2023—2024学年北师大版数学九年级上册　课外培优专题（课件）

第一章　特殊平行四边形 专题2　特殊平行四边形中的最值问题 数学 九年级上册 BS版 1. 如图，在△ ABC 中，已知∠ ACB ＝90°， AC ＝6， BC ＝8， AB ＝10，点 P 为直线 AB 上一动点，连接 PC ，则线段 PC 长的最 小值是（　D　） A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 4.8 （第1题图） D 数学 九年级上册 BS版 2. 如图，在矩形 ABCD 中，已知 AB ＝2， AD ＝3，动点 P 满足 S△ PBC ＝ S矩形 ABCD ，则点 P 到 B ， C 两点距离之和 PB ＋ PC 的最 小值为（　B　） A. B. C. D. 2 （第2题图） B 数学 九年级上册 BS版 3. 如图，已知正方形 ABCD 的边长为2，点 E 为边 BC 的中点， 点 P 在对角线 BD 上移动，则△ PCE 周长的最小值是（　C　） A. B. 2 C. ＋1 D. 2 ＋2 （第3题图） C 数学 九年级上册 BS版 4. 如图，在矩形 ABCD 中，已知 AD ＝3， CD ＝4，点 P 是 AC 上 一个动点（点 P 与点 A ， C 不重合），过点 P 分别作 PE ⊥ BC 于 点 E ， PF ∥ BC 交 AB 于点 F ，连接 EF ，则 EF 的最小值 为 ⁠. 　 （第4题图） 数学 九年级上册 BS版 5. 如图，在矩形 ABCD 中，已知 AB ＝4， BC ＝6，点 P 是矩形 ABCD 内一动点，且 S△ PAB ＝ S△ PCD ，则 PC ＋ PD 的最小值为 ⁠ ⁠. （第5题图） 2 　 数学 九年级上册 BS版 6. 如图，将两张长为9、宽为3的矩形纸条交叉，使重叠部分是 一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的面积有最小值 9，则菱形面积的最大值是 ⁠. （第6题图） 15　 数学 九年级上册 BS版 【解析】如图，此时菱形 ABCD 的面积最大.设 AB ＝ x ，则 EB ＝ 9－ x ， AE ＝3.由勾股定理，得32＋（9－ x ）2＝ x2.解得 x ＝5. S最 大＝5×3＝15.故答案为15. 数学 九年级上册 BS版 7. 矩形 OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点 B 的坐标 为（－3，5），点 D 在线段 AO 上，且 AD ＝2 OD ，点 E 在线段 AB 上.当△ CDE 的周长最小时，求点 E 的坐标. 数学 九年级上册 BS版 解：如答图，作点 D 关于直线 AB 的对称点 D '，连接 CD '交 AB 于点 E '.此时△ DCE '的周长最小. ∵四边形 OABC 是矩形，且 B （－3，5）， ∴ OA ＝3， OC ＝5. ∵ AD ＝2 OD ， ∴ AD ＝2， OD ＝1. ∴ AD '＝ AD ＝2. ∴ D '（－5，0）. 又∵ C （0，5）， 答图 数学 九年级上册 BS版 ∴直线 CD '的函数表达式为 y ＝ x ＋5. 当 x ＝－3时， y ＝－3＋5＝2.∴ E '（－3，2）， 即当△ CDE 的周长最小时，点 E 的坐标为（－3，2）. 答图 答图 数学 九年级上册 BS版 8. 如图，在矩形 ABCD 中，已知 AD ＝12， AB ＝8，点 E 是 AB 上 一点，且 EB ＝3，点 F 是 BC 上一动点.若将△ EBF 沿 EF 翻折 后，点 B 落在点 P 处，求点 P 到点 D 的距离的最小值. 数学 九年级上册 BS版 解：如答图，连接 PD ， DE . ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠ A ＝90°. ∵ AB ＝8， BE ＝3， ∴ AE ＝5. ∵ AD ＝12， ∴ DE ＝ ＝ ＝13. 由折叠，得 EP ＝ EB ＝3. ∵ EP ＋ DP ≥ ED ， 答图 ∴当点 E ， P ， D 共线时， DP 最小. ∴ DP 的最小值＝ DE － EP ＝13－3＝10. 答图 数学 九年级上册 BS版 9. 如图，在矩形 ABCD 中，已知 AB ＝4， AD ＝6，点 E 是 AB 所 在直线的一个动点，点 F 是对角线 AC 上的动点，且 AE ＝ CF ， 则 BF ＋ CE 的最小值为 ⁠. 2 　 数学 九年级上册 BS版 【解析】如答图，延长 CD 到点 G ，使 CG ＝ AC ，连接 FG . 在 矩形 ABCD 中， AB ∥ CD ，∴∠ EAC ＝∠ FCG . 又∵ AE ＝ CF ，∴△ ACE ≌△ CGF （SAS）.∴ CE ＝ GF . 当 G ， F ， B 三 点共线时， BF ＋ GF 的值最小，此时 BF ＋ CE 的值也最小，最 小值等于 BG 的长.在矩形 ABCD 中， AB ＝4， AD ＝ BC ＝6，∠ ABC ＝90°，∴ AC ＝ ＝ ＝2 .∴ CG ＝2 .在Rt△ BCG 中，由勾股定理，得 BG ＝ ＝ ＝2 . ∴ BF ＋ CE 的最小值为2 . 故答案为2 . 答图 答图 数学 九年级上册 BS版 10. 如图，在矩形 ABCD 中，已知 AB ＝5， BC ＝4，点 E ， F 分 别是 AD ， BC 的中点，点 P ， Q 在 EF 上，且满足 PQ ＝2，则四 边形 ABQP 周长的最小值为 ⁠. 12　 数学 九年级上册 BS版 【解析】∵ AB ＝5， PQ ＝2，∴四边形 ABQP 的周长为 AP ＋ PQ ＋ BQ ＋ AB ＝ AP ＋ BQ ＋7，则要使四边形 ABQP 的周长最 小，只要 AP ＋ BQ 最小即可.如答图，在 AB 边上截取 AM ＝ PQ . ∵点 F 是 BC 的中点，∴点 B 关于 EF 的对称点为点 C . 连接 CM 交 EF 于点 Q ，则 CM 即为 AP ＋ BQ 的最小值.在Rt△ BCM 中， MB ＝ AB － AM ＝5－2＝3， BC ＝4，∴ CM ＝ ＝5.∴四 边形 ABQP 周长的最小值为5＋7＝12.故答案为12. 答图 数学 九年级上册 BS版 11. 如图，在矩形 ABCD 中，已知 AD ＝3， AB ＝2，点 P 是线段 AD 上一动点，连接 BP ，求 BP ＋ DP 的最小值. 数学 九年级上册 BS版 解：如答图，在 AD 上方作∠ ADE ＝30°，过点 P 作 PE ⊥ DE 于 点 E ，过点 B 作 BH ⊥ DE 于点 H ，交 AD 于点 F ，则 PE ＝ PD . ∴ BP ＋ DP ＝ BP ＋ PE . 当 B ， P ， E 三点共线时， BP ＋ PE 最小，即为 BH 的长度. ∵∠ AFB ＝∠ DFH ，∠ A ＝∠ H ＝90°， ∴∠ ABF ＝∠ PDE ＝30°. ∴ BF ＝2 AF . 在Rt△ ABF 中，由勾股定理，得AF2＋ AB2＝ BF2， 答图 数学 九年级上册 BS版 ∴ AF2＋22＝4 AF2. ∴ AF ＝ .∴ BF ＝2 AF ＝ . ∴ DF ＝ AD － AF ＝3－ . ∴ FH ＝ DF ＝ － . ∴ BH ＝ BF ＋ FH ＝ ＋ － ＝ ＋ . ∴ BP ＋ DP 的最小值为 ＋ . 答图 数学 九年级上册 BS版 12. （选做）阅读下列材料： 小华遇到这样一个问题：如图1，在△ ABC 中，∠ ACB ＝30°， BC ＝6， AC ＝5，在△ ABC 内部有一点 P ，连接 PA ， PB ， PC ，求 PA ＋ PB ＋ PC 的最小值. 图1 数学 九年级上册 BS版 小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条 端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线， 并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最 短”，就可以求出这三条线段和的最小值了.他先后尝试了翻 折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题. 他的做法：如图2，将△ APC 绕点 C 按顺时针方向旋转60°，得 到△ EDC ，连接 PD ， BE ，则 BE 的长即为所求. 图2 数学 九年级上册 BS版 （1）请你写出图2中， PA ＋ PB ＋ PC 的最小值为 ⁠. （1）【解析】∵将△ APC 绕点 C 按顺时针方向旋转60°，得到 △ EDC ，∴△ APC ≌△ EDC . ∴∠ ACP ＝∠ ECD ， AC ＝ EC ＝ 5，∠ PCD ＝60°.∴∠ ACP ＋∠ PCB ＝∠ ECD ＋∠ PCB ＝∠ ACB ＝30°.∴∠ BCE ＝∠ ECD ＋∠ PCB ＋∠ PCD ＝30°＋60°＝ 90°.在Rt△ BCE 中，∵∠ BCE ＝90°， BC ＝6， CE ＝5，∴ BE ＝ ＝ ＝ ， 即 PA ＋ PB ＋ PC 的最小值为 .故答案为 . 　 图2 数学 九年级上册 BS版 （2）参考小华解决问题的方法，解决下列问题： ①如图3，在菱形 ABCD 中，∠ ABC ＝60°，在菱形 ABCD 内部 有一点 P ，请在图3中画出并指明长度等于 PA ＋ PB ＋ PC 最小值 的线段（保留画图痕迹，画出一条即可）； 图3 数学 九年级上册 BS版 ②若①中菱形 ABCD 的边长为4，请直接写出当 PA ＋ PB ＋ PC 的 值最小时 PB 的长. （2）①解：如图1，将△ APC 绕点 C 按顺时针方向旋转60°，得 到△ DEC ，连接 PE ， DE ，则线段 BD 为 PA ＋ PB ＋ PC 最小值 的线段. 图1 ② PB ＝ .　 数学 九年级上册 BS版 【解析】如图2，当点 B ， P ， E ， D 四点共线时， PA ＋ PB ＋ PC 的值最小，最小值为 BD 的长.∵将△ APC 绕点 C 按顺时针方 向旋转60°，得到△ DEC ，∴△ APC ≌△ DEC . ∴ CP ＝ CE ，∠ PCE ＝60°.∴△ PCE 是等边三角形.