专题2 特殊平行四边形中的最值问题 课件2023-2024学年北师大版数学九年级上册

第一章　特殊平行四边形 专题2　特殊平行四边形中的最值问题 数学 九年级上册 BS版 数学 九年级上册 BS版 专题解读 典例讲练 目录 CONTENTS 数学 九年级上册 BS版 0 1 专题解读 ◎问题综述 四边形中的最值问题是近几年中考的热点问题，试题层出 不穷，形式多样，往往综合了几何变换，有一定难度，具有很 强的探索性.通过研究发现这类问题，常常利用“两点之间线段 最短”“垂线段最短”“斜边大于直角边”“三角形三边关系 定理”等来解决. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 数学 九年级上册 BS版 0 2 典例讲练 类型一　“将军饮马”模型 如图，已知菱形 ABCD 的对角线 AC ＝12，面积为24，△ ABE 是等边三角形.若点 P 在对角线 AC 上移动，求 PD ＋ PE 的最 小值. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 【思路导航】连接 BD . 连接 PB . 推出 PD ＝ PB ，从而推出 PE ＋ PD ＝ PE ＋ PB ，由 PE ＋ PB ≥ BE ，推出当 E ， P ， B 三点共线 时， PE ＋ PD 的值最小，最小值为 BE 的长，求出 BE 即可解决 问题. 解：如图，连接 BD 交 AC 于点 O ，连接 PB . ∵ ＝ AC · BD ， ∴24＝ ×12· BD . ∴ BD ＝4. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴ OA ＝ AC ＝6， OB ＝ BD ＝2， AC ⊥ BD . ∴ AB ＝ ＝2 . ∵ AC 与 BD 互相垂直平分， ∴ PD ＝ PB . ∴ PE ＋ PD ＝ PE ＋ PB . ∵ PE ＋ PB ≥ BE ， ∴当 E ， P ， B 三点共线时， PE ＋ PD 的 值最小，最小值为 BE 的长. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 ∵△ ABE 是等边三角形， ∴ BE ＝ AB ＝2 . ∴ PD ＋ PE 的最小值为2 . 【点拨】两定一动，动点在直线上的最值问题就是“将军饮 马”最值问题，常常利用轴对称来解决问题. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 1. 如图，正方形 ABCD 的边长为2，点 E 是 BC 的中点，点 P 是 AC 边上的一个动点，连接 BP ， EP ，则 BP ＋ EP 的最小值 为 ⁠. 　 数学 九年级上册 BS版 返回目录 【解析】如图，连接 BD . ∵正方形的对角线互相垂直平分， ∴无论点 P 在什么位置，都有 PD ＝ PB . ∴ BP ＋ EP ＝ PD ＋ PE . 连接 DE ， DE 与 AC 的交点即为 PE ＋ PD 取最小值时动点 P 的位 置（如图所示）.此时 PE ＋ PD ＝ DE . ∵正方形 ABCD 的边长为 2，∴ DC ＝ BC ＝2.∵点 E 是 BC 的中点， ∴ EC ＝1.在Rt△ DEC 中， DE ＝ ＝ ＝ . 故答案为 . 数学 九年级上册 BS版 返回目录 2. 如图，在矩形 ABCD 中， AB ＝4， BC ＝8， E 为 CD 边的中 点，点 P ， Q 为 BC 边上两个动点，且 PQ ＝2，当四边形 APQE 的周长最小时，则 BP 的长为 ⁠. 4　 数学 九年级上册 BS版 返回目录 【解析】由题知 PQ ， AE 的长均为定值，∴当四边形 APQE 的 周长最小时， AP ＋ QE 最小.如图，在 AD 上截取线段 AF ＝ PQ ＝2，作点 F 关于 BC 的对称点 G ，连接 EG 与 BC 交于一点即为 点 Q ，过点 A 作 FQ 的平行线交 BC 于一点，即为点 P ，此时 AP ＋ QE 最小.过点 G 作 BC 的平行线交 DC 的延 长线于点 H . 则四边形 FGHD 为矩形. ∴ CH ＝ AB ＝4. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 ∵四边形 ABCD 是矩形，∴ AD ＝ BC ＝8，∠ D ＝90°， ∠ QCE ＝90°.∵ PQ ＝2，∴ DF ＝ AD － AF ＝6.∴ GH ＝6. ∵点 E 是 CD 的中点，∴ CE ＝2.∴ EH ＝2＋4＝6.∴ EH ＝ GH . ∴∠ GEH ＝45°.设 BP ＝ x ，则 CQ ＝ BC － BP － PQ ＝8－ x －2 ＝6－ x ，在△ CQE 中，∵∠ QCE ＝90°， ∠ CEQ ＝45°，∴ CQ ＝ CE . ∴6－ x ＝2， 解得 x ＝4.∴ BP 的长为4.故答案为4. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 类型二　垂线段最短 如图，在Rt△ ABC 中，已知 AC ＝2， BC ＝4，点 P 为斜边 AB 上一动点， PE ⊥ BC ， PF ⊥ CA ，求线段 EF 长的最小值. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 【思路导航】连接 CP ，判定四边形 ECFP 是矩形，再根据当 CP 最小时， EF 也最小，同时根据垂线段最短即可求解. 解：如图，连接 CP . ∵ PE ⊥ BC ， PF ⊥ CA ， ∴∠ PEC ＝∠ PFC ＝∠ ACB ＝90°. ∴四边形 ECFP 是矩形. ∴ EF ＝ PC . ∴当 CP 最小时， EF 也最小. ∵垂线段最短， 数学 九年级上册 BS版 返回目录 ∴当 CP ⊥ AB 时， CP 最小. 在Rt△ ABC 中， AB ＝ ＝ ＝2 . 当 CP ⊥ AB 时， AC · BC ＝ AB · CP . ∴此时 CP ＝ ＝ ＝ . ∴线段 EF 长的最小值为 . 数学 九年级上册 BS版 返回目录 【点拨】“两动点之间距离”最小值问题，可转化为“一定一 动”最值问题.本题中运用矩形的对角线相等将 EF 长的最值转 化为 CP 长的最值是解决问题的关键. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 1. 如图，过边长为1的正方形的中心点 O 引两条相互垂直的射 线，分别与正方形的边交于点 A ， B ，则线段 AB 长的最小值 是 ⁠. 　 数学 九年级上册 BS版 返回目录 【解析】如图，设点 A ， B 分别是正方形 MNPQ 的边 MN 和 NP 上的点.∵点 O 是正方形 MNPQ 的中心，∴ OM ＝ ON ，∠ OMN ＝∠ ONP ＝45°，∠ MON ＝90°.∴∠ AOM ＋∠ AON ＝90°.∵ OA ⊥ OB ，∴∠ AOB ＝90°.∴∠ BON ＋∠ AON ＝90°.∴∠ AOM ＝ ∠ BON . 在△ AOM 和△ BON 中， ∴△ AOM ≌△ BON （ASA）. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 ∴ OA ＝ OB . ∴△ AOB 是等腰直角三角形. ∴ AB ＝ OA . ∵正方形 MNPQ 的边长是1， ∴点 O 到 MN 的距离等于 （点 O 到 MN 的垂线段的长度）. ∴ OA 长的最小值为 . ∴ AB 长的最小值是 .故答案为 . 数学 九年级上册 BS版 返回目录 2. 如图，菱形 ABCD 的对角线 AC ， BD 相交于点 O ，点 P 为 AB 边上一动点（不与点 A ， B 重合）， PE ⊥ OA 于点 E ， PF ⊥ OB 于点 F . 若 AC ＝20， BD ＝10，求 EF 的最小值. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 解：如答图，连接 OP . ∵四边形 ABCD 是菱形， AC ＝20， BD ＝10， ∴ AC ⊥ BD ， AO ＝ AC ＝10， BO ＝ BD ＝5. ∴∠ AOB ＝90°. 在Rt△ ABO 中，由勾股定理，得 AB ＝ ＝ ＝5 . ∵ PE ⊥ OA 于点 E ， PF ⊥ OB 于点 F ， ∴∠ OEP ＝∠ OFP ＝90°. 答图 数学 九年级上册 BS版 返回目录 ∴四边形 OEPF 是矩形. ∴ EF ＝ OP . 