15.3互斥事件和独立事件（4大题型）-2023-2024学年高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（苏教版2019必修第二册）

15.3互斥事件和独立事件 【考点梳理】 考点一：互斥事件和对立事件 考点二：互斥事件的概率公式求概率 考点三：对立事件的概率公式求概率 考点四：互斥独立事件概率的综合应用 【知识梳理】 知识点一　事件的关系 定义 符号 图示 包含关系 一般地，若事件A发生，则事件B一定发生，称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B) B⊇A(或A⊆B) 相等关系 如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B⊇A且A⊇B，则称事件A与事件B相等 A＝B 知识点二　交事件与并事件 定义 符号 图示 并事件 (或和事件) 一般地，事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B (或A＋B) 交事件 (或积事件) 一般地，事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B (或AB) 知识点三　互斥事件和对立事件 定义 符号 图示 互斥事件 一般地，如果事件A与事件B不能同时发生，也就是说A∩B是一个不可能事件，即A∩B＝∅，则称事件A与事件B互斥(或互不相容) A∩B＝∅ 对立事件 一般地，如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A∪B＝Ω，且A∩B＝∅，那么称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为 A∪B＝Ω A∩B＝∅ 知识点四　相互独立事件的概念 对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称独立. 考点五　相互独立事件的性质 如果事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立. 【题型归纳】 题型一：互斥事件和对立事件 1．（22-23高一下·广东阳江·期末）从装有2件正品和2件次品的盒子内任取2件产品，下列选项中是互斥而不对立的两个事件的是（ ） A．“至少有1件正品”与“都是次品” B．“恰好有1件正品”与“恰好有1件次品” C．“至少有1件次品”与“至少有1件正品” D．“都是正品”与“都是次品” 2．（22-23高一下·广西河池·期末）抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件1表示“骰子向上的点数为素数”，事件2表示“骰子向上的点数为合数”，事件3表示“骰子向上的点数大于2”，事件4表示“骰子向上的点数小于3”，则（ ） A．事件1与事件3互斥 B．事件1与事件2互为对立事件 C．事件2与事件3互斥 D．事件3与事件4互为对立事件 3．（22-23高一下·贵州安顺·期末）从装有两个红球和两个黑球的口袋里任取两个球，那么互为对立的两个事件是（ ） A．“至少有一个红球”与“都是红球” B．“至少有一个红球”与“都是黑球” C．“至少有一个红球”与“至少有一个黑球” D．“恰好有一个红球”与“恰好有两个红球” 题型二：互斥事件的概率公式求概率 4．（22-23高一下·江西南昌）已知事件两两互斥，若，，，则（ ）． A． B． C． D． 5．（22-23高一下·安徽合肥·期末）为了普及党史知识，某校举行了党史知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为p，乙同学答对每题的概率都为，且在考试中每人各题答题结果互不影响.已知每题甲、乙两人同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为.则甲、乙两人共答对至少3道题的概率是（ ） A． B． C． D． 6．（22-23高一下·全国）掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现1点，2点，3点，4点，5点，6点的概率均为，记事件为“向上的点数是奇数”，事件B为“向上的点数不超过3”，则（ ） A． B． C． D． 题型三：对立事件的概率公式求概率 7．（22-23高一下·甘肃临夏·期末）如图，A，B，C表示某系统的3个开关，若在某段时间内它们正常工作的概率分别为0.85，0.8，0.75，那么系统可以正常工作的概率为（ ） A．0.0645 B．0.9955 C．0.4995 D．0.9925 8．（22-23高一下·广东广州·期末）已知事件的概率均不为0，则的充要条件是（ ） A． B． C． D． 9．（22-23高二下·云南曲靖·期末）书架上有10本书随机排成一排，其中有2本数学书，语文和英语书共8本，从中随机取出一本书，设取出数学书为事件A，取出语文书为事件，随机事件与对立．若，则（ ） A．0.7 B．0.8 C．0.3 D．0.5 题型四：互斥独立事件概率的综合应用 10．（23-24高一下·辽宁）与进行“抽鬼牌”游戏，游戏开始时，手中有张两两不同的牌，手上有张牌，其中张牌与手中的牌相同，剩下一张为“鬼牌”，与其他所有牌都不同.游戏规则为： （ⅰ）双方交替从对方手中抽取一张牌，先从手中抽取； （ⅱ）若某位玩家抽到对方的牌与自己手中的某张牌一致，则将两张牌丢弃； （ⅲ）最后剩一张牌（鬼牌）时，持有鬼牌的玩家为输家. 假设每一次从对方手上抽到任一张牌的概率都相同. (1)当时，求获胜的概率； (2)当时，求获胜的概率. 11．（23-24高一上·辽宁葫芦岛·期末）某校开展定点投篮项目测试，规则如下：共设定两个投篮点位，一个是三分线上的甲处，另一个是罚篮点位乙处，在甲处每投进一球得3分，在乙处每投进一球得2分．如果前两次得分之和超过3分即停止投篮并且通过测试，否则将进行第三次投篮，每人最多投篮3次，如果最终得分超过3分则通过测试，否则不通过．小明在甲处投篮命中率为，在乙处投篮命中率为，小明选择在甲处投一球，以后都在乙处投． (1)求小明得3分的概率； (2)试比较小明选择都在乙处投篮与选择上述方式投篮哪个通过率更大． 12．（23-24高二上·云南大理·期末）算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具．如图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别表示个位、十位、百位、千位、……，上面一粒珠子（简称上珠）代表5，下面一粒珠子（简称下珠）代表1，五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小．例如，个位拨动一粒上珠、十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字15．现将算盘的个位、十位、百位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件“表示的三位数能被5整除”，“表示的三位数能被3整除”． (1)求事件发生的概率； (2)求事件或发生的概率． 【双基达标】 一、单选题 13．（2024高一下·全国·专题练习）设为三个事件，分别表示它们的对立事件，表示“三个事件恰有一个发生”的表达式为（ ） A． B． C． D．＋＋ 14．