5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 第五章 三 角 函 数 5.4三角函数的图像与性质 正弦、余弦函数的图象和性质 y=sinx y=cosx 定义域 值域 R [ - 1, 1 ] y=sinx y=cosx 1、周期性 一般地,对于函数f(x),如果存在一个非零常数T ,使得当 x 取定义域内的每一个值时,都有f( x+T )=f(x) , 那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期。 对于一个周期函数f(x) ,如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期。 正弦、余弦函数的图象和性质 可知: 函数y=sinx和y=cosx都是周期函数,2k (k∈Z且 k≠0)都是它的周期,最小正周期是 2 。 由sin(x+2k )=sinx ; cos(x+2k )=cosx (k∈Z) 正弦、余弦函数的图象和性质 【周期函数的理解】 ①对周期函数与周期定义中的“当 取定义域内的每一个值时”,要特别注意其中“每一个”的要求.如果只是对某些 有 ,那么T就不是 的周期. ②自变量 本身加的常数才是最小正周期.如 中 T 不是最小正周期,因为 ,所以 才是最小正周期. 正弦、余弦函数的图象和性质 【周期函数的理解】 ③周期函数的周期不唯一.若 T 是函数 的最小正周期,则 也是 函数 的周期为: ④并不是所有的周期函数都有最小正周期. 例如,对于函数 所有非零实数T都是它的周期,而最小正周期是不存在的, 所以常数函数没有最小正周期. 正弦、余弦函数的图象和性质 例2 求下列函数的周期: (1)y=3cosx; x∈R (2)y=sin2x,x∈R; 例题讲解 的最小正周期 正弦、余弦函数的图象和性质 由例2推广得求周期函数的最小正周期公式有: 一般地,函数 y=Asin( x+ ) 及y=Acos( x+ ) (其中A , , 为常数,且 A≠0, ≠0 )的周期是: 正弦、余弦函数的图象和性质 归纳总结 关于原点O对称, 为奇函数。 2.奇偶性 正弦、余弦函数的图象和性质 关于y轴对称, 为偶函数。 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 3.下列函数中,哪些是奇函数?哪些是偶函数? 【解】(1)奇函数 (2)偶函数 (3)奇函数 (4)奇函数 练习:P203 做一做 【答案】 A 做一做 归纳总结 3、单调性 当 在区间… …上时, 曲线逐渐上升,sinx的值由 增大到 。 当 在区间 上时,曲线逐渐下降, sinx的值由 减小到 。 y=sinx 正弦、余弦函数的图象和性质 正弦、余弦函数的图象和性质 y=sinx 正弦函数在每个闭区间 都是增函数,其值从-1增大到1; 而在每个闭区间 上都是减函数,其值从1减小到-1。 正弦、余弦函数的图象和性质 y=sinx 当 在区间 上时, 曲线逐渐上升,cosx的值由 增大到 。 曲线逐渐下降, sinx的值由 减小到 。 当 在区间 上时, y=cosx 正弦、余弦函数的图象和性质 正弦、余弦函数的图象和性质 y=cosx 由余弦函数的周期性知: 其值从1减小到-1。 而在每个闭区间 上都是减函数, 其值从-1增大到1 ; 在每个闭区间 都是增函数, 正弦、余弦函数的图象和性质 y=cosx 4.最大值和最小值 最大值: 当 时, 有最大值 最小值: 当 时, 有最小值 正弦、余弦函数的图象和性质 正弦函数的最大值和最小值: y=sinx 余弦函数的最大值和最小值 最大值: 当 时, 有最大值y=1 最小值: 当 时, 有最小值y=-1 正弦、余弦函数的图象和性质 4.最大值和最小值 y=cosx 例3 求下列函数的最大值和最小值,并写出取最大值、最小值时自变量x的集合 (1) y=cosx+1,x∈R; (2)y=-3sin2x,x∈R. 余弦函数对称性 对称轴: 对称中心: 正弦、余弦函数的图象和性质 5.对称性 y=cosx 正弦函数对称性 对称轴: 对称中心: 正弦、余弦函数的图象和性质 5.对称性 y=sinx R R [-1,1] [-1,1] 最小正周期为2 最小正周期为2 奇函数 偶函数 【正弦函数和余弦函数的性质对比】 小结 单调递增 单调递减 定义域 值域 最大值 最小值 奇偶性 周期性 y=sinx y=cosx 函数 性质 R R [-1,1] [-1,1] 仅当 时取得最大值1 仅当 时取得最大值1 仅当 时取得最小值-1 仅当 时取得最小值-1 奇函数 偶函数 正弦、余弦函数的奇偶性、单调性 奇函数 偶函数 [ +2k , +2k ],k Z 单调递增 [ +2k , +2k ],k Z 单调递减 [ +2k , 2k ],k Z 单调递增 [2k , 2k + ], k Z 单调递减 函数 余弦函数 正弦函数 求函数的单调区间: 1. 直接利用相关性质 2. 复合函数的单调性 3. 利用图象寻找单调区间 奇偶性 单调性(单调区间) 求三角函数周期的方法: (1)定义法:即利用周期函数的定义求解. (2)公式法:对形如y=Asin( x+ )或y=Acos( x+ ) (A, , 是常数,A≠0, ≠0)的函数,T=eq \f(2 ,| |). (3)图象法:即通过观察函数图象求其周期. 1.(1)函数f(x)=eq \r(2)sin 2x的奇偶性为 ( ) A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 【解析】 (1)∵f(x)的定义域是R, 且f(-x)=eq \r(2)sin 2(-x)=-eq \r(2)sin 2x=-f(x), ∴函数为奇函数. (2)判断函数f(x)=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)x+\f(3 ,2)))的奇偶性. 【解析】(2)∵f(x)=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)x+\f(3 ,2)))=-cos eq \f(3,4)x, ∴f(-x)=-coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(3,4)x))=-cos eq \f(3,4)x, ∴函数f(x)=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)x+\f(3 ,2)))为偶函数. 1.判断函数奇偶性应把握好的两个方面: 一看函数的定义域是否关于原点对称; 二看f(x)与f(-x)的关系. 2.对于三角函数奇偶性的判断,有时可根据诱导公式先将函数式化简 后再判断. $$