第四章 图形的相似（课外培优课件）　2023—2024学年北师大版数学九年级上册

第四章　图形的相似 1　成比例线段(第二课时) 数学 九年级上册 BS版 1. 下列各式的推论中，不正确的是（　D　） A. 由 ＝ ，得 ＝ （ b ＋ d ≠0） B. 由 ＝ ，得 ＝ （ x ≠0） C. 由 ＝ ，得 ＝ D. 由 ＝ ，得 ＝ D 数学 九年级上册 BS版 2. 已知 x ∶ y ∶ z ＝2∶3∶4，则 的值为（　D　） A. 1 B. C. 0 D. 3. 已知 ＝ ，有下列等式：① ＝ ；② ＝ ；③ ＝ ；④ ＝ .其中正确的有（　C　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 D C 数学 九年级上册 BS版 4. 已知 ＝ ，且 y ≠4，则 ＝ 　 　. 5. 已知2 a ＝3 b ＝4 c ，且 abc ≠0，则 的值为 ⁠. 6. 已知 ＝ ＝ ，且2 a ＋ b ＋ c ＝33，则 a － b ＋ c ＝ ⁠. 　 2　 9　 数学 九年级上册 BS版 （1）若 AB ＝24， AE ＝6， EC ＝10，求 AD 的长； （1）解：设 AD ＝ x ，则 BD ＝24－ x . 由 ＝ ，得 ＝ . 解得 x ＝9. 经检验， x ＝9是原分式方程的解，且符合 题意. ∴ AD ＝9. 7. 如图，在△ ABC 中，已知 ＝ . 数学 九年级上册 BS版 （2）求证： ＝ . （2）证明：∵ ＝ ， ∴ ＝ ， 即 ＝ . ∴ ＝ . 数学 九年级上册 BS版 8. 已知 ＝ ＝ ＝ ，且 b ≠ d ，2 b ＋3 d －4 f ≠0. （1）求 的值； 解：（1）∵ ＝ ＝ ， ∴ ＝ ＝ . ∴ ＝ . 数学 九年级上册 BS版 （2）求 的值； 解：（2）∵ ＝ ＝ ＝ ， ∴ ＝ ＝ ＝ . ∴ ＝ . （3）比较（1）（2）的结论，你能发现什么规律？ 解：（3）若 ＝ ＝ ＝ k （ k ≠0），则 ＝ k . 数学 九年级上册 BS版 9. 已知 ＝ ＝ ≠0，则 的值为 ⁠. 【解析】设 ＝ ＝ ＝ k （ k ≠0），则 x ＝2 k ， y ＝3 k ， z ＝5 k .∴原式＝ ＝ ＝12.故答案为12. 12　 数学 九年级上册 BS版 10. 设 a ， b ， c 是三个互不相同的正数.若 ＝ ＝ ，则 a ∶ b ∶ c ＝ ⁠. 【解析】∵ ＝ ＝ ，∴ ＝ ，即 ＝ .∴ a ＋ b － c ＝ c .∴ c ＝ .结合 ＝ ，可得 a ＝2 b .∴ c ＝ b .∴ a ∶ b ∶ c ＝2 b ∶ b ∶ b ＝4∶2∶3.故答案为 4∶2∶3. 4∶2∶3　 数学 九年级上册 BS版 11. 已知 ＝ ＝ ＝ k ，则一次函数 y ＝ kx ＋ k 的图象 一定经过哪些象限？ 解：①当 a ＋ b ＋ c ≠0时， ∵ ＝ ＝ ＝ k ， ∴ k ＝ ＝2. ∴ y ＝2 x ＋2，其图象经过第一、二、三象限. 数学 九年级上册 BS版 ②当 a ＋ b ＋ c ＝0时， k ＝ ＝ ＝－1， ∴ y ＝－ x －1，其图象经过第二、三、四象限. 综上所述， y ＝ kx ＋ k 的图象一定经过第二、三象限. 数学 九年级上册 BS版 12. 已知 ＝ ＝ ＝3，且 k ＝ （ b ＋3 d － f ≠0）. （1）求 k 的值； 解：（1）∵ ＝ ＝ ＝3， ∴ ＝ ＝ ＝3. 又∵ b ＋3 d － f ≠0， ∴由等比性质，得 k ＝ ＝3. 数学 九年级上册 BS版 （2）若 x1， x2是方程 x2－3 x ＋ k －2＝0的两根，求 ＋ 的值. 解：（2）∵ k ＝3， ∴原一元二次方程为 x2－3 x ＋1＝0. ∴Δ＝（－3）2－4×1×1＝5＞0. ∴方程 x2－3 x ＋1＝0有两个不相等的实数根. ∵ x1， x2是方程 x2－3 x ＋1＝0的两根， ∴ x1＋ x2＝3， x1 x2＝1. ∴ ＋ ＝（ x1＋ x2）2－2 x1 x2＝32－2×1＝7. 数学 九年级上册 BS版 13. （选做）我们知道：若 ＝ ，且 b ＋ d ≠0，则 ＝ ＝ . （1）若 b ＋ d ＝0，则 a ， c 满足什么关系？ 解：（1）∵ b ＋ d ＝0， ∴ d ＝－ b . 又∵ ＝ ， ∴ ＝ ，即 ＝ . ∴ a ＝－ c ，即 a ＋ c ＝0. 数学 九年级上册 BS版 （2）若 ＝ ＝ ＝ t ，求 t2－ t －2的值. 解：（2）①当 a ＋ b ＋ c ≠0时， t ＝ ＝ ＝ ＝ ＝2， ∴ t2－ t －2＝22－2－2＝0. ②当 a ＋ b ＋ c ＝0时，b ＋ c ＝－ a ， a ＋ c ＝－ b ， a ＋ b ＝－ c ， ∴ t ＝ ＝ ＝ ＝－1. ∴ t2－ t －2＝（－1）2－（－1）－2＝0. 综上所述， t2－ t －2＝0. 数学 九年级上册 BS版 演示完毕 谢谢观看 数学 九年级上册 BS版 $$第四章　图形的相似 3　相似多边形 数学 九年级上册 BS版 1. 下列两个图形一定相似的是（　B　） A. 两个菱形 B. 两个正方形 C. 两个矩形 D. 两个梯形 B 数学 九年级上册 BS版 2. 如图，已知四边形 ABCD 与四边形 A ' B ' C ' D '相似，则∠α的 度数为（　A　） A. 82° B. 85° C. 90° D. 92° A 数学 九年级上册 BS版 3. 如图，取一张长为 a 、宽为 b 的矩形纸片，将它对折两次后得 到一张小矩形纸片.若要使小矩形与原矩形相似，则原矩形纸片 的边 a ， b 应满足的条件是（　B　） A. a ＝ b B. a ＝2 b C. b ＝ a D. b ＝2 a B 数学 九年级上册 BS版 4. 已知两个相似多边形的最长边分别是10 cm和30 cm，其中较 小的多边形的最短边为6 cm，则较大多边形的最短边 为 ⁠cm. 5. 如图，在▱ ABCD 中，已知 AB ＝6， AD ＝4，且▱ ABCD ∽▱ ADFE ，则 AE ＝ ⁠. 18　 　 （第5题图） 数学 九年级上册 BS版 6. 如图，一个矩形广场的长为90 m、宽为60 m，广场内有两 横、两纵四条小路，且小路内外边缘所围成的两个矩形相似.若 两条横向小路的宽均为1.2 m，则每条纵向小路的宽为 ⁠m. （第6题图） 1.8　 数学 九年级上册 BS版 7. 请在右边的格点图中画一条与左边相似的“小鱼”. 　 解：如图所示（答案不唯一）. 数学 九年级上册 BS版 8. 如图，在矩形 ABCD 中， AB ＝4，在 BC 上取一点 E ，将△ ABE 沿 AE 向上折叠，使点 B 落在 AD 上的点 F 处. （1）求 AF 的长； 解：（1）在矩形 ABCD 中，∠ B ＝∠ BAF ＝90°. 由折叠，得∠ AFE ＝∠ B ＝90°， AF ＝ AB ， ∴四边形 ABEF 是正方形. ∴ AF ＝ AB ＝4. 数学 九年级上册 BS版 （2）若四边形 EFDC 与矩形 ABCD 相似，求 AD 的长. 解：（2）设 AD ＝ x ，则 FD ＝ x －4. 由（1）知，四边形 ABEF 是正方形. ∴ EF ＝ AB ＝4.∴ EF ＝4 ∵四边形 EFDC 与矩形 ABCD 相似， ∴ ＝ . ∴ ＝ ，即 x （ x －4）＝16. 数学 九年级上册 BS版 解得 x1＝2＋2 ， x2＝2－2 （不合题意，舍去）. 经检验， x ＝2＋2 是原方程的解，且符合题意.∴ AD 的长为2 ＋2 . 数学 九年级上册 BS版 9. 如图，在▱ ABCD 中，∠ BAD 的平分线交 BC 于点 E ，∠ ABC 的平分线交 AD 于点 F . 若▱ ABCD ∽▱ CEFD ，且 AD ＝4，则 AF 的长为 ⁠. （第9题图） 2 －2　 数学 九年级上册 BS版 10. 如图，在矩形 ABCD 中，已知 AB ＝12， BC ＝9，点 E ， G 分 别为边 AB ， AD 上的点，矩形 AEFG 与矩形 ABCD 相似，且相似 比为2∶3，连接 CF ，则 CF 的长为 ⁠. （第10题图） 5或 　 数学 九年级上册 BS版 【解析】延长 GF 交 BC 于点 M . ∵四边形 AEFG 和四边形 ABCD 都是矩形，∴ GF ∥ AE . ∵ AB ⊥ BC ，∴ GM ⊥ BC . 分两种情 况：①当 AD 与 AG 是对应边时（如图1）.∵相似比为2∶3， ∴ AG ∶ AD ＝ AE ∶ AB ＝2∶3.∵ AB ＝12， AD ＝ BC ＝9，∴ EF ＝ AG ＝ BM ＝6， GF ＝ AE ＝8.∴ FM ＝ GM － GF ＝ AB － GF ＝ 12－8＝4， CM ＝ BC － BM ＝9－6＝3.在Rt△ CMF 中，由勾股 定理，得 CF ＝ ＝ ＝5. 图1 数学 九年级上册 BS版 ②当 AD 与 AE 是对应边时（如图2）.∵相似比为2∶3，∴ AG ∶ AB ＝ AE ∶ AD ＝2∶3.∴ AG ∶12＝ AE ∶9＝2∶3.∴ AG ＝8， AE ＝6.∴ FM ＝ GM － GF ＝ AB － GF ＝12－6＝6， CM ＝ BC － BM ＝ BC － AG ＝9－8＝1.在Rt△ CMF 中，由勾股定理，得 CF ＝ ＝ ＝ .综上所述， CF 的长为5或 .故答案为5或 . 图2 数学 九年级上册 BS版 11. （1）如图1，在四边形 ABCD 中，若对角线 AC ， BD 相交于 点 O ，点 E ， F ， G ， H 分别是 OA ， OB ， OC ， OD 的中点， 则四边形 EFGH 和四边形 ABCD 是否相似？ 图1 解：（1）四边形 EFGH ∽四边形 ABCD . 理由如下：∵点 E ， F 分别是 OA ， OB 的中点，∴ EF ∥ AB ， ＝ .∴∠1＝∠2.∵点 F ， G 分别是 OB ， OC 的中点，∴ FG ∥ BC . ∴∠3＝∠4.∴∠1 ＋∠3＝∠2＋∠4，即∠ EFG ＝∠ ABC . 同理，得 ＝ ＝ ＝ ，∠ FGH ＝∠ BCD ，∠ GHE ＝∠ CDA ，∠ HEF ＝∠ DAB . ∴四边形 EFGH ∽四边形 ABCD . 数学 九年级上册 BS版 （2）如图2，已知矩形 ABCD 的边长 AB ＝5， BC ＝6，把它的 各边长都减去2，得到矩形 A ' B ' C ' D '，则矩形 ABCD 与矩形 A ' B ' C ' D '是否相似？ 图2 解：（2）不相似.理由如下：∵ ＝ ＝ ， ＝ ＝ ＝ ， ≠ ，∴ ≠ .∴矩形 ABCD 与矩形 A ' B ' C ' D '不相似. 数学 九年级上册 BS版 12. （选做）如图，矩形纸片 ABCD 的边 AB 长为2，动直线 l 分 别交 AD ， BC 于 E ， F 两点，且 EF ∥ AB . （1）若直线 l 是矩形 ABCD 的对称轴，且沿着直线 l 剪开后得到 的矩形 EFCD 与原矩形 ABCD 相似，试求 AD 的长. 解：（1）由题可知，矩形 EFCD ∽矩形 BCDA ，∴ ＝ .设 AD ＝ BC ＝2 CF ＝2 x . 又∵ CD ＝ AB ＝ EF ＝2，∴ ＝ .解得 x ＝ （负值舍去）.故 AD ＝2 . 数学 九年级上册 BS版 （2）若 AD ＝ ＋1，在 AD 边上是否存在点 E ，使剪刀沿着直 线 l 剪开后，所得到的小矩形纸片中存在与原矩形 ABCD 相似的 情况？若存在，请求出 AE 的长；若不存在，试说明理由. 数学 九年级上册 BS版 解：（2）存在.理由如下：①假设存在矩形 EFCD 与矩形 ABCD 相似，则矩形 EFCD 中 DC 必与矩形 ABCD 中 AD 对应，矩形 EFCD 中 ED 必 与矩形 ABCD 中 DC 对应，有 ＝ .又∵ DC ＝ 2， AD ＝ ＋1，∴ ED ＝ －1.∴ AE ＝ AD － ED ＝2.②假设矩形 EFBA 与矩形 ABCD 相似，与 ①同理，可得 AE ＝ －1.综上所述，当 AE ＝ －1或2时，在剪开所得到的小矩形纸片中存 在与原矩形相似的情况. 数学 九年级上册 BS版 演示完毕 谢谢观看 数学 九年级上册 BS版 $$第四章　图形的相似 4　探索三角形相似的条件(第一课时) 数学 九年级上册 BS版 1. 在△ ABC 中，已知∠ ACB ＝90°，用直尺和圆规在 AB 上确定 点 D ，使△ ACD ∽△ CBD . 根据作图痕迹判断，下面符合要求 的是（　C　） A B C C D 数学 九年级上册 BS版 2. 若将含60°角的直角三角板 ABC （∠ A ＝60°）与含45°角的直 角三角板 BCD 按如图方式放置，斜边 AC 与斜边 BD 相交于点 E . 则下列结论正确的是（　A　） A. △ ABE ∽△ CDE B. △ ABE ∽△ BCE C. △ BCE ∽△ DCE D. △ ABC ∽△ DCB （第2题图） A 数学 九年级上册 BS版 3. 已知点 D 是△ ABC 中的边 BC 上的一点，∠ BAD ＝∠ C ，∠ ABC 的平分线交边 AC 于点 E ，交 AD 于点 F ，则下列三角形中 与△ BDF 一定相似的是（　C　） A. △ BAC B. △ BEC C. △ BAE D. △ BFA （第3题图） C 数学 九年级上册 BS版 4. 如图，在四边形 ABCD 中， CA 平分∠ BCD ，要使△ ABC ∽△ DAC ，还需添加一个条件： ⁠ （只需写一个条件，不添加辅助线和字母）. （第4题图） ∠ BAC ＝∠ D （或∠ ABC ＝ ∠ DAC ）　 数学 九年级上册 BS版 5. 如图，已知点 E 是▱ ABCD 的边 BC 延长线上的一点，连接 AE 交 CD 于点 F ，则图中的相似三角形共有 对. （第5题图） 3　 数学 九年级上册 BS版 6. 如图，已知∠ CAB ＝∠ BCD ， AD ＝2， BD ＝4，则 BC ＝ ⁠ ⁠. 2 　 数学 九年级上册 BS版 7. 如图，在△ ABC 和△ DEC 中，已知∠ A ＝∠ D ，∠ BCE ＝∠ ACD . （1）求证：△ ABC ∽△ DEC ； （1）证明：∵∠ BCE ＝∠ ACD ， ∴∠ BCE ＋∠ ACE ＝∠ ACD ＋∠ ACE ， 即∠ ACB ＝∠ DCE . 又∵∠ A ＝∠ D ， ∴△ ABC ∽△ DEC . 数学 九年级上册 BS版 （2）若 AB ∶ DE ＝2∶3， BC ＝6，求 EC 的长. （2）解：∵△ ABC ∽△ DEC ， ∴ ＝ ＝ . 又∵ BC ＝6， ∴ ＝ . ∴ EC ＝9. 数学 九年级上册 BS版 8. 