专题05 生活中的轴对称和概率初步（知识串讲+热考题型+真题训练）-2023-2024学年七年级数学下学期期中期末考点归纳满分攻略讲练（北师大版）

专题05 生活中的轴对称和概率初步 【考点1】轴对称的性质 【考点2】轴对称-最短路线问题 【考点3】翻折变换(折叠问题)线 【考点4】线段垂直平分线的性质 【考点5】角平分线的性质 【考点6】等腰三角形的性质 【考点7】等边三角形的性质 【考点8】 含30°角的直角三角形的性质 【考点9】作图-轴对称变换 【考点10】随机事件 【考点11】可能性的大小 【考点12】概率公式 【考点13】几何概率 知识点1 轴对称图形 ⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.这条直线称为它的对称轴. 知识点2 轴对称性质 对称的性质： ①两个图形关于某一条直线对称，对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 轴对称图形的对称轴是任何一对对应点连线段的垂直平分线. ②关于某直线对称的两个图形是全等形. 知识点3 画轴对称图形 （1）过已知点A作对称轴l的垂线，垂足为O，在垂线上截取OA'，使OA'=OA，则点A'是点A的对称点； （2）同理分别作出其它关键点的对称点； （3）将所作的对称点依次相连，得到轴对称图形. 知识点4 最短路径问题 基本图模 1. 已知：如图，定点A、B分布在定直线l两侧； 要求：在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小 解：连接AB交直线l于点P，点P即为所求, PA+PB的最小值即为线段AB的长度 理由：在l上任取异于点P的一点P´，连接AP´、BP´， 在△ABP’中，AP´+BP´>AB，即AP´+BP´>AP+BP ∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小. 2. 已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧 要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小 （或△ABP的周长最小） 解：作点A关于直线l的对称点A´，连接A´B交l于P， 点P即为所求； 理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA´的中垂线， 由中垂线的性质得：PA=PA´，要使PA+PB最小，则 需PA´+PB值最小，从而转化为模型1. 方法总结： 1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4.垂线段最短. 知识点5 角的平分线的性质 （一）作已知角的平分线（已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分线） 1、以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。 2、分别以M,N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C。 3、画射线OC，射线OC即为所求。 （二）角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 几何表示：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。∴PD=PE。 知识点6 ：线段垂直平分线 1.定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线。 2.线段垂直平分线的作图 1. 分别以点 A、B 为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C、D 两点； 2. 作直线 CD，CD 为所求直线 3.线段垂直平分线性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 知识点7：等腰三角形的概念与性质 1. 等腰三角形概念 有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫做腰，另一边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角． 2.等腰三角形的性质 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”． 考点2：等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边. 要点诠释： (1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系. （2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形． 知识点8：等边三角形的概念与性质 1.等边三角形概念 三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形. 注意： （1） 等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）. ∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ . （2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形. 2.等边三角形的性质 （1）等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴. （2）三个角都是60° 知识点9：等边三角形的判定 （1）三个角相等的三角形是等边三角形. （2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 知识点10：直角三角形斜边上的中线 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 【考点1】轴对称的性质 1．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，若∠A＝65°，∠C′＝38°，则∠B的度数为（　　） A．77° B．38° C．74° D．68° 2．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，已知AC＝3.2cm，A′B′＝3.6cm，BC＝4.5cm，则AB的长为（　　） A．3.2cm B．3.6cm C．4.5cm D．无法确定 3．如图，△ABC和△AB'C'关于直线l对称，l交CC'于点D，若AB＝4，B'C'＝2，CD＝1，则五边形ABCC'B′的周长为（　　） A．14 B．13 C．12 D．11 【考点2】轴对称-最短路线问题 4，AB的垂直平分线ED分别交AC，AB边于E、D两点，若点F为BC边的中点，点P为线段ED上一动点，则△PBF周长的最小值为（　　） A．7 B．9 C．11 D．14 5.（2023春•河源期末）已知，等腰△ABC中，AB＝AC，E是高AD上任一点，F是腰AB上任一点，腰AC＝5，BD＝3，AD＝4，那么线段BE+EF的最小值是（　　） A．5 B．3 C． D． 6.（2023秋•应城市期末）如图，∠MON＝50°，P为∠MON内一点，OM上有点A，ON上有点B，当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数为（　　） A．60° B．70° C．80° D．100° 7.（2023秋•丛台区校级期末）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN的周长最小时，则∠ANM+∠AMN的度数为（　　） A．80° B．90° C．100° D．130° 【考点3】翻折变换(折叠问题) 8．如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，若∠AEG＝114°，有下列结论：①∠BGD′＝114°；②∠CFC′＝33°；③∠EFG＝33°；④∠GEF＝33°．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．如图，△ABC中，∠A＝90°，AB＝7，AC＝24，点D为边AC上一点，将△ABC沿BD折叠后，点A的对应点A′恰好落在BC边上，则线段AD的长为（　　） A． B． C． D． 10．