第8章 微专题系列之数学运算——圆锥曲线中的“设而不求”问题（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版）

微专题系列之数学运算——圆锥曲线中的“设而不求”问题 [对应学生用书P202] 数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程，解析几何正是利用数学运算解决几何问题的一门科学． 【例】 已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点，且满足PF2⊥x轴，|PF2|＝，离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若M为y轴正半轴上的定点，过M的直线l交椭圆于A，B两点，设O为坐标原点，△AOB的面积S△AOB＝－tan ∠AOB，求点M的坐标． [思维过程] 明确目标→(1)求椭圆标准方程；(2)求点M的坐标． 提取信息→PF2⊥x轴，|PF2|＝，离心率为；M为y轴上的定点，直线l过M且与椭圆交于两点，S△AOB＝－tan ∠AOB. 建立联系→(1)利用离心率及|PF2|值建立方程组求a，b的值；(2)设出直线l的点斜式方程y＝kx＋t，利用三角形面积公式将条件“S△AOB＝－tan ∠AOB”转化为·＝－3，再联立方程组并利用根与系数的关系求出t的值，最后确定M点的坐标． 思路导引→(1)由题意知，e＝＝，＝，所以a＝2，b＝， 所以椭圆的标准方程为＋＝1． (2)设M(0，t)(t>0)，直线l：y＝kx＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2). 由S△AOB＝－tan ∠AOB可得 |OA||OB|sin ∠AOB＝－·， 所以|OA||OB|cos ∠AOB＝－3， 即·＝x1x2＋y1y2＝－3. 联立直线l和椭圆的方程 得(3＋4k2)x2＋8ktx＋4t2－12＝0， 所以x1＋x2＝，x1x2＝. 由x1x2＋(kx1＋t)(kx2＋t)＝－3， 得(k2＋1)x1x2＋kt(x1＋x2)＋t2＝－3， 即(k2＋1)＋kt＋t2＝－3， 化简得7t2＝3，解得t＝或t＝－(舍去). 所以点M的坐标为(0，). 【练】 过点M(1，1)作斜率为－的直线与椭圆C：＋＝1(a>b>0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于 ． 答案：　解析：由题意可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2，y1＋y2＝2， ∵ ①—②得， ＋＝0. ∴kAB＝＝－＝－， ∴a2＝2b2. 又∵a2＝b2＋c2， ∴b2＝c2，即a2＝2c2， 所以e＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$