如图，在梯形 ABCD 中，已知 AB ∥ DC ，∠ B ＝90°，点 E 为 BC 上一点，且 AE ⊥ ED . （1）在图中找出一对相似三角形，并说明理由； 解：（1）△ ABE ∽△ ECD . 理由如下： ∵ AE ⊥ ED ， ∴∠ AED ＝90°. ∴∠ AEB ＋∠ CED ＝90°. ∵∠ B ＝90°， ∴∠ BAE ＋∠ AEB ＝90°. 数学 九年级上册 BS版 ∴∠ BAE ＝∠ CED . ∵ AB ∥ DC ， ∴∠ C ＝180°－∠ B ＝90°. ∴∠ C ＝∠ B . 在△ ABE 与△ ECD 中， ∵∠ BAE ＝∠ CED ，∠ B ＝∠ C ， ∴△ ABE ∽△ ECD . 数学 九年级上册 BS版 （2）若 BC ＝12， DC ＝7， BE ∶ EC ＝1∶2，求 AB 的长. 解：（2）∵ BC ＝12， BE ∶ EC ＝1∶2， ∴ BE ＝4， EC ＝8. 由（1），得△ ABE ∽△ ECD . ∴ ＝ ，即 ＝ . 解得 AB ＝ . 数学 九年级上册 BS版 9. 如图，已知点 D 是等腰直角三角形 ABC 斜边 BC 上的一个动 点，以 AD 为边作等腰直角三角形 ADE ，斜边 AE 交 BC 于点 F ， 则图中的相似三角形共有 对. （第9题图） 5　 数学 九年级上册 BS版 【解析】∵△ ABC 和△ ADE 都是等腰直角三角形，∴∠ BAC ＝ ∠ ADE ＝90°，∠ B ＝∠ C ＝∠ E ＝∠ DAE ＝45°.∴△ ABC ∽△ DAE . ∵∠ AFB ＝∠ DFE ，∠ B ＝∠ E ＝45°，∴△ ABF ∽△ DEF . ∵∠ ADF ＝∠ ADB ，∠ B ＝∠ DAE ＝45°，∴△ ABD ∽△ FAD . 同理，得△ FCA ∽△ FAD . ∴△ ABD ∽△ FCA . 综上所 述，图中相似的三角形共有5对.故答案为5. 数学 九年级上册 BS版 10. 如图，在矩形 ABCD 中， AB ＝3， BC ＝4，点 M 是对角线 BD 上的动点，过点 M 作 ME ⊥ BC 于点 E ，连接 AM . 当△ ADM 是等腰三角形时，则 ME 的长为 ⁠. （第10题图） 或 　 数学 九年级上册 BS版 【解析】∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠ C ＝90°， CD ＝ AB ＝ 3， AD ＝ BC ＝4.∴ BD ＝5.①当 AD ＝ DM 时， BM ＝ BD － DM ＝1.∵ ME ⊥ BC ， DC ⊥ BC ，∴ ME ∥ CD . ∴△ BEM ∽△ BCD . ∴ ＝ .∴ ＝ .∴ ME ＝ .②当 MA ＝ MD 时，如图所示.易 证 ME 是△ BDC 的中位线.∴ ME ＝ CD ＝ .综上所述， ME 的长 为 或 .故答案为 或 . 数学 九年级上册 BS版 11. 如图，在正方形 ABCD 中，已知点 E ， F 分别是边 AD ， CD 上的点，且 AE ＝ ED ， EF ⊥ BE ，连接 EF 并延长，交 BC 的延 长线于点 G . （1）求证：△ ABE ∽△ DEF ； （1）证明：∵四边形 ABCD 为正方形， ∴∠ A ＝∠ D ＝90°. ∴∠ ABE ＋∠ AEB ＝90°. ∵ EF ⊥ BE ，∴∠ DEF ＋∠ AEB ＝90°. ∴∠ ABE ＝∠ DEF . ∴△ ABE ∽△ DEF . 数学 九年级上册 BS版 （2）若正方形的边长为4，求 BG 的长. （2）解：∵正方形 ABCD 的边长为4，且 AE ＝ ED ， ∴ AB ＝4， AE ＝2.∴ BE ＝ ＝2 . ∵ EF ⊥ BE ， ∴∠ A ＝∠ BEG ＝90°. ∵ AE ∥ BC ，∴∠ AEB ＝∠ EBC . ∴△ AEB ∽△ EBG . ∴ ＝ .∴ ＝ .∴ BG ＝10. 数学 九年级上册 BS版 12. 如图，在△ ABC 中，已知点 D ， E 分别在边 BC ， AC 上，连 接 AD ， DE ，且∠ B ＝∠ ADE ＝∠ C . （1）求证：△ BDA ∽△ CED ； （1）证明：∵∠ ADE ＋∠ ADB ＋∠ EDC ＝180°， ∠ B ＋∠ ADB ＋∠ DAB ＝180°，且∠ B ＝∠ ADE ＝∠ C ， ∴∠ DAB ＝∠ EDC . ∴△ BDA ∽△ CED . 数学 九年级上册 BS版 （2）若∠ B ＝45°， BC ＝2，点 D 在 BC 上运动（点 D 不与点 B ， C 重合），当△ ADE 是等腰三角形时，求 BD 的长. （2）解：∵∠ B ＝∠ ADE ＝∠ C ，∠ B ＝45°， ∴△ ABC 是等腰直角三角形.∴∠ BAC ＝90°. ∵ BC ＝2，∴ AB ＝ AC ＝ . ①当 AD ＝ AE 时，有∠ ADE ＝∠ AED . ∵∠ B ＝45°，∴∠ B ＝∠ ADE ＝∠ AED ＝45°. ∴∠ DAE ＝∠ BAC ＝90°. ∵点 D 在 BC 上运动，点 D 不与点 B ， C 重合， ∴此情况不符合题意. 数学 九年级上册 BS版 ②如图1，当 AD ＝ DE 时，有∠ DAE ＝∠ DEA . 由（1）可知，△ BDA ≌△ CED ， ∴ AB ＝ DC ＝ . ∴ BD ＝2－ . 图1 图1 数学 九年级上册 BS版 ③如图2，当 AE ＝ DE 时，∠ ADE ＝∠ DAE ＝45°， ∴△ AED 是等腰直角三角形. ∵∠ B ＝45°， ∴∠ B ＝∠ C ＝∠ DAE ＝45°. ∴∠ ADC ＝90°，即 AD ⊥ BC . ∴ BD ＝ BC ＝1. 综上所述， BD 的长为2－ 或1. 图2 数学 九年级上册 BS版 13. （选做）在Rt△ ABC 中，已知∠ BAC ＝90°， AD ⊥ BC 于点 D ，点 O 是边 AC 上一点，连接 BO 交 AD 于点 F ， OE ⊥ OB 交 BC 于点 E . （1）如图1，求证：△ ABF ∽△ COE ； 图1 数学 九年级上册 BS版 （1）证明：∵ AD ⊥ BC ， ∴∠ DAC ＋∠ C ＝90°. ∵∠ BAC ＝90°， ∴∠ BAF ＋∠ DAC ＝90°. ∴∠ BAF ＝∠ C . ∵ OE ⊥ OB ， ∴∠ BOA ＋∠ COE ＝90°. 又∵∠ BOA ＋∠ ABF ＝90°， ∴∠ ABF ＝∠ COE . ∴△ ABF ∽△ COE . 图1 数学 九年级上册 BS版 （2）如图2，当点 O 为边 AC 的中点，当 ＝2时，求 的值； 图2 数学 九年级上册 BS版 （2）解：如图，过点 O 作 AC 的垂线，交 BC 于点 H ，则 OH ∥ AB . 由（1），得∠ ABF ＝∠ COE ，∠ BAF ＝∠ C . ∴∠ AFB ＝∠ CEO . ∴∠ AFO ＝∠ HEO . ∵∠ FAO ＋∠ C ＝90°，∠ EHO ＋∠ C ＝90°， ∴∠ FAO ＝∠ EHO . ∴△ OFA ∽△ OEH . ∴ OF ∶ OE ＝ OA ∶ OH . 数学 九年级上册 BS版 又∵点 O 为 AC 的中点， OH ∥ AB ， ∴ OH 为△ ABC 的中位线. ∴ OH ＝ AB ， OA ＝ OC ＝ AC . ∵ ＝2，∴ OA ＝ OC ＝ AB . ∴ OA ∶ OH ＝2∶1. ∴ OF ∶ OE ＝2∶1，即 ＝2. 数学 九年级上册 BS版 （3）当点 O 为边 AC 的中点，当 ＝ n 时，请直接写出 的值. （3） ＝ n . 数学 九年级上册 BS版 演示完毕 谢谢观看 数学 九年级上册 BS版 $$第四章　图形的相似 4　探索三角形相似的条件(第二课时) 数学 九年级上册 BS版 1. 如图，在△ ABC 中，已知点 D ， E 分别在边 AB ， AC 上， DE 与 BC 不平行，添加下列条件之一仍不能判定△ ADE ∽△ ACB 的是（　B　） A. ＝ B. ＝ C. ∠ AED ＝∠ B D. ∠ ADE ＝∠ C （第1题图） B 数学 九年级上册 BS版 2. 如图，下面能判定△ ACD ∽△ ABC 的条件是（　C　） A. ＝ B. ＝ C. AC2＝ AB · AD D. CD2＝ AD · AB （第2题图） C 数学 九年级上册 BS版 3. 如图，在△ ABC 纸片中，已知∠ C ＝90°， BC ＝5， AC ＝7， 将该纸片沿虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的 是（　D　） 　 　 　 D 数学 九年级上册 BS版 4. 如图，已知 ＝ ，请你再补充一个条件： ⁠ ，使得△ ABC ∽△ ADE . （第4题图） ∠ BAC ＝ ∠ DAE （或∠ CAE ＝∠ BAD ）　 数学 九年级上册 BS版 5. 如图，在四边形 ABCD 中，已知∠ B ＝∠ ACD ， AB ＝6， BC ＝4， AC ＝5， CD ＝7.5，则 AD ＝ ⁠. （第5题图） 6.25　 数学 九年级上册 BS版 6. 如图，在Rt△ OAD 中，∠ A ＝90°，点 B ， C 在边 AD 上，且 OA ＝ AB ＝ BC ＝ CD . 现有下列结论：①△ AOB ∽△ BOD ；② △ BOC ∽△ BDO ；③△ COD ∽△ BDO . 其中成立的有 ⁠ （填序号）. ②　 数学 九年级上册 BS版 7. 如图，在△ ABC 与△ ADE 中，已知 ＝ ，且∠ EAC ＝∠ DAB . 求证：△ ABC ∽△ ADE . 证明：∵∠ EAC ＝∠ DAB ， ∴∠ EAC ＋∠ BAE ＝∠ DAB ＋∠ BAE ， 即∠ BAC ＝∠ DAE . 又∵ ＝ ， ∴△ ABC ∽△ ADE . 数学 九年级上册 BS版 8. 如图，在正方形 ABCD 中，已知点 P 在边 BC 上，点 Q 为边 DC 的中点， BP ＝3 PC . 求证：△ CPQ ∽△ DQA . 证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴ BC ＝ CD ＝ AD ，∠ C ＝∠ D ＝90°. ∵点 Q 为 DC 的中点， ∴ CQ ＝ DQ ＝ CD ＝ AD . ∵ BP ＝3 PC ，∴ CP ＝ CB ＝ CD . ∴ CP ＝ DQ . ∴ ＝ ＝ . 又∵∠ C ＝∠ D ，∴△ CPQ ∽△ DQA . 数学 九年级上册 BS版 9. 如图，已知点 A ， B ， C ， D ， E ， F ， G ， H ， K 都是7×8 方格纸中的格点，为使△ DEM ∽△ ABC 成立，则点 M 应是 F ， G ， H ， K 四点中的点 ⁠. H 　 数学 九年级上册 BS版 10. 如图，在正方形 ADBC 中，已知点 P 是边 BC 上一点，以 AP 为边作正方形 APEF ，点 Q 是正方形 APEF 的中心，连接 CQ . 若 正方形 APEF 的边长为5， CQ ＝ ，则正方形 ADBC 的边长 为 ⁠. 4　 数学 九年级上册 BS版 【解析】如答图，连接 AB ， AQ . ∵四边形 ADBC 是正方形， ∴ ＝ ，∠ BAC ＝45°.∵点 Q 是正方形 APEF 的中心，∴ ＝ ，∠ PAQ ＝45°.∴∠ BAP ＋∠ PAC ＝∠ PAC ＋∠ CAQ . ∴∠ BAP ＝∠ CAQ . 又∵ ＝ ，∴△ ABP ∽△ ACQ . ∴ ＝ ＝ .∵ CQ ＝ ，∴ BP ＝1.设 PC ＝ x ，则 AC ＝ BC ＝1＋ x . 在Rt△ APC 中， AP2＝ AC2＋ PC2，即52＝ ＋ x2，解得 x1 ＝－4（不合题意，舍去）， x2＝3，∴正方形 ADBC 的边长为3 ＋1＝4.故答案为4. 数学 九年级上册 BS版 11. 如图，在四边形 ABCD 中，已知 AB ∥ CD ，对角线 AC ， BD 相交于点 E ，点 F 在边 AB 上，连接 CF ，交线段 BE 于点 G ，且 CG2＝ GE · GD . （1）求证：∠ ACF ＝∠ ABD ； 证明：（1）∵ CG2＝ GE · GD ，∴ ＝ . 又∵∠ CGD ＝∠ EGC ， ∴△ GCD ∽△ GEC . ∴∠ GDC ＝∠ GCE . ∵ AB ∥ CD ，∴∠ ABD ＝∠ BDC . ∴∠ ACF ＝∠ ABD . 数学 九年级上册 BS版 （2）连接 EF ，求证： EF · CG ＝ EG · CB . 证明：（2）∵∠ ABD ＝∠ ACF ，∠ BGF ＝∠ CGE ， ∴△ BGF ∽△ CGE . ∴ ＝ .∴ ＝ . 又∵∠ FGE ＝∠ BGC ， ∴△ FGE ∽△ BGC . ∴ ＝ . ∴ EF · CG ＝ EG · CB . 数学 九年级上册 BS版 12. （选做）如图，在Rt△ ABC 中，∠ ABC ＝90°， AB ＝ BC ， 将△ ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转α得到△ ADE ，连接 BD ， CE . 数学 九年级上册 BS版 （1）如图1，当0°＜α＜45°时，求证：△ ABD ∽△ ACE ； （1）证明：由旋转的性质可知， AD ＝ AB ， AE ＝ AC ，∠ BAD ＝∠ CAE ，∴ ＝ . ∴△ ABD ∽△ ACE . 数学 九年级上册 BS版 （2）如图2，当α＝45°时，点 E 在 AB 的延长线上，延长 DB 交 CE 于点 F ，求∠ DFE 的度数； 数学 九年级上册 BS版 （2）解：如图1.∵在Rt△ ABC 中，∠ ABC ＝90°， AB ＝ BC ， ∴∠ BAC ＝∠ BCA ＝45°. 由旋转的性质可知， AD ＝ AB ， AE ＝ AC ，∠ DAE ＝∠ BAC ＝ 45°， ∴∠1＝∠2＝67.5°，∠3＝∠ ACE ＝67.5°. ∴∠4＝∠2＝67.5°. ∴∠ BFE ＝180°－∠3－∠4＝45°. 图1 数学 九年级上册 BS版 （3）如图3，当45°＜α＜90°时，延长 DB 交 CE 于点 F ，求证： 点 F 是线段 CE 的中点. 数学 九年级上册 BS版 （3）证明：如图2，过点 E 作 EM ⊥ DF 于点 M ，过点 C 作 CN ⊥ DF ，交 DF 的延长线于点 N ，则∠ DME ＝∠ EMF ＝∠ BNC ＝90°. 由旋转的性质可知， DE ＝ BC ， AD ＝ AB ， ∠ ADE ＝∠ ABC ＝90°， ∴∠1＝∠2，∠1＋∠4＝90°， ∠2＋∠3＝180°－∠ ABC ＝90°.∴∠4＝∠3. ∴△ DEM ≌△ BCN . ∴ EM ＝ CN . 