第二章 一元二次方程（课外培优课件）　2023—2024学年北师大版数学九年级上册

第二章　一元二次方程 1　认识一元二次方程(第一课时) 数学 九年级上册 BS版 1. 下列方程属于一元二次方程的是（　C　） A. x2－ ＋1＝0 B. ax2＋ bx ＋ c ＝0 C. （ x －1）（ x ＋2）＝1 D. x －3 y2＝6 2. 方程2 x2－6 x －5＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别 为（　C　） A. 2，6，5 B. 2，6，－5 C. 2，－6，－5 D. －2，6，5 C C 数学 九年级上册 BS版 3. 某商品的单价经过两次降价从144元降至81元.设平均每次降 价的百分率为 x ，则可列方程为（　B　） A. 144（1＋ x ）2＝81 B. 144（1－ x ）2＝81 C. 81（1＋ x ）2＝144 D. 81（1－ x ）2＝144 B 数学 九年级上册 BS版 4. 下列关于 x 的方程：①（ m2＋2） x2＋ x －2＝0；② ＋ x ＝ 0；③ ax2－ x －1＝0；④ ＝ x2；⑤ x2＋ mx ＋ n ＝0；⑥2 （ x －1）2－1＝2 x2.其中是整式方程的有 ，是一元 二次方程的有 .（填序号） 5. 将方程（ x ＋2）（1－3 x ）＝2 x 化成一般形式为 ⁠ ，其二次项系数是 ，一次项是 ，常数项 是 ⁠. ①③⑤⑥　 ①⑤　 3 x2＋7 x － 2＝0　 3　 7 x 　 －2　 数学 九年级上册 BS版 6. 某学校计划在一块长9 m、宽6 m的矩形草坪中央划出面积为 15 m2的矩形地块栽花，要使这块矩形草坪四周草地的宽度都一 样，则四周草地的宽度应为多少？若设四周草地的宽为 x m，则 可列方程为 ⁠. （9－2 x ）（6－2 x ）＝15　 数学 九年级上册 BS版 （1）3 x2＝5 x －2； 解：（1）原方程可化为3 x2－5 x ＋2＝0， 其二次项系数是3，一次项系数是－5，常数项是2. （2） x （2 x －1）＝ x ； 解：（2）原方程可化为2 x2－2 x ＝0， 其二次项系数是2，一次项系数是－2，常数项是0. 7. 将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其二次项 系数、一次项系数和常数项. 数学 九年级上册 BS版 （3）（2 x －1）（3 x ＋2）＝3. 解：（3）原方程可化为6 x2＋ x －5＝0， 其二次项系数是6，一次项系数是1，常数项是－5. 数学 九年级上册 BS版 8. 已知关于 x 的方程（ a －1） x2－ bx ＋ c ＝0. （1）当 a ， b ， c 为何值时，此方程为一元二次方程？ 解：（1）∵此方程为一元二次方程， ∴ a －1≠0，即 a ≠1. ∴当 a ≠1， b ， c 为任意实数时，此方程为一元二次方程. （2）当 a ， b ， c 为何值时，此方程为一元一次方程？ 解：（2）∵此方程为一元一次方程， ∴解得 a ＝1且 b ≠0. ∴当 a ＝1且 b ≠0， c 为任意实数时，此方程为一元一次方程. 数学 九年级上册 BS版 9. 若方程（ m2－ m －2） ＋4 x －8＝0是关于 x 的一元二次 方程，则 m ＝ ⁠. 【解析】∵此方程为一元二次方程，∴ m2－2＝2.解得 m ＝±2. 当 m ＝2时， m2－ m －2＝22－2－2＝0，∴ m ＝2不符合题意， 应舍去；当 m ＝－2时， m2－ m －2＝（－2）2－（－2）－2＝ 4.∴ m ＝－2符合题意.故答案为－2. －2　 数学 九年级上册 BS版 10. 已知关于 x 的一元二次方程2 ax2＋3（ a ＋2） x ＋5 a －2＝0 的常数项是二次项系数的2倍，则一次项系数为 ⁠. 【解析】∵该一元二次方程的常数项是5 a －2，二次项系数是2 a ，∴5 a －2＝2×2 a .解得 a ＝2.∴一次项系数为3（ a ＋2）＝ 3×（2＋2）＝12.故答案为12. 12　 数学 九年级上册 BS版 11. 根据下列问题，分别列出关于 x 的方程，并化为一元二次方 程的一般形式，写出它们的二次项系数、一次项系数及常数项. （1）某超市儿童服装专柜销售一种品牌童装，平均每天可售出 30件，每件盈利40元.商场决定采取适当的降价措施，扩大销售 量，增加盈利，减少库存.经市场调查发现，每件童装每降价2 元，平均每天就可多售出6件.要使平均每天的销售盈利1 000 元，则每件童装应降价多少元？ 数学 九年级上册 BS版 解：设每件童装应降价 x 元. 根据题意，得[30＋（6÷2） x ]（40－ x ）＝1 000， 其一般形式是3 x2－90 x －200＝0. ∴该一元二次方程的二次项系数是3，一次项系数是－90，常数 项是－200. 数学 九年级上册 BS版 （2）如图，要建一个底面积为130 m2的仓库，仓库的一边靠墙 （墙长16 m），并在与墙平行的一边开一道1 m宽的门.现有能 围成32 m长的木板，求仓库垂直于墙的一边长. 解：设仓库垂直于墙的一边长为 x m. 根据题意，得（32－2 x ＋1） x ＝130， 其一般形式是2 x2－33 x ＋130＝0. ∴该一元二次方程的二次项系数是2，一次项系数是－33，常数 项是130. 数学 九年级上册 BS版 12. （1）已知一元二次方程 a （ x2＋1）＋ b （ x ＋2）＋ c ＝0化 为一般形式后为6 x2＋10 x －1＝0，求以 a ， b 为两条对角线长的 菱形的面积； 解：原方程可化为 ax2＋ a ＋ bx ＋2 b ＋ c ＝0， 即 ax2＋ bx ＋（ a ＋2 b ＋ c ）＝0. ∵该方程化为一般形式后为6 x2＋10 x －1＝0， ∴ a ＝6， b ＝10. ∴ S菱形＝ ab ＝ ×6×10＝30. 数学 九年级上册 BS版 （2）若 a ， b ， c 分别为△ ABC 的三边长，试说明方程 ax2＋ bx （ x －1）＝ cx2一定是关于 x 的一元二次方程. 解：将原方程整理，得（ a ＋ b － c ） x2－ bx ＝0. ∵ a ， b ， c 为△ ABC 的三边长， ∴ a ＋ b ＞ c ，即 a ＋ b － c ＞0. ∴ ax2＋ bx （ x －1）＝ cx2一定是关于 x 的一元二次方程. 数学 九年级上册 BS版 13. （选做）已知方程 x2 a＋ b －2 xa－ b ＋3＝0是关于 x 的一元二次 方程，求 a ， b 的值. 数学 九年级上册 BS版 解：由题意，当或或 或或时，原方程是关于 x 的一元二 次方程，分别解得或或或 或 数学 九年级上册 BS版 演示完毕 谢谢观看 数学 九年级上册 BS版 $$第二章　一元二次方程 1　认识一元二次方程(第二课时) 数学 九年级上册 BS版 1. 下列关于 x 的一元二次方程中，有一个根为1的方程是 （　B　） A. x2－2 x ＋3＝0 B. x2－3 x ＋2＝0 C. x2－2 x －3＝0 D. x2＋3 x －2＝0 2. 已知关于 x 的一元二次方程 x2＋ x ＋ b ＝0的一个根为1，则 b 的值为（　A　） A. －2 B. －3 C. 4 D. －6 B A 数学 九年级上册 BS版 3. 下表是某同学求代数式 x2－ x 的值的情况.根据表格可知，方 程 x2－ x ＝2的解是（　C　） x －2 －1 0 1 2 3 … x2－ x 6 2 0 0 2 6 … A. x ＝－1 B. x ＝0 C. x ＝－1或 x ＝2 D. x ＝0或 x ＝1 C 数学 九年级上册 BS版 4. 已知方程2 x －4＝0的解也是关于 x 的方程 x2＋ mx ＋2＝0的一 个解，则 m ＝ ⁠. 【解析】解方程2 x －4＝0，得 x ＝2.把 x ＝2代入方程 x2＋ mx ＋2 ＝0中，得4＋2 m ＋2＝0.解得 m ＝－3.故答案为－3. 5. 已知 m 是方程2 x2－3 x －1＝0的一个根，则－6 m2＋9 m －13的 值为 ⁠. －3　 －16　 数学 九年级上册 BS版 x －4 －2 0 2 4 x2＋ x －12 0 －10 －12 －6 8 从表中可看出方程的一个解为 ，另一个解应介于 ⁠ 和 之间. 【解析】把 x ＝－4，2，4依次代入 x2＋ x －12中，分别计算得 到0，－6，8，于是在表格中从左至右填0，－6，8.根据表格中 的数据可得方程的一个解为－4，另一个解应介于2和4之间.故 答案为0，－6，8，－4，2，4. 0 －6 8 －4　 2　 4　 6. 先填表，再探索一元二次方程 x2＋ x －12＝0的解的取值范围. 数学 九年级上册 BS版 7. 已知2－ 是方程 x2－4 x ＋ c ＝0的一个根. （1）求 c 的值. 解：（1）∵2－ 是方程 x2－4 x ＋ c ＝0的一个根， ∴（2－ ）2－4（2－ ）＋ c ＝0.解得 c ＝1. 数学 九年级上册 BS版 （2）2＋ 是否是该方程的另一个根？说一说你的理由. 解：（2）2＋ 是该方程的另一个根.理由如下： 把 x ＝2＋ 代入方程的左边，得 （2＋ ）2－4×（2＋ ）＋1＝0. ∴2＋ 是该方程的另一个根. 数学 九年级上册 BS版 8. 如图，在一块长8 m、宽6 m的矩形绿地内，开辟出一个矩形 的花圃，使四周的绿地等宽.已知绿地的面积与花圃的面积相 等，求花圃四周绿地的宽（用列表的方法解答）. 数学 九年级上册 BS版 解：设花圃四周绿地的宽为 x m. 根据题意，得（8－2 x ）（6－2 x ）＝ ×8×6. 整理，得 x2－7 x ＋6＝0. 列表如下： x 0 1 2 3 4 5 6 7 x2－7 x ＋6 6 0 －4 －6 －6 －4 0 6 由表格可知， x ＝1或 x ＝6（不符合题意，舍去）. 故花圃四周绿地的宽为1 m. 数学 九年级上册 BS版 9. 代数式 x2－5 x ＋3的值与 x 的值的对应情况如下表所示： x 4.1 4.2 4.3 4.4 x2－5 x ＋3 －0.69 －0.36 －0.01 0.36 判断方程 x2－5 x ＋3＝0的一个解 x 的近似值为 （精确到 0.1）. 