如图，将长方形纸片进行折叠，ED、EF为折痕，点A与点A'、点B与点B'、点C与点C'重合．若∠BEF＝65°，则∠AED的度数为（　　） A．15° B．18° C．20° D．25° 11．如图，长方形纸片ABCD，M为AD边的中点，将纸片沿BM，CM折叠，使A点落在A1处，D点落在D1处，若∠1＝34°，则∠BMC的度数是（　　） A．73° B．106° C．146° D．107° 【考点4】线段垂直平分线的性质 12．（2022秋•屯昌县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是AC的垂直平分线，△BCD的周长为24，BC＝10，则AC等于（　　） A．11 B．14 C．15 D．16 13．（2022秋•海兴县期末）如图，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，若∠C＝64°，则∠DBC的度数是（　　） A．20° B．18° C．12° D．10° 14．（2023春•西安期末）如图，在等腰△ABC中，∠ABC＝116°，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，BC的垂直平分线PQ交BC于点P，交AC于点Q，连接BE，BQ，则∠EBQ＝（　　） A．62° B．58° C．52° D．46° 【考点5】角平分线的性质 15．（2023秋•博尔塔拉州期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，若CD＝3cm，则点D到AB的距离为 　　cm． 16．（2023秋•章贡区期末）如图，已知△ABC的角平分线AD交BC于D，若AC＝4，BD：DC＝3：2，则AB＝　　． 17．（2023秋•玉环市期末）如图，点O是△ABC内一点，BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，连接OA．若OD＝3，AB＝10，则△AOB的面积是 　　． 18．（2023秋•新兴县期末）如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，AB＝4cm，AC＝3cm，DE的长为2cm，则△ABC的面积是 　　cm2． 【考点6】等腰三角形的性质 19．（2024•广西模拟）△ABC的周长是14，AB＝AC＝5，AD⊥BC，则BD等于（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 20．（2023秋•东辽县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝5cm，则BF＝（　　） A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm 21．（2023秋•惠东县期中）如图，坐标平面内一点A（3，﹣2），O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．1 22．（2023秋•青秀区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BE平分∠ABC交AC于点E，过点A作AD∥BC，交BE的延长线于点D． （1）求∠AEB的度数； （2）求证：△ADE是等腰三角形． 23．（2023秋•太和县期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝75°，∠ACB＝35°，∠ABC的平分线BD交边AC于点D，E为BC的中点，连接DE． （1）求证：△BCD为等腰三角形． （2）求∠EDC的度数． 24．（2023秋•龙泉市期中）如图，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O．过点O作DE∥BC交AB，AC于点D，点E． （1）求证：△BOD为等腰三角形； （2）若BD＝6，DE＝11，求EC的长． 【考点7】等边三角形的性质 25．（2023•绵阳）如图，在等边△ABC中，BD是AC边上的中线，延长BC至点E，使CE＝CD，若DE＝，则AB＝（　　） A． B．6 C．8 D． 26．（2022秋•渑池县期末）如图，过等边三角形△ABC的顶点A、B、C依次作AB、BC、AC的垂线MG、MN、DG，三条垂线围成△MNG，若AM＝2，则△MNG的周长为（　　） A．12 B．18 C．20 D．24 27．（2023秋•文登区期中）如图，在等边△ABC中，AB＝5，点D在AB上，且BD＝1，点E、F分别是BC、AC上的点，连接DE，EF，如果∠DEF＝60°，DE＝EF，那么BE的长是（　　） A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 28．（2024•长沙县一模）如图，AB∥CD，△ACE为等边三角形，∠DCE＝45°，则∠EAB等于（　　） A．40° B．30° C．20° D．15° 29．如图，点P，M，N分别在等边△ABC的各边上，且MP⊥AB于点P，MN⊥BC于点M，PN⊥AC于点N． （1）求证：△PMN是等边三角形； （2）若AB＝12cm，求CM的长． 【考点8】 含30°角的直角三角形的性质 30．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP的长不可能是（　　） A．6 B．8 C．10 D．13 31．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝8，点M，N在边OB上，PM＝PN．若MN＝2，则OM的长是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【考点9】作图-轴对称变换 32．如图，在直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣2，4）、B（﹣4，1）、C（﹣1，2），直线l与x轴平行且经过点（0，﹣1）． （1）画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； （2）画出与△ABC关于直线l对称的图形△A2B2C2； （3）点P（m，n）关于直线l的对称点为Q（﹣n，2m），则点P的坐标是 　 ． 33．如图，在2×2的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，请你找出格纸中所有与△ABC成轴对称且以格点为顶点的三角形，请在下面所给的格纸中一一画出所有符合条件的三角形．（所给的六个格纸未必全用） 【考点10】随机事件 34．（2023秋•路桥区期末）下列事件为随机事件的是（　　） A．太阳从东边升起 B．抛掷一枚骰子，向上一面的点数为7 C．经过红绿灯路口，遇到红灯 D．任意画一个三角形，它的内角和等于180° 35．（2024春•东台市期中）以下事件中，必然发生的是（　　） A．打开电视机，正在播放体育节目 B．任意画一个三角形，其内角和是180° C．正五边形的外角和为180° D．掷一次骰子，向上一面是5点 【考点11】可能性的大小 36．（2024•峰峰矿区校级模拟）如图是一个游戏转盘，自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在A，B，C，D所示区域内可能性最大的是（　　） A． A区 B．B区 C．C区 D．D区 37．（2024•乌鲁木齐模拟）任意掷一枚骰子，下列情况出现的可能性比较大的是（　　） A．面朝上的点数是6 B．面朝上的点数是偶数 C．面朝上的点数大于2 D．面朝上的点数小于2 38．（2022秋•历下区期中）不透明的口袋里转悠除颜色外其余都相同的红、黄、蓝三种颜色的小球若干个，其中红球2个，蓝球1个．若从中任意摸出一个球，它是蓝球的概率为，求黄球的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点12】概率公式 39．（2024•道外区二模）不透明的袋子中装有2个红球和4个黄球，除了颜色外没有任何不同，随机摸出一个是黄球的概率为（　　） A． B． C． D． 40．（2023秋•金牛区期末）一个不透明的口袋中装有8个黑球和若干个白球，每个球除颜色外都相同．摇匀后随机摸一球，已知摸到白球的概率是，估计袋中白球的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 41．（2023秋•莱芜区期末）不透明的盒子中装有红色棋子和蓝色棋子若干个；其中红色棋子15个．