∴ PE ＝ CE ＝ CP ，∠ EPC ＝ ∠ CEP ＝60°.在菱形 ABCD 中，∠ ABP ＝∠ CBP ＝ ∠ ABC ＝ 30°，∴∠ PCB ＝∠ EPC －∠ CBP ＝60°－30°＝30°.∴∠ PCB ＝ ∠ CBP ＝30°.∴ BP ＝ CP . 同理，得 DE ＝ CE . ∴ BP ＝ PE ＝ ED . 图2 图2 数学 九年级上册 BS版 连接 AC ，交 BD 于点 O ，则 AC ⊥ BD . 在Rt△ BOC 中，∠ BOC ＝90°，∠ OBC ＝30°， BC ＝4，∴ OC ＝2.∴ BO ＝ ＝2 .∴ BD ＝2 BO ＝4 .∴ BP ＝ BD ＝ .∴当 PA ＋ PB ＋ PC 的值最小时， PB 的长为 . 图2 数学 九年级上册 BS版 演示完毕 谢谢观看 数学 九年级上册 BS版 $$第一章　特殊平行四边形 专题1　矩形、正方形中的四个常考模型 数学 九年级上册 BS版 1. 如图，将矩形纸条 ABCD 折叠，折痕为 EF ，折叠后点 C ， D 分别落在点 C '， D '处， D ' E 与 BF 交于点 G . 若∠ BGD '＝30°， 则∠α的度数是（　D　） A. 30° B. 45° C. 74° D. 75° （第1题图） D 数学 九年级上册 BS版 2. 如图，将矩形纸条 ABCD 折叠，使点 C 和点 A 重合，折痕为 EF ， EF 与 AC 交于点 O . 若 AE ＝5， BF ＝3，则 AO 的长为 （　C　） A. B. C. 2 D. 4 （第2题图） C 数学 九年级上册 BS版 3. 如图，在矩形 ABCD 中，已知 AB ＝3 cm， AD ＝9 cm，将此 矩形沿 EF 折叠，使点 B 与点 D 重合，折痕为 EF ，则 BE 的长为 （　C　） A. 3 cm B. 4 cm C. 5 cm D. 6 cm （第3题图） C 数学 九年级上册 BS版 4. 如图，在平面直角坐标系中，已知边长为2的正方形 ABCD 的 边 AB 在 x 轴上，边 AB 的中点是坐标原点 O . 将正方形绕点 C 按 逆时针方向旋转90°后，则点 B 的对应点 B '的坐标是 ⁠ ⁠. （3， 2）　 （第4题图） 数学 九年级上册 BS版 5. 如图，在矩形 ABCD 中， AB ＝5， AD ＝3.将矩形 ABCD 绕点 A 按逆时针方向旋转一定角度得到矩形 AB ' C ' D '.若点 B 的对应点 B '落在边 CD 上，则 B ' C 的长为 ⁠. （第5题图） 1　 数学 九年级上册 BS版 6. 如图，已知点 E 为长方形纸片 ABCD 的边 CD 上一点，将纸片 沿 AE 对折，点 D 的对应点 D '恰好在线段 BE 上，且 AD ＝3， DE ＝1，则 AB ＝ ⁠. （第6题图） 5　 数学 九年级上册 BS版 7. 如图，在正方形 ABCD 中，已知点 E 是边 BC 延长线上一点， 连接 DE ，过点 B 作 BF ⊥ DE ，垂足为 F ， BF 与 CD 交于点 G . （1）求证： CG ＝ CE ； 数学 九年级上册 BS版 （1）证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠ BCG ＝∠ DCE ＝90°， BC ＝ DC . ∵ BF ⊥ DE ， ∴∠ DFG ＝∠ BCG ＝90°.又∵∠ BGC ＝∠ DGF ， ∴∠ CBG ＝∠ CDE . 在△ BCG 和△ DCE 中， ∴△ BCG ≌△ DCE （ASA）. ∴ CG ＝ CE . 数学 九年级上册 BS版 （2）若 BE ＝4 ， DG ＝2 ，求 BG 的长. （2）解：由（1），得 CG ＝ CE . ∵四边形 ABCD 是正方形，∴ BC ＝ CD . ∴ BE ＝ BC ＋ CE ＝4 ， DG ＝ CD － CG ＝2 . ∴ BC ＝3 ， CG ＝ . 在Rt△ BCG 中，根据勾股定理，得 BG ＝ ＝ ＝2 . 数学 九年级上册 BS版 8. 如图，折叠矩形 ABCD 的边 AD ，使得点 D 落在边 BC 的点 F 处.已知 BC ＝10 cm， AB ＝8 cm，求 CF 和 CE 的长. 解：设 CE 的长为 x cm，则 DE ＝（8－ x ）cm. ∵△ ADE 折叠后的图形是△ AFE ， ∴ AD ＝ AF ，∠ D ＝∠ AFE ，DE ＝ EF . ∵四边形 ABCD 是矩形，∴ AD ＝ BC ＝10 cm. ∴ AF ＝ AD ＝10 cm. 在Rt△ ABF 中，根据勾股定理，得 AB2＋ BF2＝ AF2. 数学 九年级上册 BS版 ∴82＋ BF2＝102.∴ BF ＝6 cm. ∴ CF ＝ BC － BF ＝10－6＝4（cm）. 在Rt△ EFC 中，根据勾股定理，得 CF2＋ CE2＝ EF2. ∴42＋ x2＝（8－ x ）2.∴ x ＝3. 即 CE 的长为3 cm. 故 CF ＝4 cm， CE ＝3 cm. 数学 九年级上册 BS版 9. 如图，已知正方形 ABCD 的边长为4，点 E 为边 BC 上一点， BE ＝3，在 AE 的右侧以 AE 为边作正方形 AEFG ，点 H 为 BG 的 中点，则 AE 的长为 ， AH 的长为 ⁠. 5　 　 （第9题图） 数学 九年级上册 BS版 【解析】如图，以点 B 为坐标原点， BC 所在直线为 x 轴， BA 所 在直线为 y 轴建立平面直角坐标系. 数学 九年级上册 BS版 ∵正方形 ABCD 的边长为4，点 E 为边 BC 上一点， BE ＝3，∴点 B （0，0）， C ， A ， E （3，0）.∴ AE ＝ ＝5.过点 G 作 GM ⊥ y 轴于点 M ，则∠ AMG ＝90°.∴∠ GAM ＋∠ AGM ＝90°.∵四边形 AEFG 是正方形，∴∠ EAG ＝ 90°， AE ＝ AG . ∴∠ GAM ＋∠ BAE ＝90°. ∴∠ AGM ＝∠ BAE . 又∵∠ AMG ＝∠ EBA ＝90°，∴△ AMG ≌△ EBA . 数学 九年级上册 BS版 ∴ MG ＝ AB ＝4， AM ＝ BE ＝3.∴ OM ＝ AB ＋ AM ＝7.∴点 G 的 坐标是 .∵点 H 为 BG 的中点， ∴点 H 的坐标是 .即 . ∴ AH ＝ ＝ .故答案为5， . 数学 九年级上册 BS版 10. （2022·广州）如图，在矩形 ABCD 中，已知 BC ＝2 AB ，点 P 为边 AD 上的一个动点，将线段 BP 绕点 B 按顺时针方向旋转 60°得到线段 BP '，连接 PP ' ， CP '.当点 P ' 落在边 BC 上时，则 ∠ PP ' C 的度数为 ； 当线段 CP ' 的长度最小时，则∠ PP ' C 的度数为 ⁠. 120°　 75°　 （第10题图） 数学 九年级上册 BS版 【解析】如图1，以 AB 为边向右作等边三角形 ABE ，连接 EP '. 由旋转，易得△ BPP '是等边三角形，∴∠ ABE ＝∠ PBP '＝ 60°， BP ＝ BP '， BA ＝ BE . ∴∠ ABP ＝∠ EBP '.在△ ABP 和△ EBP '中，∴△ ABP ≌△ EBP '（SAS）.∴∠ BAP ＝∠ BEP '＝90°.∴点 P '在射线 EP '上运动. 　 图1　　 数学 九年级上册 BS版 如图2，设 EP '交 BC 于点 O . 当点 P '落在 BC 上时，点 P '与点 O 重合，此时∠ PP ' C ＝180°－60°＝120°.当 CP '⊥ EP '时， CP '的长最小，此时∠ EBO ＝∠ OCP '＝30°，∴ EO ＝ OB ， OP '＝ OC . ∴ EP '＝ EO ＋ OP '＝ OB ＋ OC ＝ BC . ∵ BC ＝2 AB ， ∴ EP '＝ AB ＝ EB ，∴∠ EBP '＝∠ EP ' B ＝45°. ∴∠ BP ' C ＝45°＋90°＝135°. ∴∠ PP ' C ＝∠ BP ' C －∠ BP ' P ＝135°－60°＝75°. 故答案为120°；75°. 　 图2 数学 九年级上册 BS版 11. 如图，在矩形 ABCD 中，已知 AB ＝8 cm， BC ＝6 cm，动点 P 从点 A 出发，以1 cm/s的速度沿线段 AB 向点 B 运动，连接 DP ，将∠ A 沿 DP 折叠，使点 A 落在点 A '处.当△ BPA '为直角三 角形时，求点 P 运动的时间. 数学 九年级上册 BS版 解：①当∠ BA ' P ＝90°时，由折叠，得∠ PA ' D ＝∠ A ＝ 90°.∴∠ BA ' D ＝∠ BA ' P ＋∠ PA ' D ＝180°. ∴点 B ， A '， D 在一条直线上. 如图，连接 BD . 在Rt△ ABD 中，由勾股定理，得 BD ＝10 cm. 设 AP ＝ x cm， 则 A ' P ＝ x cm， BP ＝（8－ x ）cm， A ' B ＝10－6＝4（cm）. 在Rt△ A ' PB 中， x2＋42＝（8－ x ）2. 解得 x ＝3. ∴点 P 的运动时间为3÷1＝3（s）. 数学 九年级上册 BS版 ②当∠ A ' PB ＝90°时，∠ A ' PA ＝90°. 又∵∠ DA ' P ＝∠ A ＝90°， ∴四边形 APA ' D 是矩形. 根据折叠的性质，得 A ' P ＝ AP . ∴四边形 APA ' D 是正方形. ∴ AP ＝ AD ＝6 cm. ∴点 P 的运动时间为6÷1＝6（s）； ③当∠ A ' BP ＝90°时，不存在. 综上所述，符合要求的点 P 的运动时间为3 s或6 s . 数学 九年级上册 BS版 12. （选做）如图，已知点 M 是正方形 ABCD 的边 BC 上一点， 连接 AM ，点 E 是线段 AM 上一点，∠ CDE 的平分线 DF 交 AM 的 延长线于点 F ，连接 BE ， BF . （1）如图1，若点 E 是线段 AM 的中点，且 CM ＝2 BM ， BE ＝ 10，求正方形 ABCD 的面积； 图1 数学 九年级上册 BS版 （1）解：设 BM ＝ x ，则 CM ＝2 x ， BC ＝3 x . ∵四边形 ABCD 是正方形，∴ BA ＝ BC . ∴ BA ＝3 x . 在Rt△ ABM 中，点 E 为斜边 AM 的中点， ∴ AM ＝2 BE ＝20. 