8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 第八章 立体几何初步 8.3 简单几何体的表面积和体积 8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 P114 30 五月 2024 2 复习回顾 矩形面积公式： 三角形面积公式： 梯形面积公式： 长方体体积： 正方体体积： 在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，你知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？ 几何体表面积 展开图 平面图形面积 空间问题 平面问题 复习： 4 用纸量的大小跟围成几何体各个面的面积密切相关． 在生产生活中，会遇到包装盒用纸量的计算问题 为此，我们引入几何体表面积相关概念． 1、 表面积 新知探究 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和． 新知探究 正方体 1、 表面积 新知探究 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和． 长方体 1、 表面积 新知探究 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和． 棱锥 棱台 1、 表面积 棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？ h 正棱柱的侧面展开图 9 棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？ 正棱锥的侧面展开图 棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？ 侧面展开 h' h' 正棱台的侧面展开图 棱柱的侧面展开图是由平行四边形组成的平面图形，棱锥的侧面展开图是由三角形组成的平面图形，棱台的侧面展开图是由梯形组成的平面图形。 这样，求它们的表面积的问题就可转化为求平行四边形、三角形、梯形的面积问题。 棱柱、棱锥、棱台的表面积 棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和． h' 13 解：因为∆PBC是正三角形，其边长为a， 巩固新知 因此，四面体P-ABC的表面积 1、 表面积 巩固新知 补充练习： 已知一个正四棱锥P-ABCD的侧棱长为5，底面的边长为6，求它的表面积． 巩固新知 1.正六棱台的上、下底面边长分别是 2 cm 和 6 cm，侧棱长是 5 cm，求它的表面积. 练习：课本P116 新知探究 2、 体积 1、还记得以前学过的特殊棱柱——正方体、长方体的体积公式吗？ V正方体=a3(a为正方体的棱长) V长方体=abc(a、b、c为长方体的长、宽、高) V棱柱=sh 一般地，如果棱柱的底面积是S，高是h,那么这个棱柱的体积 2、棱柱的体积公式呢？ 正方体、长方体，以及正棱柱的体积公式可以统一为： V = Sh（S为底面面积，h为高） 一般棱柱的体积公式也是V = Sh，其中S为底面面积，h为高（即两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离。 h s 柱 体 如果一个棱柱和一个棱锥的底面积相等，高也相等，那么，棱柱的体积是棱锥的体积的3倍. 因此，一般地，如果棱锥的底面面积为S，高为h，那么该棱锥的体积 3、棱锥的体积呢？ 新知探究 2、 体积 4、棱台的体积又应该是怎样的呢？ 新知探究 2、 体积 新知探究 2、 体积 几何体 棱柱 棱台 棱锥 直 观 图 体 积 新知探究 2、 体积 课本P115思考 思考：柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？你能用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来解释这种关系吗？ S为底面面积，h为锥体高 、S 分别为上、下底面面积，h 为台体高 S为底面面积，h为柱体高 上底扩大 上底缩小 23 巩固新知 例2：如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体,下面部分是一个四棱锥,两部分的 高都是0.5m，公共面ABCD是边长为1m的正方形，那么这个漏斗的容积是多少 立方米（精准到0.01m3）? 课本P115例2 解： 如右下图，由题意知 V长方体ADCD-A'B'C'D'=1×1×0.5=0.5(m3)， V棱锥P-ABCD= ×1×1×0.5= (m3) 所以这个漏斗的容积 V=0.5+ = (m3) 巩固新知 2.如图是一个表面被涂上红色的棱长是 4 cm 的立方体，将其适当分割成棱长为 1 cm 的小立方体. （1）共得到多少个棱长是 1 cm 的小立方体? （2）三面是红色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？ （3）两面是红色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？ （4）一面是红色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？ （5）六个面均没有颜色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？它们占有多少立方厘米的空间？ （1）64 （2）8个。8×6=48cm2 （3）24个。24×6=144cm2 （4）24个。24×6=144cm2 （5）8个。8×6=48cm2。共占有8cm3 练习：课本P116 巩固新知 3.某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的 四面体得到的.如果被截正方体的棱长是50 cm，那么石凳的体积是多少？ 将厘米化为米 练习：课本P116 × √ √ 达标检测 27 A 达标检测 28 D 达标检测 29 达标检测 30 达标检测 31 各面面积之和 展开图 棱柱、棱锥、棱台 柱体、锥体、台体的体积 棱锥 棱台 棱柱 棱柱、棱锥、 棱台的体积 棱柱、棱锥、棱台的表面积 课堂小结 32 1、求几何体的表面积 通常将所给几何体分成基本几何体，再通过这些基本几何体的表面积进行求和或作差，从而获得几何体的表面积，另外有时也会用到将几何体展开求其展开图的面积进而得表面积． 课堂小结 2、求几何体体积的常用方法 作业 预习：圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 P119 习题8.3 第2题 1．判断正误 (1)锥体的体积等于底面积与高之积．(　　) (2)台体的体积，可转化为两个锥体体积之差．(　　) (3)正方体的表面积为96，则正方体的体积为64.(　　) 2．如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，则三棱锥D1­ACD的体积是(　　) A.eq \f(1,6)　　　　　　　　 B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,2) D．1 【解析】三棱锥D1­ADC的体积V＝eq \f(1,3)S△ADC×D1D＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×AD×DC×D1D＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,6). 3．已知高为3的棱柱ABC­A1B1C1的底面是边长为1的正三角形(如图)，则三棱锥B1­ABC的体积为(　　) A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,2) C.eq \f(\r(3),6) D.eq \f(\r(3),4) 4．把一个棱长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则所有小正方体的表面积为 ． 【解析】原正方体的棱长为a，切成的27个小正方体的棱长为eq \f(1,3)a，每个小正方体的表面积S1＝eq \f(1,9)a2×6＝eq \f(2,3)a2，所以27个小正方体的表面积是eq \f(2,3)a2×27＝18a2. 5．如图所示，三棱锥的顶点为P，PA，PB，PC为三条侧棱，且PA，PB，PC两两互相垂直，又PA＝2，PB＝3，PC＝4，求三棱锥P­ABC的体积V. 【解析】　三棱锥的体积V＝eq \f(1,3)Sh，其中S为底面积，h为高，而三棱锥的任意一个面都可以作为底面，所以此题可把B看作顶点，△PAC作为底面求解． 故V＝eq \f(1,3)S△PAC·PB＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×2×4×3＝4. $$