专题 正方形探究题（2024年九年级中考数学二轮复习）

专题 正方形探究题（中考二轮复习） 1、在正方形ABCD中，连接AC，点E在线段AD上，连接BE交AC于M，过点M作FM⊥BE交CD于F． （1）如图①，求证：∠ABE+∠CMF＝∠ACD； （2）如图②，求证：BM＝MF； （3）如图③，连接BF，若点E为AD的中点，AB＝6，求BF的长． 2、在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别在BC，AB上，AF＝CE，连接DE，过点F作FG⊥DE，垂足为G． （1）如图1，延长GF，交DA的延长线于H，请完成画图并证明：AH＝CD； （2）如图2，点E，F分别在CB，AB的延长线上，连接AG．求AG的长； （3）如图3，连接CG，求CG的最小值 3、(1)如图1，在正方形ABCD中，E是BC的中点，，EP与正方形的外角 的平分线交于P点．求证：AE＝EP； (2)如图2，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），是等腰直角三角形，，连接CP，求的大小． (3)如图3，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），是等腰直角三角形，，连接DP．当时，求周长的最小值． 4、（1）问题背景：如图1，E是正方形ABCD的边AD上的一点，过点C作CE⊥CF交AB的延长线于F，求证：CE＝CF； （2）尝试探究：如图2，在（1）的条件下，连接DB、EF交于M，请探究DM、BM与BF之间的数量关系，并证明你的结论． （3）拓展应用：如图3，在（2）的条件下，DB和CE交于点N，连接CM并延长交AB于点P，已知DE＝3，∠DME＝15°，求PB的长． 5、如图1，P为正方形ABCD的边BC上一动点（P与B、C不重合），点Q在CD边上， 且BP＝CQ，连接AP、BQ交于点E .（1）求证：AP⊥BQ； （2）当P运动到BC中点处时（如图2），连接DE，请你判断线段DE与AD之间的关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，过A点作AM⊥DE于点H，交BQ、CD于点N、M，若AB＝2，求QM的长度． 6、【实践探究】 （1）如图1，在正方形ABCD中，点N、M分别在边BC、CD上，连结AM、AN、MN．∠MAN＝45°，将△AMD绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE．易得：△AMD≌△ABE，且C，B，E三点共线，求证：EN＝NM． （2）如图2，在正方形ABCD中，点E，F在对角线BD上，且∠EAF＝45°，请你找出线段BE，EF，FD之间的数量关系，并说明理由． 【拓展应用】 （3）如图3，E、F在矩形ABCD的边BC、CD上，CE＝CF，BE＝4，DF＝3，∠EAF＝45°，直接写出EF的长． 7、如图1，正方形ABCD中，AC为对角线，点P在线段AC上运动，以DP为边向右作正方形DPFE，连接CE； 【初步探究】 （1）求证：AP＝CE，∠ACE＝90°； 【探索发现】 （2）点P在线段AC及其延长线上运动时，如图2，探究线段DC，PC和CE三者之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）点P在对角线AC的延长线上时，如图3，连接AE，若AB＝，AE＝，求四边形DCPE的面积． 8、背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图所示的位置摆放（点E、A、D在同一条直线上），发现BE＝DG且BE⊥DG． 小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答： （1）将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转（如图1），还能得到BE＝DG吗？