时针旋转，使得P落在线段BQ上，记作P'，且AP'∥PQ，求此时直线PQ的解析式． 【答案】（1）（，3）或（4，3）； （2）45°； （3）yPQ＝﹣x+． 【解答】解：（1）根据题意，可得：A（4，0）、B（0，3）， ∴AB＝5． ①当∠BAQ＝90°时，△AOB∽△BAQ， ∴BQ：AB＝AB：AO．解得 BQ＝； ②当∠BQA＝90°时，BQ＝OA＝4， ∴Q （，3）或Q（4，3）， 故答案为：（，3）或（4，3）； （2）令点P翻折后落在线段AB上的点E处， 则∠EAQ＝∠PAQ，∠EQA＝∠PQA，AE＝AP，QE＝QP； 又∵BQ∥OP， ∴∠PAQ＝∠BQA， ∴∠EAQ＝∠BQA， 即AB＝QB＝5． ∴AP＝BQ＝， ∴AE＝AP＝＝AB，即点E是AB的中点． 如图1，过点E作EF⊥BQ，垂足为点F，过点Q作QH⊥OP，垂足为点H， 则 EF＝，PH＝， ∴EF＝PH． 又∵EQ＝PQ，∠EFQ＝∠PHQ＝90°， ∴Rt△EQF≌Rt△PHQ（HL）， ∴∠EQF＝∠PQH， ∴∠PQE＝∠PQH+∠HQE＝∠EQF+∠HQE＝∠BQH＝90°． ∴∠AQP＝∠AQE＝45°； （3）过点A作AG⊥BQ于G． ∵将AP绕点A逆时针旋转，使得P落在线段BQ上， ∴AP＝AP'＝t ∵AP'∥PQ，P′Q∥AP， ∴四边形APQP′是平行四边形， ∴AP＝P'Q＝t ∴BQ＝2t，P'G＝t﹣（2t﹣4）＝4﹣t，AG＝3， 在△P'AG中：32+（4﹣t）2＝t2； 解得t＝， ∴P（，0），Q（，3）， 设直线PQ的解析式为y＝kx+b， ∴， 解得， ∴直线PQ的解析式为yPQ＝﹣x+． 26．在平面直角坐标系xOy中，对于点P，O，Q给出如下定义：若OQ＜PO＜PQ且PO≤2，我们称点P是线段OQ的“潜力点”．已知点O（0，0），Q（1，0）． （1）在P1（0，﹣1），P2（，），P3（﹣1，1）中是线段OQ的“潜力点”是 　P3　； （2）若点P在直线y＝x上，且为线段OQ的“潜力点”，求点P横坐标的取值范围； （3）直线y＝2x+b与x轴交于点M，与y轴交于点N，当线段MN上存在线段OQ的“潜力点”时，直接写出b的取值范围． 【答案】（1）P3． （2）﹣≤xp＜﹣． （3）1＜b≤或＜b＜﹣1． 【解答】解：（1）在坐标系中找到P1（0，﹣1），P2（，），P3（﹣1，1）三点，如图， 根据“潜力点”的定义，可知P3是线段OQ的潜力点． 故答案为：P3； （2）∵点P为线段OQ的“潜力点”， ∴OQ＜PO＜PQ且PO≤2， ∵OQ＜PO， ∴点P在以O为圆心，1为半径的圆外． ∵PO＜PQ， ∴点P在线段OQ垂直平分线的左侧． ∵PO≤2， ∴点P在以O为圆心，2为半径的圆上或圆内． 又∵点P在直线y＝x上， ∴点P在如图所示的线段AB上（不包含点B）． 由题意可知△BOC和△AOD是等腰三角形 ∴BC＝AD＝ ∴﹣≤xp＜﹣． （3）如图①，当直线MN与半径长为2的圆相切时，开始有“潜力点”，且点E是“潜力点”； 过点O作OE⊥MN， 则OE＝2，ME＝1， ∴OM＝， 则b＝ON＝2； 点N继续当下运动，如图②，当点N与点（0，1）重合时，开始没有“潜力点”，且点N不是“潜力点”； 此时b＝1； 如图③，当点N与（0，﹣1），重合时，开始有“潜力点”，且点N不是“潜力点”； 此时b＝﹣1； 如图④，当线段MN过点G时，开始没有“潜力点”，且点G不是“潜力点”； 此时G（，﹣）， ∴2×+b＝， ∴b＝﹣﹣1． 综上所示，b的取值范围为：1＜b≤或＜b＜﹣1． 27．如图，长方形OABC，是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA＝10，OC＝6，在AB上取一点M使得△CBM沿CM翻折后，点B落在x轴上，记作B′点． （1）求B'点的坐标； （2）求折痕CM所在直线的表达式； （3）求折痕CM上是否存在一点P，使PO+PB'最小？