由勾股定理，得 AM2＝ MB2＋ AB2， 即400＝ x2＋9 x2. 解得 x ＝2 . 图1 ∴ AB ＝3 x ＝6 . ∴正方形 ABCD 的面积＝ AB2＝（6 ）2＝360. 数学 九年级上册 BS版 （2）如图2，若 DA ＝ DE ，求证： BF ＋ DF ＝ AF . 图2 数学 九年级上册 BS版 （2）证明：如图，过点 A 作 AH ⊥ AF ，交 FD 的延长线于点 H ，过点 D 作 DP ⊥ AF 于点 P . ∵ DF 平分∠ CDE ， ∴∠1＝∠2. ∵ DE ＝ DA ， DP ⊥ AF ， ∴∠3＝∠4. ∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝90°， ∴∠2＋∠3＝45°. ∴∠ DFP ＝90°－45°＝45°. ∴ AH ＝ AF . ∵∠ BAF ＋∠ DAF ＝90°，∠ DAH ＋∠ DAF ＝90°， ∴∠ BAF ＝∠ DAH . 数学 九年级上册 BS版 在△ ABF 和△ ADH 中， ∴△ ABF ≌△ ADH （SAS）. ∴ BF ＝ DH . ∵Rt△ FAH 是等腰直角三角形， AF ＝ AH ， ∴ HF ＝ AF . ∵ HF ＝ DH ＋ DF ＝ BF ＋ DF ， ∴ BF ＋ DF ＝ AF . 数学 九年级上册 BS版 演示完毕 谢谢观看 数学 九年级上册 BS版 $$第二章　一元二次方程 专题3　一元二次方程的解法 数学 九年级上册 BS版 1. 已知一元二次方程 x2－ kx ＋4＝0有两个相等的实数根，则 k 的值为（　C　） A. k ＝4 B. k ＝－4 C. k ＝±4 D. k ＝±2 C 数学 九年级上册 BS版 2. 解下列方程：①2 x2－18＝0；②9 x2－12 x －1＝0；③12 x2＋ 12＋25 x ＝0；④2（5 x －1）2＝3（5 x －1）.较简便的方法是 （　C　） A. ①②用直接开平方法，③用公式法，④用因式分解法 B. ①用因式分解法，②用公式法，③用配方法，④用直接开平 方法 C. ①用直接开平方法，②③用公式法，④用因式分解法 D. ①用直接开平方法，②用配方法，③④用因式分解法 C 数学 九年级上册 BS版 3. 已知一元二次方程2（2 x －3）2＋2 x －3＝3，若用换元法解这 个方程，则应设 t ＝（　B　） A. 2 x B. 2 x －3 C. 2 x －6 D. （2 x －3）2 B 数学 九年级上册 BS版 4. 方程 x2＋0.7＝2.5的根是 ⁠. 5. 若关于 x 的一元二次方程（ m －1） x2＋2 x －1＝0有两个不相 等的实数根，则 m 的取值范围是 ⁠. 6. 已知 y1＝2 x2＋7 x －1， y2＝6 x ＋2，当 x ＝ 时， y1 ＝ y2. x1＝3， x2＝－3　 m ＞0且 m ≠1　 1或－ 　 数学 九年级上册 BS版 （1） x2＋4 x －192＝0； 解： x1＝12， x2＝－16. （2）2 x2＋3 x －1＝0. 解： x1＝ ， x2＝ . 7. 用配方法解下列方程： 数学 九年级上册 BS版 8. 用公式法解下列方程： （1） x2＋3 x ＝－1； 解： x1＝ ， x2＝ . （2）5 x2＋121＝ x2＋44 x ； 解： x1＝ x2＝ . （3）（ x －2）（3 x －5）＝1. 解： x1＝ ， x2＝ . 数学 九年级上册 BS版 9. 用因式分解法解下列方程： （1）（3 x ＋2）2－ x2＝0； 解： x1＝－ ， x2＝－1. （2）（ x －4）2－2 x ＋8＝0； 解： x1＝4， x2＝6. （3）4 y2＝13 y －3. 解： y1＝ ， y2＝3. 数学 九年级上册 BS版 10. 已知Rt△ ABC 三边的长分别为 x ， x ＋1和5，则△ ABC 的周 长为 ，△ ABC 的面积为 ⁠. 12或30　 6或30　 数学 九年级上册 BS版 【解析】①当 x ＋1＜5，即 x ＜4时， x2＋（ x ＋1）2＝52.整理， 得 x2＋ x －12＝0，解得 x ＝－4（舍去）或 x ＝3.∴ x ＋1＝4.∴△ ABC 的周长为3＋4＋5＝12，面积为 ×3×4＝6；②当 x ＋1＞ 5，即 x ＞4时， x2＋52＝（ x ＋1）2，解得 x ＝12.∴ x ＋1＝ 13.∴△ ABC 的周长为5＋12＋13＝30，面积为 ×5×12＝30.故 答案为12或30，6或30. 数学 九年级上册 BS版 11. 定义新运算“※”：对于实数 m ， n ， p ， q ，有[ m ， p ]※[ q ， n ]＝ mn ＋ pq ，其中等式右边是通常的加法和乘法运 算，例如：[2，3]※[4，5]＝2×5＋3×4＝22.若关于 x 的方程[ x2 ＋1， x ]※[5－2 k ， k ]＝0有两个实数根，则 k 的取值范围是 ⁠ ⁠. k ≤ 且 k ≠0　 数学 九年级上册 BS版 【解析】由题意，得 k （ x2＋1）＋（5－2 k ） x ＝0.整理，得 kx2 ＋（5－2 k ） x ＋ k ＝0.∵该方程有两个实数根，∴Δ＝（5－2 k ）2－4 k2≥0，且 k ≠0.解得 k ≤ 且 k ≠0.故答案为 k ≤ 且 k ≠0. 数学 九年级上册 BS版 12. 用合适的方法解下列方程： （1） x2－9 x ＋14＝0； 解： x1＝2， x2＝7. （2）2 x （ x ＋1）＝1； 解： x1＝ ， x2＝ . （3）（2 x －1）2＝ x （3 x ＋2）－7； 解： x1＝4， x2＝2. （4）2（ x －1）2－（ x ＋1）（1－ x ）＝（ x ＋2）2. 解： x1＝ ， x2＝ . 数学 九年级上册 BS版 13. 用换元法解下列方程： （1）（ x －2）2－4（ x －2）＋3＝0； 解： x1＝3， x2＝5. （2）（ x2＋ x ）2＋（ x2＋ x ）＝6； 解： x1＝1， x2＝－2. （3） － ＝20. 解： x1＝ ， x2＝－ . 数学 九年级上册 BS版 14. （选做）若关于 x 的方程（ a ＋1） x2＋（2 a －3） x ＋ a －2 ＝0有两个不相等的实数根，且关于 x 的方程 －1＝ 的 解为整数，求满足条件的所有整数 a 的和. 解：∵关于 x 的方程（ a ＋1） x2＋（2 a －3） x ＋ a －2＝0有两 个不相等的实数根， ∴ a ＋1≠0且Δ＝（2 a －3）2－4（ a ＋1）（ a －2）＞0. 数学 九年级上册 BS版 解得 a ＜ 且 a ≠－1. 由方程 －1＝ ，得（ a －1） x ＝4. ∴ x ＝ . ∴ a －1≠0. 又∵关于 x 的方程 －1＝ 的解为整数， ∴ ≠－1且是整数. ∴ a －1＝－2，－1，1，2或4. 数学 九年级上册 BS版 ∴ a ＝－1，0，2，3或5. 又∵ a ＜ 且 a ≠－1， ∴ a ＝0或2. ∴满足条件的所有整数 a 的和是0＋2＝2. 数学 九年级上册 BS版 演示完毕 谢谢观看 数学 九年级上册 BS版 $$第三章　概率的进一步认识 专题5　概率的综合问题 数学 九年级上册 BS版 1. 为了调查某批乒乓球的质量，根据所做试验，得到这批乒乓 球“优等品”的频率如图所示，则这批乒乓球“优等品”的概 率的估计值（精确到0.01）为（　B　） A. 0.94 B. 0.95 C. 0.96 D. 0.97 B 数学 九年级上册 BS版 2. 有三张正面分别写有数字－2，－1，1的卡片，它们的背面完 全相同.将这三张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，以 其正面的数字作为 x 的值，放回卡片，洗匀，再从三张卡片中随 机抽取一张，以其正面的数字作为 y 的值，两次结果记为（ x ， y ），则使分式 有意义的（ x ， y ）的概率为（　B　） A. B. C. D. B 数学 九年级上册 BS版 3. 如图，顺次连接一张矩形纸板各边中点得到菱形，再顺次连 接菱形各边中点得到一个矩形.将一个飞镖随机投掷到大矩形纸 板上，则飞镖落在阴影区域的概率为（　B　） A. B. C. D. （第3题图） B 数学 九年级上册 BS版 4. 从－2，－1，1，2这四个数中任取一个数作为 a 的值，再从 余下的三个数中任取一个数作为 b 的值，则不等式组有 整数解的概率为 ⁠. 5. 在边长为1的小正方形组成的网格中，有如图所示的 A ， B 两 点，在格点上任意放置点 C ，恰好能使得△ ABC 的面积为1的概 率为 ⁠. 　 　 （第5题图） 数学 九年级上册 BS版 6. 一个不透明的布袋中装有8个红球和16个白球，它们除颜色外 其他都相同. （1）求从袋中随机摸出一个球是红球的概率； 解：（1） P （摸出一个球是红球）＝ ＝ . 数学 九年级上册 BS版 （2）现从袋中取走若干个白球，并放入相同数量的红球.搅拌 均匀后，要使从袋中随机摸出一个球是红球的概率为 ，则需取 走多少个白球？ 解：（2）设取走 x 个白球，则 ＝ .解得 x ＝7. 故需取走7个白球. 数学 九年级上册 BS版 7. 在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色 的球共4个，某小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个 球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复.下表是活动进行中的 一组统计数据： 数学 九年级上册 BS版 摸球的次 数 n 1 000 2 000 4 000 8 000 10 000 … 摸到白球 的次数 m 749 1 499 2 998 6 000 7 501 … 摸到白球 的频率 0.749 0 0.749 5 0.749 5 0.750 0.750 1 … 数学 九年级上册 BS版 （1）根据试验结果，试估算口袋中白球的数量； 解：（1）由题表可知，当 n 很大时，摸到白球的频率将会稳定 于0.75，∴摸到白球的概率为0.75. 设口袋中白球个数为 x ，则 ＝0.75. 解得 x ＝3. 故估计口袋中白球有3个. 数学 九年级上册 BS版 （2）在（1）的基础上，若同时从该口袋中摸出两个球，用画 树状图或列表的方法求这两个球颜色相同的概率. 