每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到蓝色棋子的概率是25%，则蓝色棋子个数是（　　） A．5 B．10 C．15 D．20 【考点13】几何概率 42．（2023秋•金湾区期末）如图将一个飞镖随机投掷到3×3的方格纸中，则飞镖落在阴影部分的概率为（　　） A． B． C． D． 43．（2023春•济宁期中）假如小猫在如图所示的地板上自由地走来走去，并随意停留在某块方砖上，它最终停留在黑色方砖上的概率是（　　） A． B． C． D． 一．选择题（共14小题） 1．已知等腰三角形的两边长分别为5cm、2cm，则该等腰三角形的周长是（　　） A．7cm B．9cm C．12cm或者9cm D．12cm 2．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，AC＝15cm，AD＝9cm，DE⊥AB，则DE＝（　　） A．9cm B．7cm C．6cm D．5cm 3．如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且B，E，C在同一直线上时，电线杆DE就垂直于BC．工程人员这种操作方法的依据是（　　） A．等边对等角 B．垂线段最短 C．等腰三角形“三线合一” D．线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等 4．榫卯是中国建筑的智慧结晶，仅靠木头之间的相互作用力就可以让建筑或家具牢固、美观．下列榫卯拼接截面示意图中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 5．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，垂足为点E，CD平分∠ACB，若∠A＝50°，则∠B的度数为（　　） A．25° B．30° C．35° D．40° 6．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA，点D是OB上的动点，若PC＝5cm，则PD的长可以是（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm 7．如图，在△ABC中，AB＝AC，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，∠D＝16°，则∠A的度数为（　　） A．28° B．30° C．32° D．32.5° 8．如图，在△ABC中AB＝AC，BC＝4，面积是20，AC的垂直平分线EF分别交AC、AB边于E、F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 9．如图，将长方形ABCD沿AE折叠，已知∠CED'＝50°，则∠AED的大小是（　　） A．50° B．55° C．65° D．75° 10．任意掷一枚骰子，下列情况出现的可能性比较大的是（　　） A．面朝上的点数是6 B．面朝上的点数是偶数 C．面朝上的点数大于2 D．面朝上的点数小于2 11．“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．在一个不透明的盒子中装了6张关于“二十四节气”的卡片，其中有3张“立春”，2张“立秋”，1张“冬至”，这些卡片除了画面内容外其他都相同，从中随机摸出一张卡片，恰好是“立秋”的可能性为（　　） A． B． C． D． 12．下列成语所描述的事件，是随机事件的是（　　） A．守株待兔 B．旭日东升 C．水涨船高 D．水中捞月 13．一个不透明的口袋中装有8个黑球和若干个白球，每个球除颜色外都相同．摇匀后随机摸一球，已知摸到白球的概率是，估计袋中白球的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 14．一只蜘蛛爬到如图所示的一面墙上，停留位置是随机的，则停留在阴影区域上的概率是（　　） A． B． C． D． 二．解答题（共6小题） 15．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8cm． （1）作AB的垂直平分线，交AC于点M，交AB于点N； （2）在（1）的条件下，连接MB，若△MBC的周长是14cm，求BC的长． 16．如图，转盘被分成六个相同的扇形，并在上面依次写上数字：2，3，4，5，6，7．指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止． （1）当转盘停止时，指针指向奇数区域的概率是多少？ （2）当转盘停止时，指针指向的数小于或等于5的概率是多少？ 17．如图，在△ABC中，AC＝BC，点D是AB上一点，DE⊥BC于点E，EF⊥AC于点F． （1）若点D是AB的中点，求证：∠BDE＝∠C； （2）若∠ADE＝160°，求∠DEF的度数． 18．如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为A（3，4），B（5，﹣1），C（1，2）． （1）作出与△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1； （2）已知点P（﹣2a+3，a﹣1），直线PB1∥x轴，求点P的坐标． 19．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE＝CF．求证：AD是△ABC的角平分线． 20．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，点F在AC上，且BD＝DF． （1）求证：CF＝EB； （2）请你判断AE、AF与BE之间的数量关系，并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！22 22 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 生活中的轴对称和概率初步 【考点1】轴对称的性质 【考点2】轴对称-最短路线问题 【考点3】翻折变换(折叠问题)线 【考点4】线段垂直平分线的性质 【考点5】角平分线的性质 【考点6】等腰三角形的性质 【考点7】等边三角形的性质 【考点8】 含30°角的直角三角形的性质 【考点9】作图-轴对称变换 【考点10】随机事件 【考点11】可能性的大小 【考点12】概率公式 【考点13】几何概率 知识点1 轴对称图形 ⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.这条直线称为它的对称轴. 知识点2 轴对称性质 对称的性质： ①两个图形关于某一条直线对称，对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 轴对称图形的对称轴是任何一对对应点连线段的垂直平分线. ②关于某直线对称的两个图形是全等形. 知识点3 画轴对称图形 （1）过已知点A作对称轴l的垂线，垂足为O，在垂线上截取OA'，使OA'=OA，则点A'是点A的对称点； （2）同理分别作出其它关键点的对称点； （3）将所作的对称点依次相连，得到轴对称图形. 知识点4 最短路径问题 基本图模 1. 已知：如图，定点A、B分布在定直线l两侧； 要求：在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小 解：连接AB交直线l于点P，点P即为所求, PA+PB的最小值即为线段AB的长度 理由：在l上任取异于点P的一点P´，连接AP´、BP´， 在△ABP’中，AP´+BP´>AB，即AP´+BP´>AP+BP ∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小. 2. 已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧 要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小 （或△ABP的周长最小） 解：作点A关于直线l的对称点A´，连接A´B交l于P， 点P即为所求； 理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA´的中垂线， 由中垂线的性质得：PA=PA´，要使PA+PB最小，则 需PA´+PB值最小，从而转化为模型1. 方法总结： 1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4.垂线段最短. 知识点5 角的平分线的性质 （一）作已知角的平分线（已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分线） 1、以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。 