九年级数学第一次月考卷（深圳专用，北师大版九上第1章～4.2：特殊平行四边形+一元二次方程+概率+比例）-学易金卷：2024-2025学年初中上学期第一次月考

2024-2025学年九年级数学上学期第一次月考卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大第一章特殊平行四边形+第二章一元二次方程+第三章概率的进一步认识+第四章（4.1成比例线段+4.2平行线分线段成比例）。 5．难度系数：0.65。 第Ⅰ卷 1、 选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： ， 设 则 故选： 2.下列方程中是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，则此项不符题意； B、不是整式方程，则不是一元二次方程，此项不符题意； C、是一元二次方程，则此项符合题意； D、含有两个未知数，不是一元二次方程，则此项不符题意； 故选：C． 3．如图，直线，直线m，n分别与直线a，b，c相交于点A，B，C和点D，E，F，若，，，则（    ） A． B． C．8 D． 【答案】B 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 故选B． 4．顺次连接对角线互相垂直的四边形各边的中点，所得到的四边形是（  ）． A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形 【答案】A 【详解】试题分析：根据对角线互相平分且相等的四边形是矩形解答： ∵顺次连接四边的各边中点所得的四边形是平行四边形，当四边形的对角线互相垂直时，平行四边形的邻边也互相垂直， ∴该四边形是是矩形. 故选A. 5．某公司今年10月的营业额为2500万元，按计划第四季度的总营业额要达到9100万元，该公司11、12两个月营业额的月均增长率，设该公司11、12两个月营业额的月均增长率为x，则根据题意可列的方程为（　　　） A．2500(1＋x)2＝9100 B．2500[1＋(1＋x)＋(1＋x)2]＝9100 C．2500[(1＋x)＋(1＋x)2]＝9100 D．9100(1＋x)2＝2500 【答案】B 【详解】解：设该公司11、12两个月营业额的月均增长率为x， 则可列方程为2500[1+（1+x）+（1+x）2]=9100， 故选：B． 6．下列说法正确的是（    ） A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．四个角相等的四边形是矩形 C．对角线相等的四边形是矩形 D．四条边相等的四边形是正方形 【答案】B 【详解】A. 对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，错误，不符合题意； B. 四个角相等的四边形是矩形，正确，符合题意； C. 对角线相等的平行四边形是矩形，错误，不符合题意； D. 四条边相等的四边形是菱形，错误，不符合题意； 故选：B． 7．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A，B，C在坐标轴上，若点A、B的坐标分别为、，则点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵点A、B的坐标分别为、， ∴，， ∴， ∵四边形为菱形， ∴，，即轴， ∴点D的坐标为：， 故选：A． 8．如图，在平行四边形中，，，，点H，G分别是上的动点，连接．E，F分别为的中点，则的最小值是（　　）    A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：作，如图：    ∵E，F分别为的中点 ∴ 故：当时，有最小值，此时的值也最小 ∴的最小值是 , AQ=BQ, AB=AQ ∴的最小值是 故选：C 第Ⅱ卷 2、 填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。 9．一元二次方程x2＝2x的解为 ． 【答案】x1＝0，x2＝2 【详解】移项得x2－2x=0，即x（x－2）=0， 解得x=0或x=2． 故答案为： 10．若方程的两个实数根为，，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵为方程的实数根， ∴，即， ∴ ∵方程的两个实数根为，， ∴， ∴． 故答案为：． 11．有四张正面分别标有数字，0，1，5的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数学记为a，则使关于x的分式方程有正整数解得概率为 【答案】 【详解】解分式方程得： ， 为正整数， 或（此时，则，原分式方程分母为0，因此是增根，舍去）， 解得：， 把的值代入原方程得， 解方程得到的方程的根为， ∴能使该分式方程有正整数解的有1个， ∴使关于的分式方程有正整数解的概率为， 故答案为： 12．如图，在菱形中，，对角线、交于点，，，点是直线上一动点，连接，以、为邻边作，其对角线与交于点，点的运动过程中，的对角线的最小值是 ． 【答案】4 【详解】解：设，， ∵， ∴， ∵四边形为菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴中，， 即， 整理可得， 解得或， 当时，可得，（舍去）， 此时，不合题意，舍去； 当时，可得，（舍去）， 此时，符合题意， ∴； ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴点在过点，且平行于的直线上， ∴当时，此时取最小值， 如下图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴的对角线的最小值是4． 故答案为：4． 13．如图，以正方形的顶点A为圆心，以的长为半径画弧，交对角线于点E，再分别以D，E为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于图中的点F，连接并延长，与的延长线交于点P，则 ． 【答案】 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， 由作图可知为的平分线， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 三、解答题：本大题共7小题，共61分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 14．(每题3分，共6分）解方程： (1) (2) 【详解】（1）解： 整理方程得：， 分解因式得：，（1分） 解得；（2分） （2）解： 由题意可得，（1分） ∴方程有两个不相等的实数根， ， ．（3分） 15．（8分）关于x的一元二次方程有两个不等实根． （1）求实数k的取值范围． （2）若方程两实根满足，求k的值． 【详解】解：（1）∵原方程有两个不相等的实数根 ∴ （1分） 解得：k﹥；（2分） 故答案为：k﹥. （2）∵k﹥， ∴＜0 又∵（3分） ∴ ，（4分） ∴,（5分） ∵,（6分） ∴2k+1=k2+1， 解得：k1=0,k2=2（7分） 又 ∵k﹥ ∴k=2．（8分） 故答案为：k=2． 16.（7分）某中学为了解九年级学生对三大球类运动的喜爱情况，从九年级学生中随机抽取部分学生进行调查问卷，通过分析整理绘制了如图两幅统计图．请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：    (1)求参与调查的学生中，求喜爱排球运动的学生人数，并补全条形图； (2)若该中学九年级共有400名学生，请你估计该中学九年级学生中喜爱篮球运动的有________名学生； (3)若从喜爱足球运动的2名男生和2名女生中随机抽取2名学生，确定为该校足球运动员的重点培养对象，请用列表法或画树状图的方法求抽取的两名学生为一名男生和一名女生的概率． 【详解】（1）解：由题意得：调查总人数为：（人），（1分） ∴喜爱排球运动的学生人数为：（人），（2分） 补全条形图如下：   （3分） （2）解：∵该中学九年级共有400名学生， ∴该中学九年级学生中喜爱篮球运动的有（名）；（4分） （3）解：画树状图为：   （6分） 共有12种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好是一名男生和一名女生结果数为8，所以抽取的两人恰好是一名男生和一名女生概率；（7分） 17．（9分）中考临近，某商家抓住商机，购买了一批考试专用笔和圆规，商家用1600元购买笔，1200元购买圆规，每支笔和每个圆规的进价之和为10元，且购买笔的数量是圆规的2倍. (1)求商家购买笔和圆规的进价； (2)商家在销售过程中发现，当笔的售价为每支8元，圆规的售价为每个12元时，平均每天可卖出50支笔，30个圆规，据统计，圆规的售价每降低0.5元平均每天可多卖出5个，且降价幅度不超过10%.商家在保证笔的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，想使笔和圆规平均每天的总获利为400元，则每个圆规的售价为多少元？ 