第一章 特殊平行四边形（课外培优课件） 2023—2024学年北师大版数学九年级上册　

第一章　特殊平行四边形 2　矩形的性质与判定(第一课时) 数学 九年级上册 BS版 1. 矩形具有而平行四边形不具有的性质是（　A　） A. 对角线相等 B. 对角相等 C. 对边相等 D. 对角线互相平分 A 数学 九年级上册 BS版 2. （2022·济南）如图，在矩形 ABCD 中，分别以点 A ， C 为圆 心，以大于 AC 的长为半径作弧，两弧相交于 M ， N 两点，作 直线 MN 分别交 AD ， BC 于点 E ， F ，连接 AF . 若 BF ＝3， AE ＝5，以下结论错误的是（　D　） A. AF ＝ CF B. ∠ FAC ＝∠ EAC C. AB ＝4 D. AC ＝2 AB （第2题图） D 数学 九年级上册 BS版 3. （2023·兰州）如图，在矩形 ABCD 中，点 E 为 BA 延长线上一 点，点 F 为 CE 的中点，以点 B 为圆心， BF 长为半径的圆弧过 AD 与 CE 的交点 G ，连接 BG . 若 AB ＝4， CE ＝10，则 AG ＝ （　C　） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 3.5 （第3题图） C 数学 九年级上册 BS版 4. （2023·湘西）如图，在矩形 ABCD 中，已知点 E 在边 BC 上， 点 F 是 AE 的中点， AB ＝8， AD ＝ DE ＝10，则 BF 的长为 ⁠ ⁠. 2 　 数学 九年级上册 BS版 5. （2023·内江）出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一. 最早是由三国时期数学家刘徽创建.“将一个几何图形，任意切 成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的 小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一.如图，在矩形 ABCD 中， AB ＝5， AD ＝12，对角线 AC 与 BD 交于点 O ，点 E 为 BC 边上的一个动点， EF ⊥ AC ， EG ⊥ BD ，垂足分别为 F ， G ，则 EF ＋ EG ＝ ⁠. 　 （第5题图） 数学 九年级上册 BS版 6. 如图，在矩形 ABCD 中， AB ＝2， BC ＝4，点 A ， B 分别在 y 轴、 x 轴的正半轴上，点 C 在第一象限.若∠ OAB ＝30°，则点 C 的坐标是 ⁠. （第6题图） （1＋2 ，2）　 数学 九年级上册 BS版 7. 如图，在矩形 ABCD 中，已知点 E 在 DC 上， AE ＝2 BC ， AE ＝ AB ，求∠ CBE 的度数. 解：在矩形 ABCD 中， BC ＝ AD ，∠ D ＝∠ ABC ＝90°， AB ∥ CD . ∵ AE ＝2 BC ，∴ AE ＝2 AD . ∴∠ DEA ＝30°. ∵ AB ∥ CD ，∴∠ EAB ＝∠ DEA ＝30°. 又∵ AE ＝ AB ， ∴∠ ABE ＝∠ AEB ＝ ×（180°－30°）＝75°. ∴∠ CBE ＝∠ ABC －∠ ABE ＝90°－75°＝15°. 数学 九年级上册 BS版 8. 如图，在矩形 ABCD 中，已知点 E 在 BC 上， AE ＝ AD ， DF ⊥ AE ，垂足为 F . （1）求证： DF ＝ AB ； （1）证明：在矩形 ABCD 中， AD ∥ BC ，∠ B ＝90°， ∴∠ FAD ＝∠ BEA . ∵ DF ⊥ AE ，∴∠ DFA ＝90°＝∠ B . 在△ ADF 和△ EAB 中， ∴△ ADF ≌△ EAB （AAS）.∴ DF ＝ AB . 数学 九年级上册 BS版 （2）若∠ FDC ＝30°，且 AB ＝6，求 AD 的长. （2）解：∵∠ FAD ＋∠ ADF ＝90°，∠ FDC ＋∠ ADF ＝90°，∴∠ FAD ＝∠ FDC ＝30°. ∴ AD ＝2 DF . 由（1），得 DF ＝ AB ， ∴ AD ＝2 DF ＝2 AB ＝2×6＝12. 数学 九年级上册 BS版 9. 如图，在矩形 ABCD 中， AB ＝3， AD ＝4，点 E ， F 分别是边 BC ， CD 上一点，连接 AE ， EF . 若 EF ⊥ AE ，将△ ECF 沿 EF 翻折得到△ EC ' F ，连接 AC '，当 BE ＝ 时，△ AEC '是 以 AE 为腰的等腰三角形. 或 　 （第9题图） 数学 九年级上册 BS版 【解析】当 EC '＝ AE 时，设 BE ＝ x ，则 EC ＝4－ x .∵△ ECF 沿 EF 翻折得到△ EC ' F ，∴ EC '＝ EC ＝4－ x . AE ＝4－ x .在Rt△ ABE 中，根据勾股定理，得 AE2＝ BE2＋ AB2，即（4－ x ）2＝ x2 ＋32，解得 x ＝ ；当 AC '＝ AE 时，如图，过点 A 作 AH ⊥ EC '于 点 H . ∵ AH ⊥ EC '， AE ＝ AC '，∴ EH ＝ C ' H . ∵ EF ⊥ AE ， ∴∠ C ' EF ＋∠ AEC '＝90°，∠ AEB ＋∠ FEC ＝90°.∵△ ECF 沿 EF 翻折得到△ EC ' F ，∴∠ C ' EF ＝∠ FEC . ∴∠ AEB ＝∠ AEH . 在△ ABE 和△ AHE 中， 数学 九年级上册 BS版 ∴△ ABE ≌△ AHE （AAS）.∴ BE ＝ HE . ∴ BE ＝ HE ＝ HC '. ∴ BE ＝ EC '.又∵ EC ＝ EC '，∴ BE ＝ EC . ∴ BE ＝ BC ＝ . 综上所述， BE ＝ 或 .故答案为 或 . 数学 九年级上册 BS版 10. （2023·南通）如图，已知四边形 ABCD 的两条对角线 AC ， BD 互相垂直， AC ＝4， BD ＝6，则 AD ＋ BC 的最小值是 ⁠. （第10题图） 2 　 数学 九年级上册 BS版 【解析】如图，设 AC 与 BD 交于点 O ，分别取 AB ， BC ， CD ， DA 的中点 P ， Q ， R ， S ，连接 PQ ， QR ， RS ， SP ， OQ ， OS ， QS . ∵ AC ⊥ BD ，∴△ AOD 和△ BOC 均为直角三角形， AD ， BC 分别为斜边.∴ AD ＝2 OS ， BC ＝2 OQ . ∴ AD ＋ BC ＝2 （ OS ＋ OQ ）.∴当 OS ＋ OQ 最小时， AD ＋ BC 最小.根据两点 之间线段最短，得 OQ ＋ OS ≥ QS . ∴当点 O 在线段 QS 上时， OQ ＋ OS 最小，最小值为线段 QS 的长.∵点 P ， Q 分别为 AB ， BC 的中点，∴ PQ 是△ ABC 的中位线.∴ PQ ＝ AC ＝2， PQ ∥ AC . 同理，得 QR ＝ BD ＝3， QR ∥ BD . 数学 九年级上册 BS版 RS ＝ AC ＝2， RS ∥ AC . SP ＝ BD ＝3， SP ∥ BD . ∴ PQ ∥ AC ∥ RS ， QR ∥ BD ∥ SP . ∴四边形 PQRS 是平行四边形.∵ AC ⊥ BD ， PQ ∥ AC ， SP ∥ BD ，∴ PQ ⊥ SP . ∴四边形 PQRS 是矩形. 在Rt△ PQS 中， PQ ＝2， SP ＝3，∴ QS ＝ ＝ .∴ OQ ＋ OS 的最小值为 .∴ AD ＋ BC 的最小值为2 . 故答案为2 . 数学 九年级上册 BS版 11. 如图，在矩形 ABCD 中，已知 AD ＝ BC ＝6， AB ＝ CD ＝ 10，点 E 为射线 DC 上的一个动点，△ ADE 与△ AD ' E 关于直线 AE 对称，连接 BD '.当△ AD ' B 为直角三角形时，求 DE 的长. 数学 九年级上册 BS版 解：①当点 E 在线段 DC 上时. ∵△ ADE 与△ AD ' E 关于直线 AE 对称，∴△ ADE ≌△ AD ' E . ∴∠ D ＝∠ AD ' E ＝90°， AD ＝ AD '＝6， DE ＝ D ' E . ∵∠ AD ' B ＝90°，∴∠ AD ' B ＋∠ AD ' E ＝180°. ∴ B ， D '， E 三点共线. ∵ S△ ABE ＝ BE · AD '＝ AB · AD ， AD '＝ AD ， ∴ BE ＝ AB ＝10. ∵ BD '＝ ＝ ＝8， ∴ DE ＝ D ' E ＝ BE － BD '＝10－8＝2； 数学 九年级上册 BS版 ②当点 E 在线段 DC 的延长线上，且 ED ″经过点 B 时，如图所示. ∵∠ ABD ″＋∠ CBE ＝∠ ABD ″＋∠ BAD ″＝90°， ∴∠ CBE ＝∠ BAD ″. 在△ ABD ″和△ BEC 中， ∴△ ABD ″≌△ BEC （ASA）. ∴ BE ＝ AB ＝10. ∵ BD ″＝ ＝8， ∴ DE ＝ D ″ E ＝ BD ″＋ BE ＝8＋10＝18. 综上所述， DE 的长为2或18. 数学 九年级上册 BS版 12. 如图，在矩形 ABCD 中，已知∠ BAD 的平分线交 BC 于点 E ， AE ＝ AD ，过点 D 作 DF ⊥ AE 于点 F . （1）求证： AB ＝ AF ； 证明：（1）∵四边形 ABCD 为矩形， ∴ AD ∥ BC ，∠ DAB ＝∠ ABE ＝90°. ∴∠ DAE ＝∠ AEB . ∵ AE 平分∠ BAD ， ∴∠ BAE ＝∠ DAE ＝45°. ∴∠ BAE ＝∠ AEB ＝45°. ∴ AB ＝ EB . 数学 九年级上册 BS版 ∵ DF ⊥ AE ，∴∠ AFD ＝90°. ∴∠ ABE ＝∠ AFD ＝90°. 在△ ABE 和△ AFD 中， ∴△ ABE ≌△ AFD （AAS）. ∴ AB ＝ AF . 数学 九年级上册 BS版 （2）连接 BF 并延长交 DE 于点 G ，求证： EG ＝ DG . 证明：（2）∵ AE ＝ AD ，∠ EAD ＝45°， ∴∠ AED ＝∠ ADE ＝67.5°. 又∵∠ FDA ＝45°， ∴∠ FDG ＝∠ ADE －∠ FDA ＝22.5°. ∵ AB ＝ AF ，∠ BAF ＝45°， ∴∠ AFB ＝67.5°. ∴∠ EFG ＝67.5°. ∴∠ EFG ＝∠ AED . 数学 九年级上册 BS版 ∴ FG ＝ EG . 又∵∠ DFG ＝∠90°－∠ EFG ＝22.5°， ∴∠ DFG ＝∠ FDG . ∴ FG ＝ DG . ∴ EG ＝ DG . 数学 九年级上册 BS版 13. （选做）如图，在矩形 ABCD 中，已知 AB ＝5， AD ＝3，点 P 是 AB 边上一点（不与点 A ， B 重合），连接 CP ，过点 P 作 PQ ⊥ CP 交边 AD 于点 Q ，连接 CQ . （1）当△ CDQ ≌△ CPQ 时，求 AQ 的长； 数学 九年级上册 BS版 解：（1）∵△ CDQ ≌△ CPQ ， ∴ DQ ＝ PQ ， DC ＝ PC . ∵ AB ＝ DC ＝5， AD ＝ BC ＝3，∴ PC ＝5. 在Rt△ PBC 中， PB ＝ ＝4. ∴ AP ＝ AB － PB ＝5－4＝1. 设 AQ ＝ x ，则 PQ ＝ DQ ＝3－ x . 在Rt△ PAQ 中，由勾股定理，得 PQ2＝ AQ2＋ AP2，即（3－ x ）2＝ x2＋12， 解得 x ＝ .∴ AQ ＝ . 数学 九年级上册 BS版 （2）取 CQ 的中点 M ，连接 MD ， MP ，若 MD ⊥ MP ，求 AQ 的长. 解：（2）（方法一）如图，过点 M 作 EF ⊥ CD 于点 F ， 交 AB 于点 E ，则 EF ⊥ AB . ∵ MD ⊥ MP ，∴∠ PMD ＝90°.∴∠ PME ＋∠ DMF ＝90°. 又∵∠ MDF ＋∠ DMF ＝90°，∴∠ MDF ＝∠ PME . ∵点 M 是 CQ 的中点， ∴ DM ＝ QC · MP ＝ QC . ∴ DM ＝ MP . 数学 九年级上册 BS版 在△ MDF 和△ PME 中， ∴△ MDF ≌△ PME （AAS）. ∴ DF ＝ ME ， MF ＝ PE . ∵ EF ⊥ CD ， AD ⊥ CD ，∴ EF ∥ AD . ∵ QM ＝ MC ，∴ DF ＝ CF ＝ DC ＝ . ∴ ME ＝ .∵ ME 是梯形 ABCQ 的中位线， ∴2 ME ＝ AQ ＋ BC ，即5＝ AQ ＋3.∴ AQ ＝2. 