天津市南开中学2024届高三下学期模拟检测数学试卷

南开中学2024届高三模拟检测 数学学科试卷 考试时间：120分钟 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，共150分．考试结束后，请交回答题卡． 第Ⅰ卷 一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．在复平面内，对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知，，则P是q的（ ）条件 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3．下列图象中，不可能成为函数的图象的是（ ） A． B． C． D． 4．已知，，，则实数a，b，c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 5．已知正方体的外接球的体积为，点E为棱AB的中点，则三棱锥的体积为（ ） A． B． C． D． 6．双曲线和抛物线的公共焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点，若AB中点的横坐标为6，则（ ） A．16 B．12 C．10 D．8 7．如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态。图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，不正确的是（ ） A．图（1）的平均数＝中位数＝众数 B．图（2）的众数＜中位数＜平均数 C．图（2）的平均数＜众数＜中位数 D．图（3）的平均数＜中位数＜众数 8．已知函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若在区间上的值域为，则m的取值范围为（ ） A． B． C． D． 9．数列各项均为实数，对任意满足，定义：行列式且行列式为定值，则下列选项中不可能的是（ ） A．， B．， C．， D．， 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．） 10．若直线与圆交于A，B两点，则______． 11．在的展开式中，的系数为，则实数a为______． 12．一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个．每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，设第1，2，3次都摸到红球的概率为；在第1，2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率为；求______． 13．为了考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下列联表： 药物 疾病 合计 未患病 患病 服用 t 50 未服用 50 合计 80 20 100 在本次考察中，依据小概率值的独立性检验，得出“药物有效”的结论，则t的最小值为______（其中且'）（参考数据：，） 附：， 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 14．已知正△4BC的边长为，中心为O，过O的动直线l与边AB，AC分别相交于点M、N，，，． （1）若，则______． （2）△AMN与△ABC的面积之比的最小值为______． 15．已知函数若函数有唯一零点，则实数a的取值范围是______． 三、解答题（本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16．（本小题满分14分） 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c．已知，， （1）求c的值： （2）求的值； （3）求的值． 17．（本小题满分15分） 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，，CD⊥AD，，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，． （1）若点E是边AB的中点，点F是边PC的中点，求异面直线BC，EF所成角的余弦值： （2）求平面PAC和平面PAD的夹角的余弦值： （3）在棱PC上是否存在点M，使得BM⊥平面PCD？若存在，求的值？若不存在，说明理由． 18．（本小题满分15分） 已知椭圆的左、右顶点分别为，，左右焦点分别为，，离心率为，，O为坐标原点． （1）求椭圆C的方程； （2）设过点的直线，与椭圆分别交于点M，N． ①求证：直线MN过x轴上的定点； ②求△OMN的面积S的最大值． 19．（本小题满分15分） 已知函数． （1）如果1和是的两个极值点，且的极大值为3，求的极小值； （2）当时，讨论的单调性； （3）当时，且函数在区间上最大值为2，最小值为．求的值． 20．（本小题满分16分） 设集合，其中．把集合A中所有的数从小到大排列成数列，数列的前n项和为．例如：当时，，，，，…，． （1）写出，，并求； （2）判断88是否为数列中的项．若是，求出是第几项：若不是，请说明理由； （3）若2024是数列中的某一项，求，及的值． 2024届南开中学高三数学校模拟参考答案 一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 B B C A D A C D B 二、填空题 10． 11． 12． 13．46 14．； 15． 三、解答题 16．解：（1）因为，即， 而，代入得，解得：． （2）由（1）可求出，而，所以， 又，所以． （3）因为，所以，故， 又， 所以， ， 而，所以，故 ． 17．解： （1）取AD中点O，连接OP，OB 因为，所以PO⊥AD 因为平面PAD⊥平面ABCD，平面平面 因为平面PAD，所以PO⊥平面ABCD，所以，PO⊥OB 因为CD⊥AD，，，所以， 所以四边形OBCD是平行四边形，所以OB⊥AD 如图建立空间直角坐标系O-xyz，则 ，，，，，，，． 设异面直线BC，EF所成角为，，，则 ． （2），． 设平面PAC的法向量为，则 即 令，则，． 所以． 因为平面PAD的法向量， 设平面PAC与平面PAD的夹角为， 则． （3）设M是棱PC上一点，则存在使得． 设，则，． 所以．所以，，． 所以．所以． 因为AP⊥PD，AP⊥CD，，CD，平面PCD 所以PA⊥平面PCD． 所以是平面PCD的一个法向量， 若BM⊥平面PCD，则． 所以，因为方程组无解， 所以在棱PC．上不存在点M，使得BM⊥平面PCD． 18．解：（1）离心率为，，，，， 则，椭圆C的方程为： （2）①由（1）得，， 直线，的方程分别为：， 由，得 ， 可得，， 由，可得 ，可得，， ， 直线MN的方程为：， 可得直线MN过定点， ②设MN的方程为：，由得，设 ，，则， ， 的面积 令，，则， ，且函数在递增， 当，即时，S取得最大值． 19．解：（1）因为，所以， 因为1和是的两个极值点，所以1和是方程的两根， 故，解得，即， 所以， 因为时，，当时，， 所以在区间，上单调增，在区间上单调减， 所以，解得， 所以． （2）当时定义域为R， 又，令，解得或， ①若，则当时，， 当时，． 故在区间，单调递增，在上单调递减； ②若，则恒成立，所以在区间单调递增； ③若，则当时，； 当时． 故在区间，单调递增，在上单调递减． 综上可得：当时在区间，单调递增， 在上单调递减；当时在区间单调递增； 当时在区间，单调递增，在上单调递减． （3）当时，， 由题意得：，即，① ，即，② 由①、②可知，，③ 因为，， ，， 所以有两个实数根，，且， 当时，，当时，， 故是的极大值点，是的极小值点， 由题意得，， 即， 两式同向相加得：，④ 注意到，，， 代入④得， 由③可知，，则，， 所以，， 所以， 所以，当且仅当， 即，又，所以，时成立， 所以，从而． 20．解：（1）因为，此时， ，， ． （2）当时，， ，88是数列中的项， 比它小的项分别有，，，个， 有，，，个， 有，，，个， 所以比88小的项共有个，故88是数列的第30项． （3），是数列中的项，故， 则当时，， 方法-：比它小的项分别有以下7种情况： ①，，，10个数字任取7个得个， ②，，，得个， ③，，，得个， ④，，，得个， ⑤，，，得个， ⑥，，，得个， ⑦，，，得个， 所以比2024小的项共有个， 其中 ； 故2024是数列的第329项，即． 方法二：共有元素个，最大的是，其次为， 所以2024是数列的第项，即．在总共项中，含有的项共有个，同理都各有个，所以，则． 学科网（北京）股份有限公司 $$