7.5正态分布同步练习-2023-2024学年高二下学期数学人教A版(2019）选择性必修第三册

7.5 正态分布（同步练习） 一、选择题 1.已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，P(ξ≤4)＝0.84，则P(ξ<0)＝(　　) A.0.16 B.0.32 C.0.68 D.0.84 2.已知随机变量ξ服从正态分布N(3，σ2)，P(ξ≤4)＝0.68，则P(ξ≥2)＝(　　) A.0.84 B.0.68 C.0.32 D.0.16 3.在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，σ2)(σ＞0)，若ξ在(0，2)内取值的概率为0.8，则ξ在(0，1)内取值的概率为(　　) A.0.1 B.0.2 C.0.4 D.0.8 4.已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，则P(X<2)＝(　　) A. B. C. D. 5.已知随机变量ξ服从正态分布ξ～N(1，σ2)，若P(ξ>3)＝0.012，则P(－1≤ξ≤1)＝(　　) A.0.976 B.0.024 C.0.488 D.0.048 6.已知随机变量ξ服从正态分布ξ～N(0，σ2)．若P(ξ>2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)等于(　　) A.0.477 B.0.628 C.0.954 D.0.977 7.已知一次考试共有60名同学参加，考生成绩X～N(110，52)，据此估计，大约有57人的分数所在的区间为(　　) A.(90,100] B.(95,125] C.(100,120] D.(105,115] 8.(多选)以下关于正态密度曲线的说法中正确的有(　　) A.曲线都在x轴的上方，左右两侧与x轴无限接近，最终可与x轴相交 B.曲线关于直线x＝μ对称 C.曲线呈现“中间高，两边低”的钟形形状 D.曲线与x轴之间的面积为1 9.(多选)已知随机变量X服从正态分布N(100，102)，则下列选项正确的是(　　) (参考数值：随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ＜ξ＜μ＋3σ)≈0.997 3) A.E(X)＝100 B.D(X)＝100 C.P(X≥90)＝0.841 35 D.P(X≤120)＝0.998 7 二、填空题 10.已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，则P(ξ＜2)＝________ 11.若随机变量ξ服从正态分布N(9，16)，则P(－3＜ξ≤13)＝________ (参考数据：若ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜ξ≤μ＋σ)≈0.682 7；P(μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)≈0.954 5； P(μ－3σ＜ξ≤μ＋3σ)≈0.997 3) 12.有一种精密零件，其尺寸X(单位：mm)服从正态分布N(20，4)，若该批零件共有5 000个，则这批零件中尺寸在18～22 mm间的零件所占百分比为______，若规定尺寸在24～26 mm间的零件不合格，则这批零件中不合格的零件大约有________个． 13.如图，已知随机变量X～N(2，σ2)，若P(X<a)＝0.32，则P(a≤X<4－a)＝________ 三、解答题 14.在一次测试中，测试结果X服从正态分布N(2，σ2)(σ>0)，若X在(0，2)内取值的概率为0.2，求： (1)X在(0，4)内取值的概率；(2)P(X>4)． 15.设在一次数学考试中，某班学生的分数X～N(110，202)，且知试卷满分150分，这个班的学生共54人，求这个班在这次数学考试中及格(即90分以上)的人数和130分以上的人数． 16.搪瓷是涂烧在金属底坯表面上的无机玻璃瓷釉．搪瓷制品曾经是人们不可或缺的生活必备品，如厨房用具中的锅碗瓢盆、喝茶用到的杯子、洗脸用到的脸盆、婚嫁礼品等，可以说搪瓷制品浓缩了20世纪一个时代的记忆．某搪瓷设计公司新开发了一种新型复古搪瓷水杯，并交给生产水平不同的A和B两个厂生产．已知A厂生产的该种搪瓷水杯的等级系数X服从正态分布N(μ，0.25)，且P(X<6)＝，在电商平台上A厂生产的搪瓷水杯的零售价为36元/件，B厂生产的搪瓷水杯的零售价为30元/件． (1)①求A厂生产的搪瓷水杯的等级系数的平均值； ②若A厂生产了10 000件这种搪瓷水杯，记ξ表示这10 000件搪瓷水杯等级系数X位于区间[5.5，6.5]的产品件数，求E(ξ)． (2)从B厂生产的搪瓷水杯中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如图所示． 设L＝，若以“L的值越大，产品越具可购买性”为判断标准，根据以上数据，哪个工厂生产的搪瓷水杯更具可购买性？