第8章 微专题系列之数学应用——斜率公式的应用（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版）

微专题系列之数学应用——斜率公式的应用 [对应学生用书P183] 斜率公式的应用主要形式有比较大小、求解点共线问题、求参数取值范围、求函数最值等．由于斜率公式具有把代数问题几何化的功能，因此在解答过程中，首先借助斜率公式的几何定义画出草图，然后利用斜率与倾斜角的关系，找出其边界情况，进而解决问题．现举例如下： 类型1　斜率模型的几何意义 【例1】 已知函数f(x)＝log2(x＋1)，且a>b>c>0，则，，的大小关系为 ．(用“<”连接) [思维过程] 明确目标→比较大小． 提取信息→已知函数f(x). 建立联系→画出函数图象，利用所求式子的几何意义比较大小． 思路导引→作出函数f(x)＝log2(x＋1)的大致图象， 如图所示，可知当x>0时， 曲线上各点与原点连线的斜率随x的增大而减小，因为a>b>c>0，所以＜＜. 答案：＜＜ 【练1】 已知关于x的函数f(x)＝mx－1(m＞1)，设a＞b＞c＞1，则，，的大小关系是(　　) A．＞＞ B．＞＞ C．＞＞ D．＞＞ A　解析：∵m＞1，∴函数f(x)＝mx－1是R上的增函数，且f(0)＝0，作出函数f(x)＝mx－1图象如图，设A(a，f(a))，B(b，f(b))，C(c，f(c))， 则OA的斜率k1＝，OB的斜率k2＝，OC的斜率k3＝， ∵1＜c＜b＜a，∴OC，OB，OA的倾斜角满足α3＜α2＜α1， 又∵tan α1＝k1，tan α2＝k2，tan α3＝k3，且α3，α3，α1都是锐角， ∴k1＞k2＞k3，可得＞＞，故选A. 类型2　求最值问题 【例2】 已知实数x，y满足y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)，试求的最大值和最小值． [思维过程] 明确目标→求代数式最值． 提取信息→已知实数x，y满足的关系式． 建立联系→画出函数图象，利用所求式子的几何意义比较大小． 思路导引→如图，作出y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)的图象为抛物线的一部分即曲线段AB， 则表示定点P(－2，－3)和曲线AB上任意一点(x，y)的连线的斜率k，连接PA，PB， 则kPA≤k≤kPB. 易得A(1，1)，B(－1，5)， 所以kPA＝＝， kPB＝＝8， 所以≤k≤8， 故的最大值是8，最小值是. 【练2】 (2023·重庆巴蜀中学高三阶段练习)实数x，y满足y＝，那么的最大值为 ． 答案： 1　解析：由y＝得x2＋y2＝2(y≥0)， 所以点(x，y)的轨迹是以原点为圆心，半径为的圆的上半部分， ＝表示点(x，y)与点A(－2，0)连线的斜率， 过A作半圆的切线AB，切点为B，如图所示， 则OB⊥AB， 由于|OA|＝2，|OB|＝，|AB|＝＝， 所以△OAB是等腰直角三角形，所以直线AB的斜率为1，即的最大值为1． 学科网（北京）股份有限公司 $$