直线的方程专题讲义-2025届高三数学一轮复习

高三第一轮复习 直线的方程 直线的方程 教师版 【课前预习】 一、知识梳理 1.直线的方向向量与法向量 与直线平行的非零向量叫做直线的方向向量，与直线垂直的向量叫做直线的法向量. 2.直线倾斜角和斜率 (1)直线的倾斜角： 设直线与轴相交于点，将轴绕点按逆时针方向旋转至与直线重合时所成的最小正角叫做直线的倾斜角。 规定直线与轴平行或重合时，直线的倾斜角为,因此直线倾斜角的范围是. (2)直线的斜率：当直线的倾斜角时，把的正切值叫做直线的斜率，当时，直线的斜率不存在. 经过两点的直线的斜率。 3.直线方程的几种形式： (1)过定点，方向向量为，直线的点方向式方程：。 (2)过定点，法向量为，直线的点法向式方程： 。 (3)过点, 斜率为k，直线的点斜式方程. 特别地, 当斜率为k的直线与y轴交于时, 直线的斜截式方程：，实数b称为该直线在y轴上的截距, 简称截距。 (4)直线的一般式方程：(其中不同时为零)。 4.直线方程及基本量间的关系： 直线方程 法向量 斜率 倾斜角 二．基础练习 1.已知直线经过两点，则 (1)直线的一个方向向量_____；一个法向量 ；斜率= ；倾斜角等于____； (2)直线的点斜式方程是 ；点法向式方程是 ；一般式方程是______。 2.下列关于直线的方向向量的说法, 正确的是....................................( ) A. 直线的方向向量唯一 B. 平行于方向向量的向量都是方向向量 C. 任意直线的方程都可化成的形式 D. 任意直线的都可以用点方向式方程表示 3.设是直线的倾斜角，且，则的值为( ) A. B. C. D. 4．直线过点，且其一个法向量，则的方程是 。 5.直线过点，且其一个法向量与向量垂直，则的方程是______。 6.过直线与直线的交点P, 且平行于直线的直线的方程是______________. 【例题解析】 例1．已知三点、、 (1)证明三点、、不共线； (2)若直线过点，且与以、为端点的线段相交，求直线的斜率和倾斜角的取值范围。 例2.分别求满足下列条件的直线的方程. (1)倾斜角为, 与y轴交点到原点距离等于2; (2)过原点, 且倾斜角为直线的倾斜角的两倍. (3)中，已知，则边所在直线方程是 ，边上的高所在直线的方程是 . 例3.已知直线和, 若的方向向量是的法向量, 求a的值. 例4.已知直线l经过点, 且与x轴, y轴的正半轴分别交于A,B两点, (1)当面积最小时, 求直线l的方程; (2)当取最小值时, 求直线l的方程, 并求此最小值. 例5.已知两点, 在直线上求点P, 使 (1)最大；(2) 最小 直线的方程 【巩固练习】 1. 直线的倾斜角是（ ） (A) (B) (C) (D) 2. 由下列条件，写出直线的方程，并化成一般式： (1) 斜率是，经过点 (2)经过点B(4，2)，平行于轴 (3) 经过点,平行于轴 (4)在轴和轴上的截距分别为 (5)经过两点 (6)在轴上的截距是，倾斜角是 3. 过点，并且在两轴上的截距相等的直线方程为 4.已知两条直线和，其中为实数，当这两条直线的夹角在内变动时，实数的取值范围是____________. 5．若直线不经过第一象限, 则k的取值范围是___________; 6. 直线上有两点，求直线的倾斜角的取值范围。 7. 已知点, 直线的方程为, （1）求过点, 倾斜角为直线的倾斜角一半的直线方程； （2）求过点, 倾斜角比直线的倾斜角大的直线方程. 8．光线从点出发, 先经x轴反射, 然后再经y轴反射后达到, 求光线从点M到点N所经过的路程. 9．已知直线及点, 求与直线l平行, 分别交x轴, y轴于A,B两点, 并使的面积等于的直线方程. 10.点P是直线l上的点, 将直线l绕P逆时针旋转角, 得到直线方程是, 若将它继续旋转角, 得到的直线方程是, 求直线l的方程. 【提高练习】 11.设若动点满足，求的取值范围. 12.已知直线和点，过点的直线与在第一象限交于点，与轴交于点，若为等边三角形，求点的坐标. 7 学科网（北京）股份有限公司 $$高三第一轮复习 直线的方程 直线的方程 教师版 【课前预习】 一、知识梳理 1.直线的方向向量与法向量 与直线平行的非零向量叫做直线的方向向量，与直线垂直的向量叫做直线的法向量. 2.直线倾斜角和斜率 (1)直线的倾斜角： 设直线与轴相交于点，将轴绕点按逆时针方向旋转至与直线重合时所成的最小正角叫做直线的倾斜角。 规定直线与轴平行或重合时，直线的倾斜角为,因此直线倾斜角的范围是. (2)直线的斜率：当直线的倾斜角时，把的正切值叫做直线的斜率，当时，直线的斜率不存在. 经过两点的直线的斜率。 3.直线方程的几种形式： (1)过定点，方向向量为，直线的点方向式方程：。 (2)过定点，法向量为，直线的点法向式方程： 。 (3)过点, 斜率为k，直线的点斜式方程. 特别地, 当斜率为k的直线与y轴交于时, 直线的斜截式方程：，实数b称为该直线在y轴上的截距, 简称截距。 (4)直线的一般式方程：(其中不同时为零)。 4.