则当 OP 取最小值时， EF 的值最小. ∴当 OP ⊥ AB 时， OP 最小，此时， S△ ABO ＝ AO · BO ＝ AB · OP ， ∴ OP ＝ ＝ ＝2 . ∴ EF 的最小值为2 . 答图 数学 九年级上册 BS版 返回目录 类型三　利用三点共线取最值 如图，点 M ， N 是正方形 ABCD 的边 CD 上的两个动点，满 足 AM ＝ BN ，连接 AC ，交 BN 于点 E ，连接 DE ，交 AM 于点 F ，连接 CF . 若正方形的边长为6，求线段 CF 长度的最小值. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 【思路导航】先判断出Rt△ ADM ≌Rt△ BCN （HL），得出∠ DAM ＝∠ CBN ；判断出△ DCE ≌△ BCE （SAS），得出∠ CDE ＝∠ CBE ，即可判断出∠ AFD ＝90°；根据直角三角形斜 边上的中线等于斜边的一半，可得点 F 到 AD 的中点 O 的距离不 变；利用勾股定理列式求出 OC 的长，再根据三角形的三边关系 可知当 O ， F ， C 三点共线时， CF 的长度最小. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 解：在正方形 ABCD 中， AD ＝ BC ＝ CD ，∠ ADC ＝∠ BCD ， ∠ DCE ＝∠ BCE . 在Rt△ ADM 和Rt△ BCN 中， ∴Rt△ ADM ≌Rt△ BCN （HL）. ∴∠ DAM ＝∠ CBN . 在△ DCE 和△ BCE 中， ∴△ DCE ≌△ BCE （SAS）. ∴∠ CDE ＝∠ CBE . 数学 九年级上册 BS版 返回目录 ∴∠ DAM ＝∠ CDE . ∵∠ ADF ＋∠ CDE ＝∠ ADC ＝90°， ∴∠ DAM ＋∠ ADF ＝90°. ∴∠ AFD ＝180°－90°＝90°. 如图，取 AD 的中点 O ，连接 OF ， OC ， 则 OF ＝ DO ＝ AD ＝3. 在Rt△ ODC 中， OC ＝ ＝3 . 数学 九年级上册 BS版 返回目录 ∵ OF ＋ CF ≥ OC ， ∴当 O ， F ， C 三点共线时， CF 的长度最小，最小值＝ OC － OF ＝3 －3. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 【点拨】“一定一动”最值问题的关键是找到动点的轨迹，或 者找动态过程中的不变量，利用三角形三边关系解决.本题中利 用全等三角形的判定与性质得到“动中有静”，直角三角形斜 边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的三边关系，确定 出 CF 最小时点 F 的位置是解题关键. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 如图，在边长为4的正方形 ABCD 中，点 E ， F 分别为 AD ， CD 边上的动点（不与端点重合），连接 BE ， BF ，点 E ， F 在运动 过程中，始终保持∠ EBF ＝45°，连接 EF . 过点 B 作 BH ⊥ EF ， 垂足为 H ，连接 DH ，则 DH 的最小值为 ⁠. 4 －4　 数学 九年级上册 BS版 返回目录 【解析】如答图，延长 DC 至点 G ，使 CG ＝ AE ，连接 BG ， BD . ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴ AB ＝ CB ，∠ A ＝∠ BCD ＝∠ BCG ＝90°. ∴△ ABE ≌△ CBG . ∴ BE ＝ BG ，∠ ABE ＝∠ CBG . ∴∠ EBG ＝∠ EBC ＋∠ CBG ＝∠ EBC ＋ ∠ ABE ＝90°. ∵∠ EBF ＝45°， ∴∠ GBF ＝∠ EBF ＝45°. 答图 数学 九年级上册 BS版 返回目录 易证得△ EBF ≌△ GBF . ∵ BH ⊥ EF ， BC ⊥ CD ， ∴ BH ＝ BC ＝4. 则当 B ， H ， D 三点共线时， DH 有最小值， 最小值为 BD － BH ＝4 －4. 故答案为4 －4. 答图 数学 九年级上册 BS版 返回目录 演示完毕 谢谢观看 数学 九年级上册 BS版 $$