（23-24高一下·全国·随堂练习）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A表示随机事件“两枚炮弹都击中飞机”，事件B表示随机事件“两枚炮弹都未击中飞机”，事件C表示随机事件“恰有一枚炮弹击中飞机”，事件D表示随机事件“至少有一枚炮弹击中飞机”，则下列关系不正确的是（ ） A． B． C． D． 15．（23-24高二下·广东惠州·阶段练习）依次抛掷一枚质地均匀的骰子两次，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为2”，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为6”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为7”，则（ ） A．与为对立事件 B．与为相互独立事件 C．与为相互独立事件 D．与为互斥事件 16．（23-24高一下·辽宁抚顺·阶段练习）一个箱子中装有6个红球和4个白球，从中随机取出三个球，则取出的三个球中至少有一个红球的概率（ ） A． B． C． D． 17．（23-24高二下·四川绵阳·期中）某产品在进入市场前必须进行两轮某项指标的检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能售.已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响. (1)求该产品能销售的概率； (2)已知一箱中有该产品3件，求3件产品中至少有1件能销售的概率. 18．（23-24高一下·全国·课堂例题）某场知识竞赛比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题.已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是，若各家庭回答是否正确互不影响. (1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率； (2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率. 【高分突破】 一、单选题 19．（2024高一下·全国）在一次随机试验中，是彼此互斥的事件，且是必然事件，则下列说法正确的是（ ） A．与是互斥事件，也是对立事件 B．与是互斥事件，也是对立事件 C．与是互斥事件，但不是对立事件 D．与是互斥事件，也是对立事件 20．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）依次抛掷两枚质地均匀的骰子，记骰子向上的点数．用表示第一次抛掷骰子的点数，用表示第二次抛掷骰子的点数，用表示一次试验的结果．记“”为事件，“”为事件，“”为事件，则（ ） A．与相互独立 B．与对立 C．与相互独立 D．与相互独立 21．（23-24高一下·广西·开学考试）已知甲袋中有标号分别为的四个小球，乙袋中有标号分别为的四个小球，这些球除标号外完全相同，第一次从甲袋中取出一个小球，第二次从乙袋中取出一个小球，事件表示“第一次取出的小球标号为3”，事件表示“第二次取出的小球标号为偶数”，事件表示“两次取出的小球标号之和为7”，事件表示“两次取出的小球标号之和为偶数”，则（ ） A．与相互独立 B．与是对立事件 C．与是对立事件 D．与相互独立 22．（23-24高一上·北京延庆·期末）一个袋子中有大小和质地相同的4个球 其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机揽出2个球，每次摸出一个球，设事件"第一次摸到红球"， "第二次摸到红球"，"两次都摸到红球"，"两次都摸到绿球”，“两球颜色相同”，“两球颜色不同”.则下列说法错误的是（ ） A． B． R与G互斥但不对立 C． D．S与T相互独立 23．（23-24高一上·江西九江·期末）给出下列四种说法： ①若事件A，B互斥，则与一定互斥；②若A，B为两个事件，则； ③若事件A，B，C彼此互斥，则；④若事件A，B满足，则A，B是对立事件.其中错误的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 24．（23-24高二下·重庆）从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，现从两袋各摸出一个球，记事件A：2个球都是红球，事件B：2个球中恰有1个红球，事件C：2个球至少有1个红球，事件D：2个球不都是红球，则下列说法正确的是（ ） A．事件A与事件互斥 B． C．事件A与事件D对立 D． 二、多选题 25．（23-24高二下·河南郑州·期中）对于事件A和事件B，，，则下列说法正确的是（ ） A．若A与B互斥，则 B．若A与B互斥，则 C．若，则 D．若A与B相互独立，则 26．（23-24高一下·全国·课后作业）盒子里有2个红球和2个白球，从中不放回地依次取出2个球，设事件“两个球颜色相同”，“第1次取出的是红球”，“第2次取出的是红球”，“两个球颜色不同”.则下列说法正确的是（ ） A．A与相互独立 B．A与互为对立 C．与互斥 D．与相互独立 27．（23-24高一下·辽宁辽阳·阶段练习）甲、乙两社团各有3名男党员、3名女党员，从甲、乙两社团各随机选出1名党员参加宪法知识比赛． 设事件为“从甲社团中选出的是男党员小凡”，事件为“从乙社团中选出的是男党员”，事件为“甲、乙两社团选出的都是男党员”，事件为“从甲、乙两社团中选出的是1名男党员和1名女党员”，则（ ） A．与相互独立 B．与相互独立 C．与相互独立 D．与互斥 28．（2024·贵州贵阳·一模）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（ ） A．乙发生的概率为 B．丙发生的概率为 C．甲与丁相互独立 D．丙与丁互为对立事件 29．（23-24高一上·安徽亳州·期末）中国四大名楼是一种泛称，特指山西永济鹳雀楼、江西南昌滕王阁、湖北武汉黄鹤楼、湖南岳阳岳阳楼．记事件“只去黄鹤楼”，事件“至少去两个名楼”，事件“只去一个名楼”，事件“一个名楼也不去”，事件“至多去一个名楼”，则下列命题正确的是（ ） A．E与H是互斥事件 B．F与I是互斥事件，且是对立事件 C． D． 30．（23-24高一上·江西新余·期末）伯努利试验是在同样的条件下重复地、相互独立地进行的一种随机试验，其特点是每次试验只有两种可能结果．若连续抛郑一枚质地均匀的硬币次，记录这次实验的结果，设事件表示“次实验结果中，既出现正面又出现反面”，事件表示“次实验结果中，最多只出现一次反面”，则下列结论正确的是（ ）． A．若，则与不互斥 B．若，则与不相互独立 C．若，则与相互独立 D．若，则与互斥 三、填空题 31．（2024高一下·全国·专题练习）同时抛掷甲、乙两枚均匀的骰子，事件“都不是5点且不是6点”的对立事件为 ．（填序号） ①一个是5点，另一个是6点；②一个是5点，另一个是4点； ③至少有一个是5点或6点；④至多有一个是5点或6点． 32．（23-24高一下·河南）甲、乙两个篮球队进行比赛，获胜队将代表所在区参加市级比赛，他们约定，先赢四场比赛的队伍获胜．假设每场甲、乙两队获胜的概率均为，每场比赛不存在平局且比赛结果相互独立，若在前三场比赛中，甲队赢了两场，乙队赢了一场，则最终甲队获胜的概率为 ． 33．（23-24高一上·河南驻马店·期末）如图，用三个不同的元件连接成一个系统．