2、分别以M,N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C。 3、画射线OC，射线OC即为所求。 （二）角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 几何表示：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。∴PD=PE。 知识点6 ：线段垂直平分线 1.定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线。 2.线段垂直平分线的作图 1. 分别以点 A、B 为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C、D 两点； 2. 作直线 CD，CD 为所求直线 3.线段垂直平分线性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 知识点7：等腰三角形的概念与性质 1. 等腰三角形概念 有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫做腰，另一边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角． 2.等腰三角形的性质 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”． 考点2：等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边. 要点诠释： (1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系. （2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形． 知识点8：等边三角形的概念与性质 1.等边三角形概念 三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形. 注意： （1） 等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）. ∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ . （2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形. 2.等边三角形的性质 （1）等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴. （2）三个角都是60° 知识点9：等边三角形的判定 （1）三个角相等的三角形是等边三角形. （2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 知识点10：直角三角形斜边上的中线 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 【考点1】轴对称的性质 1．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，若∠A＝65°，∠C′＝38°，则∠B的度数为（　　） A．77° B．38° C．74° D．68° 【答案】A 【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称， ∴∠C＝∠C′＝38°， 在△ABC中，∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣65°﹣38°＝77°． 故选：A． 2．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，已知AC＝3.2cm，A′B′＝3.6cm，BC＝4.5cm，则AB的长为（　　） A．3.2cm B．3.6cm C．4.5cm D．无法确定 【答案】B 【解答】解：∵△ABC和△A′B′C′关于直线l对称， ∴△ABC≌△A′B′C′， ∴AB＝A′B′＝3.6cm， 故选：B． 3．如图，△ABC和△AB'C'关于直线l对称，l交CC'于点D，若AB＝4，B'C'＝2，CD＝1，则五边形ABCC'B′的周长为（　　） A．14 B．13 C．12 D．11 【答案】A 【解答】解：∵△ABC和△AB'C'关于直线l对称，l交CC'于点D， ∴AB＝AB′，BC＝B′C′，DC＝DC′， ∵AB＝4，B'C'＝2，CD＝1， ∴AB′＝4，BC＝2，DC′＝1， ∴五边形ABCC′B'的周长为：4+2+1+1+2+4＝14． 故选：A． 【考点2】轴对称-最短路线问题 4，AB的垂直平分线ED分别交AC，AB边于E、D两点，若点F为BC边的中点，点P为线段ED上一动点，则△PBF周长的最小值为（　　） A．7 B．9 C．11 D．14 【答案】C 【解答】解：∵ED是线段AB的垂直平分线， ∴A与B关于ED对称， 连接AF，交ED于点P， ∵AP＝PB， ∴△PBF周长＝PB+PF+FB＝AP+PF+FB≥AF+FB， 当A、P、F三点共线时，△PBF周长最小， ∵F为BC边的中点，AB＝AC， ∴AF⊥BC，， ∴， ∵BC＝6， ∴AF＝8， ∴△PBF周长＝AF+FB＝8+3＝11， ∴△PBF周长的最小值为11， 故选：C． 5.（2023春•河源期末）已知，等腰△ABC中，AB＝AC，E是高AD上任一点，F是腰AB上任一点，腰AC＝5，BD＝3，AD＝4，那么线段BE+EF的最小值是（　　） A．5 B．3 C． D． 【答案】C 【解答】解：如图作点F关于AD的对称点F′，连接EF′．作BH⊥AC于H． ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BD＝CD＝3， ∴点F′在AC上， ∵BE+EF＝BE+EF′， 根据垂线段最短可知，当B，E，F′共线，且与H重合时，BE+EF的值最小，最小值就是线段BH的长． 在Rt△ACD中，AC＝5， ∵•BC•AD＝•AC•BH， ∴BH＝， ∴BE+EF的最小值为， 故选：C 6.（2023秋•应城市期末）如图，∠MON＝50°，P为∠MON内一点，OM上有点A，ON上有点B，当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数为（　　） A．60° B．70° C．80° D．100° 【答案】C 【解答】解：如图，分别作P关于OM、ON的对称点P1、P2，然后连接两个对称点即可得到A、B两点. ∴△PAB即为所求的三角形， 根据对称性知道： ∠APO＝∠AP1O，∠BPO＝∠BP2O， 还根据对称性知道：∠P1OP2＝2∠MON，OP1＝OP2， 而∠MON＝50°， ∴∠P1OP2＝100°， ∴∠AP1O＝∠BP2O＝40°， ∴∠APB＝2×40°＝80°． 故选：C． 7.（2023秋•丛台区校级期末）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN的周长最小时，则∠ANM+∠AMN的度数为（　　） A．80° B．90° C．100° D．130° 【答案】C 【解答】解：作A点关于CD的对称点F，作A点关于BC的对称点E，连接EF交CD于N，交BC于M，连接AM、AN， ∵∠B＝∠D＝90°， ∴AN＝NF，AM＝EM， ∴△AMN的周长＝AM+AN+MN＝NF+MN+EM＝EF，此时△AMN的周长有最小值， ∵∠FAN＝∠F，∠E＝∠EAM， ∴∠E+∠F＝180°﹣∠BAD， ∵∠BAD＝130°， ∴∠E+∠F＝50°， ∴∠BAM+∠FAN＝50°， ∴∠MAN＝130°﹣50°＝80°， ∴∠ANM+∠AMN＝180°﹣∠MAN＝100°， 故选：C． 【考点3】翻折变换(折叠问题) 8．如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，若∠AEG＝114°，有下列结论：①∠BGD′＝114°；②∠CFC′＝33°；③∠EFG＝33°；④∠GEF＝33°．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解答】解：∵AD∥BC， ∴∠AEG＝∠BGD′＝114°， ∴∠DEG＝180°﹣∠AEG＝66°， 由折叠得：∠DEF＝∠GEF＝∠DEG＝33°， ∵AD∥BC， ∴∠DEF＝∠EFG＝33°， ∵D′G∥C′F， ∴∠BGD′＝∠BFC′＝114°， ∴∠CFC′＝180°﹣∠BFC′＝66°， 所以，上列结论，其中正确的有：①③④，共有3个， 故选：C． 