数学 九年级上册 BS版 （方法二）∵点 M 是Rt△ CDQ 的斜边 CQ 的中点， ∴ DM ＝ CM . ∴∠ DMQ ＝2∠ DCQ . ∵点 M 是Rt△ CPQ 的斜边的中点， ∴ MP ＝ CM . ∴∠ PMQ ＝2∠ PCQ . ∵∠ DMP ＝90°，∴2∠ DCQ ＋2∠ PCQ ＝90°. ∴∠ PCD ＝45°，∠ BCP ＝90°－45°＝45°. ∴∠ BPC ＝45°＝∠ BCP . ∴ BP ＝ BC ＝3. ∵∠ CPQ ＝90°， 数学 九年级上册 BS版 ∴∠ APQ ＝180°－90°－45°＝45°. ∴∠ AQP ＝90°－45°＝45°＝∠ APQ . ∴ AQ ＝ AP ＝5－3＝2. 数学 九年级上册 BS版 演示完毕 谢谢观看 数学 九年级上册 BS版 $$第一章　特殊平行四边形 2　矩形的性质与判定(第二课时) 数学 九年级上册 BS版 1. 下列关于矩形的判定正确的是（　B　） A. 四条边相等的四边形是矩形 B. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 C. 有一组邻边相等的平行四边形是矩形 D. 对角线相等的四边形是矩形 B 数学 九年级上册 BS版 2. 如图，下列四个条件：① AB ＝ BC ；②∠ ABC ＝90°；③ AC ＝ BD ；④∠ ADC ＝∠ BAD . 从中选取一个作为补充条件，则不 能使▱ ABCD 为矩形的是（　A　） A. ① B. ② C. ③ D. ④ （第2题图） A 数学 九年级上册 BS版 3. （2022·襄阳）如图，▱ ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于点 O ，下列说法正确的是（　B　） A. 若 OB ＝ OD ，则▱ ABCD 是菱形 B. 若 AC ＝ BD ，则▱ ABCD 是矩形 C. 若 OA ＝ OD ，则▱ ABCD 是菱形 D. 若 AC ⊥ BD ，则▱ ABCD 是矩形 （第3题图） B 数学 九年级上册 BS版 4. 如图，有一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋. 若改变框架的形状，则∠α也随之变化，两条对角线长度也在发 生改变.当∠α的度数为 时，则两条对角线的长度相等. （第4题图） 90°　 数学 九年级上册 BS版 5. 如图，▱ ABCD 的对角线 AC ， BD 相交于点 O ，△ AOD 是等 边三角形， AD ＝4，则▱ ABCD 的面积为 ⁠. （第5题图） 16 　 数学 九年级上册 BS版 6. 如图，已知点 E ， F ， G ， H 分别是四边形 ABCD 的四条边的 中点.要使四边形 EFGH 为矩形，则四边形 ABCD 应具备的条件 是 ⁠. 对角线互相垂直（或 AC ⊥ BD ）　 数学 九年级上册 BS版 7. （2023·内江）如图，在△ ABC 中，已知点 D 是 BC 的中点， 点 E 是 AD 的中点，过点 A 作 AF ∥ BC 交 CE 的延长线于点 F . （1）求证： AF ＝ BD ； 证明：（1）∵ AF ∥ BC ，∴∠ AFE ＝∠ DCE . ∵点 E 为 AD 的中点，∴ AE ＝ DE . 在△ AEF 和△ DEC 中， ∴△ AEF ≌△ DEC （AAS）.∴ AF ＝ CD . ∵点 D 是 BC 的中点， ∴ CD ＝ BD . ∴ AF ＝ BD . 数学 九年级上册 BS版 （2）连接 BF ，若 AB ＝ AC ，求证：四边形 AFBD 是矩形. 证明：（2）∵ AF ∥ BD ， AF ＝ BD ， ∴四边形 AFBD 是平行四边形. ∵ AB ＝ AC ， BD ＝ CD ， ∴∠ ADB ＝90°. ∴▱ AFBD 是矩形. 数学 九年级上册 BS版 8. 如图，已知菱形 ABCD 的对角线 AC ， BD 相交于点 O ，点 E 是 AD 的中点，点 F ， G 在 AB 上，连接 EF ， OE ， OG ， EF ⊥ AB ， OG ∥ EF . （1）求证：四边形 OEFG 是矩形； 数学 九年级上册 BS版 （1）证明：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴ BD ⊥ AC ，∠ DAO ＝∠ BAO . 又∵点 E 是 AD 的中点， ∴ AE ＝ OE ＝ AD . ∴∠ EAO ＝∠ AOE . ∴∠ AOE ＝∠ BAO . ∴ OE ∥ FG . 又∵ OG ∥ EF ， ∴四边形 OEFG 是平行四边形. ∵ EF ⊥ AB ，∴∠ EFG ＝90°. ∴▱ OEFG 是矩形. 数学 九年级上册 BS版 （2）若 AD ＝10， EF ＝4，求 OE 和 BG 的长. （2）解：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴ BD ⊥ AC ， AB ＝ AD ＝10. ∴∠ AOD ＝90°. ∵点 E 是 AD 的中点，∴ OE ＝ AE ＝ AD ＝5. ∵四边形 OEFG 是矩形，∴ FG ＝ OE ＝5. ∵ AE ＝5， EF ＝4， ∴ AF ＝ ＝3. ∴ BG ＝ AB － AF － FG ＝10－3－5＝2. 数学 九年级上册 BS版 9. 如图，在梯形 ABCD 中， AD ∥ BC ，∠ B ＝90°， AD ＝24 cm， BC ＝26 cm.动点 P 从点 A 出发，沿 AD 方向向点 D 以1 cm/s 的速度运动；动点 Q 从点 C 出发，沿着 CB 方向向点 B 以3 cm/s 的速度运动.点 P ， Q 同时出发，当其中一点到达端点时，另一 点随之停止运动.经过 s，四边形 ABQP 是矩形. 　 （第9题图） 数学 九年级上册 BS版 10. 如图，在△ ABC 中， AC 的垂直平分线分别交 AC ， AB 于点 D ， F ，过点 B 作 BE ⊥ DF ，交 DF 的延长线于点 E . 若∠ A ＝ 30°， DF ＝1， AF ＝ BF ，则四边形 BCDE 的面积为 ⁠. （第10题图） 2 　 数学 九年级上册 BS版 【解析】∵点 D ， F 分别是 AC ， AB 的中点，∴ DF 是△ ABC 的 中位线， AF ＝ BF . ∴ DF ∥ BC ， BC ＝2 DF ＝2.∵ DF 垂直平分 AC ，∴∠ ADF ＝90°＝∠ C . 又∵∠ E ＝90°，∴∠ ADF ＝∠ E ， 四边形 BCDE 为矩形.在△ ADF 和△ BEF 中， ∴△ ADF ≌△ BEF （AAS）.∴ AD ＝ BE ， DF ＝ EF ＝1.∴ DE ＝2.∵∠ A ＝30°， DF ＝1，∠ ADF ＝90°， ∴ AD ＝ .∴ BE ＝ .∴矩形 BCDE 的面积＝ DE · BE ＝2 . 故答案为2 . 数学 九年级上册 BS版 11. （2023·青岛）如图，在▱ ABCD 中，已知∠ BAD 的平分线 交 BC 于点 E ，∠ DCB 的平分线交 AD 于点 F ，点 G ， H 分别是 AE 和 CF 的中点，连接 GF ， EH . （1）求证：△ ABE ≌△ CDF ； 数学 九年级上册 BS版 （1）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AD ∥ BC ， AB ＝ CD ，∠ BAD ＝∠ DCB ，∠ B ＝∠ D . ∵∠ BAD 和∠ DCB 的平分线 AE ， CF 分别交 BC ， AD 于点 E ， F ， ∴∠ BAE ＝∠ DAE ＝ ∠ BAD ，∠ BCF ＝∠ DCF ＝ ∠ DCB . ∴∠ BAE ＝∠ DCF . 在△ ABE 和△ CDF 中， ∴△ ABE ≌△ CDF . 数学 九年级上册 BS版 （2）连接 EF ，若 EF ＝ AF ，请判断四边形 GEHF 的形状，并 证明你的结论. （2）解：四边形 GEHF 是矩形，证明 如下： ∵△ EAB ≌△ FCD ， ∴ AE ＝ CF ，∠ AEB ＝∠ CFD . ∵ AD ∥ BC ，∴∠ DFC ＝∠ BCF . ∴∠ AEB ＝∠ BCF . ∴ AE ∥ CF ，即 GE ∥ FH . 数学 九年级上册 BS版 ∵点 G ， H 分别为 AE ， CF 的中点， ∴ GE ＝ AE ， FH ＝ CF . ∴ GE ＝ FH . ∴四边形 GEHF 是平行四边形. ∵ EF ＝ AF ，点 G 为 AE 的中点， ∴ GF ⊥ AE . ∴∠ FGE ＝90°. ∴▱ GEHF 是矩形. 数学 九年级上册 BS版 12. 如图，已知▱ ABCD 的对角线 AC ， BD 相交于点 O ，点 E 为 OC 的中点.过点 C 作 CF ∥ BD ，交 BE 的延长线于点 F ，连接 DF . （1）求证：△ FCE ≌△ BOE . 数学 九年级上册 BS版 （1）证明：∵ CF ∥ BD ， ∴∠ CFE ＝∠ OBE . ∵点 E 是 OC 的中点， ∴ CE ＝ OE . 在△ FCE 和△ BOE 中， ​ ∴△ FCE ≌△ BOE （AAS）. 数学 九年级上册 BS版 （2）当△ ADC 满足什么条件时，四边形 OCFD 为矩形？并说明 理由. （2）解：当△ ADC 满足 AD ＝ CD 时，四边形 OCFD 为矩形.理由如下： ∵△ FCE ≌△ BOE ，∴ CF ＝ OB . ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ OA ＝ OC ， OB ＝ OD . ∴ CF ＝ OD . 又∵ CF ∥ BD ，∴四边形 OCFD 为平行四边形. ∵ AD ＝ CD ， OA ＝ OC ，∴ OD ⊥ AC . ∴∠ COD ＝90°.∴▱ OCFD 为矩形. 数学 九年级上册 BS版 13. （选做）如图，在▱ ABCD 中， AC ＝8 cm， BD ＝12 cm， 点 E ， F 在对角线 BD 上.点 E 从点 B 出发，以1 cm/s的速度向点 D 运动；同时点 F 从点 D 出发，以相同速度向点 B 运动，到端点时 运动停止.设运动时间为 t s . （1）求证：四边形 AECF 为平行四边形. 数学 九年级上册 BS版 （1）证明：在▱ ABCD 中，∵ AD ∥ BC ， AD ＝ BC ， ∴∠ EBC ＝∠ FDA . 由题意可知， BE ＝ DF . 在△ BEC 与△ DFA 中， ∴△ BEC ≌△ DFA （SAS）. ∴ CE ＝ AF . 同理可得， AE ＝ CF . ∴四边形 AECF 为平行四边形. 数学 九年级上册 BS版 （2）点 E ， F 在 BD 上运动的过程中，以点 A ， E ， C ， F 为顶 点的四边形能否为矩形？如果能，请求出此时 t 的值；如果不 能，请说明理由. （2）解：能.理由如下：由矩形的性 质，知 OE ＝ OF ， OA ＝ OC . 要使∠ EAF 是直角，只需 OE ＝ OF ＝ OA ＝ AC ＝4 cm，则∠1＝∠2，∠3＝∠4. ∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°， ∴2∠2＋2∠3＝180°. 数学 九年级上册 BS版 ∴∠2＋∠3＝90°，即∠ EAF ＝90°. 此时 BE ＝ DF ＝ （ BD － EF ）＝ ×（12－8）＝2（cm）或 BE ＝ DF ＝6＋4＝10（cm）. 此时， t 的值分别为2，10. 故当 t ＝2或 t ＝10时，以点 A ， E ， C ， F 为顶点的四边形为矩 形. 数学 九年级上册 BS版 演示完毕 谢谢观看 数学 九年级上册 BS版 $$第一章　特殊平行四边形 3　正方形的性质与判定(第一课时) 数学 九年级上册 BS版 1. 下列性质中，正方形具有但菱形却不一定具有的性质是 （　C　） A. 对角线互相垂直 B. 对角线互相平分 C. 对角线长度相等 D. 一条对角线平分一组对角 C 数学 九年级上册 BS版 2. （2022·青岛）如图，点 O 为正方形 ABCD 对角线 AC 的中点， △ ACE 为等边三角形.若 AB ＝2，则 OE 的长度为（　B　） A. B. C. 2 D. 2 （第2题图） B 数学 九年级上册 BS版 3. （2022·黔东南）如图，在边长为2的等边三角形 ABC 的外侧 作正方形 ABED ，过点 D 作 DF ⊥ BC ，垂足为 F ，则 DF 的长为 （　D　） A. 2 ＋2 B. 5－ C. 3－ D. ＋1 （第3题图） D 数学 九年级上册 BS版 4. （2023·山东）如图，点 E 是正方形 ABCD 内的一点，将△ ABE 绕点 B 按顺时针方向旋转90°得到△ CBF . 