解：（2）记三个白球分别为A1，A2，A3，黑球为B. 根据题 意，画树状图（略图）如下： 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中两个球颜色相同 的结果有6种， ∴ P （两个球颜色相同）＝ ＝ . 数学 九年级上册 BS版 8. 三张背面完全相同的数字牌，它们的正面分别印有数字1， 2，3，将它们背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，记录牌上 的数字并把牌放回洗匀，再重复这样的步骤两次，得到三个数 字 a ， b ， c ，则以长为 a ， b ， c 的线段正好构成等边三角形的 概率是 ⁠. 　 数学 九年级上册 BS版 由树状图可知，共有27种等可能的结果，其中构成等边三角形 的结果有3种，∴ P （以 a ， b ， c 为长正好构成等边三角形）＝ ＝ .故答案为 . 【解析】根据题意，画树状图（略图）如下： 数学 九年级上册 BS版 9. 一个不透明的口袋中装有同型号的红球 m 个，黄球 n 个.小明 做试验：往该口袋中再放入同型号的红球1个，把球摇匀后，从 中任取一球出来.经过大量重复试验，小明发现取出红球的频率 越来越稳定于0.5.小聪做试验：从该口袋中取出2个红球，把球 摇匀后，再从口袋中任取一球出来.经过大量重复试验，小聪发 现取出红球的频率越来越稳定于0.2，则 m ＋ n 的值是 ⁠. 7　 数学 九年级上册 BS版 【解析】根据题意，得整理，得 解得经检验，是原分式方程 组的解，且符合题意.∴ m ＋ n ＝7.故答案为7. 数学 九年级上册 BS版 10. 为监控某条生产线上产品的质量，检测员每隔相同时间抽取 一件产品，并测量其尺寸.在一天的抽检结束后，检测员将测得 的15个数据按从小到大的顺序整理成如下表格： 编号 尺寸/cm 编号 尺寸/cm 编号 尺寸/cm 1 8.72 6 8.96 11 9.04 2 8.88 7 8.97 12 9.06 3 8.92 8 8.98 13 9.07 4 8.93 9 a 14 9.08 5 8.94 10 9.03 15 b 数学 九年级上册 BS版 按照生产标准，产品等次规定如下： 尺寸 x /cm 产品等次 8.97≤ x ≤9.03 特等品 8.95≤ x ≤9.05 优等品 8.90≤ x ≤9.10 合格品 x ＜8.90或 x ＞9.10 非合格品 数学 九年级上册 BS版 注：在统计优等品个数时，将特等品计算在内；在统计合格品 时，将优等品（含特等品）计算在内. （1）已知此次抽检的合格率为80％，请判断编号为15的产品是 否为合格品，并说明理由. 数学 九年级上册 BS版 解：（1）编号为15的产品不是合格品.理由如下：∵抽检的合 格率为80％， ∴合格品有15×80％＝12（件）， 即非合格品有3件. 而从编号1至编号14对应的产品中，只有编号1与编号2对应的产 品为非合格品， 故编号为15的产品不是合格品. 数学 九年级上册 BS版 ①求 a 的值； ②将这些优等品分成两组，一组尺寸大于9 cm，另一组尺寸不 大于9 cm，从这两组中各随机抽取1件进行复检，求抽取到的2 件产品都是特等品的概率. （2）已知此次抽检出的优等品尺寸的中位数为9 cm. 解：（2）①按照优等品的标准，从编号6到编号11对应的6件产 品为优等品，中间两件产品的尺寸数据分别为8.98和 a ， ∴ ＝9. 解得 a ＝9.02. 数学 九年级上册 BS版 ②在优等品当中，编号6，7，8对应的产品尺寸不大于9 cm，分 别记为A1，A2，A3；编号9，10，11对应的产品尺寸大于9 cm， 分别记为B1，B2，B3，其中的特等品为A2，A3，B1，B2.根据题 意，列表如下： B1 B2 B3 A1 （A1，B1） （A1，B2） （A1，B3） A2 （A2，B1） （A2，B2） （A2，B3） A3 （A3，B1） （A3，B2） （A3，B3） 数学 九年级上册 BS版 由表可知，共有9种等可能的结果，其中2件产品都是特等品的 结果有4种， ∴ P （抽取到的2件产品都是特等品）＝ . 数学 九年级上册 BS版 11. （选做）如图，已知 AC 与 BD 是☉ O 的两条直径，首尾顺次 连接点 A ， B ， C ， D 得四边形 ABCD . 若 AC ＝10，∠ BAC ＝ 36°，现随机向该圆形内掷一枚小针，设针尖落在阴影区域内的 概率为 P1，针尖落在该圆形的其余区域内的概率为 P2，求 的 值.（提示： S扇形＝ π R2， n °为圆心角度数， R 为半径） 数学 九年级上册 BS版 解：∵ AC 与 BD 是☉ O 的两条直径， ∴ OA ＝ OB ＝ OC ＝ OD . ∵ OA ＝ OB ， ∴∠ OAB ＝∠ OBA . ∵ OA ＝ OD ，∴∠ OAD ＝∠ ODA . ∴∠ OAB ＋∠ OAD ＝ ＝90°， 即∠ DAB ＝90°. 同理，得∠ ADC ＝∠ DCB ＝∠ CBA ＝90°. ∴四边形 ABCD 是矩形. 数学 九年级上册 BS版 ∵点 O 是 BD 的中点， ∴ S△ COD ＝ S△ BOC ， S△ AOD ＝ S△ AOB . ∵∠ BAC ＝36°＝∠ OBA ， ∴∠ BOC ＝∠ DOA ＝72°. ∴ S阴影＝ S扇形 BOC ＋ S扇形 AOD ＝π× × ＋π× × ＝π×52×2× ＝10π. ∵ S☉ O ＝π× ＝52π＝25π， 数学 九年级上册 BS版 ∴ P1＝ ＝ . ∴ P2＝1－ P1＝1－ ＝ . ∴ ＝ ＝ . 数学 九年级上册 BS版 演示完毕 谢谢观看 数学 九年级上册 BS版 $$第四章　图形的相似 专题6　相似三角形的基本模型 数学 九年级上册 BS版 1. 如图，在△ ABC 中，已知点 D ， E 分别在 AB ， AC 上.若 DE ∥ BC ， ＝ ， DE ＝8，则 BC 的长为（　A　） A. 20 B. 10 C. 40 D. （第1题图） A 数学 九年级上册 BS版 2. 如图，在△ ABC 中，已知点 D 为边 AC 上的一点，且∠ DBC ＝∠ A ， BC ＝ ， AC ＝3，则 AD ＝（　B　） A. 2 B. 1 C. D. （第2题图） B 数学 九年级上册 BS版 3. 如图，已知△ ABC 和△ ADE 都是等腰直角三角形，且∠ ABC ＝∠ ADE ＝90°，连接 BD ， CE ，则 的值为（　B　） A. B. C. D. 2 （第3题图） B 数学 九年级上册 BS版 4. 如图，在△ ABC 中，已知∠ ACB ＝90°， CD ⊥ AB ，垂足为 D ， AD ＝4， CD ＝6，则 BD 的长为 ⁠. （第4题图） 9　 数学 九年级上册 BS版 5. 如图，在正方形 ABCD 中，△ ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转 到△ AB ' C '位置， AB '， AC '分别交对角线 BD 于点 E ， F . 若 AE ＝4，则 EF · ED 的值为 ⁠. （第5题图） 16　 数学 九年级上册 BS版 6. 如图，等边三角形 ABC 的边长为6，点 P 为 BC 上一点， BP ＝ 2，点 D 为 AC 上一点.若∠ APD ＝60°，则 CD 的长为 ⁠. （第6题图） 　 数学 九年级上册 BS版 7. 如图，在矩形 ABCD 中，已知点 E 是 BC 的中点，连接 AE ，过 点 D 作 DF ⊥ AE ，垂足为 F . （1）求证：△ ABE ∽△ DFA ； （1）证明：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠ B ＝90°， AD ∥ BC . ∴∠ AEB ＝∠ DAF . ∵ DF ⊥ AE ， ∴∠ DFA ＝90°. ∴∠ B ＝∠ DFA . ∴△ ABE ∽△ DFA . 数学 九年级上册 BS版 （2）若 AB ＝6， BC ＝4，求 DF 的长. （2）解：∵△ ABE ∽△ DFA ，∴ ＝ . ∵ BC ＝4，点 E 是 BC 的中点， ∴ BE ＝ BC ＝ ×4＝2. 在Rt△ ABE 中，根据勾股定理，得 AE ＝ ＝ ＝2 . 又∵ AD ＝ BC ＝4， AB ＝6， ∴ ＝ .∴ DF ＝ . 数学 九年级上册 BS版 8. 如图，已知 AD 与 BC 交于点 O ， EF 过点 O ，交 AB 于点 E ， 交 CD 于点 F ， BO ＝1， CO ＝3， AO ＝ ， DO ＝ . （1）求证：∠ A ＝∠ D ； 证明：（1）∵ BO ＝1， CO ＝3， AO ＝ ， DO ＝ ，∴ ＝ ＝ . 又∵∠ AOB ＝∠ DOC ， ∴△ AOB ∽△ DOC . ∴∠ A ＝∠ D . 数学 九年级上册 BS版 （2）若 AE ＝ BE ，求证： CF ＝ DF . 证明：（2）∵∠ A ＝∠ D ，∴ AB ∥ CD . ∴△ AOE ∽△ DOF ，△ BOE ∽△ COF . ∴ ＝ ， ＝ . ∴ ＝ . 又∵ AE ＝ BE ，∴ CF ＝ DF . 数学 九年级上册 BS版 9. 如图，在平面直角坐标系中，已知点 P 的坐标为（0，4）， 直线 y ＝ x －3与 x 轴、 y 轴分别交于点 A ， B ，点 M 是直线 AB 上的一个动点，则线段 PM 长度的最小值为 ⁠. 　 （第9题图） 数学 九年级上册 BS版 【解析】如图，过点 P 作 PM ⊥ AB 于点 M . 由垂线段最短，可知 此时线段 PM 的长度最小.∵直线 y ＝ x －3与 x 轴交于点 A （4， 0），与 y 轴交于点 B （0，－3），∴ AO ＝4， BO ＝3.∴ AB ＝ 5， PB ＝7.∵∠ PBM ＝∠ ABO ，∠ PMB ＝∠ AOB ＝90°，∴△ PBM ∽△ ABO . ∴ ＝ ，即 ＝ .∴ PM ＝ .故答案为 . 数学 九年级上册 BS版 10. 如图，在▱ ABCD 中，∠ ABC 的平分线交 AC 于点 E ，交 AD 于点 F ，交 CD 的延长线于点 G . 若 AF ＝2 FD ，则 的值 为 ⁠. （第10题图） 　 数学 九年级上册 BS版 【解析】由 AF ＝2 DF ，可以假设 DF ＝ k ，则 AF ＝2 k ， AD ＝3 k .∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AD ∥ BC ， AB ∥ CD ， AB ＝ CD . ∴∠ AFB ＝∠ FBC ＝∠ DFG ，∠ ABF ＝∠ G . ∵ BE 平分 ∠ ABC ，∴∠ ABF ＝∠ CBG . ∴∠ ABF ＝∠ AFB ＝∠ DFG ＝∠ G . ∴ AB ＝ CD ＝ AF ＝2 k ， DG ＝ DF ＝ k .∴ CG ＝ CD ＋ DG ＝3 k .∵ AB ∥ DG ，∴△ ABE ∽△ CGE . ∴ ＝ ＝ ＝ .故答案 为 . 数学 九年级上册 BS版 11. 如图，在△ ABC 中， AC ＝4， BC ＝3，∠ ACB ＝90°，点 P 是线段 AC 上不与点 A 重合的动点，过点 P 作 PQ ⊥ AC 交 AB 边 于点 Q . 将△ APQ 绕点 P 按顺时针方向旋转90°得到△ A ' PQ '， 设线段 AP 的长为4 t . （1）直接用含 t 的代数式表示线段 PQ 的长； 数学 九年级上册 BS版 解：（1）∵ PQ ⊥ AC ，∠ ACB ＝90°， ∴∠ APQ ＝∠ ACB ＝90°. ∴ PQ ∥ BC . ∴△ APQ ∽△ ACB . ∴ ＝ . ∵ AC ＝4， BC ＝3， AP ＝4 t ， ∴ ＝ . ∴ PQ ＝3 t ，即线段 PQ 的长为3 t . 数学 九年级上册 BS版 （2）当点 B 落在线段 A ' Q '上时，求 t 的值. 解：（2）如图. 由题意，得 A ' P ＝ AP ＝4 t ， PQ '＝ PQ ＝3 t ， AC ＝4， BC ＝3， ∴ CQ '＝ AP ＋ PQ '－ AC ＝4 t ＋3 t －4＝7 t －4. ∵ PQ ⊥ AC ，∠ ACB ＝90°， ∴ PQ ∥ BC . ∴△ BCQ '∽△ A ' PQ '. ∴ ＝ . ∴ ＝ . 解得 t ＝ .∴ t 的值为 . 数学 九年级上册 BS版 12. 如图，已知点 B 在线段 AC 上，点 D ， E 在 AC 同侧，∠ A ＝ ∠ C ＝90°， BD ⊥ BE ， AD ＝ BC . （1）求证： AC ＝ AD ＋ CE . （1）证明：∵ BD ⊥ BE ，∴∠ ABD ＋∠ CBE ＝180°－90°＝90°. ∵∠ C ＝90°，∴∠ CBE ＋∠ E ＝180°－90°＝90°. ∴∠ ABD ＝∠ E . 在△ ABD 和△ CEB 中， ∴△ ABD ≌△ CEB （AAS）. ∴ AB ＝ CE . ∴ AC ＝ AB ＋ BC ＝ AD ＋ CE . 数学 九年级上册 BS版 （2）若 AD ＝3， CE ＝5，点 P 为线段 AB 上的动点，连接 DP ， 作 PQ ⊥ DP ，交直线 BE 于点 Q . 当点 P 与 A ， B 两点不重合时， 求 的值. 数学 九年级上册 BS版 （2）解：如图，过点 Q 作 QF ⊥ BC 于点 F ， 则△ BFQ ∽△ BCE . ∴ ＝ . 由（1）知， AB ＝ CE ＝5. 又∵ BC ＝ AD ＝3， ∴ ＝ .∴ QF ＝ BF . ∵ DP ⊥ PQ ， ∴∠ APD ＋∠ FPQ ＝180°－90°＝90°. 数学 九年级上册 BS版 又∵∠ FPQ ＋∠ PQF ＝180°－90°＝90°， ∴∠ APD ＝∠ PQF . 又∵∠ A ＝∠ PFQ ＝90°，∴△ ADP ∽△ FPQ . ∴ ＝ ，即 ＝ . ∴5 AP － AP2＋ AP · BF ＝3· BF . 整理，得（ AP － BF ）（ AP －5）＝0. ∵点 P 与 A ， B 两点不重合， ∴ AP ≠5.∴ AP ＝ BF . 数学 九年级上册 BS版 ∴ ＝ ＝ . 由△ ADP ∽△ FPQ ，得 ＝ . ∴ ＝ . 数学 九年级上册 BS版 13. （选做）在△ ABC 中，∠ BAC ＝90°， AB ＝ AC ，点 D 在 BC 所在的直线上运动，作∠ ADE ＝45°（点 A ， D ， E 按逆时针方 向排列）. （1）如图1，若点 D 在线段 BC 上， DE 交 AC 于点 E ，求证：△ ABD ∽△ DCE . 图1 数学 九年级上册 BS版 （1）证明：∵∠ BAC ＝90°， AB ＝ AC ， ∴∠ B ＝∠ C ＝45°. 又∵∠ ADE ＝45°， ∴∠ ADB ＋∠ CDE ＝∠ ADB ＋∠ BAD ＝135°. ∴∠ BAD ＝∠ CDE . ∴△ ABD ∽△ DCE . 图1 数学 九年级上册 BS版 （2）如图2，若点 D 在 BC 的延长线上， DE 的反向延长线与 AC 的延长线相交于点 F . 找出图2中的相似三角形，并证明. 图2 （2）解：△ ACD ∽△ ADF . 证明如下： ∵∠ ACB ＝45°，∠ ADE ＝45°， ∴∠ ACD ＝∠ ADF ＝135°. 又∵∠ CAD ＝∠ DAF ， ∴△ ACD ∽△ ADF . 数学 九年级上册 BS版 （3）如图3，若点 D 在 BC 的反向延长线上，则图3中存在相似 三角形吗？若存在，请写出相似的三角形，并证明；若不存 在，请说明理由. 图3 （3）解：存在，△ ADB ∽△ DEC . 证明如下： ∵∠ ABC ＝∠ ACB ＝45°， ∴∠ ABD ＝∠ DCE ＝135°，∠ ADB ＋∠ BAD ＝45°. ∵∠ ADE ＝45°， ∴∠ ADB ＋∠ CDE ＝45°. ∴∠ BAD ＝∠ CDE . ∴△ ADB ∽△ DEC . 数学 九年级上册 BS版 演示完毕 谢谢观看 数学 九年级上册 BS版 $$第六章　反比例函数 专题8　反比例函数y＝kx(k≠0)中k的几何意义 数学 九年级上册 BS版 1. 如图，已知等边三角形 OAB 的顶点 B 在 x 轴正半轴上，反比 例函数 y ＝ 图象的一支经过点 A ，则△ AOB 的面积是 （　D　） A. B. 2 C. D. 4 （第1题图） D 数学 九年级上册 BS版 2. （2022·长春）如图，在平面直角坐标系中，点 P 在反比例函 数 y ＝ （ k ＞0， x ＞0）的图象上，其纵坐标为2，过点 P 作 PQ ∥ y 轴，交 x 轴于点 Q ，将线段 QP 绕点 Q 按顺时针方向旋转60° 得到线段 QM . 若点 M 也在该反比例函数的图象上，则 k 的值为 （　C　） A. B. C. 2 D. 4 （第2题图） C 数学 九年级上册 BS版 3. （2023·张家界）如图，矩形 OABC 的顶点 A ， C 分别在 y 轴、 x 轴的正半轴上，点 D 在 AB 上，且 AD ＝ AB ，反比例函数 y ＝ 的图象经过点 D 及矩形 OABC 的对称中心 M ，连接 OD ， OM ， DM . 若△ ODM 的面积为3，则 k 的值为（　C　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 （第3题图） C 数学 九年级上册 BS版 4. 如图，已知点 A 是反比例函数 y ＝－ （ x ＜0）的图象上的一 点，过点 A 作▱ ABCD ，使点 B ， C 在 x 轴上，点 D 在 y 轴上， 则▱ ABCD 的面积为 ⁠. （第4题图） 6　 数学 九年级上册 BS版 5. 如图，在平面直角坐标系中，已知矩形 ABCD 的边 AB 在 y 轴 上，点 C 的坐标为（2，－2）， AO ∶ BO ＝1∶2，点 D 在函数 y ＝ （ x ＞0）的图象上，则 k 的值为 ⁠. 2　 （第5题图） 数学 九年级上册 BS版 6. 如图，已知双曲线 y ＝ （ x ＞0）与△ OAB 交于点 A ， C ，点 A ， B ， C 横坐标的比为5∶5∶2，且 S△ OAB ＝21，则 k ＝ ⁠. （第6题图） 8　 数学 九年级上册 BS版 7. 已知图中的曲线是反比例函数 y ＝ （ m 为常数）的图象的 一支. （1）根据图象位置，求 m 的取值范围； 解：（1）∵这个反比例函数图象的一支位于 第一象限， ∴ m －5＞0.解得 m ＞5. 数学 九年级上册 BS版 （2）若在该函数的图象上任取一点 A ，过点 A 作 x 轴的垂线， 垂足为 B ，当△ OAB 的面积为4时，求 m 的值. 解：（2）由图可知， k ＝ m －5＞0， ∴ S△ OAB ＝ ｜ k ｜＝ （ m －5）. ∵△ OAB 的面积为4， ∴ （ m －5）＝4.解得 m ＝13. 数学 九年级上册 BS版 8. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 y ＝ （ x ＞0， k ＞ 0）的图象经过点 A （ m ， n ）， B （2，1），且 n ＞1.过点 B 作 y 轴的垂线，垂足为 C . 若△ ABC 的面积为2，求点 A 的坐标. 数学 九年级上册 BS版 解：∵ B （2，1），∴ BC ＝2.∵△ ABC 的面积为2，∴ ×2× （ n －1）＝2.解得 n ＝3.∵点 B （2，1）在 y ＝ 的图象上，∴ k ＝2.∴反比例函数的表达式为 y ＝ .当 n ＝3时， m ＝ ＝ .∴点 A 的坐标为 . 数学 九年级上册 BS版 9. （2023·锦州）如图，在平面直角坐标系中，△ AOC 的边 OA 在 y 轴上，点 C 在第一象限内，点 B 为 AC 的中点，反比例函数 y ＝ 的图象经过 B ， C 两点.若△ AOC 的面积是6，则 k 的 值为 ⁠. 4　 数学 九年级上册 BS版 【解析】如答图，过 B ， C 两点分别作 y 轴的垂线，垂足分别为 点 D ， E ，则 BD ∥ CE . ∴△ ABD ∽△ ACE . ∴ ＝ .设点 B 的坐标为 ，则 BD ＝ m .∵点 B 为 AC 的中点，∴ ＝ ＝ .∴ CE ＝2 BD ＝2 m .∴点 C 的坐标为 . 答图 数学 九年级上册 BS版 设直线 BC 的函数表达式为 y ＝ ax ＋ b （ a ≠0），则解得 ∴直线 BC 的函数表达式为 y ＝－ x ＋ .当 x ＝0时， y ＝ .∴点 A 的坐标为 .∵△ AOC 的面积是6， ∴ · ·2 m ＝6.解得 k ＝4.故答案为4. 答图 数学 九年级上册 BS版 10. （2022·衢州）如图，在△ ABC 中，边 AB 在 x 轴上，边 AC 交 y 轴于点 E ，反比例函数 y ＝ 的图象恰好经过点 C ，与 边 BC 交于点 D . 