9．如图，△ABC中，∠A＝90°，AB＝7，AC＝24，点D为边AC上一点，将△ABC沿BD折叠后，点A的对应点A′恰好落在BC边上，则线段AD的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：∵∠A＝90°，AB＝7，AC＝24， ∴BC＝＝＝25， ∵将△ABC沿BD折叠后，点A的对应点A′恰好落在BC边上， ∴∠BA′D＝∠A＝90°，A′D＝AD， ∴AB⊥CD，A′D⊥BC， ∴BC•A′D＝CD•AB＝S△BCD， ∴×25AD＝×7（24﹣AD）， 解得AD＝， 故选：B． 10．如图，将长方形纸片进行折叠，ED、EF为折痕，点A与点A'、点B与点B'、点C与点C'重合．若∠BEF＝65°，则∠AED的度数为（　　） A．15° B．18° C．20° D．25° 【答案】D 【解答】解：根据折叠的性质得∠AED＝∠A′ED，∠BEF＝∠B′EF， ∴∠AEA′＝180°﹣2×65°＝50°， ∴∠AED＝∠AEA′＝25°， 故选：D． 11．如图，长方形纸片ABCD，M为AD边的中点，将纸片沿BM，CM折叠，使A点落在A1处，D点落在D1处，若∠1＝34°，则∠BMC的度数是（　　） A．73° B．106° C．146° D．107° 【答案】D 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，∠A＝∠D＝90°， ∵M为AD边的中点， ∴AB＝DM， ∴△ABM≌△DCM（SAS）， ∴∠AMB＝∠CMD， 由翻折可知：∠AMB＝∠A′MB，∠CMD＝∠CMD′， ∴∠AMB＝∠A′MB＝∠CMD＝∠CMD′， ∵∠1＝34°， ∴4∠AMB＝180°﹣34°＝146°， ∴2∠AMB＝73°， ∴∠BMC＝73°+34°＝107°， 故选：D． 【考点4】线段垂直平分线的性质 12．（2022秋•屯昌县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是AC的垂直平分线，△BCD的周长为24，BC＝10，则AC等于（　　） A．11 B．14 C．15 D．16 【答案】B 【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线， ∴AD＝CD， ∵△BCD的周长为24， ∴BD+CD+BC＝24， ∴AB+BC＝24， ∵BC＝10， ∴AC＝AB＝24﹣10＝14． 故选：B． 13．（2022秋•海兴县期末）如图，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，若∠C＝64°，则∠DBC的度数是（　　） A．20° B．18° C．12° D．10° 【答案】C 【解答】解：∵AB＝AC，∠C＝64°， ∴∠C＝∠ABC＝64°， ∴∠A＝180°﹣64°×2＝52°， ∵MN垂直平分AB， ∴AD＝BD， ∴∠A＝∠ABD＝52°， ∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝12°， 故选：C． 故选：C． 14．（2023春•西安期末）如图，在等腰△ABC中，∠ABC＝116°，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，BC的垂直平分线PQ交BC于点P，交AC于点Q，连接BE，BQ，则∠EBQ＝（　　） A．62° B．58° C．52° D．46° 【答案】C 【解答】解：∵等腰△ABC中，∠ABC＝116°， ∴∠A＝∠C＝32°， ∵AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，BC的垂直平分线PQ交BC于点P，交AC于点Q， ∴EA＝EB，QB＝QC， ∴∠ABE＝∠A＝32°，∠CBQ＝∠C＝32°， ∴∠EBQ＝∠ABC﹣∠ABE﹣∠CBQ＝116°﹣32°﹣32°＝52°， 故选：C． 【考点5】角平分线的性质 15．（2023秋•博尔塔拉州期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，若CD＝3cm，则点D到AB的距离为 　3　cm． 【答案】3． 【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E， ∵∠C＝90°，BD平分∠ABC， ∴DE＝CD， ∵CD＝3cm， ∴DE＝3cm， 即点D到AB的距离为3cm． 故答案为：3． 16．（2023秋•章贡区期末）如图，已知△ABC的角平分线AD交BC于D，若AC＝4，BD：DC＝3：2，则AB＝　6　． 【答案】6． 【解答】解：如图所示，过点D分别作AB，AC的垂线，垂足分别为E，F，过带你A作BC边上的高AH，垂足为H， ∵AD是∠BAC的角平分线， ∴DE＝DF， ∵， ∴， ∵AC＝4，BD：DC＝3：2， ∴， 故答案为：6． 17．（2023秋•玉环市期末）如图，点O是△ABC内一点，BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，连接OA．若OD＝3，AB＝10，则△AOB的面积是 　15　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：过O作OE⊥AB于点E， ∵BO平分∠ABD，OD⊥BC于点D， ∴OD＝OE＝5， ∴△AOB的面积＝， 故答案为：15． 18．（2023秋•新兴县期末）如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，AB＝4cm，AC＝3cm，DE的长为2cm，则△ABC的面积是 　10　cm2． 【答案】7． 【解答】解：∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DE＝2cm， ∴DF＝DE＝2cm， ∴△ABC面积＝S△ABD+S△ACD＝S△ABC＝×4×2+×3×2＝7（cm2）， 故答案为：7． 【考点6】等腰三角形的性质 19．（2024•广西模拟）△ABC的周长是14，AB＝AC＝5，AD⊥BC，则BD等于（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴DC＝BD， ∵△ABC的周长是14， ∴AB+BD＝7， ∵AB＝5， ∴BD＝2， 故选：B． 20．（2023秋•东辽县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝5cm，则BF＝（　　） A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm 【答案】B 【解答】解：∵△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC， ∴AD是△ABC的中线， ∴S△ABC＝2S△ABD＝2×AB•DE＝AB•DE＝5AB， ∵S△ABC＝AC•BF， ∴AC•BF＝5AB， ∵AC＝AB， ∴BF＝5， ∴BF＝10（cm）， 故选：B． 21．（2023秋•惠东县期中）如图，坐标平面内一点A（3，﹣2），O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．1 【答案】C 【解答】解：如图：①OA为等腰三角形底边，符合条件的动点P有一个； ②OA为等腰三角形一条腰，符合条件的动点P有三个． 综上所述，符合条件的点P的个数共4个． 故选：C． 22．（2023秋•青秀区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BE平分∠ABC交AC于点E，过点A作AD∥BC，交BE的延长线于点D． （1）求∠AEB的度数； （2）求证：△ADE是等腰三角形． 【答案】（1）108°； （2）见解析． 【解答】（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°， ∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝72°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠EBC＝∠ABC＝36°， ∴∠AEB＝∠C+∠DBC＝72°+36°＝108°； （2）证明：∵AE∥BC， ∴∠DAC＝∠C＝72°， ∵∠C＝72°，∠DBC＝36°， ∴∠AED＝∠CEB＝180°﹣72°﹣36°＝72°， ∴∠EAD＝∠AED， ∴AD＝DE， ∴△ADE是等腰三角形． 