在△ FME 和△ FNC 中， ∴△ FEM ≌△ FCN （AAS）.∴ EF ＝ CF . ∴点 F 是线段 CE 的中点. 图2 数学 九年级上册 BS版 演示完毕 谢谢观看 数学 九年级上册 BS版 $$第四章　图形的相似 6　利用相似三角形测高 数学 九年级上册 BS版 1. 小明用长为3 m的竹竿 CD 做测量工具，测量学校旗杆 AB 的高 度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离 DB ＝12 m，此时 O ， C ， A 三点共线（如图所示），则旗杆 AB 的高度为（　A　） A. 9 m B. 7.5 m C. 6 m D. 4 m （第1题图） A 数学 九年级上册 BS版 2. 若图1是装液体的高脚杯的示意图，用去一部分液体后如图2 所示，则此时液面 AB ＝（　C　） A. 1 cm B. 2 cm C. 3 cm D. 4 cm （第2题图） C 数学 九年级上册 BS版 3. 如图，一束平行的阳光从教室窗户 AB 射入，小秋量出 BC ＝1 m， NC ＝ m， BN ＝ m， AC ＝4.5 m， MC ＝6 m，则 MA 的 长为（　B　） A. 5 m B. 7.5 m C. 6 m D. 5.5 m B 数学 九年级上册 BS版 4. 小明和他的同学在太阳下行走，小明身高1.4 m，他的影 长为1.75 m，他同学的身高为1.6 m，则此时他的同学的影长 为 ⁠ m. 2　 数学 九年级上册 BS版 （第5题图） 5. （2023·南充）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度， 小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜 和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的 顶端.已知小菲的眼睛离地面高度为1.6 m，同时量得小菲与镜子 的水平距离为2 m，镜子与旗杆的水平距离为10 m，则旗杆高度 为 ⁠m. 8　 数学 九年级上册 BS版 6. 如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点 A ， 在近岸取点 B ， C ， D ，使得 AB ⊥ BC ， CD ⊥ BC ，点 E 在 BC 上，并且点 A ， E ， D 在同一条直线上.测得 BE ＝20 m， EC ＝ 10 m， CD ＝20 m，则河的宽度 AB 为 ⁠ m. （第6题图） 40　 数学 九年级上册 BS版 7. 如图，一天早上，小张正向着教学楼 AB 走去，他发现教学楼 后面有一水塔 DC ，可过了一会抬头一看：“怎么看不到水塔 了？”心里很纳闷.经过了解，教学楼、水塔的高分别为20 m和 30 m，它们之间的距离为30 m，小张身高为1.6 m.小张要想看到 水塔，他与教学楼的距离至少应有多少米？ 数学 九年级上册 BS版 解：如答图，由题意知， AH ＝20－1.6＝18.4（m）， DG ＝30 －1.6＝28.4（m）， HG ＝30 m. ∵ AB ∥ DC ， ∴△ EAH ∽△ EDG . ∴ ＝ ，即 ＝ . ∴ EH ＝55.2 m. ∴小张要想看到水塔，他与教学楼的距离至少应有55.2 m. 答图 数学 九年级上册 BS版 8. 一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子来测量一路灯 D 的 高度.如图，当李明走到点 A 处时，张龙测得李明直立身高 AM 与其影子长 AE 正好相等，接着李明沿 AC 方向继续向前走，走 到点 B 处时，李明直立时身高 BN 的影子恰好是线段 AB ，并测 得 AB ＝1.25 m.已知李明直立时的身高为1.75 m，求路灯的高 CD （结果精确到0.1 m）. 数学 九年级上册 BS版 解：设 CD 为 x m. 由题意，得 AM ⊥ EC ， CD ⊥ EC ， BN ⊥ EC ， EA ＝ MA ， ∴ MA ∥ CD ， BN ∥ CD . ∴△ EAM ∽△ ECD ，△ ABN ∽△ ACD . ∴ EC ＝ CD ＝ x m， ＝ . ∴ ＝ . 解得 x ＝6.125≈6.1. ∴路灯的高 CD 约为6.1 m. 数学 九年级上册 BS版 9. 如图，在离某建筑物4 m处有一棵树 AB . 在某时刻，1.2 m长 的竹竿 A ' B '垂直地面，影 BB '长为2 m，此时，树的影子有一部 分在地面上，还有一部分影子在建筑物的墙上，墙上的影高为2 m，则这棵树的高为 ⁠m. 4.4　 数学 九年级上册 BS版 【解析】如答图，过点 C 作 CE ∥ AD 交 AB 于点 E ，则 CD ＝ AE ＝2 m.易得△ B ' BA '∽△ BCE . ∴ A ' B '∶ B ' B ＝ BE ∶ BC ，即 1.2∶2＝ BE ∶4.∴ BE ＝2.4 m.∴ AB ＝2.4＋2＝4.4（m）.∴这棵 树的高为4.4 m.故答案为4.4. 答图 答图 数学 九年级上册 BS版 10. 如图，小明用相似图形的知识测量旗杆的高度.已知小明的 眼睛离地面的高度 AB ＝1.5 m，他将3 m长的标杆（ CD ）竖直 放置在身前3 m处（ AC ＝3 m），此时小明的眼睛点 B 、标杆的 顶端点 D 、旗杆的顶端点 F 在一条直线上，通过计算测得旗杆 高度 EF ＝15 m，则旗杆和标杆之间距离 CE ＝ ⁠m. 24　 数学 九年级上册 BS版 【解析】如答图，延长 FB 交 EA 的延长线于点 T . 设 TA ＝ x m， CE ＝ y m.∵ AB ∥ CD ，∴△ TAB ∽△ TCD . ∴ ＝ .∵ AB ＝ 1.5 m， AC ＝ CD ＝3 m，∴ ＝ .解得 x ＝3.经检验， x ＝3 是分式方程的解，且符合题意.∵ CD ∥ EF ，∴△ TCD ∽△ TEF . ∴ ＝ .∵ EF ＝15 m， CD ＝3 m， TC ＝3＋3＝6 （m），∴ ＝ .解得 y ＝24.经检验， y ＝24是分式方程的 解，且符合题意.∴ CE ＝24 m.故答案为24. 答图 数学 九年级上册 BS版 11. 如图，路灯 P 距地面8 m（即 OP ＝8 m），身高1.6 m的小明 从点 A 处沿 AO 所在直线行走14 m到达点 B ，求影长 BD 比 AC 缩 短了多少米. 数学 九年级上册 BS版 解：∵ EA ⊥ OC ， PO ⊥ OC ，∴∠ EAC ＝∠ POC . 又∵∠ C ＝∠ C ，∴△ EAC ∽△ POC . ∴ ＝ .∴ ＝ ＝ . ∴ AC ＝ OA . 同理可得， BD ＝ OB . ∴ AC － BD ＝ （ OA － OB ）＝ AB ＝ ×14＝3.5（m）. ∴影长 BD 比 AC 缩短了3.5 m. 数学 九年级上册 BS版 12. 如图，王华同学在晚上由路灯 AC 走向路灯 BD ，当他走到点 P 时，身后的影子的顶部刚好位于路灯 AC 的底部.当他向前再走 12 m到达点 Q 时，身前的影子的顶部刚好位于路灯 BD 的底部. 已知王华同学的身高是1.8 m，两个路灯的高度都是9.6 m. （1）求两个路灯之间的距离； 数学 九年级上册 BS版 解：（1）由对称性知， AP ＝ BQ . 设 AP ＝ BQ ＝ x m. ∵ MP ∥ BD ，∴△ APM ∽△ ABD . ∴ ＝ .∴ ＝ .解得 x ＝3.6. 经检验， x ＝3.6是原分式方程的根，且符合题意. ∴ AB ＝2 AP ＋ PQ ＝2 x ＋12＝2×3.6＋12＝19.2（m）. 故两个路灯之间的距离为19.2 m. 数学 九年级上册 BS版 （2）当王华同学走到路灯 BD 时，他在路灯 AC 下的影长是多少 （结果精确到0.1 m）？ 解：（2）设王华走到路灯 BD 处头的顶部 为 E ，连接 CE 并延长，交 AB 的延长线于点 F （如图）.则 BF 即为此时他在路灯 AC 下 的影长. 设 BF ＝ y m. ∵ BE ∥ AC ，∴△ EBF ∽△ CAF . ∴ ＝ ，即 ＝ . 数学 九年级上册 BS版 解得 y ≈4.4. 检验：4.4＋19.2≠0，且符合题意. 故当王华同学走到路灯 BD 处时，他在路灯 AC 下的影长约是 4.4 m. 数学 九年级上册 BS版 13. （选做）如图，平台 AB 上有一棵直立的大树 CD ，平台的边 缘 B 处有一棵直立的小树 BE ，平台边缘 B 外有一个向下的斜坡 BG . 小明想利用数学课上学习的知识测量大树 CD 的高度.一 天，他发现大树的影子一部分落在平台 CB 上，一部分落在斜坡 上，而且大树的顶端 D 的影子与小树顶端 E 的影子恰好重合， 都落在斜坡上的 F 处.经测量， CB ＝5 m， BF ＝2 m，小树 BE ＝1.8 m，斜坡 BG 与平台 AB 所成的∠ ABG ＝150°.请你帮小 明求出大树 CD 的高度. 数学 九年级上册 BS版 解：如答图，延长 CB 交 EF 于点 H ，过点 F 作 FM ⊥ EB ，交 EB 的延长线于点 M . ∵∠ ABG ＝150°， BE ⊥ CB ， ∴∠ MBF ＝150°－90°＝60°. ∴∠ MFB ＝30°. ∵ BF ＝2 m，∴ BM ＝1 m. ∴ MF ＝ ＝ m. ∵ BE ⊥ CB ， MF ⊥ BE ，∴ BH ∥ MF . 答图 数学 九年级上册 BS版 ∴△ EBH ∽△ EMF . ∴ ＝ . 又∵ EB ＝1.8 m， EM ＝ EB ＋ BM ， ∴ ＝ .∴ BH ＝ （m）. ∵ BE ∥ CD ，∴△ HBE ∽△ HCD . ∴ ＝ . ∵ CB ＝5 m， CH ＝ CB ＋ BH ， 答图 ∴ ＝ . ∴ CD ＝15.8 m. 即大树 CD 的高度为15.8 m. 数学 九年级上册 BS版 演示完毕 谢谢观看 数学 九年级上册 BS版 $$第四章　图形的相似 7　相似三角形的性质(第二课时) 数学 九年级上册 BS版 1. 已知△ ABC ∽△ DEF ， AB ∶ DE ＝1∶2，则△ ABC 与△ DEF 的周长比为（　B　） A. 1∶4 B. 1∶2 C. 2∶1 D. 1∶3 B 数学 九年级上册 BS版 2. 如图，在一块斜边长30 cm的Rt△ ACB 木板上截取一个正方形 EDCF ，点 D 在边 BC 上，点 E 在斜边 AB 上，点 F 在边 AC 上.若 AF ∶ AC ＝1∶3，则这块木板截取正方形 EDCF 后，剩下的两个 三角形的周长之比为（　C　） A. 1∶3 B. 1∶4 C. 1∶2 D. 1∶5 （第2题图） C 数学 九年级上册 BS版 3. 如图，将△ ABC 沿 BC 边上的中线 AD 平移到△ A ' B ' C '的位置. 已知△ ABC 的面积为16，阴影部分三角形的面积为9.若 AA '＝ 1，则 A ' D ＝（　B　） A. 2 B. 3 C. 4 D. （第3题图） B 数学 九年级上册 BS版 4. 如图，已知平行于 BC 的直线 DE 把△ ABC 分成面积相等的两 部分，则 ＝ 　 　. （第4题图） 　 数学 九年级上册 BS版 5. 如图，在梯形 ABCD 中，已知 AD ∥ BC ，对角线 AC 和 BD 相 交于点 O ，△ AOD 的面积为1 cm2，△ BOC 的面积为4 cm2，则 △ AOB 的面积为 cm2. （第5题图） 2　 数学 九年级上册 BS版 6. （2023·乐山）如图，在▱ ABCD 中，点 E 是线段 AB 上的一 点，连接 AC ， DE ， AC 与 DE 交于点 F . 若 ＝ ，则 ＝ ⁠. 　 数学 九年级上册 BS版 7. 如图，已知 AB 与 CD 相交于点 O ，△ OBD ∽△ OAC ， ＝ ， OB ＝6， S△ ACO ＝50.求： （1） OA 的长； 解：（1）∵△ OBD ∽△ OAC ， ∴ ＝ ＝ . 又∵ OB ＝6， ∴ OA ＝10. 数学 九年级上册 BS版 （2）△ OBD 的面积. 解：（2）∵△ OBD ∽△ OAC ， ＝ ， ∴ ＝ . ∵ S△ OAC ＝50， ∴ S△ OBD ＝18. 数学 九年级上册 BS版 8. 如图，在▱ ABCD 中，已知 AB ＝6，点 G 在 AB 的延长线上， 连接 DG ，分别交 AC ， BC 于点 E ， F ，且 AE ∶ CE ＝3∶2. （1）求 BG 的长； 解：（1）∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ CD ＝ AB ＝6， AB ∥ CD . ∴△ AEG ∽△ CED . ∴ ＝ ，即 ＝ . 解得 AG ＝9. ∴ BG ＝ AG － AB ＝9－6＝3. 数学 九年级上册 BS版 （2）若 S△ BGF ＝3，求四边形 ABFD 的面积. 解：（2）∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AD ∥ BC . ∴△ GBF ∽△ GAD . ∴ ＝ ，即 ＝ . 解得 S△ GAD ＝27. ∴ S四边形 ABFD ＝ S△ ADG － S△ BGF ＝27－3＝24. 数学 九年级上册 BS版 9. 如图，在边长为 的菱形 ABCD 中，∠ B ＝30°，过点 A 作 AE ⊥ BC 于点 E ，现将△ ABE 沿直线 AE 翻折至△ AFE 的位置， AF 与 CD 交于点 G ，则线段 CG 的长为 ⁠. （第9题图） －1　 数学 九年级上册 BS版 【解析】在Rt△ ABE 中，∵∠ B ＝30°， AB ＝ ，∴ BE ＝ .根 据折叠性质可得， BF ＝2 BE ＝3.∴ CF ＝3－ .∵ AD ∥ CF ， ∴△ ADG ∽△ FCG . ∴ ＝ .设 CG ＝ x ，则 ＝ ，解 得 x ＝ －1.故答案为 －1. 数学 九年级上册 BS版 10. 如图，在△ ABC 中，点 D ， E 分别是边 AB ， AC 的中点， DF 过 EC 的中点 G ，并与 BC 的延长线交于点 F ， BE 与 DF 交于 点 O . 若四边形 BCED 的面积为 S ，则△ FCG 的面积＝ ⁠ （用含 S 的代数式表示）. S 　 （第10题图） 数学 九年级上册 BS版 【解析】∵点 D ， E 分别是边 AB ， AC 的中点，∴ DE ∥ BC ， DE ＝ BC . ∴△ ADE ∽△ ABC ，∴ ＝ ＝ .