若∠ ABE ＝55°， 则∠ EGC ＝ ⁠°. （第4题图） 80　 数学 九年级上册 BS版 5. （2023·益阳）如图，在正方形 ABCD 中， AB ＝4，点 E 为 AB 的中点，连接 DE ，将△ DAE 绕点 D 按逆时针方向旋转90°得到 △ DCF ，连接 EF ，则 EF 的长为 ⁠. （第5题图） 2 　 数学 九年级上册 BS版 6. 如图，将正方形 OABC 放在平面直角坐标系中，已知点 O 是 坐标原点，点 A 的坐标为 ，则点 C 的坐标 为 ⁠. 　 数学 九年级上册 BS版 7. 如图，已知点 E 是正方形 ABCD 外一点， AE ＝ AD ，∠ ADE ＝75°，求∠ AEB 的度数. 解：在△ ADE 中，∵ AE ＝ AD ，∠ ADE ＝75°， ∴∠ AED ＝75°. ∴∠ EAD ＝180°－∠ ADE －∠ AED ＝180°－75°×2＝30°. ∵四边形 ABCD 是正方形，∴∠ BAD ＝90°， AB ＝ AD . ∴ AB ＝ AE . 在△ ABE 中， AB ＝ AE ， ∠ BAE ＝∠ BAD ＋∠ EAD ＝90°＋30°＝120°， ∴∠ AEB ＝ （180°－∠ BAE ）＝ ×（180°－120°）＝30°. 数学 九年级上册 BS版 8. 如图，在正方形 ABCD 中，已知点 E 是 AB 上一点，点 F 是 AD 延长线上一点，且 CE ＝ CF . （1）求证： BE ＝ DF ； （1）证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴ BC ＝ DC ，∠ CBA ＝∠ CDA ＝90°. ∵点 F 是 AD 延长线上一点， ∴∠ CDF ＝180°－∠ CDA ＝90°. 在Rt△ CBE 和Rt△ CDF 中， ∴Rt△ CBE ≌Rt△ CDF （HL）.∴ BE ＝ DF . 数学 九年级上册 BS版 （2）连接 EF ，若 CE ＝5，求 EF 的长. （2）解：由（1）知，Rt△ CBE ≌Rt△ CDF ， ∴∠ BCE ＝∠ DCF . 又∵∠ BCD ＝∠ BCE ＋∠ DCE ＝90°， ∴∠ ECF ＝∠ DCF ＋∠ DCE ＝∠ BCE ＋∠ DCE ＝90°. 又∵ CE ＝5， CE ＝ CF ， ∴ EF ＝ ＝ ＝5 . 数学 九年级上册 BS版 9. （2023·内江）如图，已知四边形 ABCD 是边长为4的正方形， △ BPC 是等边三角形，则阴影部分的面积为 ⁠. 12－4 　 数学 九年级上册 BS版 【解析】如答图，过点 P 作 PM ⊥ DC 于点 M ， PN ⊥ BC 于点 N . ∵四边形 ABCD 是边长为4的正方形，∴∠ BCD ＝90°， BC ＝ CD ＝4.∴ S正方形 ABCD ＝4×4＝16.∵△ BPC 是等边三角形，∴∠ BCP ＝60°， BC ＝ CP ＝4， BN ＝ CN ＝2.∴ PN ＝ ＝2 .∴ S△ PBC ＝ BC · PN ＝ ×4×2 ＝4 .∵∠ BCD ＝ 90°，∠ BCP ＝60°，∴∠ PCM ＝30°.在Rt△ PCM 中， PM ＝ CP ＝2.∴ S△ PCD ＝ CD · PM ＝ ×4×2＝4.∴ S阴影＝ S正方形 ABCD － S△ PBC － S△ PCD ＝16－4 －4＝12－4 . 故答案为12－4 . 答图 数学 九年级上册 BS版 10. 如图，在正方形 ABCD 中，∠ NCD ＝22.5°，点 P 是 CN 上一 点.若 CD ＝8， CM ＝ ，则 PM ＋ PD 的最小值是 　5 　. 5 　 数学 九年级上册 BS版 【解析】如答图，连接 AC ，在 AC 上取一点 M '，使 CM '＝ CM ＝ ，连接 PM '， DM '，过点 M '作 M ' E ⊥ CD 于点 E . ∵四边 形 ABCD 是正方形，∴∠ ACD ＝45°.∵∠ NCD ＝22.5°，∴∠ M ' CP ＝∠ MCP . 在△ M ' CP 和△ MCP 中，∴△ M ' CP ≌△ MCP . ∴ PM '＝ PM . ∴ PM ＋ PD ＝ PM '＋ PD ≥ M ' D . ∴ PM ＋ PD 的最小值是 M ' D 的长. 在Rt△ M ' CE 中， CM '＝ ，∠ M ' CE ＝45°， ∴△ M ' CE 为等腰直角三角形， ∴ M ' E ＝ CE ＝1. 答图 数学 九年级上册 BS版 ∵ CD ＝8，∴ DE ＝ CD － CE ＝7.在Rt△ M ' DE 中，由勾股定理，得 M ' D ＝ ＝ ＝5 ， ∴ PM ＋ PD 的最小值是5 .故答案为5 . 答图 数学 九年级上册 BS版 11. 如图，在正方形 ABCD 中， G 是对角线 BD 上的一点， GE ⊥ CD 于点 E ， GF ⊥ BC 于点 F ，连接 AG ， EF . （1）求证： AG ＝ EF ； 数学 九年级上册 BS版 （1）证明：如答图，连接 GC . ∵四边形 ABCD 是正方形， GE ⊥ CD ， GF ⊥ BC ， ∴∠ GEC ＝∠ GFC ＝90°＝∠ ECF . ∴四边形 GFCE 是矩形.∴ EF ＝ CG . ∵四边形 ABCD 是正方形， BD 为对角线， ∴∠ ADG ＝∠ CDG ＝45°， AD ＝ CD . 在△ ADG 和△ CDG 中， ∴△ ADG ≌△ CDG （SAS）.∴ AG ＝ CG . ∴ AG ＝ EF . 答图 数学 九年级上册 BS版 （2）若∠ DAG ＝30°， GE ＝1，求正方形 ABCD 的面积. （2）解：∵ GE ⊥ DE ，∠ GDE ＝45°， ∴ DE ＝ GE ＝1. 由（1）知，△ ADG ≌△ CDG ， ∴∠ DAG ＝∠ GCE ＝30°. ∴在Rt△ GCE 中， GC ＝2 GE ＝2. ∴ CE ＝ ＝ ＝ . ∴ CD ＝ CE ＋ DE ＝ ＋1. ∴正方形 ABCD 的面积＝（ ＋1）2＝4＋2 . 数学 九年级上册 BS版 12. 如图，已知点 D 在边 CG 上，四边形 ABCD 和 CEFG 均为正 方形，点 H 是 AF 的中点.求证： （1） BG ＝ DE ； 证明：（1）∵四边形 ABCD 和 CEFG 均为正方形， ∴∠ BCD ＝∠ DCE ＝90°， BC ＝ DC ， CG ＝ CE . 在△ BCG 和△ DCE 中， ∴△ BCG ≌△ DCE （SAS）. ∴ BG ＝ DE . 数学 九年级上册 BS版 （2） CH ＝ AF . 证明：（2）如图，连接 AC ， CF . ∵四边形 ABCD 和 CEFG 均为正方形， ∴∠ ACD ＝∠ FCG ＝45°. ∴∠ ACF ＝∠ ACD ＋∠ FCG ＝45°＋45°＝ 90°， 即△ ACF 是直角三角形. 又∵点 H 是斜边 AF 的中点， ∴ CH ＝ AF . 数学 九年级上册 BS版 13. （选做）在边长为5的正方形 ABCD 中，点 E 在边 CD 所在直 线上，连接 BE ，以 BE 为边，在 BE 的下方作正方形 BEFG ，并 连接 AG . （1）如图1，当点 D ， E 重合时，则 AG ＝ ⁠； 5 　 图1 数学 九年级上册 BS版 （1）【解析】如图1，连接 CG . ∵四边形 ABCD 和四边形 BEFG 都是正方形，∴∠ CDB ＝∠ CBD ＝45°，∠ DBG ＝90°， BD ＝ BG . ∴∠ CBG ＝45°.∴∠ CBG ＝∠ CBD . 在△ CBD 和△ CBG 中，∴△ CBD ≌△ CBG （SAS）.∴∠ DCB ＝ ∠ BCG ＝90°， DC ＝ CG ＝5. ∴ G ， C ， D 三点共线.∴ DG ＝10. ∴ AG ＝ ＝ ＝5 . 故答案为5 . 图1 数学 九年级上册 BS版 （2）如图2，当点 E 在线段 CD 上时，若 DE ＝2，求 AG 的长； 图2 数学 九年级上册 BS版 （2）解：如图2，过点 G 作 GK ⊥ AB ，交 AB 的延长线于点 K . ∵ DE ＝2， DC ＝5，∴ CE ＝3. ∵四边形 ABCD 和四边形 BEFG 都是正方形， ∴ BE ＝ BG ，∠ EBG ＝∠ EBC ＋∠ CBG ＝90°，∠ CBG ＋∠ GBK ＝90°.∴∠ EBC ＝∠ GBK . 在△ BCE 和△ BKG 中， ∴△ BCE ≌△ BKG （AAS）. ∴ CE ＝ KG ＝3， BC ＝ BK ＝5. ∴ AK ＝ AB ＋ BK ＝10. 在Rt△ AKG 中，由勾股定理，得AG ＝ ＝ . 图2 图2 数学 九年级上册 BS版 （3）若 AG ＝ ，请直接写出 DE 的长. （3）解：分三种情况： ①当点 E 在 CD 的延长线上时，如图3所示. 同理（2）可知，△ BCE ≌△ BKG （AAS）， ∴ BC ＝ BK ＝5， CE ＝ KG . ∴ AK ＝10. 在Rt△ AKG 中，由勾股定理，得 KG ＝ ＝ ＝ .∴ CE ＝ KG ＝ .此种情况不成立. 图3 图3 数学 九年级上册 BS版 ②当点 E 在边 CD 上时，如图4所示. 同理，得 CE ＝ KG ＝ . ∴ DE ＝ DC － CE ＝5－ ＝ . 图4 数学 九年级上册 BS版 ③当点 E 在 DC 的延长线上时，如图5所示. 同理，得 CE ＝ GK ＝ . ∴ DE ＝ DC ＋ CE ＝5＋ ＝ . 综上所述， DE 的长是 或 . 图5 数学 九年级上册 BS版 演示完毕 谢谢观看 数学 九年级上册 BS版 $$第一章　特殊平行四边形 1　菱形的性质与判定(第一课时) 数学 九年级上册 BS版 1. 如图，已知 AC 为菱形 ABCD 的对角线，∠ DAB ＝40°，则∠ BAC 的度数为（　B　） A. 15° B. 20° C. 25° D. 30° （第1题图） B 数学 九年级上册 BS版 2. （2023·深圳）如图，在▱ ABCD 中， AB ＝4， BC ＝6，将线 段 AB 水平向右平移 a 个单位长度得到线段 EF . 若四边形 ECDF 为菱形，则 a 的值为（　B　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 （第2题图） B 数学 九年级上册 BS版 3. （2023·浙江）如图，在菱形 ABCD 中， AB ＝1，∠ DAB ＝ 60°，则 AC 的长为（　D　） A. B. 1 C. D. （第3题图） D 数学 九年级上册 BS版 4. 如图，已知菱形 ABCD 的对角线 AC ， BD 相交于点 O ，过点 D 作 DH ⊥ AB 于点 H ，∠ BCD ＝50°，则∠ BDH 的度数 为 ⁠. 　 （第4题图） 25°　 数学 九年级上册 BS版 5. （2023·甘孜）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知菱形 AOBC 的顶点 B 在 x 轴的正半轴上，点 A 的坐标为（1， ）， 则点 C 的坐标为 ⁠. （第5题图） 　 数学 九年级上册 BS版 6. （2023·大连）如图，在菱形 ABCD 中，已知 AC ， BD 为菱形 的对角线，∠ DBC ＝60°， BD ＝10，点 F 为 BC 的中点，则 EF 的长为 ⁠. （第6题图） 5　 数学 九年级上册 BS版 7. 如图，点 E ， F 分别在菱形 ABCD 的边 BC ， CD 上，且 BE ＝ DF ，求证：∠ BAE ＝∠ DAF . 证明：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴∠ B ＝∠ D ， AB ＝ AD . 在△ ABE 和△ ADF 中， ∴△ ABE ≌△ ADF （SAS）. ∴∠ BAE ＝∠ DAF . 数学 九年级上册 BS版 8. （2022·西宁）如图，已知四边形 ABCD 是菱形， AE ⊥ BC 于 点 E ， AF ⊥ CD 于点 F . （1）求证：△ ABE ≌△ ADF ； （1）证明：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴ AB ＝ BC ＝ CD ＝ AD ，∠ B ＝∠ D . ∵ AE ⊥ BC ， AF ⊥ CD ， ∴∠ AEB ＝∠ AFD ＝90°. 