第6章 平行四边形（单元测试·基础卷）-2023-2024学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

第6章 平行四边形（单元测试·基础卷） 【要点回顾】 【要点一】平行四边形的性质 1. 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形； 2. 性质： （1）平行四边形的对边平行且相等； （2）平行四边形的邻角互补； （3）平行四边形的对角相等； （4）平行四边形的对角线互相平分。 【要点二】平行四边形的判定 （1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ； （2）定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ； （3）定理2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； （4）定理3：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形. 【要点三】平行线间的距离 （1） 两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。 平行线间的距离处处相等。 （2）平行四边形的面积：S平行四边形=底×高=ah 【要点四】三角形的中位线 （1）概念：连接三角两边中点的线段叫作三角的中位线（共三条中位线） （2）定理： 三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半 【要点五】多边形的内角和与外角和 （1）多边形的内角和定理：n边形的内角和等于（n-2）·180°； （2）多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于360°。 （3）正多边形的每个内角度数：［（n-2）·180°］/n 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．一个边形的内角和等于（　　） A． B． C． D． 2．如图，在平行四边形中，垂直于，，则的度数是（　） A． B． C． D． 3．如图，在中，一定正确的是（    ）    A． B． C． D． 4．已知中，∠A=55°，分别以点B，点C为圆心，以大于的长为半径画弧，分别交于点M，N，作直线交于点E，则的度数为（　　）    A．55° B．60° C．65° D．70° 5．下面各项不能判断是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 6．若一个四边形的四边的长依次为，，，，且满足，则该四边形一定是（   ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 7．如图，，，，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．如图，在平行四边形中，，是对角线上不同的两点，连接，，，下列条件中，不能得出四边形一定是平行四边形的为（  ）    A． B． C． D． 9．已知在平面直角坐标系中有三个点：、、．在平面内确定点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，则点D的坐标不可能是（   ） A． B． C． D． 10．如图，在等腰中，，点D为边的延长线上一点，连接，点E为的中点，连接，若，，则的面积为（    ） A． B． C．8 D． 2、 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．多边形从同一顶点可以引9条对角线，那么这个多边形的内角和是 ． 12．如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点，若，，则的长是 ． 13．如图，在中，点E在边上，对角线于，若，的面积等于8，那么的面积等于 ，四边形的面积等于 ． 14．下列条件能判断一个四边形是平行四边形的是 （填上正确答案的序号） ①一组对边平行，一组对边相等；②一组对边平行且相等；③两组对边分别相等；④两组对边分别平行；⑤两条对角线相等． 15．如图，在四边形中，已知，若要判定四边形为平行四边形，在不添加辅助线的前提下只添加一个条件，则这个条件可以为 ． 16．在《圆锥曲线论》中有一个著名的“阿波罗尼奥斯定理”，这个定理可以表述为：平行四边形对角线的平方和等于各边的平方和． 如图，在中，，，，D是的中点，则的长为 ． 17．已知以A，B，C，D四个点为顶点的平行四边形中，顶点A，B，C的坐标分别为，则顶点D的坐标为 ． 18．如图，平行四边形的顶点在等腰直角三角形的边上，点在的延长线上，为的中点，连接，若，，则 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（8分）如图，六边形的内角都相等，． （1）求的度数； （2）探索与有怎样的位置关系，并说明理由． 20．（8分）已知：如图，四边形ABCD为平行四边形，点E、A、C、F在同一直线上，．求证： （1） （2） 21．（10分）如图,点､分别在､上,分别交､于点､,,． （1）求证:四边形是平行四边形; （2）已知,连接,若平分,求的长． 22．（10分）如图，平行四边形的对角线相交于点，点在对角线上，且，连接，．   （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若的面积等于2，求的面积． 23．（10分）如图，将ABCD沿过点A的直线折叠，使点D落到AB边上的点处，折痕交CD边于点E，连接BE   （1）求证：四边形是平行四边形 （2）若BE平分∠ABC，求证： 24．（12分）在△ABC中，AB=AC，点D在边BC所在的直线上，过点D作DF∥AC交直线AB于点F，DE∥AB交直线AC于点E． （1）当点D在边BC上时，如图①，求证：DE+DF=AC． （2）当点D在边BC的延长线上时，如图②；当点D在边BC的反向延长线上时，如图③，请分别写出图②、图③中DE，DF，AC之间的数量关系，不需要证明． （3）若AC=6，DE=4，则DF=　． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．C 【分析】此题考查了多边形的内角与外角，熟记多边形的内角和公式是解题的关键．