∵四边 形 BCED 的面积为 S ，∴ S△ ADE ＝ S . ∵ DE ∥ CF ，∴∠ EDG ＝ ∠ F ，∠ DEG ＝∠ FCG . ∵点 G 是 EC 的中点，∴ EG ＝ CG . ∴ EG ＝ AE . ∴ S△ DEG ＝ S△ ADE ＝ S . 在△ DEG 和△ FCG 中， ∴△ DEG ≌△ FCG （AAS）.∴ S△ FCG ＝ S△ DEG ＝ S . 故答案为 S . 数学 九年级上册 BS版 11. 如图，在△ ABC 中，已知点 D ， E 分别在边 AB 和 AC 上，且 DE ∥ BC . （1）若 AD ∶ DB ＝1∶1，求 S△ ADE ∶ S四边形 DBCE 的值； 解：（1）∵ AD ∶ DB ＝1∶1， ∴ AD ∶ AB ＝1∶2.∵ DE ∥ BC ， ∴△ ADE ∽△ ABC . ∴ ＝ ＝ . ∴ S△ ADE ∶ S四边形 DBCE ＝ . 数学 九年级上册 BS版 （2）若 S△ ADE ＝ S四边形 DBCE ，求 和 的值. 解：（2）∵ DE ∥ BC ，∴△ ADE ∽△ ABC . 又∵ S△ ADE ＝ S四边形 DBCE ， ∴ S△ ADE ∶ S△ ABC ＝1∶2. ∴ ＝ ＝ ， ＝ ＝ . ∴ ＝ ＝ ＋1. 数学 九年级上册 BS版 12. （2023·武汉）如图，已知 DE 将等边三角形 ABC 分为面积相 等的两部分，折叠△ BDE 得到△ FDE ， AC 分别与 DF ， EF 相 交于 G ， H 两点.若 DG ＝ m ， EH ＝ n ，请用含 m ， n 的式子表 示 GH 的长. 数学 九年级上册 BS版 解：∵△ ABC 是等边三角形， ∴∠ A ＝∠ B ＝∠ C ＝60°. 由折叠的性质，得△ BDE ≌△ FDE ， ∴ S△ BDE ＝ S△ FDE ，∠ B ＝∠ F ＝60°＝∠ A ＝∠ C . ∵ DE 平分等边三角形 ABC 的面积， ∴ S梯形 ADEC ＝ S△ BDE ＝ S△ FDE . ∴ S△ FHG ＝ S△ ADG ＋ S△ CHE . 又∵∠ AGD ＝∠ FGH ，∠ CHE ＝∠ FHG . ∴△ ADG ∽△ FHG ，△ CHE ∽△ FHG . 数学 九年级上册 BS版 ∴ ＝ ＝ ， ＝ ＝ . ∴ ＋ ＝ ＝ ＝1. ∴ GH2＝ m2＋ n2. 解得 GH ＝ 或 GH ＝－ （不符合题意，舍 去）. ∴ GH ＝ . 数学 九年级上册 BS版 13. （选做）如图，在△ ABC 中， AB ＝5， BC ＝3， AC ＝4，动 点 E （与点 A ， C 不重合）在 AC 边上， EF ∥ AB 交 BC 于点 F . （1）当△ EFC 的面积与四边形 EABF 的面积相等时，求 CE 的长. 解：（1）∵△ EFC 的面积与四边形 EABF 的面积相等， ∴ S△ EFC ∶ S△ ACB ＝1∶2. 由 EF ∥ AB ，得△ EFC ∽△ ABC . ∴ ＝ ＝ .∴ ＝ . ∴ CE ＝ CA ＝2 . 数学 九年级上册 BS版 （2）试问：在 AB 上是否存在一点 P ，使得△ EPF 为等腰直 角三角形？若存在，请求出 EF 的长；若不存在，请简要说 明理由. 解：（2）存在.分两种情况： ①如图1，当∠ PEF ＝90°时， EP ＝ EF ，过 点 C 作 CD ⊥ AB 于点 D . 由 AB ＝5， BC ＝ 3， AC ＝4，得∠ ACB ＝90°. ∵ S△ ABC ＝ AB · CD ＝ AC · BC ， ∴ CD ＝ . 图1 数学 九年级上册 BS版 设 EP ＝ EF ＝ x . 由△ EFC ∽△ ABC ，得 ＝ ， 解得 x ＝ .∴ EF ＝ . 同理，当∠ EFP '＝90°时， EF ＝ . 图1 数学 九年级上册 BS版 ②如图2，当∠ EPF ＝90°时， PE ＝ PF ，过点 P 作 PG ⊥ EF 于 点 G ，则 PG ＝ EF . 过点 C 作 CD ⊥ AB 于点 D . 由①知， CD ＝ . 设 EF ＝ y . 由△ EFC ∽△ ABC ，得 ＝ ， 解得 y ＝ . 图2 数学 九年级上册 BS版 ∴ EF ＝ . 综上所述，在 AB 上存在一点 P ，使△ EFP 为等腰直角三角形， EF 的长为 或 . 图2 图2 数学 九年级上册 BS版 演示完毕 谢谢观看 数学 九年级上册 BS版 $$第四章　图形的相似 8　图形的位似(第二课时) 数学 九年级上册 BS版 1. 如图，在平面直角坐标系中，将△ OAB 以原点 O 为位似中心 放大后得到△ OCD . 若点 B 的坐标为（0，1），点 D 的坐标为 （0，3），则△ OAB 与△ OCD 的相似比是（　D　） A. 2∶1 B. 1∶2 C. 3∶1 D. 1∶3 （第1题图） D 数学 九年级上册 BS版 2. 如图，在平面直角坐标系中，已知△ OAB 的顶点坐标分别为 O （0，0）， A （4，3）， B （3，0）.以点 O 为位似中心，在 第三象限内作△ OAB 的位似图形△ ODC ，且相似比为3∶1，则 点 C 的坐标为（　B　） A. （－1，－1） B. C. D. （－2，－1） （第2题图） B 数学 九年级上册 BS版 3. 如图，在平面直角坐标系中，△ ABC 的顶点坐标分别是 A （1，2）， B （1，1）， C （3，1），以坐标原点 O 为位似中 心，在原点的同侧画△ DEF ，使△ DEF 与△ ABC 成位似图形， 且相似比为2∶1，则线段 DF 的长度为（　D　） A. B. 2 C. 4 D. 2 （第3题图） D 数学 九年级上册 BS版 4. 如图，在平面直角坐标系中，已知△ ABC 与△ ODE 是位似图 形，则位似中心的坐标为 ⁠. （第4题图） 　 数学 九年级上册 BS版 5. 如图，在平面直角坐标系中，已知△ ABC 与△ A ' B ' C '顶点的 横、纵坐标都是整数，△ ABC 与△ A ' B ' C '是位似图形，则位似 中心的坐标是 ⁠. （8，0）　 （第5题图） 数学 九年级上册 BS版 6. 如图，△ ABC 和△ A ' B ' C 是以点 C 为位似中心的位似图形， 且△ ABC 和△ A ' B ' C 的周长之比为1∶2，点 C 的坐标为（－1， 0）.若点 B 的对应点 B '的横坐标为5，则点 B 的横坐标为 ⁠ ⁠. － 4　 （第6题图） 数学 九年级上册 BS版 7. 如图，在平面直角坐标系中，已知△ ABC 和△ A ' B ' C '是以坐 标原点 O 为位似中心的位似图形，且点 B （3，1）， B '（6， 2）. （1）填空： ①若 A （2.5，3），则点 A '的坐标为 ⁠； ②△ ABC 与△ A ' B ' C '的相似比为 ⁠. （5，6）　 1∶2　 数学 九年级上册 BS版 （1）①【解析】由题意可知，点 B 的横、纵坐 标分别乘2即得到点 B '的坐标，∴点 A '的坐标 为（2.5×2，3×2），即（5，6）.故答案为 （5，6）. ②【解析】由题意知，△ ABC 与△ A ' B ' C '的相 似比为3∶6＝1∶2.故答案为1∶2. 数学 九年级上册 BS版 （2）若△ ABC 的面积为 m ，求△ A ' B ' C '的面积（用含 m 的代 数式表示）. （2）解：∵△ ABC 与△ A ' B ' C '的相似比为1∶2， ∴ ＝ . ∵△ ABC 的面积为 m ， ∴△ A ' B ' C '的面积为4 m . 数学 九年级上册 BS版 8. 如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知 在△ ABC 中， A （－1，2）， B （2，1）， C （4，5）. （1）画出△ ABC 关于 x 轴对称的△ A1 B1 C1； 解：（1）如图，△ A1 B1 C1为所求作 图形. 数学 九年级上册 BS版 （2）以原点 O 为位似中心，在 x 轴的上方画出△ A2 B2 C2，使△ A2 B2 C2与△ ABC 成位似图形，且△ A2 B2 C2与△ ABC 的相似比为 2∶1，并写出点 A2， B2， C2的坐标. 解：（2）如图，△ A2 B2 C2为所求作图 形，点 A2， B2， C2的坐标分别为（－ 2，4），（4，2），（8，10）. 数学 九年级上册 BS版 9. （2023·绥化）如图，在平面直角坐标系中，△ ABC 与△ AB ' C '的相似比为1∶2，点 A 是位似中心.若点 A （2，0）， C （ a ， b ），∠ C ＝90°，则点 C '的坐标为 （结 果用含 a ， b 的式子表示）. （第9题图） （6－2 a ，－2 b ）　 数学 九年级上册 BS版 【解析】如图，过点 C ， C '分别作 x 轴的垂线 CD ， C ' D '，垂足 分别为 D ， D '. ∵△ ABC 与△ AB ' C '的相似比为1∶2，点 A 是位似中心， A （2，0），∴ AD '＝2 AD . ∵ C （ a ， b ），∴ AD ＝ a －2， CD ＝ b .∴ A ' D ＝2 a －4， C ' D '＝2 b .∴ D '（2－2 a ＋4，0），即 D ' （6－2 a ，0）.∴ C '（6－2 a ，－2 b ）.故答案为（6－2 a ，－2 b ）. 数学 九年级上册 BS版 10. 如图，在平面直角坐标系中，正方形 A1 BB1 C1， A2 B1 B2 C2， A3 B2 B3 C3关于原点 O 位似，其中点 B ， B1， B2， B3都在 x 轴 上，点 C1在 A2 B1上，点 C2在 A3 B2上，依此方式，继续作正方形 A4 B3 B4 C4……若点 A1的坐标为（1，1），则点 C2 024的坐标 为 ⁠. 　 （第10题图） 数学 九年级上册 BS版 解：∵点 A1坐标为（1，1），∴ OB ＝1， A1 B ＝1.∵四边形 A1 BB1 C1是正方形，∴ OB1＝2， B1 C1＝1.∴点 C1的坐标为（2， 1）.∵正方形 A1 BB1 C1与正方形 A2 B1 B2 C2关于原点 O 位似， ∴ ＝ ＝ .∴正方形 A1 BB1 C1与 A2 B1 B2 C2的相似比为 1∶2.同理可得，正方形 A1 BB1 C1与正方形 A3 B2 B3 C3的相似比为 1∶4，正方形 A1 BB1 C1与正方形 A4 B3 B4 C4的相似比为1∶8， ∴正方形 A1 BB1 C1与正方形 AnBn－1 BnCn 的相似比为1∶2 n－1.∴点 C2 024的坐标为 ，即 .故答案为 . 数学 九年级上册 BS版 11. 如图，在平面直角坐标系中，△ ABC 的顶点坐标分别为 A （7，1）， B （8，2）， C （9，0）. （1）请在图中以点 P （12，0）为位似中心画△ A ' B ' C '，使它 与△ ABC 位似，且相似比为3∶1（要求△ A ' B ' C '与△ ABC 同在 点 P 同侧）； 解：（1）画出△ A ' B ' C '如图所示. 数学 九年级上册 BS版 （2）求线段 BC 的对应线段 B ' C '所在直线的函数表达式. 解：（2）由（1），得 B '（0， 6）， C '（3，0）. 设 B ' C '所在直线的函数表达式为 y ＝ kx ＋ b . 将点 B '， C '的坐标代入，得 解得 ∴线段 B ' C '所在直线的函数表达 式为 y ＝－2 x ＋6. 数学 九年级上册 BS版 12. （选做）如图，在平面直角坐标系中，有正方形 ABCD 和正 方形 EFGH . 若点 A 和点 E 的坐标分别为（－2，3），（1，－1）， 且这两个正方形是位似图形，求位似中心的坐标. 数学 九年级上册 BS版 解：①当点 A 和点 E 是对应顶点，点 B 和点 F 是对应顶点 时，位似中心就是 AE 与 BF 的交点. 如图1，连接 AE ，交 x 轴于点 N ，点 N 即为两个正方形的位 似中心. ∵点 A 和点 E 的坐标分别为（－2，3），（1，－1）， ∴ B （－2，0）， AB ＝3， EF ＝1， BF ＝1－（－2）＝3. ∵ AB ∥ EF ， ∴△ ABN ∽△ EFN . ∴ ＝ . ∴ ＝ . 图1 数学 九年级上册 BS版 解得 BN ＝ . ∴ ON ＝ BN － BO ＝ －2＝ . ∴位似中心的坐标是 . 图1 图1 数学 九年级上册 BS版 ②当点 A 和点 G 是对应顶点，点 C 和点 E 是对应顶点时，位似中 心就是 AG 与 CE 的交点. 如图2，连接 AG ， DF ， BH ， CE ，并延长交于点 M . ∵点 E 的坐标为（1，－1）， ∴ EF ＝1， F （1，0）， G （2，0）， H （2，－1）. 设 AG 所在直线的函数表达式为 y ＝ kx ＋ b . 把点 A （－2，3）， G （2，0）代入，得 图2 数学 九年级上册 BS版 解得 故 AG 所在直线的函数表达式为 y ＝－ x ＋ . 设 BH 所在直线的函数表达式为 y ＝ mx ＋ n . 把点 B （－2，0）， H （2，－1）代入，得 图2 解得 故 BH 所在直线的函数表达式为 y ＝－ x － . 数学 九年级上册 BS版 联立解得 故 M . 综上所述，位似中心的坐标是（ ，0）或（4，－ ）. 图2 数学 九年级上册 BS版 演示完毕 谢谢观看 数学 九年级上册 BS版 $$第四章　图形的相似 5　相似三角形判定定理的证明 数学 九年级上册 BS版 1. 下列命题中是真命题的是（　C　） A. 有一个角相等的直角三角形都相似 B. 有一个角相等的等腰三角形都相似 C. 有一个角是120°的等腰三角形都相似 D. 两边成比例且有一角相等的三角形都相似 C 数学 九年级上册 BS版 2. 如图，在四边形 ABCD 中，已知∠ ADC ＝∠ BAC ，则补充下 列条件后仍不能判定△ ADC 和△ BAC 相似的是（　C　） A. CA 平分∠ BCD B. ＝ C. AC2＝ BC · CD D. ∠ DAC ＝∠ ABC C 数学 九年级上册 BS版 3. 如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部 分）与△ ABC 相似的是（　B　） （第3题图） A B C D B 数学 九年级上册 BS版 4. 如图，若 AE ∶ AB ＝ ，则△ AEF ∽△ ABC ；若 ∠ E ＝ ，则△ AEF ∽△ ABC . （第4题图） AF ∶ AC 　 ∠ B 　 数学 九年级上册 BS版 5. （2023·大庆）有一张矩形纸片 ABCD 如图所示，点 N 在边 AD 上，现将矩形折叠，折痕为 BN ，点 A 对应的点记为点 M . 