【详解】（1）解：设商家购买笔和圆规的进价分别是x和（10-x）元，（1分） 由题意得：，（2分） 解得：x=4，（3分） 经检验：x=4是方程的解，（4分） ∴10-x=6， 答：商家购买笔和圆规的进价分别是4元和6元．（5分） （2）设每个圆规的售价为m元， 由题意得：(8-4)×50+（m-6）×（）=400，（6分） 解得：m=10或m=11，（8分） ∵降价幅度不超过10%， ∴m=11， 答：每个圆规的售价为11元．（9分） 18．（9分）如图，是菱形的对角线，过点C作于点D，交于点E，点A在的延长线上，且满足，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【详解】（1） 证明：∵是菱形， ∴，． ∴．（1分） ∵，， ∴．（2分） 在和中， ∴．（3分） ∴． ∴． ∵， ∴． ∴．（4分） ∴． ∴四边形ABCD是矩形．（5分） （2） 解：∵， ∴，．（6分） ∵，在中，由勾股定理，得． ∴． ∴．（7分） 设，则，． 在中，由勾股定理，得． 即．（8份） 解得． ∴．（9分） 19．（10分）阅读材料：我们都知道． 于是， ． 又因为，所以，，，． 所以，有最大值． 如图，某农户准备用长米的铁栅栏，一边利用墙，其余边用铁栅栏围成长方形羊圈和一个边长为1米的正方形狗屋．设米． (1)请用含x的代数式表示的长 （直接写出结果）； (2)设山羊活动范围即图中阴影部分的面积为S平方米，请用含x的代数式表示S；（写出过程） (3)求出山羊活动范围面积S的最大值． 【详解】（1）依题意得 ∵， ∴， ∴； 故答案为：；（2分） （2）依题意得：，（3分） ∴，（4分） ∴；（5分） （3） （6分） 又因为，，（7分） ∴，（8分） ∴，（9分） 所以，山羊活动范围面积S的最大值是平方米．（10分） 20.（12分）（1）【问题呈现】如图1，在正方形ABCD和正方形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接GP并延长交DC于点H，连接PC．探究PG与PC的PG位置关系及的值（只写出结论，不需要证明）． （2）【问题拓展】如图2，将问题（1）中的正方形ABCD和正方形BEFG换成菱形ABCD和菱形BEFG，且，其他条件不变，探究PG与PC的位置关系及的值，写出你的猜想并加以证明． （3）【拓展延伸】如图3，将图2中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG在直线AB的下方，且边BG恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，问题（2）中的其他条件不变．你在（2）中得到的结论是否仍然成立？写出你的猜想并加以证明． 【详解】解：（1）P是线段DF的中点， ． 由题意可知， ． 又：， ， ，． 四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形， ，，∠HCG=90°， ， ，即， ∵∠HCG=90°， 是等腰直角三角形， ，PG=PC， 线段PG与PC的位置关系是（1分），．（2分） （2）猜想：线段PG与PC的位置关系是，． 证明：P是线段DF的中点， ． 由题意可知， ． 又：， ，（3分） ，． 四边形ABCD和四边形BEFG都是菱形， ，， ， ，即， 是等腰三角形， ，（4分） 又， ， ， ，（5分） ， ．（6分） （3）猜想：在（2）中得到的结论仍成立， 证明：如图，延长GP到点H，使，连接CH，CG，DH． P是线段DF的中点， ． 又， ，（7分） ，． 由题意可知， ；（8分） 又， ； 四边形ABCD是菱形， ，．（9分） 又点A，B，G在同一条直线上， ， ． 四边形BEFG是菱形， ， ， ，（10分） ，， ，即． ，， ，（11分） 120°=60°， 30° ， ．（12分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 2024-2025 学年九年级数学上学期第一次月考卷 （考试时间：90 分钟 试卷满分：100 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大第一章特殊平行四边形+第二章一元二次方程+第三章概率的进一步认识+第四 章（4.1 成比例线段+4.2 平行线分线段成比例）。 5．难度系数：0.65。 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 8小题，每小题 3分，共 24 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．若 3 2 y x  ，则 x y x  的值为（ ） A． 3 2 B．5 C． 5 2 D． 1 2 【答案】C 【详解】解： 3 2 y x  ，  设  3 0 ,y k k  则 2 ,x k  2 3 5 5 . 2 2 2 x y k k k x k k      故选： .C 2.下列方程中是一元二次方程的是（ ） A． 3 5x y   B． 2 1 5 0 x   C． 22 7x  D． 2 5x xy  【答案】C 【详解】解：A、 3 5x y   含有两个未知数，不是一元二次方程，则此项不符题意； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 B、 2 1 5 0 x   不是整式方程，则不是一元二次方程，此项不符题意； C、 22 7x  是一元二次方程，则此项符合题意； D、 2 5x xy  含有两个未知数，不是一元二次方程，则此项不符题意； 故选：C． 3．如图，直线a b c∥ ∥ ，直线 m，n分别与直线 a，b，c相交于点 A，B，C和点 D，E，F，若 4AB  ， 10AC  ， 5DE  ，则EF （ ） A． 10 3 B． 15 2 C．8 D． 25 2 【答案】B 【详解】解：∵ 4AB  ， 10AC  ， ∴ 6BC AC AB   ， ∵ a b c∥ ∥ ， ∴ AB DE BC EF  ，即 4 5 6 EF  ， ∴ 15 2 EF  ， 故选 B． 4．顺次连接对角线互相垂直的四边形各边的中点，所得到的四边形是（ ）． A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形 【答案】A 【详解】试题分析：根据对角线互相平分且相等的四边形是矩形解答： ∵ 顺次连接四边的各边中点所得的四边形是平行四边形，当四边形的对角线互相垂直时，平行四边形的邻 边也互相垂直， ∴ 该四边形是是矩形. 故选 A. 5．某公司今年 10 月的营业额为 2500 万元，按计划第四季度的总营业额要达到 9100 万元，该公司 11、12 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 两个月营业额的月均增长率，设该公司 11、12 两个月营业额的月均增长率为 x，则根据题意可列的方程为 （ ） A．2500(1＋x)2＝9100 B．2500[1＋(1＋x)＋(1＋x)2]＝9100 C．2500[(1＋x)＋(1＋x)2]＝9100 D．9100(1＋x)2＝2500 【答案】B 【详解】解：设该公司 11、12 两个月营业额的月均增长率为 x， 则可列方程为 2500[1+（1+x）+（1+x）2]=9100， 故选：B． 6．下列说法正确的是（ ） A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．四个角相等的四边形是矩形 C．对角线相等的四边形是矩形 D．四条边相等的四边形是正方形 【答案】B 【详解】A. 对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，错误，不符合题意； B. 四个角相等的四边形是矩形，正确，符合题意； C. 对角线相等的平行四边形是矩形，错误，不符合题意； D. 四条边相等的四边形是菱形，错误，不符合题意； 故选：B． 7．如图，在平面直角坐标系中，菱形 ABCD的顶点 A，B，C在坐标轴上，若点 A、B的坐标分别为(0,4)、  2,0 ，则点 D的坐标为（ ） A．  2 5,4 B．  4, 2 5 C．  2 3, 4 D．  4, 2 3 【答案】A 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 【详解】解：∵ 点 A、B的坐标分别为  0,4 、  2,0 ， ∴ 4OA ， 2OB  ， ∴ 2 2 2 24 2 2 5    AB OA OB ， ∵ 四边形 ABCD为菱形， ∴ 2 5AD AB  ， AD BC∥ ，即 AD x∥ 轴， ∴ 点 D的坐标为：  2 5, 4 ， 故选：A． 8．如图，在平行四边形 ABCD中， 135C  ， 2AB  ， 3AD  ，点 H，G分别是CD BC， 上的动点，连 接 AH GH， ．E，F分别为 AH GH， 的中点，则 EF 的最小值是（ ） A．2 B． 2 C． 2 2 D．