第8章 专题4 第2课时 范围问题（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版）

第二课时　范围问题 [对应学生用书P214] 圆锥曲线中的范围问题是高考的热点和难点，主要涉及两个类型：一是以圆锥曲线定义与几何性质为背景的求范围问题；二是以直线与圆锥曲线的位置关系、弦长、面积等知识为背景的求范围问题． 【例】 已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)过点A(0，－2)，又四个顶点围成的四边形面积为4. (1)求椭圆E的标准方程； (2)过点P(0，－3)的直线l斜率为k，交椭圆E于不同的两点B，C，直线AB，AC交y＝－3于点M，N，若|PM|＋|PN|≤15，求k的取值范围． 思维导引 学科 素养 本题主要考查逻辑推理、数学运算等学科素养 思路 点拨 (1)由点A求出b，再由四边形面积求出a，进而确定椭圆方程； (2)设出直线l的方程，联立消元，由判别式求出斜率的范围；设出直线AB，AC的方程，写出点M，N的坐标，利用条件“|PM|＋|PN|≤15”得到关于k的不等式后求解 解：(1)因为椭圆E过点A(0，－2)，所以b＝2. 又四个顶点围成的四边形面积为4， 故×2a×2b＝2ab＝4. 联立解得 故椭圆E的标准方程为＋＝1． (2)由题意可得，直线l的斜率存在， 且直线l的方程为y＝kx－3， 设B(x1，y1)，C(x2，y2). 联立得 (5k2＋4)x2－30kx＋25＝0， Δ＝(－30k)2－4(5k2＋4)×25＝400(k2－1)＞0， 解得k＞1或k＜－1． 由根与系数的关系，得 x1＋x2＝－＝，x1x2＝， 进而可得y1＋y2＝k(x1＋x2)－6＝－， y1y2＝(kx1－3)(kx2－3)＝ k2x1x2－3k(x1＋x2)＋9＝. 直线AB的方程为y＋2＝x， 令y＝－3，则x＝－， 故点M(－，－3). 直线AC的方程为y＋2＝x， 令y＝－3，则x＝－， 故点N(－，－3). 所以|PM|＋|PN|＝＋＝ ＝ ＝ ＝ ＝|5k|≤15， 即|k|≤3，解得－3≤k≤3. 综上，k的取值范围为[－3，－1)∪(1，3]. 【练1】 已知双曲线的焦点在x轴上，中心在原点，离心率为，且过点(，1). (1)求双曲线的标准方程； (2)双曲线的左右顶点为A，B，且动点C(m，n)，D(m，－n)在双曲线上，直线BC与直线AD交于点P，M(－，0)，N(，0)，求·的取值范围． 解：(1)设双曲线的标准方程为－＝1， 联立得所以双曲线的标准方程为－y2＝1． (2)已知C，D，A，B. 当m＝±时，动点P与点A，B重合， 当m≠±时，直线AD：y＝， 直线BC：y＝， 联立两直线方程得y2＝. 又因为－n2＝1，即－3n2＝3－m2， 所以y2＝－，即＋y2＝1． 又·＝＝－＝－2， 且PO∈(1，]，所以·∈. 【练2】 已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l与椭圆C交于A，B两点，点P为椭圆C的下顶点，|PF2|＝|OP|，当l⊥x轴时，△AOB的面积为2. (1)求椭圆C的标准方程； (2)当直线l不过坐标原点时，求F1A·F1B的取值范围． 解：(1)因为△POF2为直角三角形， 所以b2＋c2＝|PF2|2＝(b)2，则b＝c，a＝b， 又S△AOB＝××c＝＝2，所以b2c＝2a， 所以b3＝2·b＝4b，则b2＝4， a2＝2b2＝8， 故椭圆C的标准方程为＋＝1． (2)由(1)知F1(－2，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 又直线l不过坐标原点， 所以设直线l的方程为x＝my＋2，则 得(m2＋2)y2＋4my－4＝0， Δ＝(4m)2＋16(m2＋2)>0， 所以y1＋y2＝，y1y2＝， ＝(x1＋2)(x2＋2)＋y1y2＝ (my1＋4)(my2＋4)＋y1y2＝ (m2＋1)y1y2＋4m(y1＋y2)＋16＝ (m2＋1)＋4m·＋16＝－4＋. 因为m2＋2≥2，所以0＜≤18， 所以－4＜－4＋≤14， 所以的取值范围是(－4，14]. 学科网（北京）股份有限公司 $$