若 AE ＝ CE ， CD ＝2 BD ， S△ ABC ＝6，则 k ＝ ⁠. 　 数学 九年级上册 BS版 【解析】如答图，过点 C 作 CF ⊥ x 轴于点 F ，过点 D 作 DG ⊥ x 轴于点 G . 设点 C 的坐标为 ，则 OF ＝ m ， CF ＝ n ， mn ＝ k .∵ AE ＝ CE ， CD ＝2 BD ，∴ ＝ ， ＝ .∵ OE ⊥ x 轴， CF ⊥ x 轴，∴ OE ∥ CF . ∴△ AOE ∽△ AFC . ∴ ＝ ＝ ，即 AO ＝ AF . ∴ AO ＝ OF ＝ m ，又∵ CF ⊥ x 轴， DG ⊥ x 轴，∴ CF ∥ DG ，∴△ BDG ∽△ BCF ， ∴ ＝ ＝ ，即 ＝ ＝ .∴ DG ＝ n ， BG ＝ BF . 答图 数学 九年级上册 BS版 令 y ＝ ＝ n ，得 x ＝ ＝3 m .∴ D ， OG ＝3 m .∴ FG ＝ OG － OF ＝2 m .由 BG ＝ BF ，得 BF ＝ FG ＝3 m .∴ AB ＝ AO ＋ OF ＋ BF ＝ m ＋ m ＋3 m ＝5 m .∵ S△ ABC ＝6，∴ AB · CF ＝ ×5 mn ＝6.解得 mn ＝ ，即 k ＝ .故答案为 . 答图 数学 九年级上册 BS版 11. 如图，在△ ABC 中，已知 AC ＝ BC ＝5， AB ＝8， AB ⊥ x 轴 于点 A . 反比例函数 y ＝ （ x ＞0）的图象经过点 C ，交 AB 于点 D . （1）若 OA ＝ AB ，求 k 的值； 数学 九年级上册 BS版 解：（1）如答图，过点 C 作 CE ⊥ AB 于点 E ， CF ⊥ OA 于点 F ，则 CF ＝ AE . ∵ AB ＝8， AC ＝ BC ， CE ⊥ AB ，∴ BE ＝ AE ＝ CF ＝4. 在Rt△ ACE 中，由勾股定理，得 CE ＝3. ∵ OA ＝ AB ＝8，∴ OF ＝5. ∴点 C （5，4）. ∵点 C 在反比例函数 y ＝ （ x ＞0）的图象上， ∴ k ＝20. 答图 数学 九年级上册 BS版 （2）若 BC ＝ BD ，连接 OC ，求△ OAC 的面积. 解：（2）∵ BC ＝ BD ＝5， AB ＝8，∴ AD ＝3. 设点 A 的坐标为（ m ，0），则 C ， D 两点的坐 标分别为（ m －3，4），（ m ，3）. ∵ C ， D 两点在反比例函数 y ＝ （ x ＞0）的图象上， ∴4（ m －3）＝3 m .解得 m ＝12. ∴点 A （12，0）， C （9，4）， D （12，3）. ∴ S△ OAC ＝ ×12×4＝24. 数学 九年级上册 BS版 12. （选做）如图，已知一次函数 y ＝ kx ＋ b 与反比例函数 y ＝ 的图象交于点 A ， B ，且直线 AB 交 x 轴于点 D ， Rt△ AOC 的面积为3. （1）求一次函数的表达式； 数学 九年级上册 BS版 解：（1）∵点 A 在反比例函数 y ＝ 的图象 上， AC ⊥ x 轴于点 C ， S△ AOC ＝3， ∴ c ＝2 S△ AOC ＝2×3＝6. ∴反比例函数的表达式为 y ＝ . 把 A ， B （ n ，－3）两点分别代入 表达式，解得 m ＝2， n ＝－2. ∴点 A ， B . ∵一次函数图象经过点 A ， B ， ∴解得 ∴一次函数的表达式为 y ＝ x －1. 数学 九年级上册 BS版 （2）直接写出不等式 kx ＋ b ＞ 的解集； 解：（2）观察图象可得，不等式 kx ＋ b ＞ 的解集为－2＜ x ＜0或 x ＞3. 数学 九年级上册 BS版 解：（3）∵ AC ⊥ x 轴，∴点 C . 当 y ＝ x －1＝0时，解得 x ＝1. ∴点 D .∴ CD ＝3－1＝2. 如图，过点 B 作 BE ⊥ AC 交 AC 延长线于点 E ，过点 P 作 PF ⊥ AC 交 AE 于点 F . 设点 P （ n ， n －1）. ∴ S△ ABC ＝ AC · BE ＝ ×2× ＝5， S△ APC ＝ AC · PF ＝ ×2×（3－ n ）＝3－ n . （3）点 P 是直线 AB 上的动点，若 CP 把△ ABC 分成面积比为 2∶3的两部分，求点 P 的坐标. 数学 九年级上册 BS版 ①当 S△ APC ＝ S△ ABC ＝ ×5＝2时，有3－ n ＝2.解得 n ＝1. ②当 S△ APC ＝ S△ ABC ＝ ×5＝3时，有3－ n ＝3.解得 n ＝0. 当 n ＝1时， n －1＝0；当 n ＝0时， n －1＝－1. ∴符合条件的点 P 的坐标为 或 . 数学 九年级上册 BS版 演示完毕 谢谢观看 数学 九年级上册 BS版 $$第六章　反比例函数 专题9　反比例函数与一次函数的综合问题 数学 九年级上册 BS版 1. 已知正比例函数 y ＝－2 x 与反比例函数 y ＝ 图象的一个交点 坐标为（－1，2），则另一个交点的坐标为（　D　） A. （2，－1） B. （－2，1） C. （－2，－1） D. （1，－2） D 数学 九年级上册 BS版 2. 已知一次函数 y1＝ kx ＋ b 和反比例函数 y2＝ 的图象如图所 示，则使 y1＞ y2的 x 的取值范围是（　C　） A. －2＜ x ＜3 B. x ＜－2或0＜ x ＜3 C. －2＜ x ＜0或 x ＞3 D. x ＜－2或 x ＞3 （第2题图） C 数学 九年级上册 BS版 3. 如图，在平面直角坐标系中，已知四边形 OABC 是菱形，点 A 的坐标为（10，0），对角线 OB ， AC 相交于点 D ，反比例函数 y ＝ （ x ＞0）的图象经过点 D ，交 AB 于点 E ，且 OB ∙ AC ＝ 160，则点 E 的坐标为（　B　） A. （3，8） B. C. （4，8） D. （12，4） （第3题图） B 数学 九年级上册 BS版 4. 如图，已知 A （ m ＋3，2）， B 是反比例函数 y ＝ （ k ≠0）图象上两点，连接 OA ， OB ，则△ OAB 的面积 为 ⁠. （第4题图） 　 数学 九年级上册 BS版 5. （2023·成都）若点 A ， B （－1， y2）都在反比例函 数 y ＝ 的图象上，则 y1 y2（填“＞”或“＜”）. 6. （2022·黄石）如图，已知反比例函数 y ＝ 的图象经过矩形 ABCD 对角线的交点 E 和点 A ，点 B ， C 在 x 轴上，△ OCE 的面 积为6，则 k ＝ ⁠. ＞　 8　 （第6题图） 数学 九年级上册 BS版 7. 如图，已知一次函数 y1＝－ x ＋7的图象与反比例函数 y2＝ 的 图象交于 A ， B 两点，且点 A 的横坐标为－1. （1）求该反比例函数的表达式； 解：（1）把 x ＝－1代入 y1＝－ x ＋7，得 y1＝1 ＋7＝8.∴点 A （－1，8）. 把 A （－1，8）代入 y2＝ ，得8＝ . 解得 k ＝－8. ∴反比例函数的表达式为 y ＝－ . 数学 九年级上册 BS版 （2）求△ AOB 的面积； 解：（2）设 y ＝－ x ＋7与 y 轴交于点 C . 易知 C （0，7）.∴ OC ＝7. 联立 解得或 ∴点 B （8，－1）. ∴ S△ AOB ＝ S△ AOC ＋ S△ BOC ＝ ×7×1＋ ×7×8＝ . 数学 九年级上册 BS版 （3）直接写出满足 y1≤ y2时 x 的取值范围. 解：（3）当 y1≤ y2时， x 的取值范围是－1≤ x ＜0或 x ≥8. 数学 九年级上册 BS版 8. 如图，已知直线 l 分别与 x 轴， y 轴交于 A ， D 两点，与反比例 函数 y ＝ 的图象在第一象限内交于点 B ， BC ⊥ x 轴于 点 C ，点 D 为 AB 的中点， AC ＝6， CD ＝5. （1）求反比例函数的表达式； 数学 九年级上册 BS版 解：（1）∵ BC ⊥ x 轴，点 D 为 AB 的中点， ∴ AB ＝2 CD ＝10. ∵ AC ＝6，∴ BC ＝ ＝8. ∵ OD ⊥ OC ，∴ OC ＝ AC ＝3. ∴点 B 的坐标为 . 把 B （3，8）代入反比例函数表达式，得8＝ . 解得 k ＝24. ∴反比例函数的表达式为 y ＝ . 数学 九年级上册 BS版 （2）若点 P 是该反比例函数图象上一点，且 m ＞3.请直 接写出 n 的取值范围. 解：（2）∵点 P 是该反比例函数图象 上一点， ∴ nm ＝24. ∵ m ＞3，∴ ＞3. ∴ n ＜8. 又∵ n ＞0， ∴0＜ n ＜8，即 n 的取值范围为0＜ n ＜8. 数学 九年级上册 BS版 9. 在平面直角坐标系中，直线 l 过 A （4，1）， B （5，0）两 点，且点 A 在反比例函数 y ＝ （ k ≠0）的图象上.将直线 l 向下 平移 个单位长度，可以使直线 l 与反比例函数的图象恰 好只有一个公共点. 1或9　 数学 九年级上册 BS版 10. 如图，直线 AB 与双曲线 y ＝ （ k ＞0）在第一象限内交于 A ， B 两点，与 x 轴交于点 C ，点 B 为线段 AC 的中点，连接 OA . 若△ AOC 的面积为3，则 k 的值为 ⁠. 2　 数学 九年级上册 BS版 【解析】如答图，分别过点 A ， B 作 AM ⊥ OC ， BN ⊥ OC ，垂 足分别为点 M ， N . ∵点 B 是 AC 的中点，∴ AB ＝ BC . ∵ AM ∥ BN ，∴ ＝ ＝ ＝ .∴ CN ＝ MN . 设 BN ＝ a ，则 AM ＝2 a .∵点 A ， B 在反比例函数的图象上，∴ OM · AM ＝ ON · BN . ∴ OM ＝ ON . ∴ OM ＝ MN ＝ NC . 设 OM ＝ b ，则 OC ＝3 b .∵△ AOC 的面积为3，即 OC · AM ＝3，∴ ·3 b ·2 a ＝3.∴ ab ＝1. ∴ S△ AOM ＝ OM · AM ＝ · b ·2 a ＝ ab ＝1＝ ｜ k ｜.∴ k ＝－2 （舍去）或 k ＝2.故答案为2. 答图 数学 九年级上册 BS版 11. 