若存在，请求出最小值，若不存在，请说出理由． 【答案】（1）B'（8，0）； （2）； （3）存在，最小值是． 【解答】解：（1）∵四边形OABC是长方形，OA＝10， ∴BC＝OA＝10， ∵△CBM沿CM翻折， ∴B'C＝BC＝10， 在Rt△B′OC中，B′C＝10，OC＝6， ∴B'O＝， ∴B'（8，0）； （2）设AM＝x，则BM＝AB﹣AM＝6﹣x， ∵OA＝10，B′O＝8， ∴B'A＝2， ∵△CBM沿CM翻折， ∴B'M＝BM＝6﹣x， 在Rt△AB'M中，B′A2+AM2＝B′M2， ∴22+x2＝（6﹣x）2， 解得x＝， ∴M（10，）， 设CM所在直线的解析式为y＝kx+b，将C（0，6）、M（10，）代入得： ， 解得：， ∴CM所在直线的解析式为y＝﹣x+6； （3）折痕CM上存在一点P，使PO+PB'最小，连接OB，OB与CM交点即为所求点P，连接PB'，如图， ∵△CBM沿CM翻折后，点B落在B'点， ∴PB＝PB'， ∴PO+PB'＝PO+PB≥OB， 当O、P、B共线时，PO+PB'最小， ∵， ∴PO+PB'的最小值为． 28．如图①，在矩形OACB中，点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，点C在第一象限，OA＝8，OB＝6 （1）直接写出点C的坐标：　（8，6）　； （2）如图②，点G在BC边上，连接AG，将△ACG沿AG折叠，点C恰好与线段AB上一点C′重合，求线段CG的长度； （3）如图③，P是直线y＝2x﹣6上一点，PD⊥PB交线段AC于D．若P在第一象限，且PB＝PD，试求符合条件的所有点P的坐标． 【答案】（1）（8，6）； （2）3； （3）（4，2）或． 【解答】解：（1）∵OA＝8，OB＝6， ∴C（8，6）， 故答案为（8，6）； （2）∵BC＝8，AC＝6， ∴， 由题意知，AC＝AC′＝6，CG＝C′G，∠C＝∠AC′G＝90°， ∴BC′＝AB﹣AC′＝4， 在△BC'G中，BG2＝C′G2+BC'2， ∴（8﹣CG）2＝CG2+16， ∴CG＝3； （3）设点P（a，2a﹣6）， ①当点P在BC下方时，过点P作EF∥BC，交y轴于E，交AC于F，如图： ∵∠BPD＝90°， ∴∠BPE＝90°﹣∠DPF， ∴EF∥BC， ∴∠PDF＝90°﹣∠DPF， ∴∠BPE＝∠PDF， ∵∠BEP＝∠PFD＝90°，BP＝PD， ∴△BPE≌△PDF（AAS）， ∴PF＝BE＝OB﹣OE＝6﹣（2a﹣6）＝12﹣2a， ∵EF＝EP+PF＝OA＝8， ∴a+12﹣2a＝8， ∴a＝4， ∴点P（4，2）； ②当点P在BC的上方时，过点P作EF∥BC，交y轴于E，交AC的延长线于F，如图： 同①可证△BPE≌△PDF， ∴BE＝PF＝AF﹣AC＝2a﹣6﹣6＝2a﹣12， ∵EF＝EP+PF， ∴a+2a﹣12＝8，解得， ∴点， 综上：点P坐标为（4，2）或． 29．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴交于A、B两点，且OA、OB的长度满足|8﹣OA|+＝0，M是OA上一点，若将△ABM沿着直线BM折叠，点A恰好落在y轴上的点P处． （1）求点A、B、P三点坐标； （2）求直线BM的解析式； （3）在坐标平面内是否存在一点N，使以点B、M、A、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）A （8，0），B（0，6），P（0，﹣4）； （2）y＝﹣2x+6； （3）N（5，6）或（﹣5，6）或（11，﹣6）． 