当元件正常工作且元件至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知元件正常工作的概率依次为，则系统能正常工作的概率为 ． 34．（23-24高一上·山东潍坊·期末）11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时乙得分的概率为，各球的结果相互独立.在某局打成后，甲先发球，则甲以获胜的概率为 . 35．（23-24高一上·安徽亳州·期末）“秋风起．月渐圆，桂树落叶，兔儿下凡间”．中秋节是中国传统节日，为了让更多的小朋友参与到中秋节的欢乐氛围中来，秦皇岛市青少年宫特别推出了“团圆中秋喜迎国庆”——中秋猜灯谜活动，欢迎小朋友们前来，感受传统文化的熏陶，品味传统习俗的趣味．现有甲，乙两位小朋友组成“快乐宝贝队”参加猜灯谜活动，每轮活动由甲，乙各猜一个灯谜，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮精对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则“快乐宝贝队”在两轮活动中猜对2个灯谜的概率为 ． 四、解答题 36．（23-24高一上·江西赣州·期末）我省从2024年开始，高考不分文理科，实行“”模式，其中“3”指的是语文、数学，外语这3门必选科目，“1”指的是考生需要在物理、历史这2门首选科目中选择1门，“2”指的是考生需要在思想政治、地理、化学、生物这4门再选科目中选择2门．已知某高校临床医学类招生选科要求是首选科目为物理，再选科目为化学、生物至少1门． (1)从所有选科组合中任意选取1个，求该选科组合符合某高校临床医学类招生选科要求的概率； (2)假设甲、乙两人每人选择任意1个选科组合是等可能的且相互独立，求这两人中恰好有一人的选科组合符合某高校临床医学类招生选科要求的概率． 37．（23-24高一上·陕西渭南·期末）一题多解是由多种途径获得同一数学问题的最终结论，一题多解不但达到了解题的目标要求，而且让学生的思维得以拓展，不受固定思维模式的束缚.学生多角度､多方位地去思考解题的方案，让解题增添了新颖性和趣味性，并在解题中解放了解题思维模式，使得枯燥的数学解题更加丰富而多彩.假设某题共存在4种常规解法，已知小红使用解法一､二､三､四答对的概率分别为，且各种方法能否答对互不影响，小红使用四种解法全部答对的概率为. (1)求的值； (2)求小红使用四种解法解题，其中有三种解法答对的概率.（结果用分数表示） 38．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）已知甲箱中有4个大小、形状完全相同的小球，上面分别标有大写英文字母、和小写英文字母、；乙箱中有个与甲箱大小、形状完全相同的小球，上面分别标有数字1，2，…， (1)现从甲箱中任意抽取2个小球，求恰好一个小球上面标有大写英文字母、另一个小球上面标有小写英文字母的概率； (2)现从乙箱中任意抽取1个小球，设=“所抽小球上面标注的数字”，记事件=“”，事件=“”，若事件与事件独立，求的值； (3)在（2）的条件下，现将甲、乙两箱的小球都放入丙箱，充分摇匀，然后有放回地抽取3次，每次取1个小球，求这3个小球中至少有2个小球上面标有英文字母的概率． 39．（23-24高一上·北京海淀·期末）国务院正式公布的《第一批全国重点文物保护单位名单》中把重点文物保护单位（下述简称为“第一批文保单位”）分为六大类．其中“A:革命遗址及革命纪念建筑物”、“B:石窟寺”、“C:古建筑及历史纪念建筑物”、“D:石刻及其他”、“E:古遗址”、“F:古墓葬”．北京的18个“第一批文保单位”所在区分布如下表： 行政区 门类 个数 东城区 A：革命遗址及革命纪念建筑物 3 C:古建筑及历史纪念建筑物 5 西城区 C:古建筑及历史纪念建筑物 2 丰台区 A:革命遗址及革命纪念建筑物 1 海淀区 C:古建筑及历史纪念建筑物 2 房山区 C:古建筑及历史纪念建筑物 1 E:古遗址 1 昌平区 C:古建筑及历史纪念建筑物 1 F:古墓葬 1 延庆区 C:古建筑及历史纪念建筑物 1 (1)某个研学小组随机选择北京市“第一批文保单位”中的一个进行参观，求选中的参观单位恰好为“C:古建筑及历史纪念建筑物”的概率； (2)小王同学随机选择北京市“第一批文保单位”中的“A:革命遗址及革命纪念建筑物”中的一个进行参观；小张同学随机选择北京市“第一批文保单位”中的“C:古建筑及历史纪念建筑物”中的一个进行参观．两人选择参观单位互不影响，求两人选择的参观单位恰好在同一个区的概率； (3)现在拟从北京市“第一批文保单位”中的“C:古建筑及历史纪念建筑物”中随机抽取2个单位进行常规检查．记抽到海淀区的概率为，抽不到海淀区的概率记为，试判断和的大小（直接写出结论）． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 15.3互斥事件和独立事件 【考点梳理】 考点一：互斥事件和对立事件 考点二：互斥事件的概率公式求概率 考点三：对立事件的概率公式求概率 考点四：互斥独立事件概率的综合应用 【知识梳理】 知识点一　事件的关系 定义 符号 图示 包含关系 一般地，若事件A发生，则事件B一定发生，称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B) B⊇A(或A⊆B) 相等关系 如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B⊇A且A⊇B，则称事件A与事件B相等 A＝B 知识点二　交事件与并事件 定义 符号 图示 并事件 (或和事件) 一般地，事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B (或A＋B) 交事件 (或积事件) 一般地，事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B (或AB) 知识点三　互斥事件和对立事件 定义 符号 图示 互斥事件 一般地，如果事件A与事件B不能同时发生，也就是说A∩B是一个不可能事件，即A∩B＝∅，则称事件A与事件B互斥(或互不相容) A∩B＝∅ 对立事件 一般地，如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A∪B＝Ω，且A∩B＝∅，那么称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为 A∪B＝Ω A∩B＝∅ 知识点四　相互独立事件的概念 对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称独立. 考点五　相互独立事件的性质 如果事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立. 【题型归纳】 题型一：互斥事件和对立事件 1．（22-23高一下·广东阳江·期末）从装有2件正品和2件次品的盒子内任取2件产品，下列选项中是互斥而不对立的两个事件的是（ ） A．“至少有1件正品”与“都是次品” B．“恰好有1件正品”与“恰好有1件次品” C．“至少有1件次品”与“至少有1件正品” D．“都是正品”与“都是次品” 【答案】D 【分析】根据互斥事件和对立事件的定义进行判断即可. 