在△ ABE 和△ ADF 中， ∴△ ABE ≌△ ADF （AAS）. 数学 九年级上册 BS版 （2）若 AE ＝4， CF ＝2，求菱形的边长. （2）解：设菱形的边长为 x ， 则 AB ＝ CD ＝ x ， DF ＝ x －2. ∵△ ABE ≌△ ADF ， ∴ BE ＝ DF ＝ x －2. 在Rt△ ABE 中，由勾股定理，得 AE2＋ BE2＝ AB2， 即42＋（ x －2）2＝ x2， 解得 x ＝5. 故菱形的边长为5. 数学 九年级上册 BS版 9. 如图，在菱形 ABCD 中，∠ BAD ＝60°， AB ＝6，对角线 AC 与 BD 相交于点 O . 若点 E 在 AC 上，且 OE ＝ ，则 CE 的长 为 ⁠. （第9题图） 4 或2 　 数学 九年级上册 BS版 10. 如图，在边长为2 cm的菱形 AFEO 中，∠ AFE ＝120°，过点 O 作两条夹角为60°的射线，分别交边 AF 和边 FE 于点 M ， N ， 连接 MN ， OF . 下列结论：① OF ＝ OA ；② S四边形 OMFN ＝ cm2；③ MN 的长度为定值；④△ OMN 为等边三角形.其中正确 的有 （填序号）. ①②④　 （第10题图） 数学 九年级上册 BS版 【解析】∵四边形 AFEO 是菱形，∠ AFE ＝120°，∴ OA ＝ AF ，∠ A ＝60°.∴△ AOF 是等边三角形.∴ OF ＝ OA ，∠ AOF ＝ 60°.∴①正确.∵∠ MON ＝60°，∴∠ AOM ＝∠ FON . 在△ AOM 和△ FON 中，∴△ AOM ≌△ FON （ASA）.∴ OM ＝ ON . ∴△ OMN 是等边三角形.∴④正确. ∵ OM 的长度不是定值，∴ MN 的长度不是定值.∴③不正 确.∵△ AOM ≌△ FON ，∴ S△ AOM ＝ S△ FON . ∴ S四边形 OMFN ＝ S△ AOF ＝ ×2× ＝ （cm2）.∴②正确.综上所述，①②④正 确.故答案为①②④. 数学 九年级上册 BS版 11. 如图，已知菱形 ABCD 和菱形 BEFG 的边长分别是5和2， ∠ A ＝60°，连接 DF ，求 DF 的长. 解：如答图，延长 FG 交 AD 于点 M ，过点 D 作 DH ⊥ AB 于点 H ，交 GM 于点 N . ∵四边形 ABCD 和四边形 BEFG 都是菱形， ∴ GF ∥ BE ， EF ∥ AM . 答图 ∴四边形 AEFM 是平行四边形， DN ⊥ MN . ∴ AM ＝ EF ＝2， MF ＝ AE ＝ AB ＋ BE ＝5＋2＝7. 数学 九年级上册 BS版 ∴ DM ＝ AD － AM ＝5－2＝3. ∵∠ A ＝60°， DH ⊥ AB ， ∴∠ ADH ＝30°. ∴ MN ＝ DM ＝ ×3＝ . ∴ DN ＝ ＝ ， 答图 NF ＝ MF － MN ＝7－ ＝ . 在Rt△ DNF 中，根据勾股定理，得 DF ＝ ＝ ＝ . 数学 九年级上册 BS版 12. （选做）如图，在菱形 ABCD 中，已知 AB ＝4，∠ A ＝ 120°，点 P ， Q ， K 分别为线段 BC ， CD ， BD 上任意一点，求 PK ＋ QK 的最小值. 解：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴ AD ∥ BC ， BC ＝ AB ＝4. ∵∠ A ＝120°， ∴∠ ABC ＝180°－∠ A ＝180°－120°＝60°. 数学 九年级上册 BS版 如答图，作点 P 关于直线 BD 的对称点 P '. 过点 P '作 CD 的垂线，垂足为 Q ， P ' Q 交 BD 于点 K ，则 P ' Q 的 长即为 PK ＋ QK 的最小值. 由图可知，此最小值等于菱形 CD 边上的高的长度. 过点 C 作 CP ″⊥ CD ，交 AB 于点 P ″， 则 P ' Q ＝ CP ″，∠ BP ″ C ＝∠ P ″ CD ＝90°. 答图 数学 九年级上册 BS版 在Rt△ BCP ″中，∠ ABC ＝60°，∠ BP ″ C ＝90°， ∴∠ BCP ″＝30°. ∴ BP ″＝ BC ＝ ×4＝2. ∴ CP ″＝ ＝ ＝2 . 故 PK ＋ QK 的最小值为2 . 答图 数学 九年级上册 BS版 演示完毕 谢谢观看 数学 九年级上册 BS版 $$第一章　特殊平行四边形 1　菱形的性质与判定(第三课时) 数学 九年级上册 BS版 1. 如图，在菱形 ABCD 中，过点 A 作 AE ⊥ BC 于点 E . 若菱形 ABCD 的面积为24， AE ＝4，则 AB 的长为（　B　） A. 12 B. 6 C. D. 2 （第1题图） B 数学 九年级上册 BS版 2. （2022·河南）如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC ， BD 相交 于点 O ，点 E 为 CD 的中点.若 OE ＝3，则菱形 ABCD 的周长为 （　C　） A. 6 B. 12 C. 24 D. 48 （第2题图） C 数学 九年级上册 BS版 3. （2023·随州）如图，在▱ ABCD 中，分别以点 B ， D 为圆 心，大于 BD 的长为半径画弧，两弧相交于点 M ， N ，过 M ， N 两点作直线交 BD 于点 O ，分别交 AD ， BC 于点 E ， F ，下列 结论不正确的是（　D　） A. AE ＝ CF B. DE ＝ BF C. OE ＝ OF D. DE ＝ DC （第3题图） D 数学 九年级上册 BS版 4. 如图，菱形 ABCD 的对角线 AC ， BD 相交于点 O ，过点 A 作 AH ⊥ BC 于点 H ，连接 OH . 若 OB ＝4， ＝24，则 OH 的长为 ⁠. （第4题图） 3　 数学 九年级上册 BS版 5. 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC ， BD 相交于点 O ，点 E 在线段 BO 上，连接 AE . 若 CD ＝2 BE ，∠ DAE ＝∠ DEA ， EO ＝1，则线段 AE 的长为 ⁠. （第5题图） 2 　 数学 九年级上册 BS版 6. 如图，在Rt△ ABC 中，∠ ACB ＝90°，斜边 AB ＝ ，过点 C 作 CF ∥ AB ，以 AB 为边作菱形 ABEF . 若∠ F ＝30°，则Rt△ ABC 的面积为 ⁠. （第6题图） 　 数学 九年级上册 BS版 7. 如图，在四边形 ABCD 中，已知 AD ∥ BC ，对角线 BD 的垂直 平分线与边 AD ， BC 分别相交于点 M ， N ，且 BD ＝24， MN ＝ 10，求四边形 BNDM 的周长. 解：∵ AD ∥ BC ， ∴∠ CBD ＝∠ ADB . ∵ MN 是对角线 BD 的垂直平分线， ∴ OB ＝ OD ， MB ＝ MD . 在△ BON 和△ DOM 中， ∴△ BON ≌△ DOM （ASA）. 数学 九年级上册 BS版 ∴ BN ＝ DM . 又∵ BN ∥ DM ， ∴▱ BNDM 为平行四边形. 又∵ MB ＝ MD ， ∴四边形 BNDM 为菱形. ∴∠ BOM ＝90°， OB ＝ BD ＝12， OM ＝ MN ＝5. 在Rt△ BOM 中，根据勾股定理，得 BM ＝ ＝ ＝13. ∴菱形 BNDM 的周长＝4 BM ＝4×13＝52. 数学 九年级上册 BS版 8. 如图，在四边形 ABCD 中，已知 AB ＝ AD ， BD 平分∠ ABC ， AC ⊥ BD ，垂足为 O . （1）求证：四边形 ABCD 是菱形； （1）证明：∵ AB ＝ AD ，∴∠ ABD ＝∠ ADB . ∵ BD 平分∠ ABC ， ∴∠ ABD ＝∠ CBD . ∴∠ ADB ＝∠ CBD . ∴ AD ∥ BC . ∵ AC ⊥ BD ， AB ＝ AD ，∴ BO ＝ DO . 在△ AOD 和△ COB 中， 数学 九年级上册 BS版 ∴△ AOD ≌△ COB （ASA）.∴ AD ＝ BC . 又∵ AD ∥ BC ，∴四边形 ABCD 是平行四边形. 又∵ AC ⊥ BD ，∴▱ ABCD 是菱形. 数学 九年级上册 BS版 （2）解：∵四边形 ABCD 是菱形， BD ＝2 ， ∴ OD ＝ BD ＝ . ∴ OC ＝ ＝2.∴ AC ＝2 OC ＝4. ∴ S菱形 ABCD ＝ AC · BD ＝ ×4×2 ＝4 . （2）若 CD ＝3， BD ＝2 ，求四边形 ABCD 的面积. 数学 九年级上册 BS版 9. 如图， AC 是菱形 ABCD 的对角线，点 P 是 AC 上的一个动 点，过点 P 分别作 AB 和 BC 的垂线，垂足分别是 F ， E . 若菱形 的周长是12，面积是6，则 PE ＋ PF 的值是 ⁠. 2　 数学 九年级上册 BS版 【解析】连接 BP . ∵菱形的周长是12，∴ AB ＝ BC ＝ ×12＝ 3.∵ S△ ABC ＝ S△ ABP ＋ S△ BCP ＝ S菱形 ABCD ＝ ×6＝3，∴ S△ ABP ＋ S△ BCP ＝ AB · PF ＋ BC · PE ＝3，即 ×3· PF ＋ ×3· PE ＝3. ∴ PE ＋ PF ＝3× ＝2.故答案为2. 数学 九年级上册 BS版 10. 在平面直角坐标系中，点 A ， B ， C ， D 的坐标分别为（－ 3，0），（ x ， y ），（0，4），（－6， z ）.若以点 A ， B ， C ， D 为顶点的四边形是菱形，则 z 的值为 ⁠. 4或 　 数学 九年级上册 BS版 【解析】①若 AB ， CD 是对角线，则四边形 ADBC 为菱形， ∴ AC ＝ AD . ∴32＋42＝（－3＋6）2＋ z2.解得 z1＝4， z2＝－4.当 z ＝－4时，点 A ， C ， D 都在直线 y ＝ x ＋4上，故舍去.②若 AC ， BD 为对角线.同理，由 DA ＝ DC ，有（－3＋6）2＋ z2＝62 ＋（4－ z ）2.解得 z3＝ .③若 AD ， BC 为对角线.由 CA ＝ CD ， 有32＋42＝62＋（4－ z ）2，无解.综上所述， z ＝4或 .故答案为 4或 . 数学 九年级上册 BS版 11. 如图，在等腰三角形 ABC 中， AB ＝ AC ， AD 平分∠ BAC 交 BC 于点 D . 在线段 AD 上任取一点 P （点 A 除外），过点 P 作 EF ∥ AB ，分别交 AC ， BC 于点 E ， F ，作 PQ ∥ AC ，交 AB 于点 Q ，连接 QE . 数学 九年级上册 BS版 （1）判断四边形 AQPE 的形状，并说明理由； （1）解：四边形 AQPE 为菱形.理由如下： ∵ EF ∥ AB ， PQ ∥ AC ， ∴四边形 AQPE 为平行四边形，∠ BAD ＝∠ EPA . ∵ AD 平分∠ BAC ，∴∠ CAD ＝∠ BAD . ∴∠ CAD ＝∠ EPA . ∴ EA ＝ EP . ∴▱ AQPE 为菱形. 数学 九年级上册 BS版 （2）当点 P 在何处时，四边形 AQPE 的面积为四边形 EQBF 面 积的一半？ （2）解：当点 P 为 EF 的中点，即 AP ＝ AD 时， S菱形 AQPE ＝ S四边形 EQBF . 理由如下： ∵四边形 AQPE 为菱形， ∴ AD ⊥ EQ . ∵ AB ＝ AC ， AD 平分∠ BAC ， ∴ AD ⊥ BC . ∴ EQ ∥ BC . 又∵ EF ∥ AB ， ∴四边形 EQBF 为平行四边形. 数学 九年级上册 BS版 如图，过点 E 作 EN ⊥ AB 于点 N . ∴ S菱形 AQPE ＝ EP · EN ＝ EF · EN ＝ S四边形 EQBF . 数学 九年级上册 BS版 12. 如图，已知菱形 ABCD 的对角线 BD ＝8，另一条对角线的长 为6，点 M ， N 分别是边 BC ， CD 的中点，点 P 是对角线 BD 上 一点.求 PM ＋ PN 的最小值. 数学 九年级上册 BS版 解：如答图，作点 M 关于 BD 的对称点 Q ，连接 NQ ，交 BD 于 点 P ，连接 NP . 易知 PQ ＝ PM ，∴ PM ＋ PN ＝ PQ ＋ PN . 由“两点之间，线段最短”可知，此时 PM ＋ PN 的值最小.连接 AC ，则点 P 是 AC 的中点. ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴ AC ⊥ BD ，∠ QBP ＝∠ MBP . ∴点 Q 在 AB 上. 由折叠的性质，得 MQ ⊥ BD ，∴ AC ∥ MQ . ∵点 M 为 BC 的中点，∴点 Q 为 AB 的中点. 