2 2 【答案】C 【详解】解：作 AQ BC ，如图： ∵ E，F分别为 AH GH， 的中点 ∴ 1 2 EF AG 故：当 AG BC 时， AG有最小值，此时EF的值也最小 ∴ EF 的最小值是 1 2 AQ 135C   , 2AB  180 135 45B      AQ=BQ, AB=√2AQ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 ∴ EF 的最小值是 2 2 故选：C 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共 5小题，每小题 3分，共 15 分。 9．一元二次方程 x2＝2x的解为 ． 【答案】x1＝0，x2＝2 【详解】移项得 x2－2x=0，即 x（x－2）=0， 解得 x=0 或 x=2． 故答案为： 1 20, 2x x  10．若方程 2 2 4 0x x   的两个实数根为 ， ，则 3 8 1   的值为 ． 【答案】25 【详解】解：∵  为方程 2 2 4 0x x   的实数根， ∴ 2 2 4 0    ，即 2 2 4   ， ∴ 3 8 1   2 8 1       2 4 8 1      22 4 8 1       2 2 4 4 8 1       4 8 4 8 1       8 8 9    ∵ 方程 2 2 4 0x x   的两个实数根为 ，  ， ∴ 2   ， ∴  8 8 9 8 9 8 2 9 25            ． 故答案为：25． 11．有四张正面分别标有数字 3 ，0，1，5 的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数学记为 a，则使关于 x的分式方程 1 1 2 2 2 ax x x      有正整数 解得概率为 【答案】 1 4 【详解】解分式方程得： 2 2 x a   ， x 为正整数， 2 1 2 a    或 2 2 2 a   （此时 1a  ，则 2x  ，原分式方程分母为 0，因此是增根，舍去）， 解得： 0a  ， 把 0a  的值代入原方程 1 1 2 2 2 ax x x      得， 1 1 2 2 2x x     解方程得到的方程的根为 = 1x  ， ∴ 能使该分式方程有正整数解的有 1 个， ∴ 使关于 x的分式方程 1 1 2 2 2 ax x x      有正整数解的概率为 1 4 ， 故答案为： 1 . 4 12．如图，在菱形 ABCD中， 5AB  ，对角线 AC、BD交于点M ，AC BD ， 24ABCDS 菱形 ，点E是直线 AC上一动点，连接DE，以 AE、DE为邻边作 AEDF ，其对角线EF与 AD交于点O，点E的运动过程 中， AEDF 的对角线EF的最小值是 ． 【答案】4 【详解】解：设 AC 2a ， 2BD b ， ∵ AC BD ， ∴ a b ， ∵ 四边形 ABCD为菱形， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 ∴ BD AC ， 1 2 BM DM BD b   ， 1 2 AM AC a  ， ∵ 1 1 2 2 2 24 2 2ABCD S AC BD a b ab      菱形 ， ∴ 12 b a  ， ∵ 5AB  ， ∴ Rt ABM 中， 2 2 2BM AM AB  ， 即 2 2 2 212 25b a a a         ， 整理可得 4 225 144 0a a   ， 解得 2 16a  或 2 9a  ， 当 2 16a  时，可得 1 4a  ， 2 4a   （舍去）， 此时 12 3 4 b a   ，不合题意，舍去； 当 2 9a  时，可得 1 3a  ， 2 3a   （舍去）， 此时 12 4 3 b a   ，符合题意， ∴ 4DM b  ； ∵ 四边形 AEDF 为平行四边形， ∴ DF AC∥ ， ∴ 点F在过点D，且平行于 AC的直线上， ∴ 当EF DF 时，此时EF取最小值， 如下图， ∵ BD AC ， ∴ 90EMD  ， ∵ DF AC∥ ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 ∴ 180 90MDF EMD    ， ∵ EF DF ， ∴ 90EFD MDF EMD    ， ∴ 四边形EMDF 为平行四边形， ∴ 4EF DM  ， ∴ AEDF 的对角线EF的最小值是 4． 故答案为：4． 13．如图，以正方形 ABCD的顶点 A为圆心，以 AD的长为半径画弧，交对角线 AC于点 E，再分别以 D， E为圆心，以大于 1 2 DE的长为半径画弧，两弧交于图中的点 F，连接 AF 并延长，与BC的延长线交于点 P， 则 P  ． 【答案】22.5 【详解】解：∵ 四边形 ABCD是正方形， ∴ 45DAC BAC    ， AD CP∥ ， 由作图可知 AP为 DAC 的平分线， ∴ 1 22.5 2 DAP DAC    ， ∵ AD CP∥ ， ∴ 22.5P DAP   ， 故答案为：22.5． 三、解答题：本大题共 7小题，共 61 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 14．(每题 3 分，共 6 分）解方程： (1)  4 4x x x   (2) 2 6 4 0x x   【详解】（1）解：  4 4x x x   整理方程得： 2 5 4 0x x   ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 分解因式得： ( 4)( 1) 0x x   ，（1 分） 解得 1 21, 4x x  ；（2 分） （2）解： 2 6 4 0x x   由题意可得 2Δ 4 36 16 20 0b ac      ，（1 分） ∴ 方程有两个不相等的实数根， 6 2 5 3 5 2 x     ，  1 23 5, 3 5x x    ．（3 分） 15．（8 分）关于 x的一元二次方程 2 22 1 1 0x k x k    （ ） 有两个不等实根 1 2,x x ． （1）求实数 k的取值范围． （2）若方程两实根 1 2,x x 满足 1 2 1 2·x x x x ｜｜｜ ｜ ，求 k的值． 【详解】解：（1）∵ 原方程有两个不相等的实数根 ∴ 2 2 2 2Δ 2 1 4 1 4 4 1 4 4 4 3 0k k k k k k         ＝（ ） （ ） ﹥ （1 分） 解得：k﹥ 3 4 ；（2 分） 故答案为：k﹥ 3 4 . （2）∵ k﹥ 3 4 ， ∴ 1 2 2 1x x k   （ ）＜0 又∵ 21 2· 1 0x x k   （3 分） ∴ 1 20 0x x＜ ， ＜ ，（4 分） ∴ 1 2 1 2 1 2 2 1x x x x x x k        ｜｜｜ ｜ （ ） ,（5 分） ∵ 1 2 1 2·x x x x ｜｜｜ ｜ ,（6 分） ∴ 2k+1=k2+1， 解得：k1=0,k2=2（7 分） 又 ∵ k﹥ 3 4 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 ∴ k=2．（8 分） 故答案为：k=2． 16.（7 分）某中学为了解九年级学生对三大球类运动的喜爱情况，从九年级学生中随机抽取部分学生进行 调查问卷，通过分析整理绘制了如图两幅统计图．请根据两幅统计图中的信息回答下列问题： (1)求参与调查的学生中，求喜爱排球运动的学生人数，并补全条形图； (2)若该中学九年级共有 400 名学生，请你估计该中学九年级学生中喜爱篮球运动的有________名学生； (3)若从喜爱足球运动的 2 名男生和 2 名女生中随机抽取 2 名学生，确定为该校足球运动员的重点培养对象， 请用列表法或画树状图的方法求抽取的两名学生为一名男生和一名女生的概率． 【详解】（1）解：由题意得：调查总人数为：12 20% 60  （人），（1 分） ∴ 喜爱排球运动的学生人数为：60 35% 21  （人），（2 分） 补全条形图如下： （3 分） （2）解：∵ 该中学九年级共有 400 名学生， ∴ 该中学九年级学生中喜爱篮球运动的有400 (1 35% 20%) 180    （名）；（4 分） （3）解：画树状图为： （6 分） 共有 12 种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好是一名男生和一名女生结果数为 8，所以抽取的两人恰好 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 11 是一名男生和一名女生概率 8 2 12 3   ；（7 分） 17．（9 分）中考临近，某商家抓住商机，购买了一批考试专用笔和圆规，商家用 1600 元购买笔，1200 元 购买圆规，每支笔和每个圆规的进价之和为 10 元，且购买笔的数量是圆规的 2 倍. (1)求商家购买笔和圆规的进价； (2)商家在销售过程中发现，当笔的售价为每支 8 元，圆规的售价为每个 12 元时，平均每天可卖出 50 支笔， 30 个圆规，据统计，圆规的售价每降低 0.5 元平均每天可多卖出 5 个，且降价幅度不超过 10%.商家在保证 笔的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，想使笔和圆规平均每天的总获利为 400 元，则每个圆规 的售价为多少元？ 