【解答】解：（1）由题意得， ， ∴， ∴A（8，0），B（0，6），AB＝10， 由折叠知：PB＝AB＝10， ∴OP＝PB﹣OB＝4， ∴P（0，﹣4）； （2）设OM＝x，则AM＝OA﹣OM＝8﹣x， 在Rt△POM中，由勾股定理得， （8﹣x）2﹣x2＝42， ∴x＝3， ∴M（3，0）， 设直线BM的解析式为：y＝kx+b， ∴， ∴， ∴BM的解析式是：y＝﹣2x+6； （3）若▱BMAN， ∵0+（8﹣3）＝5， ∴N（5，6）， 若▱MABN， 0﹣（8﹣3）＝﹣5， ∴N（﹣5，6）， 若▱BMNA， ∵3+8＝11，0﹣6＝﹣6， ∴N（11，﹣6）， 综上所述：N（5，6）或（﹣5，6）或（11，﹣6）． 九．勾股定理（共1小题） 30．如图所示，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列四个说法：①x2+y2＝49，②x﹣y＝2，③2xy+4＝49，④x+y＝9．其中说法正确的是（　　） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】B 【解答】解：①大正方形的面积是49，则其边长是7，显然，利用勾股定理可得x2+y2＝49，故选项①正确； ②小正方形的面积是4，则其边长是2，根据图可发现y+2＝x，即x﹣y＝2，故选项②正确； ③根据图形可得四个三角形的面积+小正方形的面积＝大正方形的面积，即4×xy+4＝49，化简得2xy+4＝49，故选项③正确； ④，则x+y＝，故此选项不正确． 故选：B． 一十．三角形中位线定理（共2小题） 31．已知：四边形ABCD中，AB＝2，CD＝3，M、N分别是AD，BC的中点，则线段MN的取值范围是（　　） A．1＜MN＜5 B．1＜MN≤5 C．＜MN＜ D．＜MN≤ 【答案】D 【解答】解：连接BD，过M作MG∥AB，连接NG． ∵M是边AD的中点，AB＝2，MG∥AB， ∴MG是△ABD的中位线，BG＝GD，MG＝AB＝×2＝1； ∵N是BC的中点，BG＝GD，CD＝3， ∴NG是△BCD的中位线，NG＝CD＝×3＝， 在△MNG中，由三角形三边关系可知NG﹣MG＜MN＜MG+NG，即﹣1＜MN＜+1， ∴＜MN＜， 当MN＝MG+NG，即MN＝时，四边形ABCD是梯形， 故线段MN长的取值范围是＜MN≤． 故选：D． 32．如图，△ABC中，∠BAD＝∠CAD，BE＝CE，AD⊥BD，DE＝，AB＝4，则AC的值为（　　） A．6 B． C．7 D．8 【答案】C 【解答】解：如图， 延长BD，交AC于F， ∵AD⊥BD， ∴∠ADB＝∠ADF＝90°， 在△ABD和△AFD中， ， ∴△ABD≌△AFD（ASA）， ∴BD＝DF，AF＝AB＝4， ∵BE＝CE， ∴CF＝2DE＝3， ∴AC＝AF+CF＝4+3＝7， 故答案为：C． 一十一．平行四边形的判定与性质（共1小题） 33．如图，直线AB与x轴，y轴分别交于点A，B，且点A（3，0），B（0，6），另有两点C（﹣1，4），D（﹣3，4），若点P是直线AB上的动点，点Q为y轴上的动点，要使以Q，P，C，D为顶点的四边形是平行四边形，且线段CD为平行四边形的一边，则满足条件的P点坐标为 　（2，2）或（﹣2，10）　． 【答案】（2，2）或（﹣2，10）． 【解答】解：设直线AB的解析式为：y＝kx+b，由题意得， ， ∴， ∴y＝﹣2x+6， ∵C（﹣1，4），D（﹣3，4）， ∴CD＝﹣1﹣（﹣3）＝2， ∵PQ∥CD，PQ＝CD＝2， ∴点P的横坐标为：2或﹣2， 当xP＝2时，y＝﹣2×2+6＝2， ∴P（2，2）， 当xP＝﹣2时，y＝﹣2×（﹣2）+6＝10， ∴P（﹣2，10）， 故答案为：（2，2）或（﹣2，10）． 一十二．菱形的性质（共4小题） 34．如图，已知菱形ABCD的边长为6，点M是对角线AC上的一动点，且∠ABC＝120°，则MA+MB+MD的最小值是（　　） A． B．3+3 C．6+ D． 【答案】D 【解答】解：如图，过点M作ME⊥AB于点E，连接BD交AC于O， ∵菱形ABCD中，∠ABC＝120°， ∴∠DAB＝60°，AD＝AB＝DC＝BC， ∴△ADB是等边三角形， ∴∠MAE＝30°， ∴AM＝2ME， ∵MD＝MB， ∴MA+MB+MD＝2ME+2DM＝2DE， 点M运动到DE上，且DE⊥射线AB时，DE取得最小值，此时DE最短，即MA+MB+MD最小， ∵菱形ABCD的边长为6， ∴DE＝＝＝3， ∴2DE＝6． ∴MA+MB+MD的最小值是6． 