4.3　 数学 九年级上册 BS版 10. 已知 x ＝ a 是关于 x 的一元二次方程（ m ＋1） x｜2 m｜＋ mx － 5＝0的一个根，则2 a3＋ a2－5 a ＋1＝ ⁠. 【解析】由题意，得 m ＋1≠0且｜2 m ｜＝2.解得 m ≠－1且 m ＝ ±1.∴ m ＝1.∴原方程变形为2 x2＋ x －5＝0.又∵ x ＝ a 是该一元 二次方程的一个根，∴2 a2＋ a －5＝0.∴原式＝ a （2 a2＋ a － 5）＋1＝1.故答案为1. 1　 数学 九年级上册 BS版 11. （1）已知一个关于 x 的一元二次方程的二次项系数为1，且 两根分别是－ 和3 ，求这个一元二次方程； 解：设这个一元二次方程为 x2＋ mx ＋ n ＝0. ∵－ 和3 是该一元二次方程的两根， ∴解得 ∴这个一元二次方程为 x2－2 x －6＝0. 数学 九年级上册 BS版 解：原式＝ ÷ ＝ · ＝ ＝ . ∵ m 是方程 x2＋3 x －1＝0的一个根， ∴ m2＋3 m －1＝0，即 m2＋3 m ＝1. 当 m2＋3 m ＝1时，原式＝ ＝ . （2）先化简，再求值： ÷（ m ＋2－ ），其中 m 是 方程 x2＋3 x －1＝0的一个根. 数学 九年级上册 BS版 12. 已知一个直角三角形的斜边长为7，一条直角边比另一条直 角边长1，求两条直角边的长.设较短的一条直角边的长为 x . （1）根据题意列出一元二次方程； 解：（1）根据题意，得 x2＋（ x ＋1）2＝72. 化简，得 x2＋ x －24＝0. 数学 九年级上册 BS版 （2）请你估计出 x 的值（结果保留一位小数）. 解：（2）列表如下： x 1 2 3 4 5 x2＋ x －24 －22 －18 －12 －4 6 由表格可知，4＜ x ＜5. 继续列表如下： x 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 x2＋ x －24 －3.09 －2.16 －1.21 －0.24 0.75 数学 九年级上册 BS版 由表格可知，4.4＜ x ＜4.5. ∵－0.24比0.75更靠近0， ∴ x 的值约为4.4. 数学 九年级上册 BS版 13. （选做）已知方程 x2－3 x ＋1＝0. （1）求 x ＋ 的值； 解：（1）∵ x2－3 x ＋1＝0，∴ x ≠0. ∴方程两边同时除以 x ，得 x －3＋ ＝0. ∴ x ＋ ＝3. 数学 九年级上册 BS版 （2）求 x － 的值； 解：（2）∵ ＝ －4＝32－4＝5， ∴ x － ＝± . （3）求 x2＋ 的值； 解：（3）∵ ＝ x2＋2＋ ＝32＝9， ∴ x2＋ ＝9－2＝7. 数学 九年级上册 BS版 （4）若 a 为方程 x2－3 x ＋1＝0的一个根，求2 a2－6 a ＋2 024的值. 解：（4）∵ a 为方程 x2－3 x ＋1＝0的一个根， ∴ a2－3 a ＋1＝0，即 a2－3 a ＝－1. ∴原式＝2（ a2－3 a ）＋2 024＝－2＋2 024＝2 022. 数学 九年级上册 BS版 演示完毕 谢谢观看 数学 九年级上册 BS版 $$第二章　一元二次方程 2　用配方法求解一元二次方程(第二课时) 数学 九年级上册 BS版 1. 用配方法解方程2 x2－3 x ＋6＝0，把二次项系数化成1，得 （　B　） A. x2－3 x ＋3＝0 B. x2－ x ＋3＝0 C. x2＋ x ＋3＝0 D. x2－ x －3＝0 B 数学 九年级上册 BS版 2. 用配方法解方程2 x2＋4 x ＋1＝0，配方后的方程是（　D　） A. （2 x ＋2）2＝－2 B. （2 x ＋2）2＝－3 C. ＝ D. （ x ＋1）2＝ D 数学 九年级上册 BS版 3. 下列选项中，用配方法解方程时，配方有错误的一项是 （　C　） A. x2－2 x －99＝0化为（ x －1）2＝100 B. 2 t2－7 t －4＝0化为 ＝ C. x2＋8 x ＋9＝0化为（ x ＋4）2＝25 D. 3 x2－4 x －2＝0化为 ＝ C 数学 九年级上册 BS版 4. 用适当的数填空： （1） x2－3 x ＋ 　 　＝ ； （2）2 x2－ x ＋ 　 　＝2 . 5. 已知 ax2＋2 x ＋ ＝ ＋ m ，则 a ＝ ， m ＝ 　 　. 　 　 4　 　 数学 九年级上册 BS版 解：整理，得 ⁠. 移项，得 ⁠. 二次项系数化为1，得 ⁠. 配方，得 x2－2 x ＋1＝3，即 ⁠. 两边开平方，得 ⁠. ∴ x1＝ 　1＋ 　， x2＝ 　1－ 　. 4 x2－8 x －8＝0　 4 x2－8 x ＝8　 x2－2 x ＝2　 （ x －1）2＝3　 x －1＝± 　 1＋ 　 1－ 　 6. 用配方法解方程：（2 x －1）2＝4 x ＋9. 数学 九年级上册 BS版 7. 用配方法解下列方程： （1）4 x2－4 x ＋1＝0； 解：配方，得（2 x －1）2＝0. ∴ x1＝ x2＝ . 数学 九年级上册 BS版 （2）2 x2＋1＝－3 x ； 解：整理，得 x2＋ x ＝－ . 配方，得 ＝ . ∴ x ＋ ＝± . ∴ x1＝－1， x2＝－ . 数学 九年级上册 BS版 （3）6 x2－2 x －1＝0； 解：整理，得 x2－ x ＝ . 配方，得 ＝ . ∴ x － ＝± . ∴ x1＝ ， x2＝ . 数学 九年级上册 BS版 （4）（ x －3）（2 x ＋1）＝－5. 解：整理，得 x2－ x ＝－1. 配方，得 ＝ . ∴ x － ＝± . ∴ x1＝2， x2＝ . 数学 九年级上册 BS版 8. 在一块长16 m、宽12 m的矩形荒地上，要建造一个花园并使 所占面积为荒地面积的一半，小明的设计方案如图所示（单 位：m），其中花园四周小路的宽度都相等.请帮小明计算一下 小路的宽. 数学 九年级上册 BS版 解：根据题意，得（16－2 x ）（12－2 x ）＝ ×16×12. 整理，得 x2－14 x ＝－24. 配方，得（ x －7）2＝25. 解得 x1＝2， x2＝12（不符合题意，舍去）. ∴ x ＝2. 故小路的宽是2 m. 数学 九年级上册 BS版 9. 给出一种运算：对于函数 y ＝ xn ，规定 y '＝ nxn－1.例如：若函 数 y ＝ x4，则有 y '＝4 x3.已知函数 y ＝ x3，则方程 y '＝6 x ＋12的 解是 ⁠. 10. 代数式－3 x2＋5 x ＋1的最大值为 ⁠. x1＝1＋ ， x2＝1－ 　 　 数学 九年级上册 BS版 【解析】∵－3 x2＋5 x ＋1＝－3 ＋1＝－3· ＋1＝－3 ＋ ，∴当 x ＝ 时， 代数式－3 x2＋5 x ＋1取最大值为 .故答案为 . 数学 九年级上册 BS版 11. 已知 y2与－ x9 m－3 y2是同类项，且 m 为整数，求（ m ＋1）－2的值. 解：由题意，得3 m2－ m ＝9 m －3. 整理，得 m2－ m ＝－1. 配方，得 ＝ . ∴ m1＝3， m2＝ .又∵ m 为整数，∴ m ＝3. 当 m ＝3时，（ m ＋1）－2＝（3＋1）－2＝ . 数学 九年级上册 BS版 12. 某商场经营某种品牌玩具，购进时的单价是30元.根据市场 调查发现：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600 件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具. （1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为 x 元（ x ＞40），请你 分别用含 x 的代数式来表示销售量 y （件）和销售该品牌玩具获 得的利润 W （元）； 解：（1）由题意，得 y ＝600－（ x －40）×10＝1 000－10 x ， W ＝（1 000－10 x ）（ x －30）＝－10 x2＋1 300 x －30 000. 数学 九年级上册 BS版 （2）在（1）的条件下，商场将该种品牌玩具销售单价定为多 少元时，获得的利润为8 250元？ 解：（2）由题意，得－10 x2＋1 300 x －30 000＝8 250.整理，得 x2－130 x ＝－3 825. 配方，得（ x －65）2＝400. 解得 x1＝85， x2＝45. 故商场将该种品牌玩具销售单价定为85元或45元时，获得的利 润为8 250元. 数学 九年级上册 BS版 13. （选做）请阅读下面的材料： 我们可以通过以下方法求代数式 x2＋6 x ＋5的最小值. 解： x2＋6 x ＋5＝ x2＋2· x ·3＋32－32＋5＝（ x ＋3）2－4. ∵（ x ＋3）2≥0， ∴当 x ＝－3时， x2＋6 x ＋5有最小值－4. 请根据上述方法，解答下列问题： 数学 九年级上册 BS版 （1） x2＋4 x －1＝ x2＋2· x ·2＋22－22－1＝（ x ＋ a ）2＋ b ，则 ab 的值是 ⁠. （1）【解析】由题意可知， a ＝2， b ＝－5.∴ ab ＝2×（－5） ＝－10.故答案为－10. （2）比较代数式 x2－1与2 x －3的大小. （2）解：∵（ x2－1）－（2 x －3）＝ x2－2 x ＋2＝（ x －1）2＋ 1＞0， ∴ x2－1＞2 x －3. －10　 数学 九年级上册 BS版 （3）当 x ， y 取何值时，多项式 x2＋4 x ＋4 y2－4 y ＋1取得最小 值？并求出最小值. （3）解：∵ x2＋4 x ＋4 y2－4 y ＋1＝（ x ＋2）2＋（2 y － 1）2－4， ∴当 x ＝－2， y ＝ 时，原多项式取得最小值， 最小值为－4. 数学 九年级上册 BS版 （4）若代数式2 x2＋ kx ＋7的最小值为2，求 k 的值. （4）解：2 x2＋ kx ＋7＝2 － ＋7. 由题意可知，－ ＋7＝2.解得 k ＝±2 . 数学 九年级上册 BS版 演示完毕 谢谢观看 数学 九年级上册 BS版 $$第二章　一元二次方程 3　用公式法求解一元二次方程(第二课时) 数学 九年级上册 BS版 1. 下列一元二次方程中，两根相等的是（　A　） A. x2＋1＝2 x B. x2＋1＝0 C. x2－2 x ＝3 D. x2－4 x ＝0 A 数学 九年级上册 BS版 2. 