【详解】从装有2件正品和2件次品的盒子内任取2件产品，可能的结果为：1正1次､2正､2次， 对于A：“至少有1件正品”与“都是次品”是对立事件，不符合； 对于B：“恰好有1件正品”与“恰好有1件次品”是同一个事件，不符合题意； 对于C：“至少有1件次品”包括1正1次､2次，“至少有1件正品”包括1次1正､2正，这两个事件不是互斥事件，不符合题意； 对于D：“都是正品”与“都是次品”是互斥事件而不是对立事件，符合题意； 故选：D 2．（22-23高一下·广西河池·期末）抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件1表示“骰子向上的点数为素数”，事件2表示“骰子向上的点数为合数”，事件3表示“骰子向上的点数大于2”，事件4表示“骰子向上的点数小于3”，则（ ） A．事件1与事件3互斥 B．事件1与事件2互为对立事件 C．事件2与事件3互斥 D．事件3与事件4互为对立事件 【答案】D 【分析】根据互斥事件和对立事件的定义判断各个选项即可. 【详解】事件1可表示为：，事件2可表示为：， 事件3可表示为：，事件4可表示为：， 因为，所以事件1与事件3不互斥，A错误； 因为为不可能事件，不为必然事件，B错误； 因为，所以事件2与事件3不互斥，C错误； 因为为不可能事件，为必然事件，所以事件3与事件4互为对立事件，D正确. 故选:D. 3．（22-23高一下·贵州安顺·期末）从装有两个红球和两个黑球的口袋里任取两个球，那么互为对立的两个事件是（ ） A．“至少有一个红球”与“都是红球” B．“至少有一个红球”与“都是黑球” C．“至少有一个红球”与“至少有一个黑球” D．“恰好有一个红球”与“恰好有两个红球” 【答案】B 【分析】根据对立事件的定义逐项分析. 【详解】设红球的编号为1,2，黑球的编号为a，b，取2个球的全集， 对于A，事件A：“至少有1个红球”，事件B：“都是红球”， ，错误； 对于B，事件C：“都是黑球”，，并且，即A与C必然有一个会发生，正确； 对于C，事件D：“至少1个是黑球”，，错误； 对于D，事件E：“恰好1个是红球”，事件F：“恰好2个是红球”， 所以，但，所以E和F不是对立事件，只是互斥事件，错误； 故选：B. 题型二：互斥事件的概率公式求概率 4．（22-23高一下·江西南昌）已知事件两两互斥，若，，，则（ ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据互斥事件定义、并事件概率公式直接求解即可. 【详解】两两互斥，， ，， . 故选：B. 5．（22-23高一下·安徽合肥·期末）为了普及党史知识，某校举行了党史知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为p，乙同学答对每题的概率都为，且在考试中每人各题答题结果互不影响.已知每题甲、乙两人同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为.则甲、乙两人共答对至少3道题的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用相互独立事件、互斥事件概率公式求出，再利用利用相互独立事件、互斥事件求解作答. 【详解】依题意，，而，解得，， 设“甲同学答对了i题”，“乙同学答对了i题”，（）， 则，，，， 甲、乙两人共答对至少3道题的事件， 因此， 所以甲、乙两人共答对至少3道题的概率是． 故选：C 【点睛】关键点睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成两两互斥事件的和，相互独立事件的积是解题的关键. 6．（22-23高一下·全国）掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现1点，2点，3点，4点，5点，6点的概率均为，记事件为“向上的点数是奇数”，事件B为“向上的点数不超过3”，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】记事件“出现点（其中，2，3，4，5，6）”，结合，即可求解. 【详解】记事件“出现点（其中，2，3，4，5，6）”， 则，，， 所以，，， 所以. 故选：C. 题型三：对立事件的概率公式求概率 7．（22-23高一下·甘肃临夏·期末）如图，A，B，C表示某系统的3个开关，若在某段时间内它们正常工作的概率分别为0.85，0.8，0.75，那么系统可以正常工作的概率为（ ） A．0.0645 B．0.9955 C．0.4995 D．0.9925 【答案】D 【分析】利用相互独立事件的概率公式及对立事件的概率公式. 【详解】因为A，B，C表示某系统的3个开关相互独立，三个中只要至少有一个正常工作即可， 所以. 故答案为：D 8．（22-23高一下·广东广州·期末）已知事件的概率均不为0，则的充要条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据和事件的概率公式、积事件的概率公式以及相互独立事件的概率公式逐项分析即可. 【详解】因为， 由， 只能得到，并不能得到， 故A错误； 因为， ， 又， 所以， 由于无法确定事件是否相互独立， 故无法确定，故B选项错误； 因为，， 又，所以， 故C正确； 对于D，由于不能确定是否相互独立， 若相互独立，则，， 则由可得， 故无法确定， 故D错误； 故选：C. 9．（22-23高二下·云南曲靖·期末）书架上有10本书随机排成一排，其中有2本数学书，语文和英语书共8本，从中随机取出一本书，设取出数学书为事件A，取出语文书为事件，随机事件与对立．若，则（ ） A．0.7 B．0.8 C．0.3 D．0.5 【答案】A 【分析】根据题意，结合互斥事件和对立事件的概率公式，即可求解. 【详解】由题意，事件的概率为， 因为事件与事件互斥且，可得， 又因为随机事件与对立，所以． 故选：A． 题型四：互斥独立事件概率的综合应用 10．（23-24高一下·辽宁）与进行“抽鬼牌”游戏，游戏开始时，手中有张两两不同的牌，手上有张牌，其中张牌与手中的牌相同，剩下一张为“鬼牌”，与其他所有牌都不同.游戏规则为： （ⅰ）双方交替从对方手中抽取一张牌，先从手中抽取； （ⅱ）若某位玩家抽到对方的牌与自己手中的某张牌一致，则将两张牌丢弃； （ⅲ）最后剩一张牌（鬼牌）时，持有鬼牌的玩家为输家. 假设每一次从对方手上抽到任一张牌的概率都相同. (1)当时，求获胜的概率； (2)当时，求获胜的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）A获胜分为2种情况，利用概率的加法公式求解即可. 【详解】（1）记初始手上张牌时， 胜的概率为，当时，即当手上有张牌，手上张牌，包含张“鬼牌”时，获胜的概率为， 若抽中的不是“鬼牌”时，则甲获胜，其概率为， 若抽中的是“鬼牌”，时，抽中的也是“鬼牌”，甲想要获胜的概率为， 若抽中的是“鬼牌”，时，抽中的不是“鬼牌”， 甲不可能获胜，此情况不存在， 所以，解得. （2）当时，即当手上有张牌，手上张牌，包含张“鬼牌”时，获胜的概率为， 若抽中的不是“鬼牌”时，则甲获胜，其概率为， 若抽中的是“鬼牌”，时，抽中的也是“鬼牌”，甲想要获胜的概率为， 若抽中的是“鬼牌”，时，抽中的不是“鬼牌”， 甲不可能获胜，此情况不存在， 所以，解得. 11．（23-24高一上·辽宁葫芦岛·期末）某校开展定点投篮项目测试，规则如下：共设定两个投篮点位，一个是三分线上的甲处，另一个是罚篮点位乙处，在甲处每投进一球得3分，在乙处每投进一球得2分．