故选：D． 35．如图，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、E在同一直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．若∠ABC＝∠BEF＝60°，则＝（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：如图， 延长GP交DC于点H， ∵P是线段DF的中点， ∴FP＝DP， 由题意可知DC∥GF， ∴∠GFP＝∠HDP， ∵∠GPF＝∠HPD， ∴△GFP≌△HDP， ∴GP＝HP，GF＝HD， ∵四边形ABCD是菱形， ∴CD＝CB， ∴CG＝CH， ∴△CHG是等腰三角形， ∴PG⊥PC，（三线合一） 又∵∠ABC＝∠BEF＝60°， ∴∠GCP＝60°， ∴＝； 故选：B． 36．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，E、F分别是AB，AD的中点，DE、BF相交于点G，连接BD，CG．有下列结论： ①∠BGD＝120°；②BG+DG＝CG；③△BDF≌△CGB；④S△ABD＝AB2 其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解答】解：①由菱形的性质可得△ABD、BDC是等边三角形，∠DGB＝∠GBE+∠GEB＝30°+90°＝120°，故①正确； ②∵∠DCG＝∠BCG＝30°，DE⊥AB，∴可得DG＝CG（30°角所对直角边等于斜边一半）、BG＝CG，故可得出BG+DG＝CG，即②也正确； ③首先可得对应边BG≠FD，因为BG＝DG，DG＞FD，故可得△BDF不全等△CGB，即③错误； ④S△ABD＝AB•DE＝AB•BE＝AB•AB＝AB2，即④正确． 综上可得①②④正确，共3个． 故选：C． 37．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，OH＝4，若菱形ABCD的面积为32，则CD的长为（　　） A．4 B．4 C．8 D．8 【答案】C 【解答】解：∵DH⊥AB， ∴∠BHD＝90°， ∵四边形ABCD是菱形， ∴OB＝OD，OC＝OA＝，AC⊥BD， ∴OH＝OB＝OD＝（直角三角形斜边上中线等于斜边的一半）， ∴OD＝4，BD＝8， 由得， ＝32， ∴AC＝8， ∴OC＝＝4， ∴CD＝＝8， 故选C． 一十三．矩形的性质（共4小题） 38．定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA＝3，OC＝4，点M（2，0），在边AB存在点P，使得△CMP为“智慧三角形”，则点P的坐标为（　　） A．（3，1）或（3，3） B．（3，）或（3，3） C．（3，）或（3，1） D．（3，）或（3，1）或（3，3） 【答案】D 【解答】解：由题意可知，“智慧三角形”是直角三角形，∠CPM＝90°或∠CMP＝90°， ∴设P（3，a），则AP＝a，BP＝4﹣a； ①若∠CPM＝90°，在Rt△BCP中，由勾股定理得： CP2＝BP2+BC2＝（4﹣a）2+9， 在Rt△MPA中，由勾股定理得： MP2＝MA2+AP2＝1+a2， 在Rt△MPC中，由勾股定理得： CM2＝MP2+CP2＝1+a2+（4﹣a）2+9＝2a2﹣8a+26， 又∵CM2＝OM2+OC2＝4+16＝20， ∴2a2﹣8a+26＝20， ∴（a﹣3）（a﹣1）＝0， 解得：a＝3或a＝1， ∴P（3，3）或（3，1）； ②若∠CMP＝90°，在Rt△BCP中，由勾股定理得： CP2＝BP2+BC2＝（4﹣a）2+9， 在Rt△MPA中，由勾股定理得： MP2＝MA2+AP2＝1+a2， ∵CM2＝OM2+OC2＝20， 在Rt△MCP中，由勾股定理得： CM2+MP2＝CP2， ∴20+1+a2＝（4﹣a）2+9， 解得：a＝． ∴P（3，）． 