第8章 微专题系列之数学应用——椭圆与物理知识的交汇创新（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版）

微专题系列之数学应用——椭圆与物理知识的交汇创新 [对应学生用书P199] 椭圆的一个光学性质，即从椭圆的一个焦点出发的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，双曲线和抛物线是否也有类似光学性质呢？请同学们认真探究． 圆锥曲线的光学性质，在日常生活和科学研究中有着广泛的应用．例如，物理学中的凹凸透镜的表面一般都是抛物面(抛物线绕着其对称轴旋转所形成的曲面称为抛物面)，2016年9月25日落成启用的“中国天眼”——500 m口径球面射电望远镜，反射面的主体是一个抛物面，如图所示． 【例】 如图所示，椭圆有这样的一个光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．已知椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，其左、右焦点分别是F1，F2，直线l与椭圆C切于点P，且|PF1|＝1，过点P且与直线l垂直的直线l′与椭圆长轴交于点M，若椭圆的离心率e＝，△PMF2的面积为△PMF1面积的3倍，则椭圆C的标准方程为(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋y2＝1 D．＋＝1 [思维过程] 明确目标→求椭圆C的标准方程． 提取信息→椭圆的一个光学性质，直线l与椭圆相切，|PF1|＝1，直线l′垂直于l，交椭圆长轴于点M，椭圆离心率已知，两个三角形面积关系已知． 建立联系→结合光学知识可知直线l′平分∠F1PF2，由三角形面积之比得＝，且|PF1|＝1，求出a，由离心率求出b，从而求出椭圆的标准方程． 思路导引→由光学知识可知直线l′平分∠F1PF2. 又因为＝＝ ＝，|PF1|＝1， 所以|PF2|＝3，又|PF1|＋|PF2|＝2a， 所以a＝2. 因为e＝＝，b2＝a2－c2，所以b＝1， 所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1． 答案：C 【练】 某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面m千米，远地点B(离地面最远的点)距地面n千米，并且F，A，B三点在同一直线上，地球半径约为R千米，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a，2b，2c，下列结论不正确的是(　　) A．a－c＝m＋R B．a＋c＝n＋R C．2a＝m＋n D．b＝ C　解析：由题设条件可得 ∴a－c＝m＋R，故A正确；a＋c＝n＋R，故B正确； ①＋②得m＋n＝2a－2R，可得2a＝m＋n＋2R，故C不正确； 由可得(m＋R)(n＋R)＝a2－c2， ∵a2－c2＝b2， ∴b2＝(m＋R)(n＋R)，∴b＝，故D正确． 学科网（北京）股份有限公司 $$