若点 M 恰好落在边 DC 上，则图中与△ NDM 一定相似的三角形 是 ⁠. （第5题图） △ MCB 　 数学 九年级上册 BS版 6. 如图，在Rt△ ABC 中，已知∠ ACB ＝90°， AB ＝10， BC ＝ 6，∠ ABC 的平分线 BE 交 AC 于点 E ，过点 C 作 CD ∥ AB 交 BE 的延长线于点 D ，则 DE ＝ ⁠. （第6题图） 　 数学 九年级上册 BS版 7. 如图，在△ ABC 中，已知点 D 是边 AC 上的一点，∠ CBD 的 平分线 BE 交 AC 于点 E ，且 AE ＝ AB ，求证： AE2＝ AD · AC . 证明：∵ BE 平分∠ CBD ， ∴∠ DBE ＝∠ CBE . ∵ AE ＝ AB ， ∴∠ ABE ＝∠ AEB . ∵∠ ABE ＝∠ ABD ＋∠ DBE ，∠ AEB ＝∠ C ＋∠ CBE ， ∴∠ ABD ＝∠ C . 又∵∠ A ＝∠ A ，∴△ ABD ∽△ ACB . ∴ ＝ .∴ AB2＝ AD · AC . 又∵ AE ＝ AB ， ∴ AE2＝ AD · AC . 数学 九年级上册 BS版 8. 如图，已知点 E ， F 在正方形 ABCD 的对角线 AC 上，且∠ EBF ＝45°. （1）若 BE ＝ BF ，求证： AE ＝ CF ； （1）证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴ AB ＝ BC ，∠ BAE ＝∠ BCF ＝45°. ∵ BE ＝ BF ，∴∠ BEF ＝∠ BFE . ∴∠ AEB ＝∠ CFB . ∴△ ABE ≌△ CBF . ∴ AE ＝ CF . 数学 九年级上册 BS版 （2）若 AB ＝4，求 AF · CE 的值. （2）解：∵∠ BEC ＝∠ BAE ＋∠ ABE ＝45°＋ ∠ ABE ，∠ ABF ＝∠ EBF ＋∠ ABE ＝45°＋∠ ABE ， ∴∠ BEC ＝∠ ABF . 又∵∠ BAF ＝∠ BCE ＝45°， ∴△ ABF ∽△ CEB . ∴ ＝ . 又∵ AB ＝4，四边形 ABCD 是正方形， ∴ BC ＝ AB ＝4. ∴ AF · CE ＝ AB · BC ＝4×4＝16. 数学 九年级上册 BS版 9. 如图，将矩形 ABCD 沿 GH 对折，点 C 落在点 Q 处，点 D 落在 边 AB 上的点 E 处， EQ 与 BC 相交于点 F . 若 AD ＝8， AB ＝6， AE ＝4，则△ EBF 的周长为 ⁠. 8　 （第9题图） 数学 九年级上册 BS版 10. 如图，在边长为4的正方形 ABCD 中，点 E ， F 分别是 BC ， CD 的中点， DE ， AF 交于点 G ， AF 的中点为 H ，连接 BG ， DH . 给出下列结论：① AF ⊥ DE ；② DG ＝ ；③ HD ∥ BG ；④ △ ABG ∽△ DHF . 其中正确的结论有 （填序号）. （第10题图） ①④　 数学 九年级上册 BS版 11. 如图，正方形 ABCD 的边长为1，边 AB 上有一动点 P ，连接 PD . 将线段 PD 绕点 P 按顺时针方向旋转90°后，得到线段 PE ， 且 PE 交 BC 于点 F ，连接 DF . 过点 E 作 EQ ⊥ AB ，交 AB 的延长 线于点 Q . （1）求线段 PQ 的长. 数学 九年级上册 BS版 解：（1）由题意，得 PE ＝ PD ，∠ DPE ＝90°. ∴∠ APD ＋∠ QPE ＝90°.∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠ A ＝90°.∴∠ ADP ＋∠ APD ＝90°. ∴∠ ADP ＝∠ QPE . ∵ EQ ⊥ AB ，∴∠ Q ＝90°. ∴∠ A ＝∠ Q . 在△ ADP 和△ QPE 中， ∴△ ADP ≌△ QPE （AAS）. ∴ AD ＝ PQ ＝1. 数学 九年级上册 BS版 （2）点 P 在何处时，△ BFP ∽△ PFD ？并说明理由. 解：（2）点 P 为边 AB 的中点时，△ PFD ∽△ BFP . 理由如下： 若△ BFP ∽△ PFD ，则 ＝ .∴ ＝ . ∵∠ ADP ＝∠ EPB ，∠ A ＝∠ CBP ， ∴△ DAP ∽△ PBF . ∴ ＝ . ∴ ＝ . ∴ PA ＝ PB . ∴当点 P 为边 AB 的中点时，△ BFP ∽△ PFD . 数学 九年级上册 BS版 12. （选做）如图，在矩形 ABCD 中， AB ＝6， AD ＝8，点 P ， E 分别在线段 AC ， BC 上，且四边形 PEFD 为矩形.若 AP ＝ ， 求 CF 的长. 数学 九年级上册 BS版 解：如答图，连接 PF ， DE ， PF 与 DE 相交于点 O ，连接 OC . ∵四边形 ABCD 和四边形 PEFD 都是矩形， ∴∠ ADC ＝∠ PDF ＝90°， 即∠ ADP ＋∠ PDC ＝∠ PDC ＋∠ CDF . ∴∠ ADP ＝∠ CDF . ∵∠ BCD ＝90°， OE ＝ OD ， ∴ OC ＝ ED . 在矩形 PEFD 中， PF ＝ DE ， 答图 数学 九年级上册 BS版 ∴ OC ＝ PF . ∵ OP ＝ OF ＝ PF ， ∴ OC ＝ OP ＝ OF . ∴∠ OCF ＝∠ OFC ，∠ OCP ＝∠ OPC . 又∵∠ OPC ＋∠ OFC ＋∠ PCF ＝180°， ∴2∠ OCP ＋2∠ OCF ＝180°. ∴∠ PCF ＝90°，即∠ PCD ＋∠ FCD ＝90°. 在Rt△ ADC 中，∠ PCD ＋∠ PAD ＝90°， 答图 数学 九年级上册 BS版 ∴∠ FCD ＝∠ PAD . ∴△ CDF ∽△ ADP . ∴ ＝ ＝ . ∵ AP ＝ ， ∴ CF ＝ . 答图 数学 九年级上册 BS版 演示完毕 谢谢观看 数学 九年级上册 BS版 $$第四章　图形的相似 7　相似三角形的性质(第一课时) 数学 九年级上册 BS版 1. 已知△ ABC ∽△ DEF ，△ ABC 与△ DEF 的相似比为 ，则△ ABC 与△ DEF 对应中线的比为（　A　） A. B. C. D. 2. 已知一个三角形三边的长分别为3，5，7，另一个与它相似的 三角形的最长边是21，则这个三角形其他两边的和是 （　D　） A. 17 B. 19 C. 21 D. 24 A D 数学 九年级上册 BS版 3. 如图1是可折叠的熨衣架的实物图，图2是它的侧面示意图， AD 与 CB 相交于点 O ， AB ∥ CD ，根据图2中的数据可得 x 的值 为（　A　） A. 0.4 B. 0.8 C. 1 D. 1.6 A 数学 九年级上册 BS版 4. （2023·泰州）已知两个相似图形的周长比为3∶2，则它们的 面积比为 ⁠. 5. 如图，在小孔成像问题中，已知点 O 到 AB 的距离是18 cm， 点 O 到 CD 的距离是6 cm，则像 CD 的长是物体 AB 长的 ⁠. 9∶4　 　 数学 九年级上册 BS版 6. 在△ ABC 中， AB ＝8， AC ＝5，点 D 为边 AB 的中点，点 E 在 边 AC 上.若△ ABC ∽△ ADE ，则 AE ＝ ⁠. 　 数学 九年级上册 BS版 　 解：∵ AB ＝2 DE ， AC ＝2 DF ，∴ ＝ ＝2.又∵∠ BAC ＝∠ EDF ，∴△ BAC ∽△ EDF . ∵ AG ， DH 分别是△ ABC ，△ DEF 的中线，∴ ＝ ＝2. 7. 如图，在△ ABC 和△ DEF 中，已知点 G ， H 分别是边 BC 和 EF 的中点， AB ＝2 DE ， AC ＝2 DF ，∠ BAC ＝∠ EDF ，求 的值. 数学 九年级上册 BS版 8. 如图，已知光源 L 距地面 LN ＝8 m，距正方体箱子 DEFG 顶部 的距离 LM ＝2 m，在光源照射下，箱子在左侧的影子 BE ＝5 m，求箱子在右侧的影子 CF 的长.（箱子的棱长为6 m） 数学 九年级上册 BS版 解：由题意知，△ BDE ∽△ BLN ，∴ ＝ ，即 ＝ . ∴ EN ＝ m.∴ NF ＝6－ ＝ （m）.由△ CFG ∽△ CNL ，得 ＝ ，即 ＝ .∴ CF ＝13 m.故箱子在右侧的影子 CF 的长 为13 m. 数学 九年级上册 BS版 9. 如图，某校宣传栏后面2 m处种了一排树，每隔2 m一棵，共 种了6棵.如果小勇站在距宣传栏中间位置垂直距离为3 m处，正 好看到两端的树干，其余的4棵均被挡住，那么宣传栏的长 为 m（不计宣传栏的厚度）. 6　 （第9题图） 数学 九年级上册 BS版 10. 如图，在△ ABC 中，已知 AB ＝4， BC ＝5，点 D ， E 分别在 BC ， AC 上， CD ＝2 BD ， CE ＝2 AE ， BE 交 AD 于点 F ，则△ AFE 面积的最大值是 ⁠. （第10题图） 　 数学 九年级上册 BS版 【解析】如图，连接 DE . ∵ CD ＝2 BD ， CE ＝2 AE ，∴ ＝ ＝ ，∴ DE ∥ AB . ∴△ CDE ∽△ CBA ，∴∠ CDE ＝∠ CBA ， △ DEF ∽△ ABF . ∴ ＝ ＝ ＝ .∴ S△ AFE ∶ S△ DEF ＝ 3∶2.∴ S△ AFE ＝ S△ ADE . ∴当 S△ ADE 最大时， S△ AFE 最大.过点 D 作 DG ⊥ AB 于点 G . ∵ DE ＝ AB ＝ ，∴当 DG 最大时.∴ S△ AFE 最大.∵ BD ≥ DG ，∴当 AB ⊥ BC 时， DG 最大，此时 DG ＝ BD ＝ BC ＝ .∴ S△ AFE ＝ × × × ＝ .故答案为 . 数学 九年级上册 BS版 11. 如图，在梯形 ABCD 中，已知 AB ∥ CD ， EF ∥ CD ， AB ＝ 2， EF ＝5， ＝ ，求 DC 的值. 数学 九年级上册 BS版 答图 答图 解：如答图，延长 DA ， CB 相交于点 G . ∵ AB ∥ CD ， EF ∥ CD ，∴ AB ∥ EF . ∴∠ GAB ＝∠ GEF ，∠ GBA ＝∠ GFE . ∴△ GAB ∽△ GEF . ∴ ＝ ＝ .设 GA ＝2 x ，则 GE ＝5 x ，∴ AE ＝ GE － GA ＝3 x .∵ ＝ ，∴ ED ＝2 x .∵ EF ∥ CD ，∴∠ GEF ＝∠ D ，∠ GFE ＝∠ C . ∴△ GEF ∽△ GDC . ∴ ＝ ＝ ＝ ＝ .∴ DC ＝7. 数学 九年级上册 BS版 12. （选做）如图1，在△ ABC 中，∠ C ＝90°， AC ＝4， BC ＝3. 若正方形 DEFG 的顶点 D ， E 在斜边 AB 上，点 G ， F 分别在直 角边 AC ， BC 上，则我们称正方形 DEFG 内接于△ ABC . 设正方 形的边长为 x ，通过计算易得边长 x 的值为 . 图1 数学 九年级上册 BS版 探究与计算： （1）如图2，若三角形内有竖立排列的两个全等的正方形，它 们组成的矩形内接于△ ABC ，求正方形的边长. 图2 数学 九年级上册 BS版 解：（1）如图，作 CM ⊥ AB 于点 M ，交 GF 于点 N ，设正方形 的边长为 x .∵∠ ACB ＝90°， AC ＝4， BC ＝3，∴ AB ＝ ＝ ＝5.∵ S△ ABC ＝ AB · CM ＝ BC · AC ， ∴ ×5· CM ＝ ×3×4.∴ CM ＝ .∵四边形 DEFG 是矩形，∴ GF ∥ AB . ∴△ CGF ∽△ CAB . ∴ ＝ ，即 ＝ .解得 x ＝ .∴正方形的边长为 . 数学 九年级上册 BS版 （2）如图3，若三角形内有竖立排列的三个全等的正方形，它 们组成的矩形内接于△ ABC ，求正方形的边长. 图3 （2）由（1），得 ＝ ，解得 x ＝ . ∴正方形的边长为 . 数学 九年级上册 BS版 猜想与证明： （3）如图4，若三角形内有竖立排列的 n 个全等的正方形，它 们组成的矩形内接于△ ABC ，请猜想正方形的边长是多少，并 对你的猜想进行证明. 图4 （3）猜想：正方形的边长为 .证明：同理（1），得 ＝ ，解得 x ＝ . 数学 九年级上册 BS版 演示完毕 谢谢观看 数学 九年级上册 BS版 $$第四章　图形的相似 回顾与思考 数学 九年级上册 BS版 1. 已知 ＝ ，则 的值等于（　A　） A. B. － C. D. － A 数学 九年级上册 BS版 2. 如图，点 P 是△ ABC 的边 AC 上一点，连接 BP ，以下条件 中，不能判定△ ABP ∽△ ACB 的是（　B　） A. ＝ B. ＝ C. ∠ ABP ＝∠ C D. ∠ APB ＝∠ ABC （第2题图） B 数学 九年级上册 BS版 3. 如图，图形甲与图形乙是位似图形，点 O 是位似中心，相似 比为2∶3，点 A ， B 的对应点分别为点 A '， B '.若 AB ＝6，则 A ' B '的长为（　B　） A. 8 B. 9 C. 10 D. 15 （第3题图） B 数学 九年级上册 BS版 4. 已知 m ， n ， x ， y 是成比例线段，且 m ＝2， n ＝8， y ＝20， 则线段 x 的长为 ⁠. 5. 如图，已知 l1∥ l2∥ l3，直线 a ， b 与 l1， l2， l3分别交于点 A ， B ， C 和点 D ， E ， F ，且 ＝ ， DE ＝4，则 EF 的长为 ⁠. 5　 6　 （第5题图） 数学 九年级上册 BS版 6. 如图，在△ ABC 中，已知点 D 为 BC 上一点， BC ＝ AB ＝3 BD ，则 AD ∶ AC 的值为 ⁠. （第6题图） 　 数学 九年级上册 BS版 7. 如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板 DEF 来测量操场旗杆 AB 的高度，他们通过调整测量位置，使斜边 DF 与地面保持平行，并使边 DE 与旗杆顶点 A 在同一直线上.已 知 DE ＝0.5 m， EF ＝0.25 m，测得点 D 到地面的距离 DG ＝1.5 m，到旗杆的水平距离 DC ＝20 m，求旗杆的高度. 数学 九年级上册 BS版 解：由题意，得△ DEF ∽△ DCA ，∴ ＝ .∵ DE ＝0.5 m， EF ＝0.25 m， DC ＝20 m， ∴ ＝ . ∴ AC ＝10 m. ∴ AB ＝ AC ＋ BC ＝ AC ＋ DG ＝10＋1.5＝11.5（m）. 故旗杆的高度为11.5 m. 