如果前两次得分之和超过3分即停止投篮并且通过测试，否则将进行第三次投篮，每人最多投篮3次，如果最终得分超过3分则通过测试，否则不通过．小明在甲处投篮命中率为，在乙处投篮命中率为，小明选择在甲处投一球，以后都在乙处投． (1)求小明得3分的概率； (2)试比较小明选择都在乙处投篮与选择上述方式投篮哪个通过率更大． 【答案】(1) (2)选择都在乙处投篮通过率更大 【分析】（1）由对立事件和相互独立事件性质求解即可； （2）分别求出：小明选择都在乙处投篮及小明选择在甲处投一球，以后都在乙处投，测试通过的概率，比较即可. 【详解】（1）设小明在甲处投进为事件A，在乙处投进为事件B， 于是，， 小明得3分的概率． （2）小明选择都在乙处投篮，测试通过的概率 ， 小明选择在甲处投一球，以后都在乙处投，测试通过的概率 ， ，所以选择都在乙处投篮通过率更大． 12．（23-24高二上·云南大理·期末）算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具．如图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别表示个位、十位、百位、千位、……，上面一粒珠子（简称上珠）代表5，下面一粒珠子（简称下珠）代表1，五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小．例如，个位拨动一粒上珠、十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字15．现将算盘的个位、十位、百位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件“表示的三位数能被5整除”，“表示的三位数能被3整除”． (1)求事件发生的概率； (2)求事件或发生的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）所有组成的三位数的个数是，只需个位数是5的数的个数即可得解. （2）由题意先求得，，再根据和事件的概率公式结合（1）中结论即可得解. 【详解】（1）只拨动一粒珠子至梁上，因此数字只表示1或5，三位数的个数是， 要使得组成的三位数能被5整除，则只需个位数是5即可， 而这些数中个位数是5的数的个数为， 所以事件发生的概率. （2）由题意要使得组成的三位数能被3整除，则只能同时出现3个1或者同时出现3个5，即111和555共两个数， 即组成的三位数能被3整除的数的个数为2个， 所以， 又555既能被3整除，又能被5整除，即， 所以事件或发生的概率为. 【双基达标】 一、单选题 13．（2024高一下·全国·专题练习）设为三个事件，分别表示它们的对立事件，表示“三个事件恰有一个发生”的表达式为（ ） A． B． C． D．＋＋ 【答案】B 【分析】根据事件的交和并即可得到答案. 【详解】选项A表示三个事件至少有一个发生； 选项B表示三个事件恰有一个发生； 选项C表示三个事件恰有一个不发生； 选项D表示三个事件至少有一个不发生． 故选：B. 14．（23-24高一下·全国·随堂练习）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A表示随机事件“两枚炮弹都击中飞机”，事件B表示随机事件“两枚炮弹都未击中飞机”，事件C表示随机事件“恰有一枚炮弹击中飞机”，事件D表示随机事件“至少有一枚炮弹击中飞机”，则下列关系不正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定的试验过程，分析事件含有的基本事件情况逐项判断即可. 【详解】对于A，“至少有一枚炮弹击中飞机”包含两种情况：一种是恰有一枚炮弹击中飞机， 另一种是两枚炮弹都击中飞机，即发生，必发生，因此，A正确； 对于B，显然事件是事件的对立事件，因此，B正确； 对于C，“恰有一枚炮弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没击中或第一枚没击中第二枚击中，因此，C正确； 对于D，包含该试验的所有样本点，为必然事件，而事件表示“两个炮弹都击中飞机或者都没击中飞机”， 因此，D错误. 故选：D 15．（23-24高二下·广东惠州·阶段练习）依次抛掷一枚质地均匀的骰子两次，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为2”，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为6”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为7”，则（ ） A．与为对立事件 B．与为相互独立事件 C．与为相互独立事件 D．与为互斥事件 【答案】C 【分析】利用列举法与古典概型的概率公式求得各事件的概率，由即可判断A；由即可判断B；由即可判断C，由即可判断D. 【详解】依次抛掷两枚质地均匀的骰子，两次的结果用有序数对表示，其中第一次在前，第二次在后，样本空间如下： ，共36个样本点． 则事件包括，共6个，， 事件包括 ，共18个，， 事件包括，共5个，， 事件包括，共6个，. 对于A，，所以与不为对立事件，故A错误； 对于B，事件包括，则，又，， 所以，即与不相互独立，故B错误； 对于C，事件包括，则，又，， 所以，即与相互独立，故C正确； 对于D，事件包括，则，即与不为互斥事件，故D错误. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：利用列举法和古典概型的概率公式求得各事件的概率是解决本题的关键. 16．（23-24高一下·辽宁抚顺·阶段练习）一个箱子中装有6个红球和4个白球，从中随机取出三个球，则取出的三个球中至少有一个红球的概率（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先判断这是古典概型，因所求事件正面情况多，故考虑先求其对立事件概率，再运用对立事件概率公式即可求得. 【详解】因是随机取球，每个球被取到的可能性相同，故这是古典概型. 从中随机取出三个球的方法总数为种， 而“取出的三个球中至少有一个红球”的对立事件是“取出的三个球中全是白球”，其取法有种， 故“取出的三个球中至少有一个红球”的概率为. 故选：A. 17．（23-24高二下·四川绵阳·期中）某产品在进入市场前必须进行两轮某项指标的检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能售.已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响. (1)求该产品能销售的概率； (2)已知一箱中有该产品3件，求3件产品中至少有1件能销售的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用相互独立事件的概率公式求解即可； （2）借助对立事件的概率公式计算. 【详解】（1）两轮检测相互独立， 所以产品能销售的概率为. （2）令事件A：“3件产品中至少有1件能销售”， 则P(A)=. 18．（23-24高一下·全国·课堂例题）某场知识竞赛比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题.已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是，若各家庭回答是否正确互不影响. (1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率； (2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率. 