【详解】（1）解：设商家购买笔和圆规的进价分别是 x和（10-x）元，（1 分） 由题意得： 1600 1200 2 10x x    ，（2 分） 解得：x=4，（3 分） 经检验：x=4 是方程的解，（4 分） ∴ 10-x=6， 答：商家购买笔和圆规的进价分别是 4 元和 6 元．（5 分） （2）设每个圆规的售价为 m元， 由题意得：(8-4)×50+（m-6）×（ 5 30 0.5 12 m    ）=400，（6 分） 解得：m=10 或 m=11，（8 分） ∵ 降价幅度不超过 10%， ∴ m=11， 答：每个圆规的售价为 11 元．（9 分） 18．（9 分）如图，BF是菱形BCFP的对角线，过点 C作CD PF 于点 D，CD交 BF于点 E，点 A在FP的 延长线上，且满足 DPE ABP  ，连接 AB． (1)求证：四边形 ABCD是矩形； (2)若 6AB  ， 10BC  ，求CE的长． 【详解】（1） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 12 证明：∵ BCFP是菱形， ∴ PB BC PF  ，BC PF∥ ． ∴ CBF PFB PBF     ．（1 分） ∵ CD PF ，BC PF∥ ， ∴ 90ADC BCD    ．（2 分） 在 BEP△ 和 BEC 中， , , , BP BC EBP EBC BE BE       ∴  SASBEP BEC△ △≌ ．（3 分） ∴ 90EPB ECB    ． ∴ 90DPE APB   ． ∵ DPE ABP  ， ∴ 90ABP APB   ． ∴ 90A  ．（4 分） ∴ 90ADC BCD A      ． ∴ 四边形 ABCD是矩形．（5 分） （2） 解：∵ BEP BEC ≌ ， ∴ EP EC ， 10BP BC  ．（6 分） ∵ 6AB  ，在Rt ABP 中，由勾股定理，得 2 2 2AB AP BP  ． ∴ 8AP  ． ∴ 2PD AD AP   ．（7 分） 设CE x ，则EP CE x  ， 6ED x  ． 在Rt EPD△ 中，由勾股定理，得 2 2 2PD DE PE  ． 即  22 22 6 x x   ．（8 份） 解得 10 3 x  ． ∴ 10 3 CE  ．（9 分） 19．（10 分）阅读材料：我们都知道    2 22 2 2 22 2a ab b a b a ab b a b       ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 于是，  2 22 40 5 2 20 5x x x x        2 2 22 2 10 10 10 5x x         22 10 100 5x        22 10 205x    ． 又因为 2 0a  ，所以，  210 0x   ，  22 10 0x   ，  22 10 205 205x    ． 所以， 22 40 5x x   有最大值205． 如图，某农户准备用长34米的铁栅栏，一边利用墙，其余边用铁栅栏围成长方形羊圈 ABCD和一个边长为 1 米的正方形狗屋CEFG．设 AB x 米． (1)请用含 x的代数式表示BC的长 （直接写出结果）； (2)设山羊活动范围即图中阴影部分的面积为 S平方米，请用含 x的代数式表示 S；（写出过程） (3)求出山羊活动范围面积 S的最大值． 【详解】（1）依题意得 1AB DC x EF FG   ， ∵ 34AB DC BC EF FG     ， ∴ 2 2 34x BC   ， ∴ 32 2BC x  ； 故答案为：32 2x ；（2 分） （2）依题意得： ABCD CEFGS S S 长方形 正方形 ，（3 分） ∴  32 2 1S x x   ，（4 分） ∴ 22 32 1S x x    ；（5 分） （3） 22 32 1S x x     22 16 64 127x x      22 8 127x    （6 分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 14 又因为 2 0  ，  28 0x   ，（7 分） ∴  22 8 0x   ，（8 分） ∴  22 8 127 127x    ，（9 分） 所以，山羊活动范围 ABGFE面积 S的最大值是127 平方米．（10 分） 20.（12 分）（1）【问题呈现】如图 1，在正方形 ABCD和正方形 BEFG中，点 A，B，E在同一条直线上，P 是线段 DF的中点，连接 GP并延长交 DC于点 H，连接 PC．探究 PG与 PC的 PG位置关系及 PG PC 的值（只 写出结论，不需要证明）． （2）【问题拓展】如图 2，将问题（1）中的正方形 ABCD和正方形 BEFG换成菱形 ABCD和菱形 BEFG， 且 60ABC BEF    ，其他条件不变，探究 PG与 PC的位置关系及 PG PC 的值，写出你的猜想并加以证明． （3）【拓展延伸】如图 3，将图 2 中的菱形 BEFG绕点 B顺时针旋转，使菱形 BEFG在直线 AB的下方，且 边 BG恰好与菱形 ABCD的边 AB在同一条直线上，问题（2）中的其他条件不变．你在（2）中得到的结论 是否仍然成立？写出你的猜想并加以证明． 【详解】解：（1）P是线段 DF的中点， FP DP  ． 由题意可知DC GF∥ ， GFP HDP   ． 又： GPF HPD   ， (ASA)GFP HDP ≌ ， GP HP  ，GF HD ． 四边形 ABCD和四边形 BEFG都是正方形， CD CB  ，GF GB ，∠HCG=90°， GB HD  ， CB GB CD HD    ，即CG CH ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 15 ∵ ∠ HCG=90°， CHG 是等腰直角三角形， PG PC  ，PG=PC， 线段 PG与 PC的位置关系是PG PC （1 分）， 1 PG PC  ．（2 分） （2）猜想：线段 PG与 PC的位置关系是PG PC ， 3 PG PC  ． 证明：P是线段 DF的中点， FP DP  ． 由题意可知DC GF∥ ， GFP HDP   ． 又： GPF HPD   ， (ASA)GFP HDP ≌ ，（3 分） GP HP  ，GF HD ． 四边形 ABCD和四边形 BEFG都是菱形， CD CB  ，GF GB ， GB HD  ， CB GB CD HD    ，即CG CH ， CHG 是等腰三角形， PG PC  ，（4 分） 又 60ABC BEF     ， 1 60 2 GCP BCD    ， 30PGC  ， 2GC PC  ，（5 分） 2 2 3PG GC PC PC    ， 3 PG PC   ．（6 分） （3）猜想：在（2）中得到的结论仍成立， 证明：如图，延长 GP到点 H，使PH PG ，连接 CH，CG，DH． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 16 P是线段 DF的中点， FP DP  ． 又 GPF HPD   ，PG PH (SAS)GFP HDP ≌ ，（7 分） GF HD  ， GFP HDP  ． 由题意可知DC EF∥ ， PFE PDC  ；（8 分） 又 180 60 120GFP PFE       ， 120CDH HDP PDC      ； 四边形 ABCD是菱形， CD CB  ， 60ADC ABC   ．（9 分） 又点 A，B，G在同一条直线上， 180 60 120CBG     ， CDH CBG  ． 四边形 BEFG是菱形， GF GB  ， HD GB  ， (SAS)HDC GBC ≌ ，（10 分） CH CG  ， DCH BCG  ， 120BCG HCB DCH HCB DCB      ，即 120HCG  ． CH CG ，PH PG ， PG PC  ，（11 分） 1 2 PCG PCH    120°=60°， PGC 30° 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 17 2 2 3PG GC PC PC    ， 3 PG PC   ．（12 分） 2024-2025学年九年级数学上学期第一次月考卷 参考答案 1、 选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 C C B A B B A C 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9． 10．25 11． 12．4 13． 三、解答题（本大题共7小题，共61分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14．(每题3分，共6分） 【详解】（1）解： 整理方程得：， 分解因式得：，（1分） 解得；（2分） （2）解： 由题意可得，（1分） ∴方程有两个不相等的实数根， ， ．（3分） 15．