根据多边形的内角和等于，即可得解． 解：根据多边形内角和公式得，边形的内角和等于： ， 故选：C． 2．A 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形内角和定理，根据平行四边形对角相等得到，再由垂直的定义得到，则由三角形内角和定理即可求出答案． 解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵垂直于 ∴， ∴， 故选：A． 3．C 【分析】根据平行四边形的性质对各选项进行判断即可． 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴选项A、B、D错误，只有C正确， 故选：C． 【点拨】本题考查了平行四边形的性质，解题的关键在于熟练掌握平行四边形的对边相等，对角相等． 4．D 【分析】由得，根据题意得是得垂直平分线，则，得，即求得的度数． 解：∵解：四边形是平行四边形， ∴，，则， ∵以点B，点C为圆心，以大于的长为半径画弧，分别交于点M，N，作直线交于点E， ∴是得垂直平分线，则， 所以， 那么， 故选：D． 【点拨】本题主要考查的是平行四边形性质以及垂直平分线等知识内容，熟练掌握垂直平分线性质是解题的关键． 5．C 【分析】本题考查平行四边形判定，两组对边分别平行的四边形是平行四边形．根据题意逐一对选项进行分析即可得到答案． 解：，， 四边形是平行四边形， ，， 四边形是平行四边形， ，，不可以判定四边形是平行四边形， ，， ，， 四边形是平行四边形， 故选：C 6．A 【分析】本题考查平行四边形的判定，两组对边分别相等的四边形是平行四边形和非负数的性质偶次方． 根据这个方程可求出四边的关系，即对边相等，从而判断四边形形状． 解：∵， ∴． ∴这个四边形是平行四边形． 故选：A． 7．A 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质．证明四边形是平行四边形，推出，据此求解即可． 解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 8．B 【分析】根据平行四边形的性质和判定定理逐项求解即可． 解：如图，连接与相交于，    在中，，， 要使四边形为平行四边形，只需证明得到即可； A．若， ∴，即， ∴四边形为平行四边形，故本选项不符合题意； B．若，则无法判断，故本选项符合题意； C．若 ∴， 又∵， ∴ ∴， ∴四边形为平行四边形，故本选项不符合题意； D．若， ∵四边形是平行四边形 ∴， ∴ ∴ ∴， ∴，即， ∴四边形为平行四边形，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点拨】此题考查了平行四边形的性质和判定定理，全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质和判定定理． 9．D 【分析】在平面直角坐标系中，分类讨论①当AB，CD为对角线时，②当AC，BD为对角线时和③当BC，AD为对角线时，结合平行四边形的性质画出图形即得出答案． 解：①当AB，CD为对角线时，如图，此时四边形为平行四边形， ∴． ∵向上平移4个单位，向左平移2个单位得到， ∴向上平移4个单位，向左平移2个单位得到； ②当AC，BD为对角线时，如图，此时四边形为平行四边形， ∴． ∵向上平移1个单位，向左平移4个单位得到， ∴向上平移1个单位，向左平移4个单位得到； ③当BC，AD为对角线时，如图，此时四边形为平行四边形， ∴． ∵向下平移1个单位，向右平移4个单位得到， ∴向下平移1个单位，向右平移4个单位得到． 综上可知点D的坐标可能是或或， 故选D． 【点拨】本题考查平行四边形的判定和性质，坐标与图形．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键． 10．B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形的中位线的应用，熟练掌握其性质是解题的关键．先利用等腰三角形的性质作高，再证明出为的中点，得到为的中位线，从而能求出的长，最后求出面积即可． 解：过点A作于点F， ， ， ， ， 为的中点， 为的中点， 为的中位线． ，， ， ． 故选：B． 11．/1800度 【分析】 本题主要考查了多边形的内角和公式，从多边形一个顶点可作9条对角线，则这个多边形的边数是12，边形的内角和可以表示成，代入公式就可以求出内角和，解题的关键是掌握多边形的内角和公式和多边形从同一顶点可以引对角线的数量与多边形边数的关系． 解：∵过多边形的一个顶点共有9条对角线， 故该多边形边数为12， ∴， ∴这个多边形的内角和为． 故答案为：． 12． 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等角对等边和角平分线定义，根据平行四边形的性质证明和等腰三角形的判定得出，，进而可得和的长，然后根据线段和差即可，熟练掌握平行四边形的性质，等腰三角形的性质和角平分线定义解题的关键． 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可证：， ∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 13． 18 22 【分析】先根据平行四边形的性质得出，进而求出相似比，可得面积比，可求，然后求出，即可求出，再根据可得答案． 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴． ∵， ∴， 即， ∴． ∵， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：18，22． 【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质和判定，确定各三角形的面积之间的关系是解题的关键． 14．②③④ 【分析】平行四边形的五种判定方法分别是：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．按照平行四边形的判定方法进行判断即可． 解：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故①错误，②正确； ③两组对边分别相等，符合平行四边形的判定条件，故③正确； ④两组对边分别平行，符合平行四边形的判定条件，故④正确； 对角线互相平分的四边形是平行四边形，故⑤错误； 故答案为：②③④． 