综上，P（3，）或（3，1）或（3，3）． 故选：D． 39．如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，则B、C两点的坐标分别是（　　） A．（，3）、（﹣，4） B．（，3）、（﹣，4） C．（，）、（﹣，4） D．（，）、（﹣，4） 【答案】B 【解答】解：过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF∥y轴，过点A作AF∥x轴，交点为F，延长CA交x轴于点H， ∵四边形AOBC是矩形， ∴AC∥OB，AC＝OB， ∴∠CAF＝∠BOE＝∠CHO， 在△ACF和△OBE中， ， ∴△CAF≌△BOE（AAS）， ∴BE＝CF＝4﹣1＝3， ∵∠AOD+∠BOE＝∠BOE+∠OBE＝90°， ∴∠AOD＝∠OBE， ∵∠ADO＝∠OEB＝90°， ∴△AOD∽△OBE， ∴， 即， ∴OE＝， 即点B（，3）， ∴AF＝OE＝， ∴点C的横坐标为：﹣（2﹣）＝﹣， ∴点C（﹣，4）． 故选：B． 40．如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝6，BC＝2．运动过程中点D到点O的最大距离是 　3+　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图：取线段AB的中点E，连接OE，DE，OD， ∵AB＝6，点E是AB的中点，∠AOB＝90°， ∴AE＝BE＝3＝OE， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC＝2，∠DAB＝90°， ∴DE＝＝， ∵OD≤OE+DE， ∴当点D，点E，点O共线时，OD的长度最大． ∴点D到点O的最大距离＝OE+DE＝3+， 故答案为：3+． 41．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E为AD的中点，F为线段EC上一动点，P为BF中点，连接PD，则线段PD长的取值范围是 　2≤PD≤　． 【答案】2≤PD≤． 【解答】解：如图： 当点F与点C重合时，点P在点P1 处，CP1＝BP1， 当点F与点E重合时，点P在点P2处，EP2＝BP2， ∴P1P2∥EC且P1P2＝CE， 当点F在EC上除点C、E的位置处时，有BP＝FP， 由中位线定理可知：P1P∥CF且P1P＝CF， ∴点P的运动轨迹是线段P1P2， ∵矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E为AD的中点， ∴△ABE，△BEC、△DCP1为等腰直角三角形， ∴∠ECB＝45°，∠DP1C＝45°， ∵P1P2∥EC， ∴∠P2P1B＝∠ECB＝45°， ∴∠P2P1D＝90°， ∴DP的长DP1最小，DP2最大， ∵CD＝CP1＝DE＝2， ∴DP1＝2，CE＝2， ∴P1P2＝， ∴DP2＝＝， 故答案为：2≤PD≤． 一十四．正方形的性质（共5小题） 42．在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4＝（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【解答】解：由勾股定理的几何意义可知：S1+S2＝1，S2+S3＝2，S3+S4＝3，S1+S2+S3+S4＝4，故选A． 43．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2的值为（　　） A．16 B．17 C．18 D．