（8分） 【详解】解：（1）∵原方程有两个不相等的实数根 ∴ （1分） 解得：k﹥；（2分） 故答案为：k﹥. （2）∵k﹥， ∴＜0 又∵（3分） ∴ ，（4分） ∴,（5分） ∵,（6分） ∴2k+1=k2+1， 解得：k1=0,k2=2（7分） 又 ∵k﹥ ∴k=2．（8分） 故答案为：k=2． 16.（7分） 【详解】（1）解：由题意得：调查总人数为：（人），（1分） ∴喜爱排球运动的学生人数为：（人），（2分） 补全条形图如下：   （3分） （2）解：∵该中学九年级共有400名学生， ∴该中学九年级学生中喜爱篮球运动的有（名）；（4分） （3）解：画树状图为：   （6分） 共有12种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好是一名男生和一名女生结果数为8，所以抽取的两人恰好是一名男生和一名女生概率；（7分） 17．（9分） 【详解】（1）解：设商家购买笔和圆规的进价分别是x和（10-x）元，（1分） 由题意得：，（2分） 解得：x=4，（3分） 经检验：x=4是方程的解，（4分） ∴10-x=6， 答：商家购买笔和圆规的进价分别是4元和6元．（5分） （2）设每个圆规的售价为m元， 由题意得：(8-4)×50+（m-6）×（）=400，（6分） 解得：m=10或m=11，（8分） ∵降价幅度不超过10%， ∴m=11， 答：每个圆规的售价为11元．（9分） 18．（9分） 【详解】（1） 证明：∵是菱形， ∴，． ∴．（1分） ∵，， ∴．（2分） 在和中， ∴．（3分） ∴． ∴． ∵， ∴． ∴．（4分） ∴． ∴四边形ABCD是矩形．（5分） （2） 解：∵， ∴，．（6分） ∵，在中，由勾股定理，得． ∴． ∴．（7分） 设，则，． 在中，由勾股定理，得． 即．（8份） 解得． ∴．（9分） 19．（10分） 【详解】（1）依题意得 ∵， ∴， ∴； 故答案为：；（2分） （2）依题意得：，（3分） ∴，（4分） ∴；（5分） （3） （6分） 又因为，，（7分） ∴，（8分） ∴，（9分） 所以，山羊活动范围面积S的最大值是平方米．（10分） 20.（12分） 【详解】解：（1）P是线段DF的中点， ． 由题意可知， ． 又：， ， ，． 四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形， ，，∠HCG=90°， ， ，即， ∵∠HCG=90°， 是等腰直角三角形， ，PG=PC， 线段PG与PC的位置关系是（1分），．（2分） （2）猜想：线段PG与PC的位置关系是，． 证明：P是线段DF的中点， ． 由题意可知， ． 又：， ，（3分） ，． 四边形ABCD和四边形BEFG都是菱形， ，， ， ，即， 是等腰三角形， ，（4分） 又， ， ， ，（5分） ， ．（6分） （3）猜想：在（2）中得到的结论仍成立， 证明：如图，延长GP到点H，使，连接CH，CG，DH． P是线段DF的中点， ． 又， ，（7分） ，． 由题意可知， ；（8分） 又， ； 四边形ABCD是菱形， ，．（9分） 又点A，B，G在同一条直线上， ， ． 四边形BEFG是菱形， ， ， ，（10分） ，， ，即． ，， ，（11分） 120°=60°， 30° ， ．（12分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级上学期第一次月考卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 第Ⅰ卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题3分，共15分） 9. _______________ 10. ________________ 11. ________________ 12. ________________ 13. ________________ 三、解答题（共61分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 15．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（7分） 17．（9分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（9分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年九年级上学期第一次月考卷 数学·答题卡 第Ⅰ卷（请用 2B 铅笔填涂） 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必 须用 0.5 mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆 珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题 3 分，共 24 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 9. _______________ 10. ________________ 11. ________________ 12. ________________ 13. ________________ 三、解答题（共 61 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14．（6 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 15．（8 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（7 分） 17．（9 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（9 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（10 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（12 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年九年级数学上学期第一次月考卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大第一章特殊平行四边形+第二章一元二次方程+第三章概率的进一步认识+第四章（4.1成比例线段+4.2平行线分线段成比例）。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 2.下列方程中是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，直线，直线m，n分别与直线a，b，c相交于点A，B，C和点D，E，F，若，，，则（    ） A． B． C．8 D． 4．顺次连接对角线互相垂直的四边形各边的中点，所得到的四边形是（  ）． A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形 5．某公司今年10月的营业额为2500万元，按计划第四季度的总营业额要达到9100万元，该公司11、12两个月营业额的月均增长率，设该公司11、12两个月营业额的月均增长率为x，则根据题意可列的方程为（　　　） A．2500(1＋x)2＝9100 B．2500[1＋(1＋x)＋(1＋x)2]＝9100 C．2500[(1＋x)＋(1＋x)2]＝9100 D．9100(1＋x)2＝2500 6．下列说法正确的是（    ） A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．四个角相等的四边形是矩形 C．对角线相等的四边形是矩形 D．四条边相等的四边形是正方形 7．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A，B，C在坐标轴上，若点A、B的坐标分别为、，则点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在平行四边形中，，，，点H，G分别是上的动点，连接．E，F分别为的中点，则的最小值是（　　）    A．2 B． C． D． 第二部分（非选择题 共76分） 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。 9．一元二次方程x2＝2x的解为 ． 10．若方程的两个实数根为，，则的值为 ． 11．有四张正面分别标有数字，0，1，5的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数学记为a，则使关于x的分式方程有正整数解得概率为 12．如图，在菱形中，，对角线、交于点，，，点是直线上一动点，连接，以、为邻边作，其对角线与交于点，点的运动过程中，的对角线的最小值是 ． 13．如图，以正方形的顶点A为圆心，以的长为半径画弧，交对角线于点E，再分别以D，E为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于图中的点F，连接并延长，与的延长线交于点P，则 ． 