数学 九年级上册 BS版 8. （2023·上海）如图，在梯形 ABCD 中，已知 AD ∥ BC ，点 F ， E 分别在线段 BC ， AC 上，且∠ FAC ＝∠ ADE ， AC ＝ AD . （1）求证： DE ＝ AF ； 证明：（1）∵ AD ∥ BC ， ∴∠ DAE ＝∠ ACF . 在△ DAE 和△ ACF 中， ∴△ DAE ≌△ ACF . ∴ DE ＝ AF . 数学 九年级上册 BS版 （2）若∠ ABC ＝∠ CDE ，求证： AF2＝ BF · CE . 证明：（2）由（1）知，△ DAE ≌△ ACF ， ∴∠ DEA ＝∠ AFC . ∴180°－∠ AFC ＝180°－∠ DEA ， 即∠ AFB ＝∠ CED . 又∵∠ ABF ＝∠ CDE ， ∴△ ABF ∽△ CDE . ∴ ＝ . 又∵ DE ＝ AF ，∴ ＝ . ∴ AF2＝ BF · CE . 数学 九年级上册 BS版 9. 如图，在△ ABC 中，已知 AB ＝ AC ＝3， BC ＝4.若点 D ， E 是 BC 边的两个“黄金分割点”，则△ ADE 的面积为 ⁠ ⁠. （第9题图） 10－4 　 数学 九年级上册 BS版 10. 如图，在边长为10的正方形 ABCD 中，内接有六个大小相同 的正方形，点 P ， Q ， M ， N 是在大正方形边上的小正方形的 顶点，则每个小正方形的边长为 ⁠. （第10题图） 　 数学 九年级上册 BS版 【解析】如图，过点 Q 作 QE ⊥ AD 于点 E . 在△ MDN 和△ NEQ 中，∠ MDN ＝∠ NEQ ＝90°，∠ DMN ＝∠ ENQ ，∴△ MDN ∽△ NEQ ，∴ ＝ ＝ ＝ .∴ DN ＝ ×10＝2.在△ MDN 和△ PBQ 中，∴△ MDN ≌△ PBQ （ASA）.∴ DM ＝ BP ， DN ＝ BQ ＝2.∴ NE ＝ AD － DN － EA ＝ AD － DN － BQ ＝10－2－2＝6.∴ DM ＝ ×6＝ .∴ MN ＝ ＝ ＝ . 即每个小正方形的边长为 .故答案为 . 数学 九年级上册 BS版 11. 如图，在△ ABC 中，已知点 D ， E 分别在边 BC ， AB 上， BD ＝ AD ＝ AC ， AD 与 CE 相交于点 F ，且 AE2＝ EF · EC . 求证： （1）∠ ADC ＝∠ DCE ＋∠ EAF ； 证明：（1）∵ AE2＝ EF · EC ，∴ ＝ . 又∵∠ AEF ＝∠ CEA ，∴△ EAF ∽△ ECA . ∴∠ EAF ＝∠ ECA . ∵ AD ＝ AC ， ∴∠ ADC ＝∠ ACD . ∵∠ ACD ＝∠ DCE ＋∠ ECA ， ∴∠ ADC ＝∠ DCE ＋∠ EAF . 数学 九年级上册 BS版 （2） AF · AD ＝ AB · EF . 证明：（2）由（1）可知，△ EAF ∽△ ECA ， ∴∠ EFA ＝∠ EAC ，即∠ EFA ＝∠ CAB . ∵ BD ＝ AD ， ∴∠ BAD ＝∠ B ，即∠ EAF ＝∠ B . ∴△ FAE ∽△ ABC . ∴ ＝ . ∴ FA · AC ＝ AB · FE . ∵ AC ＝ AD ，∴ AF · AD ＝ AB · EF . 数学 九年级上册 BS版 12. 如图，在△ ABC 中，已知点 D 是 BC 边上的中点，且 AD ＝ AC ， DE ⊥ BC ， DE 与 AB 相交于点 E ， EC 与 AD 相交于点 F . （1）求证：△ ABC ∽△ FCD ； 证明：（1）∵ AD ＝ AC ， ∴ ∠ ADC ＝∠ ACD . ∵点 D 是 BC 边上的中点， DE ⊥ BC ， ∴ EB ＝ EC . ∴ ∠ EBC ＝∠ ECB . ∴ △ ABC ∽△ FCD . 数学 九年级上册 BS版 （2）求证： AF ＝ DF ； 证明：（2）证明：∵△ ABC ∽△ FCD ， ∴ ＝ . ∵点 D 是 BC 的中点， ∴ DC ＝ BC . ∴ ＝2. ∴ DF ＝ AC . 又∵ AC ＝ AD ， ∴ DF ＝ AD ＝ AF . 数学 九年级上册 BS版 （3）若△ FCD 的面积为5， BC ＝10，求 DE 的长. 证明：（3）解：如图，过点 A 作 AM ⊥ CD 于点 M . ∵△ FCD ∽△ ABC ， BC ＝2 CD ， ∴ ＝ ＝ ＝ . ∵ S△ FCD ＝5，∴ S△ ABC ＝20. 又∵ S△ ABC ＝ BC · AM ， BC ＝10， ∴ AM ＝4. ∵ AD ＝ AC ， AM ⊥ CD ， ∴ DM ＝ CM ＝ CD ， DE ∥ AM ， ∴ ＝ ＝ .∴ DE ＝ . 数学 九年级上册 BS版 13. （选做）如图，在Rt△ ABC 中，∠ ACB ＝90°， AC ＝6 cm， BC ＝8 cm.动点 M 从点 B 出发，在 BA 边上以3 cm/s的速度向点 A 运动，同时动点 N 从点 C 出发，在 CB 边上以2 cm/s的速度向点 B 运动.运动时间为 t s ，连接 MN . （1）若△ BMN 与△ ABC 相似，求 t 的值； 数学 九年级上册 BS版 解：（1）∵∠ ACB ＝90°， AC ＝6 cm， BC ＝8 cm， ∴ BA ＝ ＝ ＝10（cm）. 由题意，得 BM ＝3 t cm， CN ＝2 t cm， ∴ BN ＝ BC － CN ＝（8－2 t ）cm. ①当∠ MNB ＝90°时，若△ BMN ∽△ BAC ， 则 ＝ . ∴ ＝ .解得 t ＝ . 数学 九年级上册 BS版 ②当∠ BMN ＝90°时，若△ BMN ∽△ BCA ，则 ＝ . ∴ ＝ .解得 t ＝ . 综上所述，△ BMN 与△ ABC 相似时， t 的值为 或 . 数学 九年级上册 BS版 （2）连接 AN ， CM ，若 AN ⊥ CM ，求 t 的值. 解：（2）如图，过点 M 作 MD ⊥ CB 于点 D ，则∠ BDM ＝∠ ACB ＝90°. 又∵∠ B ＝∠ B ， ∴△ BDM ∽△ BCA . ∴ ＝ ＝ . ∵ AC ＝6 cm， BC ＝8 cm， BA ＝10 cm， BM ＝3 t cm， CN ＝2 t cm， 数学 九年级上册 BS版 ∴ DM ＝ t cm， BD ＝ t cm. ∴ CD ＝ cm. ∵ AN ⊥ CM ，∠ ACB ＝90°， ∴∠ CAN ＋∠ ACM ＝90°，∠ MCD ＋∠ ACM ＝90°. ∴∠ CAN ＝∠ MCD . ∵ MD ⊥ CB ， ∴∠ MDC ＝∠ ACB ＝90°. ∴△ CAN ∽△ DCM . ∴ ＝ . 数学 九年级上册 BS版 ∴ ＝ . 解得 t ＝ ，∴ t 的值为 . 数学 九年级上册 BS版 演示完毕 谢谢观看 数学 九年级上册 BS版 $$第四章　图形的相似 1　成比例线段(第一课时) 数学 九年级上册 BS版 1. （2023·武威）若 ＝ ，则 ab ＝（　A　） A. 6 B. C. 1 D. A 数学 九年级上册 BS版 2. 已知一个零件长40 cm，它在设计图上的长是2 mm，则这幅 设计图的比例尺是（　B　） A. 1∶2 000 B. 1∶200 C. 200∶1 D. 2 000∶1 3. 下面四条线段中，不是成比例线段的是（　C　） A. a ＝3， b ＝6， c ＝2， d ＝4 B. a ＝1， b ＝ ， c ＝ ， d ＝ C. a ＝4， b ＝6， c ＝5， d ＝10 D. a ＝2， b ＝ ， c ＝ ， d ＝2 B C 数学 九年级上册 BS版 4. 在等腰三角形 ABC 中，已知 AB ＝ AC ，∠ A ＝120°， AD 为 高，则 AD ∶ AB ＝ ⁠. 5. （1）已知 a ， b ， p ， q 是成比例线段，其中 a ＝4 cm， b ＝5 cm， q ＝6 cm，则 p ＝ cm； （2）已知 a ， b ， b ， c 是成比例线段，且 a ＝3 cm， c ＝6 cm，则 b ＝ ⁠cm. 1∶2　 4.8　 3 　 数学 九年级上册 BS版 6. 已知 ＝ ，则 ＝ 　 　. 7. 已知 ＝ ，求 的值. 解：∵ ＝ ， ∴5（ a －2 b ）＝2（ a ＋2 b ）. ∴5 a －10 b ＝2 a ＋4 b . ∴3 a ＝14 b . ∴ ＝ . 　 数学 九年级上册 BS版 8. 如图，已知点 C 是线段 AB 上的点，点 D 是线段 BC 的中点， AC ∶ BC ＝3∶2，且 AD ＝8，求线段 AB 的长. 解：设 AC ＝3 x ， BC ＝2 x ，则 CD ＝ x ， AB ＝5 x . ∵ AD ＝8， ∴ AC ＋ CD ＝8，即3 x ＋ x ＝8. ∴4 x ＝8.∴ x ＝2. ∴ AB ＝5×2＝10. 数学 九年级上册 BS版 9. 如图，在△ ABC 中，已知 ＝ ，且 AB ＝6， AC ＝4， BC ＝5，则 CD 的长为 ⁠. 【解析】∵ ＝ ， AB ＝6， AC ＝4，∴ ＝ ＝ .∵ BC ＝ 5，∴ BD ＋ CD ＝5.∴ CD ＝2.故答案为2. 2　 数学 九年级上册 BS版 10. 若 ＝ ＝ （ x ， y ， z 均不为0）， ＝1，则 m 的值 为 ⁠. 【解析】设 ＝ ＝ ＝ a （ a ≠0），则 x ＝2 a ， y ＝3 a ， z ＝ ma .∴ ＝ ＝1.∴ m ＝4.故答案为4. 4　 数学 九年级上册 BS版 11. 如图，在矩形 ABCD 中，已知 AB ＝1.在 BC 上取一点 E ，沿 AE 将△ ABE 向上折叠，使点 B 落在 AD 上的点 F 处，且四条线段 EF ， FD ， AD ， AB 是成比例线段，求 AD 的长. 数学 九年级上册 BS版 解：∵沿 AE 将△ ABE 向上折叠，使点 B 落在 AD 上的点 F 处， ∴ BE ＝ FE . ∴四边形 ABEF 是正方形. 由 AB ＝1，设 AD ＝ x ，则 FD ＝ x －1， FE ＝1. ∵四条线段 EF ， FD ， AD ， AB 是成比例线段， ∴ ＝ . ∴ ＝ ，即 x2－ x －1＝0. 数学 九年级上册 BS版 解得 x1＝ ， x2＝ （舍去）. 经检验， x ＝ 是原分式方程的解，且符合题意. 故 AD 的长为 . 数学 九年级上册 BS版 12. 如图，在▱ ABCD 中，已知 CE 是∠ DCB 的平分线，点 F 是 AB 的中点， AB ＝6， BC ＝4，求 AE ∶ EF ∶ FB 的比. 解：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ DC ∥ AB . ∴∠ DCE ＝∠ BEC . ∵ CE 是∠ DCB 的平分线，∴∠ DCE ＝∠ BCE . ∴∠ BEC ＝∠ BCE . ∴ BE ＝ BC ＝4. ∴ AE ＝ AB － BE ＝2. ∵点 F 是 AB 的中点， AB ＝6， ∴ FB ＝3.∴ EF ＝ BE － FB ＝1. ∴ AE ∶ EF ∶ FB ＝2∶1∶3. 数学 九年级上册 BS版 13. （选做）如图，在平面直角坐标系中，已知点 A （0，－ 2）， B （－2，1）， C （3，2）. （1）求线段 AB ， BC ， AC 的长； 解：（1）由勾股定理，得 AB ＝ ＝ ， BC ＝ ＝ ， AC ＝ ＝5. 数学 九年级上册 BS版 （2）把 A ， B ， C 三点的横坐标、纵坐标都乘2，得到点 A '， B '， C '的坐标，求 A ' B '， B ' C '， A ' C '的长； 解：（2）由已知，得 A '（0，－4）， B ' （－4，2）， C '（6，4）. 由勾股定理，得 A ' B '＝ ＝2 ， B ' C '＝ ＝2 ， A ' C '＝ ＝10. 数学 九年级上册 BS版 （3）指出线段 AB ， BC ， AC ， A ' B '， B ' C '， A ' C '中的成比例 线段（写一组即可）. 解： （3）答案不唯一，线段 AB ， A ' B '， BC ， B ' C '是成比例线段. 数学 九年级上册 BS版 演示完毕 谢谢观看 数学 九年级上册 BS版 $$第四章　图形的相似 2　平行线分线段成比例 数学 九年级上册 BS版 1. （2023·吉林）如图，在△ ABC 中，点 D 在边 AB 上，过点 D 作 DE ∥ BC ，交 AC 于点 E . 若 AD ＝2， BD ＝3，则 的值是 （　A　） A. B. C. D. （第1题图） A 数学 九年级上册 BS版 2. 如图，已知 AB ∥ CD ， AD 与 BC 相交于点 O ， AO ∶ DO ＝ 1∶2，则下列各式正确的是（　B　） A. BO ∶ BC ＝1∶2 B. OC ∶ BO ＝2∶1 C. CO ∶ BC ＝1∶2 D. AD ∶ DO ＝3∶1 （第2题图） B 数学 九年级上册 BS版 3. 如图，已知 l1∥ l2∥ l3，则下列各式错误的是（　D　） A. ＝ B. ＝ C. ＝ D. ＝ （第3题图） D 数学 九年级上册 BS版 4. 如图，已知 AB ∥ CD ∥ EF ，且 AD ∶ AF ＝3∶5， BE ＝12， 则 CE 的长为 ⁠. （第4题图） 　 数学 九年级上册 BS版 5. 如图，在△ ABC 中，点 D 在 AB 的延长线上，点 E 在 AC 的延 长线上，且 DE ∥ BC . 若 AB ＝3， BD ＝2， AE ＝4.5，则 AC ＝ ⁠. （第5题图） 2.7　 数学 九年级上册 BS版 6. 如图，在△ ABC 中，已知点 D ， E ， F 分别是边 AB ， AC ， BC 上的点，且 DE ∥ BC ， EF ∥ AB ， AD ∶ DB ＝3∶5，则 ＝ 　 　； ＝ 　 　. （第6题图） 　 　 数学 九年级上册 BS版 7. 如图，在△ ABC 中，已知 MN ∥ BC ， DN ∥ MC ，求证： AM2 ＝ AB · AD . 证明：∵ MN ∥ BC ， ∴ ＝ . ∵ DN ∥ MC ， ∴ ＝ . ∴ ＝ . ∴ AM2＝ AD · AB . 数学 九年级上册 BS版 8. 如图，已知点 F 为▱ ABCD 的边 AD 延长线上一点， BF 分别交 CD ， AC 于点 G ， E . （1）求证： ＝ ； （1）证明：在▱ ABCD 中，有 DC ∥ AB ， BC ∥ AD ， ∴ ＝ ， ＝ . ∴ ＝ . 数学 九年级上册 BS版 （2）若 EF ＝32， GE ＝12，求线段 BE 的长. （2）解：由（1）可知， ＝ . 将 EF ＝32， GE ＝12代入上式，得 ＝ . 解得 BE ＝8 （负值舍去）. 故 BE ＝8 . 数学 九年级上册 BS版 9. 