若能，请给出证明；若不能，请说明理由； （2）把背景中的正方形分别改成菱形AEFG和菱形ABCD，将菱形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图2），试问当∠EAG与∠BAD的大小满足怎样的关系时，背景中的结论BE＝DG仍成立？请说明理由； （3）把背景中的正方形分别改写成矩形AEFG和矩形ABCD，且，AE＝4，AB＝8，将矩形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图3），连接DE，BG．小组发现：在旋转过程中，DE2+BG2的值是定值，请求出这个定值． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题 正方形探究题（中考二轮复习） 参考答案 1、（1）证明：如图，延长FM交AB于P，过M作MQ垂直AB ∵四边形ABCD为正方形 ∴∠ACD＝∠ACB＝∠AMQ＝45° ∴∠CMF＝∠APM ∵FM⊥BE ∴∠BMP＝90° ∴∠PMQ+∠QMB＝90° ∠ABE+∠QMB＝90° ∴∠ABE＝∠PMQ ∵∠AMQ＝∠APM+∠PMQ＝45° ∴∠ABE+∠CMF＝∠ACD （2）证明：如图，作QH∥BC交CD于H，交AB于Q ∵四边形ABCD为正方形 ∴∠CAB＝∠ACB＝∠AMQ＝45°，AB＝CB＝CD＝AD ∴AQ＝MQ＝HD ∴BQ＝MH ∵QH∥BC，FM⊥BE ∴∠BQM＝∠BMF＝∠MHF＝90° ∴∠QBM+∠QMB＝90° ∠HMF+∠QMB＝90° ∴∠QBM＝∠HMF 在△QBM和△MHF中，∠QBM＝∠HMF，BQ＝MH，∠BQM＝∠MHF ∴△QBM≌△MHF ∴BM＝FM （3）解：如图，作QH∥BC交CD于H，交AB于Q 由（2）得AQ＝MQ＝HD，BQ＝MH，△QBM≌△MHF ∴MQ＝HF ∵AB＝BC＝6 ∴AC＝6 ∵AD//BC ∴AM：CM＝AE：BC ∴AM：CM＝3：6＝1：2 ∴AM＝2，CM＝4 ∴AQ＝MQ＝HD＝HF＝2，MH＝HC＝4 ∴CF＝2 ∵BC＝6 由勾股定理，得BF＝2 2、（1）证明：如图，由题意，得∠C＝∠BAD＝∠B＝90° ∴∠BAH＝90° ∵FG⊥DE ∴∠FGE＝∠DGH＝90° 在四边形BFGE中，∠FGE+∠B+∠GFB+∠GEB＝360° ∴∠GFB+∠GEB＝180° ∵∠CED+∠GEB＝180° ∴∠GFB＝∠CED ∵∠GFB＝∠AFH ∴∠AFH＝∠CED 在△HAF和△DCE中，∠AFH＝∠CED，AF＝CE，∠FAH＝∠C＝90° ∴△HAF≌△DCE ∴AH＝CD （2）解：如图，延长FG，交DA延长线于K 由题意，得AD＝CD＝2＝BC，∠C＝∠ABC＝∠BAD＝90°， ∴∠EBF＝90°，FG⊥DE ∴∠EBF＝∠EGN＝90° ∵∠BNF＝∠GNE ∴∠F＝∠E 在△KAF和△DCE中，∠F＝∠E，AF＝CE，∠FAK＝∠C＝90° ∴△KAF≌△DCE ∴AK＝CD＝DA＝2 ∴DK＝4 ∴AG＝DK＝2 （3）解：如图，连AG、AC 由（1）得AH＝CD＝2 ∴DH＝4 ∵∠DGH＝90° ∴AG＝DH＝2 ∵∠ADC＝90°，AD＝CD＝2 ∴AC＝2 ∵CG≥AC﹣AG ∴当A、G、C三点共线时，CG取得最小值2﹣2 3、证明：如图，取AB的中点F，连EF 在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD，∠BAD＝∠B＝∠D＝∠BCD＝90° ∵F、E分别为AB、BC的中点 ∴AF＝BF＝BE＝CE ∴∠BFE＝45° ∴∠AFE＝180°- 45°＝135° ∵CP平分∠DCG ∴∠DCP＝45° ∴∠ECP＝180°- 45°＝135° ∴∠AFE＝∠ECP ∵AE⊥PE ∴∠AEP＝90° ∴∠PEC+∠AEB＝90° ∵∠BAE+∠AEB＝90° ∴∠PEC＝∠BAE 在△AFE和△ECP中，∠PEC＝∠BAE，AF＝CE，∠AFE＝∠ECP ∴△AFE≌△ECP ∴AE＝EP （2） 解：如图，过P作PM垂直BC于M ∵∠AEP＝90° ∴∠PEM+∠AEB＝90° ∵∠BAE+∠AEB＝90° ∴∠PEM＝∠BAE 在△ABE和△EMP中，∠B＝∠M＝90°，∠PEM＝∠BAE，AE＝EP ∴△ABE≌△EMP ∴BE＝MP，AB＝EM＝BC ∴BE＝CM＝MP ∴∠PCM＝∠CMP＝45° ∴∠DCP＝45° （3）解：作DK⊥CP，交BC于K，交CP于O，连AK △ADP周长的最小值为AD+AP+DP＝4+AP+DP ∴当AP+PK最小时，△ADP周长的最小 由（2）得，∠DCP＝45° ∴∠CDK＝45° ∴CK＝CK，DK⊥CP ∴PD＝PK ∴AP+DP＝AP+PK 当A、P、K三点共线时，AP+PK取得最小值AK ∵AB＝4，BK＝8 ∴AK＝ ∴△ADP周长的最小值为 4、（1）证明：由题意，得DC＝BC，∠D＝∠ABC＝∠DCB＝∠ECF＝90° ∴∠DCE＝∠BCF 在△CDE和△CBF中，∠DCE＝∠BCF，DC＝BC，∠D＝∠CBF＝90° ∴△CDE≌△CBF ∴CE＝CF （2）DM＝BM+BF，理由如下： 如图，过E作EH⊥AD，交DB于H，则EH//AB ∵△CDE≌△CBF， ∴DE＝BF ∵四边形ABCD是正方形 ∴∠ABD＝∠ADB＝∠EHD＝45° ∴BF＝EH＝DE ∴DH＝EH＝BF ∵EH//AB ∴∠EHM＝∠MBF 在△HME和△BMF中，∠EMH＝∠BMF，∠EHM＝∠MBF，BF＝EH ∴△DME≌△HMF ∴MB＝MH，EM＝MF ∴DM＝MH+DH＝MB+DH＝MB+BF （3）如图，连EP ∵∠DME＝∠BMF＝15°，∠ABD＝45° ∴∠AFE＝30° ∴AF＝AE ∴AB+BF＝（AB﹣DE） 又∵DE＝BF＝3 ∴AB+3﹣＝AB﹣3+3 解得AB＝3+ ∴AE＝2，AF＝6 ∵EC＝CF，∠ECF＝90°，EM＝MF ∴CP垂直平分EF ∴EP＝PF 设PF＝x，则AP＝6﹣x ∴（2）2+（6﹣x）2＝x2 ∴x＝4 ∴PB＝+ 5、解：（1）由题意，得AB＝BC，∠ABP＝∠BCQ＝90° 在△ABP和△BCQ中，AB＝BC，∠ABP＝∠BCQ，BP＝CQ ∴△ABP≌△BCQ ∴∠PAB＝∠QBC 又∵∠ABQ+∠QBC＝90° ∴∠ABQ+∠PAB＝90° ∴∠AEB＝90° ∴AP⊥BQ （2） AD＝DE，理由如下： 如图，延长BQ、AD交于一K 当点P为BC中点时，由（1）得CP＝BP＝CQ＝DQ 在△KDQ和△BCQ中，∠KDQ＝∠C＝90°，CQ＝DQ，∠KQD＝∠BQC ∴△KDQ≌△BCQ ∴KD＝BC＝AD 由（1）得∠KEA＝90° ∴DE＝AK＝AD （3） 由题意，得∠AHE＝∠AEB＝90° ∴∠HNE+∠NEH＝90° ∠AEH+∠NEH＝90° ∴∠HNE＝∠AEH 设∠ANE＝∠AEH ∵DE＝DA ∴∠DAE＝∠AEH＝∠ANE ∵AD∥BC ∴∠APB＝∠DAE＝∠ANE 由（1）得△PAB≌△QBC ∴∠CQB＝∠APB＝∠ANE ∵∠QNM＝∠HNE＝∠ANE ∴∠CQB＝∠QNM＝∠ANE ∴QM＝MN ∵CD∥AB ∴∠ABQ＝∠CQB＝∠ANE ∴AN＝AB＝2 设QM＝MN＝m ∴DM＝1+m，AM＝＝2+m 在Rt△ADM中，22+（1+m）2＝（2+m）2 解得m＝ ∴QM＝ 6、（1）证明：由旋转性质，得∠DAM＝∠BAE，AM＝AE ∴∠MAN＝∠NAE＝45° 在△MAN和△EAN中，AN＝NA，∠MAN＝∠NAE，AM＝AE ∴△MAN≌△EAN ∴MN＝EN （2）解：EF2＝BE2+DF2 ，理由如下： 