三、解答题：本大题共7小题，共61分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 14．(每题3分，共6分）解方程： (1) (2) 15．（8分）关于x的一元二次方程有两个不等实根． （1）求实数k的取值范围． （2）若方程两实根满足，求k的值． 16.（7分）某中学为了解九年级学生对三大球类运动的喜爱情况，从九年级学生中随机抽取部分学生进行调查问卷，通过分析整理绘制了如图两幅统计图．请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：    (1)求参与调查的学生中，求喜爱排球运动的学生人数，并补全条形图； (2)若该中学九年级共有400名学生，请你估计该中学九年级学生中喜爱篮球运动的有________名学生； (3)若从喜爱足球运动的2名男生和2名女生中随机抽取2名学生，确定为该校足球运动员的重点培养对象，请用列表法或画树状图的方法求抽取的两名学生为一名男生和一名女生的概率． 17．（9分）中考临近，某商家抓住商机，购买了一批考试专用笔和圆规，商家用1600元购买笔，1200元购买圆规，每支笔和每个圆规的进价之和为10元，且购买笔的数量是圆规的2倍. (1)求商家购买笔和圆规的进价； (2)商家在销售过程中发现，当笔的售价为每支8元，圆规的售价为每个12元时，平均每天可卖出50支笔，30个圆规，据统计，圆规的售价每降低0.5元平均每天可多卖出5个，且降价幅度不超过10%.商家在保证笔的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，想使笔和圆规平均每天的总获利为400元，则每个圆规的售价为多少元？ 18．（9分）如图，是菱形的对角线，过点C作于点D，交于点E，点A在的延长线上，且满足，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 19．（10分）阅读材料：我们都知道． 于是， ． 又因为，所以，，，． 所以，有最大值． 如图，某农户准备用长米的铁栅栏，一边利用墙，其余边用铁栅栏围成长方形羊圈和一个边长为1米的正方形狗屋．设米． (1)请用含x的代数式表示的长 （直接写出结果）； (2)设山羊活动范围即图中阴影部分的面积为S平方米，请用含x的代数式表示S；（写出过程） (3)求出山羊活动范围面积S的最大值． 20.（12分）（1）【问题呈现】如图1，在正方形ABCD和正方形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接GP并延长交DC于点H，连接PC．探究PG与PC的PG位置关系及的值（只写出结论，不需要证明）． （2）【问题拓展】如图2，将问题（1）中的正方形ABCD和正方形BEFG换成菱形ABCD和菱形BEFG，且，其他条件不变，探究PG与PC的位置关系及的值，写出你的猜想并加以证明． （3）【拓展延伸】如图3，将图2中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG在直线AB的下方，且边BG恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，问题（2）中的其他条件不变．你在（2）中得到的结论是否仍然成立？写出你的猜想并加以证明． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 试题 第 1 页（共 4 页） 试题 第 2 页（共 4 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ 姓 名 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ 班 级 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ 考 号 ： _ __ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ 2024-2025 学年九年级数学上学期第一次月考卷 （考试时间：90 分钟 试卷满分：100 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大第一章特殊平行四边形+第二章一元二次方程+第三章概率的进一步认识+第四章 （4.1成比例线段+4.2平行线分线段成比例）。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共 24 分） 一、选择题：本大题共 8小题，每小题 3分，共 24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．若 3 2 y x  ，则 x y x  的值为（ ） A． 3 2 B．5 C． 5 2 D． 1 2 2.下列方程中是一元二次方程的是（ ） A． 3 5x y   B． 2 1 5 0 x   C． 22 7x  D． 2 5x xy  3．如图，直线a b c∥ ∥ ，直线 m，n分别与直线 a，b，c相交于点 A，B，C和点 D，E，F，若 4AB  ， 10AC  ， 5DE  ，则EF （ ） A． 10 3 B． 15 2 C．8 D． 25 2 4．顺次连接对角线互相垂直的四边形各边的中点，所得到的四边形是（ ）． A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形 5．某公司今年 10 月的营业额为 2500 万元，按计划第四季度的总营业额要达到 9100 万元，该公司 11、12 两个月营业额的月均增长率，设该公司 11、12 两个月营业额的月均增长率为 x，则根据题意可列的方程为 （ ） A．2500(1＋x)2＝9100 B．2500[1＋(1＋x)＋(1＋x)2]＝9100 C．2500[(1＋x)＋(1＋x)2]＝9100 D．9100(1＋x)2＝2500 6．下列说法正确的是（ ） A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．四个角相等的四边形是矩形 C．对角线相等的四边形是矩形 D．四条边相等的四边形是正方形 7．如图，在平面直角坐标系中，菱形 ABCD的顶点 A，B，C在坐标轴上，若点 A、B的坐标分别为(0,4)、  2,0 ，则点 D的坐标为（ ） A．  2 5,4 B．  4, 2 5 C．  2 3, 4 D．  4, 2 3 8．如图，在平行四边形 ABCD中， 135C  ， 2AB  ， 3AD  ，点 H，G分别是CD BC， 上的动点，连 接 AH GH， ．E，F分别为 AH GH， 的中点，则 EF 的最小值是（ ） A．2 B． 2 C． 2 2 D．2 2 第二部分（非选择题 共 76 分） 二、填空题：本大题共 5小题，每小题 3分，共 15分。 9．一元二次方程 x2＝2x的解为 ． 10．若方程 2 2 4 0x x   的两个实数根为 ， ，则 3 8 1   的值为 ． 11．有四张正面分别标有数字 3 ，0，1，5 的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背 面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数学记为 a，则使关于 x的分式方程 1 1 2 2 2 ax x x      有正整 数解得概率为 12．如图，在菱形 ABCD中， 5AB  ，对角线 AC、BD交于点M ， AC BD ， 24ABCDS 菱形 ，点E是直 线 AC上一动点，连接DE，以 AE、DE为邻边作 AEDF ，其对角线EF与 AD交于点O，点E的运动过 程中， AEDF 的对角线EF的最小值是 ． 试题 第 3 页（共 4 页） 试题 第 4 页（共 4 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 此 卷 只 装 订 不 密 封 … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 13．如图，以正方形 ABCD的顶点 A为圆心，以 AD的长为半径画弧，交对角线 AC于点 E，再分别以 D， E为圆心，以大于 1 2 DE的长为半径画弧，两弧交于图中的点 F，连接 AF 并延长，与BC的延长线交于点 P， 则 P  ． 三、解答题：本大题共 7小题，共 61 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 14．(每题 3 分，共 6 分）解方程： (1)  4 4x x x   (2) 2 6 4 0x x   15．（8 分）关于 x的一元二次方程 2 22 1 1 0x k x k    （ ） 有两个不等实根 1 2,x x ． （1）求实数 k的取值范围． （2）若方程两实根 1 2,x x 满足 1 2 1 2·x x x x ｜｜｜ ｜ ，求 k的值． 16.（7 分）某中学为了解九年级学生对三大球类运动的喜爱情况，从九年级学生中随机抽取部分学生进行 调查问卷，通过分析整理绘制了如图两幅统计图．