【点拨】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的定义和判定方法是解答此类题目的关键． 15．（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 由平行四边形的判定方法即可得出结论． 解：∵， ∴四边形是平行四边形， 故答案为：（答案不唯一）． 16． 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，熟练运用阿波罗尼奥斯定理是解题的关键． 延长到E，使，连接，，根据线段中点的定义得到，推出四边形是平行四边形，得到，，根据阿波罗尼奥斯定理解方程即可得出结论． 解：延长到E，使，连接，， 点D是的中点， ， ， 四边形是平行四边形， ，， 由阿波罗尼奥斯定理得：， ， ， ， 故答案为：． 17． 【分析】分别在平面直角坐标系中确定出A、B、C的位置，再根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可确定D的位置． 解：由图可知，满足条件的点D坐标为 故答案为： 【点拨】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 18．3 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，平行线的性质等知识．延长交于点，由平行四边形的性质得出，，证出，证明为的中位线，则可得出答案． 解：延长交于点， 四边形为平行四边形， ∴，， 为等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ， 为的中点， 为的中位线， ． 故答案为：3． 19．（1）；（2），理由见分析 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，平行线的判定： （1）先根据多边形内角和定理求出，再由四边形内角和定理求解即可； （2）同理可得，则，即可得到，则． （1）解：由题意得，， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： 同理可得， ∴， ∴， ∴． 20．（1）证明见分析；（2）证明见分析 【分析】（1）利用平行四边形的性质得出AD∥BC，AD=BC，再证明∠EAD=∠FCB，利用SAS证明两三角形全等即可． （2）利用，得出∠E=∠F，再利用内错角相等两直线平行即可证明． 解：（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形 ∴AD∥BC，AD=BC ∴∠DAC=∠ACB ∴∠EAD=∠FCB 在△ADE和△CBF中， ∴ （SAS） （2）∵ ∴∠E=∠F ∴ED∥BF 【点拨】本题考查全等三角形的证明、平行四边形的性质、平行线的判定及性质、灵活进行角的转换是关键． 21．（1）见分析;（2）2 【分析】（1）根据,可得到,又由,且,可得到,即可得出结论． （2）由,可得到,从而得到,则有,即可求解． 解：（1）证明:∵, ∴, ∵,且, ∴, ∴, 则四边形为平行四边形． （2）解:∵平分, ∴, ∵, ∴, ∴, ∴． 【点拨】本题主要考查了平行四边形的判定和性质,角平分线的定义,等腰三角形的判定,解题的关键是熟练掌握相关知识并会灵活应用． 22．（1）见分析；（2）1 【分析】（1）根据平行四边形对角线互相平分可得，，结合可得，即可证明四边形是平行四边形； （2）根据等底等高的三角形面积相等可得，再根据平行四边形的性质可得． 解：（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形． （2）解：，， ， 四边形是平行四边形， ． 【点拨】本题考查平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的对角线互相平分． 23．见分析 【分析】试题分析：（1）根据翻折变换的性质以及平行线的性质得出∠DAE=∠EAD′=∠DEA=∠D′EA，然后根据平行四边形的判定方法得出四边形DAD′E是平行四边形，进而求出四边形BCED′是平行四边形； （2）根据平行线的性质利用勾股定理得出答案． 解：（1）∵将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处， ∴∠DAE=∠D′AE，∠DEA=∠D′EA，∠D=∠AD′E， ∵DE∥AD′， ∴∠DEA=∠EAD′， ∴∠DAE=∠EAD′=∠DEA=∠D′EA， ∴∠DAD′=∠DED′， ∴四边形DAD′E是平行四边形， ∴DE=AD′， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ABDC，ABDC ∴CED′B，CED′B， ∴四边形BCED′是平行四边形； （2）∵BE平分∠ABC， ∴∠CBE=∠EBA， ∵AD∥BC， ∴∠DAB+∠CBA=180°， ∵∠DAE=∠BAE， ∴∠EAB+∠EBA=90°， ∴∠AEB=90°， ∴AB2=AE2+BE2． 【点拨】考点：1.平行四边形的判定与性质2.勾股定理 24．（1）见分析；（2）图②中：AC+DF=DE；图③中：AC+DE=DF；（3）2或10 【分析】（1）证明四边形AFDE是平行四边形，且△DEC和△BDF是等腰三角形即可证得． （2）与（1）的证明方法相同． （3）根据（1）（2）中的结论直接求解． 解：（1）证明：∵DF∥AC，DE∥AB， ∴四边形AFDE是平行四边形． ∴AF=DE． ∵DF∥AC， ∴∠FDB=∠C． 又∵AB=AC， ∴∠B=∠C． ∴∠FDB=∠C． ∴DF=BF． ∴DE+DF=AB=AC． （2）图②中：AC+DF=DE；图③中：AC+DE=DF． 理由如下：如图②所示，同理可证四边形AEDF是平行四边形， ∴AF=DE， ∵， ∴∠B=∠CDF， ∵AB=AC， ∴∠B=∠ACB， 又∵∠ACB=∠FCD， ∴∠FCD=∠FDC， ∴FC=FD， ∴AC+DF=AC+CF=AF=DE； 如图③同理可证AC+DE=DF； （3）当如图①的情况，DF=AC﹣DE=6﹣4=2； 当如图③的情况，DF=AC+DE=6+4=10． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$