如图，已知点 A 在反比例函数 y ＝ 的图象上， AB ⊥ x 轴于点 B ， AB 的垂直平分线 PD 交双曲线于点 P ， AP ⊥ BP ， 点 A 的横坐标为 m . （1）求 k 与 m 之间的函数关系式； 数学 九年级上册 BS版 解：（1）∵点 A 的横坐标为 m ，点 A 在反比例 函数 y ＝ 的图象上， ∴点 A . ∴ OB ＝ m ， AB ＝ . ∵ AP ⊥ BP ， DP 垂直平分 AB ， ∴△ APB 是等腰直角三角形. ∴点 D 是 AB 的中点， ∴ PD ＝ AD ＝ BD ＝ ， 数学 九年级上册 BS版 ∴点 P . ∵点 P 在反比例函数 y ＝ 的图象上， ∴ ＝ k ， ∴ k ＝2 m2. 数学 九年级上册 BS版 （2）连接 OA ， OP ，若△ AOP 的面积为6，求 k 的值. 解：（2）如图，设 OP 交 AB 于点 E . 由（1）可知， k ＝2 m2， ∴点 A ， P . ∴ OB ＝ m ， PD ＝2 m － m ＝ m . ∴ OB ＝ PD . ∵ AB ⊥ OB ， PD ⊥ AB ， ∴ OB ∥ PD . ∴∠ OBE ＝∠ PDE ，∠ EOB ＝∠ EPD . 数学 九年级上册 BS版 ∴△ OBE ≌△ PDE （ASA）. ∴ BE ＝ DE . ∴ BE ＝ BD ＝ m . ∴ AE ＝ AB － BE ＝2 m － m ＝ m . ∵ S△ AOP ＝ S△ AOE ＋ S△ PAE ＝ OB · AE ＋ PD · AE ＝ xP · AE ＝6， ∴ ·2 m · m ＝6. ∴ m2＝4. ∴ k ＝2 m2＝2×4＝8. 数学 九年级上册 BS版 12. （选做）如图，在平面直角坐标系中，已知 B ， C 两点在 x 轴的正半轴上，以线段 BC 为边向上作正方形 ABCD ，顶点 A 在 正比例函数 y ＝2 x 的图象上.反比例函数 y ＝ （ x ＞0， k ＞0） 的图象经过点 A ，且与边 CD 相交于点 E . 数学 九年级上册 BS版 （1）若 BC ＝4，求点 E 的坐标. 解：（1）在正方形 ABCD 中， AB ＝ BC ＝ 4，点 A 在 y ＝2 x 的图象上，∴点 A （2，4）. ∵点 A （2，4）在 y ＝ 的图象上， ∴ k ＝2×4＝8.∵ OC ＝ OB ＋ BC ＝6， ∴ xE ＝6. 将 xE ＝6代入 y ＝ 中，得 yE ＝ . ∴点 E 的坐标为 . 数学 九年级上册 BS版 （2）连接 AE ， OE . ①若△ AOE 的面积为24，求 k 的值. ②是否存在某一位置使得 AE ⊥ OA ？若存在，求出 k 的值；若 不存在，请说明理由. 解：（2）①设 A （ a ，2 a ）（ a ＞0），则 点 E .∵ S△ COE ＝ S△ AOB ＝ ｜ k ｜， ∴ S梯形 ABCE ＝ S△ AOE ＝24. ∴ × ×2 a ＝24.可得 a2＝9. ∴ k ＝2 a2＝18. 数学 九年级上册 BS版 ②不存在，理由如下：假设存在. ∵ AE ⊥ OA ，∴∠ OAB ＋∠ BAE ＝90°. ∵∠ BAD ＝∠ BAE ＋∠ EAD ＝90°， ∴∠ OAB ＝∠ EAD . 又∵ AB ＝ AD ，∠ ABO ＝∠ D ＝90°， ∴△ OAB ≌△ EAD （ASA）.∴ OB ＝ DE . 由①可知， A （ a ，2 a ）（ a ＞0）， E . ∴ OB ＝ a ， DE ＝2 a － ＝ . ∴ a ＝ . ∴ a ＝0.这与 a ＞0矛盾，不符合题意.故不存在. 数学 九年级上册 BS版 演示完毕 谢谢观看 数学 九年级上册 BS版 $$第二章　一元二次方程 专题4　一元二次方程根的判别式、 根与系数的关系的综合应用问题 数学 九年级上册 BS版 1. 下列方程中，有两个相等实数根的是（　A　） A. x2＋9＝6 x B. x2－1＝0 C. x2－4 x ＝4 D. x2－2 x ＝0 2. 已知α，β是一元二次方程 x2＋ x －2＝0的两个实数根，则α＋β －αβ的值是（　B　） A. 3 B. 1 C. －1 D. －3 A B 数学 九年级上册 BS版 3. 已知关于 x 的方程 kx2－6 x ＋9＝0有实数根，则 k 的取值范围 是（　D　） A. k ＜1且 k ≠0 B. k ＜1 C. k ≤1且 k ≠0 D. k ≤1 D 数学 九年级上册 BS版 4. 若关于 x 的一元二次方程 x2－10 x ＋ m ＝0有实数根，则 m 的取 值范围是 ⁠. 5. 对于任意实数 k ，关于 x 的方程 x2－（ k ＋4） x ＋8 k ＝0的根 的情况为 ⁠. 6. 设 x1， x2是方程 x2－4 x ＋2＝0的两根，则： （1） ＋ ＝ ⁠； （2）｜ x1－ x2｜＝ ⁠； （3）（ x1＋1）（ x2＋1）＝ ⁠. m ≤25　 有两个不相等的实数根　 2　 2 　 7　 数学 九年级上册 BS版 7. （2023·岳阳）已知关于 x 的一元二次方程 x2＋2 mx ＋ m2－ m ＋2＝0有两个不相等的实数根，且 x1＋ x2＋ x1 x2＝2，求实数 m 的值. 解：∵关于 x 的一元二次方程 x2＋2 mx ＋ m2－ m ＋2＝0有两个不 相等的实数根， ∴Δ＝ －4 ＝4 m －8＞0. 解得 m ＞2. 由根与系数的关系，得 x1＋ x2＝－2 m ， x1 x2＝ m2－ m ＋2. ∵ x1＋ x2＋ x1 x2＝2，∴－2 m ＋ m2－ m ＋2＝2. 解得 m1＝3， m2＝0（不合题意，舍去）.∴ m ＝3. 数学 九年级上册 BS版 8. 已知关于 x 的一元二次方程 x2＋ x －2＝0有两个实数根. （1）求 m 的取值范围； 解：（1）由题可知， m ≥0. 又∵关于 x 的一元二次方程 x2＋ x －2＝0有两个实数根， ∴Δ＝（ ）2－4×1×（－2）＝ m ＋8≥0. 解得 m ≥－8. ∴ m ≥0. 数学 九年级上册 BS版 解：（2）∵关于 x 的一元二次方程 x2＋ x －2＝0有两个实数 根 x1， x2， ∴ x1＋ x2＝－ ， x1 x2＝－2. ∴（ x1－ x2）2－17＝（ x1＋ x2）2－4 x1 x2－17＝0， 即 m ＋8－17＝0. 解得 m ＝9＞0，符合题意. 故 m ＝9. （2）设方程的两根为 x1， x2，且满足（ x1－ x2）2－17＝0，求 m 的值. 数学 九年级上册 BS版 9. 已知关于 x 的一元二次方程 x2－ x ＋1＝0有两个实数 根，则 m 的取值范围是 ⁠. 【解析】由题意，可得 m －1≠0，Δ＝（－1）2－4 ×1≥0.解得 m ≠4， m ≤5.故答案为 m ≤5且 m ≠4. m ≤5且 m ≠4　 数学 九年级上册 BS版 10. 已知关于 x 的一元二次方程（ m －1）2 x2＋3 mx ＋3＝0有一 个实数根为－1，则该方程的另一个实数根为 ⁠. 【解析】将 x ＝－1代入原方程，得（ m －1）2－3 m ＋3＝0.化 简，得 m2－5 m ＋4＝0.解得 m1＝1， m2＝4.又∵原方程是一元二 次方程，∴（ m －1）2≠0，即 m ≠1.∴ m ＝4.将 m ＝4代入原方 程并化简，得3 x2＋4 x ＋1＝0.由根与系数的关系，得 x1 x2＝ . ∵ x1＝－1，∴ x2＝－ .故答案为－ . － 　 数学 九年级上册 BS版 11. 已知关于 x 的一元二次方程 ax2＋ bx ＋1＝0. （1）当 b ＝ a ＋2时，利用根的判别式判断该方程根的情况； 解：（1）由题意，得 a ≠0，Δ＝ b2－4 ac ＝（ a ＋2）2－4 a ＝ a2＋4 a ＋4－4 a ＝ a2＋4. ∵ a2＞0，∴Δ＞0. ∴该方程有两个不相等的实数根. 数学 九年级上册 BS版 （2）若该方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的 a ， b 的值，并求出此时方程的根. 解：（2）∵该方程有两个相等的实数根， ∴Δ＝ b2－4 a ＝0. 若 b ＝2， a ＝1，则原方程变形为 x2＋2 x ＋1＝0. 解得 x1＝ x2＝－1.（答案不唯一） 数学 九年级上册 BS版 12. 已知关于 x 的一元二次方程（ x －1）（ x －4）＝ p2，其中 p 为实数. （1）求证：该方程有两个不相等的实数根； （1）证明：原方程可化为 x2－5 x ＋4－ p2＝0. ∵Δ＝（－5）2－4×（4－ p2）＝4 p2＋9＞0， ∴该方程有两个不相等的实数根. 数学 九年级上册 BS版 （2）若 p 为整数，则 p 为何值时，方程有整数解？（直接写出 三个） （2）解： p 为0，2，－2. 【解析】原方程可化为 x2－5 x ＋4－ p2＝0.∵方程有整数解， ∴ 为整数.∴当 p 取0，2，－2时，方程有整数解. 数学 九年级上册 BS版 13. 已知关于 x 的一元二次方程 x2－3 x ＋ m －2＝0有两个实数根 x1， x2. （1）求 m 的取值范围； 解：（1）∵关于 x 的一元二次方程 x2－3 x ＋ m －2＝0有两个实 数根， ∴Δ≥0，即9－4（ m －2）≥0.解得 m ≤ . ∴ m 的取值范围是 m ≤ . 数学 九年级上册 BS版 （2）若 x1， x2满足2 x1＝｜ x2｜＋1，求 m 的值. 解：（2）由根与系数的关系，得 x1＋ x2＝3， x1 x2＝ m －2. ∵ x1， x2满足2 x1＝｜ x2｜＋1， ∴有以下两种情况： ①当 x2≥0时，2 x1＝ x2＋1. 把 x2＝3－ x1代入，得2 x1＝3－ x1＋1. 解得 x1＝ .∴ x2＝ . ∴ m －2＝ x1 x2＝ .∴ m ＝ . ②当 x2＜0时，2 x1＝－ x2＋1. 数学 九年级上册 BS版 把 x2＝3－ x1代入，得2 x1＝－3＋ x1＋1. 解得 x1＝－2.∴ x2＝5. 这与 x2＜0矛盾，故舍去. 综上所述， m 的值为 . 数学 九年级上册 BS版 14. （选做）已知▱ ABCD 的两边 AB ， AD 的长是关于 x 的方程 x2－ mx ＋ － ＝0的两个实数根. （1）当 m 为何值时，四边形 ABCD 是菱形？并求出这时菱形的 边长. 数学 九年级上册 BS版 解：（1）要使▱ ABCD 是菱形，必有 AB ＝ AD . 又∵ AB ， AD 的长是关于 x 的方程 x2－ mx ＋ － ＝0的两个实 数根， ∴Δ＝（－ m ）2－4× ＝（ m －1）2＝0. 解得 m ＝1. ∴当 m ＝1时，四边形 ABCD 是菱形. 