请根据两幅统计图中的信息回答下列问题： (1)求参与调查的学生中，求喜爱排球运动的学生人数，并补全条形图； (2)若该中学九年级共有 400 名学生，请你估计该中学九年级学生中喜爱篮球运动的有________名学生； (3)若从喜爱足球运动的2名男生和2名女生中随机抽取2名学生，确定为该校足球运动员的重点培养对象， 请用列表法或画树状图的方法求抽取的两名学生为一名男生和一名女生的概率． 17．（9 分）中考临近，某商家抓住商机，购买了一批考试专用笔和圆规，商家用 1600 元购买笔，1200 元 购买圆规，每支笔和每个圆规的进价之和为 10 元，且购买笔的数量是圆规的 2 倍. (1)求商家购买笔和圆规的进价； (2)商家在销售过程中发现，当笔的售价为每支 8 元，圆规的售价为每个 12 元时，平均每天可卖出 50 支笔， 30 个圆规，据统计，圆规的售价每降低 0.5 元平均每天可多卖出 5 个，且降价幅度不超过 10%.商家在保证 笔的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，想使笔和圆规平均每天的总获利为 400 元，则每个圆规 的售价为多少元？ 18．（9 分）如图，BF 是菱形BCFP的对角线，过点 C作CD PF 于点 D，CD交 BF 于点 E，点 A在FP的 延长线上，且满足 DPE ABP  ，连接 AB． (1)求证：四边形 ABCD是矩形； (2)若 6AB  ， 10BC  ，求CE的长． 19．（10 分）阅读材料：我们都知道    2 22 2 2 22 2a ab b a b a ab b a b       ， ． 于是，  2 22 40 5 2 20 5x x x x        2 2 22 2 10 10 10 5x x         22 10 100 5x        22 10 205x    ． 又因为 2 0a  ，所以，  210 0x   ，  22 10 0x   ，  22 10 205 205x    ． 所以， 22 40 5x x   有最大值205． 如图，某农户准备用长34米的铁栅栏，一边利用墙，其余边用铁栅栏围成长方形羊圈 ABCD和一个边长为 1 米的正方形狗屋CEFG．设 AB x 米． (1)请用含 x的代数式表示BC的长 （直接写出结果）； (2)设山羊活动范围即图中阴影部分的面积为 S平方米，请用含 x的代数式表示 S；（写出过程） (3)求出山羊活动范围面积 S的最大值． 20.（12 分）（1）【问题呈现】如图 1，在正方形 ABCD和正方形 BEFG中，点 A，B，E在同一条直线上， P是线段 DF的中点，连接 GP并延长交 DC于点 H，连接 PC．探究 PG与 PC的 PG位置关系及 PG PC 的值 （只写出结论，不需要证明）． （2）【问题拓展】如图 2，将问题（1）中的正方形 ABCD和正方形 BEFG换成菱形 ABCD和菱形 BEFG， 且 60ABC BEF    ，其他条件不变，探究 PG与 PC的位置关系及 PG PC 的值，写出你的猜想并加以证明． （3）【拓展延伸】如图 3，将图 2 中的菱形 BEFG绕点 B顺时针旋转，使菱形 BEFG在直线 AB的下方， 且边 BG恰好与菱形 ABCD的边 AB在同一条直线上，问题（2）中的其他条件不变．你在（2）中得到的 结论是否仍然成立？写出你的猜想并加以证明． 2024-2025学年九年级数学上学期第一次月考卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大第一章特殊平行四边形+第二章一元二次方程+第三章概率的进一步认识+第四章（4.1成比例线段+4.2平行线分线段成比例）。 5．难度系数：0.65。 第Ⅰ卷 1、 选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 2.下列方程中是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，直线，直线m，n分别与直线a，b，c相交于点A，B，C和点D，E，F，若，，，则（    ） A． B． C．8 D． 4．顺次连接对角线互相垂直的四边形各边的中点，所得到的四边形是（  ）． A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形 5．某公司今年10月的营业额为2500万元，按计划第四季度的总营业额要达到9100万元，该公司11、12两个月营业额的月均增长率，设该公司11、12两个月营业额的月均增长率为x，则根据题意可列的方程为（　　　） A．2500(1＋x)2＝9100 B．2500[1＋(1＋x)＋(1＋x)2]＝9100 C．2500[(1＋x)＋(1＋x)2]＝9100 D．9100(1＋x)2＝2500 6．下列说法正确的是（    ） A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．四个角相等的四边形是矩形 C．对角线相等的四边形是矩形 D．四条边相等的四边形是正方形 7．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A，B，C在坐标轴上，若点A、B的坐标分别为、，则点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在平行四边形中，，，，点H，G分别是上的动点，连接．E，F分别为的中点，则的最小值是（　　）    A．2 B． C． D． 第Ⅱ卷 2、 填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。 9．一元二次方程x2＝2x的解为 ． 10．若方程的两个实数根为，，则的值为 ． 11．有四张正面分别标有数字，0，1，5的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数学记为a，则使关于x的分式方程有正整数解得概率为 12．如图，在菱形中，，对角线、交于点，，，点是直线上一动点，连接，以、为邻边作，其对角线与交于点，点的运动过程中，的对角线的最小值是 ． 13．如图，以正方形的顶点A为圆心，以的长为半径画弧，交对角线于点E，再分别以D，E为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于图中的点F，连接并延长，与的延长线交于点P，则 ． 三、解答题：本大题共7小题，共61分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 14．(每题3分，共6分）解方程： (1) (2) 15．（8分）关于x的一元二次方程有两个不等实根． （1）求实数k的取值范围． （2）若方程两实根满足，求k的值． 16.（7分）某中学为了解九年级学生对三大球类运动的喜爱情况，从九年级学生中随机抽取部分学生进行调查问卷，通过分析整理绘制了如图两幅统计图．请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：    (1)求参与调查的学生中，求喜爱排球运动的学生人数，并补全条形图； (2)若该中学九年级共有400名学生，请你估计该中学九年级学生中喜爱篮球运动的有________名学生； (3)若从喜爱足球运动的2名男生和2名女生中随机抽取2名学生，确定为该校足球运动员的重点培养对象，请用列表法或画树状图的方法求抽取的两名学生为一名男生和一名女生的概率． 17．（9分）中考临近，某商家抓住商机，购买了一批考试专用笔和圆规，商家用1600元购买笔，1200元购买圆规，每支笔和每个圆规的进价之和为10元，且购买笔的数量是圆规的2倍. (1)求商家购买笔和圆规的进价； (2)商家在销售过程中发现，当笔的售价为每支8元，圆规的售价为每个12元时，平均每天可卖出50支笔，30个圆规，据统计，圆规的售价每降低0.5元平均每天可多卖出5个，且降价幅度不超过10%.商家在保证笔的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，想使笔和圆规平均每天的总获利为400元，则每个圆规的售价为多少元？ 18．（9分）如图，是菱形的对角线，过点C作于点D，交于点E，点A在的延长线上，且满足，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 19．（10分）阅读材料：我们都知道． 于是， ． 又因为，所以，，，． 所以，有最大值． 如图，某农户准备用长米的铁栅栏，一边利用墙，其余边用铁栅栏围成长方形羊圈和一个边长为1米的正方形狗屋．设米． (1)请用含x的代数式表示的长 （直接写出结果）； (2)设山羊活动范围即图中阴影部分的面积为S平方米，请用含x的代数式表示S；（写出过程） (3)求出山羊活动范围面积S的最大值． 20.（12分）（1）【问题呈现】如图1，在正方形ABCD和正方形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接GP并延长交DC于点H，连接PC．