23．（2023秋•太和县期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝75°，∠ACB＝35°，∠ABC的平分线BD交边AC于点D，E为BC的中点，连接DE． （1）求证：△BCD为等腰三角形． （2）求∠EDC的度数． 【答案】（1）证明见解析； （2）∠EDC＝55°． 【解答】（1）证明：∵∠BAC＝75°，∠ACB＝35°， ∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝70°， ∵BD平分∠ABC， ∴， ∴∠DBC＝∠ACB＝35°， ∴DB＝DC， ∴△BCD为等腰三角形； （2）解：∵∠DBC＝∠ACB＝35°， ∴∠BDC＝180°﹣35°﹣35°＝110°， ∵DB＝DC，E为BC的中点， ∴． 24．（2023秋•龙泉市期中）如图，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O．过点O作DE∥BC交AB，AC于点D，点E． （1）求证：△BOD为等腰三角形； （2）若BD＝6，DE＝11，求EC的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）5． 【解答】（1）证明：∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O， ∴∠DBO＝∠OBC， ∵DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E． ∴∠DOB＝∠OBC， ∴∠DOB＝∠DBO， ∴BD＝DO， 即△BOD为等腰三角形； （2）解：∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O， ∴∠DBO＝∠OBC，∠ECO＝∠BCO， ∵DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E． ∴∠DOB＝∠OBC，∠COE＝∠OCB， ∴∠DOB＝∠DBO，∠EOC＝∠OCE， ∴BD＝DO，OE＝CE， ∴DE＝BD+CE， ∵BD＝6，DE＝11， ∴CE＝11﹣6＝5． 【考点7】等边三角形的性质 25．（2023•绵阳）如图，在等边△ABC中，BD是AC边上的中线，延长BC至点E，使CE＝CD，若DE＝，则AB＝（　　） A． B．6 C．8 D． 【答案】C 【解答】解：∵△ABC为等边三角形， ∴AC＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝60°， ∵BD是AC边上的中线， ∴BD⊥AC，AD＝CD＝AC，∠ABD＝∠CBD＝30°， ∴AB＝2AD， ∵CE＝CD， ∴∠E＝∠CDE， ∵∠ACB＝∠E+∠CDE＝2∠E， ∴60°＝2∠E， ∴∠E＝30°， ∠CBD＝∠E＝30°， ∴BD＝DE＝4， 在Rt△ABD中，由勾股定理得：AB2﹣AD2＝BD2， 即（2AD）2﹣AD2＝（4）2， 解得：AD＝4， ∴AB＝2AD＝8． 故选：C． 26．（2022秋•渑池县期末）如图，过等边三角形△ABC的顶点A、B、C依次作AB、BC、AC的垂线MG、MN、DG，三条垂线围成△MNG，若AM＝2，则△MNG的周长为（　　） A．12 B．18 C．20 D．24 【答案】B 【解答】解：∵AB⊥MG， ∴∠BAG＝90°， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝60°， ∴∠CAG＝∠BAC﹣∠BAC＝30°， ∴∠G＝60°， 同理∠M＝∠N＝60°， ∴△MNG是等边三角形． ∴MG＝MN＝NG． 在Rt△ABM中， ∠M＝60°， ∴∠MBA＝30°， ∴MB＝2MA＝4， ∵AC⊥MG， ∴∠ACG＝90°， 在△ABM与△CAG中， ， ∴△ABM≌△CAG（AAS） ∴GA＝MB＝4， ∴MG＝GA+AM＝6， ∴△MNG的周长为MG+MN+NG＝3MG＝18． 故选：B． 27．（2023秋•文登区期中）如图，在等边△ABC中，AB＝5，点D在AB上，且BD＝1，点E、F分别是BC、AC上的点，连接DE，EF，如果∠DEF＝60°，DE＝EF，那么BE的长是（　　） A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 【答案】C 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝5， ∵∠BEF＝∠C+∠EFC＝∠DEF+∠BED，∠DEF＝∠C＝60°， ∴∠BED＝∠EFC， 在△DBE和△ECF中， ， ∴△DBE≌△ECF（AAS）， ∴DB＝EC＝1， ∴BE＝BC﹣EC＝5﹣1＝4． 故选：C． 28．（2024•长沙县一模）如图，AB∥CD，△ACE为等边三角形，∠DCE＝45°，则∠EAB等于（　　） A．40° B．30° C．20° D．15° 【答案】D 【解答】解：∵△ACE为等边三角形， ∴∠ECA＝∠EAC＝60°， ∵AB//CD， ∴∠DCA+∠BAC＝180°， ∴∠DCE+∠ECA+∠EAC+∠EAB＝180°， ∵∠DCE＝45°， ∴45°+60°+60°+∠EAB＝180°， 解得∠EAB＝15°． 故选：D． 29．如图，点P，M，N分别在等边△ABC的各边上，且MP⊥AB于点P，MN⊥BC于点M，PN⊥AC于点N． （1）求证：△PMN是等边三角形； （2）若AB＝12cm，求CM的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵△ABC是正三角形， ∴∠A＝∠B＝∠C， ∵MP⊥AB，MN⊥BC，PN⊥AC， ∴∠MPB＝∠NMC＝∠PNA＝90°， ∴∠PMB＝∠MNC＝∠APN， ∴∠NPM＝∠PMN＝∠MNP， ∴△PMN是等边三角形； （2）根据题意△PBM≌△MCN≌△NAP， ∴PA＝BM＝CN，PB＝MC＝AN， ∴BM+PB＝AB＝12cm， ∵△ABC是正三角形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝60°， ∴2PB＝BM， ∴2PB+PB＝12cm， ∴PB＝4cm， ∴MC＝4cm． 【考点8】 含30°角的直角三角形的性质 30．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP的长不可能是（　　） A．6 B．8 C．10 D．13 【答案】D 【解答】解：根据垂线段最短，可知AP的长不可小于6； ∵△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，∠B＝30°， ∴AB＝2AC＝12， ∴AP的长不能大于12， ∴6≤AP≤12． 故选：D． 31．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝8，点M，N在边OB上，PM＝PN．若MN＝2，则OM的长是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解答】解：过点P作PD⊥OB于点D， ∵∠AOB＝60°，PD⊥OB，OP＝8， ∴DO＝OP＝4， ∵PM＝PN，MN＝2，PD⊥OB， ∴MD＝ND＝1， ∴MO＝DO﹣MD＝4﹣1＝3． 故选：B． 【考点9】作图-轴对称变换 32．如图，在直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣2，4）、B（﹣4，1）、C（﹣1，2），直线l与x轴平行且经过点（0，﹣1）． （1）画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； （2）画出与△ABC关于直线l对称的图形△A2B2C2； （3）点P（m，n）关于直线l的对称点为Q（﹣n，2m），则点P的坐标是 　（﹣2，2）　． 【答案】（1）见解答． （2）见解答． （3）（﹣2，2）． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求． （2）如图，△A2B2C2即为所求． （3）∵点P（m，n）关于直线l的对称点为Q（﹣n，2m）， ∴， 解得， ∴点P的坐标是（﹣2，2）． 故答案为：（﹣2，2）． 33．如图，在2×2的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，请你找出格纸中所有与△ABC成轴对称且以格点为顶点的三角形，请在下面所给的格纸中一一画出所有符合条件的三角形．