答图 数学 九年级上册 BS版 ∵点 N 为 CD 的中点，四边形 ABCD 是菱形， ∴ BQ ∥ CN ， BQ ＝ CN . ∴四边形 QBCN 是平行四边形. ∴ PQ ∥ AD . 又∵点 Q 是 AB 的中点， ∴ PQ 是△ ABD 的中位线， 即点 P 是 BD 的中点. 同理可得， PM 是△ ABC 的中位线， ∴点 P 是 AC 的中点. 答图 数学 九年级上册 BS版 ∴点 P 是菱形 ABCD 对角线的交点. ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴ AC ⊥ BD ， CP ＝ AC ＝3， BP ＝ BD ＝4. 在Rt△ BPC 中，由勾股定理，得 BC ＝ ＝5.∴ QN ＝5. ∴ PM ＋ PN ＝ PQ ＋ PN ＝ QN ＝5. 故 PM ＋ PN 的最小值为5. 答图 数学 九年级上册 BS版 13. （选做）已知 AC 是菱形 ABCD 的对角线，点 E 在 BC 上，连 接 AE ，且 AE ＝ AC . （1）如图1，若∠ D ＝30°， BE ＝4，求 AC 的长； 图1 数学 九年级上册 BS版 （1）解：∵四边形 ABCD 是菱形，∠ D ＝30°， ∴∠ B ＝30°，∠ ACB ＝∠ ACD ＝ ∠ BCD ＝ ×（180°－30°） ＝75°. 如图1，过点 E 作 EF ⊥ AB 于点 F ， 则∠ BEF ＝90°－∠ B ＝90°－30°＝60°. ∵ AE ＝ AC ， ∴∠ AEC ＝∠ ACE ＝75°. ∴∠ AEF ＝180°－∠ AEC －∠ BEF ＝180°－75°－60°＝45°. 图1 数学 九年级上册 BS版 ∴△ AEF 是等腰直角三角形. ∴ AE ＝ ＝ ＝ EF . 在Rt△ BEF 中， EF ＝ BE ＝ ×4＝2. ∴ AC ＝ AE ＝2 . 图1 图1 数学 九年级上册 BS版 （2）如图2，过点 C 作 CH ⊥ AB 于点 H ，点 F 为 CD 上一点，连 接 AF ，∠ DAF ＝∠ BAE ， DF ＝ AH ，求证： AB ＝3 AH . 图2 数学 九年级上册 BS版 （2）证明：如图2，在线段 AB 上取一点 G ，使 BG ＝ BE ，连接 CG . ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴∠ B ＝∠ D ， AB ＝ AD ＝ BC . 在△ BAE 和△ DAF 中， ∴△ BAE ≌△ DAF （ASA）. ∴ BE ＝ DF ， AE ＝ AF . ∴ BG ＝ DF . 图2 数学 九年级上册 BS版 在△ CBG 和△ ABE 中， ∴△ CBG ≌△ ABE （SAS）.∴ CG ＝ AE . 又∵ AE ＝ AC ，∴ CG ＝ AC . ∵ CH ⊥ AB ，∴ AH ＝ HG . ∵ AH ＝ DF ， BG ＝ DF ， ∴ AH ＝ HG ＝ BG . ∴ AB ＝3 AH . 图2 数学 九年级上册 BS版 演示完毕 谢谢观看 数学 九年级上册 BS版 $$第一章　特殊平行四边形 2　矩形的性质与判定(第三课时) 数学 九年级上册 BS版 1. 如图，在矩形 COED 中，已知点 D 的坐标是（2，3），则 CE 的长是（　A　） A. B. 2 C. 4 D. （第1题图） A 数学 九年级上册 BS版 2. 如图，在矩形 ABCD 中，已知 AB ＝6， BC ＝8， AE ⊥ BD 于 点 F ，则线段 AF 的长是（　C　） A. 6 B. 5 C. 4.8 D. 4 （第2题图） C 数学 九年级上册 BS版 3. 如图，在Rt△ ABC 中，∠ ACB ＝90°， AC ＝3， BC ＝4，点 D 是 AB 上的动点，过点 D 作 DE ⊥ AC 于点 E ， DF ⊥ BC 于点 F ， 连接 EF ，则线段 EF 的最小值是（　D　） A. 1.2 B. 2.5 C. 1.5 D. 2.4 （第3题图） D 数学 九年级上册 BS版 4. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC ， BD 交于点 O ， DE 平分 ∠ ADC . 若∠ AOB ＝60°，则∠ COE 的大小为 ⁠ . （第4题图） 75°　 数学 九年级上册 BS版 5. 如图，四边形 ABCD 和四边形 AEFC 是两个矩形，点 B 在 EF 边上.若矩形 ABCD 和矩形 AEFC 的面积分别为 S1， S2，则 S1与 S2 的大小关系是 S1 S2（填“＞”“＜”或“＝”）. （第5题图） ＝　 数学 九年级上册 BS版 6. 如图，在四边形 ABCD 中，已知 AB ∥ CD ， AB ⊥ BD ， AB ＝ 5， BD ＝4， CD ＝3，点 E 是 AC 的中点，则 AE 的长为 ⁠ ⁠. （第6题图） 2 　 数学 九年级上册 BS版 7. 如图，延长矩形 ABCD 的边 BC 至点 E ，使 CE ＝ BD ，连接 AE ，∠ ADB ＝38°，求∠ E 的度数. 数学 九年级上册 BS版 解：如答图，连接 AC ，交 BD 于点 O . ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴ AD ∥ BE ， AC ＝ BD ， OB ＝ OD ， OA ＝ OC . ∴∠ CBD ＝∠ ADB ＝38°， OB ＝ OC . ∴∠ ACB ＝∠ CBD ＝38°. ∵ CE ＝ BD ，∴ CE ＝ AC . ∴∠ E ＝∠ CAE . ∵∠ ACB ＝∠ CAE ＋∠ E ＝38°， ∴∠ E ＝19°. 答图 数学 九年级上册 BS版 8. 如图，在▱ ABCD 中，已知过点 D 作 DE ⊥ AB 于点 E ，点 F 在 边 CD 上， CF ＝ AE . 连接 AF ， BF . （1）求证：四边形 BFDE 是矩形； （1）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AB ∥ CD ， AB ＝ CD . ∵ AE ＝ CF ， ∴ AB － AE ＝ CD － CF ，即 BE ＝ DF . ∵点 E 在边 AB 上，点 F 在边 CD 上， ∴ BE ∥ DF . 数学 九年级上册 BS版 ∴四边形 BFDE 是平行四边形. ∵ DE ⊥ AB ， ∴∠ DEB ＝90°. ∴▱ BFDE 是矩形. 数学 九年级上册 BS版 （2）若∠ DAB ＝60°， AF 平分∠ DAB ， AD ＝4，求 AB 的长. （2）解：∵ DE ⊥ AB ，∴∠ AED ＝90°. 在Rt△ ADE 中，∵∠ DAE ＝60°， ∴∠ ADE ＝30°.∴ AE ＝ AD ＝2. ∴ DE ＝ ＝2 . ∵四边形 BFDE 是矩形， ∴ BF ＝ DE ＝2 . ∵∠ DAB ＝60°， AF 平分∠ DAB ， 数学 九年级上册 BS版 ∴∠ DAF ＝∠ BAF ＝ ∠ DAB ＝30°. ∵四边形 BFDE 是矩形， ∴∠ ABF ＝90°. 在Rt△ ABF 中，∠ BAF ＝30°， ∴ AF ＝2 BF ＝4 . ∴ AB ＝ ＝6. 数学 九年级上册 BS版 9. （2022·抚顺）如图，在Rt△ ABC 中，已知∠ ACB ＝90°，∠ B ＝60°， BC ＝2，点 P 为斜边 AB 上的一个动点（点 P 不与点 A ， B 重合），过点 P 作 PD ⊥ AC ， PE ⊥ BC ，垂足分别为 D ， E ， 连接 DE ， PC 交于点 Q ，连接 AQ . 当△ APQ 为直角三角形时， AP 的长是 ⁠. 3或2 　 （第9题图） 数学 九年级上册 BS版 【解析】∵在Rt△ ABC 中，∠ ACB ＝90°，∠ B ＝60°， BC ＝ 2，∴∠ BAC ＝30°.∴ AB ＝2 BC ＝4.∴ AC ＝ ＝2 .①当∠ APQ ＝90°时，如图1，则 AP ⊥ CP . ∴ S△ ABC ＝ AC · BC ＝ AB · CP . ∴2 ×2＝4 CP . ∴ CP ＝ .在Rt△ ACP 中，由勾股定理，得 AP ＝ ＝3；②当∠ AQP ＝90° 时，如图2.∵ PD ⊥ AC ， PE ⊥ BC ，∠ ACB ＝90°，∴四边形 CDPE 是矩形.∴ CQ ＝ PQ . ∵ AQ ⊥ CP ，∴△ ACP 是等腰三角 形.∴ AP ＝ AC ＝2 .综上所述， AP 的长是3或2 .故答案为3 或2 . 图1 图2 数学 九年级上册 BS版 10. 如图，在矩形 ABCD 中， AB ＝1， BC ＝2，点 A 在 x 轴正半 轴上，点 D 在 y 轴正半轴上.当点 A 在 x 轴上运动时，点 D 也随之 在 y 轴上运动，在这个运动过程中，则点 C 到原点 O 的最大距离 为 ⁠. ＋1　 （第10题图） 数学 九年级上册 BS版 【解析】如图，取 AD 的中点 H ，连接 CH ， OH . 在矩形 ABCD 中， AB ＝1， BC ＝2，∴ CD ＝ AB ＝1， AD ＝ BC ＝2.∵点 H 是 AD 的中点，∴ AH ＝ DH ＝1.∴ CH ＝ ＝ ＝ .∵∠ AOD ＝90°，点 H 是 AD 的中点，∴ OH ＝ AD ＝1.在△ OCH 中， CO ＜ OH ＋ CH ，当点 H 在 OC 上时， CO ＝ OH ＋ CH ，∴ CO 的最大值为 CH ＋ OH ＝ ＋1.故答案为 ＋1. 数学 九年级上册 BS版 11. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 的垂直平分线分别与边 AB 和边 CD 的延长线交于点 M ， N ，与边 AD 交于点 E ，垂足为 O . （1）求证：△ AOM ≌△ CON ； 数学 九年级上册 BS版 （1）证明：∵ MN 是 AC 的垂直平分线， ∴ AO ＝ CO ，∠ AOM ＝∠ CON ＝90°. ∵四边形 ABCD 是矩形，∴ AB ∥ CD . ∴∠ M ＝∠ N . 在△ AOM 和△ CON 中， ∴△ AOM ≌△ CON （AAS）. 数学 九年级上册 BS版 （2）若 AB ＝3， AD ＝6，求 AE 的长. （2）解：如图，连接 CE . ∵ MN 是 AC 的垂直平分线，∴ CE ＝ AE . 设 AE ＝ CE ＝ x ，则 DE ＝6－ x . ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠ CDE ＝90°， CD ＝ AB ＝3. 在Rt△ CDE 中， CD2＋ DE2＝ CE2， 即32＋（6－ x ）2＝ x2， 解得 x ＝ .故 AE 的长为 . 数学 九年级上册 BS版 12. 如图，已知菱形 ABCD 的对角线 AC ， BD 相交于点 O ，点 E 是 AD 的中点，点 F ， G 在 AB 上， EF ⊥ AB ， OG ∥ EF . （1）判断四边形 OEFG 的形状； 解：（1）四边形 OEFG 是矩形.理由如下： 在菱形 ABCD 中， DO ＝ BO . ∵点 E 是 AD 的中点， ∴ AE ＝ DE ， OE ∥ AB . ∴ OE ∥ FG . 数学 九年级上册 BS版 又∵ OG ∥ EF ， ∴四边形 OEFG 是平行四边形. ∵ EF ⊥ AB ，∴∠ EFG ＝90°. ∴▱ OEFG 是矩形. 数学 九年级上册 BS版 （2）若 AC ＝8， BD ＝6，求菱形 ABCD 的面积和 EF 的长. 解：（2）菱形 ABCD 的面积＝ AC · BD ＝ ×8×6＝24. ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴ BD ⊥ AC ， AO ＝ AC ＝4， BO ＝ BD ＝3. ∴ AB ＝ ＝5. 由（1）知，四边形 OEFG 是矩形， 数学 九年级上册 BS版 ∴ EF ＝ OG ， OG ⊥ AB . ∴ AO · BO ＝ AB · OG . ∴ OG ＝ ＝ . ∴ EF ＝ . 数学 九年级上册 BS版 13. （选做）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，矩形 ABCD 的边 AB ＝4， BC ＝6.若不改变矩形 ABCD 的形状和大小，当矩形顶 点 A 在 x 轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点 D 始终在 y 轴的正半轴上随之上下移动. 