如图，已知 DE ∥ AB ， DF ∥ BC ， AD ∶ AC ＝2∶3， AB ＝ 9， BC ＝6，则四边形 BEDF 的周长为 ⁠. （第9题图） 14　 数学 九年级上册 BS版 10. 如图， BE 是△ ABC 的中线，点 F 在 BE 上，延长 AF 交 BC 于 点 D . 若 BF ＝3 EF ，则 ＝ 　 　. （第10题图） 　 数学 九年级上册 BS版 11. 如图，在▱ ABCD 中，已知 EF ∥ AB ， FG ∥ ED ， DE ∶ DA ＝2∶5， EF ＝4，求线段 CG 的长. 解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AB ∥ CD ， AD ∥ BC . ∵ EF ∥ AB ，∴ EF ∥ DG . 又∵ FG ∥ ED ，∴四边形 DEFG 是平 行四边形.∴ DG ＝ EF ＝4.∵ EF ∥ AB ，∴ ＝ ＝ .∵ FG ∥ ED ， ED ∥ BC ，∴ FG ∥ BC . ∴ ＝ ＝ ，即 ＝ .∴ DC ＝10.∴ CG ＝ DC － DG ＝10－4＝6. 数学 九年级上册 BS版 12. 在△ OAB 中，已知 OA ＝ OB ，点 C 在直线 AB 上， BC ＝3 AC ，点 E 为 OA 边的中点，连接 OC ，射线 BE 交 OC 于点 G ，求 的值. 解：①当点 C 在点 A 左侧时，如图1，过点 A 作 AF ∥ BG ，交 OC 于点 F . ∵ AF ∥ BG ， BC ＝3 AC ，∴ ＝ ＝ .∴ FG ＝2 CF . ∵点 E 为 OA 边的中点， AF ∥ BG ，∴ ＝ ＝1.∴ OG ＝ FG ＝2 CF . ∴ ＝ . 图1 数学 九年级上册 BS版 ②当点 C 在点 A ， B 之间时，如图2，过点 A 作 AF ∥ BG ，交 OC 的延长线于点 F . ∵ AF ∥ BG ， BC ＝3 AC ，∴ ＝ ＝ .∴ CG ＝3 CF . ∵点 E 为 OA 边的中点， AF ∥ BG ，∴ ＝ ＝1. ∴ OG ＝ FG ＝4 CF . ∴ ＝ . 综上所述， 的值为 或 . 图2 数学 九年级上册 BS版 13. （选做）如图，在△ ABC 中，已知点 D 为 BC 的边中点，点 P 在 AD 上，过点 P 作 PM ∥ AC 交 AB 于点 M ，作 PN ∥ AB 交 AC 于点 N . （1）若 AP ∶ PD ＝2∶1，求 AM ∶ AB 的比； 数学 九年级上册 BS版 （1）解：过点 D 作 DE ∥ PM ，交 AB 于点 E ，如 图1所示.∵点 D 为 BC 的中点， DE ∥ PM ∥ AC ， ∴点 E 为 AB 的中点，且 AM ∶ AE ＝ AP ∶ AD . ∵ AP ∶ PD ＝2∶1，∴ AP ∶ AD ＝2∶3.∴ AM ∶ AE ＝2∶3.又∵点 E 为 AB 的中点，∴ AB ＝2 AE . ∴ AM ∶ AB ＝2∶6＝1∶3. 图1 数学 九年级上册 BS版 （2）试证明： AM ∶ AB ＝ AN ∶ AC . （2）证明：延长 AD 至点 Q ，使 DQ ＝ AD ，连接 BQ ， CQ ，如图2所示.∵点 D 是 BC 的中点，∴四 边形 ABQC 是平行四边形.∴ AC ∥ BQ ， AB ∥ CQ . ∴ PM ∥ BQ ， PN ∥ CQ . ∴ AM ∶ AB ＝ AP ∶ AQ ， AN ∶ AC ＝ AP ∶ AQ . ∴ AM ∶ AB ＝ AN ∶ AC . 图2 数学 九年级上册 BS版 演示完毕 谢谢观看 数学 九年级上册 BS版 $$第四章　图形的相似 4　探索三角形相似的条件(第三课时) 数学 九年级上册 BS版 1. 有甲、乙两个三角形木框，甲三角形木框的三边长分别为1， ， ，乙三角形木框的三边长分别为5， ， ，则 甲、乙两个三角形（　A　） A. 一定相似 B. 一定全等 C. 一定不相似 D. 不一定相似 A 数学 九年级上册 BS版 2. 下列选项的四对三角形中，根据条件不能判定两个三角形相 似的是 （　B　） A B B C D 数学 九年级上册 BS版 3. 如图，各正方形的边长均为1，则四个阴影三角形中，一定相 似的一对是（　A　） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②④ A 数学 九年级上册 BS版 4. 如图，在正方形网格中有3个三角形，则与△ FDE 相似的三角 形是 ⁠. （第4题图） △ HGR 　 数学 九年级上册 BS版 5. 如图，点 D 是△ ABC 内的一点，连接 BD 并延长到点 E ，连接 AD ， AE . 若 ＝ ＝ ，且∠ CAE ＝30°，则∠ BAD ＝ ⁠. （第5题图） 30°　 数学 九年级上册 BS版 6. 在△ ABC 和△ A ' B ' C '中，有下列条件：① ＝ ；② ＝ ；③∠ A ＝∠ A '；④∠ C ＝∠ C '.若从中任取两个条件组 成一组，则能判断△ ABC ∽△ A ' B ' C '的共有 组. 3　 数学 九年级上册 BS版 7. 如图，在△ ABC 中，已知点 D ， E ， F 分别是 AB ， BC ， CA 的中点.求证：△ EFD ∽△ ABC . 证明：∵点 D ， E ， F 分别是 AB ， BC ， CA 的中点， ∴ DF ， EF ， DE 是△ ABC 的中位线. ∴ DF ＝ BC ， EF ＝ AB ， DE ＝ AC . ∴ ＝ ＝ ＝ . ∴△ EFD ∽△ ABC . 数学 九年级上册 BS版 8. 如图，在平面直角坐标系中，已知点 A （3，0）， B （0， 4）， C （4，2），过点 C 作 CD ⊥ x 轴于点 D ，连接 AB ， BC ， AC . 求证：△ ABC ∽△ ACD . 数学 九年级上册 BS版 证明：∵ A （3，0）， B （0，4）， ∴ OA ＝3， OB ＝4. ∴ AB ＝ ＝ ＝5. ∵ C （4，2）， CD ⊥ x 轴， ∴ OD ＝4， CD ＝2. ∴ AD ＝ OD － OA ＝1. ∴ AC ＝ ＝ ＝ . 如答图，过点 C 作 CH ⊥ OB 于点 H . 则 OH ＝ CD ＝ BH ＝2， CH ＝ OD ＝4. 答图 数学 九年级上册 BS版 ∴ BC ＝ ＝ ＝2 . 在△ ABC 和△ ACD 中， ＝ ＝ ， ＝ ＝ ， ＝ ＝ ， ∴ ＝ ＝ . ∴△ ABC ∽△ ACD . 答图 数学 九年级上册 BS版 9. 如图，将三角形纸片（△ ABC ）折叠，使点 B 落在边 AC 上的 点 B '处，折痕为 EF ， AB ＝ AC ＝3， BC ＝4.若要使以点 B '， F ， C 为顶点的三角形与△ ABC 相似，则 BF 的长为 ⁠. （第9题图） 2或 　 数学 九年级上册 BS版 【解析】设 BF ＝ x ，则 B ' F ＝ x ， FC ＝4－ x .①若 ＝ ＝ ，则△ FB ' C ∽△ ABC . 此时 ＝ ＝ ，解得 x ＝2，即 BF ＝2；②若 ＝ ＝ ，则△ B ' FC ∽△ ABC . 此时 ＝ ＝ ，解得 x ＝ ，即 BF ＝ .综上所述， BF 的长为2或 .故 答案为2或 . 数学 九年级上册 BS版 10. 如图，把一张3×4的方格纸放在平面直角坐标系内，每个方 格的边长为1个单位长度，△ ABC 的顶点都在方格的格点位置， 即点 A 的坐标是（1，0）.若点 D 也在格点位置（与点 A 不重 合），且使△ DBC 与△ ABC 相似，则符合条件的点 D 的坐标 是 ⁠. （0，0），（3，2），（3，3）或（4，1）　 （第10题图） 数学 九年级上册 BS版 【解析】∵方格中小正方形的边长为1，∴ AB ＝1， BC ＝ ， AC ＝ .∵△ DBC 与△ ABC 相似，∴△ DBC 三边之比为1∶ ∶ .如图，可知这样的点 D 的坐标为（0，0），（3， 2），（3，3）或（4，1）.故答案为（0，0），（3，2）， （3，3）或（4，1）. 数学 九年级上册 BS版 11. 如图，已知点 O 为△ ABC 内一点，点 A '， B '， C '分别是 OA ， OB ， OC 上的点，且 OA '∶ AA '＝ OB '∶ BB '＝1∶2， OC '∶ CC '＝2∶1，且 OB ＝6. （1）求证：△ OA ' B '∽△ OAB . （1）证明：∵ OA '∶ AA '＝ OB '∶ BB '＝1∶2， ∴ OA '∶ OA ＝ OB '∶ OB ＝1∶3. 又∵∠ A ' OB '＝∠ AOB ， ∴△ OA ' B '∽△ OAB . 数学 九年级上册 BS版 （2）以点 O ， B '， C '为顶点的三角形是否可能与△ OBC 相 似？如果可能，求 OC 的长；如果不可能，请说明理由. （2）解：可能相似. ∵ OA '∶ AA '＝ OB '∶ BB '＝1∶2， OB ＝6， ∴ OB '＝2. ∵ OC '∶ CC '＝2∶1，∠ COB ＝∠ C ' OB '， ∴可设 CC '＝ x ，则 OC '＝2 x ， OC ＝3 x . 要使以点 O ， B '， C '为顶点的三角形与△ OBC 相似， 数学 九年级上册 BS版 只要满足 ＝ ，∴ ＝ . 解得 x ＝± . ∵ x ＞0，∴ x ＝ . ∴ OC ＝3 . 数学 九年级上册 BS版 12. （选做）定义：若某个图形可分割为若干个都与它相似的图 形，则称这个图形是自相似图形. 探究： （1）如图1，在△ ABC 中，∠ C ＝90°，你能把△ ABC 分割成2 个与它自己相似的小直角三角形吗？若能，请在图1中画出分割 线，并说明理由. 数学 九年级上册 BS版 解：（1）能.如图，过点 C 作 CD ⊥ AB 于点 D ， CD 即是满足要 求的分割线.理由如下： ∵∠ B ＝∠ B ，∠ CDB ＝∠ ACB ＝90°， ∴△ BCD ∽△ BAC . ∵∠ A ＝∠ A ，∠ ADC ＝∠ ACB ＝90°， ∴△ ACD ∽△ ABC . 数学 九年级上册 BS版 （2）一般地，“任意三角形都是自相似图形”，只要顺次连接 三角形各边中点，则可将原三分割为四个都与它自己相似的小 三角形.我们把△ DEF （图2）第一次顺次连接各边中点所进行 的分割，称为1阶分割（如图3）；把1阶分割得出的4个三角形 再分别顺次连接各边中点所进行的分割，称为2阶分割（如图 4）……依次规则操作下去. n 阶分割后得到的每一个小三角形都 是全等三角形（ n 为正整数），设此时小三角形的面积为 Sn . 数学 九年级上册 BS版 ①若△ DEF 的面积为1， Sn ＝ ，求 n 的值； ②当 n ＞1时，请写出一个反映 Sn－1， Sn ， Sn＋1三者之间关系的 等式（不用证明）. 数学 九年级上册 BS版 解：（2）①由图可知，每分割一次得到的图形的小三角形的个 数都是前面一个图形中小三角形的个数的4倍，因此当 n 阶分割 后，如果设原三角形的面积为 S ，那么小三角形的面积 Sn ＝ . ∵△ DEF 的面积为1， ∴△ DEF 经 n 阶分割所得的小三角形的面积为 . ∴ Sn ＝ ＝ . ∴ n ＝3. 数学 九年级上册 BS版 ②∵ Sn ＝ ＝ ， Sn－1＝ ＝ ， Sn＋1＝ ＝ ， ∴ ＝ ＝ ， Sn－1× Sn＋1＝ × ＝ . ∴ ＝ Sn－1× Sn＋1. 数学 九年级上册 BS版 演示完毕 谢谢观看 数学 九年级上册 BS版 $$第四章　图形的相似 4　探索三角形相似的条件(第四课时) 数学 九年级上册 BS版 1. 下列式子能表达点 E 是线段 MN 的黄金分割点（ ME ＜ EN ） 的是（　A　） A. ＝ B. ＝ C. ＝ D. ＝ A 数学 九年级上册 BS版 2. 如图，点 P 是线段 AB 上一点 ，若满足 ＝ ，则 称点 P 是 AB 的黄金分割点，世界上最有名的建筑物中几乎都包 含“黄金分割”.若图中 AB ＝8，则 BP 的长是（　A　） A. 12－4 B. 4＋4 C. 4 －4 D. 2 A 数学 九年级上册 BS版 3. 已知线段 AB ＝1，点 C 是线段 AB 的黄金分割点，则 AC 的长 度为（　C　） A. B. C. 或 D. 以上都不对 C 数学 九年级上册 BS版 4. 若点 P 是线段 MN 的黄金分割点，且 MP ＞ NP ，则 的值 为 ⁠. 5. 科学家发现，蝴蝶的身体长度与它展开的双翅的长度之比是 黄金比.已知蝴蝶展开的双翅的长度是4 cm，则蝴蝶身体的长度 约为 cm（精确到0.1 cm）. 　 2.5　 数学 九年级上册 BS版 6. 我们把两条邻边中较短边与较长边的比值为 的矩形称作 “黄金矩形”.从外形上看，它具有美感.现将长度为20 cm的铁 丝折成一个“黄金矩形”，则这个“黄金矩形”较短的边长 是 ⁠cm. （15－5 ）　 数学 九年级上册 BS版 （1）求作：∠ ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D ；（要求：尺规作 图，保留作图痕迹，不写作法） （1）解：如答图， BD 即为所求作. 7. 如图，在△ ABC 中，已知 AB ＝ AC ，∠ A ＝36°. 答图 数学 九年级上册 BS版 （2）求证：点 D 为线段 AC 的黄金分割点（即 AD2＝ CD · CA ）. （2）证明：在△ ABC 中， AB ＝ AC ，∠ A ＝36°， ∴∠ ABC ＝∠ C ＝72°. ∵ BD 平分∠ ABC ， ∴∠ ABD ＝∠ CBD ＝36°. ∴ AD ＝ BD ，∠ BDC ＝72°. ∴ BD ＝ BC . ∴ AD ＝ BC . ∵∠ BCD ＝∠ ACB ，∠ CBD ＝∠ CAB ， 数学 九年级上册 BS版 ∴△ BCD ∽△ ACB . ∴ BC ∶ AC ＝ CD ∶ BC . ∴ AD ∶ AC ＝ CD ∶ AD . ∴ AD2＝ CD · CA . ∴点 D 为线段 AC 的黄金分割点. 数学 九年级上册 BS版 8. 如图，已知点 E 是正方形 ABCD 的对角线 BD 的黄金分割 点（ BE ＞ DE ）， AE ， BC 的延长线交于点 F ， AB ＝2， 求 CF 的长. 解：∵点 E 是正方形 ABCD 的对角线 BD 的黄金分割点（ BE ＞ DE ），∴ ＝ . ∵四边形 ABCD 是正方形，∴ AD ∥ BC ， AD ＝ BC ＝ AB ＝2. ∴△ ADE ∽△ FBE . ∴ ＝ ＝ ，即 ＝ . 解得 CF ＝ －1. 数学 九年级上册 BS版 9. 如图，已知点 P 是线段 AB 的黄金分割点，且 PA ＞ PB . 