6.4.3.2 正弦定理课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第六章 平面向量及其应用 6.4 平面向量的应用 6.4.3 余弦定理、正弦定理 6.4.3.2 正弦定理 30 五月 2024 2 余弦定理 　　三角形任一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍． 复习回顾 推论： 探究：余弦定理及其推论分别给出了 已知两边及其夹角，已知三边直接解三角形的公式。如果已知两角和一边，是否也有相应的直接解三角形的公式呢？ 复习引入 在Rt△ABC中， a A B C b c 在锐角三角形和钝角三角形成立吗？ 探究新知 在锐角△ABC中， 探究新知 在钝角△ABC中， 探究新知 B C a c b 设Rt△ABC的外接圆的半径为R，则 思考：在任意△ABC中，是否有同样的结论成立？ A D c a b 外接圆半径 认识新知 正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 推论：1. （R是其外接圆半径） 认识新知 正弦定理的几个常用变形： （记一记） 巩固新知 （两角一边问题） 例8.在 中，已知 ，解这个三角形。 解：由正弦定理，得 所以 此时 因为 于是 或 （1）当 时， 此时 （2）当 时， 由正弦求角，须讨论角。 巩固新知 练习：P48 1. 2. 正弦定理： 利用正弦定理可以解决的问题： 1、已知三角形的任意两角与一边，求其他两边和另一角。 2、已知三角形的两边与其中一边的对角，求三角形的其他的边和角。 如果出现两个解，根据“三角形中大边对大角”来决定取舍！ 小结： 由正弦求角，须讨论角。 （两边一对角问题） 知两边及一边的对角 求另一边的对角的正弦值 正弦值=1 1个直角 正弦值≠1 锐角或钝角（可能1解可能2解及无解） 考查大边对大角 补充知识点 三角形面积公式 A C B b a c D CD=bsinA 达标检测 17 C 达标检测 18 达标检测 19 1 达标检测 20 达标检测 21 作业 预习余弦定理、正弦定理应用举例 1．判断正误 (1)正弦定理不适用直角三角形．(　　) (2)在△ABC中，bsin A＝asin B总成立．(　　) (3)在一确定的三角形中，各边与它所对角的正弦的比是一定值．(　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)√ 2．在△ABC中，若sin A>sin B，则有(　　) A．a<b B．a≥b C．a>b D．a，b的大小无法判定 【解析】因为eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，所以eq \f(a,b)＝eq \f(sin A,sin B). 因为在△ABC中，sin A>sin B>0，所以eq \f(a,b)＝eq \f(sin A,sin B)>1，所以a>b. 3．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝eq \r(2)，b＝eq \r(3)，B＝60°，那么A等于(　　) A．135°　　　B．90°　　　C．45°　　　D．30° 【解析】由eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)得sin A＝eq \f(asin B,b)＝eq \f(\r(2)×\f(\r(3),2),\r(3))＝eq \f(\r(2),2)， ∴A＝45°或135°. 又∵a<b，∴A<B，∴A＝45°. C 4．在△ABC中，A＝eq \f(2π,3)，a＝eq \r(3)c，则eq \f(b,c)＝ . 【解析】由eq \f(a,sin A)＝eq \f(c,sin C)得sin C＝eq \f(csin A,a)＝eq \f(1,\r(3))×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(1,2)， 又0<C<eq \f(π,3)，所以C＝eq \f(π,6)，B＝π－(A＋C)＝eq \f(π,6).所以eq \f(b,c)＝eq \f(sin B,sin C)＝eq \f(sin \f(π,6),sin \f(π,6))＝1. 5．已知在△ABC中，a＝eq \r(3)，b＝eq \r(2)，B＝45°，解这个三角形． 【解析】　由正弦定理及已知条件有eq \f(\r(3),sin A)＝eq \f(\r(2),sin 45°)，得sin A＝eq \f(\r(3),2). ∵a>b，∴A>B＝45°.∴A＝60°或120°. 当A＝60°时，C＝180°－45°－60°＝75°， c＝eq \f(bsin C,sin B)＝eq \f(\r(2)sin 75°,sin 45°)＝eq \f(\r(6)＋\r(2),2)； 当A＝120°时，C＝180°－45°－120°＝15°， c＝eq \f(bsin C,sin B)＝eq \f(\r(2)sin 15°,sin 45°)＝eq \f(\r(6)－\r(2),2). 综上，可知A＝60°，C＝75°，c＝eq \f(\r(6)＋\r(2),2)或A＝120°，C＝15°，c＝eq \f(\r(6)－\r(2),2). $$