某学校准备修建一个面积为200 m2的矩形花圃，它的长比宽 多10 m.若设花圃的宽为 x m，则可列方程为（　B　） A. x （ x －10）＝200 B. x （ x ＋10）＝200 C. 2 x ＋2（ x －10）＝200 D. 2 x ＋2（ x ＋10）＝200 3. 用一条长为40 cm的绳子围成一个面积为 a cm2的矩形，则 a 的 值不可能为（　D　） A. 20 B. 40 C. 100 D. 120 B D 数学 九年级上册 BS版 4. 若两个相邻自然数的积是132，则这两个数中，较大的数 是 ⁠. 5. 如图，在一幅长80 cm、宽50 cm的矩形画四周镶一条等宽的 金色边框，制成一幅矩形挂图.若要使整幅挂图的面积是5 400 cm2，设金色边框的宽为 x cm，则可列出方程为 ⁠ ⁠. 12　 （80＋2 x ） （50＋2 x ）＝5 400　 数学 九年级上册 BS版 6. 一块矩形菜地的面积是120 m2，若它的长减少2 m，菜地就变 成正方形.这块矩形菜地的长是 ⁠m. 12　 数学 九年级上册 BS版 解：设原正方形的边长为 x m.根据题意，得（ x －7） x －7 x ＝ 72.整理，得 x2－14 x －72＝0.解得 x1＝18， x2＝－4（不符合题 意，舍去）. 故原正方形场地的边长为18 m. 7. 如图，一个正方形场地被平行于一边的一条直线分割成两个 面积不相等的矩形，这两个矩形面积的差为72 m2，且面积较小 的矩形的宽为7 m，求原正方形场地的边长. 数学 九年级上册 BS版 8. 学生会组织周末爱心义卖活动，义卖所得收入将全部捐献给 希望工程，活动选在一块长20 m、宽14 m的矩形空地上.如图， 空地被划分出6个矩形区域，分别摆放不同类别的商品，区域之 间用宽度相等的小路隔开.已知每个区域的面积均为32 m2，则小 路的宽为多少米？ 数学 九年级上册 BS版 解：设小路的宽为 x m，则6个矩形区域可合成长（20－2 x ） m、宽（14－ x ）m的矩形. 根据题意，得（20－2 x ）（14－ x ）＝32×6. 整理，得 x2－24 x ＋44＝0. 解得 x1＝2， x2＝22（不符合题意，舍去）. 故小路的宽为2 m. 数学 九年级上册 BS版 9. 将五个完全相同的小矩形拼成如图所示的大矩形.若大矩形的 面积是135 cm2，则以小矩形的宽为边长的正方形面积 是 cm2. （第9题图） 9　 数学 九年级上册 BS版 10. 如图，已知点 A （－3，0）， B （0，－4），点 P 为直线 y ＝－ x ＋5在第一象限上的一点.过点 P 作 PC ⊥ x 轴于点 C ， PD ⊥ y 轴于点 D . 当四边形 ABCD 的面积为18时，则点 P 的坐标 是 ⁠. （3，2）　 （第10题图） 数学 九年级上册 BS版 【解析】设 P （ x ，－ x ＋5）（0＜ x ＜5），则 C （ x ，0）， D （0，－ x ＋5）.∴ AC ＝ x ＋3， BD ＝－ x ＋5＋4＝9－ x . ∴ S四边形 ABCD ＝ AC · BD ＝ （ x ＋3）（9－ x ）＝18， 解得 x1＝ x2＝3.∴点 P 的坐标为（3，2）.故答案为（3，2）. 数学 九年级上册 BS版 11. 某地计划对矩形广场进行扩建改造.如图，原广场长50 m、 宽40 m，要求扩建后的矩形广场的长比宽多15 m，扩建区域的 扩建费用为每平方米30元.扩建后在原广场和扩建区域都铺设地 砖，铺设地砖的费用为每平方米100元.已知计划总费用为616 000元，求扩建后广场的长和宽. 数学 九年级上册 BS版 解：设扩充后广场的宽为 x m，则长为（ x ＋15）m. 根据题意，得 x （ x ＋15）· 100＋30[ x （ x ＋15）－50×40]＝616 000. 整理，得 x2＋15 x －5 200＝0. 解得 x1＝65， x2＝－80（舍去）. ∴ x ＋15＝80. 故扩建后广场的长为80 m，宽为65 m. 数学 九年级上册 BS版 12. 如图，现有长度为100 m的围栏，要利用一面墙（墙长为25 m）建羊圈， BC 的长度不大于墙长. （1）可以围成总面积为400 m2的三个大小相同的矩形羊圈吗？ 若能，求出羊圈的边长 AB ， BC ；若不能，请说明理由. 数学 九年级上册 BS版 解：（1）能.理由如下： 设 AB ＝ x m，则 BC ＝（100－4 x ）m. 根据题意，得（100－4 x ）· x ＝400. 整理，得 x2－25 x ＋100＝0. 解得 x1＝20， x2＝5. 则100－4 x ＝20或100－4 x ＝80. ∵80＞25，∴ x ＝5不符合题意. ∴ x ＝20. ∴ AB ＝20 m， BC ＝20 m. 数学 九年级上册 BS版 （2）可以围成总面积为640 m2的三个大小相同的矩形羊圈吗？ 若能，求出羊圈的边长 AB ， BC ；若不能，请说明理由. 解：（2）不能.理由如下：设 AB ＝ x m，则 BC ＝（100－4 x ）m. 若能围成总面积为640 m2的三个大小相同的矩形羊圈， 则有（100－4 x ） x ＝640. 整理，得 x2－25 x ＋160＝0. ∵Δ＝（－25）2－4×1×160＝－15＜0， ∴该方程无实数根. 故不能围成总面积为640 m2的三个大小相同的矩形羊圈. 数学 九年级上册 BS版 13. （选做）已知三个关于 x 的方程 x2－ x ＋ m ＝0，（ m －1） x2 ＋2 x ＋1＝0和（ m －2） x2＋2 x －1＝0，若其中至少两个方程 有实数根，求 m 的取值范围. 解：分情况讨论： ①当 m ＝1时，第二、第三个方程有实数根. ②当 m ＝2时，第二、第三个方程有实数根. 数学 九年级上册 BS版 ③当 m ≠1，且 m ≠2时，设三个方程的根的判别式分别为Δ1， Δ2，Δ3，则 Δ1≥0，即1－4 m ≥0，解得 m ≤ ； Δ2≥0，即2－ m ≥0，解得 m ≤2； Δ3≥0，即 m －1≥0，解得 m ≥1. 故至少有两个方程有实数根时，有或或 或 数学 九年级上册 BS版 解得 m ≤ 或1≤ m ≤2. ∵ m ≠1，且 m ≠2， ∴ m ≤ 或1＜ m ＜2. 综上所述， m 的取值范围为 m ≤ 或1≤ m ≤2. 数学 九年级上册 BS版 演示完毕 谢谢观看 数学 九年级上册 BS版 $$第二章　一元二次方程 5　一元二次方程的根与系数的关系 数学 九年级上册 BS版 1. （2023·天津）若 x1， x2是方程 x2－6 x －7＝0的两个根，则 （　A　） A. x1＋ x2＝6 B. x1＋ x2＝－6 C. x1· x2＝ D. x1· x2＝7 2. 已知关于 x 的一元二次方程 x2＋5 x － m ＝0的一个根是2，则 另一个根是（　A　） A. －7 B. －3 C. 3 D. 7 A A 数学 九年级上册 BS版 3. （2023·山东）已知一元二次方程 x2＋3 x －1＝0的两根为 x1， x2，则 ＋ 的值为（　C　） A. B. －3 C. 3 D. － C 数学 九年级上册 BS版 4. 已知方程 x2＋ bx ＋3＝0的一个根为 － ，则方程的另一 个根为 ⁠. 5. 若关于 x 的一元二次方程 x2＋2 x －2 m ＋1＝0有两个实数根， 且一个为正数，一个为负数，则实数 m 的取值范围是 ⁠ ⁠. 6. （2023·内江）已知 a ， b 是方程 x2＋3 x －4＝0的两根，则 a2 ＋4 a ＋ b －3＝ ⁠. ＋ 　 m ＞ 　 －2　 数学 九年级上册 BS版 （1）－ x2＋6 x －7＝0； 解：∵ a ＝－1， b ＝6， c ＝－7， ∴Δ＝ b2－4 ac ＝62－4×（－1）×（－7）＝8＞0. ∴该方程有两个实数根. 设该方程的两个实数根是 x1， x2，则 x1＋ x2＝－ ＝－ ＝6， x1 x2＝ ＝ ＝7. 7. 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积： 数学 九年级上册 BS版 （2） x （3 x －1）－1＝0； 解：原方程整理，得3 x2－ x －1＝0. 这里 a ＝3， b ＝－1， c ＝－1. ∴Δ＝ b2－4 ac ＝（－1）2－4×3×（－1）＝13＞0. ∴该方程有两个实数根. 设该方程的两个实数根是 x1， x2，则 x1＋ x2＝－ ＝－ ＝ ， x1 x2＝ ＝ ＝－ . 数学 九年级上册 BS版 （3）（2 x ＋5）（ x ＋1）＝ x ＋8. 解：原方程整理，得2 x2＋6 x －3＝0. 这里 a ＝2， b ＝6， c ＝－3. ∴Δ＝ b2－4 ac ＝62－4×2×（－3）＝60＞0. ∴该方程有两个实数根. 设该方程的两个实数根是 x1， x2，则 x1＋ x2＝－ ＝－ ＝－3， x1 x2＝ ＝ ＝－ . 数学 九年级上册 BS版 8. 已知 x1， x2是方程 x2＋6 x －1＝0的两个根，不解方程，求下 列代数式的值： （1）（ x1－2）（ x2－2）； （1）（ x1－2）（ x2－2）＝ x1 x2－2 x1－2 x2＋4＝ x1 x2－2（ x1＋ x2）＋4＝－1－2×（－6）＋4＝15. （2） ＋ ； （2） ＋ ＝ ＋ ＋2 x1 x2－2 x1 x2＝（ x1＋ x2）2－2 x1 x2＝ （－6）2－2×（－1）＝38. 解：由根与系数的关系，得 x1＋ x2＝－6， x1 x2＝－1. 数学 九年级上册 BS版 （3）（ x1－ x2）2. （3）（ x1－ x2）2＝ －2 x1 x2＋ ＝ ＋2 x1 x2＋ －4 x1 x2＝ （ x1＋ x2）2－4 x1 x2＝（－6）2－4×（－1）＝40. 数学 九年级上册 BS版 9. 已知方程 x2－2 024 x ＋1＝0的两根分别为 x1， x2，则 － 的值为 ⁠. 【解析】由根与系数的关系，得 x1＋ x2＝2 024， x1 x2＝1.∴ x1＝ ， －2 024 x1＝－1.∴ － ＝ －2 024 x1＝－1.故答 案为－1. －1　 数学 九年级上册 BS版 10. 