直线方程及基本量间的关系： 直线方程 法向量 斜率 倾斜角 二．基础练习 1.已知直线经过两点，则 (1)直线的一个方向向量；一个法向量 ；斜率= 2 ；倾斜角等于； (2)直线的点斜式方程是 ；点法向式方程是 ；一般式方程是。 2.下列关于直线的方向向量的说法, 正确的是..................................【答案】..( C ) A. 直线的方向向量唯一 B. 平行于方向向量的向量都是方向向量 C. 任意直线的方程都可化成的形式 D. 任意直线的都可以用点方向式方程表示 3.设是直线的倾斜角，且，则的值为( B ) A. B. C. D. 4．直线过点，且其一个法向量，则的方程是 。 5.直线过点，且其一个法向量与向量垂直，则的方程是 。 6.过直线与直线的交点P, 且平行于直线的直线的方程是______________. 【例题解析】 例1．已知三点、、 (1)证明三点、、不共线； (2)若直线过点，且与以、为端点的线段相交，求直线的斜率和倾斜角的取值范围。 解：(1)，故三点不共线。 (2)结合图形，由直线的位置变化及直线倾斜角和 斜率的数量关系：如右图，得出； 。 例2.分别求满足下列条件的直线的方程. (1)倾斜角为, 与y轴交点到原点距离等于2; 解: , 即直线与x轴平行, 由题意, 直线与y轴的交点为或者, 因此直线的方程为或者. (2)过原点, 且倾斜角为直线的倾斜角的两倍. 解: 设直线的倾斜角为, 则所求直线的倾斜角为, , 即所求直线的斜率为, 因此所求直线为. (3)中，已知，则边所在直线方程是 ，边上的高所在直线的方程是 . 例3.已知直线和, 若的方向向量是的法向量, 求a的值. 解: 由题意, 直线,设两直线的法向量为, 则, 则, 解得. 例4.已知直线l经过点, 且与x轴, y轴的正半轴分别交于A,B两点, (1)当面积最小时, 求直线l的方程; (2)当取最小值时, 求直线l的方程, 并求此最小值. 解: (1)如图所示, 设, 则, , 等号成立,由直线的倾斜角为, 得, 即所求直线方程为. (2), 则,显然当时, 达到最小值4,此时直线的倾斜角为, 对应的斜率为, 因此直线的方程为. 例5.已知两点, 在直线上求点P, 使 (1)最大；(2) 最小 解: （1）由三角不等式可知: , 等号成立在AB或BA的延长线上, , , 由可知, 点A,B在直线l的同侧,因此l交于AB或BA的延长线上, 则P即为l与的交点,易得, 化简为, 联立方程得, 解得, 因此所求点P的坐标为. （2）关于直线的对称点，可求得，则 直线的方程 【巩固练习】 1. 直线的倾斜角是（ ）C (A) (B) (C) (D) 2. 由下列条件，写出直线的方程，并化成一般式： (1) 斜率是 ，经过点 (2)经过点B(4，2)，平行于轴 (3) 经过点,平行于轴 (4)在轴和轴上的截距分别为 (5)经过两点 (6)在轴上的截距是，倾斜角是 解：（1） （2） （3） （4） （5） （6） 3. 过点，并且在两轴上的截距相等的直线方程为 或 4.已知两条直线和，其中为实数，当这两条直线的夹角在内变动时，实数的取值范围是____________. 解: 显然都过原点, 且的倾斜角为,则的倾斜角的范围是, 而实数a是的斜率, 因此取值范围是. 5．若直线不经过第一象限, 则k的取值范围是___________; 解: , 若, 则直线为, 符合题意; 若, 则方程可化为, 由此可知.综上 6. 直线上有两点，求直线的倾斜角的取值范围。 解: 直线l的斜率为, 显然, 当时, 对应的倾斜角的范围是; 当时, 对应的倾斜角的范围是, 综上所述, 倾斜角的取值范围是. 7. 已知点, 直线的方程为, （1）求过点, 倾斜角为直线的倾斜角一半的直线方程； （2）求过点, 倾斜角比直线的倾斜角大的直线方程. 解: (1). (2). 8．光线从点出发, 先经x轴反射, 然后再经y轴反射后达到, 求光线从点M到点N所经过的路程. 解: 如图所示, 设M关于x轴的对称点为, N关于y轴的对称点为, 则的坐标分别为和, 则由可知四点共线, 则直线的方程为, 因此点P,Q的坐标分别为和, 则. 9．已知直线及点, 求与直线l平行, 分别交x轴, y轴于A,B两点, 并使的面积等于的直线方程. 解: 设所求直线为, 则点A的坐标为, 点B的坐标为, 则, 另一方面, 三角形的高为两平行线间的距离, , 则, 解得或, 或者, 此时方程无解, 综上所述, 所求直线方程为或者. 10.点P是直线l上的点, 将直线l绕P逆时针旋转角, 得到直线方程是, 若将它继续旋转角, 得到的直线方程是, 求直线l的方程. 解: 点P是直线与直线的交点,联立两直线方程, 得, 解得, 另一方面, 两次旋转后, 直线l被逆时针旋转了, 即, 即l的一个法向量是, 因此直线l的方程是, 整理得. 【提高练习】 11.设若动点满足，求的取值范围. 12.已知直线和点，过点的直线与在第一象限交于点，与轴交于点，若为等边三角形，求点的坐标. 7 学科网（北京）股份有限公司 $$