向量的数量积及其应用专题讲义-2025届高三数学一轮复习

高三第一轮复习 向量的数量积及其应用 向量的数量积及其应用 教师版 【课前预习】 一、知识梳理 1.向量的数量积 (1)非零向量的夹角是指，规定零向量与任意向量的夹角根据需要确定. (2)设向量的夹角为, 则定义向量的数量积为一个实数, 记作, 满足:； (3)的几何意义 如图所示, 把叫做向量在向量上的数量投影, 则非零向量的数量积的等于向量的模与在向量上的数量投影的乘积. 说明：当为锐角时数量投影为正值，当为钝角时数量投影为负值，当为直角时数量投影为0； (4)非零向量的夹角计算公式:. 2．数量积的运算法则 (1)(交换律). (2)(分配律). 3.数量积的坐标表示 设, 则,设为非零向量的夹角, 则有. 4.向量的平行 两个非零向量的方向相同或相反, 则称它们是平行的向量. 规定零向量与任意向量平行. (1)两个非零向量平行的充要条件是存在实数使得. (2)结合向量的数量积可知: . (3)设, 则. 5.向量的垂直 两个非零向量所在的直线垂直, 则称这两个向量垂直. 规定零向量与任意向量垂直. 结合向量的数量积, 两个向量垂直的充要条件是: ; 结合坐标表示, 若有, 则. 二、基础练习 1.已知向量同向, 且, 则___________; 2.(1)已知，则与的夹角等于 . (2)已知向量, 且, 则向量________, 两者夹角_______. 3.设, 且, 则实数______. 4.已知, 若, 则实数_____. 5.(1)若向量, 则当_______时, 向量的方向相同; (2)已知非零向量与, 若满足, 则与的大小关系是______; 若满足, 则向量与的位置关系是___ _ 6.在直角中，，，，为斜边的中点，则 . 【例题解析】 例1.已知，，. 求(1) ；(2) . 例2.已知，，与的夹角为. 求使与的夹角是锐角时，的取值范围. 例3.已知的三边满足. 判断的形状. 例4．在等腰直角中，，为斜边的中点，是上任意一点，于，于. 求证：. 例5.已知向量函数. (1)若，且，求的值. (2)求函数的单调增区间以及取得最大值时，与的夹角. 【巩固练习】 1.已知向量的夹角为, 且, 则_______; 2.已知, 若, 则____; 3.已知，则与的夹角的取值范围是 . 4. 已知向量, 若, 且, 试求向量的坐标, 使得. 5. 已知, (1)若, 求的值; (2)若, 求的值; 6. 已知单位向量两两夹角为, , (1)求证: ; (2)若, 求实数的取值范围. 7.若，与的夹角为，. 求与夹角. 8.设两个向量满足, 的夹角为, 若向量与向量的夹角为钝角, 求实数的取值范围. 9.已知单位向量两两夹角为, 记, (1)求的解析式; (2)求的最大值. 【提高练习】 10.平面上三点不共线，设，则的面积等于( ) A. B. C. D. 11.求函数的最大值。 5 学科网（北京）股份有限公司 $$高三第一轮复习 向量的数量积及其应用 向量的数量积及其应用 教师版 【课前预习】 一、知识梳理 1.向量的数量积 (1)非零向量的夹角是指，规定零向量与任意向量的夹角根据需要确定. (2)设向量的夹角为, 则定义向量的数量积为一个实数, 记作, 满足:； (3)的几何意义 如图所示, 把叫做向量在向量上的数量投影, 则非零向量的数量积的等于向量的模与在向量上的数量投影的乘积. 说明：当为锐角时数量投影为正值，当为钝角时数量投影为负值，当为直角时数量投影为0； (4)非零向量的夹角计算公式:. 2．数量积的运算法则 (1)(交换律). (2)(分配律). 3.数量积的坐标表示 设, 则,设为非零向量的夹角, 则有. 4.向量的平行 两个非零向量的方向相同或相反, 则称它们是平行的向量. 规定零向量与任意向量平行. (1)两个非零向量平行的充要条件是存在实数使得. (2)结合向量的数量积可知: . (3)设, 则. 5.向量的垂直 两个非零向量所在的直线垂直, 则称这两个向量垂直. 规定零向量与任意向量垂直. 结合向量的数量积, 两个向量垂直的充要条件是: ; 结合坐标表示, 若有, 则. 