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）令甲、乙、丙家庭回答正确分别为事件，由，，根据相互独立事件性质可求解； （2）令甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题为事件，即三个家庭中有一个家庭回答错误或者三个家庭都回答正确 则：，代入第一问数据即可. 【详解】（1）设甲、乙、丙家庭回答正确分别为事件， 根据题意，则有，则， 又，所以，即， 又，所以. 所以乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率分别为和. （2）设甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题为事件， 则有 ， 所以甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率为. 【高分突破】 一、单选题 19．（2024高一下·全国）在一次随机试验中，是彼此互斥的事件，且是必然事件，则下列说法正确的是（ ） A．与是互斥事件，也是对立事件 B．与是互斥事件，也是对立事件 C．与是互斥事件，但不是对立事件 D．与是互斥事件，也是对立事件 【答案】D 【详解】由于彼此互斥，且是必然事件，故其事件的关系如图所示， 由图可知，任何一个事件与其余三个事件的和事件互为对立， 任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件互为对立， 所以只有D中的说法正确． 故选：D. 20．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）依次抛掷两枚质地均匀的骰子，记骰子向上的点数．用表示第一次抛掷骰子的点数，用表示第二次抛掷骰子的点数，用表示一次试验的结果．记“”为事件，“”为事件，“”为事件，则（ ） A．与相互独立 B．与对立 C．与相互独立 D．与相互独立 【答案】C 【分析】用列举法列出所有可能结果，再结合互斥事件、对立事件、相互独立事件及古典概型的概率公式计算可得． 【详解】依题意依次抛掷两枚质地均匀的骰子，基本事件总数为个； 其中事件“ ”包含的样本点有： ，，，，，共个； 事件 “ ”，包含的样本点有： ， ， ， ，，，，，共个， 事件 “”，包含的样本点有：，，，，，， ，，，，，， ，，，，，共个， 所以与不能同时发生，但是能同时不发生，故不是对立事件，故 B 错误； 因为与不能同时发生，所以与是互斥事件，则， 又 ， ，所以， 所以与不相互独立，故A错误； 又事件包含的样本点有： ，，共个， 所以 ， ，则 ， 所以 与 相互独立，故C正确； 事件包含的样本点有：， ， ，，，共个， 因为，所以 与 不相互独立，故D 错误． 故选：C 21．（23-24高一下·广西·开学考试）已知甲袋中有标号分别为的四个小球，乙袋中有标号分别为的四个小球，这些球除标号外完全相同，第一次从甲袋中取出一个小球，第二次从乙袋中取出一个小球，事件表示“第一次取出的小球标号为3”，事件表示“第二次取出的小球标号为偶数”，事件表示“两次取出的小球标号之和为7”，事件表示“两次取出的小球标号之和为偶数”，则（ ） A．与相互独立 B．与是对立事件 C．与是对立事件 D．与相互独立 【答案】D 【分析】利用互斥，对立，独立事件的定义逐项判断即可. 【详解】由题意可得基本事件总数为， 设 ， 由题意可得与可以同时发生，故不是对立事件， 易知与不同时发生，为互斥事件，但不是对立事件，比如还可以有发生，则错误. ， 则， 从而与不相互独立，与相互独立，故A错误，D正确. 故选：D 22．（23-24高一上·北京延庆·期末）一个袋子中有大小和质地相同的4个球 其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机揽出2个球，每次摸出一个球，设事件"第一次摸到红球"， "第二次摸到红球"，"两次都摸到红球"，"两次都摸到绿球”，“两球颜色相同”，“两球颜色不同”.则下列说法错误的是（ ） A． B． R与G互斥但不对立 C． D．S与T相互独立 【答案】D 【分析】利用互斥事件、对立事件、相互独立事件的定义求解， 【详解】对于A，“两球颜色相同”，“两球颜色不同”是对立事件， 所以，故A正确； 对于B，"两次都摸到红球"和"两次都摸到绿球”，不能同时发生，但能同时不发生， 所以R与G互斥但不对立，故B正确； 对于C，"两次都摸到红球"，"两次都摸到绿球”，“两球颜色相同”， 所以，故C正确； 对于D，从袋中不放回地依次随机揽出2个球，不同的结果有： ，共12种结果， 事件S包含这6种结果，， 事件T包含这6种结果，， 事件ST包含这2种结果，， ，所以S与T不是相互独立事件，故D错误. 故选：D. 23．（23-24高一上·江西九江·期末）给出下列四种说法： ①若事件A，B互斥，则与一定互斥； ②若A，B为两个事件，则； ③若事件A，B，C彼此互斥，则； ④若事件A，B满足，则A，B是对立事件. 其中错误的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据互斥事件及对立事件的定义及概率计算公式，逐个判定即可. 【详解】对于①，若事件A，B互斥，则与不一定是互斥事件， 故①错误； 对于②，若A，B为两个事件， 则,故②错误； 对于③，若事件A，B，C彼此互斥， 则，故③正确； 对于④，若事件A，B满足， 则A，B不一定是对立事件， 例如：设投一枚硬币3次，事件“至少出现一次正面”， 事件“出现3次正面”， 则,满足， 但A，B不是对立事件，故④错误， 故错误的命题有3个， 故选:D. 24．（23-24高二下·重庆·开学考试）从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，现从两袋各摸出一个球，记事件A：2个球都是红球，事件B：2个球中恰有1个红球，事件C：2个球至少有1个红球，事件D：2个球不都是红球，则下列说法正确的是（ ） A．事件A与事件互斥 B． C．事件A与事件D对立 D． 【答案】C 【分析】记从甲袋中摸出一个红球的事件为，从乙袋中摸出一个红球的事件为，根据互斥和对立事件的定义分析判断AC；根据独立事件概率乘法公式以及互斥事件概率求法分析判断BD. 【详解】记从甲袋中摸出一个红球的事件为，从乙袋中摸出一个红球的事件为， 可知，相互独立， 于是：， 由此可得：可能同时发生，A错误；互为对立事件，C正确； 因为，所以，B错误； 因为，所以，D错误. 故选：C. 二、多选题 25．（23-24高二下·河南郑州·期中）对于事件A和事件B，，，则下列说法正确的是（ ） A．若A与B互斥，则 B．若A与B互斥，则 C．若，则 D．若A与B相互独立，则 【答案】BD 【分析】利用互斥事件、相互独立事件的概率公式，逐项分析计算得解. 【详解】对于A，A与B互斥，则，A错误； 对于B，A与B互斥，则，B正确； 对于C，，则，C错误； 对于D，A与B相互独立，则，D正确. 故选：BD 26．（23-24高一下·全国·课后作业）盒子里有2个红球和2个白球，从中不放回地依次取出2个球，设事件“两个球颜色相同”，“第1次取出的是红球”，“第2次取出的是红球”，“两个球颜色不同”.