专题5 概率的综合问题 课件 2023-2024学年北师大版数学九年级上册

第三章　概率的进一步认识 专题5　概率的综合问题 数学 九年级上册 BS版 数学 九年级上册 BS版 专题解读 典例讲练 目录 CONTENTS 数学 九年级上册 BS版 0 1 专题解读 ◎问题综述 概率问题在历年的中考中都有出现，常结合统计、代数、 几何等相关知识综合考查.概率问题一般不困难，但部分较烦 琐，在做此类题目时，关键在于理解题意，能清晰地写出解答 过程. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 ◎要点归纳 1. 把刻画随机事件 A 发生的可能性大小的数值，称为随机事件 A 发生的 ，其计算由理论计算和试验估值两种方式. 2. 根据获得概率的方式，我们遇到的概率问题大致分为三类： 概率　 数学 九年级上册 BS版 返回目录 （1）第一类问题，它没有理论概率，只能通过多次试验，用频 率估计概率； （2）第二类问题，它有理论概率，但理论概率计算很困难，这 时也可以通过多次试验，用频率估计概率； （3）第三类问题，它是简单的古典概型，有理论概率，且理论 概率的计算较为简单，我们就通过公式 P （ A ）＝ 来计算得到概率. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 3. 常用的计算概率的基本方法. （1）利用等可能事件的概率计算公式计算涉及一步试验的古典 概型及可化为古典概型的几何概型的概率； （2）计算涉及两步试验的等可能事件概率的两种方法——画树 状图和列表. 注：当涉及两步试验时，用列表法较为简便，也可用画树状图 法；当涉及三步及三步以上试验时，应选用画树状图法. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 数学 九年级上册 BS版 0 2 典例讲练 类型一　概率与频率的综合问题 一个不透明的袋子中装有4个小球，分别标有数字2，3， 4， x ，这些球除数字外都相同. 甲、乙两人每次同时从袋中各随 机摸出1个小球，并计算摸出的这两个小球上的数字之和. 记录 后都将小球放回袋中搅匀，进行重复试验，试验数据如下表： 数学 九年级上册 BS版 返回目录 摸球总次数 “和为7”出现的频数 “和为7”出现的频率 10 1 0.10 20 9 0.45 30 14 0.47 60 24 0.40 90 26 0.29 数学 九年级上册 BS版 返回目录 摸球总次数 “和为7”出现的频数 “和为7”出现的频率 120 37 0.31 180 58 0.32 240 79 0.33 330 109 0.33 数学 九年级上册 BS版 返回目录 根据表中数据，解答下列问题： （1）若试验继续进行下去，出现“和为7”的频率将稳定在它 的概率附近，试估计出现“和为7”的概率为 ⁠ ⁠； （2）根据（1），若 x 是不等于2，3，4的自然数，试求 x 的值. 【思路导航】（1）观察表格中的数据，利用概率与频率之间的 关系，即可得出结论；（2）利用（1）得到事件“和为7”的概 率，即可列表、列式求解 x 的值. 0.33（答案不唯 一）　 数学 九年级上册 BS版 返回目录 （1）【解析】出现“和为7”的概率为0.33（或0.31，0.32， 0.34均正确）.故答案为0.33（答案不唯一）. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 （2）解：列表如下： 乙 甲 2 3 4 x 2 5 6 2＋ x 3 5 7 3＋ x 4 6 7 4＋ x x 2＋ x 3＋ x 4＋ x 数学 九年级上册 BS版 返回目录 由表可知，一共有12种等可能的结果.又由（1）知，出现 “和为7”的概率约为0.33，∴“和为7”出现的次数约为 0.33×12＝3.96≈4（用另外三个概率估计值说明亦可）. 若2＋ x ＝7，则 x ＝5. 此时 P （和为7）＝ ＝ ≈0.33，符 合题意； 若3＋ x ＝7，则 x ＝4，不符合题意； 若4＋ x ＝7，则 x ＝3，不符合题意. ∴ x ＝5.（说理方法不唯一，合理即可） 数学 九年级上册 BS版 返回目录 【点拨】本例属于利用概率与频率之间的关系来解决的综合问 题.要注意如下问题：（1）在大量重复试验中，如果事件 A 发生 的频率稳定在某个常数 P 附近，那么这个常数 P 就是事件 A 发生 的概率.主要用于：①不是理论概率的问题，只能通过多次试 验，用频率来估计概率；②虽然是理论概率的问题，但理论概 率的计算很困难，这时也可以通过多次试验，用频率来估计概 率.（2）利用频率估计概率时，不能以某一次或次数较少的试 验结果作为估计的概率，试验次数越多，用频率估计的概率也 就越准确，即用足够多次试验后的频率稳定值估计其概率. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 某水果公司以2元/ kg 的成本购进10 000 kg 柑橘，销售人员在销 售过程中随机抽取柑橘进行“损坏率”统计，并绘制成如图所 示的统计图.根据统计图提供的信息解答下列问题： 数学 九年级上册 BS版 返回目录 （1）柑橘损坏的概率估计值为 ，柑橘完好的概率估计 值为 ⁠； （1）【解析】根据所给的统计图可知，柑橘损坏的概率估计值 为0.1，则柑橘完好的概率估计值为1－0.1＝0.9.