二、基础练习 1.已知向量同向, 且, 则___________; 解: 设, 则, 即. 2.(1)已知，则与的夹角等于 . (2)已知向量, 且, 则向量________, 两者夹角_______. 解: 设且, 则, 解方程组得, 显然同向平行, 因此其夹角为0. 3.设, 且, 则实数______. 4.已知, 若, 则实数_____. 5.(1)若向量, 则当_______时, 向量的方向相同; (2)已知非零向量与, 若满足, 则与的大小关系是______; 若满足, 则向量与的位置关系是___ ____. 解: 如图所示, 向量分别是以为对应边的平行四边形的对角线. 6.在直角中，，，，为斜边的中点，则 . 【例题解析】 例1.已知，，. 求(1) ；(2) . 分析 怎样构造出是关键，而，于是问题归结为如何发现的值．根据向量数量积的运算性质：，，建立向量数量积与向量模之间的联系，问题就易解决了． 解 (1) 由已知得 ，即 则 .所以=. (2) 因为 ，所以=. 例2.已知，，与的夹角为. 求使与的夹角是锐角时，的取值范围. 分析 解决向量的夹角问题，一般可以用公式． 解 设与的夹角为. 由条件得 . 又. ∵是锐角，∴，即 ， 解得， 或. 若//，可设， 则，得 . 当时，；当时，. 综上所述， . 反思 利用余弦值的符号判断向量夹角范围时，容易忽视和的情况． 例3.已知的三边满足. 判断的形状. 分析 判断三角形的形状，一般可以从边或角出发思考．此题的条件给出了三角形三边所对应向量之间的运算，我们可以利用向量运算的性质求解． 解 化简条件等式： ∵ ∴ ， 即 .得到 所以 ，是直角三角形. 反思 事实上，也可用如下的思路来探索： ． 注意到，. 所以，整理原等式得 . 例4．在等腰直角中，，为斜边的中点，是上任意一点，于，于. 求证：. ( x y B E D A G (C) O F )分析 利用已知条件中的“等腰直角”，建立适当的直角坐标系． 解 如图建立直角坐标系. 设，则. 设，则. ∵ 是上的点， ∴ . 即 ，化简 . 又 ∵ ，， ∴ . 则 ，. 由 =0 所以，. 例5.已知向量函数. (1)若，且，求的值. (2)求函数的单调增区间以及取得最大值时，与的夹角. 解 (1). 或. (2)，增区间是. 当时，. 【巩固练习】 1.已知向量的夹角为, 且, 则_______; 2.已知, 若, 则__或__; 3.已知，则与的夹角的取值范围是 . 4. 已知向量, 若, 且, 试求向量的坐标, 使得. 解: 由, 设, 则, 由得, 即, 则. 5. 已知, (1)若, 求的值; (2)若, 求的值; 解: (1), 由; (2)由; 6. 已知单位向量两两夹角为, , (1)求证: ; (2)若, 求实数的取值范围. 证明: (1), 即; 解: (2), 展开得. 7.若，与的夹角为，. 求与夹角. 分析 讨论的夹角，可以联想到两个向量的数量积. 解 ∵ =， ∴ =. 由 ，得 ， ，得 . 设 与的夹角为， 则 ， 所以 与的夹角为. 反思 向量的和（差）平方与两数和（差）的平方公式在形式上是相同的，但要注意在向量运算中：=. 8.设两个向量满足, 的夹角为, 若向量与向量的夹角为钝角, 求实数的取值范围. 解: 即, , 解得; 另一方面, 与不平行, 即, 解得, 综上所述, , 且. 9.已知单位向量两两夹角为, 记, (1)求的解析式; (2)求的最大值. 解: (1), 由两两夹角为, 且为单位向量, 则, 代入得, 因此; (2)由函数在定义域上单调递减, 即求的最小值, 由, 当时, 取到最小值为0, 因此当时, 取到最大值, 为1. 【提高练习】 10.平面上三点不共线，设，则的面积等于( C ) A. B. C. D. 11.求函数的最大值。 分析 依据函数式的特点，构造两个向量，并使它们的模之积恰为定值，为使用向量不等式创造了必要的条件。 解 设，，则 ，当与同向，即，，时，不等式取等号。 故最小值为。 5 学科网（北京）股份有限公司 $$