第8章 微专题系列之数学应用——活用直线系方程（Word教参）-【优化指导】2025年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（北师大版）

微专题系列之数学应用——活用直线系方程 [对应学生用书P187] 直线系方程的常见类型 (1)过定点P(x0，y0)的直线系方程是y－y0＝k(x－x0)(k是参数，直线系中未包括直线x＝x0)，也就是平常所提到的直线的点斜式方程； (2)平行于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是Ax＋By＋λ＝0(λ是参数且λ≠C)； (3)垂直于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是Bx－Ay＋λ＝0(λ是参数)； (4)过两条已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程是A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R，但不包括l2). 类型1　相交直线系方程 【例1】 已知两条直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点为P，求过点P且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程． [思维过程] 明确目标→求过点P且与已知直线垂直的直线． 提取信息→两条直线的交点． 建立联系→联立方程求出交点坐标，利用点斜式求解或利用相交直线系方程设出方程后，再利用垂直关系求解． 思路导引→(方法一)　解l1与l2组成的方程组得到交点P(0，2)， 因为k3＝， 所以直线l的斜率k＝－， 则方程为y－2＝－x，即4x＋3y－6＝0. (方法二)　设所求直线l的方程为4x＋3y＋c＝0， 由方法一可知，P(0，2)， 将其代入方程，得c＝－6， 所以直线l的方程为4x＋3y－6＝0. (方法三)　设所求直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0， 即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0， 因为直线l与l3垂直，所以3(1＋λ)－4(λ－2)＝0， 所以λ＝11， 所以直线l的方程为4x＋3y－6＝0. 【练1】 经过两条直线2x＋y－8＝0和x－2y＋1＝0的交点，且平行于直线4x－3y－7＝0的直线方程为 ． 答案：4x－3y－6＝0　解析：设所求直线所在的直线系方程为2x＋y－8＋λ(x－2y＋1)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－8＋λ＝0.因为与直线4x－3y－7＝0平行，所以4(1－2λ)＋3(2＋λ)＝0，得λ＝2.所求直线方程为4x－3y－6＝0. 类型2　平行直线系方程 【例2】 已知直线方程3x－4y＋7＝0，求与之平行且在x轴，y轴上的截距和是1的直线l的方程． [思维过程] 明确目标→求直线l的方程． 提取信息→已知直线3x－4y＋7＝0，所求直线在x轴，y轴上的截距和是1． 建立联系→(方法一)设直线方程的截距式；(方法二)利用平行直线系设出方程后再利用截距之和为1求直线方程． 思路导引→(方法一)　设直线l：＋＝1， 则a＋b＝1和－＝组成的方程组的解为a＝4，b＝－3. 故直线l的方程为－＝1，即3x－4y－12＝0. (方法二)　根据平行直线系可设直线l为3x－4y＋c＝0(c≠7)， 则直线l在两坐标轴上的截距分别是－，， 由－＋＝1，知c＝－12. 故直线l的方程为3x－4y－12＝0. 【练2】 已知点P(x0，y0)是直线l：Ax＋By＋C＝0外一点，则方程Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0表示(　　) A．过点P且与l垂直的直线 B．过点P且与l平行的直线 C．不过点P且与l垂直的直线 D．不过点P且与l平行的直线 D　解析：∵点P(x0，y0)在直线Ax＋By＋C＝0外一点，∴Ax0＋By0＋C≠0，∴直线Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0不经过点P，又直线Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0与直线l：Ax＋By＋C＝0平行．故选D. 类型3　垂直直线系方程 【例3】 求经过A(2，1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程． [思维过程] 明确目标→求直线l的方程． 提取信息→已知A点坐标及直线2x＋y－10＝0. 建立联系→利用垂直直线系方程求解． 思路导引→因为所求直线l与直线2x＋y－10＝0垂直， 所以设直线l的方程为x－2y＋c＝0， 又直线l经过点A(2，1)， 所以有2－2×1＋c＝0， 解得c＝0， 即所求直线l的方程为x－2y＝0. 【练3】 某直线经过两条直线2x＋y＋2＝0和3x＋4y－2＝0的交点，且垂直于直线3x－2y＋4＝0，求该直线的直线方程． 解：解方程组，得交点(－2，2)，斜率为－，由点斜式得所求直线方程为y－2＝－(x＋2)，即2x＋3y－2＝0. 类型4　直线系方程的应用 【例4】 求过直线2x＋7y－4＝0与7x－21y－1＝0的交点，且和A(－3，1)，B(5，7)等距离的直线方程． [思维过程] 明确目标→求直线方程． 提取信息→已知两条直线方程及两点坐标． 建立联系→利用相交直线系设出方程后利用点到直线距离求解． 思路导引→设所求直线方程为2x＋7y－4＋λ(7x－21y－1)＝0， 即(2＋7λ)x＋(7－21λ)y＋(－4－λ)＝0， 由点A(－3，1)，B(5，7)到所求直线等距离， 可得＝ ， 整理可得|43λ＋3|＝|113λ－55|， 解得λ＝或λ＝， 所以所求直线方程为21x－28y－13＝0或x＝1． 【练4】 不论k为何实数，直线(2k－1)x－(k＋3)y－(k－11)＝0恒过一个定点，这个定点的坐标是 ． 答案：(2，3)　解析：直线(2k－1)x－(k＋3)y－(k－11)＝0，即k(2x－y－1)＋(－x－3y＋11)＝0，根据k的任意性可得，解得，∴不论k取何实数，直线(2k－1)x－(k＋3)y－(k－11)＝0都经过一个定点(2，3). 学科网（北京）股份有限公司 $$