已知关于 x 的一元二次方程 x2－4 mx ＋3 m2＝0（ m ＞0）的一 个根比另一个根大2，则 m 的值为 ⁠. 【解析】由题意，设方程的两根分别为 t ， t ＋2.根据根与系数 的关系，得 t ＋ t ＋2＝4 m ， t （ t ＋2）＝3 m2.则 t ＝2 m －1.把 t ＝ 2 m －1代入 t （ t ＋2）＝3 m2，得（2 m －1）（2 m ＋1）＝3 m2. 整理，得 m2－1＝0.解得 m ＝1或 m ＝－1（不符合题意，舍 去）.∴ m 的值为1.故答案为1. 1　 数学 九年级上册 BS版 11. 已知关于 x 的一元二次方程 x2＋（2 m ＋1） x ＋ m2－1＝0有 两个不相等的实数根. （1）求 m 的取值范围； 解：（1）由题意，得Δ＝（2 m ＋1）2－4（ m2－1）＞0.解得 m ＞－ . 数学 九年级上册 BS版 解：（2）由根与系数的关系，得 x1＋ x2＝－（2 m ＋1）， x1 x2 ＝ m2－1. ∴ ＋ ＋ x1 x2－17＝（ x1＋ x2）2－ x1 x2－17 ＝（2 m ＋1）2－（ m2－1）－17＝0， 即3 m2＋4 m －15＝0.解得 m1＝ ， m2＝－3. 又∵ m ＞－ ，∴ m ＝ . （2）设 x1， x2是该方程的两根且满足： ＋ ＋ x1 x2－17＝ 0，求 m 的值. 数学 九年级上册 BS版 12. 已知关于 x 的一元二次方程 x2＋（2 k ＋1） x ＋ k2＋1＝0有两 个不相等的实数根 x1， x2. （1）求实数 k 的取值范围； 解：（1）由题意，得Δ＝（2 k ＋1）2－4（ k2＋1）＝4 k －3＞0. 解得 k ＞ . 数学 九年级上册 BS版 （2）若方程的两实数根 x1， x2满足 ＋ ＝ x1 x2，求 k 的值. 解：（2）由根与系数的关系，得 x1＋ x2＝－2 k －1， x1 x2＝ k2＋1. ∵ k ＞ ，∴ x1＋ x2＝－2 k －1＜0， x1 x2＝ k2＋1＞0. ∴ x1＜0， x2＜0.又∵ ＋ ＝ x1 x2， ∴－ x1－ x2＝ x1 x2.∴2 k ＋1＝ k2＋1. ∴ k1＝0， k2＝2.又∵ k ＞ ， ∴ k ＝2. 数学 九年级上册 BS版 13. （选做）已知 m2－2 m －1＝0， n2＋2 n －1＝0且 mn ≠1，求 的值. 解：由 n2＋2 n －1＝0，可知 n ≠0.∴1＋ － ＝0. ∴ － －1＝0，即 －2· －1＝0. 又∵ m2－2 m －1＝0，且 mn ≠1，即 m ≠ ， ∴ m ， 是方程 x2－2 x －1＝0的两根.∴ m ＋ ＝2. ∴ ＝ m ＋1＋ ＝2＋1＝3. 数学 九年级上册 BS版 演示完毕 谢谢观看 数学 九年级上册 BS版 $$第二章　一元二次方程 6　应用一元二次方程(第一课时) 数学 九年级上册 BS版 1. 已知一个两位数等于它的个位数字的平方，且个位数字比十 位数字大3，则这个两位数是（　C　） A. 25 B. 36 C. 25或36 D. －25或－36 C 数学 九年级上册 BS版 2. 如图，把一块长40 cm、宽30 cm的矩形硬纸板的四角剪去四 个相同的小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带 粘好，即可做成一个无盖纸盒.若该无盖纸盒的底面积为600 cm2，设剪去小正方形的边长为 x cm，则可列方程为（　D　） A. （30－ x ）（40－ x ）＝600 B. （30－2 x ）（40－ x ）＝600 C. （30－ x ）（40－2 x ）＝600 D. （30－2 x ）（40－2 x ）＝600 （第2题图） D 数学 九年级上册 BS版 3. 如图，矩形 ABCD 的周长是20 cm，分别以 AB ， AD 为边向外 作正方形 ABEF 和正方形 ADGH . 若正方形 ABEF 和正方形 ADGH 的面积之和为68 cm2，则矩形 ABCD 的面积是（　B　） A. 21 cm2 B. 16 cm2 C. 24 cm2 D. 9 cm2 （第3题图） B 数学 九年级上册 BS版 4. 如图，已知 AB ⊥ BC ， AB ＝10 cm， BC ＝8 cm.一只蝉从点 C 沿 CB 方向以1 cm/s的速度匀速爬行.蝉开始爬行的同时，一只螳 螂由点 A 沿 AB 方向以2 cm/s的速度匀速爬行.当螳螂爬行 x s后， 它们分别到达了点 M ， N 的位置，此时，△ MNB 的面积恰好为 18 cm2.由题意可列方程为 ⁠. （10－2 x ）（8－ x ）＝36　 （第4题图） 数学 九年级上册 BS版 5. 我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中提出这样一 个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步.问阔及 长各几步？意思是：矩形面积为864平方步，宽比长少12步，问 宽和长各为几步？你来解决这道古算题，可以求得矩形的长 为 步. 36　 数学 九年级上册 BS版 （第6题图） 6. 如图，学校利用一段已有的围墙（可利用的围墙长度仅有5 m）搭建一个矩形临时隔离点 ABCD . 它的另外三边所围的总长 度是10 m，矩形隔离点的面积为12 m2，则 AB 的长是 ⁠m. 3　 数学 九年级上册 BS版 7. 为改善小区环境，争创文明家园.某社区决定在一块长 （ AD ）16 m，宽（ AB ）9 m的矩形草坪 ABCD 上修建三条同样 宽的小路（如图所示），其中两条与 AB 平行，另一条与 AD 平 行，其余部分种草.要使草坪部分的总面积为112 m2，则小路的 宽为多少？ 解：设小路的宽为 x m. 根据题意，得（16－2 x ）（9－ x ）＝112. 整理，得 x2－17 x ＋16＝0. 数学 九年级上册 BS版 解得 x1＝1， x2＝16. ∵16＞9， ∴ x ＝16不符合题意，舍去. ∴ x ＝1. 故小路的宽为1 m. 数学 九年级上册 BS版 8. 已知一张长12 cm、宽10 cm的矩形铁皮如图所示，将其剪去 两个全等的正方形和两个全等的矩形后，剩余部分（阴影部 分）可制成底面积为24 cm2的有盖长方体铁盒，求剪去的正方 形的边长. 解：设剪去的正方形的边长为 x cm. 由题意，得（10－2 x ）· ＝24. 整理，得 x2－11 x ＋18＝0. 解得 x1＝2， x2＝9. 当 x ＝9时，10－2 x ＝－8＜0，不符合题意，舍去.∴ x ＝2. 故剪去的正方形的边长为2 cm. 数学 九年级上册 BS版 9. 每年的7月1日是建党周年纪念日，在某年7月的日历表上可以 用一个方框圈出四个数（如图所示）.若圈出的四个数中，最小 数与最大数的乘积为65，则这个最小数为 ⁠. （第9题图） 5　 数学 九年级上册 BS版 【解析】设这个最小数是 x ，则最大数为（ x ＋8）.根据题意， 得 x （ x ＋8）＝65.整理，得 x2＋8 x －65＝0.解得 x1＝5， x2＝－ 13（不符合题意，舍去）.则这个最小数是5.故答案为5. 数学 九年级上册 BS版 10. 如图，点 A ， B ， C ， D 为矩形的四个顶点， AB ＝16 cm， AD ＝6 cm，动点 P ， Q 分别从点 A ， C 同时出发，点 P 以3 cm/s 的速度向点 B 移动，点 Q 以2 cm/s的速度向点 D 移动，当点 P 运 动到点 B 停止时，点 Q 也随之停止运动.当 P ， Q 两点从出发经 过 s 时，则点 P ， Q 间的距离是10 cm. 1.6或4.8　 （第10题图） 数学 九年级上册 BS版 【解析】设 P ， Q 两点从出发经过 t s秒时，点 P ， Q 间的距离是 10 cm.如图，作 PH ⊥ CD ，垂足为 H ，则 PH ＝ AD ＝6 cm， PQ ＝10 cm.∵ DH ＝ PA ＝3 t cm， CQ ＝2 t cm，∴ HQ ＝ CD － DH － CQ ＝｜16－5 t ｜.由勾股定理，得（16－5 t ）2＋62＝102.解得 t1＝4.8， t2＝1.6.∴ P ， Q 两点从出发经过1.6 s或4.8 s时，点 P ， Q 间的距离是10 cm.故答案为1.6或4.8. 数学 九年级上册 BS版 11. 如图，在直角墙角 AOB （ OA ⊥ OB ，且 OA ， OB 长度不 限）中，要砌20 m长的墙，与直角墙角 AOB 围成地面为矩形的 储仓，且矩形地面 AOBC 的面积为96 m2. （1）求矩形地面的长. 解：（1）设矩形地面的长是 x m. 由题意，得 x （20－ x ）＝96， 即 x2－20 x ＋96＝0. 解得 x1＝12， x2＝8（舍去）. 故矩形地面的长是12 m. 数学 九年级上册 BS版 （2）有规格为0.80×0.80和1.00×1.00（单位：m）的地板砖， 单价分别为55元/块和80元/块.若只选其中一种地板砖都恰好能 铺满储仓的矩形地面（不计缝隙），用哪一种规格的地板砖费 用较少？ 解：（2）选规格为0.80×0.80的地板砖所需的费用： 96÷（0.80×0.80）×55＝8 250（元）. 选规格为1.00×1.00的地板砖所需的费用： 96÷（1.00×1.00）×80＝7 680（元）. ∵8 250＞7 680， ∴采用规格为1.00×1.00的地板砖所需的费用较少. 数学 九年级上册 BS版 12. 如图，某市区南北走向的北京路与东西走向的喀什路相 交于点 O 处.甲沿着喀什路以4 m/s的速度由西向东走，乙沿 着北京路以3 m/s的速度由南向北走，当乙走到点 O 以北50 m处时，甲恰好到点 O 处.若两人继续向前行走，求两人相距 85 m时各自的位置. 解：设经过 x s时两人相距85 m. 根据题意，得（4 x ）2＋（50＋3 x ）2＝852. 整理，得 x2＋12 x －189＝0， 即（ x －9）（ x ＋21）＝0. 数学 九年级上册 BS版 解得 x1＝9， x2＝－21（不符合题意，舍去）. 当 x ＝9时，4 x ＝36，50＋3 x ＝77. 故当两人相距85 m时，甲在点 O 以东36 m处，乙在点 O 以北77 m处. 