如图，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，连EG 由旋转性质，得BG＝DF，AG＝AF，∠ABD＝∠EAG＝∠EAF＝∠ABG＝45° ∴∠GBE＝90° 在△EAG和△EAF中，AG＝AF，∠EAG＝∠EAF，AE＝AE ∴△EAG≌△EAF ∴EG＝EF ∵EG2＝BE2+BG2 BG＝DF，EG＝EF ∴EF2＝BE2+DF2 （3）解：如图，过E作EH垂直AF，过H作MN//CD，设HN＝x 则BM＝NA，DN＝CM， CD＝MN ∠ANH＝∠EMH＝∠AHE＝90°，∠EAF＝∠AEH＝45° ∴AH＝EH ∠NAH+∠AHN＝90° ∠EHM+∠AHN＝90° ∴ ∠NAH＝∠EHM 在△ANH和△EMH中，∠ANH＝∠EMH，∠NAH＝∠EHM，AH＝EH ∴△ANH≌△EMH ∴NH＝EM＝x AN＝BM＝HM＝4+x ∴CD＝MN＝4+2x AD＝5+2x ∵DF＝3 ∴CE＝CF＝1+2x ∴CM＝DN＝1+x ∵HN//CD ∴AN：AD＝NH：DF ∴（4+x）：（5+2x）＝x：3 解得x1＝2，x2＝-3（舍去） ∴CE＝CF＝1+2x＝5 ∴EF＝CE＝5 7、解：（1）∵四边形ABCD是正方形，四边形DPFE是正方形 ∴AD＝DC，∠ACD＝∠DAC＝45°，∠ADC＝90° DP＝DE，∠PDE＝∠ADC＝90° ∴∠PDE﹣∠CDP＝∠ADC﹣∠CDP 即∠ADP＝∠CDE 在△ADP和△CDE中，DP＝DE，∠ADP＝∠CDE，AD＝DC ∴△ADP≌△CDE ∴AP＝CE，∠DCE＝∠DAC＝45° ∴∠ACE＝90° （2）CE﹣CP＝CD，理由如下： ∵四边形ABCD是正方形，四边形DPFE是正方形 ∴AD＝DC，∠ACD＝∠DAC＝45°，∠ADC＝90°，AC＝CD DP＝DE，∠PDE＝∠ADC＝90° ∴∠PDE+∠CDP＝∠ADC+∠CDP 即∠ADP＝∠CDE 在△ADP和△CDE中，DP＝DE，∠ADP＝∠CDE，AD＝DC ∴△ADP≌△CDE ∴AP＝CE，∠DAC＝∠DCE＝45° ∴CE﹣CP＝AP﹣CP＝AC＝CD （3）如图，连CE 由（2）得△ADP≌△CDE ∴∠DCE＝∠DAP＝45° ∴∠ACE＝90° ∵CD＝AB＝2 ∴AC＝4 ∵AE＝ ∴CE＝＝6 ∴AP＝CE＝6 ∴PC＝6﹣4＝2 ∴PE＝＝2 ∴DE＝＝2 ∴＝10 2×2＝2 ∴S四边形DCPE＝10+2＝12 8、（1）能，理由如下： 证明：∵四边形AEFG为正方形 ∴AE＝AG，∠EAG＝90° ∵四边形ABCD为正方形 ∴AB＝AD，∠BAD＝90° ∴∠EAG﹣∠BAG＝∠BAD﹣∠BAG 即∠EAB＝∠GAD 在△AEB和△AGD中，AE＝AG，∠EAB＝∠GAD，AB＝AD ∴△AEB≌△AGD ∴BE＝DG （2）当∠EAG＝∠BAD时，BE＝DG，理由如下： 证明：∵∠EAG＝∠BAD ∴∠EAG+∠BAG＝∠BAD+∠BAG 即∠EAB＝∠GAD ∵四边形AEFG、四边形ABCD都是菱形 ∴AE＝AG，AB＝AD 在△AEB和△AGD中，AE＝AG，∠EAB＝∠GAD，AB＝AD ∴△AEB≌△AGD ∴BE＝DG （3）如图，设BE与DG交于O，BE与AG交于P ∵ AE＝4，AB＝8 ∴AG＝6，AD＝12 ∵四边形AEFG、四边形ABCD都是矩形 ∴∠EAG＝∠BAD＝90° ∴∠EAG+∠BAG＝∠BAD+∠BAG 即∠EAB＝∠DAG 在△EAB和△GAD中，，∠EAB＝∠DAG ∴△EAB∽△GAD ∴∠BEA＝∠AGD 在△EAP和△GOP中，∠PEA＝∠OGP，∠APE＝∠OPG ∴∠GOP＝∠PAE＝90° ∴DE2+BG2 ＝EO2+OD2+GO2+OB2 ＝EO2+GO2+OB2+OD2 ＝EG2+BD2 ＝42+62+82+122 ＝260 ∴DE2+BG2为定值260 学科网（北京）股份有限公司 $$