则下列说法正确的是（ ） A．A与相互独立 B．A与互为对立 C．与互斥 D．与相互独立 【答案】ABD 【分析】依次列出样本空间，事件A、B、C、D包含的基本事件，由事件的基本关系及概率公式一一判定选项即可. 【详解】依题意可设2个红球为，2个白球为，则样本空间为： ，共12个基本事件. 事件A，共4个基本事件. 事件B，共6个基本事件. 事件C，共6个基本事件. 事件D， 共8个基本事件. 对于A选项，因， 则，故A与相互独立，故A正确； 对于B选项，注意到，得A与互为对立事件，故B正确； 对于C选项，注意到，则与不互斥，故C错误； 对于D选项，因，，， 则，故D与相互独立，故D正确. 故选：ABD 27．（23-24高一下·辽宁辽阳·阶段练习）甲、乙两社团各有3名男党员、3名女党员，从甲、乙两社团各随机选出1名党员参加宪法知识比赛． 设事件为“从甲社团中选出的是男党员小凡”，事件为“从乙社团中选出的是男党员”，事件为“甲、乙两社团选出的都是男党员”，事件为“从甲、乙两社团中选出的是1名男党员和1名女党员”，则（ ） A．与相互独立 B．与相互独立 C．与相互独立 D．与互斥 【答案】ACD 【分析】根据相互独立事件及互斥事件的定义判断即可. 【详解】由题意可得，，，. 因为，所以与相互独立，故A正确； 因为，所以与不相互独立，故B错误； 因为，所以与相互独立，故C正确； 因为，所以与互斥，故D正确. 故选：ACD 28．（2024·贵州贵阳·一模）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（ ） A．乙发生的概率为 B．丙发生的概率为 C．甲与丁相互独立 D．丙与丁互为对立事件 【答案】BCD 【分析】先计算出甲乙丙丁的概率，故可判断AC的正误，再根据独立事件的乘法公式可判断C的正误，根据对立事件的意义可判断D的正误. 【详解】设A为事件“第一次取出的球的数字是奇数”，B为事件“第二次取出的球的数字是偶数”，C为事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，D为事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则，故A错； ，故B对； 而，故C对； 两次取出的数字之和要么为奇数，要么为偶数，故丙与丁互为对立事件，故D正确. 故选：BCD. 29．（23-24高一上·安徽亳州·期末）中国四大名楼是一种泛称，特指山西永济鹳雀楼、江西南昌滕王阁、湖北武汉黄鹤楼、湖南岳阳岳阳楼．记事件“只去黄鹤楼”，事件“至少去两个名楼”，事件“只去一个名楼”，事件“一个名楼也不去”，事件“至多去一个名楼”，则下列命题正确的是（ ） A．E与H是互斥事件 B．F与I是互斥事件，且是对立事件 C． D． 【答案】ABC 【分析】根据互斥事件、对立事件的定义和事件间的运算即可得出答案. 【详解】对于A，事件E，H不可能同时发生，是互斥事件，故A正确； 对于B，事件F与I不可能同时发生，且发生的概率之和为1，是互斥事件，且为对立事件，故B正确； 事件“至多去一个名楼”刚好包含事件“只去一个名楼”与事件“一个名楼也不去”，所以，，故C正确，D错误 故选：ABC． 30．（23-24高一上·江西新余·期末）伯努利试验是在同样的条件下重复地、相互独立地进行的一种随机试验，其特点是每次试验只有两种可能结果．若连续抛郑一枚质地均匀的硬币次，记录这次实验的结果，设事件表示“次实验结果中，既出现正面又出现反面”，事件表示“次实验结果中，最多只出现一次反面”，则下列结论正确的是（ ）． A．若，则与不互斥 B．若，则与不相互独立 C．若，则与相互独立 D．若，则与互斥 【答案】ABC 【分析】根据已知条件，分析和时所有的基本事件的结果，利用事件互斥和两事件相互独立的定义分别判断即可. 【详解】A选项：时，若两次实验中结果为一次正面，一次反面，则事件与同时发生， 由互斥事件定义，与不互斥，A正确； B选项：时，两次实验的结果有（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）种， ，，，， 所以与不相互独立，B正确； C选项：时，三次实验的结果有（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正）， （正，反，反），（反，正，正），（反，反，正），（反，正，反），（反，反，反）种情 况，，，，， 所以与相互独立，C正确； D选项：时，若三次实验结果为（正，正，反），则事件与同时发生， 由互斥事件定义，与不互斥，D错误. 故选：ABC 三、填空题 31．（2024高一下·全国·专题练习）同时抛掷甲、乙两枚均匀的骰子，事件“都不是5点且不是6点”的对立事件为 ．（填序号） ①一个是5点，另一个是6点； ②一个是5点，另一个是4点； ③至少有一个是5点或6点； ④至多有一个是5点或6点． 【答案】③ 【分析】根据对立事件的概念求解. 【详解】同时掷甲、乙两枚骰子，“都不是5点且不是6点”，其对立事件是“至少有一个是5点或6点”. 故答案为：③. 32．（23-24高一下·河南·开学考试）甲、乙两个篮球队进行比赛，获胜队将代表所在区参加市级比赛，他们约定，先赢四场比赛的队伍获胜．假设每场甲、乙两队获胜的概率均为，每场比赛不存在平局且比赛结果相互独立，若在前三场比赛中，甲队赢了两场，乙队赢了一场，则最终甲队获胜的概率为 ． 【答案】/ 【分析】考虑先赢四场比赛的队伍获胜，甲队已经赢了两场，故只需再先赢两场则获胜，分析得到甲在随后进行的场次可以有两场连胜，也可输一场赢两场（含两种情况），还可以输两场赢两场（含三种情况），分别计算概率，再利用互斥事件的概率加法公式即得. 【详解】由题意得甲、乙两队获胜的概率均为，且最多再进行四场比赛，最少再进行两场比赛. 则①再进行两场比赛甲队获胜的概率为； ②再进行三场比赛甲队获胜的概率为； ③再进行四场比赛甲队获胜的概率为， 由互斥事件的概率加法公式，可得最终甲队获胜的概率为． 故答案为. 33．（23-24高一上·河南驻马店·期末）如图，用三个不同的元件连接成一个系统．当元件正常工作且元件至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知元件正常工作的概率依次为，则系统能正常工作的概率为 ． 【答案】/ 【分析】根据相互独立事件概率计算公式求得正确答案. 【详解】系统能正常工作，则至少有个能正常工作且能正常公式， 所以系统能正常工作的概率为. 故答案为： 34．（23-24高一上·山东潍坊·期末）11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时乙得分的概率为，各球的结果相互独立.在某局打成后，甲先发球，则甲以获胜的概率为 . 【答案】 【分析】先根据甲以获胜时，前2场甲一胜一负，最后2场甲连胜，再利用独立事件概率公式和互斥事件概率公式即可求解. 【详解】由题意可得，甲、乙的比分为后，甲、乙又进行了4场比赛，每场比赛结果相互独立， 前2场甲一胜一负，最后2场甲连胜. 则甲以赢得比赛的概率为. 故答案为： 35．（23-24高一上·安徽亳州·期末）“秋风起．月渐圆，桂树落叶，兔儿下凡间”．中秋节是中国传统节日，为了让更多的小朋友参与到中秋节的欢乐氛围中来，秦皇岛市青少年宫特别推出了“团圆中秋喜迎国庆”——中秋猜灯谜活动，欢迎小朋友们前来，感受传统文化的熏陶，品味传统习俗的趣味．