数学 九年级上册 BS版 13. （选做）如图，等腰直角三角形 ABC 的直角边 AB ＝ BC ＝ 10，点 P ， Q 分别从 A ， C 两点同时出发，均以每秒1个单位长 度的速度做匀速直线运动.已知点 P 沿射线 AB 运动，点 Q 沿边 BC 的延长线运动， PQ 与直线 AC 相交于点 D . 设点 P 运动的时 间为 t （s），△ PCQ 的面积为 S . 　 　　　备用图 数学 九年级上册 BS版 （1）求 S 关于 t 的函数表达式. 解：（1）①当 t ＜10时，点 P 在线段 AB 上，此时 CQ ＝ t ， PB ＝10－ t . ∴ S ＝ t （10－ t ）＝－ t2＋5 t . ②当 t ＝10时， P ， C ， Q 三点共线，不能构成三角形. ③当 t ＞10时，点 P 在线段 AB 的延长线上，此时 CQ ＝ t ， PB ＝ t －10. ∴ S ＝ t （ t －10）＝ t2－5 t . ∴ S ＝ 　　　备用图 数学 九年级上册 BS版 （2）当点 P 运动几秒时，△ PCQ 的面积等于△ ABC 的面积？ 解：（2）∵ S△ ABC ＝ AB · BC ＝ ×10×10＝50， ∴有以下两种情况： ①当 t ＜10时， S△ PCQ ＝－ t2＋5 t ＝50. 整理，得 t2－10 t ＋100＝0.此时Δ＜0，无解. ②当 t ＞10时， S△ PCQ ＝ t2－5 t ＝50. 整理，得 t2－10 t －100＝0， 解得 t1＝5＋5 ， t2＝5－5 （舍去）. 　　　备用图 综上所述，当点 P 运动（5＋5 ）s时， △ PCQ 的面积等于△ ABC 的面积. 数学 九年级上册 BS版 （3）作 PE ⊥ AC 于点 E ，当点 P ， Q 运动时，线段 DE 的长度是 否改变？证明你的结论. 解：（3）当点 P ， Q 运动时，线段 DE 的长度不会改变.证 明如下： 如图1，当点 P 在点 B 左侧时，过点 Q 作 QF ⊥ AC 于点 F ， 则 QF ∥ PE . ∵ AB ＝ BC ，∠ ABC ＝90°， ∴∠ A ＝∠ ACB ＝45°. 又∵∠ ACB ＝∠ QCF ， ∴∠ A ＝∠ QCF . ∵点 P ， Q 的运动速度相等， ∴ AP ＝ CQ . 图1 数学 九年级上册 BS版 在△ APE 和△ CQF 中， ∴△ APE ≌△ CQF （AAS）. ∴ AE ＝ PE ＝ CF ＝ QF ＝ t . 又∵ QF ∥ PE ， ∴四边形 PFQE 是平行四边形. ∴ DE ＝ EF . 又∵ EF ＝ AC ＝10 ， ∴ DE ＝5 . ∴当点 P ， Q 运动时，线段 DE 的长度不会改变. 图1 数学 九年级上册 BS版 图1 同理，如图2，当点 P 在点 B 右侧时， DE ＝5 .综上所述，当 点 P ， Q 运动时，线段 DE 的长度不会改变. 图2 数学 九年级上册 BS版 演示完毕 谢谢观看 数学 九年级上册 BS版 $$第二章　一元二次方程 6　应用一元二次方程(第二课时) 数学 九年级上册 BS版 1. 某品牌手机三月份销售400万部，四月份、五月份销售量连续 增长，五月份销售量达到900万部，求月平均增长率.设月平均 增长率为 x ，根据题意可列方程为（　D　） A. 400（1＋ x2）＝900 B. 400（1＋2 x ）＝900 C. 900（1－ x ）2＝400 D. 400（1＋ x ）2＝900 D 数学 九年级上册 BS版 2. 一个体育用品商场为了推销某种运动服，进行了市场调查， 得到的数据如下表： 售价 x /（元/件） 50 51 52 53 … 销售量 p /件 500 490 480 470 … 若这种运动服的进价为每件40元，则当销售利润为8 000元时的 售价为（销售利润＝销售收入－进货支出）（　C　） C A. 60元/件 B. 80元/件 C. 60元/件或80元/件 D. 100元/件 数学 九年级上册 BS版 3. 在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，若一共碰杯55次，则 参加酒会的有（　C　） A. 9人 B. 10人 C. 11人 D. 12人 4. 某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件可盈利40 元.为了扩大销售量，增加盈利，采取降价措施.经调查发现：如 果每件降价1元，那么商场平均每天可多售出2件.若商场平均每 天要通过这批衬衫盈利1 200元，且要使价格更优惠，则每件衬 衫应降价 元. C 20　 数学 九年级上册 BS版 5. 随着旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客 人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人，则这两个月中该景 区游客人数的月平均增长率是 ⁠. 6. 某特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60 元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单 价每降低2元，则平均每天的销售量可增加20千克.如果该专卖 店销售这种核桃要想平均每天获利2 240元，那么每千克核桃应 降价 元. 25％　 4或6　 数学 九年级上册 BS版 7. 水果店张阿姨以每千克2元的价格购进某种水果若干千克，然 后以每千克4元的价格出售，每天可售出100千克，通过调查发 现，这种水果每千克的售价每降低0.1元，每天可多售出20千 克，为保证每天至少售出260千克，张阿姨决定降价销售. 数学 九年级上册 BS版 （1）若将这种水果每千克的售价降低 x 元，则每天的销售量 是 千克（用含 x 的代数式表示）； （1）【解析】将这种水果每千克的售价降低 x 元，则每天的销 售量是100＋ ×20＝（100＋200） x 千克.故答案为（100＋ 200 x ）. （100＋200 x ）　 数学 九年级上册 BS版 （2）解：设张阿姨需将每千克的售价降低 y 元. 根据题意，得（4－2－ y ）（100＋200 y ）＝300. 解得 y1＝0.5， y2＝1. ∵每天至少售出260千克， ∴100＋200 y ≥260. 解得 y ≥0.8. ∴ y ＝1. 故张阿姨需将每千克的售价降低1元. （2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每千克的 售价降低多少元？ 数学 九年级上册 BS版 8. 某商店从厂家以每件18元的价格购进一批商品，该商店可自 行定价，但物价部门限定每件商品加价不能超过进货价的25％. 根据市场调查，该商品的售价与销售量的关系满足：若每件售 价为 x 元，则可卖出（320－10 x ）件.若商店计划要获利400元， 则每件商品的售价应定为多少元？需要卖出这种商品多少件？ 数学 九年级上册 BS版 解：根据每件售价 x 元，物价部门限定每件商品加价不能超过进 货价的25％，有 x ≤18×（1＋25％）＝22.5. 由题意，得（ x －18）（320－10 x ）＝400. 整理，得 x2－50 x ＋616＝0. 解得 x1＝22， x2＝28（不符合题意，舍去）. 则320－10 x ＝320－10×22＝100. 故每件商品的售价应定为22元，需要卖出这种商品100件. 数学 九年级上册 BS版 9. 两年前生产1 t甲种药品的成本是5 000元，生产1 t乙种药品的 成本是6 000元.随着生产技术的进步，现在生产1 t甲种药品的成 本是3 000元，生产1 t乙种药品的成本是3 600元，则甲种药品成 本的年平均下降率 乙种药品成本的年平均下降率（填 “大于”“小于”或“等于”）. 等于　 数学 九年级上册 BS版 10. 某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价为35元，原计划以每 桶55元的价格销售，现决定降价销售.已知这种消毒液销售量 y （桶）与每桶降价 x （元）（0＜ x ＜20）之间满足一次函数关 系，其图象如图所示.在这次降价销售中，该药店仅获利1 760 元，则这种消毒液每桶实际售价为 元. 43　 数学 九年级上册 BS版 【解析】设 y 与 x 之间的函数表达式为 y ＝ kx ＋ b （ k ≠0）.将点 （1，110），（3，130）的坐标代入，得解得 故 y 与 x 之间的函数的表达式为 y ＝10 x ＋100（0＜ x ＜20）.由题意，得（10 x ＋100）（55－ x －35）＝1 760.整理， 得 x2－10 x －24＝0.解得 x1＝12， x2＝－2（不符合题意，舍 去）.∴55－ x ＝43.故这种消毒液每桶实际售价为43元.故答案为 43. 数学 九年级上册 BS版 11. 某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改 造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大.该厂3，4月份共生 产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量比3月份的2倍少100吨. （1）求4月份再生纸的产量. 解：（1）设3月份再生纸的产量为 x 吨，则4月份的再生纸的产 量为 吨. 由题意，得 x ＋ ＝800.解得 x ＝300. ∴2 x －100＝2×300－100＝500. 故4月再生纸的产量为500吨. 数学 九年级上册 BS版 （2）若4月份每吨再生纸的利润为1 000元，5月份再生纸产量 比上月增加 m ％.5月份每吨再生纸的利润比上月增加 ％，则5 月份再生纸项目月利润达到66万元.求 m 的值. 解：（2）由题意，得500（1＋ m ％）×1 000 ＝ 660 000. 整理，得 m2＋300 m －6 400＝0. 解得 m1＝20， m2＝－320（不合题意，舍去）. ∴ m 的值是20. 