第8章 专题4 第5课时 探索性问题（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版）

第五课时　探索性问题 [对应学生用书P218] 探索性问题是高考命题的热点内容，往往与证明问题结合考查．圆锥曲线中的证明问题多涉及几何量的证明，有时与探究性问题综合，一般先假设结论成立，再进行论证． 【例】 已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点与短轴的一个端点连线构成等边三角形，且椭圆C的短轴长为2. (1)求椭圆C的标准方程； (2)是否存在过点P(0，2)的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N，且满足·＝2(O为坐标原点)？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由． 解：(1)由题意得解得 ∴椭圆C的标准方程是＋＝1． (2)当直线l的斜率不存在时，M(0，)，N(0，－)， ·＝－3，不符合题意，应舍去． 当直线l的斜率存在时， 设直线l的方程为y＝kx＋2，M(x1，y1)，N(x2，y2). 由得(3＋4k2)x2＋16kx＋4＝0， 则Δ＝(16k)2－16(3＋4k2)＞0， 解得k＜－或k＞. x1＋x2＝－，x1x2＝， ∴·＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝－＋4＝. ∵·＝2，∴＝2，解得k＝±，满足Δ＞0， 故存在符合题意的直线，其方程为k＝±x＋2. 【练1】 (2023·安徽淮北二模)如图，已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，短轴长为4. (1)求椭圆E的方程； (2)设椭圆E的右焦点为F，过点G(4，0)作斜率不为0的直线交椭圆E于M，N两点．设直线FM，FN的斜率分别为k1，k2，试判断k1＋k2是否为定值．若是定值，求出该值；若不是定值，请说明理由． 解：(1)依题意可得解得 即椭圆E的方程为＋＝1． (2)若直线MN与x轴垂直，则该直线与椭圆E无交点，不合乎题意，应舍去．所以直线MN的斜率存在， 设直线MN的方程为y＝k(x－4)， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 联立椭圆E与直线MN的方程 得(2k2＋1)x2－16k2x＋32k2－8＝0， Δ＝256k4－4(2k2＋1)(32k2－8)＝32(1－2k2)＞0， 可得k2＜，∴x1＋x2＝，x1x2＝， 故k1＋k2＝＋＝ ＋＝ ＝ ＝ ＝0. 所以k1＋k2是定值0. 【练2】 (2022·新高考Ⅱ卷)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(2，0)，渐近线方程为y＝±x. (1)求C的方程； (2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)在C上，且x1>x2>0，y1>0.过P且斜率为－的直线与过Q且斜率为的直线交于点M，请从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个条件成立： ①M在AB上；②PQ∥AB；③|MA|＝|MB|. 解：(1)右焦点为F(2，0)，∴c＝2，∵渐近线方程为y＝±x，∴＝，∴b＝a，∴c2＝a2＋b2＝4a2＝4， ∴a＝1，∴b＝. ∴C的方程为x2－＝1． (2)由已知得直线PQ的斜率存在且不为零，直线AB的斜率不为零， 若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线AB的斜率存在且不为零； 若选①③推②，则M为线段AB的中点，假若直线AB的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知M在x轴上，即为焦点F，此时由对称性可知P，Q关于x轴对称，与从而x1＝x2，已知不符； 总之，直线AB的斜率存在且不为零． 设直线AB的斜率为k，直线AB方程为y＝k， 则条件①M在AB上，等价于y0＝k⇔ky0＝k2； 两渐近线的方程合并为3x2－y2＝0， 联立消去y并化简整理得x2－4k2x＋4k2＝0 设A，B，线段中点为N，则xN＝＝，yN＝k＝， 设M， 则条件③＝等价于＋＝＋， 即x0－xN＋k＝0， 即x0＋ky0＝； 由题意知直线PM的斜率为－， 直线QM的斜率为， ∴由y1－y0＝－，y2－y0＝， ∴y1－y2＝－， 所以直线PQ的斜率m＝＝－， 直线PM：y＝－＋y0， 即y＝y0＋x0－x， 代入双曲线的方程3x2－y2－3＝0，即·＝3中， 解得P的横坐标 x1＝， 同理x2＝－， ∴x1－x2＝，x1＋x2－2x0＝－－x0， ∴m＝， ∴条件②PQ∥AB等价于m＝k⇔ky0＝3x0， 综上所述， 条件①M在AB上，等价于ky0＝k2； 条件②PQ∥AB等价于ky0＝3x0； 条件③＝等价于x0＋ky0＝； 选①②推③： 由①②解得x0＝，∴x0＋ky0＝4x0＝， ∴③成立； 选①③推②： 由①③解得x0＝，ky0＝， ∴ky0＝3x0，∴②成立； 选②③推①： 由②③解得x0＝，ky0＝， ∴x0－2＝， ∴ky0＝k2，∴①成立． 学科网（北京）股份有限公司 $$