若 S1表 示以 PA 为边的正方形的面积， S2表示长为 AB 、宽为 PB 的矩形 的面积，则 S1 S2（填“＞”“＜”或“＝”）. ＝　 数学 九年级上册 BS版 10. 某校举办了建校70周年校庆活动，节目展演环节主持人站在 舞台的黄金分割点处最自然得体.若舞台 AB 的长为20 m，点 C 为 AB 的一个黄金分割点，则 AC 的长为 ⁠ ⁠m. （10 －10）或（30－ 10 ）　 数学 九年级上册 BS版 【解析】∵点 C 为 AB 的一个黄金分割点， AB ＝20 m，∴当 AC ＞ BC 时， AC ＝ AB ＝ ×20＝（10 －10）m；当 AC ＜ BC 时， BC ＝ AB ＝ ×20＝（10 －10）m，则 AC ＝ AB － BC ＝20－（10 －10）＝ m.综上所述， AC 的长为（10 －10）m或（30－10 ）m.故答案为（10 －10）或（30－10 ）. 数学 九年级上册 BS版 11. “黄金分割”在人类历史上有着重要的作用和影响，世界上 许多著名的建筑和艺术品中都蕴涵着“黄金分割”.下面我们就 用黄金分割来设计一把富有美感的纸扇（如图）.假设纸扇张开 到最大时，扇形的面积与扇形所在圆的剩余部分的比等于黄金 比，请你求出纸扇张开的角度.（黄金比取0.6，扇形的面积公式 S ＝ ，其中， R 为扇形的半径， n °为扇形的圆心角） 数学 九年级上册 BS版 解：设扇形的半径为 R ，圆心角为 n °，则剩余扇形的圆心角为 （360－ n ）°.依题意，得 ∶ ＝0.6. 解得 n ＝135. 即纸扇张开的角度为135°. 数学 九年级上册 BS版 12. 如图，在△ ABC 中，已知 AB ＝ AC ＝1，∠ A ＝36°， BD 平 分∠ ABC 交 AC 于点 D . （1）求证：点 D 是线段 AC 的黄金分割点； （1）证明：∵ AB ＝ AC ＝1， ∴∠ ABC ＝∠ C ＝ ×（180°－∠ A ） ＝ （180°－36°）＝72°. ∵ BD 平分∠ ABC ， ∴∠ ABD ＝∠ CBD ＝ ∠ ABC ＝36°. ∴∠ ABD ＝∠ A . 数学 九年级上册 BS版 ∴∠ BDC ＝180°－36°－72°＝72°. ∴∠ BDC ＝∠ C . ∴ DA ＝ DB ， BD ＝ BC . ∴ AD ＝ BD ＝ BC . ∵∠ BDC ＝∠ ABC ，∠ C ＝∠ C ， ∴△ BDC ∽△ ABC . ∴ BC ∶ AC ＝ CD ∶ BC . ∴ BC2＝ CD · AC . ∴ AD2＝ CD · AC ，即 ＝ . ∴点 D 是线段 AC 的黄金分割点. 数学 九年级上册 BS版 （2）求线段 AD 的长. （2）解：∵点 D 是线段 AC 的黄金分割点， AC ＝1， ∴ ＝ .∴ AD ＝ . 数学 九年级上册 BS版 13. （选做）三角形中，顶角等于36°的等腰三角形称为“黄金 三角形”.如图1，在△ ABC 中，已知 AB ＝ AC ，且∠ A ＝36°. 图1 （1）在图1中，用尺规作 AB 的垂直平分线交 AC 于点 D ， 并连接 BD . （保留作图痕迹，不写作法） （1）解：如图1所示. 图1 图1 数学 九年级上册 BS版 （2）在（1）的条件下，△ BCD 是不是“黄金三角形”？若 是，请给出证明；若不是，请说明理由. （2）解：△ BCD 是“黄金三角形”. 证明如下： ∵∠ A ＝36°， AB ＝ AC ， ∴∠ ABC ＝∠ C ＝72°. 又∵点 D 在 AB 的垂直平分线上， ∴ AD ＝ BD . ∴∠ ABD ＝∠ A ＝36°. 图1 数学 九年级上册 BS版 ∴∠ ABD ＝∠ DBC ＝36°. 又∵∠ BDC ＝∠ A ＋∠ ABD ＝72°， ∴∠ BDC ＝∠ C . ∴ BD ＝ BC . ∴△ BCD 是“黄金三角形”. 图1 数学 九年级上册 BS版 （3）在（1）的条件下，设 ＝ k ，试求 k 的值. （3）解：设 BC ＝ x ， AC ＝ y . 由（2）知， AD ＝ BD ＝ BC ＝ x . ∵∠ DBC ＝∠ A ，∠ C ＝∠ C ， ∴△ BDC ∽△ ABC . ∴ ＝ ，即 ＝ . 整理，得 x2＋ xy － y2＝0.解得 x ＝ y . ∵ x ， y 均为正数，∴ k ＝ ＝ . 图1 数学 九年级上册 BS版 （4）如图2，在△ A1 B1 C1中，已知 A1 B1＝ A1 C1，∠ A1＝108°， 且 A1 B1＝ AB ，请直接写出 的值. 图2 （4） ＝ . 数学 九年级上册 BS版 【解析】如图2，延长 BC 到点 E ，使 CE ＝ AC ，连接 AE . ∵∠ BAC ＝36°， AB ＝ AC ， ∴∠ ACB ＝∠ B ＝72°. ∴∠ ACE ＝180°－∠ ACB ＝180°－72°＝108°. ∴∠ ACE ＝∠ B1 A1 C1. 又∵ A1 B1＝ AB ， ∴ AC ＝ CE ＝ A1 B1＝ A1 C1. 图2 数学 九年级上册 BS版 在△ ACE 和△ B1 A1 C1中， ∴△ ACE ≌△ B1 A1 C1（SAS）. ∴ AE ＝ B1 C1. ∵ CE ＝ AC ，∠ ACE ＝108°， ∴∠ CAE ＝∠ E ＝36°. ∴∠ B ＝∠ BAE ＝72°. ∴△ ABE 为“黄金三角形”. 图2 数学 九年级上册 BS版 由（3）知， ＝ ＝ ， ＝ . ∴ ＝ ＝ · ＝ × ＝ . 图2 图2 数学 九年级上册 BS版 演示完毕 谢谢观看 数学 九年级上册 BS版 $$第四章　图形的相似 8　图形的位似(第一课时) 数学 九年级上册 BS版 1. 下列说法中，正确的是（　C　） A. 两个多边形相似，则它们一定是位似图形 B. 两个位似图形的位似中心可能不止一个 C. 位似图形一定是相似图形 D. 两个多边形相似，面积比一定是相似比 C 数学 九年级上册 BS版 2. 如图，已知四边形 ABCD 与四边形 EFGH 位似，位似中心为 点 O ，且 OE ∶ EA ＝4∶3，则 EF ∶ AB ＝（　D　） A. 4∶3 B. 3∶7 C. 3∶4 D. 4∶7 （第2题图） D 数学 九年级上册 BS版 3. 如图，△ ABC 和△ A1 B1 C1是以点 O 为位似中心的位似三角形. 若点 C1为 OC 的中点， AB ＝4，则 A1 B1的长为（　B　） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 （第3题图） B 数学 九年级上册 BS版 4. 如图，已知四边形 ABCD 与四边形 EFGH 是位似图形，位似 中心是点 O ， ＝ ，则 ＝ 　 　. （第4题图） 　 数学 九年级上册 BS版 5. 如图，点 O 是等边三角形 PQR 的中心，点 P '， Q '， R '分别是 OP ， OQ ， OR 的中点，则△ P ' Q ' R '与△ PQR 是位似三角形.此 时△ P ' Q ' R '与△ PQR 的位似中心是点 ，相似比 为 ⁠. O 　 1∶2　 （第5题图） 数学 九年级上册 BS版 6. 《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆.”度方知 圆，感悟数学之美.如图，正方形 ABCD 的面积为4，以它的对角 线的交点为位似中心，作它的位似图形 A ' B ' C ' D '.若 A ' B '∶ AB ＝2∶1，则四边形 A ' B ' C ' D '的外接圆的周长为 ⁠. 4 π　 数学 九年级上册 BS版 7. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ ABC 的顶点在网格的格点上，以图中的点 O 为位似中心，在网 格内画出△ A1 B1 C1，使它与△ ABC 位似，且相似比为2. 解：如答图，△ A1 B1 C1即为所求. 答图 答图 数学 九年级上册 BS版 8. 如图，五边形 ABCDE 与五边形 A ' B ' C ' D ' E '是位似图形，点 O 是位似中心，相似比为2∶1.若五边形 ABCDE 的面积为16 cm2，周长为20 cm，则五边形 A ' B ' C ' D ' E '的面积为多少？周长 为多少？ 解：∵五边形 ABCDE 与五边形 A ' B ' C ' D ' E '是位似图形， ∴五边形 ABCDE ∽五边形 A ' B ' C ' D ' E '. ∴五边形 ABCDE 与五边形 A ' B ' C ' D ' E '的周长比等于相似比， 面积比等于相似比的平方. ∵相似比为2∶1，五边形 ABCDE 的面积为16 cm2，周长为20 cm， ∴五边形 A ' B ' C ' D ' E '的面积为4 cm2，周长为10 cm. 数学 九年级上册 BS版 9. 如图，在▱ ABCD 中，已知点 E ， F 分别是边 AB ， CD 的中 点，点 O 是 AF ， DE 的交点，点 P 是 BF ， CE 的交点，则除△ FOD 外，与△ AOE 位似的是 （写出一个即 可）. （第9题图） △ AFB 或△ CPF 　 数学 九年级上册 BS版 10. 如图，四边形 ABCD 是平行四边形，以点 B 为位似中心，作 ▱ ABCD 的位似图形▱ EBFG ，位似图形与原图形的相似比为 2∶3，连接 AG ， DG . 若▱ ABCD 的面积为24，则△ ADG 的面 积为 ⁠. （第10题图） 4　 数学 九年级上册 BS版 【解析】连接 BG . ∵▱ ABCD 和▱ EBFG 是以点 B 为位似中心的 位似图形，∴点 D ， G ， B 在同一条直线上.∵四边形 ABCD 是 平行四边形，面积为24，∴△ ADB 的面积为12.易知 EG ∥ AD . 又∵位似图形与原图形的相似比为2∶3，∴ ＝ ＝ .∴ ＝ .∴△ ADG 的面积＝12× ＝4.故答案为4. 数学 九年级上册 BS版 11. 如图，已知点 G 是 BD 上的一点，且 EG ∥ AD ， FG ∥ CD . 求证：△ EFG 与△ ACD 构成位似图形. 证明：∵ EG ∥ AD ，∴∠ BGE ＝∠ BDA ，△ BGE ∽△ BDA . ∴ ＝ .∵ FG ∥ CD ， ∴∠ BGF ＝∠ BDC ，△ BGF ∽△ BDC . ∴ ＝ .∴∠ FGE ＝∠ CDA ， ＝ . ∴△ EFG ∽△ ACD . 又∵三组对应点所在直线交于同一点 B ， ∴△ EFG 与△ ACD 构成位似图形. 数学 九年级上册 BS版 12. 如图，用下面的方法可以画△ AOB 的内接等边三角形.阅读 后证明相应问题. 画法： ①在△ AOB 内画等边三角形 CDE ，使点 C 在 OA 上，点 D 在 OB 上； ②连接 OE 并延长，交 AB 于点 E '，过点 E '作 E ' C '∥ EC ，交 OA 于点 C '，作 E ' D '∥ ED ，交 OB 于点 D '； ③连接 C ' D '，则△ C ' D ' E '是△ AOB 的内接三角形. 求证：△ C ' D ' E '是等边三角形. 数学 九年级上册 BS版 证明：∵ E ' C '∥ EC ， E ' D '∥ ED ， ∴△ OCE ∽△ OC ' E '，△ ODE ∽△ OD ' E '. ∴ ＝ ， ＝ ， ∠ CEO ＝∠ C ' E ' O ，∠ DEO ＝∠ D ' E ' O . ∴ ＝ ，∠ CEO ＋∠ DEO ＝∠ C ' E ' O ＋∠ D ' E ' O . ∴∠ CED ＝∠ C ' E ' D '. ∴△ CDE ∽△ C ' D ' E '. 又∵△ CDE 是等边三角形， ∴△ C ' D ' E '是等边三角形. 数学 九年级上册 BS版 13. （选做）若△ ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转α后，与△ ADE 构成位似图形，则我们称△ ABC 与△ ADE 互为“旋转位似图 形”. （1）知识理解：如图1，△ ABC 与△ ADE 互为“旋转位似图 形”. 数学 九年级上册 BS版 ①若α＝25°，∠ D ＝100°，∠ C ＝28°，则∠ BAE ＝ ⁠； 27°　 （1）①【解析】∵△ ABC 和△ ADE 互为“旋转位似图形”， ∴△ ABC ∽△ ADE . ∴∠ B ＝∠ D ＝100°.又∵α＝25°，∠ C ＝∠ E ＝28°，∴∠ BAE ＝180°－100°－25°－28°＝27°.故答案为27°. ②【解析】∵△ ABC ∽△ ADE ，∴ ＝ .又∵ AD ＝6， DE ＝ 7， AB ＝4，∴ ＝ .∴ BC ＝ .故答案为 . ②若 AD ＝6， DE ＝7， AB ＝4，则 BC ＝ ⁠. 　 数学 九年级上册 BS版 （2）知识运用：如图2，在四边形 ABCD 中，∠ ADC ＝90°， AE ⊥ BD 于点 E ，∠ DAC ＝∠ DBC . 求证：△ ACD 与△ ABE 互 为“旋转位似图形”. （2）证明：∵∠ DOA ＝∠ COB ，∠ DAC ＝∠ DBC ， ∴△ DOA ∽△ COB . ∴ ＝ ，即 ＝ . 又∵∠ AOB ＝∠ DOC ， ∴△ AOB ∽△ DOC . ∴∠ OBA ＝∠ OCD . 又∵∠ ADC ＝90°， AE ⊥ BD ， ∴∠ AEB ＝∠ ADC ＝90°. ∴△ ABE ∽△ ACD . 数学 九年级上册 BS版 ∴∠ EAB ＝∠ DAC . ∴△ AEB 绕点 A 按逆时针方向旋转∠ DAE 的度数后与△ ADC 构 成位似图形. ∴△ ACD 和△ ABE 互为“旋转位似图形”. 数学 九年级上册 BS版 （3）拓展提高：如图3，△ ABC 为等边三角形，点 G 为 AC 的中 点，点 F 是 AB 边上的一点，连接 GF ，点 D 为 GF 延长线上的一 点，点 E 在线段 GF 上， AE ⊥ DG ，且△ ABD 与△ AGE 互为 “旋转位似图形”.若 AB ＝6， AD ＝4，求 的值. 数学 九年级上册 BS版 （3）解：∵点 G 为 AC 的中点，△ ABC 为等边三角形， ∴ AG ＝ AC ＝ AB ＝3. ∵△ ABD 与△ AGE 互为“旋转位似图形”， ∴△ AGE ∽△ ABD ， ∴ ＝ ＝ ＝ . 又∵ AD ＝4，∴ AE ＝2. ∵ AE ⊥ DG ，∴∠ DEA ＝90°. 在Rt△ AEG 中，由勾股定理，得 数学 九年级上册 BS版 GE ＝ ＝ ＝ . 在Rt△ ADE 中，由勾股定理，得 DE ＝ ＝ ＝2 . ∴ ＝ ＝ . 数学 九年级上册 BS版 演示完毕 谢谢观看 数学 九年级上册 BS版 $$