数学 九年级上册 BS版 （3）若4月份每吨再生纸的利润为1 200元，4至6月份每吨再生 纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数 相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了25％.求6月份每吨 再生纸的利润. 解：（3）设4至6月份每吨再生纸利润的月平均增长率为 y ，5月 份再生纸的产量为 a 吨. 由题意，得1 200（1＋ y ）2· a （1＋ y ）＝（1＋25％）×1 200 （1＋ y ）· a ，∴1 200 ＝1 500. 故6月份每吨再生纸的利润是1 500元. 数学 九年级上册 BS版 12. （选做）某商店如果将进货为8元/件的商品以每件10元的售 价售出，每天可销售200件.通过一段时间的数据调查，该店主 发现这种商品每件每涨价0.5元，其销售量就减少10件；每件每 降价0.5元，其销售量就增加10件. （1）你能帮助店主设计一种方案，使每天的利润达到700元 吗？ 数学 九年级上册 BS版 解：（1）设每件销售价提高了 x 元. 由题意，得 （10＋ x －8） ＝700. 整理，得 x2－8 x ＋15＝0. 解得 x1＝3， x2＝5. 此时的售价为10＋3＝13（元）或10＋5＝15（元）. 故每件售价为13元或15元时，每天的利润可达到700元. 数学 九年级上册 BS版 （2）将每件售价定为多少元时，能使一天所获利润最大？最大 利润是多少元？ 解：（2）设每件售价提高 x 元，一天所获利润为 y 元. 由题意，得 y ＝（10＋ x －8） ＝－20 x2＋160 x ＋ 400＝－20（ x －4）2＋720≤720. ∴当 x ＝4时， y 取得最大值，此时每件售价为10＋4＝14（元）. 故每件售价为14元时，一天所获利润最大，为720元. 数学 九年级上册 BS版 演示完毕 谢谢观看 数学 九年级上册 BS版 $$第二章　一元二次方程 回顾与思考 数学 九年级上册 BS版 1. 下列关于 x 的方程中，一定是一元二次方程的是（　C　） A. ax2＋ bx ＋ c ＝0 B. x （ x －1）＝（ x ＋1）2 C. x2－ mx －1＝0 D. － ＋4＝0 2. 若关于 x 的一元二次方程 x2－2 x ＋ m －2＝0有两个不相等的 实数根，则 m 的取值范围是（　D　） A. m ＜ B. m ＞3 C. m ≤3 D. m ＜3 C D 数学 九年级上册 BS版 3. 方程 x （ x －1）＝2（ x －1）2的解为（　C　） A. 1 B. 2 C. 1或2 D. 1或－2 4. 已知一元二次方程 x2＋7 x －1＝0的两个实数根为α，β，则（α －1）（β－1）的值为 ⁠. 5. 如图，学校计划建一个矩形自行车车棚，一边靠墙（墙长18 m），另外三边用总长50 m的栏杆围成，留2 m宽的门.若想建成 面积为240 m2的自行车车棚，则车棚垂直于墙的一边的长 为 ⁠m. C 7　 20　 数学 九年级上册 BS版 6. （2023·达州）已知 x1， x2是方程2 x2＋ kx －2＝0的两个实数 根，且 ＝10，则 k 的值为 ⁠. 7. 用适当的方法解下列方程： （1）（ x －3）2＝49； 解：两边开平方，得 x －3＝±7. ∴ x1＝10， x2＝－4. （2） x2－4 x －9＝0； 解：配方，得（ x －2）2＝13.∴ x －2＝± . ∴ x1＝2＋ ， x2＝2－ . 7　 数学 九年级上册 BS版 （3）3 x （ x －2）＝5（ x －2）； 解：整理，得（ x －2）（3 x －5）＝0. ∴ x －2＝0或3 x －5＝0.∴ x1＝2， x2＝ . （4） x2－7 x －44＝0. 解：整理，得（ x －11）（ x ＋4）＝0. ∴ x1＝11， x2＝－4. 数学 九年级上册 BS版 8. 全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育 学习活动，某市“红二方面军长征出发地纪念馆”成为重要的 活动基地.据了解，今年3月份该基地接待参观人数为10万人，5 月份接待参观人数增加到12.1万人. （1）求这两个月参观人数的月平均增长率； 解：（1）设这两个月参观人数的月平均增长率为 x . 根据题意，得10（1＋ x ）2＝12.1. 解得 x1＝0.1＝10％， x2＝－2.1（不符合题意，舍去）. 故这两个月参观人数的月平均增长率为10％. 数学 九年级上册 BS版 （2）按照这个增长率，预计6月份的参观人数是多少？ 解：（2）12.1×（1＋10％）＝13.31（万人）. 故预计6月份的参观人数为13.31万人. 数学 九年级上册 BS版 9. 已知实数 x 满足 x2＋ ＋ x ＋ ＝0，则 x ＋ 的值为 ⁠. 10. 设关于 x 的方程 x2－6 x ＋ k ＝0的两根是 m 和 n ，且3 m ＋2 n ＝20，则 k 的值为 ⁠. －2　 －16　 数学 九年级上册 BS版 解方程： x2－｜ x ｜－2＝0. 解：当 x ≥0时，原方程化为 x2－ x －2＝0. 解得 x1＝2， x2＝－1. ∵ x ≥0，∴ x ＝－1舍去. ∴ x ＝2是原方程的解. 当 x ＜0时，原方程化为 x2＋ x －2＝0. 11. 阅读下面例题的解题过程，体会、理解其方法. 数学 九年级上册 BS版 解得 x1＝－2， x2＝1. ∵ x ＜0，∴ x ＝1舍去. ∴ x ＝－2是原方程的解. 综上所述，原方程的解为 x ＝2或 x ＝－2. 借鉴例题解题方法，解方程： x2＋2｜ x ＋2｜－4＝0. 数学 九年级上册 BS版 解：①当 x ＋2≥0，即 x ≥－2时，方程整理，得 x2＋2 x ＝0，即 x （ x ＋2）＝0.解得 x1＝0， x2＝－2，均符合.②当 x ＋2＜0，即 x ＜－2时，方程整理，得 x2－2 x －8＝0，即（ x －4）（ x ＋2） ＝0.解得 x1＝4（不符合题意，舍去）， x2＝－2（不符合题意， 舍去）.综上所述，原方程的解为 x ＝0或 x ＝－2. 数学 九年级上册 BS版 12. 某公司投资新建了一个商场，共有商铺30间.据预测，当每 间的年租金定为10万元时，可全部租出；每间的年租金每增加5 000元，少租出商铺1间.假设年租金的增加额均为5 000元的整数 倍，该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用共计1万元，未 租出的商铺每间每年交各种费用共计5 000元. （1）当每间商铺的年租金定为13万元时，能租出多少间？ 解：（1）（13－10）÷0.5＝6，30－6＝24（间）. 故能租出24间. 数学 九年级上册 BS版 （2）当每间商铺的年租金定为多少万元时，该商场的年收益为 275万元？（收益＝租金－各种费用） 解：（2）设每间商铺的年租金增加 x 万元，则每间的年租金是 （10＋ x ）万元，有 间商铺没有出租，出租的商铺有 间，出租的商铺需要交［（30－ ）×1］万元费用，没有 出租的需要交 万元的费用. 数学 九年级上册 BS版 由题意，得 ×（10＋ x ）－ ×1－ ×0.5 ＝275.整理，得2 x2－11 x ＋5＝0.解得 x1＝5， x2＝0.5.当 x ＝5时， 10＋ x ＝10＋5＝15；当 x ＝0.5时，10＋ x ＝10＋0.5＝10.5.故每 间商铺的年租金定为10.5万元或15万元时，该商场的年收益为 275万元. 数学 九年级上册 BS版 13. （选做）如图，在四边形 ABCD 中， AD ∥ BC ，∠ C ＝ 90°， BC ＝16， DC ＝12， AD ＝21.动点 P 从点 D 出发，沿射线 DA 的方向以每秒2个单位长度的速度运动；动点 Q 从点 C 出 发，在线段 CB 上以每秒1个单位长度的速度向点 B 运动.点 P ， Q 同时出发，当点 P 运动到点 A 时，点 Q 随之停止运动.设运动 的时间为 t s . （1）设△ BPQ 的面积为 S ，求 S 与 t 之间的函数关系式； 数学 九年级上册 BS版 解：（1）如答图，过点 P 作 PM ⊥ BC ，垂足为 M ，则四边形 PMCD 为矩形.∴ PM ＝ DC ＝12. ∵ QB ＝16－ t ，∴ S ＝ ×（16－ t ）×12＝ －6 t ＋96（0≤ t ≤10.5）. 答图 数学 九年级上册 BS版 答图 （2）当 t 为何值时，以 B ， P ， Q 三点为顶点的三角形是等腰三 角形？ 解：（2）由图知， CM ＝ PD ＝2 t ， CQ ＝ t ， ∴ MQ ＝ CQ ＝ t . 以 B ， P ， Q 三点为顶点的三角形是等腰三角 形，可分为三种情况： ①当 PQ ＝ BQ 时，在Rt△ PMQ 中， PQ2＝ t2＋ 122.由 PQ2＝ BQ2，得 t2＋122＝（16－ t ）2.解得 t ＝ . 数学 九年级上册 BS版 ②当 BP ＝ BQ 时，在Rt△ PMB 中， BP2＝（16－2 t ）2＋122.由 BP2＝ BQ2，得（16－2 t ）2＋122＝（16－ t ）2，即3 t2－32 t ＋ 144＝0.∵Δ＝ b2－4 ac ＝（－32）2－4×3×144＝－704＜0， ∴3 t2－32 t ＋144＝0无实数根.∴ PB ≠ BQ . ③当 PQ ＝ PB 时，由 PQ2＝ PB2，得 t2＋122＝（16－2 t ）2＋122. 整理，得3 t2－64 t ＋256＝0.解得 t1＝ ， t2＝16（不符合题意， 舍去）. 综上所述，当 t ＝ 或 时，以 B ， P ， Q 三点为顶点的三角形 是等腰三角形. 数学 九年级上册 BS版 演示完毕 谢谢观看 数学 九年级上册 BS版 $$第二章　一元二次方程 4　用因式分解法求解一元二次方程 数学 九年级上册 BS版 1. 方程 x2－3 x ＝0的根是（　C　） A. x1＝ x2＝0 B. x1＝ x2＝3 C. x1＝0， x2＝3 D. x1＝0， x2＝－3 C 数学 九年级上册 BS版 2. 下列解方程的过程正确的是（　D　） A. 解方程2 x2＝ x 时，将方程两边同时除以 x ，得 x ＝2 B. 解方程2 x2＋6 x ＝0时，将方程两边同时除以2 x ，得 x ＝－3 C. 