说明理由． 注：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3． 参考答案及解析： 一、选择题 1.A　解析：因为P(ξ≤4)＝0.84，μ＝2，所以P(ξ<0)＝P(ξ>4)＝1－P(ξ≤4)＝1－0.84＝0.16． 2.B　解析：因为随机变量ξ服从正态分布N(3，σ2)，所以密度曲线关于直线x＝3对称，由于P(ξ≤4)＝0.68，所以P(ξ>4)＝1－0.68＝0.32，所以P(ξ<2)＝0.32，所以P(ξ≥2)＝1－0.32＝0.68． 3.C　解析：∵ξ服从正态分布N(1，σ2)(σ＞0)，∴μ＝1， 又∵P(0＜ξ＜2)＝0.8，∴P(0＜ξ＜1)＝P(0＜ξ＜2)＝0.4． 4.D　解析：P(X<2)＝P(X>2)＝． 5.C　解析：由题意知，对称轴为x＝1， 则P(ξ<－1)＝P(ξ>3)＝0.012，故P(－1≤ξ≤1)＝＝0.488． 6.C 解析：∵随机变量ξ服从正态分布ξ～N(0，σ2)，∴正态曲线关于直线x＝0对称． 又P(ξ>2)＝0.023，∴P(ξ<－2)＝0.023，∴P(－2≤ξ≤2)＝1－P(ξ>2)－P(ξ<－2)＝1－2×0.023＝0.954. 7.C 解析：∵X～N(110,52)，∴μ＝110，σ＝5，又＝0.95≈P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝P(100<X≤120)． 8.BCD　解析：A中正态密度曲线与x轴永远不相交，A错，其余均正确． 9.ABC　解析：∵随机变量X服从正态分布N(100，102)，∴曲线关于x＝100对称， 根据题意，可得P(90＜X＜110)≈0.682 7，P(80＜X＜120)≈0.9545， ∴P(X≥90)≈0.5＋×0.682 7＝0.84135，故C正确；P(X≤120)≈0.5＋×0.954 5＝0.977 25，故D错误．而A，B都正确．故选ABC． 二、填空题 10.答案：0.5　 解析：∵随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，∴正态曲线的对称轴是x＝2.∴P(ξ＜2)＝0.5． 11.答案：0.84　 解析：∵随机变量ξ服从正态分布N(9，16)，∴对称轴方程为x＝μ＝9，σ＝4， 则P(－3＜ξ≤13)＝P(μ－3σ＜ξ≤μ＋σ)＝[P(μ－3σ＜ξ≤μ＋3σ)＋P(μ－σ＜ξ≤μ＋σ)]≈(0.997 3＋0.682 7)＝0.84． 12.答案：68.27%，107　 解析：∵X～N(20，4)，∴μ＝20，σ＝2，∴μ－σ＝18，μ＋σ＝22， 于是尺寸在18～22 mm间的零件所占的百分比大约是68.27%． ∵μ－3σ＝14，μ＋3σ＝26，μ－2σ＝16，μ＋2σ＝24， ∴尺寸在14～26 mm间的零件所占的百分比大约是99.73%，而尺寸在16～24 mm间的零件所占的百分比大约是95.45%． ∴尺寸在24～26 mm间的零件所占的百分比大约是＝2.14%．因此尺寸在24～26 mm间的零件大约有5 000×2.14%＝107(个)． ∴这批零件中不合格的零件大约有107个． 13.答案：0.36 解析：因为＝2，所以正态分布密度曲线图象的对称性可得：P(a≤X<4－a)＝1－2P(X<a)＝0.36. 三、解答题 14.解：(1)由X～N(2，σ2)知，对称轴x＝2，画出示意图， 因为P(0<X<2)＝P(2<X<4)，所以P(0<X<4)＝2P(0<X<2)＝2×0.2＝0.4． (2)P(X>4)＝[1－P(0<X<4)]＝(1－0.4)＝0.3． 15.解：μ＝110，σ＝20，μ＋σ＝130， 故分数在110～130之间的人数所占的百分比约是＝34.135%． μ－σ＝90，所以及格的人数所占的百分比约是＋50%＝84.135%， 130分以上人数所占的百分比约是＝15.865%． 所以及格的人数约为54×84.135%≈45(人)，130分以上的人数约为54×15.865%≈9(人)． 16.解：(1)①根据题意，P(X<6)＝，得μ＝6，即A厂生产的搪瓷水杯的等级系数的平均值为6． ②∵σ2＝0.25，∴σ＝0.5，则μ＋σ＝6.5，μ－σ＝5.5， 易知一件搪瓷水杯等级系数X位于区间[5.5，6.5]的概率约为0.682 7，依题意知ξ服从参数为10 000，0.682 7的二项分布，∴E(ξ)≈10 000×0.682 7＝6 827． (2)A厂生产的搪瓷水杯更具可购买性，理由如下： 用样本估计总体，可得B厂生产的搪瓷水杯的等级系数XB的平均值为(3.5×10＋4.5×8＋5.5×6＋6.5×5＋7.5×1)＝4.8． ∵A厂生产搪瓷水杯的等级系数的平均值为6，价格为36元/件，∴LA＝＝≈0.17， ∵B厂生产的搪瓷水杯的等级系数的平均值为4.8，价格为30元/件，∴LB＝＝0.16， 又∵0.17>0.16，∴A厂生产的搪瓷水杯更具可购买性． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$