探究PG与PC的PG位置关系及的值（只写出结论，不需要证明）． （2）【问题拓展】如图2，将问题（1）中的正方形ABCD和正方形BEFG换成菱形ABCD和菱形BEFG，且，其他条件不变，探究PG与PC的位置关系及的值，写出你的猜想并加以证明． （3）【拓展延伸】如图3，将图2中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG在直线AB的下方，且边BG恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，问题（2）中的其他条件不变．你在（2）中得到的结论是否仍然成立？写出你的猜想并加以证明． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 2024-2025 学年九年级数学上学期第一次月考卷 （考试时间：90 分钟 试卷满分：100 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大第一章特殊平行四边形+第二章一元二次方程+第三章概率的进一步认识+第四 章（4.1 成比例线段+4.2 平行线分线段成比例）。 5．难度系数：0.65。 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 8小题，每小题 3分，共 24 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．若 3 2 y x  ，则 x y x  的值为（ ） A． 3 2 B．5 C． 5 2 D． 1 2 2.下列方程中是一元二次方程的是（ ） A． 3 5x y   B． 2 1 5 0 x   C． 22 7x  D． 2 5x xy  3．如图，直线a b c∥ ∥ ，直线 m，n分别与直线 a，b，c相交于点 A，B，C和点 D，E，F，若 4AB  ， 10AC  ， 5DE  ，则EF （ ） A． 10 3 B． 15 2 C．8 D． 25 2 4．顺次连接对角线互相垂直的四边形各边的中点，所得到的四边形是（ ）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形 5．某公司今年 10 月的营业额为 2500 万元，按计划第四季度的总营业额要达到 9100 万元，该公司 11、12 两个月营业额的月均增长率，设该公司 11、12 两个月营业额的月均增长率为 x，则根据题意可列的方程为 （ ） A．2500(1＋x)2＝9100 B．2500[1＋(1＋x)＋(1＋x)2]＝9100 C．2500[(1＋x)＋(1＋x)2]＝9100 D．9100(1＋x)2＝2500 6．下列说法正确的是（ ） A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．四个角相等的四边形是矩形 C．对角线相等的四边形是矩形 D．四条边相等的四边形是正方形 7．如图，在平面直角坐标系中，菱形 ABCD的顶点 A，B，C在坐标轴上，若点 A、B的坐标分别为(0,4)、  2,0 ，则点 D的坐标为（ ） A．  2 5,4 B．  4, 2 5 C．  2 3, 4 D．  4, 2 3 8．如图，在平行四边形 ABCD中， 135C  ， 2AB  ， 3AD  ，点 H，G分别是CD BC， 上的动点，连 接 AH GH， ．E，F分别为 AH GH， 的中点，则 EF 的最小值是（ ） A．2 B． 2 C． 2 2 D．2 2 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共 5小题，每小题 3分，共 15 分。 9．一元二次方程 x2＝2x的解为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 10．若方程 2 2 4 0x x   的两个实数根为 ， ，则 3 8 1   的值为 ． 11．有四张正面分别标有数字 3 ，0，1，5 的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背 面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数学记为 a，则使关于 x的分式方程 1 1 2 2 2 ax x x      有正整数 解得概率为 12．如图，在菱形 ABCD中， 5AB  ，对角线 AC、BD交于点M ，AC BD ， 24ABCDS 菱形 ，点E是直线 AC上一动点，连接DE，以 AE、DE为邻边作 AEDF ，其对角线EF与 AD交于点O，点E的运动过程 中， AEDF 的对角线EF的最小值是 ． 13．如图，以正方形 ABCD的顶点 A为圆心，以 AD的长为半径画弧，交对角线 AC于点 E，再分别以 D， E为圆心，以大于 1 2 DE的长为半径画弧，两弧交于图中的点 F，连接 AF 并延长，与BC的延长线交于点 P， 则 P  ． 三、解答题：本大题共 7小题，共 61 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 14．(每题 3 分，共 6 分）解方程： (1)  4 4x x x   (2) 2 6 4 0x x   原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 15．（8 分）关于 x的一元二次方程 2 22 1 1 0x k x k    （ ） 有两个不等实根 1 2,x x ． （1）求实数 k的取值范围． （2）若方程两实根 1 2,x x 满足 1 2 1 2·x x x x ｜｜｜ ｜ ，求 k的值． 16.（7 分）某中学为了解九年级学生对三大球类运动的喜爱情况，从九年级学生中随机抽取部分学生进行 调查问卷，通过分析整理绘制了如图两幅统计图．请根据两幅统计图中的信息回答下列问题： (1)求参与调查的学生中，求喜爱排球运动的学生人数，并补全条形图； (2)若该中学九年级共有 400 名学生，请你估计该中学九年级学生中喜爱篮球运动的有________名学生； (3)若从喜爱足球运动的 2 名男生和 2 名女生中随机抽取 2 名学生，确定为该校足球运动员的重点培养对象， 请用列表法或画树状图的方法求抽取的两名学生为一名男生和一名女生的概率． 17．（9 分）中考临近，某商家抓住商机，购买了一批考试专用笔和圆规，商家用 1600 元购买笔，1200 元 购买圆规，每支笔和每个圆规的进价之和为 10 元，且购买笔的数量是圆规的 2 倍. (1)求商家购买笔和圆规的进价； (2)商家在销售过程中发现，当笔的售价为每支 8 元，圆规的售价为每个 12 元时，平均每天可卖出 50 支笔， 30 个圆规，据统计，圆规的售价每降低 0.5 元平均每天可多卖出 5 个，且降价幅度不超过 10%.商家在保证 笔的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，想使笔和圆规平均每天的总获利为 400 元，则每个圆规 的售价为多少元？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 18．（9 分）如图，BF 是菱形BCFP的对角线，过点 C作CD PF 于点 D，CD交 BF 于点 E，点 A在FP的 延长线上，且满足 DPE ABP  ，连接 AB． (1)求证：四边形 ABCD是矩形； (2)若 6AB  ， 10BC  ，求CE的长． 19．（10 分）阅读材料：我们都知道    2 22 2 2 22 2a ab b a b a ab b a b       ， ． 于是，  2 22 40 5 2 20 5x x x x        2 2 22 2 10 10 10 5x x         22 10 100 5x        22 10 205x    ． 又因为 2 0a  ，所以，  210 0x   ，  22 10 0x   ，  22 10 205 205x    ． 所以， 22 40 5x x   有最大值205． 如图，某农户准备用长34米的铁栅栏，一边利用墙，其余边用铁栅栏围成长方形羊圈 ABCD和一个边长为 1 米的正方形狗屋CEFG．设 AB x 米． (1)请用含 x的代数式表示BC的长 （直接写出结果）； (2)设山羊活动范围即图中阴影部分的面积为 S平方米，请用含 x的代数式表示 S；（写出过程） (3)求出山羊活动范围面积 S的最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 20.（12 分）（1）【问题呈现】如图 1，在正方形 ABCD和正方形 BEFG中，点 A，B，E在同一条直线上，P 是线段 DF的中点，连接 GP并延长交 DC于点 H，连接 PC．探究 PG与 PC的 PG位置关系及 PG PC 的值（只 写出结论，不需要证明）． （2）【问题拓展】如图 2，将问题（1）中的正方形 ABCD和正方形 BEFG换成菱形 ABCD和菱形 BEFG， 且 60ABC BEF    ，其他条件不变，探究 PG与 PC的位置关系及 PG PC 的值，写出你的猜想并加以证明． （3）【拓展延伸】如图 3，将图 2 中的菱形 BEFG绕点 B顺时针旋转，使菱形 BEFG在直线 AB的下方，且 边 BG恰好与菱形 ABCD的边 AB在同一条直线上，问题（2）中的其他条件不变．你在（2）中得到的结论 是否仍然成立？写出你的猜想并加以证明．