解方程 x2＋1＝2 x 时，因式分解，得（ x ＋1）2＝0，解得 x1＝ x2＝－1 D. 解方程 x2＋2 x ＋1＝0时，因式分解，得（ x ＋1）2＝0，解得 x1＝ x2＝－1 D 数学 九年级上册 BS版 3. 一元二次方程 x2－4 x ＝12的根是（　B　） A. x1＝2， x2＝－6 B. x1＝－2， x2＝6 C. x1＝－2， x2＝－6 D. x1＝2， x2＝6 4. 一元二次方程（ x －3）（ x －2）＝0的根是 ⁠ ⁠. 5. 以－1和6为根，且二次项系数是1的一元二次方程是 ⁠ ⁠. 6. （1）方程 x （ x －2）＝ x －2的解是 ⁠； （2）方程 x （ x －6）＋9＝0的解是 ⁠. B x1＝3， x2＝ 2　 （ x ＋ 1）（ x －6）＝0或 x2－5 x －6＝0　 x1＝2， x2＝1　 x1＝ x2＝3　 数学 九年级上册 BS版 7. 用因式分解法解下列方程： （1）5 x2＋4 x ＝0； 解：提取公因式，得 x （5 x ＋4）＝0. 解得 x1＝0， x2＝－ . （2）（2 x ＋3）2－25＝0； 解：因式分解，得（2 x ＋3＋5）（2 x ＋3－5）＝0， 即4（ x ＋4）（ x －1）＝0. 解得 x1＝－4， x2＝1. 数学 九年级上册 BS版 （3）2 x2＋ x －6＝0； 解：因式分解，得（ x ＋2）（2 x －3）＝0. 解得 x1＝－2， x2＝ . （4）（ x －5）（ x ＋2）＝8. 解：原方程整理，得 x2－3 x －18＝0. 因式分解，得（ x ＋3）（ x －6）＝0. 解得 x1＝－3， x2＝6. 数学 九年级上册 BS版 8. 用适当的方法解下列方程： （1）2（ x －2）2＝50； 解：原方程可化为（ x －2）2＝52. 方程两边开平方，得 x －2＝±5. 解得 x1＝7， x2＝－3. （2）5 x2＝ x ＋4； 解：原方程整理，得5 x2－ x －4＝0. 因式分解，得（5 x ＋4）（ x －1）＝0. 解得 x1＝－ ， x2＝1. 数学 九年级上册 BS版 （3）2 x2－7 x ＝2； 解：原方程整理，得2 x2－7 x －2＝0. 这里 a ＝2， b ＝－7， c ＝－2， ∴ b2－4 ac ＝（－7）2－4×2×（－2）＝65. ∴ x ＝ ＝ . ∴ x1＝ ， x2＝ . 数学 九年级上册 BS版 （4）3 －5 －2＝0. 解：因式分解，得 ＝0， 即 ＝0. 解得 x1＝ ， x2＝ . 数学 九年级上册 BS版 9. 在实数范围内定义运算“⊕”，其法则为 a ⊕ b ＝ a2－ b2，则 方程（4⊕3）⊕ x ＝2 x ＋1的解为 ⁠. 【解析】由题意，得4⊕3＝42－32＝7，∴（4⊕3）⊕ x ＝7⊕ x ＝72－ x2＝2 x ＋1，即 x2＋2 x －48＝0.∴（ x ＋8）（ x －6）＝ 0.∴ x1＝－8， x2＝6.故答案为 x1＝－8， x2＝6. x1＝－8， x2＝6　 数学 九年级上册 BS版 10. 如图，在▱ ABCD 中， AE ⊥ BC 于点 E ， AE ＝ EB ＝ EC ＝ a ，且 a 是一元二次方程 x2＋2 x －3＝0的根，则▱ ABCD 的周长 是 ⁠. 4＋2 　 数学 九年级上册 BS版 【解析】∵ a 是一元二次方程 x2＋2 x －3＝0的根，∴ a ＝－3 （舍去）或 a ＝1.∵ AE ＝ EB ＝ EC ＝ a ，∴ BC ＝2， AB ＝ .∴▱ ABCD 的周长为2×（2＋ ）＝4＋2 .故答案为4＋2 . 数学 九年级上册 BS版 11. 已知关于 x 的方程（2 x － m ）（ mx ＋1）＝（3 x ＋1）（ mx －1）的一个根为0，求 m 的值和方程的另一个根. 解：将 x ＝0代入原方程，得－ m ＝－1，解得 m ＝1. ∴原方程为（2 x －1）（ x ＋1）＝（3 x ＋1）（ x －1）. 化简，得 x2－3 x ＝0. 解得 x1＝0， x2＝3. ∴ m ＝1，方程的另一个根为3. 数学 九年级上册 BS版 12. 解方程： x ｜ x ｜－4｜ x ｜＋3＝0. 解：①当 x ≥0时，原方程变形为 x2－4 x ＋3＝0. 解得 x1＝1， x2＝3，均符合题意. ②当 x ＜0时，原方程变形为 x2－4 x －3＝0. 解得 x1＝2＋ ， x2＝2－ . 又∵ x ＜0，∴ x ＝2－ . 综上，原方程的解为 x1＝1， x2＝3， x3＝2－ . 数学 九年级上册 BS版 13. （选做）已知关于 x 的一元二次方程 x2－（3 k ＋1） x ＋2 k2 ＋2 k ＝0. （1）求证： k 取任何实数值，该方程总有实数根； （1）证明：Δ＝[－（3 k ＋1）]2－4×1×（2 k2＋2 k ）＝ k2－2 k ＋1＝（ k －1）2. ∵ k 取任何实数值，恒有（ k －1）2≥0，∴Δ≥0. ∴ k 取任何实数值，该方程总有实数根. 数学 九年级上册 BS版 （2）解：原方程化为 x2－[2 k ＋（ k ＋1）] x ＋2 k （ k ＋1）＝0. 因式分解，得（ x －2 k ）[ x －（ k ＋1）]＝0. 解得 x1＝2 k ， x2＝ k ＋1. 不妨设 b ＝2 k ， c ＝ k ＋1. ∵△ ABC 为等腰三角形， ∴有以下三种情况： ①若 a ＝ b ，则6＝2 k .解得 k ＝3.则 a ， b ， c 分别为6，6，4，能 组成三角形.此时，△ ABC 的周长为6＋6＋4＝16. （2）若等腰三角形 ABC 的一边长 a ＝6，另外两边长 b ， c 恰好 是这个方程的两个根，求△ ABC 的周长（用因式分解法）. 数学 九年级上册 BS版 ②若 a ＝ c ，则6＝ k ＋1.解得 k ＝5.则 a ， b ， c 分别为6，10， 6，能组成三角形.此时，△ ABC 的周长为6＋10＋6＝22. ③若 b ＝ c ，则2 k ＝ k ＋1.解得 k ＝1.则 a ， b ， c 分别为6，2， 2，不能组成三角形，舍去. 综上所述，△ ABC 的周长为16或22. 数学 九年级上册 BS版 演示完毕 谢谢观看 数学 九年级上册 BS版 $$第二章　一元二次方程 2　用配方法求解一元二次方程(第一课时) 数学 九年级上册 BS版 1. 方程（ x ＋2）2＝3的根是（　D　） A. x1＝2＋ ， x2＝2－ B. x1＝2＋ ， x2＝2＋ C. x1＝－2－ ， x2＝2－ D. x1＝－2＋ ， x2＝－2－ 2. 一元二次方程 x2－6 x －5＝0配方后可变形为（　A　） A. （ x －3）2＝14 B. （ x －3）2＝4 C. （ x ＋3）2＝14 D. （ x ＋3）2＝4 D A 数学 九年级上册 BS版 3. 已知 x2－12 x ＋ m ＝（ x ＋ n ）2，则 m － n ＝（　C　） A. 30 B. 36 C. 42 D. 48 4. 若关于 x 的方程（ x ＋ a ）2＝ b 有解，则 b 的取值范围是 ⁠ ⁠. 5. （1）一元二次方程 （ x －4）2＝18的解是 ⁠ ⁠； （2）一元二次方程 x2－10 x －1＝0的解是 ⁠ ⁠. C b ≥0　 x1＝10， x2＝－ 2　 x1＝5＋ ， x2＝ 5－ 　 数学 九年级上册 BS版 6. 用直接开平方法解下列方程： （1）（ x －3）2＝4； 解：方程两边开平方，得 x －3＝±2， 即 x －3＝2，或 x －3＝－2. ∴ x1＝5， x2＝1. 数学 九年级上册 BS版 （2） x2－ ＝0； 解：原方程可化为 x2＝ ，即 x2＝ . ∴ x1＝ ， x2＝－ . （3）（ x －2）2＝6； 解：方程两边开平方，得 x －2＝± ， 即 x ＝2± . ∴ x1＝ ＋ ， x2＝ － . 数学 九年级上册 BS版 （4）4（ x －1）2－9＝0. 解：原方程可化为（ x －1）2＝ . 方程两边开平方，得 x －1＝± ， 即 x －1＝ ，或 x －1＝－ . ∴ x1＝ ， x2＝－ . 数学 九年级上册 BS版 7. 用配方法解下列方程： （1） x2－2 x ＝2； 解：原方程可化为（ x －1）2＝3. 方程两边开平方，得 x －1＝± ， 即 x －1＝ ，或 x －1＝－ . ∴ x1＝1＋ ， x2＝1－ . 数学 九年级上册 BS版 （2） x2－4 x －7＝0； 解：原方程可化为（ x －2）2＝11. 方程两边开平方，得 x －2＝± ， 即 x －2＝ ，或 x －2＝－ . ∴ x1＝2＋ ， x2＝2－ . 数学 九年级上册 BS版 （3） x2＋ x ＝6－4 x ； 解：原方程可化为 ＝ . 方程两边开平方，得 x ＋ ＝± ， 即 x ＋ ＝ ，或 x ＋ ＝－ . ∴ x1＝1， x2＝－6. 数学 九年级上册 BS版 （4）9 x － ＝ x2. 解：原方程可化为 ＝ . 方程两边开平方，得 x － ＝± ， 即 x － ＝ ，或 x － ＝－ . ∴ x1＝ ， x2＝ . 数学 九年级上册 BS版 8. 有一天，一个笨汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着 比门框宽4尺（尺是我国传统的一种长度单位，3尺＝1米），竖 着比门框高2尺.他的邻居教他沿着门的两个对角线斜着拿竿， 这个笨汉一试，不多不少刚好进去了.你知道竹竿有多长吗？ 数学 九年级上册 BS版 解：设竹竿长为 x 尺，则门框的宽为（ x －4）尺，门框的高为 （ x －2）尺. 根据题意，得 x2＝（ x －2）2＋（ x －4）2. 整理，得 x2－12 x ＋20＝0. 配方，得（ x －6）2＝16. 解得 x1＝10， x2＝2（不合题意，舍去）. 故竹竿的长度为10尺. 数学 九年级上册 BS版 9. 已知一元二次方程 x2－2 x ＝3 599的两根为 x1＝ a ， x2＝ b ，且 a ＞ b ，则2 a － b 的值为 ⁠. 10. 已知（2 x ＋1）2＋2（2 x ＋1）－4＝0，则 x ＝ ⁠ ⁠. 181　 或 － 　 数学 九年级上册 BS版 【解析】令2 x ＋1＝ y ，则原方程可化为 y2＋2 y －4＝0.