6.4.3.1 余弦定理课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第六章 平面向量及其应用 6.4 平面向量的应用 6.4.3 余弦定理、正弦定理 6.4.3.1 余弦定理 30 五月 2024 2 1、向量的减法： 2、向量的数量积： b B A O a a-b 相同起点，尾尾相连，指向被减向量。 a·b=|a||b|cosθ 复习回顾 3 提出问题 证明三角形全等的方法： 这些判定方法表明，给定三角形的三个角、三条边这 六个元素中的某些元素，这个三角形就是唯一确定的. 我们接下来就利用向量方法研究这个问题 探究新知 所以 余弦定理 探究新知 余弦定理 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去 这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. 余弦定理可以解决哪类三角形问题？ 已知两边夹一角求第三边（SAS） 巩固新知 探究新知 余弦定理的推论： 已知三边求任意角（SSS） 巩固新知 探究新知 余弦定理与勾股定理的关系 余弦定理是勾股定理的推广，而勾股定理是余弦定理的特例 一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边 a，b，c叫做三角形的元素， 已知三角形的几个元素求其它元素的过程叫做解三角形。 探究新知 解三角形 已知三角形的几个元素求其他元素的过程. 两边一夹角问题 P43例5更改 探究新知 P44稍改 巩固新知 练习：P44 1.（2） 三边求角问题 3. 余弦定理及其推论： 利用余弦定理可以解决的问题： 1、已知两边和夹角求第三边。 2、已知三边求三角。 c2=a2+b2 - 2abcosC a2=b2+c2 - 2bccosA b2=c2+a2 - 2cacosB 小结： 达标检测 B 16 C 达标检测 17 等腰三角形 达标检测 18 达标检测 19 达标检测 20 作业 预习： 正弦定理 1．在△ABC中，a＝7，b＝4eq \r(3)，c＝eq \r(13)，则△ABC的最小角为(　　) A.eq \f(π,3)　　　　B.eq \f(π,6)　　　　C.eq \f(π,4)　　　　D.eq \f(π,12) 【解析】由三角形边角关系可知，角C为△ABC的最小角，则cos C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(72＋4\r(3)2－\r(13)2,2×7×4\r(3))＝eq \f(\r(3),2)，所以C＝eq \f(π,6)，故选B. 2．在△ABC中，已知a2＝b2＋c2＋bc，则角A等于(　　) A．60° B．45° C．120° D．30° 【解析】由cos A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝－eq \f(1,2)，∴A＝120°. 3．在△ABC中，若a＝2bcos C，则△ABC的形状为 ． 【解析】∵a＝2bcos C＝2b·eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(a2＋b2－c2,a)， ∴a2＝a2＋b2－c2，即b2＝c2，b＝c， ∴△ABC为等腰三角形． 4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝C,2b＝eq \r(3)a，则cos A＝ . 【解析】由B＝C,2b＝eq \r(3)a，可得b＝c＝eq \f(\r(3),2)a， 所以cos A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(\f(3,4)a2＋\f(3,4)a2－a2,2×\f(\r(3),2)a×\f(\r(3),2)a)＝eq \f(1,3). 5．在△ABC中，已知a＝5，b＝3，角C的余弦值是方程5x2＋7x－6＝0的根，求第三边c的长． 【解析】5x2＋7x－6＝0可化为(5x－3)·(x＋2)＝0， ∴x1＝eq \f(3,5)，x2＝－2(舍去)，∴cos C＝eq \f(3,5). 根据余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C ＝52＋32－2×5×3×eq \f(3,5)＝16， ∴c＝4，即第三边长为4. $$