（所给的六个格纸未必全用） 【答案】见试题解答内容 【解答】解：与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形有5个， 分别为△CDA，△FBC，△AEG，△HGE，△BAH． 【考点10】随机事件 34．（2023秋•路桥区期末）下列事件为随机事件的是（　　） A．太阳从东边升起 B．抛掷一枚骰子，向上一面的点数为7 C．经过红绿灯路口，遇到红灯 D．任意画一个三角形，它的内角和等于180° 【答案】C 【解答】解：A、太阳从东边升起，是必然事件，故本选项不符合题意； B、抛掷一枚骰子，向上一面的点数为7，属于不可能事件，故本选项不符合题意； C、经过红绿灯路口，遇到红灯，属于随机事件，故本选项符合题意； D、任意画一个三角形，它的内角和等于180°，属于必然事件，故本选项不符合题意； 故选：C． 35．（2024春•东台市期中）以下事件中，必然发生的是（　　） A．打开电视机，正在播放体育节目 B．任意画一个三角形，其内角和是180° C．正五边形的外角和为180° D．掷一次骰子，向上一面是5点 【答案】B 【解答】解：因为打开电视机，正在播放体育新闻节目是随机事件，所以A不符合题意； 因为任意画一个三角形，其内角和是180°是必然事件，所以B符合题意； 因为正五边形的外角和是180°是不可能事件，所以C不符合题意； 因为掷一次骰子，向上一面是5点是随机事件，所以D不符合题意． 故选：B． 【考点11】可能性的大小 36．（2024•峰峰矿区校级模拟）如图是一个游戏转盘，自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在A，B，C，D所示区域内可能性最大的是（　　） A．A区 B．B区 C．C区 D．D区 【答案】B 【解答】解：由图形知，区域对应扇形圆心角度数为360°﹣（50°+120°+65°）＝125°， 所以B区域对应扇形圆心角度数最大， 指针落在A，B，C，D所示区域内可能性最大的是B区域； 故选：B． 37．（2024•乌鲁木齐模拟）任意掷一枚骰子，下列情况出现的可能性比较大的是（　　） A．面朝上的点数是6 B．面朝上的点数是偶数 C．面朝上的点数大于2 D．面朝上的点数小于2 【答案】C 【解答】解：∵抛掷一枚骰子共有1、2、3、4、5、6这6种等可能结果， ∴A、面朝上的点数是6的概率为； B、面朝上的点数是偶数的概率为＝； C、面朝上的点数大于2的概率为＝； D、面朝上的点数小于2的概率为； 故选：C． 38．（2022秋•历下区期中）不透明的口袋里转悠除颜色外其余都相同的红、黄、蓝三种颜色的小球若干个，其中红球2个，蓝球1个．若从中任意摸出一个球，它是蓝球的概率为，求黄球的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解答】解：设黄球的个数是x， ∵蓝球的概率为， ∴＝， 解得x＝1． 经检验，x＝1是分式方程的解，且符合题意， 故选：A． 【考点12】概率公式 39．（2024•道外区二模）不透明的袋子中装有2个红球和4个黄球，除了颜色外没有任何不同，随机摸出一个是黄球的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：∵有2个红球，4个黄球， ∴球的总数＝2+4＝6， ∴随机摸出一个球，摸到黄球的概率＝＝． 故选：B． 40．（2023秋•金牛区期末）一个不透明的口袋中装有8个黑球和若干个白球，每个球除颜色外都相同．摇匀后随机摸一球，已知摸到白球的概率是，估计袋中白球的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解答】解：设袋子中白球的个数为x个， 则， 解得x＝4， 经检验得x＝4是原方程的解， ∴估计袋中白球的个数是4个． 故选：D． 41．（2023秋•莱芜区期末）不透明的盒子中装有红色棋子和蓝色棋子若干个；其中红色棋子15个．每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到蓝色棋子的概率是25%，则蓝色棋子个数是（　　） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】A 【解答】解：∵任意摸出一个棋子，摸到蓝色棋子的概率是25%， ∴摸到红色棋子的概率为1﹣25%＝75%， 则袋中球的总个数为15÷75%＝20（个）， ∴蓝色棋子的个数是20×25%＝5（个）， 故选：A． 【考点13】几何概率 42．（2023秋•金湾区期末）如图将一个飞镖随机投掷到3×3的方格纸中，则飞镖落在阴影部分的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：共有方块3×3＝9块，阴影方块有5块， 所以飞镖落在阴影部分的概率为， 故选：B． 43．（2023春•济宁期中）假如小猫在如图所示的地板上自由地走来走去，并随意停留在某块方砖上，它最终停留在黑色方砖上的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：观察这个图可知：黑色区域（4块）的面积占总面积（16块）的，故其概率为． 故选：B． 一．选择题（共14小题） 1．已知等腰三角形的两边长分别为5cm、2cm，则该等腰三角形的周长是（　　） A．7cm B．9cm C．12cm或者9cm D．12cm 【答案】D 【解答】解：①5cm为腰，2cm为底，此时周长为12cm； ②5cm为底，2cm为腰，则两边和小于第三边无法构成三角形，故舍去． ∴其周长是12cm． 故选：D． 2．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，AC＝15cm，AD＝9cm，DE⊥AB，则DE＝（　　） A．9cm B．7cm C．6cm D．5cm 【答案】C 【解答】解：∵AC＝15cm，AD＝9cm， ∴CD＝AC﹣AD＝6cm， ∵BD平分∠ABC，且∠C＝90°，DE⊥AB， ∴DE＝CD＝6cm． 故选：C． 3．如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且B，E，C在同一直线上时，电线杆DE就垂直于BC．工程人员这种操作方法的依据是（　　） A．等边对等角 B．垂线段最短 C．等腰三角形“三线合一” D．线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等 【答案】C 【解答】解：∵AB＝AC，BE＝CE， ∴AE⊥BC， 故工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”， 故选：C． 4．榫卯是中国建筑的智慧结晶，仅靠木头之间的相互作用力就可以让建筑或家具牢固、美观．下列榫卯拼接截面示意图中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：A，B，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：C． 5．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，垂足为点E，CD平分∠ACB，若∠A＝50°，则∠B的度数为（　　） A．25° B．30° C．35° D．40° 【答案】B 【解答】解：∵DE垂直平分AC， ∴AD＝CD， ∴∠A＝∠ACD 又∵CD平分∠ACB， ∴∠ACB＝2∠ACD＝100°， ∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣50°﹣100°＝30°， 故选：B． 6．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA，点D是OB上的动点，若PC＝5cm，则PD的长可以是（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm 【答案】D 【解答】解：过P作PD⊥OB于D，则此时PD长最小， ∵OP平分∠AOB，PC⊥OA， ∴PD＝PC， ∵PC＝5cm， ∴PD＝5（cm）， 即PD的最小值是5cm， ∴选项A、选项B、选项C都不符合题意，只有选项D符合题意， 故选：D． 7．如图，在△ABC中，AB＝AC，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，∠D＝16°，则∠A的度数为（　　） A．28° B．30° C．32° D．