现有甲，乙两位小朋友组成“快乐宝贝队”参加猜灯谜活动，每轮活动由甲，乙各猜一个灯谜，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮精对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则“快乐宝贝队”在两轮活动中猜对2个灯谜的概率为 ． 【答案】 【分析】分甲两轮猜对个，个，个和乙两轮猜对个，个，个，结合独立事件乘法和互斥加法求解. 【详解】设分别表示甲两轮猜对个，个，个灯谜的事件，分别表示乙两轮猜对个，个，个灯谜的事件．根据独立事件的性质，可得 ， ， 设“两轮活动‘快乐宝贝队’猜对2个灯谜”，则，且互斥，与，与，与分别相互独立，所以 ，因此，“快乐宝贝队”在两轮活动中猜对2个灯谜的概率是． 故答案为： 四、解答题 36．（23-24高一上·江西赣州·期末）我省从2024年开始，高考不分文理科，实行“”模式，其中“3”指的是语文、数学，外语这3门必选科目，“1”指的是考生需要在物理、历史这2门首选科目中选择1门，“2”指的是考生需要在思想政治、地理、化学、生物这4门再选科目中选择2门．已知某高校临床医学类招生选科要求是首选科目为物理，再选科目为化学、生物至少1门． (1)从所有选科组合中任意选取1个，求该选科组合符合某高校临床医学类招生选科要求的概率； (2)假设甲、乙两人每人选择任意1个选科组合是等可能的且相互独立，求这两人中恰好有一人的选科组合符合某高校临床医学类招生选科要求的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用古典概型求概率的方法求概率即可； （2）根据互斥事件概率加法公式求概率即可. 【详解】（1）用，分别表示“选择物理”“选择历史”，，，，分别表示“选择化学”“选择生物”“选择思想政治”“选择地理”， 则所有选科组合的样本空间 则 设表示“从所有选科组合中任意选取1个，有选科组合符合该医科大学临床医学类招生选科要求” 则 则 则． （2）设甲、乙两人每人的选科组合符合该医科大学临床医学类招生选科要求的事件分别为，，由题意知事件，相互独立 由（1）知 记“甲、乙两人中恰好有一人的选科组合符合该医科大学临床医学类招生选科要求”， 则 易知事件，两两互斥， 根据互斥事件概率加法公式得 ． 37．（23-24高一上·陕西渭南·期末）一题多解是由多种途径获得同一数学问题的最终结论，一题多解不但达到了解题的目标要求，而且让学生的思维得以拓展，不受固定思维模式的束缚.学生多角度､多方位地去思考解题的方案，让解题增添了新颖性和趣味性，并在解题中解放了解题思维模式，使得枯燥的数学解题更加丰富而多彩.假设某题共存在4种常规解法，已知小红使用解法一､二､三､四答对的概率分别为，且各种方法能否答对互不影响，小红使用四种解法全部答对的概率为. (1)求的值； (2)求小红使用四种解法解题，其中有三种解法答对的概率.（结果用分数表示） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据独立事件的概率乘法公式，列式求解，即得答案； （2）考虑小红使用四种解法解题，其中有三种解法答对的情况有4种，根据互斥事件的概率公式结合独立事件的概率公式，即可求得答案. 【详解】（1）由题意知小红使用解法一､二､三､四答对的概率分别为，且各种方法能否答对互不影响， 由小红使用四种解法全部答对的概率为，得， ； （2）设小红小红使用解法一､二､三､四答对的事件为, 有三种解法答对的事件为E，则, 故 . 38．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）已知甲箱中有4个大小、形状完全相同的小球，上面分别标有大写英文字母、和小写英文字母、；乙箱中有个与甲箱大小、形状完全相同的小球，上面分别标有数字1，2，…， (1)现从甲箱中任意抽取2个小球，求恰好一个小球上面标有大写英文字母、另一个小球上面标有小写英文字母的概率； (2)现从乙箱中任意抽取1个小球，设=“所抽小球上面标注的数字”，记事件=“”，事件=“”，若事件与事件独立，求的值； (3)在（2）的条件下，现将甲、乙两箱的小球都放入丙箱，充分摇匀，然后有放回地抽取3次，每次取1个小球，求这3个小球中至少有2个小球上面标有英文字母的概率． 【答案】(1)； (2)6； (3). 【分析】（1）利用列举法，结合古典概率公式计算即得. （2）求出事件、、的概率，再利用相互独立事件的概率公式计算即得. （3）将所求概率的事件分拆成互斥事件的和，利用互斥事件的加法公式计算即得. 【详解】（1）依题意，样本空间，共包含6个样本点， 记事件C=“恰好一个小球上面标注大写英文字母、另一个小球上面标注小写英文字母”， 则，共包含4个样本点， 所以事件C的概率为. （2）依题意，事件，事件，， 由事件与事件独立，得，即，解得， 所以的值为6. （3）由（2）知，丙箱中有10个小球，所抽小球上面标注英文字母的事件为，则， 记事件=“这3个小球中至少有2个标注英文字母”，则， 所以. 39．（23-24高一上·北京海淀·期末）国务院正式公布的《第一批全国重点文物保护单位名单》中把重点文物保护单位（下述简称为“第一批文保单位”）分为六大类．其中“A:革命遗址及革命纪念建筑物”、“B:石窟寺”、“C:古建筑及历史纪念建筑物”、“D:石刻及其他”、“E:古遗址”、“F:古墓葬”．北京的18个“第一批文保单位”所在区分布如下表： 行政区 门类 个数 东城区 A：革命遗址及革命纪念建筑物 3 C:古建筑及历史纪念建筑物 5 西城区 C:古建筑及历史纪念建筑物 2 丰台区 A:革命遗址及革命纪念建筑物 1 海淀区 C:古建筑及历史纪念建筑物 2 房山区 C:古建筑及历史纪念建筑物 1 E:古遗址 1 昌平区 C:古建筑及历史纪念建筑物 1 F:古墓葬 1 延庆区 C:古建筑及历史纪念建筑物 1 (1)某个研学小组随机选择北京市“第一批文保单位”中的一个进行参观，求选中的参观单位恰好为“C:古建筑及历史纪念建筑物”的概率； (2)小王同学随机选择北京市“第一批文保单位”中的“A:革命遗址及革命纪念建筑物”中的一个进行参观；小张同学随机选择北京市“第一批文保单位”中的“C:古建筑及历史纪念建筑物”中的一个进行参观．两人选择参观单位互不影响，求两人选择的参观单位恰好在同一个区的概率； (3)现在拟从北京市“第一批文保单位”中的“C:古建筑及历史纪念建筑物”中随机抽取2个单位进行常规检查．记抽到海淀区的概率为，抽不到海淀区的概率记为，试判断和的大小（直接写出结论）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意知总样本数为，C:古建筑及历史纪念建筑物共有，利用古典概率从而求解. （2）由题意可知小王参观A:革命遗址及革命纪念建筑物与小张参观C:古建筑及历史纪念建筑物在同一个区的只有东城区，然后分别求出他们参观东城区的概率，从而求解. （3）利用分类讨论求出相应的抽到海淀区的概率和抽不到海淀区的概率，从而求解. 【详解】（1）设选中参观单位恰好为“C:古建筑及历史纪念建筑物”为事件， 由题意知总共有，“C:古建筑及历史纪念建筑物”有， 所以. （2）设两人选择的参观单位恰好在同一个区为事件，由题意可知小王参观A:革命遗址及革命纪念建筑物与小张参观C:古建筑及历史纪念建筑物在同一个区的只有东城区， 所以小王参观东城区景区的概率为，小张参观东城区景区的概率为， 所以. （3）当抽到的个都是海淀区的概率为， 当抽到的个中有个是海淀区的概率为， 所以，， 所以. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$