数学 九年级上册 BS版 （1）当∠ OAD ＝30°时，求 OD 的长及点 C 的坐标. 解：（1）如答图，过点 C 作 CE ⊥ y 轴于点 E . 在矩形 ABCD 中， CD ⊥ AD ， ∴∠ CDE ＋∠ ADO ＝90°. 又∵∠ OAD ＋∠ ADO ＝90°， ∴∠ CDE ＝∠ OAD ＝30°. 又∵四边形 ABCD 是矩形， ∴ CD ＝ AB ＝4， AD ＝ BC ＝6. 在Rt△ CED 中， CE ＝ CD ＝2. 答图 数学 九年级上册 BS版 ∴ DE ＝ ＝2 . 在Rt△ OAD 中，∠ OAD ＝30°， ∴ OD ＝ AD ＝3. ∴ OE ＝ OD ＋ DE ＝3＋2 . ∴点 C 的坐标为（2，3＋2 ）. 答图 数学 九年级上册 BS版 答图 （2）设 AD 的中点为 M . ①连接 OM ， MC ，当四边形 OMCD 的面积为 时，求 OA 的长； ②当点 A 移动到某一位置时，点 C 到点 O 的距离有最大值，请 求出其最大值. 数学 九年级上册 BS版 解：（2）①∵点 M 是 AD 的中点， ∴ DM ＝3， S△ DCM ＝ DC · DM ＝ ×4×3＝6. 又∵ S四边形 OMCD ＝ ， ∴ S△ ODM ＝ S四边形 OMCD － S△ DCM ＝ －6＝ . ∴ S△ AOD ＝2 S△ ODM ＝9. 设 OA ＝ x ， OD ＝ y ，则 xy ＝9.∵ OA2＋ OD2＝ AD2， ∴ x2＋ y2＝36.∴ x ＝ y ＝3 （负值已舍去）.∴ OA ＝3 . 数学 九年级上册 BS版 ②如答图，连接 OC . ∵点 M 是 AD 的中点， ∴ AM ＝ DM ＝ OM ＝ AD ＝3. 在Rt△ CDM 中， CM ＝ ＝5. ∵ OC ≤ OM ＋ CM ， 答图 ∴当 O ， M ， C 三点共线时， OC 有最大值. 此时， OC ＝ OM ＋ CM ＝8. 故点 C 到点 O 的距离的最大值为8. 答图 数学 九年级上册 BS版 演示完毕 谢谢观看 数学 九年级上册 BS版 $$第一章　特殊平行四边形 3　正方形的性质与判定(第二课时) 数学 九年级上册 BS版 1. （2022·滨州）下列命题中，是真命题的是（　D　） A. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形 B. 有一个角是直角的四边形是矩形 C. 对角线互相平分的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直的矩形是正方形 D 数学 九年级上册 BS版 2. 已知四边形 ABCD 是平行四边形，对角线 AC 和 BD 交于点 O . 下列三个结论：①当 AB ＝ BC 时，则它是菱形；②当∠ ABC ＝ 90°时，它是正方形；③当 AC ⊥ BD 时，则它是矩形.其中正确 的有（　B　） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 B 数学 九年级上册 BS版 3. 如图，在△ ABC 中，点 D 是边 BC 上的一点（与 B ， C 两点不 重合），过点 D 作 DE ∥ AC ， DF ∥ AB ，分别交 AB ， AC 于点 E ， F . 下列说法正确的是（　D　） A. 四边形 AEDF 一定是矩形 B. 四边形 AEDF 一定是菱形 C. 四边形 AEDF 一定是正方形 D. 四边形 AEDF 一定是平行四边形 （第3题图） D 数学 九年级上册 BS版 4. （2023·黑龙江）如图，矩形 ABCD 的对角线 AC ， BD 相交于 点 O ，再添加一个条件，使得四边形 ABCD 是正方形，则这个 条件可以是 （写出一个条件即 可）. （第4题图） AB ＝ AD （答案不唯一）　 数学 九年级上册 BS版 5. 如图，点 D ， E ， F 分别是△ ABC 三边的中点，下列判断： ①四边形 AEDF 一定是平行四边形；②若 AD 平分∠ BAC ，则四 边形 AEDF 是正方形；③若 AD ⊥ BC ，则四边形 AEDF 是菱形； ④若∠ BAC ＝90°，则四边形 AEDF 是矩形.正确的是 ⁠ （填序号）. ①③④　 （第5题图） 数学 九年级上册 BS版 6. 如图，在四边形 ABCD 中， AB ＝ BC ，∠ ABC ＝∠ CDA ＝ 90°， BE ⊥ AD ，垂足为 E . 若四边形 ABCD 的面积为12，则 BE ＝ ⁠. （第6题图） 2 　 数学 九年级上册 BS版 7. 如图，在矩形 ABCD 中，已知 BE 平分∠ ABC ， CE 平分∠ DCB ， BF ∥ CE ， CF ∥ BE . 求证：四边形 BFCE 是正方形. 证明：∵ BF ∥ CE ， CF ∥ BE ， ∴四边形 BFCE 是平行四边形. 在矩形 ABCD 中， BE 平分∠ ABC ， CE 平分∠ DCB ， ∴∠ EBC ＝∠ ECB ＝45°. ∴∠ BEC ＝90°， BE ＝ CE . ∴▱ BECF 是正方形. 数学 九年级上册 BS版 8. 如图，在▱ ABCD 中，已知对角线 AC ， BD 交于点 O ，点 E 是 DB 延长线上一点，且△ ACE 是等边三角形. （1）求证：四边形 ABCD 是菱形； 证明：（1）∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AO ＝ CO . ∵△ ACE 是等边三角形， ∴ AE ＝ CE . ∴ EO ⊥ AC . ∴▱ ABCD 是菱形. 数学 九年级上册 BS版 （2）若∠ AEB ＝2∠ EAB ，求证：四边形 ABCD 是正方形. 证明：（2）∵四边形 ABCD 是菱形， ∴∠ AOE ＝90°. ∴△ AOE 是直角三角形. ∴∠ AEB ＋∠ EAO ＝90°. ∵△ ACE 是等边三角形， ∴∠ EAO ＝60°.∴∠ AEB ＝30°. ∵∠ AEB ＝2∠ EAB ，∴∠ EAB ＝15°. ∴∠ BAO ＝∠ EAO －∠ EAB ＝60°－15°＝45°. 数学 九年级上册 BS版 又∵四边形 ABCD 是菱形， ∴∠ BAD ＝2∠ BAO ＝90°. ∴菱形 ABCD 是正方形. 数学 九年级上册 BS版 9. 如图，在四边形 ABCD 中，已知 AB ＝ AD ，∠ BAD ＝∠ BCD ＝90°，∠ B ＝80°，连接 AC ，则∠ CAD 的度数为 ⁠. 35°　 数学 九年级上册 BS版 【解析】如答图，过点 A 作 AE ⊥ BC 于点 E ， AF ⊥ CD 交 CD 的 延长线于点 F ，则∠ AEB ＝∠ AEC ＝∠ F ＝90°.又∵∠ BCD ＝ 90°，∴四边形 AECF 是矩形.∴∠ FAE ＝90°.又∵∠ BAD ＝90°， ∴∠ FAE ＝∠ BAD . ∴∠ FAD ＝∠ BAE ＝90°－∠ EAD . 在△ AEB 和△ AFD 中，∴△ AEB ≌△ AFD . ∴ AE ＝ AF . ∴四边形 AECF 是正方形.∴∠ ACB ＝∠ ACD ＝45°. 在四边形 ABCD 中，∠ BAD ＝∠ BCD ＝90°，∠ B ＝80°，∴∠ ADC ＝360°－90°－90°－80°＝100°. ∴∠ CAD ＝180°－100°－45°＝35°.故答案为35°. 答图 数学 九年级上册 BS版 10. 如图，四边形 ABCD 为正方形，点 O 为 AC ， BD 的交点，△ DCE 为直角三角形，∠ CED ＝90°， OE ＝2 .若 CE · DE ＝3， 则正方形 ABCD 的面积为 ⁠. 10　 数学 九年级上册 BS版 【解析】如答图，过点 O 作 OM ⊥ CE 于点 M ， ON ⊥ DE 交 ED 的延长线于点 N . 又∵∠ CED ＝90°，∴四边形 OMEN 是矩 形.∴∠ MON ＝90°.∵四边形 ABCD 是正方形，∴ OC ＝ OD ， AC ⊥ BD . ∵∠ COM ＋∠ DOM ＝90°，∠ DON ＋∠ DOM ＝ 90°.∴∠ COM ＝∠ DON . 在△ COM 和△ DON 中， ∴△ COM ≌△ DON . ∴ OM ＝ ON ， CM ＝ DN . 答图 数学 九年级上册 BS版 ∴四边形 OMEN 是正方形.∴ ON ＝ EN . 在Rt△ OEN 中，∵ OE ＝2 ， ∴ NE2＋ NO2＝2 NE2＝ OE2＝8.∴ NE ＝ ON ＝2.∴ DE ＋ CE ＝ DE ＋ EM ＋ MC ＝ DE ＋ EM ＋ DN ＝ EN ＋ EM ＝2 EN ＝4.设 DE ＝ a ， CE ＝ b ，则 a ＋ b ＝4.∵ CE · DE ＝ 3，∴ ab ＝3.∴ CD2＝ a2＋ b2＝ －2 ab ＝42－2×3＝10. ∴ S正方形 ABCD ＝10.故答案为10. 答图 数学 九年级上册 BS版 11. 如图，在Rt△ ABC 中，已知∠ C ＝90°，∠ BAM 和∠ ABN 是 △ ABC 的两个外角， AD 平分∠ BAM ，交∠ ABN 的平分线 BD 于 点 D ，过点 D 分别作 DE ⊥ CM 于点 E ， DF ⊥ CN 于点 F . （1）试猜想四边形 CEDF 的形状，并说明你的理由； 数学 九年级上册 BS版 （1）解：四边形 CEDF 的形状是正方形.理由如下： 如答图，过点 D 作 DG ⊥ AB 于点 G . ∵ DE ⊥ AC ， DF ⊥ BC ，∠ C ＝90°， ∴∠ C ＝∠ DEC ＝∠ DFC ＝90°. ∴四边形 CEDF 是矩形. ∵ AD 平分∠ BAE ， BD 平分∠ ABF ， DE ⊥ AC ， DG ⊥ AB ， DF ⊥ BC ， ∴ DE ＝ DG ， DF ＝ DG . 答图 ∴ DE ＝ DF . ∴矩形 CEDF 是正方形. 答图 数学 九年级上册 BS版 （2）若 AE ＝ BF ，试证明： AC ＝ AE . （2）证明：在Rt△ DEA 和Rt△ DGA 中， ∴Rt△ DEA ≌Rt△ DGA （HL）.∴ AE ＝ AG . 同理可证， BF ＝ BG . ∵四边形 CEDF 是正方形，∴ CE ＝ CF . ∵ AE ＝ BF ，∴ CE － AE ＝ CF － BF ，即 AC ＝ BC . 在Rt△ ABC 中，∵ AB2＝ AC2＋ BC2， 即（ AG ＋ BG ）2＝ AC2＋ BC2， ∴（ AE ＋ BF ）2＝ AC2＋ AC2＝2 AC2.∴（2 AE ）2＝2 AC2. ∴ AC ＝ AE . 数学 九年级上册 BS版 12. 如图，在正方形 ABCD 中，已知 AC 与 BD 相交于点 O ， EF ， GH 都过点 O ，分别交 AD ， BC 于点 E ， F ，交 CD ， AB 于点 G ， H ， EF ⊥ GH ，求证：四边形 EHFG 是正方形. 证明：∵四边形 ABCD 是正方形，∴ OA ＝ OB ＝ OC ＝ OD ， ∠ ODG ＝∠ OBH ＝∠ OCF ＝45°， AC ⊥ BD . ∴∠ COD ＝90°. 在△ ODG 和△ OBH 中， 数学 九年级上册 BS版 ∴△ ODG ≌△ OBH （ASA）.∴ OG ＝ OH . 同理，得 OE ＝ OF . ∴四边形 EHFG 是平行四边形. 又∵ EF ⊥ GH ，∴▱ EHFG 是菱形. ∵∠ DOG ＋∠ GOC ＝90°，∠ GOC ＋∠ COF ＝90°， ∴∠ DOG ＝∠ COF . 在△ DOG 和△ COF 中， ∴△ DOG ≌△ COF （ASA）. ∴ OG ＝ OF . ∴ OG ＝ OH ＝ OE ＝ OF . ∴ EF ＝ GH . ∴菱形 EHFG 是正方形. 数学 九年级上册 BS版 13. （选做）如图，在正方形 ABCD 中，已知 AB ＝2，点 E 为对 角线 AC 上一动点，连接 DE ，过点 E 作 EF ⊥ DE ，交射线 BC 于 点 F ，以 DE ， EF 为邻边作矩形 DEFG ，连接 CG . （1）求 AC 的长. 解：（1）∵四边形 ABCD 是正方形， ∴ AB ＝ BC ＝2，∠ B ＝90°. ∴ AC ＝ AB ＝2 . 数学 九年级上册 BS版 （2）探究： CE ＋ CG 的值是否为定值？若是，请求出这个定 值；若不是，请说明理由. 解：（2） CE ＋ CG 的值是定值. 