32.5° 【答案】C 【解答】解：∵∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点D， ∴∠ABD＝∠CBD，∠ACD＝∠ECD， ∵∠ACE＝∠A+∠ABC， 即∠ACD+∠ECD＝∠ABC+∠CBD+∠A， ∴2∠ECD＝2∠CBD+∠A， ∴∠A＝2（∠ECD﹣∠CBD）， ∵∠ECD＝∠CBD+∠D，∠D＝16°， ∴∠D＝∠ECD﹣∠CBD＝16°， ∴∠A＝2×16°＝32°． 故选：C． 8．如图，在△ABC中AB＝AC，BC＝4，面积是20，AC的垂直平分线EF分别交AC、AB边于E、F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【解答】解：连接AD，AM． ∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点， ∴AD⊥BC， ∴S△ABC＝BC•AD＝×4×AD＝20，解得AD＝10， ∵EF是线段AC的垂直平分线， ∴点C关于直线EF的对称点为点A， ∴MA＝MC， ∵AD≤AM+MD， ∴AD的长为CM+MD的最小值， ∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝10+×4＝10+2＝12． 故选：D． 9．如图，将长方形ABCD沿AE折叠，已知∠CED'＝50°，则∠AED的大小是（　　） A．50° B．55° C．65° D．75° 【答案】C 【解答】解：由折叠的性质，∠DEA＝∠AED′， ∴∠AED＝（180°﹣∠CED′）÷2＝65°． 本题选C． 10．任意掷一枚骰子，下列情况出现的可能性比较大的是（　　） A．面朝上的点数是6 B．面朝上的点数是偶数 C．面朝上的点数大于2 D．面朝上的点数小于2 【答案】C 【解答】解：∵抛掷一枚骰子共有1、2、3、4、5、6这6种等可能结果， ∴A、面朝上的点数是6的概率为； B、面朝上的点数是偶数的概率为＝； C、面朝上的点数大于2的概率为＝； D、面朝上的点数小于2的概率为； 故选：C． 11．“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．在一个不透明的盒子中装了6张关于“二十四节气”的卡片，其中有3张“立春”，2张“立秋”，1张“冬至”，这些卡片除了画面内容外其他都相同，从中随机摸出一张卡片，恰好是“立秋”的可能性为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：∵在一个不透明的盒子中装了6张关于“二十四节气”的卡片，其中有2张“立秋”， ∴从中随机摸出一张卡片，恰好是“立秋”的可能性为， 故选：B． 12．下列成语所描述的事件，是随机事件的是（　　） A．守株待兔 B．旭日东升 C．水涨船高 D．水中捞月 【答案】A 【解答】解：A．守株待兔，有可能发生，也有可能不发生，是随机事件，符合题意； B．旭日东升，是必然事件，不符合题意； C．水涨船高，是必然事件，不符合题意； D．水中捞月，是不可能事件，不符合题意； 故选：A． 13．一个不透明的口袋中装有8个黑球和若干个白球，每个球除颜色外都相同．摇匀后随机摸一球，已知摸到白球的概率是，估计袋中白球的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解答】解：设袋子中白球的个数为x个， 则， 解得x＝4， 经检验得x＝4是原方程的解， ∴估计袋中白球的个数是4个． 故选：D． 14．一只蜘蛛爬到如图所示的一面墙上，停留位置是随机的，则停留在阴影区域上的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：设每小格的面积为1， ∴整个方砖的面积为9， 阴影区域的面积为3， ∴最终停在阴影区域上的概率为：． 故选：C． 二．解答题（共6小题） 15．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8cm． （1）作AB的垂直平分线，交AC于点M，交AB于点N； （2）在（1）的条件下，连接MB，若△MBC的周长是14cm，求BC的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图所示： （2）∵MN是AB的垂直平分线， ∴AM＝BM， ∵△MBC的周长是14cm， ∴MB+MC+BC＝AM+CM+BC＝AC+BC＝14cm， ∵AC＝8cm， ∴BC＝6cm． 16．如图，转盘被分成六个相同的扇形，并在上面依次写上数字：2，3，4，5，6，7．指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止． （1）当转盘停止时，指针指向奇数区域的概率是多少？ （2）当转盘停止时，指针指向的数小于或等于5的概率是多少？ 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）当转盘停止转动时，指针指向数字区域2，3，4，5，6，7的机会是均等的，故共有6种均等的结果，其中指针指向奇数区域3，5，7有3种结果， 所以指针指向奇数区域的概率是； （2）当转盘停止转动时，指针指向数字区域2，3，4，5，6，7的机会是均等的，故共有6种均等的结果，其中指针指向的数小于或等于5区域2，3，4，5有4种结果， 所以指针指向的数小于或等于5的概率是． 17．如图，在△ABC中，AC＝BC，点D是AB上一点，DE⊥BC于点E，EF⊥AC于点F． （1）若点D是AB的中点，求证：∠BDE＝∠C； （2）若∠ADE＝160°，求∠DEF的度数． 【答案】（1）答案见解析； （2）40°． 【解答】（1）证明：连接CD， ∵AC＝BC，点D是AB的中点， ∴CD⊥AB，， ∴∠BCD+∠B＝90°， ∵DE⊥BC， ∴∠B+∠BDE＝90° ∴∠BCD＝∠BDE． ∴； （2）解：∵∠ADE＝160° ∴∠BDE＝20°， ∵DE⊥BC，EF⊥AC， ∴∠DEB＝∠AFE＝90°， 在Rt△BDE中，∠DEB＝90°， ∴B＝90°﹣∠BDE＝90°﹣20°＝70°， ∵AC＝BC， ∴∠B＝∠A＝70°， ∴∠DEF＝360°﹣∠A﹣∠ADE﹣∠AFE＝360°﹣70°﹣160°﹣90°＝40°． 18．如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为A（3，4），B（5，﹣1），C（1，2）． （1）作出与△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1； （2）已知点P（﹣2a+3，a﹣1），直线PB1∥x轴，求点P的坐标． 【答案】（1）见解析； （2）（﹣1，1）． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求． （2）∵B（5，﹣1），点B1与点B关于x轴对称， ∴B1（5，1）． ∵P（﹣2a+3，a﹣1），PB1∥x轴， ∴点P的纵坐标为1， ∴a﹣1＝1， ∴a＝2， ∴﹣2a+3＝﹣1， ∴点P的坐标为（﹣1，1）． 19．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE＝CF．求证：AD是△ABC的角平分线． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴Rt△BDE和Rt△CDF是直角三角形． ， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）， ∴DE＝DF， ∵DE⊥AB，DF⊥AC，AD＝AD， ∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）， ∴∠DAE＝∠DAF， ∴AD是△ABC的角平分线． 20．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，点F在AC上，且BD＝DF． （1）求证：CF＝EB； （2）请你判断AE、AF与BE之间的数量关系，并说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°， ∴DC＝DE， 在Rt△DCF和Rt△DEB中， ， ∴Rt△DCF≌Rt△DEB， ∴CF＝EB； （2）AF+BE＝AE． ∵Rt△DCF≌Rt△DEB， ∴DC＝DE， ∴Rt△DCA≌Rt△DEA（HL）， ∴AC＝AE， ∴AF+FC＝AE， 即AF+BE＝AE． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 学科网（北京）股份有限公司 $$