19 【答案】B 【解答】解：如图，设正方形S2的边长为x， 根据等腰直角三角形的性质知，AC＝x，x＝CD， ∴AC＝2CD，CD＝＝2， ∴EC2＝22+22，＝8， ∴S2的面积为EC2＝8； ∵S1的边长为3，S1的面积为3×3＝9， ∴S1+S2＝8+9＝17． 故选：B． 44．如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．在下列结论中： ①DE＝EF； ②△DAE≌△DCG； ③AC⊥CG； ④CE＝CF． 其中正确的结论序号是 　①②③　． 【答案】①②③． 【解答】解：过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，如图所示： ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°， ∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°， ∴NE＝NC， ∴四边形EMCN为正方形， ∵四边形DEFG是矩形， ∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°， ∴∠DEN＝∠MEF， 又∠DNE＝∠FME＝90°， 在△DEN和△FEM中， ， ∴△DEN≌△FEM（ASA）， ∴ED＝EF，故①正确； ∴矩形DEFG为正方形； ∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∵AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°， ∴∠ADE＝∠CDG， 在△ADE和△CDG中， ， ∴△ADE≌△CDG（SAS），故②正确； ∴AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°， ∴∠ACG＝90°， ∴AC⊥CG，故③正确； 当DE⊥AC时，点C与点F重合， ∴CE不一定等于CF，故④错误， 综上所述：①②③． 故答案为：①②③． 45．如图，在正方形ABCD中，点M、N为边BC和CD上的动点（不含端点），∠MAN＝45°，下列四个结论：①当MN＝MC时，则∠BAM＝22.5°；②2∠AMN﹣∠MNC＝90°；③△MNC的周长不变；④∠AMN﹣∠AMB＝60°．其中正确结论的序号是　①②③　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：①：∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝∠C＝90° ∴MN2＝MC2+NC2 当MN＝MC时， MN2＝2MC2， ∴MC2＝NC2， ∴MC＝NC， ∴BM＝DN， ∴△ABM≌△ADN（SAS） ∴∠BAM＝∠DAN， ∵∠MAN＝45°， ∴∠BAM＝22.5°，故①正确； ②：如图，将△ABM绕点A顺时针旋转90°得△ADE， 则∠EAN＝∠EAM﹣∠MAN＝90°﹣45°＝45°， 则在△EAN和△MAN中， ， ∴△EAN≌△MAN（SAS） ∴∠AMN＝∠AED， ∴∠AED+∠EAM+∠ENM+∠AMN＝360°， ∴2∠AMN+90°+（180°﹣∠MNC）＝360°， ∴2∠AMN﹣∠MNC＝90°， 故②正确； ③：∵△EAN≌△MAN， ∴MN＝EN＝DE+DN＝BM+DN， ∴△MNC的周长为： MC+NC+MN＝（MC+BM）+（NC+DN）＝DC+BC， ∵DC和BC均为正方形ABCD的边长，故△MNC的周长不变．故③正确； ④如图，将△ADN绕点A逆时针旋转90°得△ABF， ∴∠MAF＝90°﹣∠MAN＝45°， ∴∠MAN＝∠MAF， 在△MAN和△MAF中， ， ∴△MAN≌△MAF（SAS）， ∴∠AMN＝∠AMB， 故④错误． 综上①②③正确． 故答案为：①②③． 