如图1，过点 E 作 EM ⊥ BC 于点 M ， EN ⊥ CD 于点 N ，则∠ MEN ＝90°. ∵点 E 是正方形 ABCD 对角线上的点， ∴ EM ＝ EN . ∵∠ DEF ＝90°＝∠ MEN ， ∴∠ DEN ＝∠ FEM . 在△ DEN 和△ FEM 中， 图1 数学 九年级上册 BS版 ∴△ DEN ≌△ FEM （ASA）.∴ DE ＝ FE . ∴矩形 DEFG 是正方形. ∴ DE ＝ DG . 在正方形 ABCD 中， AD ＝ DC . ∵∠ CDG ＋∠ CDE ＝∠ ADE ＋∠ CDE ＝90°， ∴∠ CDG ＝∠ ADE . 在△ ADE 和△ CDG 中， ∴△ ADE ≌△ CDG （SAS）. ∴ AE ＝ CG . ∴ CE ＋ CG ＝ CE ＋ AE ＝ AC ＝2 . 图1 数学 九年级上册 BS版 图1 （3）设 AE ＝ x ，四边形 DEFG 的面积为 S ，求 S 与 x 之间的函数 关系式. 解：（3）如图2，过点 E 作 EH ⊥ AD 于点 H . ∵∠ DAE ＝45°， AE ＝ x ，∴ AH ＝ EH ＝ x . 在Rt△ DHE 中， DH ＝ AD － AH ＝2－ x . 在Rt△ DEH 中，根据勾股定理，得 DE2＝ DH2＋ EH2＝ ＋ ＝ x2－2 x ＋4. 图2 ∵四边形 DEFG 为正方形，∴ S ＝ DE2＝ x2－2 x ＋4（ x ＞0）. 数学 九年级上册 BS版 演示完毕 谢谢观看 数学 九年级上册 BS版 $$第一章　特殊平行四边形 回顾与思考 数学 九年级上册 BS版 1. 如图，已知点 D ， E ， F 分别是△ ABC 各边的中点，则下列 说法正确的是（　C　） A. 四边形 ADEF 不一定是平行四边形 B. 当 DE ⊥ BC 时，四边形 ADEF 是矩形 C. 当 AB ＝ AC 时，四边形 ADEF 是菱形 D. 当△ ABC 是等边三角形时，四边形 ADEF 是正方 形 （第1题图） C 数学 九年级上册 BS版 2. 如图，在菱形 ABCD 中，点 E 是边 AB 上一点， DE ＝ AD ，连 接 EC . 若∠ ADE ＝36°，则∠ DEC 的度数为（　B　） A. 56° B. 54° C. 50° D. 48° （第2题图） B 数学 九年级上册 BS版 3. （2022·海南）如图，在菱形 ABCD 中，点 E 是边 CD 的中点， EF ⊥ AB 交 AB 的延长线于点 F . 若 BF ∶ CE ＝1∶2， EF ＝ ， 则菱形 ABCD 的边长是（　B　） A. 3 B. 4 C. 5 D. （第3题图） B 数学 九年级上册 BS版 4. （2022·重庆）如图，在正方形 ABCD 中，对角线 AC ， BD 相 交于点 O . 点 E ， F 分别为 AC ， BD 上一点，且 OE ＝ OF ，连接 AF ， BE ， EF . 若∠ AFE ＝25°，则∠ CBE 的度数为 ⁠. （第4题图） 65°　 数学 九年级上册 BS版 5. 如图，在平面直角坐标系中，已知四边形 OABC 为菱形， O ， A ，∠ AOC ＝60°，则对角线交点 E 的坐标 为 ⁠. （第5题图） 　 数学 九年级上册 BS版 6. 如图，在矩形 ABCD 中，已知 AB ＝6， BC ＝10，以点 B 为圆 心、 BC 的长为半径画弧，交 AD 于点 E ，再分别以点 C ， E 为圆 心、大于 CE 的长为半径画弧，两弧交于点 F ，作射线 BF 交 CD 于点 G ，则 CG 的长为 ⁠. 　 （第6题图） 数学 九年级上册 BS版 7. 如图，已知四边形 ABCD 的对角线 AC ⊥ BD 于点 O ，分别过 点 C ， D 作 CE ∥ BD ， DE ∥ AC ， CE 和 DE 交于点 E ，连接 AE ，交 BD 于点 F ，点 O ， F 分别为 AC ， AE 的中点. （1）求证：四边形 ODEC 是矩形； （1）证明：∵ CE ∥ BD ， DE ∥ AC ， ∴四边形 ODEC 是平行四边形. 又∵ AC ⊥ BD ，∴∠ DOC ＝90°. ∴▱ ODEC 是矩形. 数学 九年级上册 BS版 （2）若 OF ＝1，∠ CAE ＝30°，求 AC 的长. （2）解：∵四边形 ODEC 是矩形， ∴∠ ACE ＝90°. ∵点 O ， F 分别为 AC ， AE 的中点， ∴ OF 是△ ACE 的中位线. ∴ CE ＝2 OF ＝2. ∵∠ CAE ＝30°，∴ AE ＝2 CE ＝4. ∴ AC ＝ ＝ ＝2 . 数学 九年级上册 BS版 8. 如图，已知点 O 是菱形 ABCD 对角线的交点， CE ∥ BD ， EB ∥ AC ，连接 OE ，交 BC 于点 F . （1）求证： OE ＝ CB ； （1）证明：∵ CE ∥ BD ， EB ∥ AC ， ∴四边形 OBEC 为平行四边形. ∵四边形 ABCD 为菱形， ∴ AC ⊥ BD . ∴∠ BOC ＝90°. ∴▱ OBEC 为矩形.∴ OE ＝ CB . 数学 九年级上册 BS版 （2）若 OB ＝2 OC ， CD ＝ ，求菱形 ABCD 的面积. （2）解：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴ BC ＝ CD ＝ . 由（1）知， AC ⊥ BD . 在Rt△ BOC 中，由勾股定理，得 BC2＝ OC2＋ OB2. 又∵ OB ＝2 OC ，∴5＝ OC2＋（2 OC ）2. ∴ OC ＝1， OB ＝2. ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴ AC ＝2 CO ＝2， BD ＝2 OB ＝4. ∴菱形 ABCD 的面积＝ BD · AC ＝ ×4×2＝4. 数学 九年级上册 BS版 9. （2022·贺州）如图，在矩形 ABCD 中，已知 AB ＝8， BC ＝ 6，点 E ， F 分别是 AD ， AB 的中点，∠ ADC 的平分线交 AB 于 点 G ，点 P 是线段 DG 上的一个动点，则△ PEF 周长的最小值 为 ⁠. ＋5　 数学 九年级上册 BS版 【解析】如答图，在 CD 上取点 H ，使 DH ＝ DE ，连接 EH ， PH ， FH ，过点 F 作 FK ⊥ CD 于点 K . 在矩形 ABCD 中，∠ A ＝ ∠ ADC ＝90°， AD ＝ BC ＝6， CD ＝ AB ＝8，∴△ DEH 为等腰 直角三角形.∵ DG 平分∠ ADC ，∴ DG 垂直平分 EH . ∴ PE ＝ PH . ∴△ PEF 的周长等于 PE ＋ PF ＋ EF ＝ PH ＋ PF ＋ EF ≥ FH ＋ EF . ∴当 F ， P ， H 三点共线时，△ PEF 的周长最小，最小值 为 FH ＋ EF . 答图 数学 九年级上册 BS版 ∵点 E ， F 分别是 AD ， AB 的中点，∴ AE ＝ DE ＝ DH ＝3， AF ＝4.∴ EF ＝5.∵ FK ⊥ CD ，∴∠ DKF ＝∠ A ＝∠ ADC ＝90°.∴ 四边形 AFKD 为矩形.∴ DK ＝ AF ＝4， FK ＝ AD ＝6.∴ HK ＝ 1.∴ FH ＝ ＝ .∴ FH ＋ EF ＝ ＋5，即△ PEF 的周长最小为 ＋5.故答案为 ＋5. 答图 数学 九年级上册 BS版 10. （2022·辽宁）如图，在正方形 ABCD 中，对角线 AC ， BD 相交于点 O ，点 E 是 OD 的中点，连接 CE 并延长交 AD 于点 G ， 将线段 CE 绕点 C 按逆时针方向旋转90°得到 CF ，连接 EF ，点 H 为 EF 的中点.连接 OH ，则 的值为 　 　. 　 数学 九年级上册 BS版 【解析】如答图，以点 O 为原点，平行于 AB 的直线为 x 轴，建 立平面直角坐标系.过点 E 作 EM ⊥ CD 于点 M ，过点 F 作 FN ⊥ DC ，交 DC 延长线于点 N . 设正方形 ABCD 的边长为2，则 C （1，1）， D （－1，1）.∵点 E 为 OD 的中点，∴ E . 设直线 CE 的函数表达式为 y ＝ kx ＋ b .把点 C （1，1）， E 代入，得解得 答图 数学 九年级上册 BS版 ∴直线 CE 的函数表达式为 y ＝ x ＋ .在 y ＝ x ＋ 中，令 x ＝－1，得 y ＝ .∴ G . ∴ GE ＝ ＝ .∵将线段 CE 绕点 C 按逆时针方向旋转90°得到 CF ，∴ CF ＝ CE ，∠ ECF ＝90°.∴∠ MCE ＝90°－∠ NCF ＝∠ NFC . 又∵∠ EMC ＝∠ CNF ＝90°，∴△ EMC ≌△ CNF （AAS）.∴ ME ＝ CN ， CM ＝ NF . ∵ E ， C （1，1），∴ ME ＝ CN ＝ ， CM ＝ NF ＝ .∴ F . ∵点 H 是 EF 的中点，∴ H . ∴ OH ＝ .∴ ＝ ＝ .故答案为 . 数学 九年级上册 BS版 11. 如图，在矩形 ABCD 中，已知∠ BAD 的平分线 AE 与 BC 边交 于点 E ，点 P 是线段 AE 上一定点（其中 PA ＞ PE ），过点 P 作 AE 的垂线与 AD 边交于点 F （不与点 D 重合）.一个直角三角形 的直角顶点落在点 P 处，两直角边分别交 AB 边和 AD 边于点 M ， N . （1）求证：△ PAM ≌△ PFN ； 数学 九年级上册 BS版 （1）证明：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠ BAD ＝90°.∵∠ BAD 的平分线 AE 交 BC 边于点 E ， ∴∠ BAE ＝∠ EAD ＝45°. ∵ PF ⊥ AP ，∴∠ PAF ＝∠ PFA ＝45°. ∴ PA ＝ PF . ∵∠ MPN ＝90°，∠ APF ＝90°， ∴∠ MPN －∠ APN ＝∠ APF －∠ APN ， 即∠ MPA ＝∠ NPF . 又∵ PA ＝ PF ，∠ MAP ＝∠ NFP ＝45°， ∴△ PAM ≌△ PFN （ASA）. 数学 九年级上册 BS版 （2）若 PA ＝3，求 AM ＋ AN 的长. （2）解：∵ PA ＝3，∴ PA ＝ PF ＝3. 又∵∠ APF ＝90°， ∴ AF ＝ ＝3 . ∵△ PAM ≌△ PFN ，∴ AM ＝ FN . ∴ AM ＋ AN ＝ AN ＋ NF ＝ AF ＝3 . 数学 九年级上册 BS版 12. 如图，在△ ABC 中，已知 AC ＝9， AB ＝12， BC ＝15，点 P 为 BC 边上一动点， PG ⊥ AC 于点 G ， PH ⊥ AB 于点 H . （1）求证：四边形 AGPH 是矩形. （1）证明：∵ AC ＝9， AB ＝12， BC ＝15， ∴ AC2＋ AB2＝ BC2. ∴∠ A ＝90°. 又∵ PG ⊥ AC ， PH ⊥ AB ， ∴∠ AGP ＝∠ AHP ＝90°. ∴四边形 AGPH 是矩形. 数学 九年级上册 BS版 （2）在点 P 的运动过程中， GH 的长是否存在最小值？若存 在，请求出最小值；若不存在，请说明理由. （2）解：存在.理由如下：如图，连接 AP . ∵四边形 AGPH 是矩形，∴ GH ＝ AP . ∵当 AP ⊥ BC 时 AP 最短，∴此时 AC · AB ＝ BC · AP ， 即 ×9×12＝ ×15· AP . ∴ AP ＝ . ∴ GH 的长的最小值为 . 数学 九年级上册 BS版 13. （选做）如图，在边长为1的正方形 ABCD 中，点 K 在 AD 上，连接 BK . 过点 A ， C 作 BK 的垂线，垂足分别为 M ， N ，点 O 是正方形 ABCD 的中心，连接 OM ， ON . （1）证明：△ ABM ≌△ BCN ； 数学 九年级上册 BS版 （1）证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴ AB ＝ BC ，∠ ABC ＝90°.∴∠ ABM ＋∠ NBC ＝90°. ∵ AM ⊥ BM ， CN ⊥ BN ， ∴∠ AMB ＝∠ BNC ＝90°.∴∠ MAB ＋∠ MBA ＝90°. ∴∠ MAB ＝∠ NBC . 在△ ABM 和△ BCN 中， ∴△ ABM ≌△ BCN （AAS）. 数学 九年级上册 BS版 （2）请判定△ OMN 的形状，并说明理由； （2）解：△ OMN 是等腰直角三角形.理由如下： 如图，连接 OB . ∵点 O 是正方形 ABCD 的中心， ∴ OA ＝ OB ，∠ OBA ＝∠ OAB ＝45°＝∠ OBC ， AO ⊥ BO . 