故答案为0.1， 0.9. （2）估计这批柑橘完好的质量为 kg ； （2）【解析】根据（1）知，估计这批柑橘完好的质量为10 000×0.9＝9 000（ kg ）.故答案为9 000. 0.1　 0.9　 9 000　 数学 九年级上册 BS版 返回目录 （3）若公司希望销售这些柑橘能获得25 000元的利润，则在出 售（已去掉损坏的柑橘）时，每千克柑橘大约定价为多少元比 较合适（精确到0.01）？ （3）解：设每千克柑橘大约定价为 x 元比较合适.根据题意，得 （ x －2）×9 000＝25 000，解得 x ≈4.78. 故每千克柑橘大约定价为4.78元比较合适. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 类型二　概率与统计的综合问题 张老师为了了解本班学生完成数学课前预习的具体情况， 对本班部分学生进行了为期半个月的跟踪调查.他将调查结果分 为四类：A. 很好；B. 较好；C. 一般；D. 较差.并将调查结果绘 制成以下两幅不完整的统计图.请你根据统计图解答下列问题： 数学 九年级上册 BS版 返回目录 　　　　 （1）请计算出A类男生、C类女生和D类男生的人数，并将条形 统计图补充完整； （2）为了共同进步，张老师想从被调查的A类和D类学生中各 随机选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用画树状图或 列表的方法求出所选两位同学恰好是一男一女的概率. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 【思路导航】（1）由B类人数及其所占百分比求得总人数，再 用总人数分别乘A，C类对应的百分比求得其人数，据此结合条 形统计图进一步得到答案，并补全条形统计图即可；（2）画树 状图列出所有可能的结果，从中找到所选两位同学恰好是一男 一女同学的结果，利用概率公式求解即可. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 解：（1）∵ 被调查的总人数为（7＋5）÷60％＝20， ∴A类人数为20×15％＝3， C类人数为20×（1－15％－60％－10％）＝3. 则A类男生人数为3－1＝2， C类女生人数为3－1＝2. D类男生人数为20×10％－1＝1. 补全条形统计图如下： 数学 九年级上册 BS版 返回目录 （2）画树状图（略图）如下： 由树状图可知，共有6种等可能的结果，其中所选两位同学恰好 是一位男同学和一位女同学的结果有3种， ∴ P （恰好是一男一女）＝ ＝ . 数学 九年级上册 BS版 返回目录 【点拨】本例属于概率与统计相结合的综合问题，正确读图和 识图是解决本题的关键，要注意的是条形统计图显示各选项的 具体数量，而扇形统计图显示各选项所占的百分比的大小，扇 形统计图中所有扇形表示的百分比之和为1.某选项的具体数量 除以其所占的百分比可得总体的数量，从而可得到各选项的具 体数量.在从统计图中获取有关的信息和必要的数据后，再利用 树状图求得所求的概率. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 胜利中学为丰富同学们的校园生活，举行校园电视台主持人选 拔赛.现将36名参赛选手的成绩（单位：分）统计并绘制成频数 分布直方图和扇形统计图，部分信息如下： 数学 九年级上册 BS版 返回目录 请根据统计图的信息，解答下列问题： （1）补全频数分布直方图，并求扇形统计图中 D 所在扇形的圆 心角度数； 解：（1）∵80～90分的频数为36×50％＝18，∴80～85分的频 数为18－11＝7，95～100分的频数为 36－（4＋18＋9）＝5.∴扇形统计图 中 D 所在扇形的圆心角度数为360°× ＝50°.补全频数分布直方图如图所示： 数学 九年级上册 BS版 返回目录 （2）若成绩在 D 组的选手，男生比女生多一人，从中随机抽取 两人临时担任该校艺术节的主持人，求恰好选中一名男生和一 名女生的概率. 解：（2）结合（1）可知， D 组中男生有3人，女生有2人. 根据题意，画树状图（略图）如下： 数学 九年级上册 BS版 返回目录 由树状图可知，共有20种等可能的结果，其中抽取的学生恰好 是一名男生和一名女生的结果有12种， 故所求的概率为 ＝ . 数学 九年级上册 BS版 返回目录 类型三　概率与代数的综合问题 在一个不透明的口袋中装有4个分别标有数字1，2，3，4的 小球，它们的形状、大小完全相同.小红先从口袋里随机摸出一 个小球，记下数字 x ，小颖在剩下的3个球中随机摸出一个小 球，记下数字 y ，这样确定了点 P 的坐标为（ x ， y ）. （1）小红摸出标有数字3的小球的概率是 ⁠； 　 （1）【解析】小红摸出标有数字3的小球的概率是 .故答案为 . 数学 九年级上册 BS版 返回目录 （3）求点 P （ x ， y ）在函数 y ＝－ x ＋5图象上的概率. 【思路导航】（1）利用概率公式求解即可；（2）利用画树状 图法或列表法求出所有等可能的结果；（3）将函数转化为 x ＋ y ＝5，找出符合题意的结果，然后根据概率公式求解即可. （2）请你用列表法或画树状图法表示由 x ， y 确定的点 P （ x ， y ）所有可能的结果； 数学 九年级上册 BS版 返回目录 （2）解：画树状图（略图）如下： 由树状图可知，点 P 的坐标可能是（1，2），（1，3），（1， 4），（2，1），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2）， （3，4），（4，1），（4，2），（4，3），共12种等可能的 结果. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 （3）解：由（2）可知，共有12种等可能的结果，其中在函数 y ＝－ x ＋5的图象上的结果有4种，即（1，4），（2，3）， （3，2），（4，1），所以点 P （ x ， y ）在函数 y ＝－ x ＋5的 图象上的概率为 ＝ . 数学 九年级上册 BS版 返回目录 【点拨】本例属于概率与代数知识相结合的综合题，概率常常 与代数中的方程、不等式以及函数的有关知识综合考查.在求解 这类综合题时，关键是弄清方程、不等式和函数给出的条件， 以此列举出所有等可能的结果和其中符合条件的结果，再利用 概率公式求解即可. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 现有A，B两个不透明的布袋，A布袋中有四个除标号外完全相 同的小球，小球上分别标有数字0，1，2，3；B布袋中有三个除 标号外完全相同的小球，小球上分别标有数字0，1，2.小明先 从A布袋中随机取出一个小球，用m表示取出的小球上标有的数 字，再从B布袋中随机取出一个小球，用 n 表示取出的小球上标 有的数字.若用（ m ， n ）表示小明取球时 m 与 n 的对应值，求关 于 x 的一元二次方程 x2－ mx ＋ n ＝0有实数根的概率. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 解：画树状图（略图）如下： ∴（ m ， n ）的所有取值是（0，0），（0，1），（0，2）， （1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2， 2），（3，0），（3，1），（3，2），共12种等可能的结果. 由原方程 x2－ mx ＋ n ＝0，得Δ＝ m2－2 n . 数学 九年级上册 BS版 返回目录 当 m ， n 的对应值为（0，0），（1，0），（2，0），（2， 1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）这8种情况 时，Δ≥0，原方程有实数根. ∴ P （原一元二次方程有实数根）＝ ＝ . 数学 九年级上册 BS版 返回目录 类型四　概率与几何的综合问题 一个不透明的袋子中装有4个小球，上面分别标有数－2， －1，0，1，它们除数不同外，其他完全相同.小聪先从袋子中 随机摸出一个小球，记下的数作为平面直角坐标系内点 M 的横 坐标，然后放回搅匀；接着小明再从袋子中随机摸出一个小 球，记下的数作为点 M 的纵坐标.如图，已知 四边形 ABCD 的四个顶点的坐标分别为 A （－2，0）， B （0，－2）， C （1，0）， D （0，1），求点 M 落在四边形 ABCD 内 （含边界）的概率. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 【思路导航】用列表或画树状图的方法列出所有等可能的结 果，并从中找到符合条件的结果，再用概率公式计算即可. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 解：依题意，列表如下： y x －2 －1 0 1 － 2 （－2，－2） （－2，－1） （－2，0） （－2，1） － 1 （－1，－2） （－1，－1） （－1，0） （－1，1） 0 （0，－2） （0，－1） （0，0） （0，1） 1 （1，－2） （1，－1） （1，0） （1，1） 数学 九年级上册 BS版 返回目录 由表可知，共有16种等可能的结果，其中点 M 落在四边形 ABCD 内（含边界）的坐标有（－2，0），（－1，－1）， （－1，0），（0，－2），（0，－1），（0，0），（0， 1），（1，0）这8种情况，∴点 M 落在四边形 ABCD 内（含边 界）的概率为 ＝ . 数学 九年级上册 BS版 返回目录 【点拨】本题考查的是概率与几何，弄清题意后，用列表法或 画树状图法表示出所有等可能的结果，再根据题意，用所求结 果数与总结果数之比求解.解题时要注意是放回试验还是不放回 试验. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 在3×3的方格纸中，点 A ， B ， C ， D ， E ， F 分别位于如图所 示的小正方形的顶点上. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 （1）从 A ， D ， E ， F 四点中任意取一点，以所取的这一点及 点 B ， C 为顶点画三角形，则所画三角形是等腰三角形的概率 是 ⁠； （2）从 A ， D ， E ， F 四点中先后任意取两个不同的点，以所 取的这两点及点 B ， C 为顶点画四边形，则所画四边形是平行 四边形的概率是 ⁠. 　 　 数学 九年级上册 BS版 返回目录 演示完毕 谢谢观看 数学 九年级上册 BS版 $$