46．如图，正方形ABCD边长为4，点E在边AB上（点E与点A、B不重合），过点A作AF⊥DE，垂足为G，AF与边BC相交于点F． （1）求证：△ADF≌△DCE； （2）若△DEF的面积为，求AF的长； （3）在（2）的条件下，取DE，AF的中点M，N，连接MN，求MN的长． 【答案】（1）证明见解答部分； （2）AF＝5或． （3）MN的长度为或． 【解答】（1）证明：∵AF⊥DE，∠B＝90°， ∴∠AED＝∠AFB， 在△ABF与△DAE中， ， ∴△ABF≌△DAE（AAS）， ∴AF＝DE， ∵∠ADE+∠CDE＝∠ADE+∠DAG＝90°， ∴∠CDE＝∠DAF， 在△ADF和△DCE中， ， ∴△ADF≌△DCE（SAS）． （2）解：∵△ABF≌△DAE， ∴AE＝BF＝x， ∴BE＝CF＝4﹣x， ∴△DEF的面积＝S正方形﹣S△ADE﹣S△EBF﹣S△DCF ＝4×4﹣×4•x﹣（4﹣x）•x﹣×4•（4﹣x） ＝8﹣2x+x2， ∴y＝x2﹣2x+8＝， 解得，x1＝3，x2＝1， ∴AE＝3或AE＝1， ∴AF＝DE＝5或． （3）解：如图，连接AM并延长交CD于点P，连接PF， ∵点M是DE的中点， ∴DM＝ME， ∵AB∥CD， ∴∠PDM＝∠AEM，∠DPM＝∠EAM， ∴△DPM≌△EAM（AAS）， ∴PM＝AM，DP＝AE＝3或1， 当AE＝3时，BF＝DP＝3， ∴CF＝CP＝1， ∴PF＝， ∴MN＝PF＝； 当AE＝1时，BF＝EP＝1， ∴CF＝CP＝3， ∴PF＝3， ∴MN＝PF＝； 综上，MN的长度为或． 一十五．翻折变换（折叠问题）（共2小题） 47．如图，将一个边长分别为4，8的长方形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，则折痕EF的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：根据折叠的性质知，四边形AFEB与四边形CEFD全等，有EC＝AF＝AE， 由勾股定理得，AB2+BE2＝AE2即42+（8﹣AE）2＝AE2， 解得，AE＝AF＝5，BE＝3， 作EG⊥AF于点G， 则四边形AGEB是矩形，有AG＝3，GF＝2，GE＝AB＝4，由勾股定理得EF＝． 故选：D． 48．如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，∠EBC的平分线交CD于点F，将△DEF沿EF折叠，点D恰好落在BE上M点处，延长BC、EF交于点N．有下列四个结论： ①DF＝CF； ②BF⊥EN； ③△BEN是等边三角形； ④S△BEF＝3S△DEF． 其中，将正确结论的序号全部选对的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D＝∠BCD＝90°，DF＝MF， 由折叠的性质可得：∠EMF＝∠D＝90°， 即FM⊥BE，CF⊥BC， ∵BF平分∠EBC， ∴CF＝MF， ∴DF＝CF；故①正确； ∵∠BFM＝90°﹣∠EBF，∠BFC＝90°﹣∠CBF， ∴∠BFM＝∠BFC， ∵∠MFE＝∠DFE＝∠CFN， ∴∠BFE＝∠BFN， ∵∠BFE+∠BFN＝180°， ∴∠BFE＝90°， 即BF⊥EN，故②正确； ∵在△DEF和△CNF中， ， ∴△DEF≌△CNF（ASA）， ∴EF＝FN， ∴BE＝BN， 假设△BEN是等边三角形，则∠EBN＝60°，∠EBA＝30°， 则AE＝BE，又∵AE＝AD，则AD＝BC＝BE， 而明显BE＝BN＞BC， ∴△BEN不是等边三角形；故③错误； ∵∠BFM＝∠BFC，BM⊥FM，BC⊥CF， ∴BM＝BC＝AD＝2DE＝2EM， ∴BE＝3EM， ∴S△BEF＝3S△EMF＝3S△DEF； 故④正确． 故选：B． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$