由（1）可知，∠ MAB ＝∠ CBM ， ∴∠ MAB －∠ OAB ＝∠ CBM －∠ OBC . ∴∠ MAO ＝∠ NBO . ∵△ ABM ≌△ BCN ， ∴ AM ＝ BN . 数学 九年级上册 BS版 在△ AOM 和△ BON 中， ∴△ AOM ≌△ BON （SAS）. ∴ MO ＝ NO ，∠ AOM ＝∠ BON . ∵∠ AON ＋∠ BON ＝90°， ∴∠ AON ＋∠ AOM ＝90°. ∴∠ MON ＝90°. ∴△ MON 是等腰直角三角形. 数学 九年级上册 BS版 （3）若点 K 在线段 AD 上运动（不包括端点），当 AK ＝ 时， 求△ OMN 的面积. （3）解：设 AK ＝ x （0＜ x ＜1）. 在Rt△ ABK 中， BK ＝ ＝ . ∵ S△ ABK ＝ AK · AB ＝ BK · AM ， ∴ AM ＝ ＝ . ∴ BN ＝ AM ＝ ， BM ＝ ＝ . 数学 九年级上册 BS版 ∴ MN ＝ BM － BN ＝ . ∴ S△ OMN ＝ MN2＝ ＝ （0＜ x ＜1）. 将 x ＝ 代入，得 S△ OMN ＝ ＝ . ∴当 AK ＝ 时， S△ OMN ＝ . 数学 九年级上册 BS版 演示完毕 谢谢观看 数学 九年级上册 BS版 $$第一章　特殊平行四边形 1　菱形的性质与判定(第二课时) 数学 九年级上册 BS版 1. （2023·达州）下列命题中，是真命题的是（　C　） A. 平行四边形是轴对称图形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分 线上 D. 在△ ABC 中，若∠ A ∶∠ B ∶∠ C ＝3∶4∶5，则△ ABC 是直 角三角形 C 数学 九年级上册 BS版 2. 如图，将△ ABC 沿射线 BC 向右平移得到△ DCE ，连接 AD ， 下列条件能够判定四边形 ABCD 为菱形的是（　A　） A. AB ＝ BC B. AC ＝ BC C. ∠ B ＝60° D. ∠ ACB ＝60° （第2题图） A 数学 九年级上册 BS版 3. 如图，在△ ABC 中， AD 平分∠ BAC ， DE ∥ AC 交 AB 于点 E ， DF ∥ AB 交 AC 于点 F . 若 AF ＝6，则四边形 AEDF 的周长是 （　A　） A. 24 B. 28 C. 32 D. 36 （第3题图） A 数学 九年级上册 BS版 4. 如图，已知▱ ABCD 的对角线 AC ， BD 相交于点 O ，添加一 个条件，使▱ ABCD 成为菱形，则添加的条件是 ⁠ （写出符合要求的一个即可）. AC ⊥ BD （答案不唯一）　 数学 九年级上册 BS版 5. 如图，小聪在作线段 AB 的垂直平分线时，他是这样操作的： 分别以点 A 和点 B 为圆心，以大于 AB 的长为半径画弧，两弧相 交于 C ， D 两点，则直线 CD 即为所求.根据他的作图方法可知 四边形 ADBC 一定是 ⁠. （第5题图） 菱形　 数学 九年级上册 BS版 6. 如图，将等边三角形 ABC 沿射线 BC 向右平移到△ DCE 的位 置，连接 AD ， BD ，则下列结论：① AD ＝ BC ；② BD ， AC 互 相平分；③四边形 ACED 是菱形.其中正确的结论有 ⁠ （填序号）. （第6题图） ①②③　 数学 九年级上册 BS版 7. 如图，在四边形 ABCD 中，已知 AB ∥ CD ， AB ＝ CD ＝ BC . 求证：四边形 ABCD 是菱形. 证明：∵ AB ∥ CD ， AB ＝ CD ，∴四边形 ABCD 是平行四边形. 又∵ CD ＝ BC ， ∴▱ ABCD 是菱形. 数学 九年级上册 BS版 8. （2023·沈阳）如图，在△ ABC 中，已知 AB ＝ AC ， AD 是 BC 边上的中线，点 E 在 DA 的延长线上，连接 BE ，过点 C 作 CF ∥ BE 交 AD 的延长线于点 F ，连接 BF ， CE ，求证：四边形 BFCE 是菱形. 数学 九年级上册 BS版 证明：∵ AB ＝ AC ， AD 是 BC 边上的中线， ∴ AD 垂直平分 BC . ∴ EB ＝ EC ， FB ＝ FC ， BD ＝ CD . ∵ CF ∥ BE ， ∴∠ BED ＝∠ CFD ，∠ EBD ＝∠ FCD . 在△ EBD 和△ FCD 中， ∴△ EBD ≌△ FCD . ∴ BE ＝ CF . ∴ BE ＝ BF ＝ CF ＝ EC . ∴四边形 BFCE 是菱形. 数学 九年级上册 BS版 9. （2023·聊城）如图，在▱ ABCD 中， BC 的垂直平分线 EO 交 AD 于点 E ，交 BC 于点 O ，连接 BE ， CE ，过点 C 作 CF ∥ BE ， 交 EO 的延长线于点 F ，连接 BF . 若 AD ＝8， CE ＝5，则四边形 BFCE 的面积为 ⁠. （第9题图） 24　 数学 九年级上册 BS版 【解析】∵ CF ∥ BE ，∴∠ BEO ＝∠ CFO . ∵ BC 的垂直平分线 EO 交 AD 于点 E ，∴ BO ＝ CO ，∠ BOE ＝∠ COF ＝90°.∴△ BOE ≌△ COF （AAS）.∴ BE ＝ CF ， OE ＝ OF . ∴四边形 BFCE 为平行四边形.又∵ BC ⊥ EF ，∴▱ BFCE 为菱形.∵ AD ＝ 8，∴ BC ＝8.∴ OC ＝ BC ＝4.在Rt△ EOC 中， OE ＝ ＝ ＝3.∴ EF ＝6.∴ S菱形 BFCE ＝ BC · EF ＝ ×8×6＝24.故答案为24. 数学 九年级上册 BS版 10. 如图，在四边形 ABCD 中， AC ＝ BD ＝6，点 E ， F ， G ， H 分别是 AB ， BC ， CD ， DA 的中点，连接 EF ， FG ， GH ， EH ， EG ， HF ，且 EG ， HF 交于点 O ，则 EG2＋ FH2＝ ⁠. （第10题图） 36　 数学 九年级上册 BS版 【解析】∵点 E ， H 分别是 AB ， DA 的中点，∴ EH 是△ ABD 的 中位线.∴ EH ＝ BD ＝3.同理可得 EF ， FG ， GH 分别是△ ABC ，△ BCD ，△ ACD 的中位线.∴ EF ＝ GH ＝ AC ＝3， FG ＝ BD ＝3.∴ EH ＝ EF ＝ GH ＝ FG ＝3.∴四边形 EFGH 为菱 形.∴ EG ⊥ HF ，且点 O 为垂足.∴ EG ＝2 OE ， FH ＝2 OH . 在 Rt△ OEH 中，根据勾股定理，得 OE2＋ OH2＝ EH2＝9，∴（2 OE ）2＋（2 OH ）2＝36，即 EG2＋ FH2＝36.故答案为36. 数学 九年级上册 BS版 11. 如图，在四边形 ABCD 中，已知 AB ∥ DC ， AB ＝ AD ，对角 线 AC ， BD 相交于点 O ， AC 平分∠ BAD . 过点 C 作 CE ⊥ AB ， 交 AB 的延长线于点 E . （1）求证：四边形 ABCD 是菱形； （1）证明：∵ AB ∥ CD ， ∴∠ OAB ＝∠ DCA . ∵ AC 为∠ DAB 的平分线， ∴∠ OAB ＝∠ DAC . ∴∠ DCA ＝∠ DAC . ∴ CD ＝ AD . 又∵ AB ＝ AD ，∴ AB ＝ CD . 又∵ AB ∥ CD ， ∴四边形 ABCD 是平行四边形. 又∵ AB ＝ AD ， ∴▱ ABCD 是菱形. 数学 九年级上册 BS版 （2）若 AB ＝2 ， BD ＝4，求 AE 的长. （2）解：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴ OA ＝ OC ， OB ＝ OD ， BD ⊥ AC . ∵ BD ＝4， ∴ OB ＝ BD ＝2. 在Rt△ AOB 中， AB ＝2 ， OB ＝2， ∴ OA ＝ ＝ ＝6. ∴ AC ＝2 OA ＝12. ∵ S菱形 ABCD ＝ AC · BD ＝ AB · CE ， 数学 九年级上册 BS版 即 ×12×4＝2 CE . ∴ CE ＝ . ∴ AE ＝ ＝ ＝ . 数学 九年级上册 BS版 12. 如图，在▱ ABCD 中，已知对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，点 E ， F 分别在 BD 和 DB 的延长线上，且 DE ＝ BF ，连接 AE ， AF ， CE ， CF . （1）求证： AE ＝ CF . （1）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AD ＝ BC ， AD ∥ BC . ∴∠ ADB ＝∠ CBD . ∴∠ ADE ＝∠ CBF . 数学 九年级上册 BS版 在△ ADE 和△ CBF 中， ​ ∴△ ADE ≌△ CBF （SAS）. ∴ AE ＝ CF . 数学 九年级上册 BS版 （2）当 BD 平分∠ ABC 时，四边形 AFCE 是什么特殊的四边 形？请说明理由. （2）解：当 BD 平分∠ ABC 时，四边形 AFCE 是菱形.理由 如下： ∵ BD 平分∠ ABC ， ∴∠ ABD ＝∠ CBD . ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ OA ＝ OC ， OB ＝ OD ， AD ∥ BC . ∴∠ ADB ＝∠ CBD . ∴∠ ABD ＝∠ ADB . ∴ AB ＝ AD . 数学 九年级上册 BS版 ∴▱ ABCD 是菱形. ∴ AC ⊥ BD ，即 AC ⊥ EF . ∵ DE ＝ BF ，∴ OE ＝ OF . 又∵ OA ＝ OC ， ∴四边形 AFCE 是平行四边形. 又∵ AC ⊥ EF ， ∴▱ AFCE 是菱形. 数学 九年级上册 BS版 13. （选做）（2022·福建）已知△ ABC ≌△ DEC ， AB ＝ AC ， AB ＞ BC . （1）如图1，若 CB 平分∠ ACD ，求证：四边形 ABDC 是菱形； 数学 九年级上册 BS版 （1）证明：∵△ ABC ≌△ DEC ，∴ AC ＝ DC . ∵ AB ＝ AC ，∴ AB ＝ DC ，∠ ABC ＝∠ ACB . ∵ CB 平分∠ ACD ，∴∠ ACB ＝∠ DCB . ∴∠ ABC ＝∠ DCB . ∴ AB ∥ CD . 又∵ AB ＝ DC ， ∴四边形 ABDC 是平行四边形. 又∵ AB ＝ AC ， ∴▱ ABDC 是菱形. 数学 九年级上册 BS版 （2）如图2，将（1）中的△ CDE 绕点 C 按逆时针方向旋转（旋 转角小于∠ BAC ）， BC ， DE 的延长线相交于点 F ，用等式表 示∠ ACE 与∠ EFC 之间的数量关系，并证明； 数学 九年级上册 BS版 （2）解：∠ ACE ＋∠ EFC ＝180°.证明如下： ∵△ ABC ≌△ DEC ，∴∠ ABC ＝∠ DEC . ∵ AB ＝ AC ，∴∠ ABC ＝∠ ACB . ∴∠ ACB ＝∠ DEC . ∵∠ ACB ＋∠ ACF ＝∠ DEC ＋∠ CEF ＝180°， ∴∠ ACF ＝∠ CEF . ∵∠ CEF ＋∠ ECF ＋∠ EFC ＝180°， ∴∠ ACF ＋∠ ECF ＋∠ EFC ＝180°. ∴∠ ACE ＋∠ EFC ＝180°. 数学 九年级上册 BS版 （3）如图3，将（1）中的△ CDE 绕点 C 按顺时针方向旋转（旋 转角小于∠ ABC ），若∠ BAD ＝∠ BCD ，求∠ ADB 的度数. 数学 九年级上册 BS版 （3）解：如图，在 AD 上取一点 M ，使得 AM ＝ CB ，连接 BM . 由（1）可知， AB ＝ CD . 又∵∠ BAM ＝∠ DCB ， AM ＝ CB ， ∴△ ABM ≌△ CDB （SAS）. ∴ BM ＝ DB ，∠ MBA ＝∠ BDC . ∴∠ ADB ＝∠ BMD . ∵∠ BMD ＝∠ BAD ＋∠ MBA ， ∴∠ ADB ＝∠ BCD ＋∠ BDC . 设∠ BCD ＝∠ BAD ＝α，∠ BDC ＝β， 数学 九年级上册 BS版 则∠ ADB ＝α＋β. ∵ CA ＝ CD ， ∴∠ CAD ＝∠ CDA ＝α＋2β. ∴∠ BAC ＝∠ CAD －∠ BAD ＝2β. ∴∠ ACB ＝ ＝90°－β. ∴∠ ACD ＝ ＋α. ∵∠ ACD ＋∠ CAD ＋∠ CDA ＝180°， ∴ ＋α＋2 ＝180°. ∴α＋β＝30°，即∠ ADB ＝30°. 数学 九年级上册 BS版 演示完毕 谢谢观看 数学 九年级上册 BS版 $$