当 m ＝1时，原方程为 x2－ x ＋ ＝0， 数学 九年级上册 BS版 即 ＝0， 解得 x1＝ x2＝ . ∴菱形 ABCD 的边长是 . 数学 九年级上册 BS版 （2）若 AB 的长为2，则▱ ABCD 的周长是多少？ 解：（2）把 x ＝2代入原方程，得4－2 m ＋ － ＝0. 解得 m ＝ . 将 m ＝ 代入原方程，得 x2－ x ＋1＝0. 由根与系数的关系知， AB · AD ＝1. ∴方程的另一根 AD ＝ ＝ . ∴▱ ABCD 的周长是2× ＝5. 数学 九年级上册 BS版 演示完毕 谢谢观看 数学 九年级上册 BS版 $$第四章　图形的相似 专题7　相似三角形中常作的辅助线 数学 九年级上册 BS版 1. 如图， AD 是△ ABC 的中线，点 E 是 AD 上的一点，且 AE ＝ AD ， CE 的延长线交 AB 于点 F . 若 AF ＝1 cm，则 AB ＝（　C　） A. 3 cm B. 4 cm C. 5 cm D. 6 cm （第1题图） C 数学 九年级上册 BS版 2. 如图，在△ ABC 中，已知 BD ⊥ AB 交 AC 于点 D ， AD ＝ AC ， AB ＝2，∠ ABC ＝150°，则△ DBC 的面积是（　A　） A. B. C. D. （第2题图） A 数学 九年级上册 BS版 3. 如图，在Rt△ ABC 中，∠ ACB ＝90°， CD ⊥ AB ，垂足为 D ， AF 平分∠ CAB 交 CD 于点 E ，交 CB 于点 F . 若 AC ＝3， AB ＝ 5，则 CE 的长为（　A　） A. B. C. D. （第3题图） A 数学 九年级上册 BS版 4. 如图，在△ ABC 中，已知∠ BAC ＝60°，∠ ABC ＝90°，直线 l1∥ l2∥ l3， l1与 l2之间的距离是1， l2与 l3之间的距离是2，且 l1， l2， l3分别经过点 A ， B ， C ，则边 AC 的长为 ⁠. （第4题图） 　 数学 九年级上册 BS版 5. 如图，点 A 的坐标为（0，1），点 B 是 x 轴正半轴上的一动 点，以 AB 为边作Rt△ ABC ，使∠ BAC ＝90°，∠ ACB ＝30°.设 点 B 的横坐标为 x ，点 C 的纵坐标为 y ，则 y 与 x 之间的函数关系 式为 ⁠. （第5题图） y ＝ x ＋1（ x ＞0）　 数学 九年级上册 BS版 6. 如图，在等腰三角形 ABC 中， AB ＝ AC ＝10，边 AC 的垂直平 分线交 BC 于点 D ，交 AC 于点 E . 若△ ABD 的周长为26，则 DE 的长为 ⁠. （第6题图） 　 数学 九年级上册 BS版 【解析】如图，过点 A 作 AF ⊥ BC 于点 F . ∵ DE 是 AC 的垂直平 分线，∴ AD ＝ CD ，∠ DEC ＝90°， AE ＝ EC ＝5.∵△ ABD 的 周长为26，∴ AB ＋ BD ＋ AD ＝26.∴ AB ＋ BD ＋ DC ＝ AB ＋ BC ＝26.∵ AB ＝10，∴ BC ＝16.∵ AB ＝ AC ＝10，∴ CF ＝8.∴ AF ＝ ＝ ＝6.∵∠ DEC ＝∠ AFC ＝90°，∠ C ＝∠ C ，∴△ DEC ∽△ AFC . ∴ ＝ .∴ ＝ .解得 DE ＝ . 故答案为 . 数学 九年级上册 BS版 7. 如图，已知△ ABC 的边 AB 上有一点 D ，边 BC 的延长线上有 一点 E ，且 AD ＝ CE ， DE 交 AC 于点 F . 试证明： AB · DF ＝ BC · EF . 证明：如答图，作 DG ∥ BC ，交 AC 于点 G ， 则△ ADG ∽△ ABC ，△ DGF ∽△ ECF . ∴ ＝ ， ＝ . 又∵ AD ＝ CE ， ∴ ＝ ， ＝ . ∴ ＝ . ∴ AB · DF ＝ BC · EF . 答图 数学 九年级上册 BS版 8. 如图，在△ ABC 中，已知∠ C ＝90°，点 D 为 AB 的中点，点 M 为射线 AC 上一点，点 N 为射线 CB 上一点，且 DM ⊥ DN ，求 证： ＝ . 证明：如答图，分别过点 D 作 DP ⊥ BC 于点 P ， DQ ⊥ AC 于点 Q ，则∠ DQC ＝∠ DPC ＝90°. ∵∠ C ＝90°，∴四边形 DPCQ 是矩形. ∴∠ QDP ＝90°. 又∵ DM ⊥ DN ， ∴∠ MDQ ＋∠ QDN ＝∠ QDN ＋∠ NDP ＝90°. ∴∠ MDQ ＝∠ NDP . 又∵∠ DQM ＝∠ DPN ＝90°， 答图 数学 九年级上册 BS版 ∴△ DQM ∽△ DPN . ∴ ＝ . ∴ DQ ∥ BC ， DP ∥ AC . 又∵点 D 是 AB 的中点， ∴ DQ ＝ BC ， DP ＝ AC . ∴ ＝ . 答图 数学 九年级上册 BS版 9. 如图，在正方形 ABCD 中，点 E ， F 分别在边 AD ， CD 上， AF ， BE 相交于点 G . 若 AE ＝3 ED ， DF ＝ CF ，则 的值 是 ⁠. 　 （第9题图） 数学 九年级上册 BS版 【解析】如图，作 FN ∥ AD 交 AB 于点 N ，交 BE 于点 M . ∵四边 形 ABCD 是正方形，∴ AB ∥ CD . ∵ FN ∥ AD ，∴四边形 ANFD 是平行四边形.又∵∠ D ＝90°，∴▱ ANFD 是矩形.由 AE ＝3 DE ，设 DE ＝ a ，则 AE ＝3 a ， AD ＝ AB ＝ CD ＝ FN ＝4 a ， AN ＝ DF ＝2 a .∵ AN ＝ BN ， MN ∥ AE ，∴ MN ＝ AE ＝ a .∴ FM ＝ a .∵ AE ∥ FM ，∴△ AGE ∽△ FGM . ∴ ＝ ＝ ＝ .故 答案为 . 数学 九年级上册 BS版 10. 如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的两边 OA ， OC 分 别在 x 轴和 y 轴上，且 OA ＝5， OC ＝3.若把矩形 OABC 绕着点 O 按逆时针方向旋转，使点 A 恰好落在 BC 边上的点 A1处，则点 C 的对应点 C1的坐标为 ⁠. 　 （第10题图） 数学 九年级上册 BS版 【解析】如图，过点 C1作 C1 N ⊥ x 轴于点 N ，过点 A1作 A1 M ⊥ x 轴于点 M . ∵ OA ＝5， OC ＝3，∴ OA1＝5， A1 M ＝3，∴ OM ＝ 4.由题意，可得∠ C1 NO ＝∠ A1 MO ＝90°，∠1＝∠2＝∠3，则 △ A1 OM ∽△ OC1 N . ∴ ＝ ，即 ＝ .∴ ＝ .设 ON ＝3 x ，则 C1 N ＝4 x .又∵ OC1＝3，∴（3 x ）2＋（4 x ）2＝9.解 得 x ＝± （负数舍去）.∴ ON ＝ ， C1 N ＝ .故点 C1的坐标为 .故答案为 . 数学 九年级上册 BS版 11. 如图，已知△ ABC 和△ CDE 都是等边三角形，点 B ， C ， E 在同一直线上，连接 BD ，交 AC 于点 F ，连接 AD . （1）若 AD2＝ FD · BD ，求证： AD ＝ BF . （1）证明：∵ AD2＝ FD · BD ，∴ ＝ . 又∵∠ ADF ＝∠ BDA ，∴△ ADF ∽△ BDA . ∴∠ FAD ＝∠ ABD . ∵△ ABC 和△ CDE 均为等边三角形， ∴ AB ＝ AC ，∠ BAC ＝∠ DCE ＝∠ ACB ＝60°. ∴∠ ACD ＝60°.∴∠ ACD ＝∠ BAF ＝60°. 数学 九年级上册 BS版 在△ ACD 和△ BAF 中， ∴△ ACD ≌△ BAF （ASA）.∴ AD ＝ BF . 数学 九年级上册 BS版 （2）若∠ BAD ＝90°， BE ＝6. ①求△ BDE 的面积； ②求 DF 的长. （2）解：①∵∠ BAD ＝90°，∠ BAC ＝60°， ∴∠ CAD ＝30°. ∵∠ ACD ＝60°，∴∠ ADC ＝90°. ∴ DC ＝ AC . ∴ CE ＝ BC . ∵ BE ＝6，∴ CE ＝2， BC ＝4. 如图，过点 D 作 DG ⊥ BE 于点 G . 数学 九年级上册 BS版 ∵△ CDE 为等边三角形， ∴ CG ＝ EG ＝1.∴ BG ＝5. 在Rt△ CDG 中， DG ＝ CG ＝ . ∴ S△ BDE ＝ BE · DG ＝ ×6× ＝3 . 数学 九年级上册 BS版 ②在Rt△ BDG 中，根据勾股定理，得 BD ＝ ＝ ＝2 . ∵∠ ABC ＝∠ DCE ＝60°，∴ CD ∥ AB . ∴△ CDF ∽△ ABF . ∴ ＝ ＝ . ∴ ＝ .∴ DF ＝ . 数学 九年级上册 BS版 12. （选做）如图，在边长为1的正方形 ABCD 中，已知点 E 为 AD 的中点.连接 BE ，将△ ABE 沿 BE 折叠得到△ FBE ， BF 交 AC 于点 G . 求 CG 的长. 数学 九年级上册 BS版 解：如答图，延长 BF ，交 CD 于点 H ，连接 EH . ∵△ FBE 由△ ABE 沿 BE 折叠得到， ∴ EA ＝ EF ，∠ EFB ＝∠ EAB ＝90°. ∵点 E 为 AD 的中点，正方形 ABCD 的边长为1， ∴ EA ＝ ED ＝ .∴ ED ＝ EF ＝ . ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠ D ＝∠ EFB ＝∠ EFH ＝90°. 答图 数学 九年级上册 BS版 在Rt△ EDH 和Rt△ EFH 中， ∴Rt△ EDH ≌Rt△ EFH （HL）. ∴∠ DEH ＝∠ FEH . 又∵∠ AEB ＝∠ FEB ， ∴∠ DEH ＋∠ AEB ＝90°. 又∵∠ ABE ＋∠ AEB ＝90°，∴∠ ABE ＝∠ DEH . ∴△ DHE ∽△ AEB . 答图 数学 九年级上册 BS版 ∴ ＝ ＝ .∴ DH ＝ . ∴ CH ＝ CD － DH ＝1－ ＝ . ∵ CH ∥ AB ，∴△ CHG ∽△ ABG . ∴ ＝ ＝ . ∴ CG ＝ AG ＝ （ AC － CG ）. ∵ AB ＝1， CB ＝1，∠ CBA ＝90°， 答图 ∴ AC ＝ .∴ CG ＝ － CG ）. ∴ CG ＝ . 答图 数学 九年级上册 BS版 演示完毕 谢谢观看 数学 九年级上册 BS版 $$