解得 y ＝ －1，或 y ＝－ －1.若 y ＝ －1，则2 x ＋1＝ －1，解 得 x ＝ ；若 y ＝－ －1，则2 x ＋1＝－ －1，解得 x ＝ － .综上所述， x ＝ 或－ .故答案为 或－ . 数学 九年级上册 BS版 11. 如图，有一块矩形硬纸板长50 cm、宽30 cm.在其四个角各剪 去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个 无盖的长方体盒子.当剪去正方形的边长取何值时，所得长方体 盒子的侧面积为600 cm2？ 数学 九年级上册 BS版 解：设剪去正方形的边长为 x cm.根据题意，得2 x （50－2 x ）＋ 2 x （30－2 x ）＝600.整理，得 x2－20 x ＋75＝0.移项，得 x2－20 x ＝－75.配方，得 x2－20 x ＋100＝－75＋100，即（ x －10）2＝ 25，解得 x1＝5， x2＝15.当 x ＝15时，30－2 x ＝0，不符合题 意，舍去.∴ x ＝5.故当剪去正方形的边长为5 cm 时，所得长方 体盒子的侧面积为600 cm2. 数学 九年级上册 BS版 12. 对于实数 p ， q ，我们用符号min{ p ， q }表示 p ， q 两数中较 小的数，如min{1，2}＝1，min{－ ，－ }＝－ .若 min{（ x －1）2， x2}＝1，求满足条件的 x 的值. 解：①若min{（ x －1）2， x2}＝（ x －1）2＝1，则 x ＝2或0. 当 x ＝2时， x2＝4＞1，符合； 当 x ＝0时， x2＝0＜1，不符合. ②若min{（ x －1）2， x2}＝ x2＝1，则 x ＝1或－1. 当 x ＝1时，（ x －1）2＝0＜1，不符合； 当 x ＝－1时，（ x －1）2＝4＞1，符合. 综上所述， x 的值为2或－1. 数学 九年级上册 BS版 13. （选做）有 n 个方程： x2＋2 x －8＝0； x2＋2×2 x －8×22＝ 0；…； x2＋2 nx －8 n2＝0.小明解第1个方程 x2＋2 x －8＝0的步 骤如下：① x2＋2 x ＝8；② x2＋2 x ＋1＝8＋1；③（ x ＋1）2＝ 9；④ x ＋1＝±3；⑤ x ＝1±3；⑥ x1＝4， x2＝－2. （1）小明的解法是从第几步开始出现错误的？请写出正确 的步骤. 解：（1）小明的解法是从第⑤步开始出现错误.正确的步骤如 下：① x2＋2 x ＝8；② x2＋2 x ＋1＝8＋1；③（ x ＋1）2＝9；④ x ＋1＝±3；⑤ x ＝－1±3；⑥ x1＝2， x2＝－4. 数学 九年级上册 BS版 （2）用配方法解第 n 个方程 x2＋2 nx －8 n2＝0（用含有 n 的式子 表示方程的根）. 解：（2）把常数项移到方程的右边，得 x2＋2 nx ＝8 n2.两边都 加上 n2，得 x2＋2 nx ＋ n2＝8 n2＋ n2，即（ x ＋ n ）2＝9 n2.两边开 平方，得 x ＋ n ＝±3 n .∴ x1＝2 n ， x2＝－4 n . 数学 九年级上册 BS版 （3）根据方程 x2＋2 nx －8 n2＝0的解，直接写出方程 x2＋40 x － 3 200＝0的解. 解：（3）原方程可化为 x2＋2×20 x －8×202＝0.由（2）可知， x2＋40 x －3 200＝0的解为 x ＝2×20，或 x ＝－4×20，即 x1＝ 40， x2＝－80. 数学 九年级上册 BS版 演示完毕 谢谢观看 数学 九年级上册 BS版 $$第二章　一元二次方程 3　用公式法求解一元二次方程(第一课时) 数学 九年级上册 BS版 1. 利用求根公式求方程5 x2＋ ＝6 x 的根时， a ， b ， c 的值分别 是（　C　） A. 5， ，6 B. 5，6， C. 5，－6， D. 5，－6，－ C 数学 九年级上册 BS版 2. 方程4 x2－2 x －1＝0的根的情况为（　B　） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 3. 方程 x2＋4 x －2＝0的正根为（　D　） A. 2－ B. 2＋ C. －2－ D. －2＋ B D 数学 九年级上册 BS版 4. 利用求根公式解方程2 x2－7 x ＋1＝0时，其中 b2－4 ac ＝ ，则 x1＝ 　 　， x2＝ 　 　. 5. （2023·武威）关于 x 的一元二次方程 x2＋2 x ＋4 c ＝0有两个 不相等的实数根，则 c ＝ ⁠ （写出一个满足条件的值）. 6. 已知 x1， x2是方程 x2－2 x －1＝0的两根，则 x1， x2，－2 ， 2 的中位数是 ⁠. 41　 　 　 －2（答案不唯一，合理即可）　 1　 数学 九年级上册 BS版 （1） x2＋2 x －2＝0； 解：∵ a ＝1， b ＝2， c ＝－2， ∴ b2－4 ac ＝22－4×1×（－2）＝12. ∴ x ＝ ＝－1± ， 即 x1＝－1＋ ， x2＝－1－ . 7. 用公式法解下列方程： 数学 九年级上册 BS版 （2）3 x2＋1＝2 x ； 解：将原方程化为一般形式，得3 x2－2 x ＋1＝0. 这里 a ＝3， b ＝－2 ， c ＝1. ∴ b2－4 ac ＝（－2 ）2－4×3×1＝0. ∴ x ＝ ＝ ，即 x1＝ x2＝ . 数学 九年级上册 BS版 （3）（ x －5）（ x ＋2）＝8. 解：将原方程化为一般形式，得 x2－3 x －18＝0. 这里 a ＝1， b ＝－3， c ＝－18. ∴ b2－4 ac ＝（－3）2－4×1×（－18）＝81. ∴ x ＝ ＝ ， 即 x1＝6， x2＝－3. 数学 九年级上册 BS版 8. 用适当的方法解下列方程： （1）4（ x －5）2＝16； 解：原方程可化为（ x －5）2＝4. 方程两边开平方，得 x －5＝±2. ∴ x1＝7， x2＝3. （2） x2－4 x ＝8； 解：配方，得（ x －2）2＝12. 方程两边开平方，得 x －2＝±2 . ∴ x1＝2＋2 ， x2＝2－2 . 数学 九年级上册 BS版 （3）3 x2＝4－2 x ； 解：将原方程化为一般形式，得3 x2＋2 x －4＝0. 这里 a ＝3， b ＝2， c ＝－4. ∴ b2－4 ac ＝22－4×3×（－4）＝52. ∴ x ＝ ＝ ， 即 x1＝ ， x2＝ . 数学 九年级上册 BS版 （4） x （ x －2）＝ x －5. 解：将原方程化为一般形式，得 x2－3 x ＋5＝0. 这里 a ＝1， b ＝－3， c ＝5. ∴ b2－4 ac ＝（－3）2－4×1×5＝－11＜0. ∴原方程无实数根. 数学 九年级上册 BS版 9. 已知关于 x 的一元二次方程 x2－2 ax ＋ a2＋ a －1＝0有两个实 数根，化简： ＋ ＝ ⁠. 10. 若 x ， y 满足方程 x2＋3 xy －2 y2＝0，且 xy ≠0，则 ＝ ⁠. 3－2 a 　 　 数学 九年级上册 BS版 解：由题意，得 m2＋1＝2且 m ＋1≠0. 解得 m ＝1或－1，且 m ≠－1. ∴ m ＝1. 故当 m ＝1时，原方程为一元二次方程. 原方程可化为2 x2－2 x －1＝0. 解得 x1＝ ， x2＝ . 11. 当 m 为何值时，关于 x 的方程（ m ＋1） ＋（ m －3） x －1＝0（ x ≠0）是一元二次方程？并求出此方程的解. 数学 九年级上册 BS版 12. 已知关于 x 的一元二次方程 x2－（2 m ＋1） x ＋ m2＋ m ＝0. （1）求证：该一元二次方程总有两个不相等的实数根； （1）证明：在 x2－（2 m ＋1） x ＋ m2＋ m ＝0中， a ＝1， b ＝－（2 m ＋1）， c ＝ m2＋ m . ∴ b2－4 ac ＝[－（2 m ＋1）]2－4（ m2＋ m ）＝1＞0. ∴该一元二次方程总有两个不相等的实数根. 数学 九年级上册 BS版 （2）解：由公式法，得 x ＝ . ∴ x1＝ m ， x2＝ m ＋1. ∴ x1≠ x2. 若 x1为腰长， x2为底边长，则3 m ＋1＝10，解得 m ＝3； 若 x2为腰长， x1为底边长，则3 m ＋2＝10，解得 m ＝ . 综上所述， m 的值为3或 . （2）若该方程的两根 x1， x2是某个等腰三角形的两边长，且该 三角形的周长为10，试求 m 的值. 数学 九年级上册 BS版 13. （选做）请阅读下面的材料. 在学习解一元二次方程后，对于某些不是一元二次的方程，我 们可以通过变形将其转化为一元二次方程来解.例如： 解方程： x2－3｜ x ｜＋2＝0. 数学 九年级上册 BS版 解：设｜ x ｜＝ y ，则原方程可化为 y2－3 y ＋2＝0. 由公式法，解得 y1＝1， y2＝2. 当 y ＝1时，｜ x ｜＝1，∴ x ＝±1； 当 y ＝2时，｜ x ｜＝2，∴ x ＝±2. 综上所述，原方程的解为 x1＝1， x2＝－1， x3＝2， x4＝－2. 上述解方程的方法叫做“换元法”. 请用“换元法”解决下列问题： 数学 九年级上册 BS版 （1）解方程： x4－10 x2＋9＝0； 解：（1）设 x2＝ y ，则原方程可化为 y2－10 y ＋9＝0，解得 y1＝ 9， y2＝1. 当 y ＝9时， x2＝9，解得 x1＝3， x2＝－3. 当 y ＝1时， x2＝1，解得 x1＝1， x2＝－1. ∴原方程的解为 x1＝3， x2＝－3， x3＝1， x4＝－1. 数学 九年级上册 BS版 （2）若实数 x 满足 x2＋ －3 x － ＝2，求 x ＋ 的值. 解：（2）设 x ＋ ＝ y ，则原方程可化为 y2－2－3 y ＝2，即 y2－ 3 y －4＝0. 解得 y1＝－1， y2＝4， 即 x ＋ ＝－1，或 x ＋ ＝4. 若 x ＋ ＝－1，则整理，得 x2＋ x ＋1＝0. ∵Δ＝12－4×1×1＝－3＜0， ∴此方程无解，不符合题意； 数学 九年级上册 BS版 若 x ＋ ＝4，则整理，得 x2－4 x ＋1＝0. ∵Δ＝（－4）2－4×1×1＝12＞0， ∴此方程有两个实数解，符合题意. 综上所述， x ＋ ＝4. 数学 九年级上册 BS版 演示完毕 谢谢观看 数学 九年级上册 BS版 $$